Definición.- La Electrostática es la ... ELECTROSTÁTICA Introducción.

ELECTROSTÁTICA
Introducción.
Definición.- La Electrostática es la parte del Electromagnetismo, que describe, analiza y cuantifica los
fenómenos físicos relacionados con las micropartículas electrones y protones en reposo.
A través del tiempo se ha encontrado que “todos” los materiales tienen este tipo de micropartículas;
experimentalmente se observa que un material (objeto de plástico) al ser frotado (tallado ver figura siguiente)
con algún lienzo, en dicho material se genera una propiedad física que inicialmente no tenía.
La barra de plástico después de ser frotada se acerca
a un pequeño pedazo de papel (5 mm 2) y la barra lo
atrae cosa que inicialmente no la hacía.
El mismo experimento se repite con una barra de
vidrio y se frota con un paño de algodón con poliéster
y adquiere una propiedad física
Como un tercer experimento se colocan ambas
barras de plástico y vidrio en péndulos electrostáticos
cerca una de la otra y se observa una atracción entre
ambas barras; como conclusión de esta observación
en cada barra se generó una propiedad física que
generó una fuerza de atracción mutua.
Como un cuarto experimento, se frotan dos barras del
mismo material y con el mismo lienzo y con ellas se
hace el tercer experimento y se observa una fuerza
de repulsión entre las barras participantes.
Una conclusión de estas observaciones es que en
cada barra se generó una propiedad física diferente; aclarando que macroscópicamente no se observa nada en
los materiales participantes ( disminución o aumento de tamaño); sin embargo microscópicamente existe una
pérdida o una ganancia de micropartículas, que por definición se les llamó electrones que son parte de los
átomos que todos los materiales tienen, de tal forma que cuando una barra de plástico es frotada pierde
electrones y queda con exceso de otras micropartículas llamadas protones.
En el caso de los cristales estos quedan con exceso de electrones generándose dos barras con ganancia o
pérdida de electrones, que por definición se concluyó que los materiales con exceso de protones se dice que
están cargados positivamente (+) y los objetos con exceso de electrones se dice que están cargados
negativamente (-).
Se ha encontrado que la masa de un electrón es 9.11x10 -31kg y la de un protón es de1.6x10-27kg ; con estas
masas es saludable cuestionar el tamaño de dichas micropartículas; asimismo las unidades de carga se han
definido como Coulombs; tales que para un protón se le asigno 1.6x10 -19C y para el caso de un electrón una
carga negativa de -1.6x10-19C.
Por el tamaño de estas micropartículas algún objeto con electrones o protones se considera como una carga
puntual; tales que de acuerdo a las observaciones experimentales se concluye:
a)
b)
Cargas puntuales del mismo signo repelen
Cargas puntuales de signo contrario se atraen.
Ley de Coulomb
Suponga que en el espacio de tres dimensiones se tienen dos cargas puntuales y
se observan desde un sistema de referencia como se muestra en la figura LC-1
(figura adjunta ); aclarando que q1 representa a la carga puntual número uno, q2 a
la carga puntual número dos o es un sistema de referencia inercial,
de posición que da la posición de la carga puntual uno,
r2
r1
F12
q2•
el vector
vector que indica la
q1
°
r2
posición de la carga puntual dos, F12 la fuerza que ejerce la carga puntual uno
r1
0
sobre la carga puntual dos; considerando que las dos cargas puntuales son del mismo signo y que el
observador mira la carga puntual q2
Como todas las cantidades vectoriales tienen magnitud y dirección y si además F 12 es la magnitud de F12 y û
indica la dirección de dicha fuerza, entonces:
F12= F12 û
LC-1
û
Recuerde que el vector unitario
uˆ 
se encuentra con los vectores de posición:
r2  r1
r2  r1
r1
y
r2 ; tales que:
LC-2
Cálculo de F12
Experimentalmente se observa que sí alguna de las dos cargas puntuales no está presente, la otra carga
puntual no experimenta fuerza alguna, además cuando se aumenta la carga en cualquiera de ellas aumenta la
magnitud de la fuerza; por lo que:
1.- F12 es directamente proporcional al producto de las cargas q1 y q2
2.- Sí se aumenta la distancia
r2  r1
que las separa, disminuye la magnitud de la fuerza F12 .
3.- Se encuentra experimentalmente que el comportamiento gráfico de F 12 con la distancia que las separa es
como se muestra el la figura LC-2.
F12
Matemáticamente la función que mejor se adapta a la grafica aquí
mostrada es que:
F12 es inversamente proporcional a
Ko
r2  r1
n
con n un número real;
con estas conclusiones experimentales se concluye que la magnitud de
la fuerza F12 es:
F12 = K
q1q 2
r2  r1
r
o
Fig. LC-2
LC-3
n
Aclarando que K es una constante de proporcionalidad y se encuentra experimentalmente que K =
 0  8.85x10-12C2/(N-m2); asimismo se encuentra que n≈2. K = 8.99x109
1
4 0
y
N  m2
C2
Haciendo las sustituciones correspondientes en LC – 1 se obtiene:
F12 = K
q1q 2
r2  r1
n
(r2  r1 )
r2  r1
=
q1q2 (r2  r1 )
4 0 r2  r1
LC-4
3
Comentario a esta igualdad así formulada se le conoce como Ley de Coulomb para dos Cargas puntuales;
remarcando que la magnitud de dicha fuerza se determina con la igualdad LC-3 pero con n=2.
CASO DE TRES CARGAS PUNTUALES.
Suponga que en algún lugar del espacio se tienen tres cargas
puntuales como se muestra en la figura adjunta.
Remarcando que la carga puntual observada es la q3, en estas
condiciones las cargas puntuales q1 y q2 generan las fuerzas
coulombianas: F13 y F23 ; quedando la fuerza resultante como:
q2
q1
q3
𝑟2
⃗⃗⃗
𝑟1
⃗⃗⃗
𝑟3
⃗⃗⃗
0
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹13
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹23
F3 = F13 + F23
⃗⃗⃗
𝐹3
LC-5
Aplicando el resultad de LC-4 en LC -5 se tiene:
F3 = K
q1q3 (r3  r1 )
r3  r1
+K
3
q2 q3 (r3  r2 )
r3  r2
3
LC-6
Note que en esta igualdad así formulada, como la constante K y la carga q3 aparecen en ambos términos; de tal
forma que la expresión inmediata anterior se puede representar como:
(r3  r1 )
F3 = Kq3(q1
r3  r1
+ q2
3
(r3  r2 )
r3  r2
3
)
LC-7
Observe que la carga puntual en la que se determina la fuerza generada por las otras cargas puntuales es un
factor común así como la constante K y los términos restantes solamente cambian en el segundo subíndice de
acuerdo a la carga puntual participante; por lo que este resultado se puede representar para el caso de N
cargas puntuales como:
N
Fi = Kqi

