Teoría de la Adjunción

TEORÍA DE LA ADJUNCIÓN
CARLOS J. RUÍZ
2
Teorı́a de la Adjuncón
Índice general
1.
FORMAS EQUIVALENTES DE ADJUNCIÓN:
ENUNCIADO
1
2.
ADJUNCIÓN Y FUNCIONES DE CLAUSURA.
2.1. FUNCIONES DE CLAUSURA ASOCIADAS A UNA ADJUNCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. ADJUNCIÓN ASOCIADA A UNA FUNCIÓN DE CLAUSURA.
3.
5
7
UNICIDAD DEL ADJUNTO Y CONDICIONES
DE EXISTENCIA.
11
3.1. UNICIDAD DEL ADJUNTO. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.2. COMPORTAMIENTO CON LÍMITES DE LAS FLECHAS
QUE INTERVENGAN EN UNA ADJUNCIÓN. . . . . . . .
11
3.3. CONDICIONES PARA EXISTENCIA DE ADJUNTOS. . .
15
3.4. CONDICIÓN PARA LA EXISTENCIA DE SEUDO ADJUNTO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.
ADJUNCIÓN EN EL CASO CONTRAVARIANTE.
19
5.
ADJUNCIÓN EN FUNCIONES DE VARIANZA CERO
23
i
5
ii
Teorı́a de la Adjuncón
6.
RELACIONES DE EQUIVALENCIA ASOCIADAS A FUNCIONES ADJUNTAS.
27
7. TODA ADJUNCIÓN SE TRADUCE COMO UN CASO
DE AUTO-ADJUNCIÓN CONTRAVARIANTE
33
8.
ADJUNCIÓN EN TERMINOS DE CONTINUIDAD. 37
9.
LA CONTINUIDAD FUERTE DE FUNCIONES
ENTRE ESPACIOS TOPOLOGICOS CUALESQUIERA
Y SUS CUPLAS ADJUNTAS.
45
Capı́tulo 1
FORMAS EQUIVALENTES DE ADJUNCIÓN:
ENUNCIADO
Sean X 6 y Y 6 dos conjuntos ordenados y s : X → Y , d : Y → X dos
aplicaciones conjuntistas.
Teorema 1.1 Las condiciones siguientes son equivalentes:
1. Para cada x en X
{y ∈ Y |s(x) 6 y} = {y ∈ Y |x 6 d(y)} ;
2. Para cada y en Y
{x ∈ X|s(x) 6 y} = {x ∈ X|x 6 d(y)} ;
3. Para cada x en X y cada y en Y las dos proposiciones a) y b) son
equivalentes:
a) s(x) 6 y;
b) x 6 d(y);
4. La pareja de funciones (s,d) cumple
a) s y d son funciones monótonas no decrecientes;
b) para cada x en X, x 6 ds(x);
c) para cada y en Y , sd(y) 6 y.
5.
(s × 1)! (RY ) = (1 × d)! (RX ).
En esta igualdad el operador ()! significa “imagen recı́proca”, RX ⊂ X 2
y RY ⊂ Y 2 representan las relaciones de orden de X e Y respectivamente; en fin, las funciones s × 1 y 1 × d aparecen explicadas en el
diagrama
1
2
Teorı́a de la Adjuncón
1×d
X ×X ¾
U
X ×Y
- Y ×Y
s×1
U
?
RX
6.
?
RY
(RX , RY ) ∈ Π((s × 1)! , (1 × d)! ) en donde Π representa “el producto
fibrado”. En este caso, el producto de las dos flechas concurrentes
- P (X 2 )
Π
ր
(s×1)!
?
P (Y 2 )
?
- P (X × Y )
!
(1×d)
s
d
Definición 1.2 Una pareja (s, d) de funciones, X → Y → X que cumplen
las condiciones equivalentes del teorema anterior con respecto a las relaciones
de orden RX y RY sobre X e Y respectivamente se llamará una cupla
adjunta. Se emplearán también, las expresiones equivalentes (i) es adjunta
a la izquierda de d; (ii) es adjunta a la derecha de s.
Para evitar confusiones es conveniente escribir la expresión: (s, d) : (X, 6
) → (Y, 6) es una cupla adjunta, haciendo aparecer explı́citamente las relaciones de orden que intervienen.
Para justificar este exceso de cuidado presentamos la siguiente proposición,
en la que 6◦ representa la relación opuesta a la relación 6 (que como bien
es sabido está definido por la proposición
a ≤◦ b si y sólo si b ≤ a).
Proposición 1.3 (s, d) : (X, 6) → (Y, 6) es una cupla adjunta si y sólo si
(d, s) : (Y, 6◦ ) → (X, 6◦ ) es una cupla adjunta.
FORMAS EQUIVALENTES DE ADJUNCIÓN. Demostración.
Como evidentemente las propiedades (1), (2) y (3) son equivalentes, repasemos la equivalencia (3) ⇐⇒ (4). Aceptemos la equivalencia (3) a ≡ (3)(b).
Si en (a) reemplazamos y por s(x) en b) obtenemos que x 6 ds(x), es decir (4)(b). De manera semejante se obtiene (4)(c). Hecho lo cual se pasa a
mostrar la monotonı́a de s: supongamos que x1 6 x2 . Por (4)(b) se cumple
Adjunción de Funciones entre conjuntos Ordenados
3
entonces que x1 6 x2 6 ds(x2 ) y aprovechando que (3)(b) ⇒ (3)(a) se concluye que s(x1 ) 6 s(x2 ). De manera semejante se procede con d.
Inversamente veamos que (4) entraña: (3)(a) ⇒ (3)(b). Si suponemos que
s(x) 6 y entonces por monotonı́a del operador d, se cumplirá ds(x) 6 dy,
y aplicando finalmente se obtiene que x < d(y). De manera semejante se
demuestra que, bajo la hipótesis (4), (3)(b) ⇒ (3)(a).
Tambien es evidente que (3) y (5) son equivalentes ya que:
(s × 1)! (RY ) = {(x, y)|(s(x), y) ∈ Ry }
= {(x, y)|(s(x) 6 y}
!
(1 × d) (RX ) = {(x, y)|x 6 d(y)}
Para terminar: (6) es la traducción de (5) al lenguaje de los productos fibrados.
4
Teorı́a de la Adjuncón
Capı́tulo 2
ADJUNCIÓN Y FUNCIONES DE CLAUSURA.
2.1.
FUNCIONES DE CLAUSURA ASOCIADAS
A UNA ADJUNCIÓN.
En el Capı́tulo 1 sobre las Formas Equivalentes de Adjunción, la forma (4)
en sus literales (b) y (c) se puede resumir en un diagrama:
O, de manera más simplificada.
s-
•
@
•
@
6
1Y
@
R
R ? 6@
@
- •
•
s
1X@
d
Si imaginamos este diagrama en la categorı́a Copo de los conjuntos Parcialmente Ordenados en el que las flechas son las aplicaciones monótonas no decrecientes, entonces si estaremos resumiendo en él las condiciones (4)(a), (b)
y (c).
El propósito de este segundo parágrafo es el de analizar el comportamiento
de las dos funciones compuestas
c = c(s, d) = ds, i = i(s, d) = sd
5
6
Teorı́a de la Adjuncón
Proposición 2.1 Si (s, d) es una dupla adjunta con respecto a las relaciones
de orden RX y RY (notadas también 6) entonces la aplicación c : X → X
definida por c = ds cumple
(cl1) 1X 6 c, i.e. para cada x en X, x 6 c(x);
(cl2) c · c = c;
(cl3) c es monótona no decreciente.
La función i : Y → Y definida por i = sd satisface las propiedades de
monotonı́a (cl3) e idempotencia (cl2) anteriores, por en lugar de dominar a
la identidad como era el caso de la función c está dominado por la identidad:
(cl1) ∗i 6 1y
Definición 2.2 Una función α : K, 6→ K, 6 monótona no decreciente de
un conjunto ordenado K, 6 en sı́ mismo será llamada una clausura exterior
si cumple (cl1) 1K 6 α y (cl2) αα = α. Se llamará de clausura interior si
cumple (cl2) y (cl1)∗α 6 1K .
En consecuencia una dupla adjunta (s, d) produce una función de clausura
interior i(s, d) sobre el conjunto ordenado Dominio (d) y una función de
clausura exterior sobre el conjunto ordenado Dominio (s). De manera más
completa
Proposición 2.3 Sean s : X, 6→ Y, 6 y d : Y, 6→ X, 6 dos morfismos de
Copo es decir dos aplicaciones monótonas no decrecientes entre los conjuntos
parcialmente ordenados X, 6 y Y, 6. Entonces las condiciones siguientes son
equivalentes
(i) (s, d) es una dupla adjunta;
(ii) c = ds es una función de clausura exterior sobre X, 6 y
i = sd es una función de clausura interior sobre Y, 6.
Nota. A propósito de la proposición 2.1 vale la pena recalcar que la propiedad
de idempotencia cl2 es consecuencia de una más fuerte a saber la ley “dos
contra uno” de la pareja (s, d):
(cl2.a) sds = s
(cl2.b) dsd = d
Adjunción de Funciones entre conjuntos Ordenados
7
En efecto si x ∈ X entonces la relación 1 6 ds entraña que x 6 ds(x) y
como s es monótona no decreciente s(x) 6 sds(x). Por otra parte sd < 1
aplicado a y = s(x) asegura sds(x) 6 s(s). Como estamos trabajando con
relaciones de orden se concluye (cl2.a) se procede de manera semejante para
(cl2.b).
2.2.
1.
ADJUNCIÓN ASOCIADA A UNA FUNCIÓN
DE CLAUSURA.
Puntos fijos de una función de clausura:
Proposición 2.4 Para una función de clausura α : K, 6→ K, 6 las
siguientes condiciones son equivalentes para un punto x de K,
a) x está en la imagen de α;
b) x es un punto f ijo de α, es decir α(x) = x.
En efecto basta observar que si α(y) = x entonces x = α(y) = αα(y) =
α(x).
Proposición 2.5 a) Sea α : K, 6→ K, 6 una función de clausura
exterior sobre el conjunto ordenado K, 6 . Sea U un subconjunto
no vacı́o del conjunto F ijo(α) de los puntos fijos de α. Si en K
existe el extremo inferior v = inf (U ) de U entonces v es de nuevo
un punto fijo de α.
b) Si la función es de clausura interior en le resultado anterior hay
que cambiar “extremo inferior” por “extremo superior” para obtener la proposición correspondientes.
