APLICACIÓN DE DERIVADAS: PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

www.aulamatematica.com
APLICACIÓN DE DERIVADAS:
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN CON 1 VARIABLE.
001.– EJERCICIO DE CONSOLIDACIÓN
Una granja se dedica a la cría de faisanes. El beneficio que puede obtener semanalmente
está relacionado con el número de aves criadas (representado por la variable x) a través de la
siguiente expresión:
B(x) = 6 000x - 0.2x3 - 10 000
(a) ¿Cuántos faisanes deben criarse por semana para obtener el mayor beneficio posible?
(b) ¿Cuál será el beneficio obtenido en ese momento?
02.– PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 1996
Un taller artesanal está especializado en la producción de cierto tipo de juguetes. Los costes
de fabricación —C(x) en euros— están relacionados con el número de juguetes fabricados —
x— a través de la siguiente expresión:
C(x) = 10x2 + 20x + 25
El precio de venta de cada juguete es de 80 euros.
(a) Plantear la función de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes
producidos.
(b) Plantear la función de beneficios, entendidos como diferencia entre ingresos y costes de
fabricación.
(c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios? ¿A cuánto ascenderán
estos beneficios?
003.– EJERCICIO DE CONSOLIDACIÓN
Un vendedor de enciclopedias recibe, como sueldo mensual, una cantidad fija de 500 euros
más una comisión que depende del número de enciclopedias que venda según la expresión:
100x – 0.25x3
(donde x representa el número de enciclopedias).
El vendedor debe de correr con sus propios gastos, y tiene unos fijos de 100 euros
mensuales más otros variables, que estima en 7 euros por cada enciclopedia que vende. Se
pide:
(a) Obtén la función que recoge el sueldo mensual del vendedor.
(b) Determina la función de gastos.
(c) Obtén la función de beneficios (sueldo menos gastos) del vendedor.
(d) ¿Cuántas enciclopedias debe vender para obtener el máximo beneficio mensual?
Calcula dicho beneficio.
004.– EJERCICIO DE CONSOLIDACIÓN
Los costes de fabricación C(x) en euros de cierta variedad de galletas dependen de la
cantidad elaborada (x en Kg) de acuerdo con la siguiente expresión:
C(x) = 10 + 1.7 x
El fabricante estima que el precio de venta de cada Kg. de galletas viene dado por:
25x 2
P(x) = 200 en euros
100
(a) ¿El precio de venta disminuye con la cantidad?
(b) Suponiendo que vende todo lo que fabrica, obtén la función que recoge todas sus
ganancias.
(c) ¿Qué cantidad de galletas le interesa producir para maximizar las ganancias?
(d) En la situación óptima, ¿cuál es el precio de venta? ¿Qué ganancia se obtiene?
05.– PAU – Universidad de Oviedo – Junio 1994
Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad —R(x) en
cientos de euros— viene dada en función de la cantidad que se invierta, x en cientos de euros,
por medio de la expresión siguiente:
R(x) = - 0.001·x2 + 0.5·x + 2.5
 Abel Martín
1
Aplicación de derivadas. Optimización con una variable
(a) Deducir razonadamente qué cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en dicho
plan.
(b) ¿Qué rentabilidad obtendría en ese momento?
06.– PAU – Universidad de Oviedo – Junio 1995
La producción de cierta hortaliza en un invernadero, Q(x) en Kg, depende de la temperatura,
x en ºC, según la expresión:
Q(x) = (x + 1)2 (32 – x)
(a) Calcular razonadamente cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero.
(b) ¿Qué producción de hortaliza se obtendría?
07.– PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 1998
Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costes de mantenimiento
diarios son una función de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada. Tales costes
(en euros) vienen dados por la siguiente expresión [C(x) representa el coste si el volumen de
agua (en millones de metros cúbicos) es x]:
C(x) = x3 + x2 - 8x + 73
(a) Encontrar el volumen diario de agua óptimo que debe mantenerse para minimizar costes.
(b) Calcular el coste mínimo diario que supone el mantenimiento de la instalación. Si un día
la presa tiene almacenados 3 millones de metros cúbicos de agua, ¿cuánto se ha gastado de
más respecto del coste mínimo?