q j (ri  rj )
ri  rj
j 1
3
, ( con j≠i)
LC-8
Comentario a esta igualdad así formulada se le conoce con el nombre de Ley de Coulomb para N cargas
puntuales.
Cabe aclarar que i =1,2,3,…,N. Esto indica que la fuerza se puede determinar en cualesquiera de las N cargas
puntuales.
Ejemplo 1.- Se colocan cuatro cargas puntuales en los vértices de un cuadrado de lado 0.1m; tales que:
q1 = 3μC, q2 = -4μC, q3 = 3μC y q4 = 4μC. Determinar la fuerza Coulombiana sobre la carga puntual de -4μC y
posteriormente determinar la magnitud de dicha fuerza. ( la colocación de las cargas es libertad del estudiante )
RESPUESTA: Considere la figura adjunta tales que “a” representa el lado del cuadrado, o sea que a=0.1m.
Note que la carga puntual en la que se determina la fuerza es q 2 y que tiene por coordenadas (a,a) y su vector
r2 = a iˆ +a ĵ ; tomando en consideración la figura y como q1
está el origen del sistema de coordenadas entonces r1 =0 iˆ +0 ĵ , de forma
de posición s
y
q4
semejante:
r3  aiˆ  0 ˆj
&
q2
r4  0iˆ  ajˆ
r2
Aplicando LC-8 se tiene: con N=4.
4
F2 = Kq2

q j (r2  rj )
r2  rj
j 1
3
, con j≠2; desarrollando esta sumatoria se tiene:
 q (r  r ) q (r  r ) q (r  r ) 
 1 2 31  3 2 33  4 2 34 
r2  r3
r2  r4 
 r2  r1
F2 = Kq2
o q1
q3
(1)
Pero:
r2  r1 = a iˆ +a ĵ -0 iˆ  0 ˆj
= a iˆ  ajˆ
 r2  r1  a 2  a 2  a 2
r2  r3  aiˆ  ajˆ  aiˆ  0 ˆj  0iˆ  ajˆ  r2  r3  02  a 2  a
r2  r4  aiˆ  ajˆ  oiˆ  ajˆ  aiˆ  0 ˆj  r2  r4  a
Sustituyendo estas expresiones en la igualdad (1) se tiene:
 q1 (aiˆ  ajˆ)
F2=Kq2 
3
3/ 2


q3 (ajˆ) q4 (aiˆ) 
a  q1 (iˆ  ˆj ) q3 ˆj


 q4iˆ  =
 =Kq2 3 
3
3
3/ 2
a
a 
a  (2)

 a (2)
Kq2  q1
q

( 3/ 2  q4 )iˆ  ( 3/12  q3 ) ˆj 
2 
a  2
2

(2)
x
El resultado final se tiene haciendo las sustituciones correspondientes; quedando:
F2 =

8.9 x109 (4 x106 )  3x106
3x106
6 ˆ
(

4
x
10
)
i

(
 3x106 ) ˆj  =-18.02 iˆ 14.45 ˆj .