En efecto: es claro que como para cada elemento u de U se cumple
v < u y como α es nonótona, α(v) < α(u) = u ası́ que α(v) es cota
inferior de U . Como por otra parte v < α(v) -cuando α es de clausura
eterior- entonces α(v) = v, por cuanto hemos supuesto que v es la
máxima cota inferior de U en K. Otor tanto se hace con las clausuras
interiores.
2.
Recuperación de función de clausura por puntos fijos:
En consecuencia el conjunto F = F ijo(α) de los puntos fijos de una
función de clausura exterior α sobre un conjunto ordenado K, 6 cumple:
8
Teorı́a de la Adjuncón
a) la propiedad (a) de la proposición anterior;
b) el ser terminal en K, 6, con lo cual queremos expresar que para
cada k en K existe un f en F tal que k < f ;
c) el conjunto (k, F )v = {f ∈ F |k 6 f } es extremado interiormente.
Inversamente un subconjunto F de un conjunto ordenado K, 6 que
satisfaga estas tres propiedades da lugar a una clausura exterior:
Proposición 2.6 Sea K, 6 un conjunto parcialmente ordenado en el
que hay un conjunto F que satisface las propiedades (i), (ii), (iii) enunciadas anteriormente. En esas condiciones F determina una fución de
clausura exterior sobre K, 6 denotada por cl(F ) y definida por
cl(F )(x) : = inf (k, F )v
= infK {f ∈ F |x 6 f }
Esta función permite recuperar el conjunto F que la engendró ya que
el conjunto F ijo(cl(F )) de sus puntos fijos ens justamente F Más
aún para una función de clausura exterior α sobre K, 6 se cumple la
igualdad cl(F ijo(α)) = α.
No sobra decir que hay una proposición paralela a la anterior para
funciones de clausura interior.
En resumen: la función Fijo establece una correspondencia biunı́voca entre las funciones de clausura exterior Cle(K, 6) y el conjunto
Pf ij (K, 6) cuyos elementos son los subconjuntos F de K que cumplen
las propiedades (i), (ii), (iii).
3.
Interpretación de una función de clausura como una adjunción.
Tomemos en consideración el diagrama siguiente
En el que α es una función de clausura exterior sobre el conjunto ordenado K, 6 y, como de costrubre, F representa el conjunto F ijo(α)
de sus puntos fijos.
La función in. : F → K denota la inclusión. Es claro que in ◦ α =
α; 1K 6 α. Por otra parte α ◦ in = 1F .
Adjunción de Funciones entre conjuntos Ordenados
9
Estos hechos, agregados de la información que en ese diagrama todas
las funciones son monótonas no decrecientes, se resumen en la
Proposición 2.7 La cupla (α, in.) es adjunta.
Nota (1). El orden no se menciona en la proposición, pero naturalmente en el conjunto F se está considerando el orden inducido por el
de K.
Nota (2). Este es un caso de adjunción más riguroso que el general
porque la relación α ◦ in 6 1F que deberı́a aparecer es reemplazado
por una más fuerte α ◦ in = 1F .
Proposición 2.8 Las clausuras interior y exterior de la cupla adjunta
(α, in.) son 1F . Naturalmente debe esperarse que a una función de
clausura interior corresponda una interpretación dentro de una cupla
adjunta:
Proposición 2.9 Si α es una función de clausura interior sobre un
conjunto parcialmente ordenado K, 6 entonces la cupla (in : F ֒→
K; α : K → F ) es adjunta. Las funciones de clausura exterior e interior
asociadas a la cupla adjunta son
c(in, α) = 1F ; i(in, α) = α : K → K.
10
Teorı́a de la Adjuncón
Capı́tulo 3
UNICIDAD DEL ADJUNTO Y CONDICIONES
DE EXISTENCIA.
3.1.
UNICIDAD DEL ADJUNTO.
Proposición 3.1 Si (s, d1 ), (x, d2 ) : (X, 6) → (Y, 6) son cuplas adjuntas
entonces d1 = d2 . En consecuencia si (s1 , d) y (s2 , d) : (X, 6) → (Y, 6) son
cuplas adjuntas, necesariamente s1 = s2 .
Demostración. Para cada y en Y . si se quiere demostrar que d1 (y) 6 de2 (y)
basta observar que sd1 (y) 6 y (para lo cual se habrá usado la dajunción de
la cupla (s, d2 )). Pero esta última desugualdad es válida, para cada y en Y
si se toma en cuanta la adjunción de la cupla (s, d1 ). Cambiando los papeles
se demustra que d2 (y) 6 d1 (y). De manera que es la propiedad antisimétrica
de la relación 6 sobre X la que permite concluir la igualdad d1 (y) = d2 (y)
para cada y en Y .
La segunda afirmación es consecuencia de la primera simplemente por ser
equivalente a: “Si (d, s1 ) y (d, s2 ) : (Y, 6◦ ) → (X, 6◦ ) es una cupla adjunta
entonces s1 = s2 ”. Que es, claro está la primera afirmación.
3.2.
COMPORTAMIENTO CON LÍMITES DE LAS
FLECHAS QUE INTERVENGAN EN UNA
ADJUNCIÓN.
Definición 3.2 1. Sean (X, 6), (Y, 6) dos conjuntos parcialmente ordenados y f : X → Y una aplicación conjuntista. Decimos que f
conmuta con extremos superiores relativamente a las relaciones 6X
11
12
Teorı́a de la Adjuncón
en X y 6Y en Y si para cualquier subconjunto U de X que admita extremo superior en X, el conjunto f! (U ) = {f (x)|x ∈ U } admite
extremo superior en Y y además
sup(Y 6) (f !U ) = f (sup(X,6) (U ))
2.
De manera dual se define la conmutación de una función con extremos
inferiores: si f : (X, 6◦ ) → (Y, 6◦ ) conmuta con extremos superiores
–para los ordenes opuestos 6◦X , 6◦Y – entonces diremos que f : (X, 6
) → (Y, 6) conmuta con extremos inferiores.
Proposición 3.3 1. Si f : (X, 6) → (Y, 6) conmuta con extrmos superiores (o con extremos inferiores) entonces f es monótona no decreciente.
2.
Si f : X, 6→ Y, 6 conmuta con extremos superiores y X admite mı́nimo entonces Y admite mı́nimo y f transforma el uno en el otro.
3.
De manera dual, si f : X, 6→ Y, 6 conmuta con extremos inferiores y
X tiene máximo entonces Y tiene máximo y f transforma el uno en
el otro.
En efecto: Supφ = min. cota superior φ = minX. Siu este último
exite f (Supφ) = Sup f (φ) = SupY (φ) = minY .
Proposición 3.4 Para una función f : X → Y entre conjuntos provistos
de una estructura de orden. Entonces a) ⇐⇒ b):
a) f conmuta con extremos superiores.
b) El diagrama de relaciones
es subcomnutativo f ◦ SupX ⊆ Sup ◦ f! . [La relación P X ⊸ X. asociada a
la relación de orden 6 sobre X, está formada por las parejas (U, x) en las
que U ⊂ X, x ∈ X y x = Sup(X,6) (U )].
Adjunción de Funciones entre conjuntos Ordenados
13
Sobra anotar que se dispone de una proposición dual para extremos inferiores basada en la relación Sup6 = Inf6◦ .
veamos el por qué de la proposición:
En efecto:
1.
Una pareja (U, y) del conjunto producto P (X) × Y pertenece a la
relación compuesta f ◦ SupX si y sólo si (i) existen X el extremo
superior SupU y además (ii) y = f (Sup U ).
2.
Una pareja (U, y) esta en la relación compuesta Sup ◦ f, ss, (ii)
y = Supf! (U ).
Nota. En general, el diagrama de relaciones de la proposición anterior
no es conmutativo.
Proposición 3.5 Sea (s, d) : X, 6→ Y, 6 una cupla adjunta. Entonces s
conmuta con extremos superiores y d conmuta con extremos inferiores.
Demostración. En primer lugar el haber demostrado la propiedad para s –
que ocupa el ala izquierda en el proceso de adjunción– entraña la propiedad
correspondiente -es decir la propiedad dual- para d : por cuanto (d, s) :
(Y, 6◦ ) → (X, 6◦ ) es un par adjunto y en él, d está a la izquierda. En consecuencia transformará extremos superiores de (Y, 6◦ ) en extremos superiores
de (X, 6◦ ). Pero los extremos superiores del orden 6◦ son los extremos inferiores del orden 6.
En segundo lugar veamos por qué s conmuta con extremos superiores:
Supongamos que SupU = x para el subconjunto (extremado superiormente)
U de X. Entonces, y debido a la monotonı́a de s el punto s(x) es automáticamente cota superior del conjunmto s! (U ) = {s(u)|u ∈ U }. Por otra parte,
si y ∈ Y fuera una cota superior en (Y, 6) del conjunto s! (U ) en tonces
para cada punto de la forma s(u), con u en U , se tendrı́a que s(u) 6 y. La
propiedad de adjunción entre s y d entraña entonces que u 6 d(y) con todos
y cadauno de los elementos u de U . Es decir que d(y) es cota superior en
X, 6 del conjunto U de X. En consecuencia x 6 d(y). O equivalentemente,
s(x) 6 y. Hemos demostrado, como querı́amos que s(x) es la mı́nima cota
superior de s! (U ).
La proposición anterior se complementa en el caso de pares adjuntos de una
manera que muestra hasta qué punto las funciones s y d son interdependientes. Ya habı́amos anotado que aún si una función s conmuta con extremos
14
Teorı́a de la Adjuncón
superiores, no necesariamente cuando s! (U ) admite extremo superior, el conjunto U deba admitirl. Pero en el caso en que s admita adjunto a derecha
algo hay de cierto al respecto. Veamos la
Proposición 3.6 Si (s, d) : (X, 6) → (Y, 6) es una cupla adjunta y U es
un subconjunto de X saturado por la relación de equivalencia que sobre X
engendre s, entonces si s! U admite máximo en (Y, 6), también U admite
máximo en (y, 6), también (X, 6) y además
M ax(U ) = d(M ax(s! (U )))
En efecto sea y = M ax(s! (U )), cuya existencia suponemos. Entonces y ∈
s! (U ), es decir y = s(u) para algún punto u de U . Entonces dy = ds(u)
satisface la propiedad sd(y) = sds(u) = s(u) = y. Es decir que d(y) y
u está en U también d(y) estará en U es saturado para esa relación y u
está en U tambiém d(y) estará en U . Además dado cualquier elemnto x
de U es cierto que x 6 d(y) por cuanto vale la desigualdad s(x) 6 y. En
consecuencia d(y) es una cota superior de U que pertenece a U , es decir es
el mácimo M ax(U ) de U en (X, 6).
