parte 004 - A la Sala

XVI. POLIGONOS:
∗ Figura plana limitada por lados rectos.
∗ De acuerdo al número de lados se clasifican en:
>
>
>
>
>
>
3
4
5
6
7
8
lados:
lados:
lados:
lados:
lados:
lados:
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono u Octógono
> 9 lados: Nonágono o Eneágono
> 10 lados: Decágono
> 11 lados: Undecágono o Endecágono
> 12 lados: Dodecágono
> 15 lados: Pentadecágono
> 20 lados: Icoságono
∗ La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: 180º(n  2)
(n = número de lados del polígono)
∗ La suma de los ángulos exteriores es 360º.
∗ Nº de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de n
lados: n-3
∗ Nº total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados:
D
n( n  3)
2
A. POLIGONOS REGULARES:
∗ Tienen todos sus lados y sus ángulos internos iguales.
180º (n  2)
n
360º
ángulo exterior 
n
∗ Cada ángulo interior de un polígono de n lados mide: ángulo int erior 
∗ Cada ángulo exterior de un polígono de n lados mide:
∗ Se les puede inscribir y circunscribir una circunferencia.
Álvaro M. Sánchez Vásquez
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1
EJEMPLO
sus lados
lados son
siguientes
PSU-1: En la figura, se muestra un hexágono regular, sobre
se construyen exteriormente triángulos equiláteros, cuyos
de igual medida que el lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las
afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) El área de la nueva figura duplica al área del hexágono.
II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del
hexágono.
III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del
hexágono.
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-2. La siguiente figura corresponde a un hexágono
regular de perímetro 36 cm. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
I) El área del hexágono es igual a 54 3 cm2
II)  :   3 : 1
III) El complemento de β es 30º
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) I, II y III
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XVII. CIRCUNFERENCIA:
DEFINICION:
Una circunferencia, es el conjunto de todos los puntos del plano, tales que su
distancia a un punto fijo llamado centro es la misma para todos los puntos del
conjunto. Esta distancia, es a la que llamamos radio, y el segmento que une dos
puntos, pasando por el centro, se le denomina diámetro, el cual equivaldría a dos
veces el radio.
NOTA: No se debe confundir con el círculo, el cual, es la superficie compuesta por
los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ellos.
r  AO ( radio)
r  BO ( radio)
d  AB (diámetro)
De lo anterior se deduce que :
AO  BO  2 r
AB  2 r  d
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
ANGULO CENTRAL: Su vértice se ubica en el Centro, y sus lados son dos radios
El ángulo del centro, tiene igual medida que el arco que subtiende, y viceversa.
Nota: El arco es BA, y no AB, puesto que los arcos se miden en sentido antihorario
ANGULO INSCRITO: Su vértice se ubica en la Circunferencia y sus lados son
cuerdas.
El ángulo Inscrito tiene por medida, la mitad del arco que subtiende.
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3
ANGULO INTERIOR: Es el ángulo formado por la intercepción de dos cuerdas
cualesquiera, su vértice se ubica en el interior de la circunferencia.
La medida del ángulo interior, es igual, a la semisuma de los arcos que intersecta
en la circunferencia
ANGULO EXTERIOR: Es el ángulo formado por secantes y/o tangentes, cuyo
vértice se ubica fuera de la circunferencia.
La medida del ángulo exterior, es igual, a la semidiferencia de los arcos que
intersecta en la circunferencia
ANGULO SEMINSCRITO: Su vértice se ubica en la circunferencia, pero sus lados
son una tangente y una cuerda
La medida del ángulo semi-inscrito, es congruente, a la medida del ángulo inscrito