08.– PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 1999
Un individuo ha invertido en acciones de cierta compañía durante los últimos 10 años. El
valor de su cartera a lo largo del tiempo (dinero invertido más beneficios obtenidos, en miles)
viene dado por la siguiente expresión (x en años):
F(x) = (x - 2)2·(1 - 2x) + 252x + 116
0 ≤ x ≤ 10
(a) Determinar los intervalos de tiempo en que el valor de la cartera creció y aquellos en que
decreció.
(b) El individuo retira sus ingresos transcurridos los 10 años. ¿Cuál hubiera sido realmente
el mejor momento para haberlo hecho? ¿Cuánto pierde por no haberlo retirado en el momento
óptimo?
09.– PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2000
El saldo (positivo o negativo) que ha tenido durante los últimos 9 meses una de las cuentas
bancarias que posee cierto individuo viene dado por la expresión (el tiempo, x, en meses; el
saldo, f(x), en decenas de euros):
f(x) = 2x3 - 27x2 + 84x + 10
0≤x≤9
(a) Encuentra el intervalo o intervalos de tiempo en que el saldo creció, y aquél o aquéllos
en que decreció.
(b) ¿En qué momentos se obtuvieron el saldo más alto y el más bajo? ¿cuáles fueron estos
saldos?
(c) ¿Tiene la función de saldo algún punto de inflexión? Esboza un dibujo de dicha función
sin detallar el valor exacto de los puntos de corte con el eje de abscisas.
010.– EJERCICIO DE CONSOLIDACIÓN
En 1970 se fundó una agrupación pacifista. El número de sus miembros varía con los años,
de acuerdo con la fórmula:
N(x) = 50·(2x3 - 15x2 + 36x + 2)
(a) ¿Cuántos fueron los socios fundadores?
(b) ¿En qué año se alcanzará el máximo número de socios?
(c) ¿Cuándo el mínimo?
(d) ¿Cuántos miembros habrá en cada uno de los dos últimos casos?
011.– EJERCICIO DE CONSOLIDACIÓN
El coste de la producción de x unidades diarias de un determinado producto es de
1
4
2
x2 + 35x + 25
y el precio de venta de una de ellas es (50 – x/4) en euros.
... límites y continuidad
www.aulamatematica.com
(a) Halla el número de unidades que deben de venderse diariamente para que el beneficio
sea máximo.
(b) ¿A cuánto asciende dicho beneficio?
012.– EJERCICIO DE CONSOLIDACIÓN
Una empresa de muebles dispone de un modelo de escritorio de lujo cuya producción es
completamente artesanal. El precio de venta de cada escritorio es (en decenas de euros) de
365. Por otra parte los gastos de fabricación mensuales dependen del número de escritorios
producidos por la empresa según la siguiente expresión (G(x) representa los gastos mensuales
en decenas de euros si se producen x escritorios):
G(x) = x3 + 2 x + 10
Cada mes la empresa vende todos los escritorios que produce.
(a) Obtén la expresión de los beneficios mensuales como función del número de escritorios
producidos, es decir, los ingresos obtenidos por las ventas menos los gastos de fabricación.
(b) Encuentra el número óptimo de escritorios que la empresa debería producir
mensualmente para maximizar beneficios.
(c) Calcula el máximo beneficio mensual que la empresa puede obtener. Si un mes produce
12 escritorios ¿cuánto dinero ha dejado de ganar con respecto a un mes en que maximiza
beneficios?
013 SELECTIVIDAD – Universidad de Oviedo – Septiembre 1997
En una empresa, la relación entre la producción (x, expresada en miles de toneladas) y los
costes medios de fabricación —C(x), expresados en decenas de euros— es del tipo
C(x) = ax2 + bx +c.
(a) Sabiendo que dichos costes ascienden a 430 euros si la producción es de 1 000 Tm.,
que son 360 euros si se producen 2 000 Tm, y que la derivada segunda de dicha función es
igual a 2, determinar la función de costes medios.
(b) Obtener, razonadamente, los intervalos de crecimiento y decrecimiento de C(x).
(c) A la vista de los resultados del apartado anterior, calcular, razonadamente, la producción
óptima de la empresa y sus costes medios.
