1esomapi_so_esu14

14
Cuerpos geométricos. Volúmenes
ACTIVIDADES INICIALES
14.I.
Identifica en la imagen cada una de las cuatro torres.
Ver fotografía en la actividad siguiente.
14.II. Señala los elementos geométricos que aparecen en el texto.
Planta triangular
y lados curvos
Torre Sacyr
Vallehermoso
Elipse
Torre Caja
Madrid
Torre
Cristal
Torre
Espacio
Arco
45 plantas
en 3 grupos
Planta
cuadrángular
14.III. Busca el significado del término skyline aplicado a una ciudad.
Se refiere a la silueta total o parcial de las estructuras y edificios más altos de una ciudad.
14.IV. Piensa cinco cosas de uso cotidiano que puedan considerarse cuerpos geométricos.
Respuesta abierta, por ejemplo:
•
•
•
•
•
Una lata de refresco suele tener forma cilíndrica.
Un envase de leche suele tener forma de prisma rectangular.
Un balón de baloncesto tiene forma esférica.
Los dados son cubos.
Los cucuruchos de los helados tienen forma de cono.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
14.1. Indica si los siguientes poliedros son convexos o cóncavos
a)
a)
18
b)
Cóncavo
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
b)
Convexo
14.2. Dibuja el desarrollo plano de:
a)
Un ortoedro
b)
a)
F
A
D
B
C
B
F
G
A
E
H
A
D
G
B
C
E
H
A
D
Un cubo
c)
Un tetraedro
C
D
b)
F
B
G
B
C
B
F
G
C
B
A
E
H
D
A
A
D
C
E
A
H
D
c)
B
D
A
D
C
A
B
B
C
A
14.3. ¿Cuántas aristas tiene un icosaedro?
30 aristas
14.4. ¿Qué condiciones debe cumplir un prisma triangular para ser regular? Dibújalo.
Para que un prisma triangular sea regular, su base tiene que ser un triángulo
equilátero, y sus caras, rectángulos.
14.5. Dibuja una pirámide que no sea regular y describe sus elementos.
Vértice
Cara
lateral
Altura
Base
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
19
14.6. El número de aristas de una pirámide es 12. ¿De qué pirámide se trata?
Se trata de una pirámide hexagonal: 6 aristas de la base y 6 aristas de las caras laterales, que
coinciden con el número de vértices de la base y, por tanto, con el número de aristas.
14.7. Actividad interactiva
14.8. La altura de un cilindro mide 12 centímetros, y el radio de su base, 4.
Dibuja el cilindro y su desarrollo plano.
4 cm
4 cm
12 cm
12 cm
14.9. La generatriz de un cono mide 13 centímetros, y el radio de su base, 5.
Dibuja el cono y su desarrollo plano.
13 cm
13 cm
5 cm
5 cm
14.10. Una cartulina tiene forma de rectángulo de dimensiones 10 por 14 centímetros.
a)
¿Cuántos cilindros distintos puede generar?
b)
Calcula las dimensiones de los desarrollos planos de los distintos cilindros.
a)
B
C
B
C
A
D
A
D
C
D
B
A
b)
C
D
20
B
D
C
B
C
A
B
A
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
A
B
14.11. Actividad resuelta
14.12. Señala cuál de las siguientes figuras planas engendra una esfera al girar sobre uno de
sus lados.
a)
a)
b)
b)
Genera una esfera si se hace girar la figura alrededor del lado horizontal o diámetro de la
semicircunferencia.
No genera una esfera, ya que le falta un sector circular para completar la
semicircunferencia.
14.13. El diámetro de una esfera mide 20 centímetros.
¿Cuánto mide el radio de la circunferencia máxima?