que subtiende el mismo arco, por tanto seria la mitad del arco que subtiende
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Corolarios
1. Todos los Ángulos Inscritos que subtiendan un mismo arco, son congruentes.
2. Todo Angulo Inscrito en una semicircunferencia, es recto.
3. Los Ángulos Opuestos en un cuadrilátero
circunferencia, son suplementarios (suman 180°)
cualquiera,
inscrito
en
la
4. La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia
T r
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5. El ángulo que forman dos rectas tangentes a una circunferencia es
suplementario con el arco menor que determinan las rectas en la circunferencia
x +  = 180º
6. Dos líneas paralelas secantes a la circunferencia, la interceptan en dos arcos
congruentes
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6
EJEMPLO PSU-1: En la figura AB  BC y O es centro de la
circunferencia. Si AB // DE , entonces el ángulo  mide:
A) 10º
B) 40º
C) 20º
D) 70º
E) 80º
EJEMPLO PSU-2: En la figura, se tiene un semicírculo de centro O y
∡ BAC = 20°. El valor del ∡ x es
A) 20°
B) 35°
C) 40°
D) 55°
E) 70°
EJEMPLO PSU-3: En la figura, O y O1 son los centros de las
circunferencias. En el triángulo ABC, el ángulo CAB mide 22°, entonces
el valor del ángulo α es
A) 68°
B) 66°
C) 57°
D) 44°
E) ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-4: En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la
figura, la medida del ángulo x es
A) 32º
B) 26º
C) 38º
D) 52º
E) 64º
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EJEMPLO PSU-5: En la figura, C D es un diámetro de la circunferencia
de centro O. Si el ∡ BOD = 20° y arco AD es congruente con el arco DB,
entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I) ∡ CBO = 20°
II) ∡ CAO = ∡ AOD
III) ∡ AOD =∡ BOD
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-6: En la semicircunferencia de centro O de la figura, el
∡ BOC mide 100º. ¿Cuánto mide el ∡ AED en el triángulo isósceles AED?
A) 70º
B) 50º
C) 40º
D) 20º
E) Ninguno de los valores anteriores.
EJEMPLO PSU-7: En la figura, el ángulo del centro correspondiente al
arco PQ mide 110°. Si R es un punto cualquiera del arco PQ, el ∡ x mide
A 55°
B 70°
C 110°
D 125°
E 220°
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EJEMPLO PSU-8: En la circunferencia de centro O de la figura, AB es
diámetro, ∡ DOC = 60º y DB es bisectriz del ∡OBC. ¿Cuál(es) de las
siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?
I) OBC  AOD
II) AC B  BDA
III) AED  BEC
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-9: En la figura, AB es el diámetro de la circunferencia de
centro O, ¿cuál es la medida del ángulo x?
A) 20º
B) 40º
C) 70º
D) 110º
E) 160º
EJEMPLO PSU-10: En la figura, ¿cuál es el radio de la circunferencia de
2
centro O, si la cuerda AC 
y el ángulo ABC es inscrito de 45º?
2
2
A)
4
1
B)
3
1
C)
4
1
D)
2
E) 1
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EJEMPLO PSU-11: Si dos circunferencias son congruentes, ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) Sus perímetros son iguales
II) Sus radios son de igual longitud
III) Sus centros son coincidentes
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-12: Se tiene el triángulo ABC isósceles rectángulo en A.
Sus catetos miden 1. AD, DE y DF son radios de la semicircunferencia y
DF es perpendicular a
semicircunferencia inscrita?
A)
BC
.
¿Cuánto
vale
el
radio
de
la
2 1
B)
2
2
C)
2 1
D)
3 1
E) 2  2
EJEMPLO PSU-13: En la circunferencia de centro O de la figura, el
ángulo OCB mide 24°. ¿Cuál es la medida del ángulo AOC?