2
3/ 2
3/ 2
(.1)
2
 2

Note que la magnitud de dicha fuerza es solamente la magnitud de F2; quedando:
F2 =
(18.02) 2  (14.45) 2
N =24.36N.
No siempre los problemas electrostáticos son con cantidades vectoriales, analizar el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.-Dos esferas idénticas que tienen cargas de signo opuesto, se atraen entre sí con una fuerza de
magnitud 0.108N cuando su separación es de 50.0cm. Las esferas se conectan súbitamente con un alambre
conductor delgado que luego se retira; suponga que en este proceso se conserva la carga total en las esferas;
considerando que la magnitud de la fuerza de repulsión es de 0.036N. Hallar las cargas iniciales de las esferas.
RESPUESTA:
Por hipótesis la fuerza en las cargas es de atracción entonces las cargas son de signo contrario; obteniéndose
por la ley de Coulomb:
q1q2
4o r 2
= 0.108

q1q2 = 4or2(0.108); que sustituyendo los datos correspondientes se tiene:
q1q2 = (1.201x10-11)(.5)2 = 3.0027x10-12 C2
(1)
Después del proceso indicado en el problema como las esferas son idénticas y la fuerza es de repulsión,
entonces la carga final en cada esfera es la misma y como la distancia se mantiene constante, de tal forma que
q1f = q2f
(q1f)2 =4or2(0.036) = 1.000911𝑥10−12C2 
q1f =√1.000911𝑥10−12 C =1.0004x10-6C.
Cabe aclarar que esta es la carga final en cada una de las esferas; siendo la carga total final igual 2(1.0004x106)C =2. 0008x10-6C y como las cargas iníciales son de diferente signo, entonces una debe ser mayor que la otra;
por lo que:
q1 - q2 = 2.0008x10-6C  q1 = 2.0008x10-6C +q2
(2)
Note que las expresiones (1) & (2) constituyen un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por lo que
sustituyendo (2) en (1) se tiene
q2(2.0008x10-6C +q2) = 3.007x10-12C2, ecuación que se puede representar como:
(q2)2+2.0008x10-6q2- 3.0027x10-12 = 0
Resolviendo esta ecuación cuadrática se tiene
(3)
q2 = 1.0009x10-6C y de la ecuación (2) se tiene q1 = 3.0017x10-6C
Ejemplo.3.- Dos pequeñas esferas idénticas de masa m y carga q se cuelgan
de hilos de nylon de masa despreciable y longitud L , como se muestra en la
figura adjunta; suponiendo que el ángulo θ es tan pequeño tales que: Tanθ
≈Senθ y que el sistema así formado está en equilibrio(reposo), demostrar
que:
θ θ
L
X=
q,m •
•
(
q 2 L 1/ 3
)
2 0 mg
RESPUESTA: Como el sistema así formado por las dos esferas está en
equilibrio, entonces en cada una de las esferas por la segunda ley de Newton
la suma de fuerzas externas es ⃗0 y colocando el sistema de referencia en la
esfera derecha como se muestra en la figura adjunta; con T la tención en la
cuerda mg la fuerza que genera el campo gravitacional terrestre y Fe la fuerza electrostática producida por la
carga q de cada esfera; quedando:
x
y
T
θ
T + mg + Fe = 0
(1)
De la figura y del álgebra de los vectores se tiene:
T = -(TSenθ) iˆ +(TCosθ)
ĵ
ĵ
; mg = -mg
& Fe = Fe iˆ =
q
2
4 0 x 2
•
iˆ ; remarcando
Fe x
mg
que x es la distancia que separa las cargas, haciendo las sustituciones
correspondientes en (1) se tiene:
-(TSenθ) iˆ +(TCosθ)
ĵ
-mg
ĵ
+
q2
4 0 x 2
iˆ
= 0 iˆ  0 ˆj
(2)
Aplicando la propiedad asociativa del álgebra de los vectores se tiene:
 q2

 Tsen  iˆ + TCos  mg  ˆj

2
 4 0 x

= 0 iˆ  0 ˆj , que aplicando la definición de igualdad de vectores
queda:
q2
mgSen

mgTan

=
(3)
Cos
4 0 x2
4 0 x2
x/2
x

Por hipótesis el ángulo θ es muy pequeño entonces Tanθ ≈ Senθ =
, que sustituyendo en (3)
L
2L
q2
TSenθ =
& TCosθ = mg
T=
mg
Cos
, quedando:
se tiene:
mgx
2L
=
q2
; despejando a x de esta igualdad se obtiene:
4 0 x2
1/ 3
X=
 Lq 2 


 2 0 mg 
Ejemplo.4.-Dos cargas positivas con carga Q cada una, se mantienen fijas con “d” la distancia que las separa.
Una tercera carga -q y masa m se sitúa en el centro entre ellas y luego tras un pequeño desplazamiento
perpendicular a la línea que las une se deja en libertad. Demuestre que la partícula de carga -q describe un
  m 3 d 3 
movimiento armónico simple con periodo  o

 qQ 
1/ 2
RESPUESTA:
Las cargas puntuales pueden estar colocadas
como se muestra en la figura adjunta y por
-q
las propias características del problema la
magnitud de F1 es igual a la magnitud de F2.
F1
F2