10 cm
14.14. Actividad interactiva
14.15. Actividad resuelta
14.16. Determina el volumen de este ortoedro cuyas medidas vienen dadas en centímetros.
2
6
1,5
V = 6 · 1,5 · 2 = 18 cm3
14.17. Calcula el volumen, en decímetros cúbicos, de los ortoedros cuyas medidas se indican.
a)
a = 4 dm
b = 2 dm
c = 7 dm
b)
a = 0,5 dm
b = 25 cm
c = 1 dm
c)
a = 0,07 m
b = 0,8 dm
c = 4,25 cm
d)
a=8m
b = 80 dm
c = 800 cm
a)
b)
c)
d)
3
V = 4 · 2 · 7 = 56 dm
V = 0,5 · 2,5 · 1 = 1,25 dm3
V = 0,7 · 0,8 · 0,425 = 0,238 dm3
V = 80 · 80 · 80 = 803 dm3 = 512 000 dm3
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
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14.18. Calcula el volumen de estos poliedros cuyas medidas vienen expresadas en centímetros.
a)
b)
5,88
2
9
4
9
4,04
a)
b)
p⋅a
29,4 ⋅ 4,04
⋅h =
⋅ 9 = 534,492 cm3
2
2
1
1 4⋅2
⋅ 9 = 12 = 12 cm3
V=
· Abase · h = ⋅
3 2
3
V = Abase · h =
14.19. La base de una pirámide es un cuadrado de 5 centímetros de lado, y la altura es el triple
del lado de la base.
Halla el volumen de la pirámide.
Altura de la pirámide: 3 · 5 = 15 cm
1
1
· Abase · h =
· 52 · 15 = 125 cm3
V=
3
3
14.20. La base de un prisma es un hexágono regular de 7 centímetros de lado y 6,06 de
apotema.
Halla el volumen del prisma sabiendo que su altura mide 10 centímetros
V = Abase · h =
p⋅a
42 ⋅ 6,06
⋅h =
⋅ 10 = 1272,6 cm3
2
2
14.21. Calcula el volumen de estos cilindros sabiendo que las medidas vienen dadas en
centímetros.
a)
b)
7
8
5
3
a)
V = Abase · h = π · r2 · h = π · 32 · 7 = 197,82 cm3
b)
V = Abase · h = π · r2 · h = π · 2,52 · 8 = 157 cm3
14.22. Calcula el volumen de estos conos cuyas medidas vienen dadas en centímetros.
a)
b)
12
2
10
5
a)
b)
22
1
1
· π · r2 · h = · π · 52 · 10 = 261,67 cm3
3
3
1
1
V=
· π · r2 · h = · π · 22 · 12 = 50,24 cm3
3
3
V=
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
EJERCICIOS
Poliedros
14.23. Calcula la suma de los ángulos de las caras que concurren en un vértice de los poliedros
regulares.
¿Qué observas?
Tetraedro: en un vértice concurren tres triángulos equiláteros, 60º + 60º + 60º = 180º.
Cubo: en un vértice concurren tres cuadrados, 90º + 90º + 90º = 270º.
Octaedro: en un vértice concurren cuatro triángulos equiláteros, 60º + 60º + 60º + 60º = 240º.
Dodecaedro: en un vértice concurren tres pentágonos regulares, 108º + 108º + 108º = 324º.
Icosaedro: en un vértice concurren cinco triángulos equiláteros, 60º + 60º + 60º + 60º + 60º = 300º.
14.24. ¿Un prisma cuya base es un rectángulo es regular? ¿Y una pirámide? Dibújalos.
Como el rectángulo no es un polígono regular, ni el prisma ni la pirámide serán poliedros
regulares.
14.25. ¿Cuántos vértices, aristas y caras tiene un icosaedro?
12 vértices, 30 aristas y 20 caras
14.26. Indica cuáles de los siguientes cuerpos geométricos son poliedros.
a)
c)
e)
b)
d)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Sí, es un icosaedro.
Sí, es un prisma cuadrangular oblicuo.
No, porque sus caras no son polígonos.
Sí, es una pirámide triangular.
No, porque alguna de sus caras no son polígonos.
Sí, es un poliedro cóncavo.
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
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14.27. Dibuja una pirámide cuya base sea un cuadrilátero.
14.28. Si una pirámide tiene 8 aristas, ¿qué polígono es su base?
Dibuja el desarrollo plano de la pirámide.
La base es un cuadrilátero.
14.29. Dibuja el desarrollo plano de un prisma regular hexagonal cuyas aristas miden 6
centímetros.
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
14.30. Si un prisma recto tiene 16 vértices, ¿qué polígono forma su base?
Un octógono, ocho vértices en la cara superior y ocho vértices en la cara inferior.