014 PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 1995
El tipo de interés anual — I(t) en % — ofrecido por una entidad financiera depende del
tiempo — t en años — que esté dispuesto a mantener la inversión a través de la siguiente
90t
expresión: I(t) = 2
t +9
(a) Calcular razonadamente cuántos años le conviene pactar a un inversor que trate de
optimizar el tipo de interés.
(b) Si una inversión se mantuviese a muy largo plazo, ¿el tipo de interés podría llegar a ser
negativo? Justifica la respuesta.
015 PAU – Universidad de Oviedo – Junio 1996
En un colectivo se ha observado que el gasto en cierto producto –G(x) en decenas de
euros— está relacionado con el salario —x en miles de euros– por medio de la siguiente
expresión:
20x
G(x) = 2
x +1
(a) Calcular razonadamente la cuantía del salario a la que corresponde el mayor gasto.
(b) ¿Cómo se comporta el gasto cuando el salario es suficientemente alto? Razonar la
respuesta.
016 PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2001
El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en función del tiempo de uso (x, en
años) viene dado por la siguiente expresión:
3x
para x ≥ 0
f(x) = 8.5 +
1+ x2
 Abel Martín
3
Aplicación de derivadas. Optimización con una variable
(a) ¿Hay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece? ¿y en que decrece? ¿cuáles
son?
(b) ¿En qué punto se alcanza el rendimiento máximo? ¿cuánto vale?
(c) Por mucho que pase el tiempo, ¿puede llegar a ser el rendimiento inferior al que el
producto tenía cuando era nuevo?
017 PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2001
La cotización en euros de cierta moneda en los últimos 5 años y medio se ajusta bastante
bien a la siguiente función [C (t) indica la cotización en el tiempo t medido en años]:
C (t) = ( - t2 + 1) (t - 9) - 16t + 59
0 ≤ t ≤ 5.5
(a) Encuentra el intervalo o intervalos de tiempo en los que la cotización creció, y aquel o
aquellos en los que decreció.
(b) ¿En qué momentos hubo una cotización más baja y más alta? ¿cuáles fueron esas
cotizaciones?
(c) ¿Tiene la función C(t) algún punto de inflexión? Esboza un dibujo de dicha función.
018 PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2006
Un ayuntamiento está realizando un estudio sobre el nivel de contaminación acústica en la
ciudad. Un primer plan de choque afectará a aquellos lugares donde se lleguen a superar los
65 decibelios en horario diurno. En un barrio de la ciudad se han realizado mediciones de ruido
en la franja horaria más conflictiva, modelándose el nivel de ruido mediante la siguiente función
(R indica el ruido en decibelios y x el tiempo entre las 9 y las 14 horas de un día laborable):
R(x) = 2943 - 780x + 69x2 - 2x3
9 ≤ x ≤ 14
(a) Indica cuándo crece el nivel de ruido y cuándo decrece.
(b) Dibuja la gráfica de la función. ¿Se debería iniciar un plan de choque en este barrio?
(c) Puesto que para x = 11.5 la segunda derivada de R vale 0 ¿qué le sucede a la gráfica en
x = 11.5?
019 PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2002
El porcentaje de ocupación de una cafetería entre las 13 y las 21 horas se explica bastante
bien por la siguiente función [P(x) representa el porcentaje de ocupación a las x horas]:
P(x) = (x2 - 55x) (x + 1) + 1015x - 5542
13 ≤ x ≤ 21
(a) Indica los intervalos de tiempo en que la ocupación crece y aquellos en que decrece.
(b) Dibuja la función. ¿Cuándo se alcanza el porcentaje de ocupación más alto? ¿Y el más
bajo? ¿cuánto valen?
(c) ¿La función tiene algún máximo o mínimo relativo que no sea absoluto?
020 PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2003
La gráfica de velocidad de un autobús en los 6 minutos previos a un accidente quedó recogida
en el tacómetro, y se ajusta bastante bien a la siguiente función. V(t) es la velocidad en el
tiempo t (t en minutos, de 0 a 6):
V(t) = 24t – 15t2 + 2t3 + 100
0≤t≤6
(a) Especifica los intervalos de tiempo en que la velocidad aumentó y aquéllos en que
disminuyó.
(b) Dibuja la gráfica de velocidad, especificando, si los hay, los puntos de inflexión. ¿En qué
momentos se alcanza la mayor y menor velocidad?