A) 12°
B) 24°
C) 48°
D) 132°
E) 156°
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10
EJEMPLO PSU-14: En la figura, PT es tangente en P a la circunferencia
circunscrita al triángulo PQR. La medida del ángulo  es
A) 80º
B) 100º
C) 120º
D) 125º
E) 130º
EJEMPLO PSU-15: En la figura, los puntos A. B y C están sobre la
circunferencia de radio r y la medida del ángulo ACB es 30º. La longitud
del arco AB es:
1
 r
3
1
B)   r
6
2
C)   r
3
1
D)
 r
12
E) Ninguna de las anteriores
A)
EJEMPLO PSU-16: En la circunferencia de centro O de la figura, si
    32º , entonces el valor del ángulo γ es:
A) 16º
B) 32º
C) 48º
D) 64º
E) Indeterminable
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EJEMPLO PSU-17: En la figura, la medida del ángulo inscrito α en la
circunferencia de centro O es:
A) 60º
B) 70º
C) 80º
D) 110º
E) 120º
EJEMPLO PSU 18: En la circunferencia de la figura. AB // DC , ¿Cuál(es)
de las siguientes relaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)   
II)     
III)       180º
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-19: En la circunferencia de centro O, AD es diámetro y
∡ ABC =2∡DAB. La medida del ∡ ABC es:
A) 100º
B) 30º
C) 35º
D) 60º
E) 70º
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EJEMPLO PSU-20. Según la siguiente figura, en el triángulo ABC se
traza una semicircunferencia con diámetro AB . Entonces es verdadero
que:
A)
B)
C)
D)
E)
AR es perpendicular a BC
Δ ABC es isósceles
Δ ARC es isósceles
AR es simetral de BC
Δ ABR es equilátero
EJEMPLO PSU-21. ABC es un triángulo isósceles de base AB , si el
ángulo ACB = 52º entonces el ángulo x mide:
A) 64º
B) 104º
C) 128º
D) 138º
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-22. En la figura, BC y CA son rectas secantes a la
circunferencia C, pertenece a ella y L es una recta que contiene al
diámetro AB , ¿cuál de las siguientes relaciones es siempre verdadera?
A)     
B)   
C) (   )  90º
D)     
E)  

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EJEMPLO PSU-23. En la figura EB y FC son diámetros de la
circunferencia de centro O y CF es bisectriz del ángulo ECA. La medida
del ∡ x es
A) 60º
B) 40º
C) 80º
D) 90º
E) 120º
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XVIII. CIRCULO:
A. SECTOR CIRCULAR:
Área del sector =
π  r2  α
3 6 0º
B. SEGMENTO CIRCULAR:
Área segmento circular = Área sector circular AOB – Área triángulo AOB
π  r2  α
 Á rea triángulo A O B
3 6 0º
C. CORONA O ANILLO CIRCULAR:
Área del anillo = π · (R2 – r2)
R = radio círculo mayor /
r = radio círculo menor
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PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA
Teorema de las cuerdas
Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan en el
interior de ella, el producto de los segmentos
determinados en una de ellas es igual al producto de
segmentos determinados en la otra
AP  PB  CP  PD
Teorema de las secantes
Si desde un punto exterior a una
circunferencia se trazan dos secantes, el
producto de una de ellas por su
segmento exterior es igual al producto
de la otra secante por su segmento
exterior
PA  PC  PB  PD
Teorema de la tangente y la secante
Si desde un punto exterior a una
circunferencia se trazan una tangente y
una secante, la tangente es media
proporcional
geométrica
entre
la
secante y su segmento exterior
2
PT  PA  PB
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EJEMPLO PSU-1: Si en la circunferencia de diámetro 30 cm de la
figura, la distancia desde el centro O de ella, hasta la cuerda AB es de 9
cm, entonces la cuerda AB mide
A) 6 cm
B) 12 cm
C) 18 cm
D) 20 cm
E) 24 cm
EJEMPLO PSU-2: En la figura, PQ es un diámetro de la circunferencia
de centro O y radio r. PR es tangente en P y mide r. Si M es el punto
medio de QR , entonces la longitud de PM , en términos de r, es
A) r
B)
r 5
2
C)
r 3
2
r 2
2
4r
E)
3
D)
EJEMPLO PSU-3: En la figura, los puntos P, Q, R y S están sobre la
circunferencia de centro O. Si QT : TP  3 : 4 , QT = 6 y ST = 12,
entonces RT mide
A) 4
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10