14.31. Una pirámide tiene 9 vértices, ¿qué polígono es su base?
Un octógono, 8 vértices correspondientes a la base y el noveno vértice correspondiente al
vértice de la pirámide.
14.32. El número de vértices de un prisma es 6. ¿Cuántas caras laterales tiene?
Dibuja su desarrollo plano.
Se trata de un prisma triangular, por lo que tiene tres caras laterales.
24
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
14.33. ¿Cuál de estos dos desarrollos planos daría lugar a un ortoedro?
a)
b)
El diseño b, al diseño a le falta una cara lateral.
14.34. ¿Existe alguna pirámide con 9 aristas? Razona la respuesta.
No. El número de aristas de una pirámide es la suma del número de aristas de la base más las
aristas que no están en ella, y ambos números coinciden, ya que el número de aristas que no
están en la base es igual al número de vértices de esta. Por tanto, el número de aristas de una
pirámide es siempre par.
14.35. Las aristas laterales y las de la base de la pirámide regular de la figura miden 10 y 6
centímetros, respectivamente.
Calcula la apotema de la pirámide.
6 cm
10 cm
Para calcular la apotema aplicamos el teorema de Pitágoras a una de las
6
caras laterales de la pirámide:
c2 = a2 + b2  102 = a2 + 32  a2 = 100 – 9  a = 91 = 9,54 cm
a
3
10
La apotema mide 9,54 cm.
Cuerpos redondos
14.36. Dibuja los cuerpos que se generan al girar las figuras planas sobre el eje indicado.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
25
14.37. La altura de un cilindro mide 10 centímetros, y el radio de sus bases, 4. ¿Cuáles son las
medidas del rectángulo de su desarrollo plano?
La altura del rectángulo coincide con la altura del cilindro: 10 cm.
La base del rectángulo debe ser igual al perímetro del círculo que tiene de base el cilindro:
2 · π · r = 2 · π · 4 = 8 · π = 25,13 cm
14.38. El radio de un cono mide 10 centímetros. ¿Cuánto mide el arco del sector circular
correspondiente a su desarrollo?
El arco tiene que coincidir con el perímetro del círculo de la base del cono:
2 · π · r = 2 · π · 10 = 20 · π = 62,83 cm
14.39. Los radios de dos esferas miden 6 y 8 centímetros, respectivamente. Si la distancia entre
sus centros es de 14 centímetros, ¿cuántos puntos tienen en común?
Como la distancia entre sus centros coincide con la suma de sus radios, 14 cm, las esferas son
tangentes, por lo que tienen un único punto en común.
14.40. El diámetro de una pelota de plástico mide 12 centímetros. ¿Cuánto mide la
circunferencia máxima?
La circunferencia máxima medirá: 2 · π · r = 2 · π · 6 = 12 · π = 37,7 cm.
14.V.
Volumen de prismas y pirámides
14.41. Calcula el volumen de las siguientes cajas.
3m
2 cm
2 cm
a)
4 cm
4m
V = 2 · 4 · 2 = 16 cm3
b)
1,5 m
V = 4 · 1,5 · 3 = 18 m3
14.42. Calcula el volumen de este prisma.
4 cm
2,75 cm
10 cm
 2,75 ⋅ 20 
3
V = Abase · h = 
 ⋅ 10 = 275 cm
2


26
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
14.43. Expresa en decímetros cúbicos el volumen de un cubo de arista 0,8 metros.
0,8 m = 8 dm
V = 83 = 512 dm3
14.44. Calcula el volumen de esta pirámide.
8 cm
3 cm
5 cm
V=
1
1
⋅ Abase · h = ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 8 = 40 cm3
3
3
14.45. Calcula el volumen de un prisma cuadrado sabiendo que el área de su base es de 49
centímetros cuadrados, y su altura mide el triple del lado de la base.
Lado de la base:
49 = 7 cm
Altura del prisma: h = 3 · 7 = 21 cm
V = Abase · h = 49 · 21 = 1029 cm3
14.46. Calcula el volumen de este prisma.
2,5 cm
2,5 cm
8 cm
 2,5 ⋅ 2,5 
3
V = Abase · h = 
 · 8 = 25 cm
2


14.47. La base de una pirámide regular es un pentágono de 5 centímetros de lado y 34,4
milímetros de apotema.