(c) Especifica (si los hay) los máximos y mínimos relativos y absolutos.
021 PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2004
Una cadena de televisión ha presentado un nuevo programa para la franja de las 11 a las 15
horas. El share o porcentaje de audiencia de la primera emisión vino dado por la siguiente
función, donde S(t) representa el share en el tiempo t, en horas. Para que el programa siga
emitiéndose el share ha tenido que alcanzar en algún momento el 30%.
S(t) = - t3 + 36t2 - 420t + 1596
11 ≤ t ≤ 15
(a) Indica cuándo creció el share y cuándo decreció. ¿El programa seguirá emitiéndose?
(b) Dibuja la gráfica del share.
022 PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2005
4
... límites y continuidad
www.aulamatematica.com
Un dirigente de cierto partido político afirma que dimitirá si el porcentaje de votantes al partido
no alcanza el 20%. Se estima que el porcentaje de participación en la consulta será al menos el
40% y que el porcentaje de votantes al partido dependerá del porcentaje de participación según
esta función (P indica el porcentaje de votantes al partido y x el de participación):
P(x) = - 0.00025x3 + 0.045x2 - 2.4x + 50 40 ≤ x ≤ 100
(a) Indica cuándo crece el porcentaje de votantes al partido y cuándo decrece. Según la
función, ¿es posible que el dirigente no tenga que dimitir?
(b) Dibuja la gráfica de la función.
023 PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2006
Un inversor utiliza la siguiente función para reinvertir en Bolsa parte del capital que obtiene
mensualmente. R(x) representa la cantidad reinvertida cuando el capital obtenido es x (tanto la
cantidad como el capital en euros):
0
0 ≤ x < 600

400 + 56x
R(x) = 
40 +
x ≥ 600

1640 + 0.1x
(a) ¿Es la cantidad reinvertida una función continua del capital obtenido?
(b) ¿Decrece alguna vez la cantidad reinvertida al aumentar el capital obtenido? Por muy
grande que sea el capital obtenido ¿puede la cantidad reinvertida superar los 1000 euros?
(c) Dibuja la gráfica de la función.
024 PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2007
La profundidad de la capa de arena en una playa se verá afectada por la construcción de un
dique. En una zona de la playa, esa profundidad vendrá dada por la siguiente función (P es la
profundidad en metros y t el tiempo en años desde el inicio de la construcción). Si la
profundidad llegara a superar los 4 metros, se debería elevar la altura del paseo marítimo.
 2 + t2
0 ≤ t ≤1


P(t) =  2
 8t − t − 1
t >1
 2t 2
(a) ¿Es la profundidad una función continua del tiempo?
(b) ¿Disminuirá alguna vez la profundidad? Por mucho tiempo que pase? ¿será necesario
elevar la altura del paseo por causa de la profundidad de la capa de arena?
(c) Dibuja la gráfica de la función.
025 PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2007
La cantidad que ingresa mensualmente una empresa en una entidad bancaria depende del
saldo que presente su cuenta a fin de mes, y la calcula de acuerdo a la siguiente función. I(x)
es el ingreso cuando el saldo es x (ambas cantidades en miles de euros):
4 − 0.025x 0 ≤ x ≤ 60
I(x) =  750 + 3x
x > 60
 20 + 10x
(a) ¿Es la cantidad ingresada una función continua del saldo a fin de mes?
(b) ¿Decrece alguna vez la cantidad ingresada al aumentar el saldo a fin de mes? Aunque el
saldo a fin de mes crezca mucho, ¿ingresará alguna vez la empresa menos de 100 euros? ¿y
menos de 400?
(c) Dibuja la gráfica de la función.
026 PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2008
En la construcción de un túnel, el porcentaje de roca fragmentada o de mala calidad viene dado
por el siguiente modelo matemático. R(x) representa dicho porcentaje cuando la distancia a la
boca del túnel es x (en kilómetros). Si en algún tramo de la perforación el porcentaje supera el
40%, se deberán reforzar las medidas de sostenimiento y seguridad de la estructura.
x3
- 4.5x2 + 18x + 15
0≤x≤7
R(x) =
3
(a) Indica en qué tramos de la perforación el porcentaje crece y en cuáles decrece.