Corolario 3.7 Si U es un subconjunto de X cuya imagin s! U admite máximo en (Y, 6) entonces su saturado s! s! (U ) en X también es maximisado y
M ax(s1 s! U ) = d(M ax(s1 U ))
Nota.
1.
Conviene recordar que la proposición y su corolario tienen su correspondencia dual válido(s) automáticamente.
2.
El corolario se puede prafrasear diciendo que todo subconjunto V de
la imagen de s qie sea maximado tiene imagen recı́proca s! V , por
s, maximada en X y además d transforma un máximo en el otro:
dM ax(V ) = M ax(s! (V )) (si V ⊆ imagen de s).
Corolario 3.8 1. La fibra s! {y} sobre un punto y de la imagen de s
admite máximo y además M ax(s! {y}) = d(y).
2.
La fibra d! {x} en un punto x de la imagen de d admite mı́nimo y
además M in(d! {x}) = s(x).
Adjunción de Funciones entre conjuntos Ordenados
3.3.
15
CONDICIONES PARA EXISTENCIA DE ADJUNTOS.
Nótese que si (s, d) : (X, 6) → (y, 6) es una cupla adjunta entonces:
1.
Para todo elemento y de Y el conjunto {s 6} := {x ∈ X|s(x) 6 y} no
es vacı́o y admite máximo, se trata justamente de d(y)
d(y) = M ax{x ∈ X|s(x) 6 y}
2.
Para todo elemento x de X, el conjunto {y ∈ Y |x 6 d(y)} no es vacı́o
y es minimado en Y . Es más: s(x) = M in{y ∈ Y |x 6 d(Y )}. Ya
hemos reunido suficiente información para establecer condiciones para
que una función s : X → Y entre dos conjuntos ordenados admita
adjunto a derecha. Veamos entonces la siguiente proposición
Proposición 3.9 Para una función s : X → Y entre dos conjuntos y para
dos estructuras de orden (X, 6), (Y, 6) sobre X y Y respectivamente, las
siguientes proposiciones (1), (2) y (3) son equivalentes:
1.
a) s es monótona no decreciente y
b) Para cada y en Y el conjunto {s 6 y} := {x ∈ X|s(x) 6 y} es
maximado en X;
2.
Existe d : Y → X tal que la cupla (s, d) : (X, 6) es adjunta;
3.
a) s conmuta con extremos superiores y
b) Para cada y en Y el conjunto {s 6 y} := {x ∈ X|s(x) 6 y}
En primer lugar veamos que (1) y (3) son equivalentes: quedarı́a por demostrar que el conjunto {s 6 y} al ser extremado superiormente es automáticamente maximado, si se tiene el cuenta que s conmuta con extremos
superiores. Sea e = Sup{s 6 y} = Sup{x ∈ X|s(x) 6 y}. Entonces
s(e) = s(Sup{s 6 y}) = Sups! ({s 6 y}) 6 y. Entonces e ∈ {s 6 y}.
Como consecuencia de los comentarios de sta sección sobre el comportamiento de un par adjunto con los operadores Sup e Inf de extremo superior y
extremo inferior sólo nos quedarı́a por justificar la implicación (1)⇔(2), que
en el fonde se reduce a definir la función d a partir de s y de sus caracterı́sticas. La función d se define
d(y) = M ax{s 6 y}.
Evidentemente como se supone que d(y) ∈ {s 6 y}, s(d(y)) 6 y. Además,
si x 6 d(y) necesariamente s(x) 6 sd(y) 6 y. Inversamente si s(x) 6 y
entonces x ∈ {s 6 y} y en consecuencia x 6 M ax{s 6 y}.
16
3.4.
Teorı́a de la Adjuncón
CONDICIÓN PARA LA EXISTENCIA DE
SEUDO ADJUNTO.
Nota. Una función s : X → Y entre dos conjuntos ordenados que cumpla
la condición
∀y ∈ Y, {s 6 y} es maximado en X
Permite definir una función d : Y → X, por medio de la relación d(y) =
M ax{s 6 y} que evidentemente cumple:
(i) d es monótona no decreciente;
(ii) sd(y) 6 y para cada y en Y ;
(iii) x 6 ds(s) para cada x en X.
Es más (i) y (iii) entrañan
(iv) s(x) 6 y ↔ x 6 d(y).
Si no se acepta que la función s sea monótona no se alcanzará la adjunción.k
Pero nos parece interesante hacer resaltar el poder de la hipótesis sobre los
“estratos de x”, para justificar a posteriori esta definición:
Definición 3.10 Si s : X → Y es una aplicación conjuntista que toma
valores en un conjunto ordenado Y , se llama estrato superior de rango y ∈ Y
al conjunto {s 6 y} := {x ∈ X|s(x) 6 y}. De manera dual se define estrato
inferior.
Cuando además se supone que en X hay un orden entonces se dispone de
una relación M ax : P X ⊸ X formada por las parejas (U, x) ∈ P (X) × X
para las que (i) U admite máximo en X y (ii) x = M axU .
Ası́ disponemos de un diagrama de relaciones
Adjunción de Funciones entre conjuntos Ordenados
17
[Deberı́a usarse una notación funcional para la aplicación est: por ejemplo
est(s) o ests para indicar que es asociada a s. También podrı́a usarse la letra
acentuada š. (Nota: š(y) = {s 6 y} y ŝ(y) = {s > y})].
La hipótesis de nuestra proposición en su aparte 1.b se refiere entonces a la
relacióm compuesta M ax ◦ est : Y ⊸ X. Se está diciendo allı́ que s satisface
una de las dos propiedades equvalentes
b1 Para todo y en Y , el estrato {s 6 y} admite máximo en X;
b2 La relación M ax ◦ est : Y ⊸ X es funcional. La función en cuestión
es justamente d.
Definición 3.11 Una función d : Y → X entre conjuntos ordenados que
satisfaga las propiedades (i), (ii) y (iii) de esta Nota con respecto a la función
s se dirá que es seudo-adjunta a derecha de s. En consecuencia
Proposición 3.12 Para una función conjuntista s : X → Y entre dos conjuntos ordenados las condiciones siguientes son equivalentes
a) s admite seudo-adjunto a derecha
b) Todo estrato de s es maximado.
18
Teorı́a de la Adjuncón
Capı́tulo 4
ADJUNCIÓN EN EL CASO
CONTRAVARIANTE.
En este parágrafo nos proponemos dejar escritos resultados que si bien están
tácitamente incluidos en los parágrafos anteriores también es cierto que conviene disponer de ellos sin tener que hilvanarlos en el momento ene que se
necesiten.
obsérvese que con dos conjuntos ordenados (X, 6) y (Y, 6) hay cuatro posibilidades de relacionarlos con funciones de dominio X y codominio Y :
X, 6
X, 6◦
X, 6
X, 6◦
con
con
con
con
Y, 6
Y, 6
Y, 6◦
Y, 6◦
Hasta ahora hemos estudiado las cuplas adjuntas (s, d) : (X, 6) → (Y, 6).
Es más, la posición de s en la pareja (s, d) sirve de referencia para recordar
las propiedades de las funciones integrantes de la cupla, a saber
IZQUIERDA
s(x) 6 y
sd(y) 6 y
- s conmuta con eXtremos superiores.
- Los estratos de la función s : X → Y ,
son maximados para el orden 6X de X.
-s es monótona no decreciente.
⇔
DERECHA
x 6 d(y)
x 6 ds(x)
-d conmuta con extremos inferiores.
-Los estratos de la función d : Y → X,
son minimados para el orden 6Y de Y .
-d es monótona no decreciente.
Sin embargo hicimos hicapié en que las expresiones Izquierda y Derecha
carecen de sentido cuando no se precisa a qué relaciones de orden hacen
referencia. Y pusimos de presente la equivalencia entre las proposiciones
19
20
Teorı́a de la Adjuncón
(s, d)X, 6→ Y, 6 es una cupla adjunta
(d, s) : Y, 6◦ → X, 6◦ es una cupla adjunta
base del principio de dualidad que permite estableer pripiedades válidas para
los adjuntos a derecha con base en propiedades (duales) de los adjuntos a
izquierda.
En esta parágrafo traducimos en proposiciones, que hacen intervenir los
órdenes 6X y 6Y de X e Y , los hechos que resulten de la afirmación
(u, v) : (X, 6◦ ) → (Y, 6) es una cupla adjunta.
Como también traduciremos paralelamente la proposición
(u, v) : (X, 6) → (Y, 6◦ ) es una adjunta.
Proposición 4.1 Sean u : X → Y, v : Y → X dos aplicaciones conjuntistas. Supongamos que 6X y 6Y son relaciones de oreden sobre los conjuntos
X e Y respectivamente. En esas condiciones las propsicones siguientes son
equivalentes:
1.
(u, v) : (X, 6◦X ) → (Y, 6Y ) es una cupla adjunta;
2. (i) u : X, 6X → (Y, 6Y ) es monónotona contravariante (es decir que
cumple que si x1 6X x2 entonces u(X2 ) 6Y u(x1 )); (ii) v : T m 6Y →
X, 6X es monótono contravariantes; (iii) Para cada x en X, vu(x) 6 x
y (iv) Para cada y en Y , uv(y) 6 y;
3.
Para cada pareja (x, y) de X × Y se cumple:
u(x) 6Y y si sólo si v(y) 6X x.
La posición que ambas funciones ocupa en esta última expresión nos lleva a
decir que
Definición 4.2
a) Dos funciones U : x → Y , v : Y → X son adjuntas
contravariantes a la izquierda, relativamente a las relaciones 6X y
6Y sobre X y Y respectivamente, si se cumple la propiedad 3 de la
proposición anterior.
Adjunción de Funciones entre conjuntos Ordenados
21
b) Dos funciones u : X → Y, v : Y → X son adjuntas contravariantes
a la derecha relativamente a las relaciones 6X y 6Y sobre X y Y
respectivamente, si para toda pareja (x, y) ∈ X × Y se cumple
y 6Y u(x) si sólo si x 6X v(y).
También emplearemos la expresión (u, v) : (X, 6) → (Y, 6) es una cupla
contravariante a izquierda en el caso a) y a la derecha en el caso b).
Proposición 4.3 a) Dos funciones adjuntas contravariantes a izquierda
transforman extremos inferiores en extremos superiores en extremos inferiores.