Halla la altura de la pirámide sabiendo que su volumen es de 344 centímetros cúbicos.
344
 3,44 ⋅ 5 ⋅ 5 
a⋅p
3
V = Abase · h = 
⋅ h = 344  h =
= 8 cm
⋅ h = 344 cm  


2
43


 2 
14.48. Las aristas de un ortoedro miden 20, 27 y 50 centímetros, respectivamente.
Halla la arista de un cubo que tenga el mismo volumen que el ortoedro.
El volumen del ortoedro es: V = 20 · 27 · 50 = 27 000 cm3.
La arista de un cubo con el mismo volumen será: a =
3
27 000 = 30 cm.
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
27
14.49. La superficie que ocupa el desarrollo plano de un cubo es de 384 centímetros
cuadrados.
a)
¿Cuánto mide la arista del cubo?
b)
Halla el volumen del cubo.
a)
Si nos fijamos en el desarrollo plano del cubo, la
superficie que ocupa es:
b)
a
a
A = a · 3a + 3a · a = 6a2 = 384  a2 = 64  a = 8 cm
V = a3 = 83 = 512 cm3
a
a
a
a
a
a
14.50. *Halla el volumen del siguiente cuerpo geométrico.
2 cm
5 cm
2 cm
2 cm
8 cm
Se divide en dos prismas cuadrangulares:
V = 8 · 2 · 2 + 2 · 2 · 3 = 32 + 12 = 44 cm2
Volumen de cilindros y conos
14.51. Calcula el volumen de estos cuerpos cuyas medidas se indican en las siguientes figuras.
5 cm
70 cm
2 cm
a)
V = π · r2 · h = π · 22 · 5 = 62,8 cm3
b)
V=
4 dm
1
1
· π · r2 · h = · π · 402 · 70 = 117 226,667 cm3
3
3
14.52. Calcula el volumen de los cilindros sabiendo que las medidas de la altura y el radio de la
base son las siguientes.
a)
28
h = 8 cm
2
r = 50 mm
2
b) h = 2,5 dm
3
a)
V = π · r · h = π · 5 · 8 = 628,32 cm
b)
V = π · r2 · h = π · 152 · 25 = 1767,15 cm3
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
r = 15 cm
14.53.
14.54.
Halla el volumen de los conos sabiendo que las medidas de la altura y el radio
de la base son las siguientes.
a)
h = 0,5 dm
r = 1 cm
b) h =
a)
V=
1
1
· π · r2 · h = · π · 12 · 5 = 5,24 cm3
3
3
b)
V=
1
1
2
· π · r2 · h = · π · 52 · ⋅ 5 = 52,36 cm3
3
3
5
2
r
5
r = 50 mm
Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 25 centímetros, y el
diámetro de su base, 18.
Para calcular la altura del cono aplicamos el teorema de Pitágoras:
h=
252 − 92 = 625 − 81 = 544 = 23,32 cm
1
1
V = · π · r2 · h = · π · 92 · 23,32 = 1977,069 cm3
3
3
14.55.
h
25 cm
9 cm
Halla el volumen del siguiente cuerpo geométrico.
6 cm
3 cm
12 cm
Descomponemos la figura en dos conos y un cilindro:
V=2·
1
2
· π · r2 · hcono + π · r2 · hcilindro = · π · 1,52 · 3 + π · 1,52 · 6 = 14,14 + 42,41 = 56,55 cm3
3
3
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
29
PROBLEMAS
14.56. La arista de un depósito cúbico mide 1,5 metros.
¿Con cuántos litros de agua se llenará?
V = a3 = 1,53 = 3,375 m3 = 3375 dm3 = 3375 L
El depósito se llena con 3375 litros.
14.57. Para construir parte de los cimientos de un edificio se ha tenido que hacer un cilindro de
6 metros de diámetro y 5 metros de profundidad.
¿Cuántos metros cúbicos de tierra se han tenido que extraer?