 Abel Martín
5
Aplicación de derivadas. Optimización con una variable
(b) Dibuja la gráfica de la función. ¿Será necesario reforzar las medidas mencionadas?
(c) Señala los máximos y mínimos (absolutos y relativos), así como los puntos de inflexión
de la curva. euros
027 PAU – Universidad de Oviedo – Septiembre 2008
Un pueblo está sumergido bajo las aguas de un embalse. Si el volumen de agua baja hasta
un nivel del 15%, es posible ver la torre de la iglesia. V(x) representa dicho nivel (en %) en los
últimos 4 meses y medio (x es el tiempo, en meses, desde el inicio de la medición):
V(x) = −x3 + 9x2 − 24x + 34
0 ≤ x ≤ 4.5
(a) Indica en qué intervalos de tiempo el volumen de agua crece y en cuáles decrece.
(b) Dibuja la gráfica de la función. ¿Llegó a verse la torre?
(c) Señala los máximos y mínimos (absolutos y relativos), así como los puntos de inflexión
de la curva.
28.– PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2009
La temperatura de una habitación entre las 17 horas y las 20 horas de cierto día queda
descrita bastante bien a partir de la siguiente función (T(x) representa la temperatura a las x
horas):
x3
x2
+ 2124
17 ≤ x ≤ 20
– 342x –
2
3
(a) Indica los intervalos de tiempo en que la temperatura subió y aquéllos en que bajó.
(b) Dibuja la función. ¿Cuándo se alcanzan la temperatura más alta y la más baja? ¿Cuánto
valen?
(c) ¿La función tiene algún máximo o mínimo relativo que no sea absoluto?
T(x) = 37
29.– PAU – Universidad de Oviedo – septiembre 2009
Entre 2000 y 5000 revoluciones por minuto, la potencia de un motor viene dada
aproximadamente por la siguiente función. P(x) es la potencia en caballos de vapor para x
miles de revoluciones por minuto:
P(x) = −12x3 + 90x2 − 144x + 84
2≤x≤5
(a) ¿Crece siempre la potencia cuando las revoluciones del motor aumentan?
(b) Dibuja la gráfica de la función. ¿A qué revoluciones se alcanza la mayor potencia?
(c) ¿Tiene la curva de potencia algún punto de inflexión?
30.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción A – junio 2010
La temperatura de un plato viene dada en función del tiempo que lleva elaborado a través de
la expresión (f(x) representa la temperatura en ºC a los x minutos):
 56 − 6 x si 0 ≤ x ≤ 5
30
f(x) = 
20 +
si
x>5

x
(a) Dibuja la gráfica de la función. ¿En qué instante de tiempo la temperatura del plato es
máxima?
(b) El plato debe ser recalentado si su temperatura baja de los 20 ºC. Por mucho tiempo que
pase desde su elaboración, ¿será necesario recalentar el plato?
31.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción A – junio 2010
Si f(x) representa el coste medio (en euros) por kg de alimento preparado en una
determinada empresa para una jornada en la que se han producido “x” kg de alimento, se tiene
que:
9
f(x) = 2 + x +
; x>0
x
(a) Dibuja la gráfica de la función. ¿Aumenta alguna vez el coste medio? ¿Cuál debe ser la
cantidad de producto que se debe preparar en una jornada para minimizar el coste medio por
kg de alimento?
(b) Será necesario un reajuste del proceso si no es posible conseguir un coste medio menor
de 10euros. ¿Se necesita reajustar el proceso?
6
... límites y continuidad
www.aulamatematica.com
32.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción A – septiembre 2010
La ganancia que produce una máquina que dura 9 años nos depende del tiempo que lleva
funcionando, a través de la siguiente expresión (f(x) representa la ganancia en euros a los x
años):
;
0≤x≤9
f(x) = 270x2 – 30x3
(a) La ganancia producida por la máquina, ¿crece siempre a medida que va pasando el
tiempo?
(b) Determina el tiempo en el que la máquina produce la mayor ganancia a la empresa.
¿Cuánto vale dicha ganancia?