Además note que la suma de las
Q
Q
componentes horizontales de la fuerza
d
resultante se hace cero y que la magnitud de
la fuerza resultante es 2F1 Senθ. Por otro
lado el desplazamiento de la carga negativa es vertical por lo que de acuerdo a la segunda ley de Newton, la
magnitud de la fuerza que actúa sobre la carga negativa es: m
d2y
dt 2
; con m la masa de la carga (-q), por lo
que:
m
d2y
dt 2
= -2F1 Senθ
De la ley de Coulomb se sabe que F1 =
(1)
Qq
4 o r 2
con r la distancia que hay entre las cargas Q & -q
En el caso del Senθ de la figura inmediata anterior se tiene Senθ = y/r, que sustituyendo en la ecuación (1) se
tiene:
m
d2y
dt 2
= -2(
y
Qq
)
2
4 o r r
=-
Qqy
2 o r 3
(2)
Por hipótesis del problema el desplazamiento vertical es muy pequeño, de tal forma que r 
d
2
, que
sustituyendo en (2) se tiene:
d2y
m
dt 2
d2y
+
dt 2
4Qqy
Qqy
=d
 o d 3
2 o ( ) 3
2
 4Qq 
y =0

3 
  o md 
=-
, ecuación que se puede indicar como:
(3)
En esta ecuación así formulada el contenido de los paréntesis rectangulares es constante por lo que se ω2 =
 4Qq 

3
  o m d 
y como ω = 2πf =
2
T
; siendo T el periodo de oscilación de la partícula considerada, de tal forma
que:
T=
2
 4Qq 

3
  o m d 
1/ 2
= 2π
 o m d 3
4Qq
=
 3 o d 3 m
Qq
Ejemplo.5.-Dos cargas puntuales positivas e iguales se mantienen separadas por una distancia fija 2a. Una
carga puntual de prueba qp se localiza en un plano que es perpendicular a la línea que une las cargas y que
contiene al punto medio de la misma. Determine el radio r de la circunferencia en el plano para lo cual la
magnitud de la fuerza ejercida sobre la carga de prueba es máxima.
RESPUESTA:
Suponga la figura adjunta:
Por comodidad de cálculo el sistema de referencia se coloca en el
centro de la circunferencia de radio r y considerando que la carga q 1
es la que está sobre el eje z positivo y q 2 la carga que está sobre el
eje z negativo; por lo que aplicando la ley de Coulomb para dos
cargas puntuales se tiene:
F(rp)
er
qp
q
z
q p  q (rp  r1) ) q (rp  r2 ) 



r  r 3 
4o  r  r 3
p
2
 p 1

=
y
0
r
x
q
(1)
Note que: rp = r e r , r1 = a k & r2 = -a k ; así mismo es recomendable aclarar que qp representa a la carga de
prueba colocada sobre al circunferencia de radio r; luego con las anotaciones indicadas y del álgebra de los
vectores se obtiene:
rp-r1 = r e r -a k
rp-r2 = r e r + a k
 rp  r1
 
 rp  r2
=
=
 3
r 2  a 2  rp  r1  (r 2  a 2 ) 3 / 2
3

r 2  a 2  rp  r2 = (r2+a2)3/2
(2)
(3)
De estos cálculos así desarrollados observe que los denominadores en la ecuación (1) son iguales, por lo que
sustituyendo (2 ) & (3) en (1) y factorizando la carga q se obtiene:
F(rp) =
qp
q
2
4o ( r  a 2 )3/ 2
( r e r -a k + r e r + a k ) =
(4)
Observe que la dirección de la fuerza resultante es en
F(r) =
qp
q
2
4o ( r  a 2 )3/ 2
2r e r =
q p qr
2o ( r 2  a 2 )3/ 2
er
er ; quedando la magnitud de dicha fuerza como:
q p qr
(5)
20 (r 2  a 2 )3 / 2
Observe que este resultado es consistente físicamente, ya que cundo r es igual a cero la carga de prueba está
justamente a la mitad de la distancia entre las cargas y como la carga qp es positiva. Además note que la
función indicada en (5), solamente tiene un máximo por lo que la primera derivada de dicha función valuada en
ese punto debe ser cero; o sea que:

dF(rp )
dr
:=
qq p r
d
(
) =0
dt 2o ( r 2  a 2 )3/ 2
(6)
Desarrollando la derivación correspondiente se obtiene:
qq p r
qq p d
qq p
d
r
1
3r 2
(
)=
[
(
)=
dt 2o ( r 2  a 2 )3/ 2 2o dt ( r 2  a 2 )3/ 2 2o ( r 2  a 2 )3/ 2 ( r 2  a 2 )5/ 2
]
De la expresión (6) esta derivada debe ser igual a cero, quedando:
r2+a2-3r2 = 0
r=
a
2
FUERZAS COULOMBIANAS PRODUCIDAS POR OBJETOS CARGADOS
En el mundo real lo que se tiene son objetos con carga Q que en su forma más sencilla es el caso en que la
carga Q está distribuida uniformemente y los objetos pueden presentarse como distribuciones de carga por
unidad de longitud, distribuciones de carga por unidad de área y distribuciones de carga por unidad de volumen;
como una ilustración de estos casos a continuación se presenta el caso de una distribución volumétrica de
carga; cuya densidad de carga por unidad de volumen se define como:
 (r, t ) 
lím Q dQ