V = π · r2 · h = 3,14 · 32 · 5 = 141,3 m3
14.58. Calcula el volumen de este salón.
El volumen del salón es igual al de un ortoedro de 6 m de largo, 4 m de ancho y 3 m de alto,
menos el volumen de la esquina, que es otro ortoedro de 1 m de largo por 1 m de ancho y 3 m
de alto.
Vortoedro salón = 6 · 4 · 3 = 72 m3
Vesquina = 1 · 1 · 3 = 3 m3
Vsalón = 72 – 3 = 69 m3
14.59. Se han fabricado unos radiadores eléctricos para calentar recintos de entre 60 y 65
metros cúbicos.
¿Comprarías un radiador de este tipo para un salón que tiene 6 metros de largo, 3,8
metros de ancho y 2,8 metros de alto?
Vsalón = 6 · 3,8 · 2,8 = 63,84 m3
Como el volumen del salón está comprendido entre 60 y 65 m3, sí compraríamos el radiador.
14.60. Una torre tiene forma de pirámide hexagonal regular. El lado de la base mide 2 metros, y
la apotema, 1,72. La altura de la pirámide mide 6 metros.
Halla su volumen.
V =
30
1
1  p ⋅a 
1  12 ⋅ 1,72 
3
⋅ Abase ⋅ h = ⋅ 
⋅h = ⋅
 ⋅ 6 = 20,64 m
3
3  2 
3 
2

Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
14.61. En un recinto ferial se ha instalado una carpa, siendo la parte inferior cilíndrica, y la
superior, cónica. El diámetro de la parte cilíndrica mide 30 metros, y su altura, 10. La
altura de la parte cónica es de 8 metros.
¿Cuál es el volumen del circo?
Vcilindro = π · r2 · h = π · 152 · 10 = 7065 m3
Vcono =
1
1
· π · r2 · h = · π · 152 · 8 = 1884 m3
3
3
Vcirco = 7065 m3 + 1884 m3 = 8949 m3
14.62. El diámetro de la base de un vaso cilíndrico mide 4,5 centímetros, y la altura, 5.
Con el refresco de una botella de 1,5 litros, ¿cuántos vasos se pueden llenar?
Vvaso = π · r2 · h = π · 2,252 · 5 = 79,481 cm3
Vbotella = 1,5 L = 1,5 dm3 = 1500 cm3
1500 : 79,481 = 18,87
Se pueden llenar 18 vasos.
14.63. La altura de una torre cónica es
3
del diámetro, que mide 8 metros. Calcula el volumen
5
de la torre.
Altura de la torre:
V=
3
· 8 m = 4,8 m
5
1
1
· π · r2 · h = · π · 42 · 4,8 = 80,384 m3
3
3
14.64. Un bloque de madera de forma de ortoedro tiene 1 metro de largo, 1 metro de ancho y
medio metro de alto.
¿Cuál es el máximo número de bloques cúbicos de 1 decímetro de arista que se pueden
obtener serrando adecuadamente el bloque?
La arista del cubo cabe 10 veces en el largo del ortoedro.
La arista del cubo cabe 10 veces en el ancho del ortoedro.
La arista del cubo cabe 5 veces en el alto del ortoedro.
El número máximo de bloques cúbicos será: 10 · 10 · 5 = 500.
14.65. Un depósito tiene forma de prisma hexagonal regular. El lado de la base mide 1 metro, y
la altura del prisma, 2. Se echa agua a razón de 100 litros por minuto.
Calcula el tiempo que tarda en llenarse.
Para calcular la apotema, se aplica el teorema de Pitágoras:
a = 12 − 0,52 = 0,75 = 0,87 m
1 cm
p·a
6·0,87
·h =
·2 = 5,22 m3 = 5220 dm3 = 5220 L
2
2
5220 : 100 = 52,20 minutos = 52 min 12 s
V = Abase · h =
a
0,5 cm
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
31
14.66. Observa las medidas de la pieza y calcula el volumen del material del que está
construida.