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EJEMPLO PSU-4: En la figura, se tiene una circunferencia de centro O,
radio r y diámetro AB . Si por el punto medio M de OB , se traza la
cuerda C Dperpendicular al diámetro, entonces la longitud de la cuerda
C D es
A) r 3
B) r 2
3
r 3
2
2
D)
r 3
3
3
E)
r
2
C)
EJEMPLO PSU-5: En una circunferencia de diámetro 20 cm la distancia
desde el centro hasta una cuerda AB es 6 cm. Entonces la cuerda AB
mide:
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 12 cm
D) 16 cm
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-6: En la circunferencia de centro O, AB
C D  BD; C D = 4; BD = 3. El radio es:
es diámetro,
A) 5
25
3
5
C)
3
25
D)
9
25
E)
6
B)
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EJEMPLO PSU-7: En la circunferencia de radio 6 y centro O de la
figura, MP  OP ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) MQ = 6
II) PQ = 3 3
III) QN= 6 3
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-8. En la figura, el segmento BC mide 15 cm y es
tangente en C a la circunferencia de centro O. Si O está en el segmento
AB que mide 25 cm y A pertenece a la circunferencia, ¿cuántos
centímetros mide el diámetro?
A) 8
B) 16
C) 9
D) 16,6
E) 24,6
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XIX. CUERPOS POLIEDROS:
POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se
denomina cara, sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices.
PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos
polígonos congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma).
ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista
común y su medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la
arista en un mismo punto.
A. POLIEDROS REGULARES:
 Sus caras son polígonos regulares congruentes entre sí.
 Son cinco:
b. Octaedro:
Tiene 8 caras (triángulos equiláteros), 6 vértices, 12
aristas. Son dos pirámides unidas por su base común.
a. Tetraedro:
Tiene 4 caras (triángulos
equiláteros), 4 vértices,
6 aristas.
c. Icosaedro:
Tiene 20 caras
(triángulos equiláteros),
12 vértices, 30 aristas.
e. Dodecaedro:
tiene 12 caras
(pentágonos
regulares), 20
vértices, 30 aristas.
d. Hexaedro o cubo:
Tiene 6 caras
(cuadrados), 8 vértices,
12 aristas, 4 diagonales
congruentes.
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 Para calcular su área se debe multiplicar el área de una de sus caras por el número total
de caras del poliedro.
B. POLIEDROS IRREGULARES:
 No tienen todas sus caras congruentes.
Se clasifican en:
> Prismas
> Pirámides
1. PRISMA:
Tiene dos polígonos iguales de base y
varios paralelogramos como caras laterales.
A = Área lateral · 2 Área basal
 V = Área basal · h
2. PIRAMIDE:
 Tiene una base que es un polígono y las caras laterales son
triángulos que tienen un vértice en común también llamado
cúspide.
ap
 A = Área basal  (nº de caras)  Área lateral
2
h
 V = Área basal · h
3
p
a
XX. CUERPOS REDONDOS:
 Están limitados por superficies curvas o curvas y planas juntas.
 Los principales son:
> Cilindro
> Cono
> Esfera
A. CILINDRO:
r
Se forma al hacer girar un rectángulo en torno a un eje que puede ser
cualquiera de sus lados.
A = 2 π r (h + r)
 V = π r2 · h
h
B. CONO:
 Se forma al hacer girar un triángulo rectángulo en torno a un eje
situado sobre uno de sus catetos.
 A = π r (g + r)
V =
π  r 2h
3
h
g
r
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21
C. ESFERA:
 Se forma al hacer girar una semicircunferencia en torno a su
diámetro.
A = 4 π r2
4
V =
π r3
3
CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS
CUERPOS DE REVOLUCIÓN
Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un
eje
TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana:
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EJEMPLO PSU-1: En un motor la relación entre el volumen V del
cilindro, el diámetro D del pistón y la longitud L del desplazamiento de
ese pistón es: V  10,79  D2  L Si el diámetro es 10 cm y la longitud del
desplazamiento también es 10 cm, ¿cuál es el volumen del cilindro?