Recordemos que la afirmación anteriror a) significa que si u : X → Y y
v : Y → X son adjuntas contravariantes a izquierda entonces (i) si para un
subconjunto U de X existe en X su extremo inf U entonces, en Y , existe
el extremo superior sup(u! (U )) y además
u(inf U ) = sup u! (U ).
En resumen:
Si u es contravariante y adjunto a izquierda
u(inf (U )) = sup u! (U )
Si u es contravariante y adjunto a derecha
u(Sup U ) = inf u! (U )
Proposición 4.4 Sea u : X → Y y v : Y → X dos funciones adjuntas
contravariantes a izquierda. Y sea U un subconjunto de X saturado por la
función s. Si en Y el conjunto s! U admite máximo entonces (i) en (X 6) el
conjunto U admite mı́nimo y además (ii) d M ax (s! U ) = M in(U ).
Proposición 4.5 Sea u : X → Y una aplicación conjuntista. Sean 6X y
6Y relaciones de oreden sobre los conjuntos X e Y respectivamentes. Las
condiciones (a) y (b) siguientes son equivalentes:
1.
(i) u : (X, 6X ) → (Y, 6Y ) es contravariantes y (ii) todo estrato inferior
de u : X → (Y, 6Y ) es minimado (es decir para cada y ∈ Y , el conjunto
{u 6 y} := {x ∈ X|u(x) 6X y} admite mı́nimo en (x, 6X ));
22
2.
Teorı́a de la Adjuncón
Existe una función v : Y → X adjunta contravariante a la izquierda
de u relativamente a los ordenes 6X y 6Y . (Es decir para la cual la
pareja (u, v) cumple:)
u(x) 6 y ⇔ v(y) 6 x para todo (x, y) ∈ X×).
Proposición Dual 4.6 Sea u : X → Y una aplicación conjuntista; 6X , 6Y
relaciones de orden sobre X y Y respectivamente. Entonces las sigyientes
condiciones a) y b) son equivalentes:
1.
(i) u : (X, 6X ) → (Y, 6Y ) es monótona contravariante y (ii) todo
estrato superior de u : X → (Y, 6Y ) es maximado en (X, 6). (Es
decir, para todo y ∈ Y , el conjunto {y 6y u} := {x ∈ /X|y 6Y u(x)}
admite máximo en X, para el orden 6X ).
2.
Existe una función v : Y → X adjunta contravariante a la derecha de
u relativamente a los ordenes 6X , 6Y . (Es decir, que cumple
x 6 v(y) ⇔ y 6 u(x)
para toda pareja (x, y) ∈ X × Y ).
Capı́tulo 5
ADJUNCIÓN EN FUNCIONES DE VARIANZA
CERO
La función de varianza: Hemos estudiado dos tipos de adjunción: uno
que denominamos covariante y el otro contravariante. El primero para funciones monótonas que representan el orden, el segundo para aquellos que lo
intervienen. A primera vista estas dos últimas situaciones son excluyentes
pero en la realidad pueden cumplirse ambas en una misma función.
De manera precisa, dados dos conjuntos parcialmente ordenados X = (X, 6X
), Y = (Y, 6Y ) denotamos por M onot(X, Y ) el conjunto de aplicaciones conjuntistas f : X → Y que cumple alguna de las propiedades siguientes (a) o
(b):
1.
Para toda pareja x1 , x2 de puntos de X que cumpla x1 6X x2 , se
cumple que f (x1 ) 6Y f (x2 );
2.
Para toda pareja x1 , x2 de puntos de X que cumpla x1 6X x2 , se
cumple que f (x2 ) 6Y f (x1 ).
A las funciones que cumplen a) las hemos llamado monótonas covariantes(o
no decrecientes), a las que cumplen b), monótonas contravariantes.
Las propiedades a) y b) no son excluyentes, ası́ que no constituyen una partición del conjunto M onot(X, Y). En este parágrafo vamos a hacer resaltar
este caso la forma elemtal como se comportan las funciones que cumplan a
la vez a) y b) y que admitan adjunto. iniciemos con una definición:
Definición 5.1 Para una función f ∈ M onot(X.Y) se define la varianza
var(f ) de f como
23
24
Teorı́a de la Adjuncón
1. var(f ) = +1 si f es monótona covariante y existen dos puntos x1 y x2
de X, que cumplen x1 6 x2 y además f (x1 ) 6= f (x2 ).
2. var(f ) = −1 si f es monótona contravariante y si existen dos puntos
x1 y x2 de X, que cumplen x1 6 x2 y f (x1 ) 6= f (x)2 ).
3. var(f ) = 0 si cada vez que a 6 b en X se cumple f (a) = f (b).
La aplicación
var : M onot(X, Y) → {−1, 0, 1}
cumple evidentemente la propiedad
var(g ∗ f ) = var(g) • (f )
en donde ∗ representa la composición
∗ = M onot(X, Y) × M onot(Y, T) → M onot(X, T)
y en {−1, 0, 1} ⊆ Z se considera la multiplicación tradicional.
Proposición 5.2 Si f : X = (X, 6X ) → Y = (Y, 6Y ) es una aplicación
monótona y f◦ : X◦ = (X, 6◦X ) → (Y, 6Y ) está definida como f◦ (x) =
f (x) –pero en la que las relaciones han cambiado como se indica–, entonces
var(f◦ ) = −var(f ). De igual manera para la aplicación f ◦ : X → Y◦
var(f ◦ ) = −var(f ).
Es consecuencia inmediata del hecho de que la aplicación uX : X = (x, 6
) → X◦ = (X, 6◦ ), definida por uX (x) = x es de varianza −1.
Proposición 5.3 Si una función monótona –covariante o contravariante–
admite adjunto entonces ella y su adjunta tienen el mismo tipo de varianza.
Basta analizar el caso de una cupla covariante
(s, d) : X = (X, 6) → Y = (Y, 6)
y demostrar entonces que
var(s) = var(d).
Y en este sentido quedarı́a por comprobar que
a) Sı́ existen x1 y x2 distintos y tales que x1 6 x2 y s(x1 ) 6= (x2 ) entonces
por monotonı́a de s, y1 = s(x1 ) y s, y2 = s(x2 ) son comparbles y, lo
que es más importante, d(y1 ) 6= d(y2 ). En efecto si d(y1 ) fuera igual a
d(y2 ), sd(y1 ) serı́a igual a sd(y2 ) pero sd(yi ) = sds(xi ) = s(xi ).
Adjunción de Funciones entre conjuntos Ordenados
25
b) Si s es de varianza cero, sean y1 y y2 elementos comparables del conjunto Y : y1 6 y2 . Por la monotonı́a de d, d(y1 ) d(y2 ) son también comparables y, por hipótesis sobre s, sd(y2 ) = sd(y1 ). Ası́ que
dsd(y1 ) = dsd(y2 ) o lo que es lo mismo d(y1 ) = d(y2 ).
[Nota: recuérdese que para una cupla adjunta (s, d) se cumple sds = s y
dsd = d, es decir “persiste” la función que aparece dos veces.]
Nota: esta caracterı́stica de las funciones adjuntas permite definir var(s, d)
de una cupla adjunta como var(s) = var(d).
CONDICIONES DE ADJUNCIÓN EN FUNCIONES
DE VARIANZA CERO.
Proposición 5.4 Sea (s, d) : X = (x, 6) → Y = (Y, 6) una cupla adjunta.
Entonces las condiciones siguientes son equivalentes:
a) s es de varianza 0 (o lo que es los mismo: d de varianza 0).
b) Para todo x e X, s(x) es minimal en Y .
c) Para todo y ∈ Y, d(y) es maximal en X.
Demostración. Aceptemos que cupla (s, d) es adjunta. Sean x ∈ X y notemos y◦ = s(x). Si existiera y1 6 y0 en Y entonces d(y1 ) = d(y0 ) porque d
es de varianza cero. Entonces sd(y1 ) = sd(y0 ) = sds(x) = s(x) = y0 . Pero
además, y tambień por efectos de la adjunción,, sd(y1 ) 6 y1 con lo cual
y0 6 y1 . Es decir y0 = y1 . Ası́ que y0 es minimal en Y . Hemos demostrado que a)⇒ b). Por dualidad, podemos considerar demostrado que a)⇒ c).
Inversamente se suponemos b) y tomamos x1 6 x2 , entonces s(x1 ) 6 s(x2 )
pero como, por hipótesis, son minimales en Y entoncees son iguales. Y por
tal razón var(s) = 0
Corolario 5.5 Si (s, d) : X, 6→ Y, 6 es una cupla adjunta y var(s) =
var(d) = 0 entonces
1.
Para cada x en X existe un maximal (y uno sólo) en X que lo supera;
2.
Para cada y en Y existe un minimal (y uno sólo) en Y por debajo de
y;
26
Teorı́a de la Adjuncón
3.
La función x → “maximal mayor que x” es justamente el compuesto
ds; de manera dual la función y → “minimal menor que y” es el
compuesto sd.
4.
s establece una biyección las maximales de X y los minimales de Y ,
cuyo inverso es la restricción de d.
EJEMPLO. Sea (X, 6) un conjunto ordenado, Sea Eq(6) la mı́nima relación
de equivalencia sobre X que contiene a la relación 6. Sea θ : (X, 6) → (x1 , =
) es el prototipo de una función de varianza 0. Y como lo hemos enunciado
atrás las condiciones siguientes son equivalente para el orden 6 sobre X:
a) (X, 6) satisface la condición de maximal único (que es la condición 1.
del corolario inmediatamente anterior);
b) La función θ : (X, 6) → (X1 , =) admite adjunto a derecha.
El ejemplo es importante porque si una función s : X, 6→ Y, 6 es de varianza cero y admite adjunto a derecha d, entonces se descompone
X, 6
s
- Y, 6
6
σY
θX
?
X1 , =
s̄
- Y1 , =
en donde s̄ es la función de paso al cociente
X, 6
s
- Y, 6
6
θX
?
X1 , =
θY
s̄ -
Y1 , =
y σY : Y1 , =→ Y, 6 es el adjunto a izquierda de θY (que va a existir porque
por hipótesis si s es adjunto a izquierda y de varianza 0, entonces Y satisface
el principio de minimal único). θX es por la misma razón adjunto a izquierda
y s̄ por ser una biyección es adjunto. Ası́ que s = σY sθY , es el compuesto
de tres adjuntas a izquierda y, todas ellas, enmarcadas de alguna manera en
el ejemplo anterior.
Capı́tulo 6
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
ASOCIADAS A FUNCIONES ADJUNTAS.
En esta parágrafo tratamos de establecer resultados en un toso paralelos a
los ya conocidos de la teorı́a de conjuntos: allı́ se muestra que toda función
da lugar a una relación de equivalencia son todas asociadas a funciones.