Vtotal = 4 · 4 · 10 = 160 cm3
Vagujero = 2 · 2 · 10 = 40 cm3
Vpieza = 160 cm3 – 40 cm3 = 120 cm3
14.67. Observa las medidas del tubo y calcula el volumen del material del que está construido.
Vtotal = π · r2 · h = π · 62 · 100 = 11 309,73 cm3
Vhueco cilindro = π · r2 · h = π · 42 · 100 = 5026,55 cm3
Vtubo = 11 309,73 cm3 – 5026,55 cm3 = 6283,18 cm3
14.68. El área total de un cubo hueco es de 216 decímetros cuadrados.
¿Podrá contener este cubo un número exacto de ortoedros de base cuadrada de 2
centímetros de lado y 3 centímetros de altura?
Área de una cara: 216 : 6 = 36 dm2
Longitud de la arista:
36 = 6 dm = 60 cm
La arista del cubo es múltiplo de 2 y 3: a lo largo caben 30 ortoedros; a lo ancho 30, y a lo alto 20.
El cubo sí puede contener un número exacto de ortoedros: 30 · 30 · 20 = 18 000 ortoedros.
32
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
14.69. *La figura representa un cubo y su desarrollo.
Señala sobre el desarrollo los vértices que faltan por nombrar, y sobre el cubo, el
trayecto OQRGS que ha seguido una hormiga al caminar sobre su superficie.
A
A
B
C
D
B
P
D
Q
C
S
E
F
H
H
R
G
G
E
F
A
A
P
B
P
D
Q C
D
C
B
A
D
E
H
S
F
H
R
Q
S
E
H
B
R
G
F
G
E
F
14.70. Paco y su vecino han colocado en sus tierras recipientes como los que aparecen en la
figura, para medir el agua que cae cuando llueve.
Calcula la altura alcanzada por el agua en cada recipiente tras una tormenta en la que
cayeron 15 litros por metro cuadrado.
6 cm
10 cm
8 cm
Cilindro: habrá recogido
100 ⋅ π ⋅ 15
= 0,15π litros = 150 π cm3
10000
V = Abase ⋅ h = π ⋅ r 2 ⋅ h = π ⋅ 100 ⋅ h = 150π  h =
Prisma: habrá recogido
150π
= 1,5 cm
100π
6 ⋅ 8 ⋅ 15
= 0,072 litros = 72 cm3
10 000
V = Abase ⋅ h = 8 ⋅ 6 ⋅ h = 72  h =
72
= 1,5 cm
48
La forma de la base es indiferente y en los dos recipientes la altura alcanzada será de 15 mm.
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
33
AMPLIACIÓN
14.71. Pintamos de rojo una caja de madera cuyas aristas miden 4, 3 y 2 decímetros, y luego la
cortamos en cubos de 1 decímetro de arista.
¿Cuántos de estos cubitos tienen exactamente una sola cara pintada de rojo?
a)
0
b)
4
c)
8
d)
12
Los dos centrales de las caras 4 x 3. En total, 4.
14.72. ¿Cuál es el volumen, en centímetros cúbicos, del mayor cilindro que cabe en un cubo de
10 centímetros de arista?
a)
25π
2
b)
100π
2
3
c)
250π
d)
500π
3
V = πR h = π · 5 ·10 = 250π cm = 785 cm
14.73. Las dimensiones de una caja rectangular son r, s y t centímetros, con r < s < t. Si
aumentamos en 1 centímetro solamente una de las tres dimensiones, entonces el
volumen:
a)
Aumenta más cuando la dimensión que aumenta es r.
b)
Aumenta más cuando la dimensión que aumenta es s.
c)
Aumenta más cuando la dimensión que aumenta es t.
d)
Aumenta igual sea cual fuere la dimensión que aumente.
El aumento del volumen en cada caso es:
(r + 1) · s · t – r · s · t = s · t  r · (s + 1) · t – r · s · t = r · t  r · s · (t + 1) – r · s · t = r · s
Luego el mayor aumento se obtiene al aumentar r.
14.74. En la figura que ves, todos los escalones tienen igual altura que anchura. ¿Cuál es su
volumen?
a)
200 cm3
b)
120 cm3
c)
21 cm3
d)
80 cm3
8 cm
5 cm
8 cm
La cara lateral tiene una superficie de 2 · 8 + 2 · 6 + 2 · 4 + 2 · 2 = 40 cm2.
El volumen es de 40 · 5 = 200 cm3.
