REFLEJOS MATEMÁTICOS EN LOS AlINEAMIENTOs 1 La línea

REFLEJOS MATEMÁTICOS EN LOS AlINEAMIENTOs 1
La línea más corta entre dos puntos
es la línea recta en bajada
(Perich, Nacional II)
El diccionario de la Real Academia Española de la Lengua define alinear como Colocar a
tres o más personas o cosas en línea recta. Incluir un jugador en las líneas de un equipo
deportivo para un determinado partido. Vincular a una tendencia ideológica, política, etc..
De esta forma da pié a considerar Alineamiento, como Trazado de calles y plazas. Línea de
fachada que sirve de límite a la construcción de edificios al borde de la vía pública. Acción
y efecto de formar o reunir ordenadamente un cuerpo de tropas. Disposición de los
jugadores de un equipo deportivo según el puesto y función asignados a cada uno para
determinado partido.
Al buscar el término línea en el mismo diccionario aparecen dos aspectos interesantes. Por
una parte línea se adjudica a la idea general de sucesión de puntos (entre otros sentidos), sin
aludir a la forma de la sucesión. Gracias a ello puede diferenciar entre línea recta y curva.
Por tanto vamos a distinguir varios aspectos en la alineación: continuidad, entendida como
mantenimiento de un patrón, que puede estar formada por objetos discretos, o bien por
elementos densos, y forma. Cuando se habla de alineamiento de personas se alude a
continuidad y forma recta. Cuando se habla de alinear casas en una calle, se refiere a que
las fachadas (de manera densa o no, pues no debe interrumpirse el patrón por incidir en ella
otra calle) deben mantener un patrón lineal que no tiene por que ser recto.
Pero ¿por qué aparecen estos términos en esta sección? La razón hay que buscarla en los
aportes que me han prestado varios amigos, sin los cuales no tendría sentido este capítulo.
José Luís Aznarte, compañero profesor de matemáticas en Granada me comentó que en su
pueblo de veraneo se utiliza un procedimiento en el que se reflejan las Matemáticas, para
localizar un banco de peces, y poder acudir al mismo lugar cada vez que se va a pescar.
Estando en el mar no hay referencias fáciles para identificar lugares. No se puede emplear
el fondo, que varía y no siempre se ve. Para señalar puntos en el mar, los pescadores han
encontrado un procedimiento que está relacionado con la alineación recta. Situados en el
punto, buscan dos direcciones rectilíneas que llegan al punto que se quiere memorizar. Las
direcciones las obtienen mirando a la costa, y tratando de alinear dos referentes para cada
dirección: La torre de la iglesia se alinea con el monte de las bolas, y el faro se alinea con
el monte de la antena. Cuando estamos en el punto en el que coinciden estas dos
alineaciones estamos en el sitio buscado.
La situación planteada era, a su juicio, un buen ejemplo para esta sección, y … me lo dejó,
como trasladándome el encargo que no logré que él mismo completara. Y aquí está.
Alineamiento, esa es la cuestión. Y de ahí surge este reflejo.
Me he dedicado a revisar alineamientos en la vida cotidiana y … han aparecido un montón.
Pronto lo compartí con otros amigos con los que fui llenando de contenido y problemas
referidos al mismo tema. Juan me contó que el alineamiento se utiliza con mucha
frecuencia y variedad de técnicas en albañilería y construcción, así como en otras
situaciones, como en los cajones, tal como veremos más adelante. Isidoro me ayudó a ver
alineamientos en Salamanca, donde Pepe nos hablaba de los alineamientos de fregaderos y
demás objetos de la casa.
Gracias a todos ellos puedo concretar estas ideas, que voy a adaptar al esquema que tracé
desde el principio de esta sección: Reconocer, Relatar, Explotar didácticamente. En esta
primera entrega me limitaré a reconocer unas cuantas situaciones. En la segunda
completaré las otras dos etapas.