Este hecho se justifica con las construcciones del conjunto cociente y de la
aplicación canónica al cociente, asociados con una relación de equivalencia.
El cuadro se completa mostrando un proceso en el intervienen al mismo
tiempo las dos maneras de proceder y que tiene como resultado principal
aquel de la descomposición de una función f : X → Y en una función al
cociente σf , una viyección ǫf y un monomorfismo if , tal como lo muestra el
siguiente diagrama:
X
f
σf
if
?
X/eq(f )
- Y
6
ǫf
- Im(f )
Como aquı́ tratamos con conjuntos ordenados el trabajo consiste en heredar
en el conjunto cociente X/eq(f ) ası́ como también en Imf una estructura
de orden, de tal forma que, entre otras cosas, las funciones que aparecen en
el diagrama sean monótonas. Peor eto no es todo: La descomposición debe
llevar la información suficiente que permita recuperar la hipótesis de que f
es adjunta.
Lo anterior justifica el hecho de que hayamos centrado nuestra atención en
el análisis de las relaciones de equivalencia asociadas a funcines adjuntas.
Iniciamos por eso con la siguiente
27
28
Teorı́a de la Adjuncón
Proposición 6.1 Sea (s, d) : (X, 6) → (Y, 6) una cupla adjunta. Se denota
por Eq(s) la relación de equivalencia “x1 ∽ x2 (M od s) si y sólo si s(x1 ) =
s(x2 )”. De igual manera se define Eq(d) en Y . entonces
a) Toda clase de equivalencia de Eq(s) es maximada en el conjunto ordenado (X, 6).
b) Si x1 6 x2 entonces también se cumple que max clase(x1 ) 6 +clase(x2 ).
Nota. (1) Deberı́amos haber escrito clase(x, s) en lugar de clase(x) para
recordar que la relación es asociada a s.
(2) Como ya sabemos que existe un principio de dualidad, lo que digamos
para la función s de una cupla adjunta (s, d) tiene una afirmación correspondiente –y dual– para la función d.
Demostración de la proposición.a) Basta observar que
M ax clase(x, s) = ds(x)
En efecto si x1 está en la clase de x entonces s(x) = s(x1 ) y entonces
ds(x) = ds(x1 ) pero por dualidad x1 6 ds(x1 ). Ası́ que ds(x) es cota superior del conjunto cl(x, s). Por otra parte la igualdad sds = s asegura que
ds(x) y x son equivalentes módulo s.
b) Esta segunda parte es consecuencia inmediata de la primera. Allı́ se utilizaron las relaciones 1 6 ds y sds = s. Aquı́ se usa únicamente el hecho de
que s y d sean mont́onas:
x1 6 x2 ⇒ ds(x1 ) 6 ds(x2 ).
Esta proposición nos inspira una definición ya que la relaciona intimamente
dos estructuras sobre un mismo conjunto X : una de equivalencia y la otra
de orden.
Definición 6.2 Sea X un conjuntos y sean R y 6 dos relaciones sobre X :
una de equivalencia y la otra de orden. Se dice que R es max-compatible
con 6 si
a) Toda clase de equivalencia según R es maximada para el orden 6;
29
Adjunción de Funciones entre conjuntos Ordenados
b) Si x1 6 x2 entonces max clase(x1 , R) 6 max clase(x2 , R).
Como lo prometimos vamos a mostra que las relaciones de equivalencia maxcompatibles con alguna relación de orden 6 son justamente aquellas asociadas con funciones s adjuntas a izquierda.
Proposición 6.3 Si R es una relación de equivalencia max-compatible con
una relación de orden 6 sobre un conjunto X, entonces: (a) el conjunto
cociente X/R está dotado de una relación de orden 6R definida por
′
′
cl(x, R) 6R cl(x , R) si sólo si M ax clase(x, R) 6 M ax clase(x , R)
En otras se comparan dos clases comparando sus elementos maximales.
(b) La aplicación canónica al cociente σ : X → X/R es monótona covariante
entre los ordenes 6 y 6R .
(c) σ es adjunta a izquierda: si se define ∂ : X/R → X asociando a una clase
d(x, R) su elemento maximal en (X, 6) entonces (σ, ∂) : (X, 6) → (X/R, 6R
) es una cupla adjunta.
Demostración. (a) 6R es una relación de orden: veamos la antisimetrı́a.
Si a 6R b 6R a entonces M ax a 6 M ax b 6 M ax a en (X, 6) entonces
M ax a = M ax b en X. Entonces las clases a y b se encuentran y por eso
son iguales.
(b) La función σ : (X, 6) → (X/R, 6R ) es monótona covariante: si x1 6 x2
entonces, por hipótesis sobre la relación R, M ax clase(x1 , R) 6 M ax clase(x2 , R)
y en consecuencia clase(x1 , R) 6R clase(x2 , R) en X/R. Es decir que σ(x1 ) 6
σ(x2 );
(c) ∂ es también monótona y además
x 6 ∂σ(x) = M ax clase(x, R)
σ∂(a) = a
Lo que significa que la adjunción es fuerte y que σ admite como sección a ∂.
PROPIEDAD UNIVERSAL DEL PASO AL COCIENTE
Proposición 6.4 Sea (s, d) : (X, 6X ) → (Y, 6Y ) una cupla adjunta y sea
R una relación de equivalencia sobre X Max-compatible con la relación de
orden 6X . Si s es compatible con R es decir si
(x1 , x2 ) ∈ R → s(x1 ) = s(x2 )
30
Teorı́a de la Adjuncón
entonces existe una y una sóla cupla adjunta
¯ : X/R, 6R → Y, 6Y
(s̄, d)
que cumple
s̄σ = sy∂ d¯ = d.
El diagrama siguiente resume bastante bien la afirmación precedente
¯
¯ 6y:
En efecto basta demostrar por separado que a 6 ds̄(a)
y s̄d(y)
¯
¯
1. ds̄(a)
= σds̄(a) = σds̄σ(x) con σ(x) = a. Ası́ que ds̄(a)
= σds(x) 6
σ(x) = a, porque ds(x) 6 x;
¯ = s̄σd(y) = sd(y) 6 y
2. s̄d(y)
En cuanto a ala unicidad nótese que la relación s̄σ = s define de maneraúnica
a s̄. En cuanto de d¯ no puede haber dos si entre las cosas que se suponen de
ella una es la de ser adjunta a la derecha de s̄.
Vamos por último que ∂ d¯ = d. En efecto
∂ d¯ = ad(σ) ◦ ad(s̄) = ad(s̄σ) = ad(s) = d
en donde ad( ) denota el operador que a una función (adjuntable a la
derecha) hace corresponder su adjunto a la derecha. Este operador cumple
evidentemente:
ad(u ◦ v) = ad(v) ◦ ad(u)
.
TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN.
Teorema 6.5 Sea (s, d) : X, 6→ Y, 6 un para djunto. Entonces existe una
descomposición –como aparece en el digrama
en donde las flechas puntadas son adjuntos respectivos, a la derecha, de
sus flechas paralelas y aparecen marcadas entre paréntesis. Además dicha
descomposición tiene las siguientes caracterı́sticas
1.
σs en epiyectiva, ǫs es biyectiva y is es monomórfica; en consecuencia:
2.
∂s es monomórfica, ǫ−1
s es la adjunta de ǫs y rs es pimófica;
Adjunción de Funciones entre conjuntos Ordenados
31
3.
Existe un orden (denotado: 61 ) en la imagen lm(s) para el que la
inclusión is : lm(s) 61 → Y, 6 admite adjunto a derecha rs .
4.
Las adjunciones (σs , ∂s ) y (rs , is ) son fuertes en el sintido de que
∂s σs = 1 y rs is = 1 (ası́ que ∂s es una sección de σs y rs es una
retracción de is ).
Nótese que is no se supone que establezca un isomorfismo entre (lm(s), 61 )
y (lm(s), 6), siendo la segunda relación la inducida por la de (Y, 6).
Nota. Si se quiere forzar a ǫs a que sea un isomorfismo de conjuntos ordenados habrá que definir en lm(s) el orden
y1 61 y2 enlm(s)(siysólosi)d(y1 ) 6 d(y2 )en(X, 6).
También se puede caracterizar esta relación de orden diciendo que si yi =
s(xi ) entonces y1 61 y2 si y sólo si x1 61 x2 . pero entonces debe demostrarse
que no depende de los puntos x1 y x2 elegidos: esto es ası́ porque la relación
Eq(s) es compatible con el orden, es decir porque:
′
′
(x1 ≡ x1 yx1 6 x2 ) ⇒ x1 6 x2 .
32
Teorı́a de la Adjuncón
Capı́tulo 7
TODA ADJUNCIÓN SE
TRADUCE COMO UN
CASO DE
AUTO-ADJUNCIÓN
CONTRAVARIANTE
Comencemos por observar un hecho evidente: si X, 6 es un conjunto ordenado, una función covariante u : X, 6→ X, 6 es adjunta de si misma si
y sólo si u es un isomorfismo y u−1 = u. este fenómeno es cosecue3ncia
de un hecho más general: si s : X, 6→ Y, 6 es adjunto a la izquierda de
d y, a su turno, d es adjunto a la izquierda de s necesariamente d y s
son isomorfismos y el uno es inverso del otro. El caso u1 = u induce a
pensar en una cierta simplicidad de la función u. Sin embargo no se trata
necesariamente de la identidad: vamos un ejemplo. Sea f : A → B una
biyección entre dos conjuntos A y B que tenga el mismo cardinal, se define
g : AµB = X → AµB = X, g(a) = f (a), g(b) = f −1 (b) para a ∈ A y b ∈ B.
es claro que gg = 1X . Para no trivializar excesivamente el ejemplo– si no se
quiere considerar en X la relación de orden trivial (i.e: la igualdad), puede
considerarse la función u = f ! : P (X) → P (X) para la cual se cumple que
f ! = f! . Es decir, que u = ad(u) es auto adjunta.
La simplicidad de este tipo de funciones s : X, 6→ X, 6, auto-adjuntas covariantes es en el fondo bastante aparente, ya que si s1 , s2 : X, 6→ X, 6 son
dos de esas funciones, no siempre s1 ◦ s2 es de ese tipo, a menos , claro esta,
que s2 ◦ s1 = s1 ◦ s2 .
33
34
Teorı́a de la Adjuncón
Nos interesa, para establecer el contraste en este parágrafo, saber que
Si u es auto-adjunta covariante necesariamente u es un isomorfismo (de
inverso u).