33.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción B – Extraordinaria 2010
Un depósito de agua tiene un ciclo de llenado y vaciado que dura 120 minutos. Si f(x)
representa la altura del agua (en metros) si han transcurrido x minutos del ciclo, se tiene que:
 1
2
 360 (120 x − x ) si 0 ≤ x < 60
f(x) = 
1200

si 60 ≤ x ≤ 120
− 10
x

(a) ¿Es la altura una función continua del tiempo?
(b) ¿En qué momento del ciclo la altura del agua empieza a decrecer?
(c)* Haz un esbozo de la gráfica.
34.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción B – Ordinaria 2011
Un proveedor cobra el aceite según el volumen del pedido. Así, la función que relaciona el
importe del pedido con el volumen del mismo es (f(x) representa el importe, en euros, de un
pedido de x litros de aceite):
si 0 < x < 30
 3x
f(x) = 
30 ≤ x
2x + 30 si
(a) ¿Es el importe una función continua del volumen del pedido?
(b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y represéntala
gráficamente.
34.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción B – Ordinaria 2011
La velocidad de un coche de carreras viene dada por la siguiente expresión:
110 + 12 x + 6x 2 si 1 ≤ x ≤ 3

450
f(x) = 
350 −
si
x>3

x
donde x representa el tiempo, en segundos, y f(x) representa la velocidad del coche,
medida en Km/h.
(a) ¿Es la velocidad una función continua del tiempo?
(b) ¿Disminuye la velocidad del coche en algún instante? ¿Se podrían alcanzar los 350Km/h
de velocidad con este coche?
36.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción B – Extraordinaria 2011
Para un determinado modelo de coche la relación existente entre la velocidad a la que
circula y el consumo viene dada a través de la siguiente expresión (f(x) representa el consumo
en litros cada 100 Km a una velocidad de x Km/h):
x
90
f(x) = 2 +
+
, x > 10
90
x
(a) Dibuja la gráfica de la función. ¿Cuál es la velocidad óptima a la que se debe circular
para consumir la menor cantidad de combustible posible?
(b) ¿En algún instante el consumo aumenta al aumentar la velocidad? ¿Es posible conducir
con un consumo de 3 litros cada 100Km?
 Abel Martín
7
Aplicación de derivadas. Optimización con una variable
37.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción A – Extraordinaria 2011
Según un estudio sobre la evolución de las reservas de petróleo en el mundo, podemos
estimar la cantidad de petróleo disponible en los próximos años, en millones de toneladas,
mediante la función:
140
f(x) =
; x>0
x +1
donde x representa el tiempo transcurrido, en años, desde el momento actual.
(a) ¿Aumentará en algún momento la cantidad de petróleo disponible? Dibuja la gráfica de la
función.
(b) Calcula la reserva actual (x = 0) de petróleo y la prevista para dentro de 13 años.
38.– PAU – Universidad de Oviedo – Mayores de 25 años - Opción 1 - 2012
e 2x
x−2
(a) (1 punto) Defina el dominio de dicha función.
(b) (1.5 puntos) Estudie la continuidad de la función en los puntos x = 0 y x = 2.
(b) (1 punto) Calcule la derivada primera de la función en el punto x = 0.
Sea la función f(x) =
39.– PAU – Universidad de Oviedo – Mayores de 25 años - Opción 2 - 2012
Dadas las funciones f(x) = ln (x + 4) y g(x) = x2 + 3
(a) (1 punto) Defina el dominio de la función (f + g) (x)
(b) (1.25 puntos) Estudie la continuidad de la función (f + g) (x)
(c) (1.25 puntos) Calcule la derivada primera de f(x) en el punto x = 2
40.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción A – Ordinaria 2012
La energía que produce una placa solar viene descrita por la siguiente curva en función del
tiempo transcurrido desde que amanece (f(x) representa la energía producida a las x horas de
haber amanecido):
10 x − x 2

f(x) =  1024
 x 2
si
0≤x≤8
si 8 < x ≤ 12
(a) Estudia la continuidad de la función f en su dominio.
(b) ¿En qué momento del día la placa produce más energía? ¿Cuánto produce en ese
momento?