Reconocer
Para presentar los alineamientos que he reconocido en el entorno me he permitido
clasificarlo en categorías. La clasificación más inmediata utiliza como criterio diferenciar
campos en los que aparece, pero conforme iba encontrando situaciones comprendí que
entre ellas había muchas relaciones, aunque se dieran en campos distintos. Por eso la he
cruzado con la que distingue según la función que el alineamiento desempeña.
Comencemos por establecer las funciones del alineamiento. En una gran cantidad de casos
se alinea para resolver problemas. En otros la
alineación tiene una función artística (que
puede que también trate de resolver algún tipo
de problema, pero no tengo datos para
asegurarlo), y en otros se presenta de manera
espontánea, en la naturaleza (con el mismo
comentario anterior).
Entre las situaciones en que se alinea para
resolver problemas comenzamos por la
técnica.
Figura 1: Costa de Cabo de Gata,
Ya hemos hablado del problema que ha Almería
sugerido este capítulo, identificar posiciones
en un entorno sin referentes fáciles. En la figura 1 hemos trazado una recta para unir los dos
extremos de las rocas, lo que determina una dirección en el mar. Si esta línea se cruza con
otra cualquiera, determinaremos un punto, el
lugar del banco de pesca.
Esta situación también se utiliza en otros
ámbitos, como en la montaña, especialmente
cuando carece de referentes, comoP los
pedregales que a veces nos encontramos en
Sierra Nevada. También en Astronomía. Si
queremos localizar la Estrella Polar podemos
partir de la Osa Mayor, de la que
identificaremos las dos primeras estrellas del
carro, Merak y Dubhe. Estas dos estrellas
determinan una recta. Sobre ella tomaremos 5
Figura 2: Localización de la Estrella Polar
veces la distancia entre Merak y Dubhe y llegamos a la Estrella Polar, extremo de la Osa
Menor, y Polo del universo celeste, tal como se ve en la figura 2, extráida de la página
http://merak_valkirias.5ver.mx.tripod.com/merak_valkirias.5ver/id1.html. Otra página,
http://www.geocities.com/Colosseum/Park/8386/astro.htm, presenta datos interesantes
sobre el tema.
El alineamiento en Astronomía se extiende a otras localizaciones. Así podemos situar
Casiopea y Cefeo, tal como se narra en la página Masn, de Miguel Angel Serra Martín:
http://www.mallorcaweb.net/masm/conloc.htm.
En la página de astronomía de la Universidad Auónoma de Madrid, Rubén García Benito
ha colgado un trabajo sobre cómo realizar el alineamiento polar. (Ver página de prácticas
http://astro.ft.uam.es/TJM/tjm/webpaginas/practicas/manuales/Polar/polar.html).
La alineación polar consiste en alinear el eje de rotación del
telescopio con el eje de rotación de la Tierra. Gracias a ello se
pueden seguir objetos celestes cuando se desplazan por el cielo,
logrando que los objetos observados queden estacionarios en el
telescopio. Alinear el telescopio consiste en prolongar el eje del
cilindro de manera que pase por el objeto celeste. También otros
aparatos de visión alinean su eje. El microscopio alinea su eje con
la fuente de luz, pasando a través del objeto que se contempla,
hasta llegar al ojo. Los gemelos alinean los ejes de las dos miras,
en un proceso de convergencia binocular (pero este es otro
asunto), cada uno con un ojo, y con el objeto percibido.
De estos elementos he pasado a la mira del rifle, y, retrocediendo
en el tiempo y la tecnología, a apuntar con un arma. El
diccionario del Español actual (Seco y otros, 1999) dice que
apuntar, es “Poner un arma dirigida a un blanco”. Para ello se
requiere alinear cuatro elementos: el ojo del tirador, el alza del
arma, el guión o punto de mira y el blanco que se quiere alcanzar.
Entre los sentido de la palabra apuntar aparece siempre el que se
realiza con el dedo. Este gesto indica una dirección, para lo que
se alinea el eje del dedo con el objeto que se está designando. El
designador más impertinente es el Colón, de la estatua en
Barcelona, que aparece en la figura 3. Colón indica la dirección
hacía la que hay que viajar para llegar al nuevo mundo.