V  0 V dV
LC-9
Considere un objeto de volumen V y carga Q
distribuida uniformemente como se muestra en la
figura adjunta, con las siguientes aclaraciones,
r j
indica la
considerado,
j-ésima partición del objeto aquí
ri
indica la carga puntual q en la
que se calcula la fuerza electrostática, 0 indica el
sistema de referencia inercial desde donde se
hacen las observaciones
Sí se considera que el objeto con carga Q
distribuida uniformemente está particionado en N
partes, entonces se tienen N elementos de
volumen; tales que en cada elemento de volumen
∆jV existirá una cierta cantidad de carga ∆ jQ por
lo que este caso se aproxima al caso de N cargas
puntuales; quedando la fuerza electrostática F
como:
N
F( ri ) ≈ Kq

F( ri ) ≈Kq

 j Q(ri  rj )
ri  rj
j 1
N
3
. En esta aproximación con ∆jQ = ρ( r ,t)∆jV queda como:
 (rj , )(ri  rj ) jV
ri  rj
j 1
3
; Note que esta aproximación se convierte en una igualdad cuando los
elementos de volumen sean muy pequeños ya que de esta forma ∆ jQ “serán cargas puntuales”; pero para que
esto ocurra el número de particiones del objeto debe ser muy grande; quedando:
F( ri ) =
N  ( r , t )( r  r )  V
lím
j
i
j
j
Kq 
3
N 
j 1
r r
i
j
= Kq

V
 (r , t )(ri  r )dV
ri  r
LC-10.
3
Se hace la aclaración que la integración indicada es sobre todo el volumen del objeto; pero como la carga está
distribuida uniformemente entonces la densidad de carga es constante y la igualdad inmediata anterior queda.
F = qKρ

V
(ri  r )dV
ri  r
LC-11
3
En el caso de distribuciones de carga por unidad de área y considerando que la densidad: σ( r ,t) de carga por
unidad de área se define como:
σ( r ,t) =
dQ
dA
; haciendo un proceso semejante al de objetos volumétricos se encuentre que la fuerza
electrostática que genera una distribución de carga uniforme sobre una carga puntual es:
F = Kqσ

A
(ri  r )dA
ri  r
LC-12.
3
Asimismo para distribuciones de carga por unidad de longitud se encuentra:
F = Kqλ

L
(ri  r )dL
ri  r
LC-13.
3
Se hace la aclaración que en esta igualdad L representa la distribución de carga y (tamaño L), λ indica la
densidad de carga por unidad de longitud que es constante.
Ejemplo.6.-En algún lugar del espacio se encuentra una distribución uniforme de carga en forma de
circunferencia de radio R cuya densidad está representada por . Una carga puntual q está sobre el eje de
simetría en el punto de coordenadas (0,0,b), note que el sistema de referencia está en el centro de curvatura de
la distribución de carga. Hallar la fuerza electrostática que genera la distribución uniforme de carga sobre la
carga q; considerando que la carga total de la distribución es Q.
RESPUESTA
Considere la figura adjunta con la nomenclatura; rp la
posición de la carga q, r indica cualquier punto de la
distribución de carga, dl la diferencial de arco en este
caso la diferencial de arco de la circunferencia de radio R;
por lo que dl=Rdθ
Aplicando la ley de Coulomb para distribuciones continuas
de carga se tiene:
z
q (0,0,b)
rp

(rp  r )dl
F(rp) =
4 o  r  r 3
p
 
(rp  r )dl
q
4 o  r  r 3
p
q
R
0
x
r
y
=
(1)
En esta notación el símbolo  que aparece al pie de la integral de línea indica que la integración es sobre toda la
circunferencia de radio R, además:
rp = b kˆ , r=R êr ; con
êr un vector unitario en coordenadas polares
circunferencia; tales que êr = (RCosθ) iˆ +(RSenθ) ĵ , quedando:
 3
 
