Espacios Vectoriales* Definición: Un espacio vectorial real V (“real

Espacios Vectoriales*
Definición: Un espacio vectorial real V (“real” se refiere a que los escalares son
números reales en vez de complejos) es un conjunto de objetos, llamados vectores,
con dos operaciones definidas: la suma vectorial y la multiplicación escalar, que
satisface las siguientes condiciones:
1. Si x,y є V, entonces x + y є V (Clausura bajo la adición o suma).
2. Para todo x, y, z є V tenemos que (x + y) + z = x + (y + z) (Asociativa bajo la
suma).
3. Existe un vector cero, 0 є V tal que para todo x є V tenemos que x + 0 = 0 + x =
x (Existencia del vector cero).
4. Si x є V existe un vector –x en V tal que x + (-x) = 0 (Existencia del inverso
aditivo).
5. Si x,y є V entonces x + y = y + x (Conmutativa de la suma).
6. Si x є V y a es un escalar, entonces a ∙ x є V (Clausura para el producto por un
escalar).
7. Si x,y є V y a es un escalar, entonces a ∙ (x + y) = a∙ x + a ∙y (Primera propiedad
distributiva: suma de vectores).
8. Si x є V y a, b son escalares, entonces (a + b) ∙ x = a ∙x + b∙x (Segunda
propiedad distributiva: suma de escalares).
9. Si x є V y a,b son escalares, entonces a ∙ (b ∙ x) = (ab) ∙ x (Asociativa de la
multiplicación escalar).
10. Para todo vector x є V, tenemos que 1∙x = x (El escalar 1 se llama el elemento
identidad de la multiplicación).
Esta definición tiene muchos detalles que debe leer con cuidado. Fíjese que hay dos
conjuntos {V, escalares} con dos ceros {0, 0} que No son iguales. Hay dos operaciones
de suma que debes distinguir: suma entre vectores (+) y entre escalares (+).
Igualmente con la multiplicación de vector por un escalar (∙) y la multiplicación entre
escalares. Como las operaciones de Suma “+”, y multiplicación por un escalar en el
espacio V se definen de forma diferente en cada espacio vectorial a menudo estas
generalizaciones (o abstracción) de las operaciones se denotan usando otros símbolos
para No confundirles con la suma y multiplicación de números reales, matrices u otros.
Por ejemplo en el texto se denota:
a) suma “”
b) producto escalar “ʘ”
Estas 10 propiedades nos dicen que V es una generalización de el espacio euclidieano
que hemos estudiado hasta ahora: ℝn
Ejemplos:
1. Sea V = {u= (x, y)│x, y є ℝ}, con las operaciones:
a) suma de vectores: para u = (x1,y1), v= (x2,y2) entonces
u + v = (x1 + x2,y1+ y2)
b) producto por un escalar: para a є ℝ, u = (x1,y1) є V, a ∙u= (a x1, a y1).
Entonces V es un espacio vectorial, es decir satisface las 10 propiedades
anteriores que definen al espacio vectorial.
2. Sea V = {u =(x, y)│ y ≥ 0}, con las operaciones definidas como en el ejemplo
anterior. V consiste de los pares ordenados en ℝ2 que están en los Cuadrantes I
y II. V no es un espacio vectorial porque para el vector (1, 1) no existe el inverso
(-1, -1) ya que (-1, -1) no es elemento de V. Además si a < 0 entonces au= ( ax,
ay) no es elemento de V.
3. Sea V = ℝn = {u =(x1, x2, x3, …, xn)│xi є ℝ para i = 1, 2, 3, …, n}, con la suma de
vectores y multiplicación por un escalar típicas, entonces V es un espacio
vectorial.
4. Sea V = {0}, con suma y multiplicación típicas, satisface las diez propiedades. Es
un espacio vectorial. Usualmente se conoce como el espacio vectorial trivial.
5. Sea V = {1}, con suma y multiplicación típicas. No es un espacio vectorial pues 1
+ 1 = 2. 2 no es elemento de V (no satisface la propiedad de la clausura en la
adición ni tampoco otras propiedades cuando a < 0).
6. Sea V = {(x, y)│y = mx, donde m є ℝ constante, x є ℝ arbitrario}, con la suma
entre puntos y producto por un escalar igual al primer ejemplo. Vemos que V
consiste de todos los puntos en la recta y = mx que pasa por el origen con
pendiente m. V es un espacio vectorial.
7. Sea V = {(x, y)│y = 2x + 1, x є ℝ}, con la suma y producto del primer ejemplo.
Vemos que V es el conjunto de todos los puntos en la recta y = 2x + 1. V no es
un espacio vectorial, pues no satisface la propiedad de clausura: sean (x1, y1),
(x2, y2) є V, entonces:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
= (x1 + x2, 2x1 + 1 + 2x2 + 1)
= (x1 + x2, 2(x1+x2)+ 2) lo cual no es elemento de V
8. Sea V = Pn, el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado ≤ n, con
la suma y multiplicación por un escalar típica de polinomios. Si p є Pn, entonces
p = p(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0, donde ai es real. Pn es un espacio
vectorial.
9. Sea V = M23, el conjunto de matrices de orden 2 x 3 con elementos reales, con la
suma y producto por un escalar de matrices. M23 es un espacio vectorial.
10. Sea V = Mmn, el conjunto de matrices de orden m x n con elementos reales,
entonces es un espacio vectorial.
11. Sea V = C[0, 1], el conjunto de funciones continuas con valores reales definidos
en el intervalo cerrado [0, 1], con la suma y multiplicación por un escalar típica
entre funciones. Entonces C[0, 1] es un espacio vectorial.
Para ejemplos donde se define la suma entre vectores y la multiplicación por un escalar
en formas no-típicas vea los ejemplos 2-ejemplo 4 en la siguiente página:
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/LinAlg/VectorSpaces.aspx. En estos ejemplos se
demuestra que usando estas “nuevas” operaciones de suma y multiplicación los
conjuntos definidos en los ejemplos 2 al 4 No forman un espacio vectorial.
Teorema de Propiedades de un Espacio Vectorial: Sea V un espacio vectorial,
entonces:
Propiedades:
1. a ∙0 = 0, para todo α en el conjunto de los números reales
2. 0 ∙ x = 0, para todo vector x en el conjunto V
3. si a ∙x = 0, entonces a = 0 ó x = 0 (ó ambos)
4. (-1) ∙x = -x, para todo vector x є V
Ejercicios:
1. Todas las propiedades del teorema se satisfacen en el espacio vectorial de la
matrices V = Mmn . Sin embargo compare la tercera propiedad del teorema con
el siguiente ejemplo:
 0 1
 0  2
 y B  

A  
0 
1 0 
0
Aquí, x= A ,y = B є Mmn, pero note que x ∙ y = 0 NO implica que x = 0 ó y = 0 (ó
ambos) ya que ni A ni B son matrices con todos los elementos ceros, sin
embargo AB = 0. Ahora esto No es lo que dice la Propiedad 3, ¿por qué?
2. Determina si el conjunto V = {(x, y)│x ≤ 0} con las operaciones usuales de suma
y multiplicación escalar en ℝ2 es un espacio vectorial.
3. Verifica en detalles que V = {(x, 0)│ x es un número real} es un espacio vectorial.
*Notas de la Profesora Nilsa Toro y revisión de Carmen Caiseda (10/18/2012).