14.75. La arista mayor de una caja rectangular mide 10 cm, y la menor, 6 cm. De los siguientes
números, ¿cuál podría representar el volumen, en cm3, de la caja?
a)
60
b)
120
c)
300
3
d)
480
El volumen máximo podría ser de 10 · 10 · 6 = 600 cm , y el menor, de 10 · 6 · 6 = 360 cm3, por
lo que la respuesta es 480 cm3.
34
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
AUTOEVALUACIÓN
14.A1. Indica qué tipo de cuerpo geométrico representa cada una de las siguientes figuras.
a)
a)
b)
b)
c)
Cilindro
Ortoedro
c)
d)
d)
e)
Cono
Semiesfera
e)
f)
f)
Casquete esférico
Pirámide pentagonal
14.A2. Calcula el volumen de los siguientes poliedros.
6 cm
4,5 cm
7 cm
8 cm
4,1 cm
6 cm
a)
V = Abase · h =
4,5 ⋅ 6
· 8 = 108 cm3
2
b)
V=
1
1 30 ⋅ 4,1
· 7 = 143,5 cm3
⋅ Abase · h = ⋅
3
3
2
14.A3. Determina el volumen de un cono de 1,2 decímetros de diámetro y cuya altura mide los
3
del diámetro.
4
d = 1,2 dm = 12 cm  r = 6 cm;
h=
3
· 12 cm = 9 cm
4
V=
1
1
· π · r2 · h =
· 3,14 · 62 · 9 = 339,12 cm3
3
3
14.A4. Un gran depósito de agua de forma cilíndrica de 10 metros de diámetro y 8 metros de
altura abastece a otros depósitos más pequeños de forma cúbica y 1,5 metros de arista.
¿A cuántos depósitos puede abastecer hasta llenarlos de agua?
Vcilindro = π · r2 · h = 3,14 · 52 · 8 m3 = 628 m3
Vcubo = a3 = 1,5 m3 = 3,375 m3
628 : 3,375 = 186 depósitos
14.A5. ¿Cuántos paquetes se pueden colocar en
la caja del dibujo?
Vcaja = B · h = 36 · 24 · 30 = 25 920 cm3
Vpaquete = B · h = 9 · 6 · 5 = 270 cm3
El número de paquetes que caben en la caja son: 25 920 : 270 = 96.
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
35
PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS
Observa y realiza > Las torres KIO en papel
14.1. ¿Qué forma tiene cada una de las torres KIO?
Prisma cuadrangular oblicuo.
14.2. ¿Por qué crees que no todos los ascensores de las torres suben hasta la última planta?
Porque no todas las verticales miden lo mismo.
14.3. El siguiente desarrollo plano se corresponde con el del cuerpo geométrico que tiene la
misma forma que las torres KIO. Fíjate dónde se marca la inclinación de la torre.
15º
15º
15º
15º
Realiza una maqueta de las torres KIO a escala, de tal manera que la base tenga 3,5
centímetros de lado.
Actividad manual
14.4. ¿Cuál es su volumen?
V = 352 · 114 = 139 650 m3
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Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
Aprende a pensar > Arquitectura y geometría
Las siguientes imágenes pertenecen a diversas construcciones arquitectónicas, algunas
grandiosas y otras cotidianas. Si las observas detalladamente, podrás descubrir y apreciar la
belleza de la geometría.
Pirámide
de
Kukulcán,
Chichén Itzá (México).
en
Partenón, Acrópolis de Atenas
(Grecia).
El hotel Burj Al Arab, en Dubai.
14.1. Enumera al menos 5 elementos geométricos que aprecias en las construcciones.
La pirámide de Kukulcán tiene forma de pirámide cuadrangular truncada, con un prisma
cuadrangular en su parte superior.
En el Partenón se observan las columnas cilíndricas, y el frontón con forma de prisma
triangular.
La planta del hotel Burj Al Arab es un triángulo a partir del cual se desarrolla una pirámide
oblicua que tiene dos de sus aristas curvas.
14.2. ¿Cuáles te parecen más bonitas? ¿Por qué?
Respuesta abierta
14.3. Hay arquitectos que consideran que el objetivo de su trabajo es crear edificios que
faciliten la vida a las personas, que resulten prácticos, funcionales. Otros arquitectos, en
cambio, consideran que lo importante es crear edificios que tengan elementos estéticos
diferenciales que resulten bellos y singulares. En tu opinión, ¿para qué debe servir el
trabajo de un arquitecto? Opina sobre ello en http://matematicas20.aprenderapensar.net/.