2
2
2
2 3/ 2
rp-r= b kˆ -R êr & rp  r  R  b  rp  r  ( R  b )
normal exterior en cada punto de la
Haciendo las sustituciones correspondientes en la expresión (1), con dl=Rdθ se tiene:
q
F(rp)=
4 o
2
(bkˆ  ( RCos )iˆ  ( RSen ) ˆj )
0
(R 2  b 2 )3 / 2
Rdθ
(2)
Cabe observar que la única variable en esta expresión es θ ya que R & b son constantes; así como los vectores
unitarios ya que éstos están anclados al sistema de referencia; asimismo obsérvese que las componentes de la
fuerza que están en un plano paralelo al plano xy se anulan por la simetría del problema, pues la distribución de
carga es uniforme ; por lo que:
qRbkˆ
F(rp) =
4 o ( R 2  b 2 ) 3 / 2
2
 d
=
0
qRbkˆ
4 o ( R 2  b 2 ) 3 / 2
2π =
Rbq
kˆ
2 o ( R 2  b 2 ) 3 / 2
C o m o u n r e s u l t a d o e q u i va l e n t e u t i l i za n d o l a c a r g a t o t a l Q d e l a d i s t r i b u c i ó n a q u í
c o n s i d e r a d a ya q u e λ = Q / 2 π R , q u e d a n d o l a e xp r e s i ó n i n m e d i a t a a n t e r i o r c o m o :
Q
2R
kˆ
2
2 o ( R  b 2 ) 3 / 2
Rbq
F(rp) =
bqQ
kˆ
4 o ( R 2  b 2 ) 3 / 2
=
CAMPO ELECTROSTÁTICO (ELÉCTRICO) .
Este subtema de Electrostática es consecuencia de la observación que se hizo cuando se frotó la barra de
plástico al inicio del subtema de la Ley de Coulomb. La barra adquirió una propiedad física que a su vez generó
la fuerza electrostática; a esta propiedad física se le llama campo Electrostático y se define como:
E( ri ) =
lím F
qi  o qi
CE-1.
Cabe remarcar que por definición el Campo Eléctrico es una cantidad vectorial que tiene la misma dirección de
la fuerza coulombiana y que se evalúa en un punto del espacio indicado por
ri .
En el caso de una carga puntual, sustituyendo la igualdad LC-1 la definición CE-1 se tiene:
qi q j (ri  rj )
E( ri ) =
lim 4 0 ri  rj
qi  0
qi
3
 Kq j
(ri  rj )
ri  rj
3
CE-2
En esta definición cabe resaltar que el campo electrostático solamente depende de la
carga qj que lo produce; aclarando que sí qj es negativa, entonces las líneas del
campo son como se muestra en la figura adyacente; en caso que la carga sea
positiva la dirección del campo es hacia el punto P (punto de evaluación del campo).
En el caso de N cargas puntuales; aplicando la definición de campo electrostático así
como la igualdad LC-8; se obtiene:
N
E( ri ) =K

j 1
q j (ri  rj )
ri  rj
3
;(K=
1
4 0
= 8.99x109(N-m2/C2)
CE-3
qj
P•
Ejemplo 1.- Se tienen dos cargas puntuales de igual magnitud colocadas una en cada vértice de un triángulo
isósceles de base 0.25m y altura 0.5m; considerando que la carga positiva está colocada en el origen del
sistema de coordenadas. Hallar el campo electrostático valuado en el vértice superior del triángulo; suponiendo
que q1 = 3.8μC.
RESPUESTA:
De acuerdo al enunciado del problema suponga el diagrama siguiente:
y
P
Note que las coordenadas del punto P son
(
.25
,.5) ;
2
por lo que
ri  .125iˆ  .5 ˆj ; mientras que las coordenadas de la posición de q2
son: (.25,0); de tal forma que:
r2  .25iˆ  0 ˆj
y como q1 está en el origen, entonces
r1  0
Con estas aclaraciones y aplicando CE-3 se tiene
q2
q1•o
•


q1 (ri  0) q2 (ri  r2 ) 

E (ri )  K

3
 r 03
ri  r2 
 i

x
(1)
Con los datos de los vectores involucrados se obtiene:
 3
ri  0  .125iˆ  .5 ˆj q1( ri  0 ) =3.8x10-6(.125 iˆ +.5 ĵ ) = (.475 iˆ +1.9 ĵ )x10-6 & ri  o =.131
ri  r2  .125 iˆ +.5 ĵ -.25 iˆ -0 ĵ = -.125 iˆ  .5 ˆj  q2(-.125 iˆ +.5 ĵ ) = -3.8x10-6(-.125 iˆ +.5 ĵ ) =(.475 iˆ -1.9 ĵ
)x10-6 &
ri  r2
3
=.131.
Note: que la distancia de q1 al punto P y distancia de q2 al punto P son iguales; esto es consistente ya que se
trata de un triángulo isósceles.
Sustituyendo los cálculos realizados en la igualdad (1) se obtiene:
E (ri ) =8.99x109[.475 iˆ +1.9
x106
ĵ +.475 iˆ -1.9 ĵ ]
.131
= 67.9x103[.958 iˆ ] = (64.5x103) iˆ
Observe que el campo no tiene componentes en la dirección de
ĵ .
Se deja como un ejercicio al lector hacer
un diagrama de cada campo en el punto P y verifique el resultado obtenido.
Ejemplo.2.-La carátula de un reloj tiene cargas puntales negativas: -q,-2q,-3q,-4q-,…-12q; colocadas en las
posiciones de los números correspondientes. ¿A qué hora las manecillas del reloj apuntan en la misma
dirección del campo electrostático producido por las cargas puntuales, valuado en el centro de la carátula?.
RESPUESTA: Suponga el diagrama siguiente:
-12q
-11q
-q
-2q
-10q
-3q
o
-9q
-4q
-8q
-7q
-5q
-6q
En la figura solamente se han dibujado los campos
resultantes por cada pareja de cargas puntuales valuados
en el centro de la carátula del reloj y como una segunda
parte del problema se dibuja la resultante por cada tres
campos representados por las flechas sobrepuestas,
finalmente se suman estos dos campos dando como
resultante la flecha de magnitud mayor y obsérvese que la
dirección del campo electrostático resultante en el caso de
la carátula del reloj indica las 9:30hrs.
Ejemplo.3.-La figura adjunta muestra un dipolo eléctrico; considerando
que el campo eléctrico se evalúa en el punto P colocado sobre el eje del
dipolo a una distancia z: demuestre que para z>>a se obtiene
E