Figura 3: Estatua de Colón,
Barcelona
A raíz de estos descubrimientos recordé un acertijo clásico.
De pequeños nos dibujaban un punto y nos preguntaban
¿qué representa esta figura? La respuesta, sorprendente,
pero inapelable, era: 100 Km. de alambre vistos de punta, y
… sobre todo, recto, completamente recto. Los objetos
rectos se proyectan ortogonalmente en un punto. Por tanto
la proyección ortogonal sirve para determinar rectitud. A
partir de ahí recordé que los carpinteros utilizan esta técnica
al mirar las tablas desde un extremo, alineándolas con la
vista, para determinar si están o no rectas.
Continuando la indagación aparecieron algunos de los
elementos de construcción que se procuran rectos. Losetas,
ladrillos, cumbres de los escalones, etc., todos estos objetos Figura 4: Fuente de los 15 caños,
deben estar alineados por varias razones. Los argumentos
Guejar Sierra, Granada
técnicos buscan de alguna manera optimizar los materiales,
pues alineándolos permiten colocar el mínimo de piezas para rellenar el suelo, pero también
tienen otros fines. Los caños de la fuente de los 15 caños, de Guejar Sierra, Granada, están
alineados, tal como se ve en la figura 4.
También son razones técnicas las ligadas a la resistencia. Un muro que no esté recto y no
sea perpendicular al suelo, dejará que su centro de gravedad se proyecte fuera de su base, lo
que hará más fácil generar un par de fuerzas que lo hagan caer. Un cable de la luz que no
esté recto generará fuerzas que pueden tirar los postes sobre los que se soporta. Por tanto
los postes deben estar alineados.
La construcción de calles y viviendas también emplea el alineamiento. Las ciudades
modernas se construyen en cuadras, rectángulos de casas, que determinan calles formando
cuadrículas. En fin, la técnica necesita la alineación, y hemos presentado sólo algunos de
los casos.
El caso más doméstico de alineamiento técnico es el que
tienen las paredes de los cajones. Los cajones y sus
huecos tienen que ser rectos para entrar sin holgura en
ellos. Para ello tienen una forma rectangular que se
proyecta sobre el frontal en un rectángulo lo más perfecto
posible. Si el cajón no tuviera un perfil rectilíneo (bien
formado por superficies planas, o por curvas regladas,
generadas por rectas paralelas entre sí y a las de las
paredes del vano), al cerrar el cajón quedarían rendijas
sobre los lados, lo que afearía el mueble. En la figura 5
Figura 5: Caja de semillas
aparece el puzzle llamado “Caja de semillas”, de la nueva
colección de juegos de ingenio de la editorial RBA. Las paredes de cada taco que simula un
cajón deben ser lo más planas posibles, para permitir colocar todos los cajones en sus
huecos.
Y cuando hablamos de cajones tenemos que mencionar todos los objetos que utilizan su
principio de desplazamiento, como las puertas, cuyo perfil es grueso, y debe estar lo más
ajustado al marco para que no queden rendijas por las que entre la luz, el calor, el frío, etc.
Pero también en otros campos se requiere la rectitud. La agricultura se ha tecnificado para
aligerar esfuerzos. Las plantaciones de frutales, por ejemplo, se hacen alineando los
árboles, con lo que se facilita su recogida. Los surcos del clásico arado tendían a la recta,
siempre que era posible. La jardinería utiliza la línea recta como referente en muchísimas
ocasiones.
En el deporte son numerosos los problemas técnicos de alineamiento. Se llama alineación
a la relación de jugadores, con adscripción a líneas, tal como indica el Diccionario de la
RAE. Las tácticas llevan a los jugadores a colocarse en determinadas posiciones, en
algunas de las cuales deben formar líneas rectas. Un caso muy conocido es el de los
defensas de fútbol, cuando se alinean para provocar el fuera de juego de los jugadores
contrarios. Si un defensa está más atrasado que sus compañeros, dos contrarios pueden
colocarse uno a cada lado, y al desplazarse simultáneamente uno u otro pueden “cogerle la
espalda”, y provocar un contrataque peligroso. Para evitarlo varios defensas se alinean y
avanzan en una línea paralela a la de fondo, con lo que dejan en fuera de juego a los
delanteros contrarios, o bien los obligan a no retrasar su posición. Para detectar el fuera de
juego, el linier se coloca en la banda dibujando una recta imaginaria, paralela a la línea de
fondo, y alineada con el último defensa. De esta forma puede ver los atacantes que
sobresalen de la misma, que estarían en una situación ilegal.