41.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción B – Ordinaria 2012
El tiempo que un empleado tarda en realizar una tarea varía durante los cuatro primeros
meses de contrato según su experiencia. Así, la función que relaciona el tiempo empleado en
realizar la tarea con la experiencia del operario es (f(x) representa el tiempo, en horas, que
tarda en realizar la tarea un empleado que lleva contratado con un tiempo x , medido en
meses):
 12 − x 2
si 0 < x ≤ 2
f(x) = 
2
( x − 4) + 4 si 2 < x ≤ 4
(a) Representa gráficamente la función f. ¿Es el tiempo necesario para realizar la tarea una
función continua del tiempo de experiencia?
(b) ¿En qué momento el tiempo necesario para realizar la tarea es mínimo? ¿Cuánto tiempo
le lleva finalizar la tarea en ese instante? ¿Consigue el empleado finalizar la tarea en menos de
3 horas en algún momento durante los primeros cuatro meses de contrato?
42.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción A – Extraordinaria 2012
Un dispositivo de 10 años de duración tiene una tasa de fallos que depende del tiempo que
lleve en funcionamiento a través de la expresión (f(x) representa la tasa de fallos en el instante
x, medido en años):
8
... límites y continuidad
www.aulamatematica.com
x3
+ 10x2 – 69x + 200
0 ≤ x ≤ 10
3
(a) Indica el intervalo de tiempo en el que la tasa de fallos crece y aquel en el que decrece.
(b) ¿Cuándo se alcanza la tasa de fallos más baja? ¿Cuánto vale?
(c)* Realiza un esbozo de la gráfica.
f(x) =
43.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción B – Extraordinaria 2012
Un modelo simplificado de la altura a la que se encuentra un proyectil conduce a la siguiente
expresión (f(x) representa la altura, en metros, a la que se encuentra el proyectil a los x
segundos de ser lanzado):
250
f(x) = 250 –
– 10x , 0 ≤ x ≤ 24
x +1
(a) Dibuja la gráfica de la función. ¿En qué instante el proyectil empieza a caer?
(b) ¿Podríamos derribar con él un objeto que vuela a 250 metros de altura?
44.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción B – JUNIO 2013
La temperatura de un horno viene descrita por la siguiente curva en función del tiempo que
lleva encendido (f(x) representa la temperatura en ºC a los x minutos):
900x + 200
f(x) =
; x>0
x + 10
(a) Representa gráficamente la función f. ¿Disminuye la temperatura del horno en algún
instante?
(b) Sabiendo que los materiales del horno se deterioran si este alcanza los 1000 ºC, ¿habría
que apagar el horno en algún momento para que no sufra daños?
45.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase ESPECÍFICA – OPCIÓN B – junio 2013
La temperatura (en ºC) de una pieza viene dada por la función
f(x) = 10
3x + 4
con x ≥ 0
2x + 5
donde x representa el tiempo en horas desde su fabricación .
(a) Representa gráficamente la función f. ¿Disminuye la temperatura de la pieza en algún
instante?
(b) ¿Cuál es la temperatura inicial a la que se fabrica la pieza? Sabiendo que la pieza se
deteriora si alcanza los 20 ºC, ¿hay riesgo de que la pieza se deteriore?
46.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase GENERAL – OPCIÓN A – JULIO 2013
Se lanza una pelota hacia arriba desde lo alto de una torre. La trayectoria que describe la
pelota viene dada por la siguiente expresión (f(x) representa la altura a la que se encuentra la
pelota, en metros, y x es el tiempo transcurrido, en segundos, desde su lanzamiento):
f(x) = 20x – 5x2 + 60, x ≥ 0
(a) Dibuja la gráfica de la función f. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en qué
momento lo hace?
(b) ¿Desde qué altura se lanza la pelota?, ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en caer al suelo?
47.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase ESPECÍFICA – OPCIÓN B – JULIO 2013
El rendimiento de un estudiante en un examen de una hora de duración viene dado por la
siguiente expresión (f(x) representa el rendimiento, en tanto por ciento, en el instante x, medido
en horas):
300 x(1 − x ) si 0 ≤ x ≤ 0.6
 180(1 − x ) si 0.6 < x ≤ 1
f(x) = 
(a) ¿Es el rendimiento una función continua del tiempo?
(b) ¿En qué momentos aumenta y en qué momentos disminuye el rendimiento? ¿Cuándo
obtiene el mayor rendimiento y cuál es ese rendimiento?
 Abel Martín
9