p
4 o z 3
-q
P
2a
z
con p=2qa.
q
RESPUESTA
Con el propósito de facilitar el álgebra el sistema de
referencia se coloca en el centro del dipolo de tal
forma que el punto P quede sobre el eje x, como se
muestra en la figura adyacente, quedando,
y
-q
r1
0
r2
q
-q
P
rp
x
rp = z iˆ , r1 =a
ĵ ,
r2 =-a
ĵ
y recuerde que el campo
electrostático es:
z
E(rp) =
 
q ( r p  r )1
 3
4 o rp  r1
 
(rp  r2 )
-q
 
4 o rp  r2
3
(1)
Pero: rp- r1 = z iˆ -a
ĵ ; quedando rp- r1=
(z2+a2)1/2
& rp-r2 = z iˆ +a
ĵ . Note que  rp-r2
=(z2+a2)1/2
, que sustituyendo
en (1) se tiene:
E(rp) =
q
4 o

ziˆ  ajˆ
( z 2  a 2 )3/ 2
-
Observe que: (z2+a2)3/2 = z3(1+
ziˆ  ajˆ
( z 2  a 2 )3/ 2
a2
z2
=-
2aqjˆ
4 o (a 2  z 2 )3/ 2
); pero cuando z>>a,
a2
z2
(2)
0; quedando la expresión inmediata anterior como:
2aqjˆ
. Se notará que la magnitud del campo electrostático es:
4 o z 3
2aq
p
E(rp) ≈
=
; recuerde que: 2aq ĵ se le llama momento del dipolo eléctrico
3
4 0 z 3
4 0 z
E(rp)  -
Ejemplo.4.- Se proyecta un electrón con una rapidez inicial v 0 de
5.83x106m/s, formando un ángulo de 390 con la placa inferior horizontal
como se muestra en la figura adjunta; considerando que la magnitud del
campo electrostático entre las placas es de 1870N/C y además d=1.97 cm,
L= 6.2 cm. Desarrollar los cálculos correspondientes para decir sí el electrón
chocará con alguna de las placas.
E
d
390
L
RESPUESTA.- En el dispositivo mostrado se desprecian los campos externos a E por lo que en este fenómeno
físico solamente se considera E en el espacio comprendido entre las placas; de tal forma que es un problema de
Cinemática puntual; o sea que es un movimiento de proyectiles; tales que se calcula la altura máxima del
proyectil; sí resulta mayor 1.97 cm entonces el electrón choca con la placa superior; siempre y cuando la
distancia horizontal sea menor a 6.2 cm.
LOS CÁLCULOS SE MUESTRAN A CONTINUACIÓN.
A ) Calculo del tiempo de máxima altura. Recuerde que en la máxima altura la partícula tiene una rapidez en e
igual a cero; quedando:
Vy = v0 Senθ – at; siendo a la magnitud de la aceleración, que en el caso del problema aquí planteado se
determina de: F = ma = qE
a=
a=
qE
m
; en este caso m es la masa del electrón, de tal forma que:
(1.6 x1019 )(1870) 2
m/s =3.28 x1014m/s2 ; con este cálculo, el
9.11x1031
tiempo de máxima altura es:
t=
v0 Sen
a
=
5.83x106 Sen(390 )
3.28 x1014
= 1.11x10-8 s =11.1ns
(1)
Recuerde que la altura máxima de un proyectil se obtiene de:
Y(t) = (v0Senθ)t-
at 2
2
= (5.83x106)(1.11x10-8) -
3.28 x1014 (1.11x108 ) 2
2
= (0.043 – 0.023)m = 0.02m = 2.0cm;
con estos cálculos al parecer el electrón choca con la placa superior; pero puede ocurrir que la distancia
horizontal sea mayor a 6.2 cm y que la altura máxima esté fuera de las placas; por lo que a continuación se
determina la distancia horizontal con:
X(t) = (v0Cosθ) (2t) = (5.83x106)Cos(390)(2(1.11x10-8)m = 0.101m=10.1 cm ; pero a la mitad de esta distancia el
electrón adquiere la máxima altura, que es una distancia horizontal de 5.0 cm. que es menor que 6.2 cm ; por lo
que se concluye que el electrón si choca con la placa superior.
CAMPOS ELECTROSTÁTICOS GENERADOS POR OBJETOS CON CARGA Q
Por comodidad de cálculo solamente se analizan objetos con carga Q distribuida uniformemente: o sea que las
densidades de carga correspondientes son constantes y aplicando la definición de campo; observe que lo que
se elimina comparado con la fuerza electrostática es la carga puntual qi ; quedando para el caso de
distribuciones uniformes de carga por unidad de área de la expresión LC-12.
E( ri ) = Kσ