A) 7.900 cm3
B) 790 cm3
C)
79 cm3
D)
7,9 cm3
E)
0,79 cm3
EJEMPLO PSU-2: Un cuadrado de lado 2 metros, se traslada 2 metros,
apoyado sobre uno de sus lados en un plano perpendicular a él, como se
muestra en la figura. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado?
A) 4 m3
B) 6 m3
C) 8 m3
D) 16 m3
E) 24 m3
EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el volumen del cilindro que se genera al
rotar indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura, en torno al lado
BC ?
A) 30 cm3
B) 45 cm3
C) 75 cm3
D) 180 cm3
E) 300 cm3
EJEMPLO PSU-4: La figura es un cubo. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Las rectas AD' y BC' son paralelas.
II) Las rectas A'B y DC' son paralelas.
III) Las rectas A'D y BC' no se intersectan.
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
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23
EJEMPLO PSU-5: En la figura se tiene un cuarto de círculo de centro O.
Se hace rotar la figura indefinidamente en torno al eje. Si = 3 cm,
entonces el volumen del cuerpo geométrico que se genera es
A) 9  cm3
B)
27
 cm3
2
C) 36  cm3
D) 27 cm3
E) 18 cm3
EJEMPLO PSU-6: Se tiene un prisma cuya base es un hexágono
regular de lado 2 . La altura del prisma es 3 . ¿Cuál es el volumen del
prisma?
A) 9
B) 18
C) 9 2
3
D) 9 3
E) 9 6
2
EJEMPLO PSU-7: En una caja cilíndrica caben tres esferas, cada una de
radio r, una encima de otra. El volumen no ocupado por las esferas es:
A)   r 3
B) 2    r 3
C) 3    r 3
D) 4    r 3
4
E)    r 3
3
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EJEMPLO PSU-8: El triángulo ABC de la figura tiene sus vértices
ubicados en las coordenadas A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) y C = (0, 0, 1).
Su área y su perímetro miden, respectivamente,
1
2 y 3 2
2
1
B)
3 y 2
2
A)
C)
3 y 3 2
1
3 y 3 2
2
1
E)
2 y 2
2
D)
EJEMPLO PSU-9: Se desea forrar una caja cúbica de arista a. ¿Cuál de
las siguientes expresiones representa la superficie a cubrir?
2
A) 12a
B) 6a
2
2
C) a
D) 4a
E) 8a
2
2
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EJEMPLO PSU-10: Si el trapecio de la figura y su simétrico respecto al
eje x se giran en forma indefinida en torno al eje y, ¿cuál de las
siguientes opciones representa mejor el cuerpo generado?
EJEMPLO PSU-11: Se tiene un cubo de madera al cual se le hizo una
perforación cilíndrica en el centro, como se muestra en la figura. Si la
arista del cubo mide 8 cm y el radio del cilindro mide 2 cm, el volumen
del cubo perforado, en cm3, es
A) 512 - 32
B) 512 - 16
C) 512 - 128
D) 256 - 32
E) 480
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EJEMPLO PSU-12: En la figura se muestra el cubo de arista a. El
triángulo EBD es:
A) equilátero
B) isósceles no equilátero
C) isósceles rectángulo
D) rectángulo en D
E) rectángulo en B
EJEMPLO PSU-13: La pirámide de la figura, está compuesta de:
A) 7 caras, 12 aristas y 6 vértices
B) 6 caras, 12 aristas y 6 vértices
C) 7 caras, 7 aristas y 7 vértices
D) 6 caras, 7 aristas y 6 vértices
E) 7 caras, 12 aristas y 7 vértices
EJEMPLO PSU-14: En la figura, el prisma recto tiene una altura de
m y la base es un hexágono regular de lado
3
2 m. Su volumen es:
A) 3 m 3
B) 9 m 3
C) 18 m 3
D) 3 3 m
3m
3
E) 6 3 m 3
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EJEMPLO PSU-15. La cara lateral de un paralelepípedo de base
cuadrada coincide completamente con la cara lateral de un prisma
regular de base pentagonal, como muestra la figura. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdaderas.