Nose trivializa tanto la situación si en lugar de covariantes consideramos
auto-adjuntos contravariantes. En este caso la situación se traduce ası́
Afirmación: Para una función contravariante u : X, 6→ X, 6 las condiciones siguientes son equivalentes
1.
Para todo x ∈ X, uu(x) 6 x (resp. x 6 uu(x))
2. u es auto adjunta contravariante a izquierda (resp. a derecha).
Pero en este caso no se concluye que u sea una isomorfismo, como sı́ sucedı́a
en el caso contravariante. Es más, toda adjunción se traduce en la forma
de una auto-adjunción contravariante que, como se verá, está lejos de triializarse. Con tal objeto, y dados dos conjuntos ordenados X, 6X y Y, 6Y
definimos un orden “cruzado” en X × Y ası́
(x, y) °
6(x1 , y1 ), ss, x 6X x1 , y, y1 6Y y.
En otras palabras, °
6 representa el orden producto 6X × 6◦Y .
También denotaremos por u = u(s, d) : X × Y → X × Y la función u(x, y) =
(d(y), s(x)) asociada a una pareja de funciones
s : X → Y, d : Y → X.
Con esas notaciones enuncimos la siguiente
Proposición 7.1 Las condiciones siguientes son equivalentes:
1.
(s, d) : X, 6→ Y, 6 es una cupla adjunta (covariante);
2.
La función u = u(x, d) : X × Y, °
6 → X × Y, 6 es auto-adjunta contravariante a derecha.
Cuya demostración se desarrolla sin invonvenientes. Es más
Adjunción de Funciones entre conjuntos Ordenados
35
Proposición 7.2 La función u de la proposición anterior cumple la relación:
u3 = u.
Esta última relación resume las propiedades (cl2.a) y (cl2.b) del capı́tulo 2
que llamamos la ley dfe “dos contra uno”. En resumen:
La propiedad
u es contravariante
u2 < 1
u3 = u
—
—
—
—
refleja la propiedad
d y s son covariantes
sd(y) 6 y, ∧, x 6 ds(x)
sds = s, ∧, dsd = d
Con las notaciones del capı́tulo 2 sobre funciones de clausura,
u2 = (c, i) : (x, y) → (ds(x), sd(y)) = (c(x), i(y)).
Se encierra ası́, en una misma función, las funciones de clausura exterior e
interior de la cupla (s, d). u
36
Teorı́a de la Adjuncón
Capı́tulo 8
ADJUNCIÓN EN TERMINOS DE
CONTINUIDAD.
ESPACIOS CON LA PROPIEDAD MA.
La continuidad fuerte.
Se muestra en este parágrafo que el estudio de las funciones adjuntas -a
izquierda, por ejemplo- se puede asimilar con aquel de la continuidad fuerte
en funciones entre espacios topológicos de un tipo muy especial. Con el fin
de precisar demos dos definiciones
1.
Un espacio topológico es del tipo MA◦ si
a)
Toda intersección de abiertos es abierto y si
b)
Dados dos puntos distintos del espacio hay una vecindad de alguno de ellos que no contiene al otro.
La propiedad 1 a entraña que todo punto y -todo conjunto del espacio- admite
una mı́nima vecindad abierta que lo contiene (el calificativo MA se refiere
ası́ al Mı́nimo Abierto cf —). Estos hechos aseguran, para un espacio (X, τ )
del tipo MA◦ , la existencia de una función V (= V τ )
V : X −→ τ
x 7−→ Vx
que asocia con cada punto x su mı́nima vecindad Vx . La propiedad 1 a asegura la existencia de esta función y la 1 b entraña que V es inyectiva.
La otra definición tiene que ver con la continuidad: una función
37
38
Teorı́a de la Adjuncón
f : X, τ → Y, µ
entre espacios del tipo MA◦ es fuertemente continua si
“para todo punto y de Y existe un
punto x de X tal que f (Vy ) = Vx ”
(De manera más precisa deberı́amos escribir f (Vyµ ) = Vxτ ). Además cabe
anotar que el punto x -asociado a y- de la definición anterior es único como
consecuencia de la definición 1 parte b). Hecho que se traduce diciendo que
existe, entonces, una aplicación g : y 7→ x de Y en X que hace conmutativo
el diagrama
V µµ
Y
g
f −1
?
X
V
?
- τ
τ
Una función fuertemente continua f : X, τ → Y, µ conlleva una aplicación
g : Y → X, sobre la que podemos hacer la siguiente observación
Proposición 8.1 La función g; Y, µ → X, τ , asociada a una función fuertemente continua f : Y, µ → X, τ entre espacios del tipo MA◦ , es continua.
En efecto sea A un conjunto abierto de X. Supongamos que y◦ es un punto
de g −1 (A) y tratemos de comprobar que Vy◦ ⊂ g −1 (A).
En primer lugar, como y◦ ∈ g −1 (A) entonces g(y◦ ) está en el abierto A y
en consecuencia Vg(y◦ ) ⊂ A.
Pero por la definición de g
f −1 Vy◦ = Vg(y◦ ) ⊂ A.
Pasemos entonces a comprobar que Vy◦ ⊂ g −1 A:
Si y ∈ Vy◦ entonces Vy ⊂ Vy◦ y f −1 Vy ⊂ f −1 Vy◦ = Vg(y◦ ) ⊂ A
ası́ que
g(y) ∈ Vg(y) = f −1 Vy ⊂ A
Lo que termina la demostración.
Hagamos sin embargo una anotación sobre un hecho que sobrenada a lo largo
de la demostración:
Adjunción de Funciones entre conjuntos Ordenados
39
Lema 8.2 Para un subconjunto abierto A de X se cumple que
g(y) ∈ A ⇐⇒ f −1 Vy ⊂ A
O lo que es lo mismo
g −1 A = {y | f −1 Vy ⊂ A}
Con lo cual se descubre además que si A es abierto en X y f es fuertemente
continua entonces {y | f −1 ◦ V(y) ⊆ A} es de nuevo abierto (en Y ).
PROCESO DE DUALIZACIÓN EN CONTINUIDAD FUERTE.
Nótese que no se afirma que g : Y, µ → X, τ que sea fuertemente continua. Sin embargo hay forma de perfeccionar la proposición anterior y para
lograrlo no debe trabajarse con las topologı́as µ y τ como allı́ aparecen, sino
más bien con sus topologı́as duales τ ∗ y µ∗ . Veamos primero este concepto
y luego el teorema que nos interesa.
Definición 8.3 Si τ es una topologı́a sobre X del tipo MA◦ , se denota por
τ ∗ la topologı́a cuyos abiertos son los conjuntos cerrados τ .
τ ∗ = {A | Ac ∈ τ }
Nos referimos a τ ∗ como a la topologı́a dual de la topologı́a τ . Evidentemente
τ ∗ es del tipo MA◦ .
Teorema 8.4 Sea f : X, τ → Y, µ una función fuertemente continuamente
entre espacios topológicos del tipo MA◦ . Denotamos por f ∗ : Y → X la
función definida por la relación:
f −1 Vy = Vf ∗ (y) ,
es decir, la única aplicación que hace conmutativo el diagrama
X
f∗
V τ-
6
6
Y
τ
f −1
V µ-
µ
Entonces f ∗ : Y, µ∗ → X, τ ∗ es fuertemente continua.
40
Teorı́a de la Adjuncón
Para lograr este objetivo es aconsejable traducir en términos de la topologı́a
∗
τ la función de “mı́nimia vecindad” V τ de τ ∗ :
∗
Lema 8.5 La función V τ : X → τ ∗ asocia a cada x ∈ X, la adherencia
τ
{x} del singleton {x} relativa a la topologı́ τ .
∗
V τx = {x}
τ
∗
V τ = ad hτ ( ) : X → τ ∗
También se puede precisar el teorema diciendo que la función, asociada a f ∗ ,
y que permite asegurar la continuidad fuerte de esta última, es justamente
f . Demanera precisa:
Lema 8.6 El diagrama
∗
X
V τ-
τ∗
(f ∗ )−1
f
?
Y
?
- µ∗
∗
Vµ
es conmutativo. O equivalente
∗
∗
a)
(f ∗ )−1 (V τ (x)) = V µ (f (x))
b)
(f ∗ )−1 (ad hτ (x)) = ad hµ (f (x))
En efecto
y ∈ (f ∗ )−1 (ad hτ (x))
←→
f ∗ (y) ∈ ad hτ (x)
←→
(τ es M A◦ )
Vf ∗ (y) ∋ x
f
(Vyµ )
←→
(f es fuert. cont.)
∋x
←→
f (x) ∈ Vyµ
←→
y ∈ ad hµ (f (x))
←→
(µ es M A◦ )
Ası́ termina la demostración del Teorema.
Adjunción de Funciones entre conjuntos Ordenados
41
LA CATEGORÍA M A◦ ES AUTO-OPUESTA. Como conclusión,
este Teorema nos aclara que la categorı́ de los espacios del tipo M A◦ y funciones fuertemente continuas es auto-opuesta. Precisemos estos hechos:
Definición de la Categorı́ M A◦ . Sus objetos son los espacios (X, τ ) del
tipo M A◦ . Sus morfismos f : X, τ → Y, µ son las aplicaciones fuertemente
continuas. Se observa que
Lema 8.7
a) El compuesto g ◦ f de dos funciones
f
g
X, τ → Y, µ → Z, η
fuertemente continuas es fuertemente continua.
Es más, como
(gf )−1 (Vz ) = f −1 g −1 Vz = f −1 (Vg∗ (z) ) =
= Vf ∗ g∗ (z)
b)
(g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗
El Funtor contravariante ( )∗ : MA◦ → M A◦ .
Asocia (a) A un objeto (X, τ ) el espacio (X, τ ∗ ).
(b) A una función fuertemente continua f : (X, τ ) → (Y, µ) la
función f ∗ : (Y, µ∗ ) → (X, τ ∗ )
Se trata de un functor contravariante que además cumple
Proposición 8.8
a) El compuesto ( )∗ ◦ ( )∗ es la identidad;
b) ( )∗ establece una equivalencia entre la categorı́a (M A◦ )◦, opuesta de
la categorı́a M A◦ , y la categorı́a M A◦ misma:
(M A◦ )◦ ∼
= M A◦ .
TOPOLOGÍAS DUALES ASOCIADAS A UN CONJUNTO ORDENADO.
Sea (A, 6) un conjunto ordenado. Se dice que un subconjunto A de X es
inicial para el orden 6 de X si
42
Teorı́a de la Adjuncón
“para todo a en A, si b 6 a es un punto cuanquiera de X, entonces b también está en A”.