S
(ri  r )dS
ri  r
CE-4
3
Ejemplo5.- Para una distribución uniforme de carga en
forma de disco de radio R y carga total Q. determinar el
campo electrostático valuado en un punto P colocado
en el eje de simetría que es perpendicular al plano del
disco y que está en el punto de coordenadas (0,0,Z),
posteriormente encuentre el campo en el centro del
disco.
Z

rp
RESPUESTA.- Considere la figura adjunta, con las

aclaraciones siguientes, la función vectorial r indica la
diferencial de área 2  rdr, R es el radio del disco,

rp

r
indica el punto P (punto de evaluación del campo
electrostático); sí el punto de referencia está en el
centro del disco, entonces:

rp = z kˆ , el anillo pintado de
negro es la diferencial de área del disco.
Recuerde que en estas condiciones
electrostático valuado en P es:
 
(rp  r )dS
 

E (rp ) 
4 0 S r  r 3
p
el
X
campo
<
(1)
R
Y
Puesto que
 
rp - r = z kˆ
-r
ê r  rp  r
Es importante indicar que r êr
tiene:
 

E(rp ) 
4

=
 3
z 2  r 2 ; quedando: rp  r  ( z 2  r 2 ) 3 / 2
 (rCos  )iˆ  (rSen ) j ; haciendo las sustituciones correspondientes en (1) se
( zkˆ  r cosiˆ  rsenˆj )
2rdr
( z 2  r 2 )3 / 2
(2)
Note que el problema que se está resolviendo, como la distribución de carga es uniforme, entonces tiene
simetría y las componentes en:
componente de
iˆ & ˆj
se eliminan o sea que solamente se resuelve la integral en la
kˆ ; quedando:
 
 R zkˆ 2rdr
zkˆ R 2rdr
E(rp ) 

4 0 0 ( z 2  r 2 ) 3 / 2 4 0 0 ( z 2  r 2 ) 3 / 2
Observe que esta integral se resuelve con un cambio de variable u = z2+r2
R
 (z
2
0
2rdr
2
 2
2 3/ 2
r )
z  r2
|R0 =-
 

zkˆ  2
2
E(rp ) 
 2


2
4 0  z
z R 
=
2
z R
2

2 0

1 

2

(3)
du  2rdr ; quedando:
2
, que sustituyendo en la igualdad (3) se obtiene:
z

 kˆ
z2  R2 
z
(3)
Es recomendable aclarar que en esta igualdad dS representa una diferencial de área que puede ser
representada en cualquier tipo de coordenadas según sea la necesidad del problema; al igual que los vectores:

rp
&
r
y la integral, se realiza sobre toda el área S con carga Q distribuida uniformemente.
Ejemplo 6.-Una carga Q está distribuida uniformemente sobre una superficie semiesférica de radio R. Hallar el
campo electrostático en un punto P sobre el eje de simetría y a una distancia R del centro de curvatura de la
distribución de carga.
RESPUESTA:
Con el propósito de utilizar coordenadas esféricas considere que la distribución de carga es como la mostrada
en la figura adjunta; con la aclaración que el sistema de
referencia está colocado en el centro de curvatura; asimismo
z
la distribución de carga es uniforme, por lo que:
 
(rp  r )dS

E(rp)=
4 o S r  r 3
p
R
𝑟
0
y
(1)
Tomando en cuenta la figura se tiene que: r p = -R kˆ , r = (Senθ
ĵ +(RCosθ) kˆ , quedando:
rp–r=-R kˆ -(RSenθCosφR) iˆ +(RSenθSenφ) ĵ +(RCosθ) kˆ
CosφR) iˆ + (RSenθSenφ)
x
P
cx
Calculando la magnitud de este vector y posteriormente elevando al cubo se tiene:
(2)
 3
rp  r =R323/2(1+Cosθ)3/2
(3)
En el caso de coordenadas esféricas: dS = R2Senθdθdφ
(4)
Haciendo las sustituciones correspondientes en (1) y considerando la simetría del problema físicamente no hay
campo en las direcciones de:
E(rp)=

4 o
iˆ
ĵ ; por lo que:
y
(R(1  Cos )kˆR 2 Sendd
S R 3 23 / 2 (1  Cos ) 3 / 2
(5)
En estas integraciones analizando la figura, la variable φ es de 0 a 2Л y la variable θ de 0 a л/2, por lo que:
E(rp)=
 / 2 2
 .kˆ
4 o

0
(1  Cos ) Sendd
0 2 3 / 2 (1  Cos ) 3 / 2
 .kˆ
5/ 2
2 o
=
 /2
 (1  Cos )
1 / 2
( Sen )d
(6)
0
Note que esta integración es inmediata por lo que:
E(rp)=
 .kˆ
25 / 2  o
(1+Cosθ)1/2
 /2
0
=
 .kˆ
25 / 2  o
(1-
2 )= -0.4142
 .kˆ
25 / 2  o
(7)
Indudablemente también existe el campo electrostático generado por distribuciones volumétricas de carga,
valuado en algún punto P del espacio en cuyo caso se encuentra:

E( rp ) =
1
4 0 V
 (r, t )(rp  r )dv
 3
rp  r
CE-5
Comentario.- En este subtema no se presentan ejemplos de distribuciones volumétricas de carga por el nivel del
curso ( tercer semestre de licenciatura); sin embargo se espera que con los dos ejemplos expuestos de las dos
distribuciones de carga, quede claro el poderío de la teoría propuesta.