Respuesta abierta
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
37
Compara y decide > Eligiendo envases
Habrás observado que las bebidas se comercializan generalmente en botellas, latas o tetra
briks.
Una empresa de bebidas desea lanzar al mercado un refresco en envases de 35 centilitros.
Para ello se plantea dos posibilidades:
–
Latas de 7 centímetros de diámetro de la base.
–
Tetra briks de 6,5 × 4 centímetros de base.
14.1. ¿Qué forma geométrica tiene cada envase?
Cilindro y ortoedro
14.2. ¿Cuál debe ser la altura de cada envase?
35 cl = 350 cm3
Lata: h =
350
 9,1 cm
π ⋅ 3,52
Tetra brik: h =
350
 13,5 cm
6,5 ⋅ 4
14.3. ¿Cuánto material se necesita en cada caso para construir el envase?
SL = 2 · π · r · h + 2 · π · r2 = 2 · π · r · (r + h) = 2 · π · 3,5 · (9 + 3,5) = 274,75 cm2
SB  2 · (6,5 · 4 + 6,5 · 13,5 + 4 · 13,5) = 335,5 cm2
14.4. ¿Cuál de los dos envases es más económico desde el punto de vista del material
empleado?
La lata
El volumen que ocupa cada lote es importante a la hora del transporte, ya que si ocupan
menos espacio, cabrán más en un camión.
14.5. ¿Qué volumen ocupa en cada caso un lote de seis envases?
Suponiendo que el lote de seis envases es en la forma habitual del mercado, formando un
ortoedro, tendremos:
Lote de 6 latas: 14 · 21 · 9,1 = 2675,4 cm3
Lote de 6 tetra briks: (6,5 · 3) · (4 · 2) · 13,5 = 2106 cm3
Aunque el contenido es el mismo, al agruparlas en lote, las latas dejan espacio entre ellas.
14.6. ¿Cuál de los dos envases es más económico desde el punto de vista del transporte?
El tetra brik, porque los lotes de tetra briks ocupan menos espacio.
14.7. Calcula las dimensiones de un tetra brik cúbico que ocupe el mismo volumen. ¿Qué
superficie de material se necesita? ¿Por qué crees que no se construyen tetra briks
cúbicos si necesitan menos material?
Haciendo la raíz cúbica de 350 se obtiene aproximadamente 7,05 cm, que sería la arista del
tetra brik cúbico. La superficie es aproximadamente de 298 cm2 (6 · 7,052).
No se construyen por cuestión de marketing y estética.
38
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
Modeliza y construye > Golpea el esférico
14.1. Construye un icosaedro truncado.
Actividad manual
14.2. Existen otros modelos de balones de fútbol. Busca información y compártela con tus
compañeros.
Un modelo más perfeccionado de balón es el que se puede formar a partir del
rombicosidodecaedro. Es un sólido de Arquímedes, que sin inflar puede llenar hasta el
93,32% de una esfera. Está formado por 12 pentágonos, 30 cuadrados y 20 triángulos; 60
vértices y 120 aristas; 62 caras en total.
Unidad 14 | Cuerpos geométricos. Volúmenes
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Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM
Autoría: M.ª Ángeles Anaya, Isabel de los Santos, José Luis González, Carlos Ramón Laca, M.ª Paz Bujanda,
Serafín Mansilla
Edición: Rafaela Arévalo, Eva Béjar
Corrección: Ricardo Ramírez
Ilustración: Félix Anaya, Modesto Arregui, Juan Francisco Cobos, Félix Moreno, José Santos, Estudio “Haciendo el león”
Fotografía: Andrés Hernández Zuazo; Mickael David/PHOTODISC; PRISMA; AGE FOTOSTOCK
Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano
Maquetación: SAFEKAT S. L.
Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez
Coordinación editorial: Josefina Arévalo
Dirección del proyecto: Aída Moya
(*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados de ejercicios han sido marcados porque contienen alguna corrección
en su enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno.
Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser
realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de
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