Problemas de sistemas de ecuaciones lineales 1. El dueño de un

Problemas de sistemas de ecuaciones lineales
1. El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 500 € (sin
impuestos). El valor del vino es 60 € menos que el de los refrescos y de la cerveza
conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del 6%, por la
cerveza del 12% y por El vino del 30%, lo que hace que la factura total con impuestos sea de
592.4 €, calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida.
Solución:
x = Importe en € de los refrescos.
x=120 €
y = Importe en € de la cerveza.
y=160 €
z = Importe en € del vino.
z=220 €
2. Una empresa tiene tres minas con menas de composiciones:
Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%)
Mina A 1
2
3
Mina B 2
5
7
Mina C 1
3
1
¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de
cobre y 16 de hierro?
Solución:
x = nº de toneladas de la mina A.
x=200 t
y = nº de toneladas de la mina B.
y=100 t
z = nº de toneladas de la mina C.
z=300 t
3. La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace
unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era
triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años
como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será
150 años. ¿Qué edad tenía el padre en el momento de nacer sus hijos?
x = Edad actual del padre.
y = Edad actual del hijo mayor.
z = Edad actual del hijo menor.
Relación actual:
x = 2(y + z)
Hace y - z años:
x - (y - z) = 3[y - (y - z) + z - (y - z)]
Dentro de y + z:
x + (y + z) + y + (y + z) + z + (y + z) = 150
Al nacer los hijos, el padre tenía 35 y 40 años , respectivamente.
4. Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo.
Cada volumen de trigo se vende por 4 €, el de la cebada por 2 € y el de mijo por 0.5 €.
Si se vende 100 volúmenes en total y si obtiene por la venta 100 €, ¿cuántos volúmenes de
cada especie se venden?
x = Volumen de trigo.
y = Volumen de cebada.
z = Volumen de mijo.
Considerando que las tres variables son números naturales, y que su suma es 100, obtenemos
las siguientes soluciones:
S1
S2
S3
S4
S5
x
1
4
7
10
13
y
31
24
17
10
3
z
68
72
76
80
84
5. Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:
El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre.
El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre.
El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.
Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un
nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.
x = Peso del 1er lingote.
y = Peso del 2º lingote.
z = Peso del 3er lingote.
En el 1er lingote, la ley del oro es: 20/90 = 2/9
En el 2º lingote, la ley del oro es: 30/120 = 1/4
En el 3 er lingote, la ley del oro es: 40/180 = 2/9
La ecuación para el oro es:
En el 1er lingote, la ley de la plata es:
En el 2º lingote, la ley de la plata es:
30/90 = 1/3
40/120 = 1/3
En el 3 er lingote, la ley de la plata es: 50/180 = 5/18
La ecuación para el plata es:
En el 1er lingote, la ley del cobre es: 40/90 = 4/9
En el 2ºlingote, la ley del cobre es: 50/120 = 5/12
En el 3 er lingote, la ley del cobre es: 90/180 = 1/2
La ecuación para el cobre es:
x = 45
y = 48
z = 54
Ejercicios para realizar
Sistemas. Ejercicios
1 Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
1. En un sistema compatible indeterminado se puede eliminar una ecuación y obtener un
sistema equivalente.
2. Un sistema compatible indeterminado es equivalente a un sistema homogéneo.
3. Todo sistema compatible indeterminado tiene dos ecuaciones iguales.
4. De un sistema incompatible podemos extraer otro compatible (no equivalente) eliminando
ecuaciones.
2Clasificar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
3Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de ecuaciones lineales:
¿Es posible transformarlo en uno compatible indeterminado cambiando solamente la tercera
ecuación?
4 Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver
del sistema para ese valor de m.
5Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:
El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre.
El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre.
El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.
Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un
nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.
En el centro comercial
1. En una granja se crían crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas,
son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?
2. Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. Si introduce 6
conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula. Si introduce 5 conejos en cada
jaula quedan dos conejos libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay?
8. Un ama de casa compra en un supermercado 6 Kg. de café y 3 de azúcar, por lo que paga
1530 ptas. Ante la amenaza de nuevas subidas, vuelve al día siguiente y compra 1 Kg. de café y
10 Kg. de azúcar por lo que paga 825 ptas. No se fija en el precio y plantea el problema a su
hijo de 13 años. Este después de calcular lo que su madre hubiera pagado por 6 Kg de café y 60
de azúcar halla el precio de cada artículo. ¿Podrías llegar tú a resolver el problema?
9. Con 1000 ptas. que le ha dado su madre Juan ha comprado 9 paquetes de leche entera y
leche semidesnatada por un total de 960 ptas. Si el paquete de leche entera cuesta 115 ptas. y
el de semidesnatada 90 ptas. ¿Cuántos paquetes ha comprado de cada tipo?
10. En un puesto de verduras se han vendido 2 Kg de naranjas y 5 Kg de patatas por 835 ptas. y
4 Kg de naranjas y 2 Kg de patatas por 1.285 ptas. Calcula el precio de los kilogramos de
naranja y patata.
11. Un comerciante de ultramarinos vende el Kg de azúcar a 120 ptas. Además, tiene café de
dos clases; cuando toma 2 Kg de la primera calidad y 3 Kg de la segunda resulta la mezcla a 75
ptas. el Kg y cuando toma 3 Kg de la primera clase y 2 Kg de la segunda entonces resulta la
mezcla a 80 ptas. el Kg ¿Cuál es el precio de cada calidad de café?
12. El día del estreno de una película se vendieron 600 entradas y se recaudaron 196.250 ptas.
Si los adultos pagaban 400 ptas. y los niños 150 ptas. ¿Cuál es el número de adultos y niños
que acudieron?
13. En una librería han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a 800 ptas. y otros a
1200 ptas. con los que han obtenido 19.200 ptas. ¿Cuántos libros han vendido de cada precio?
14. En una pastelería se fabrican dos clases de tartas. La primera necesita 2'4 Kg de masa y 3
horas de elaboración. La segunda necesita 4 Kg de masa y 2 horas de elaboración. Calcula el
número de tartas elaboradas de cada tipo si se han dedicado 67 horas de trabajo y 80 Kg de
masa.
15. Un pastelero compra dulces a 65 ptas. la unidad y bombones a 25 ptas. cada uno por un
total de 585 ptas. Como se le estropean 2 pasteles y 5 bombones calcula que si vende cada
bombón a 3 ptas. más y cada pastel a 5 ptas. más de lo que le costaron perdería en total 221
ptas. ¿Cuántos pasteles y bombones compró?