I) Las caras laterales de los prismas son paralelas
II) El área de cada cara lateral es igual en ambos prismas
III) a = 18º
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) II y III
E) I, II y III
2m
EJEMPLO PSU-16. La diagonal mayor de un rombo mide 2x y la menor
mide 2y. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado al rotar el rombo
sobre la diagonal mayor?
A) 8x y2 π
2
B) x y2 π
3
1
C) x 2 y 2 π
3
2
D) x 2 yπ
3
4
E)
x yπ
3
EJEMPLO PSU-17.
Un cuadrado de lado “a” se hace girar,
indefinidamente, en torno de uno de sus lados. El área de la superficie
lateral del cuerpo generado es
A ) 2a 2
B ) 2 πa 2
C ) 6a 2
D ) πa 2
E ) 4a 2
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Prof. Matemática y Física
28
XXI. DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA:
A. DIVISION INTERIOR:
DIVISIÓN INTERNA
Un punto P perteneciente a un trazo AB lo divide en la razón m: n,
si AP: PB = m: n
AP m

PB n
B. DIVISION EXTERIOR:
· Dividir exteriormente el segmento AB en la razón m: n, significa encontrar en el
exterior del trazo AB (en su prolongación), un punto Q
tal que:
AQ
QB

m
m
n
n
Q
m
A
B
A
n
B
Q
C. DIVISION ARMONICA:
Dividir armónicamente
el trazo AB en la razón
m: n, significa dividirlo
interiormente (punto
P) y exteriormente
(punto Q) en una
m
A
misma razón dada, tal que:
AP
PB

AQ
QB
P

B
n
Q
m
n
D. DIVISIÓN ÁUREA O DIVINA
Dividir un trazo en sección áurea o divina, consiste en dividirlo en dos segmentos,
de modo que la razón entre el trazo entero y el segmento mayor sea igual a la
razón entre el segmento mayor y el menor.
AB AP

(AP  PB)
AP PB
OBSERVACIÓN: La razón
NÚMERO ÁUREO
AB
se denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el
AP
AB
5 1

 1,618034
2
AP
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29
EJEMPLO PSU-1: Un segmento está dividido interiormente en la razón
1: 3: 5 y la medida del segmento mayor es 75 cm. ¿Cuál es la longitud
del segmento del medio?
A) 45 cm
B) 15 cm
C) 60 cm
D) 25 cm
E) No se puede determinar.
EJEMPLO PSU-2: En la figura el punto Q divide al segmento PR en la
razón 2: 5. Si QR mide 20, entonces ¿cuánto mide PR ?
A) 28
B) 28
C) 50
D) 70
E) Ninguno de los valores anteriores.
EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál(es) de los siguientes segmentos AB está(n)
dividido(s) por el punto P en la razón 2:3?
A) Sólo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-4: En la figura, C es punto medio del segmento AD y el
segmento BC duplica al segmento AB. El segmento AB es al segmento
BD como
A) 1: 2
B) 1: 3
C) 1: 4
D) 1: 5
E) 1: 6
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EJEMPLO PSU-5. En la figura,
AB
BC

1
. ¿Cuánto mide el segmento
3
BC ?
A) 3
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10
EJEMPLO PSU-6. Se ubicará una estación de gasolina P entre las
ciudades M y N, que distan 60 km entre ellas, de modo que las
distancias de las ciudades a la gasolinera estén en la proporción
MP : PN = 2: 3. Si la estación de gasolina estará en línea recta con las
ciudades M y N, ¿a qué distancia de la ciudad M quedará ubicada la
estación de gasolina?
A) A 12 Km
B) A 24 Km
C) A 30 Km
D) A 36 Km
E) A 48 Km
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Prof. Matemática y Física
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