Si B ⊆ X es inicial para el orden opuesto 6◦ entonces se dice que B es final
para el orden 6.
Proposición 8.9
a) La colección ι(6)(respφ(6)) de los conjuntos iniciales (resp. finales) para el orden 6 sobre X, forman una topologı́ del
tipo M A◦ .
b) Las topologı́as ι(6) y φ(6) son duales la una de la otra
(ι(6))∗ = ι(6◦ ) = φ(6)
o, si se quiere, ι∗ = φ.
Las funciones “de mı́nima vecindad” X → ι(<), X → φ(6) asocian a x los
conjuntos ci(x) y cs(x) de las cotas inferiores y de las cotas superiores, para
el orden 6, del conjunto {x}, respectivamente.
Vι(6) (x) = ci(x); Vφ(6) (x) = cs(x).
DOS FUNTORES DE Copo EN Top.
Si f : X, 6X → Y, 6Y es una función covariante (i. e., monótona no decreciente) entonces f : X, ι(6X ) → Y, ι(6Y ) es una función continua. También
f es continua entre las topologı́as φ(6X ) y φ(6Y ). Es más, el procedimiento ι(respφ) da lugar a un functor covariante de la categorı́a Copo de los
conjuntos parcialmente ordenados y funciones monótonas no decrecientes,
en la categorı́a Top de los espacios topológicos y funciones continuas. En
realidad ese functor toma valores en la categorı́a de espacios del tipo M A◦ y
funciones continuas. Pero no toma valores en la categorı́a de esos espacios y
funciones fuertemente continuas. Con esta mira pasamos al tı́tulo siguiente:
Adjunción de Funciones entre conjuntos Ordenados
43
ADJUNCIÓN Y CONTINUIDAD FUERTE.
Teorema 8.10 1. Para una función f : X → Y entre dos conjuntos ordenados (X, 6X ), (Y, 6Y ), las condiciones siguientes son equivalentes
a) f : (X, 6X ) → (Y, 6Y )es adjunta a izquierda (resp. f es adjunta
a derecha)
b) f : (X, ι(6X )) → (Y, ι(6Y ))es fuertemente continua (resp.
f : (X, φ(6X )) → (Y, φ(6Y )) es fuertemente continua).
En efecto, basta demostrar 1 a Para x ∈ X y y ∈ Y las condiciones (i)
f (x) 6 y, (ii) x ∈ f −1 ci(y) son equivalentes (aún si f no es una función
monótona).
De igual manera (iii) x 6 g(y) y (iv) x ∈ ci(g(y)). Por tal razón la equivalencia de (i) y (iii) puede ser traducida por la igualdad (para cada y en Y ):
f −1 ci(y) = ci(g(y))
Lo que nos está diciendo que la función f es fuertemente continua entre las
topologı́as ι(6X ) e ι(6Y ). Y que, además, la función dual f ∗ : Y → X que
le es asociada es justamente su función adjunta a derecha.
LA EQUIVALENCIA DE LAS CATEGORÍAS Adj Y M A◦ .
1.
Un objeto de la categorı́a Adj es conjunto ordenado (X, 6) y un
morfismo de dominio (X, 6) y codominio (Y, 6) es un par adjunto
(s, d) : (X, 6) → (Y, 6) en el que, repitamos para mayor precisión,
s : X, 6→ Y, 6 es adjunta a izquierda de d : Y, 6→ X, 6.
La composición
(s,d)
(σ,∂)
X, 6−→ Y, 6 −→ Z, 6
está definida por la relación
(σ, ∂) ◦ (s, d) =: (σs, ∂d)
La identidad (X, 6) → (X, 6) es la cupla de (idX , idX ).
44
Teorı́a de la Adjuncón
Nota. Un isomorfismo (s, d) : X, 6→ Y, 6 en esta categorı́a está constituido
por un isomorfismo s : X, 6→ Y, 6 entre conjuntos parcialmente ordenados
y d es justamente el inverso s−1 de s.
Teorema 8.11 Las categorı́as Adj y M A◦ son equivalentes.
Definimos I:Adj →M A◦ (a) sobre los objetos I(X, 6) = (X, ι(6)), (b) sobre las flechas I(s, d) = s.
El funtor inverso de I, denotado por J, asocia (a) a un espacio (X, τ ) del
tipo M A◦ el conjunto parcialmente ordenado (X, 6τ ) en donde la relación
de orden está definida ası́
x 6τ y, ss, Vxτ ⊆ Vyτ
siendo Vxτ la mı́nima vecindad de x para τ.
Es decir 6τ es la relación sobre X imagen recı́proca de la relación de inclusión, que hay en τ , por medio de la función V τ : X → τ. La inyectividad
de V τ asegura la antisimetrı́a de 6τ . (b) A una función fuertemente continua s : X, τ → Y, µ asocia la pareja (s, s∗ ) : X, 6τ → Y, 6µ . Ya sabemos
que s∗ : Y → X representa la función -cuya existencia está asegurada por
la continuidad fuerte- definida por la igualdad
s−1 Vyµ = Vsτ∗ (y) .
Capı́tulo 9
LA CONTINUIDAD FUERTE DE FUNCIONES
ENTRE ESPACIOS TOPOLOGICOS
CUALESQUIERA Y SUS CUPLAS ADJUNTAS.
El parágrafo anterior hizo sobrenadar una noción más fuerte que la continuidad. La limitante era que se trabajaba en espacios topológicos de un
tipo muy especial: en los que la intersección de abiertos es abierto.
Nuestra meta, en este parágrafo, es mostrar que la noción de continuidad
fuerte se puede generalizar a funciones entre espacios topológicos cualesquiera.
Más aún, este caso general permite mostrar que la continuidad fuerte
1.
conlleva una cupla adjunta entre conjuntos preordenados -siguiendo
los delineamientos del parágrafo anterior- y
2.
produce una adjunción de funciones entre los conjuntos ordenados de
los abiertos (de los espacios que intervienen en la función).
De manera un poco más precisa se establece, para una función f : XY entre
los conjuntos subyacentes de dos espacios topológicos (X, τ ) y (Y, µ), la noción de continuidad fuerte. Entre las propiedades que se observan para una
función de ese genero estan
1.
La función f : X, 6τ Y, 6µ que ella induce entre los conjuntos preordenados, admite adjunto a derecha. [Larelación a6τ b es equivalente
a V (a, τ ) ⊇ V (b, τ ) en donde V (a, τ ) representa el filtro de vecindades
de a para la topologı́a τ.
45
46
2.
Teorı́a de la Adjuncón
La función imagen recı́proca
f ! : µτ
(que está bien definida porque f es continuia) admite adjunto a derecha.
Quizá sea conveniente precisar un poco más el resultado logrado en este
parágrafo: En el momento de definir la continuidad fuerte de
f : X, τ Y, µ
aparece, como en el caso anterior, una aplicación g : Y, X. Allá (es decir
en el ??), g quedaba enteramente determinada por f ; aquı́ puede haber innumerables funciones g que cumplen con lo exigido. Sin embargo todas ellas
resultan continuas de Y, µ en X, τ y las funciones
g! : τ µ
resultan adjuntas a derecha de f
f ! : µτ.
Con lo cual se concluye entre otras cosas que si bien g no queda determinada
univocamente por f , en cambio g ! sı́ queda determinada sin ambiguedad por
f !.
El parágrafo ?? inicia con una caracterización de la noción de continuidad
fuerte y diversas consecuencias hilvanadas para hacer más fácil su estudio.
Luego un teorema resume tres formas diferentes -pero equivalentes- de la
continuidad fuerte: dos de ellas de aspecto topológico, la otra dentro de la
Teorı́a de la adjunción.
CONTINUIDAD FUERTE: CASO GENERAL. DEFINICION.
Una función f : X, τ Y, µ entre dos espacios topológicos se dice fuertemente
continua si
a)
es continua y
b)
para cada elemento y de Y existe un elemento de x de X tal que
f −1 V (y, µ) = V (x, τ ).
Adjunción de Funciones entre conjuntos Ordenados
47
En consecuencia la continuidad fuerte de f : X, τ Y, µ asegura la
existencia de una función g : Y X -y podrı́a haber varias de esas
aplicaciones conjuntistas- que hace el siguiente diagrama conmutativo
VFil(X)
X
6
6
g
f −1
- Fil(Y )
Y
en el que
1)
2)
FilX denota el conjunto amplio de los filtros sobre X, es decir
aquel que incluye a P (X) como un filtro;
f denota el operador ”imagen recı́proca”que, recordamos, asocia a un filtro Gin sobre Y , el filtro
f −1 Gin = {U ⊂ X|U ⊇ f −1 (G) ∈ Gin}
La letra V reemplaza, indistintamente, a V (−−, τ ) : XFilX
y a V (−−, µ) según el caso.
DEFINICION.Una pareja (f, g) de aplicaciones
f
g
X→Y →X
está ensamblada con respecto a las topologı́as τ, sobreX, yµsobreY, sisecumplelaigualdad
f −1 V (y, µ) = V (g(y), τ )
para cada elemento y de Y .
Nótese que una misma función f puede estar ensamblada con varias g;
en efecto se llegarı́ a la conclusión que para cada y en Y , V (g1 (y), τ ) =
V (g2 (y), τ ). Lo cual es frecuente en espacios que tengan defectos en la separación.
Saquemos algunas conclusiones de estas nociones.
Primero vamos a asociar a una topologı́a τ sobreXunpreorden6τ .
x1 6 x2 si y sólo siV (x1 , τ ) ⊇ V (x2 , τ )
No se trata de un orden porque, en general, falla la propiedad antisimétrica.
Eso dicho consideremos la siguiente
48
Teorı́a de la Adjuncón
AFIRMACION. Si (f, g) es una pareja de aplicaciones ensamblada con
respecto a (τ, µ) entonces
1)
g : Y 6µ X, 6τ
es monótona no decreciente.
En efecto
y1 6µ y2 ⇐⇒ V (y2,µ ) ⊆ V (y1 , µ)
=⇒ f −1 V (y2 ) ⊂ f −1 V (y1 ) ⇐⇒ V (g(y2 ), τ ) ⊆ V (g(y1 ), τ )
⇐⇒ g(y1 ) 6τ g(y2 ).
2) Para todo x en X, las condiciones siguientes son equivalentes
a′ f : X, τ Y, µ es continua en x;
b′ Para el elemento x de X, x 6τ gf (x).