El alinamiento de los jueces con relación a las líneas se utiliza en otros deportes. Los jueces
de línea en tenis, voleibol, bádminton, etc., se sitúan en la prolongación de las líneas, con lo
que perciben con más claridad si la bola bota dentro o fuera del campo. También la foto
finisch, se realiza de una posición similar, pues se sitúa la cámara en la proyección
ortogonal de la línea que marca la meta. Y continuando con
las carreras, en las de natación el nadador procura ir
describiendo una trayectoria lo más recta posible, pues con
ello hace la miníma distancia.
Otra alineación deportiva ocurre en el lanzamiento de las
faltas directas, especialmente en fútbol. El portero se sitúa
en los postes de su portería, y desde ellos alinea al último
jugador de cada lado de la barrera, para que cubra el
máximo de portería. Eso es lo que hace el portero de la
figura 6, de Crist, aparecida en Clarín, períodico argentino,
el 2 de abril de 2006. En la viñeta se juega además con la
idea de alineamiento en sentido político figurado, o con el
papel de salvaguarda de la policía.
Figura 6: Crist, Clarín, 3/04/2006
Cuando se dibujan las líneas del campo de deportes hay que
hacer alineamientos que resultan más complejos por el tamaño de las mismas. Si para
alinear rectas en el papel podemos utilizar una regla, cuando se trata de figuras grandes
necesitamos otro tipo de medios. Y esto es lo que sucede en el dibujo de los campos de
deportes, pero también en las construcciones, carreteras, vías de tren, etc.
El plano deportivo también presenta problemas técnicos, tal como hemos visto, pero tiene
otra componente lúdica y disciplinar. La recta como alineamiento con función artística se
ha enfatizado en los desfiles, en los que los soldados deben ir perfectamente alineados,
cuidando que aparezcan el máximo de rectas. Rectas las filas de soldados, marchando uno
detrás de otro. Recta la fila perpendicular, uno al costado de otro, sin romper la alineación
ni cuando se gira para tomar una curva del paseo por el que transcurre. Alineadas las manos
que se mueven a la vez, las piernas que se adelantan de manera paralela, tal como los
fusiles apoyados sobre los hombros. Los vehículos que desfilan, y hasta los caballos tienen
que cuidar las líneas. Con ello se está reafirmando la idea figurada de alineamiento.
Ya podemos pasar a la componente más artística. El alineamiento se utiliza con fines
artísticos. Los gimnastas recorren líneas rectas, especialmente en sus ejercicios de suelo,
tratando de hacer la máxima distancia en la diagonal de la alfombra. Igualmente las
modelos de las pasarelas deben caminar en línea recta, para lo que colocan los piés de una
manera determinada.
Cuando se comportan en grupo, las participantes en natación sincronizada forman rectas, al
igual que los grupos de gimnastas artísticas. El ballet, versión más estética de la gimnasia,
también recurre a rectas cuando bailan juntos tres o más bailarines, en algunas figuras
colectivas. Al igual que ocurre con la simetría, el alineamiento es estético, sirve para
rellenar el plano de una manera armónica.
Pero también se utiliza el alineamiento en intervenciones
individuales, como cuando los gimnastas, bailarines, etc., alinean
miembros. En este caso se trata de poner un brazo o pierna en la
misma dirección que la otra. Es lo que hacen los gimnastas
cuando caen después de hacer un salto, o al situarse entre las
anillas, haciendo el Cristo. Las gimnastas artísticas alinean las
piernas, extendiéndolas hacia los lados, o hacia delante y atrás
(figura 7).
La línea recta también se emplea estéticamente en otras
manifestaciones. La raya del pelo ha sido durante años un
exponente de cuidado en el peinado. Actualmente se han
introducido diversidad de rayas, no siempre rectas, pero cuando
Figura 7: Gimnasta
el peluquero quiere que sea recta, el resultado no puede
alineada
defraudarlo. Para ello busca separar el pelo de manera que el
hueco entre pelos deje un surco lo más recto posible. También la planchadora ha cuidado en
otra época que la raya del pantalón masculino sea lo más recta posible, cuidando que el
doblez corresponda a un plano de simetría ficticio (la pernera no es completamente
simétrica respecto a un plano), pero lo más aproximada posible. El respeto por la raya del
pantalón llevó en algunos momentos a terminar el pantalón de manera oblícua o a acortar la
pernera, para salvar que la caida sobre zapato que produce un desplazamiento hacia arriba,
rompa la rectitud.
Las modistas para ello han cosido de la forma más recta posible, cuando de ello se trataba.
El seguir el hilo de la tela facilita el trabajo, al igual que las máquinas de coser, que
permiten un desplazamiento bajo la aguja siempre en la misma dirección, sobre todo si se
mueve la tela siguiendo una trayectoria determinada.
Pero también hay fenómenos naturales que
tienen tendencia a la recta. Si no hay obstáculos,
la luz se desplaza en línea recta, a menos que
cambie de medio (cambio de densidad, de
absorción etc.). Determinadas plantas crecen
siguiendo una recta que es más perfecta en
cuanto no encuentra elementos que le impidan el
crecimiento. Los álamos blancos tienden a ser
rectos, lo que contrasta con nuestro familiar
olivo, retorcido.
Figura 8: Kap, La Vanguardia
Como podemos observar, la recta, el alineamiento, apuntar, etc. son términos y
actuaciones que reflejan muchas situaciones del mundo en que vivimos. Su utilización
sobrepasa los empleos geométricos, para incluirse en los retóricos. La viñeta de la figura 8,
de Kap, en La Vanguardia nos introduce en los sentidos figurados de los términos, en este
caso de los puntos de vista. Kap recurre a la metáfora de la recta para sugerir que no es
sencillo unir puntos de vista. Las viñetas humorísticas materializan ideas abstractas,
relacionandolas con referentes concretos. Britton y Bello (1992), en la viñeta de la figura 9
animizan la semirrecta, engrosándola de manera que sugiera un trazo sólido. La rectitud de
la habla Quino en la historieta de la que hemos sacado la figura 10, tiene el doble sentido de
moralidad (Cualidad de recto [justo], RAEL, 2001), o
pragmatismo (Recta razón o conocimiento práctico de lo que
debemos hacer o decir RAEL, 2001). Pero siempre dentro de
un mundo donde no es lo dominante, por lo que despierta la
burla de la mayoría.
Las palabras que tienen relación con los alineamientos
forman parte de nuestro vocabulario, y, como hemos visto, se
aplican a situaciones que tienen diversas connotaciones.
Animamos a que los lectores nos envíen nuevas situaciones
en las que sea importante la alineación. También animamos a
que se elaboren chistes de texto sobre ellas y se envíen para el
Figura 9: Britton y Bello
próximo número. En él reflejaremos unas y otros,
(1992)
completando la relación de situaciones en las que aparece la
recta. Pero además cerraremos el ciclo, mediante el análisis y la propuesta didáctica.
Referencias Bibliográficas
Britton, J.R. y Bello, I. (1992). Matemáticas contemporáneas. México, Harla.
Perich, J. (1972). Nacional II. Barcelona, Laia.
Quino (2001). Esto no es todo. Barcelona, Lumen.
Real Academia Española de la Lengua (2001). Diccionario de la Lengua Española.
Vigésima edición. Madrid, Espasa.
Seco, M., Andrés, O. y Ramos, G. (1999). Diccionario del Español actual. Madrid,
Aguilar.
Figura 10. Quino (2001)