En efecto tómese en cuenta la siguiente expresión
v(x) ⊇ f −1 V (f (x)) = V (gf (x))
La primera inclusión de izquierda a derecha es equivalente a
la continuidad de f en x, la igualdad es la hipótesis central
de que (f, g) está ensamblada.
3)
En una pareja de funciones (f, g) ensamblada con respecto
a (τ, µ) la continuidad de f : X, τ Y, µ no es automática; en
cambio AFIRMACION.
g : Y, µX, τ es continua.
En efecto: Sea L ∈ V (g(y)) = f −1 V (y) entonces existe V
vecindad abierta de y tal que L ⊃ f −1 V . Mostremos que
si y1 ∈ V entonces g(y1 ) ∈ L : V ∈ V (y1 ) y f −1 (V ) ∈
f −1 V (y1 ) = V (g(y1 )). Es decir g(y1 ) ∈ f −1 V ⊂ L.
Otro resultado interesante para este tipo de parejas de funciones tiene qué ver con su comportamiento sobre abiertos.
De manera precisa
4)
AFIRMACION.
Si (f, g) es una pareja ensamblada con respecto a las topologı́as
(τ, µ)entoncesparacadaabiertoKdeµ, ycadaabiertoLdeτ
K ⊆ g −1 f −1 (K)
(f g(K) ⊆ K)f −1 g −1 L ⊆ L
En efecto, suponiendo que K es abierto, si k ∈ K, f −1 K ∈ f −1 V (k) =
V (g(k)) entonces g(k) ∈ intf −1 K. Es decir k ∈ g −1 intf −1 K.
Por otra parte si x ∈ f −1 g −1 L entonces, gf (x) ∈ L. Ası́ L ∈ V (gf (x)) =
f −1 V (f (x)). Entonces L ⊃ f −1 V en donde V ∈ V (f (x)). Ası́ que x ∈
49
Adjunción de Funciones entre conjuntos Ordenados
f −1 V ⊂ L. Es decir x ∈ L.
CONSECUENCIA. f g(y) 6µ y para todo y ∈ Y . Para verlo basta trabajar con vecindades abiertas: se quiere mostrar que V (y) ⊆ V (f g(y)); siK es
vecindad abierta de y, g −1 f −1 K es vecindad de y (por la afirmación 2 b4).
En consecuencia y ∈ g −1 f −1 K. Luego f g(y) ∈ K y (como K es abierto)
K ∈ V (f g(y)).
1)
RESUMEN. Sea f : X, τ Y, µ una función fuertemente continua y g : Y X una aplicación tal que (f, g) es una pareja
ensamblada con respecto a (τ, µ). Entonces: la cupla
(f, g) : X, 6τ Y, 6µ
es adjunta.
Nota. A pesar de tratarse de relaciones que no alcanzan a
ser de .orden”sin embargo la noción de adjunción persiste:
∀x ∈ X ∀y ∈ Y, (f (x) 6µ y ⇐⇒ x 6τ g(y))
(∗)
Como por otra parte la relación 6τ (resp 6µ ) es reflexiva,
está propiedad entraña que
f g(y) 6µ y
x 6 gf (x)
(∗1)
(∗2)
Además la monotonı́a de f (resp. de g) es consecuencia de
aplicar (*)y (*1)
=⇒
x1 6 x2 (∗1) x1 6 x2 6 gf (x2 ) =⇒ x1 6 gf (x2 )
⇐⇒
(∗) f (x1 ) 6 f (x2 )
Es decir
f y g son monótanos no-decrecientes.
(*3)
Inversamente, y sin mayor esfuerzo, se concluye que
(∗1) ∧ (∗2) ∧ (∗3) ⇐⇒ (∗)
La ley antisimétrica, cuando se cumple, en las relaciones
6τ , 6µ sirve para asegurar que el adjunto es único. Pero en el
caso general que nos ocupa -y salvo sı́imponemos condiciones
50
Teorı́a de la Adjuncón
a τ y/oµ−yahemoshechonotarque, acopladasconf, puedehabermásdeunaf uncióng
Terminada esta Nota regresamos al 2 b1 Resumen. Quedarı́a por comprobar que f : X, 6τ Y, 6µ es monótona, habida cuenta de las Afirmaciones
2 b1 y 2 b2 y su consecuencia. No es difı́cil demostrar que la monotonı́ de
f : X, 6τ Y, 6µ es consecuencia de la continuidad de f : X, τ Y, µ. (Pero
aquella no implica ésta).
Pasamos ahora a establecer otra cupla adjunta asociada a una función f :
X, τ Y, µ que satisface la continuidad fuerte. Pero en esta otra manera de interpretar la continuidad fuerte se logra que -contrariamente a lo que sucedı́a
en nuestro 2 b1 Resumen- la interpretación sea enteramente equivalente a
dicho tipo de continuidad.
TRADUCCION DE LA CONTINUIDAD FUERTE EN TERMINOS DE ADJUNCION. Iniciamos este tema presentando primero
varias formas de ver el acoplamiento de funciones y, en consecuencia, de la
continuidad fuerte.
PROPOSICION. Sean f : XY, g : Y X dos aplicaciones y τ yµtopologı́assobreXyYrespectivam
2)
(f, g) es una pareja ensamblada con respecto a las topologı́as
(τ, µ) : esdecirque”paracadaelementoydeY,f−1 V (y) =
V (g(y))”;
3)
Para cada subconjunto A de X, se cumple la igualdad
g −1 (Ā) = f (A);
4)
Para cada subconjunto B de X, se cumple la igualdad
g −1 (int(B)) = intf∗ (B).
Nota. Denotemos por f∗ : P XP Y la función
f∗ (B) = cf c(B)
en donde c=çomplementario”(ya en X, ya en Y , notado con la misma letra).
Nota. Se observa que la continuidad de g aflora de manera explı́cita bajo la
forma 2 b3. Y entonces la conmutatividad del diagrama siguiente traduce lo
Adjunción de Funciones entre conjuntos Ordenados
51
que dice el literal 2 b3
PX
- τC
adhτ
g −1
f!
?
PY
?
- µC
adh
µ
Demostración. 2 b2=⇒ 2b3 : Bajolahipótesis2b2, veamoslacadenadeequivalencias :
y∈ g −1 (Ā) ⇐⇒ g(y) ∈ Ā ⇐⇒ ∀V ∈ V (g(y)), V ∩ A 6= φ
⇐⇒
2b2 (∀V ∈ f −1 V (y))(V ∩ A 6= φ) ⇐⇒ (∀W ∈ V (y))(f 1 W ∩ A 6= φ)
⇐⇒ (∀W ∈ V (y))(W ∩ f (A) 6= φ) ⇐⇒ y ∈ f (A)
2 b3⇒ (f −1 V (y) ⊆ V (g(y))). En efecto sea K una vecindad abierta de y.
Si f −1 K no fuera vecindad de g(y), entonces toda vecindad de g(y) encontrarı́a el complemento de f −1 (K): ası́ que g(y) ∈ cf −1 (K) = f −1 (cK) ⇒
/ K lo que
y ∈ g −1 (f −1 (cK)) = f (f −1 (cK)) ⊆ (cK) = c(K). Es decir y ∈
contradice la hipótesis de ayuda.
2 b3⇒ (V (g(y))) ⊆ f −1 V (y)). En efecto si L es una vecindad abierta de
g(y) y L no contiene cualquier conjunto de la forma −1 (V ) (en donde V es
una vecindad de y) entonces −1 (V ) ∩ cL 6= φ es decir V ∩ f (cL)φ. Ası́ que
y ∈ f c(L) = g −1 (c(L)). Entonces g(y) estarı́a en c(L) = c(L) (porque c(L)
es cerrado por hipótesis ). Lo cual es contradictorio.
TEORMEA. Para una función f : X, τ Y, µ entre dos espacios las condiciones siguientes son equivalentes
1)
f : X, τ Y, µ es fuertemente continua;
2)
f : X, τ Y, µ es continua y forma parte de una pareja ensamblada (f, g) con respecto a (τ, µ);f:X,τ Y, µ es continua y existe
una función continua g : Y, µX, τ tal que la cupla f −1 g −1 : µτ
es adjunta:
µ
f −1
- τ
@
1@
@ 1
g −1@
R ?
@
µ
f
@
R
- τ
−1
Demostración.2 b3⇒ 2b1.LarelaciónK⊆ g −1 f −1 K para un conjunto abierto se utiliza para probar que f −1 V (y) ⊆ V (g(y)) : en efecto K es una vecindad abierta de y, f −1 K es abierto (pq. f es continua) y gK ⊂ f −1 K es
52
Teorı́a de la Adjuncón
decir g(y) ∈ f −1 K. Es decir f −1 K ∈ V (g(y)).
De igual manera la inclusión f −1 g −1 L ⊂ L, válida, por hipótesis, para abiertos del espacio X, permite justificar la inclulsión V (g(y)) ⊆ f −1 V (y): si L
es un abierto que contiene a g(y) entonces -por continuidad de la función gg −1 L es un abierto que contiene a y. Y, evidentemente, f −1 g −1 L está en el
filtro f −1 V (y). (En esta segunda parte no se usó la continuidad f ).
En cuanto a la implicación 2 b1⇒ 2b3noinsistimosdemasiado, porqueyacasitodoestadicho :
porderechopropio, sia:UYesunaaplicaciónconjuntista,a−1 : P V P U es monótona
y si V además a es continua, para topologı́as en U y V respectivamente, a−1
induce una función monótona no decreciente a! : Abi(V )Abi(U ), entre los
abiertos. La parte 2 b1 entraña entonces, como consecuencia de la afirmación 2 b4 que f ! : µτ es adjunta a la izquierda de g ! : τ µ.
ANOTACION.
3)
a)
Para una función continua f : X, τ Y, µ pueden presentarse claro
está dos situaciones: que la función (monótona) f ! : µτ (f ! =
imagen recı́proca por f ) adimita adjunto a derecha o que no lo
admita. Esta afirmación contrasta con la siguiente:
”siempre f ! : µτ admite adjunto a izquierda”
sin más condiciones sobre f : X, τ Y, µ que la continuidad. Cuando
f ! : µτ admita adjunto a derecha d : τ µ se presentan a su turno
dos casos
1) O bien d es representable, es decir d = g ! para alguna función
continua g : Y, µX, τ o bien
2) d no es representable.
Nosotros hemos encontrado las justas condiciones sobre f :
X, τ Y, µ para que f ! : µτ admita adjunto representable (a
derecha).
A este propósito se aconseja la lectura del trabajo de R. Pachón
y el Autor.