Apuntes de Integrales

I. E. S. Siete Colinas (Ceuta)
Departamento de Matemáticas
Matemáticas
de
2º de Bachillerato
Integral
indefinida
Por Javier Carroquino CaZas
Catedrático de matemáticas
del
I.E.S. Siete Colinas
Ceuta 2005
Integral indefinida
Javier Carroquino Cañas
Matemáticas de 2º de bachillerato
–•–
Ciencias de la Naturaleza y la Salud
Tecnología
Integral indefinida
Por
Javier Carroquino Cañas
Catedrático de matemáticas
I.E.S. Siete Colinas (Ceuta)
Departamento de Matemáticas
Ceuta 2005
© Javier Carroquino Cañas
I.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemáticas)
Integral indefinida
Depósito Legal : CE & 147 / 2005
ISBN : 84 & 689 & 4555 & 2
Número de Registro : 05 / 76136
Ceuta 2005
Prólogo
E
ste tema, al que hemos titulado Integral
indefinida, se encuadra dentro del bloque
matemático denominado cálculo diferencia e integral ,
que constituye una potente herramienta de cálculo en la
resolución de problemas geométricos, físicos y en
numerosas aplicaciones de ingeniería. Sirvan como
ejemplos de la utilidad del cálculo integral la posibilidad
de hallar superficies de figuras geométricas de bordes
curvos y el cálculo de longitudes de lineas también
curvas.
Aunque didácticamente es conveniente el estudio
anterior de los límites de funciones, históricamente es
anterior el cálculo diferencial (derivación) e integral.
La integración es el proceso contrario a la
derivación, esto es, si de una función conocemos su
derivada, es posible conocer dicha función.
Un ejemplo: si conocemos la velocidad de un
cuerpo, podemos conocer el espacio recorrido en cierto
tiempo, ya que la “derivada de la velocidad con respecto
al tiempo nos da el espacio”. Pero, ¿si conocemos el
espacio recorrido, podemos conocer la velocidad? En
este caso conocemos la función derivada de la velocidad,
pero queremos conocer a esta. Se trata de un problema de
cálculo integral.
En el presente tema nos dedicaremos al cálculo
de primitivas, esto es, dada la derivada de una función,
queremos hallar aquella que al ser derivada se obtiene la
dada. Veremos que dicha función no es única y a cada
una de ellas se le denomina “primitiva”.
Matemáticas de 2º de bachillerato
I
Integral indefinida
Índice
Página
1.Introducción .................................................
2.Primitivas de una función ....................................
Ejemplo 1 .................................................
Ejemplo 2 .................................................
Ejercicio 1 ...............................................
Ejemplo 3 .................................................
Ejercicio 2 ...............................................
Ejercicio 3 ...............................................
3.Integral indefinida de una función ...........................
Ejemplo 4 .................................................
Ejercicio 4 ...............................................
Ejercicio 5 ...............................................
Ejercicio 6 ...............................................
4.Integral de una suma de dos funciones ........................
Ejemplo 5 .................................................
5.Integral del producto de un número por una función ...........
Ejemplo 6 .................................................
Ejemplo 7 .................................................
Ejercicio 7 ...............................................
6.Integrales inmediatas ............................................
6.1.Integral de la función cero ...........................
6.2.Integral de una función constante .....................
Ejemplo 8 ...........................................
Ejemplo 9 ...........................................
Ejercicio 8 .........................................
6.3.Integral de una función de la forma f(x)=xn ...........
Ejemplo 10 ..........................................
Ejercicio 9 .........................................
6.4.Integral de una función de la forma f(x)=x-1 ..........
Ejercicio 10 ........................................
6.5.Integral de una función de la forma f(x)=f´(x)/f(x)....
Ejercicio 11 ........................................
6.6.Integral de una función de la forma f(x)=ax ...........
Ejemplo 11.. ........................................
6.7.Integral de la función f(x)=ex ........................
6.8.Integral de la función seno ..........................
6.9.Integral de la función cosen ..........................
6.10.Integral de la función f(x)= 1/sen2x..................
6.11.Integral de la función f(x)= 1/cos2x..................
6.12.Integral de la función f ( x ) = 1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
5
5
5
6
7
7
8
8
8
9
9
10
10
11
11
11
11
12
12
12
13
13
14
14
14
14
14
15
15
1 − x 2 .................. 15
6.13.Integral de la función f ( x ) = − 1 1 − x 2 .................. 15
6.14.Integral de la función f ( x ) =
6.15.Integral de la función f ( x ) =
1
..................... 15
1+ x 2
−1
..................... 16
1+ x 2
n n− 1
................. 16
6.16.Integral de la función f ( x ) = 1 n x
Ejemplo 12.. ........................................ 16
Matemáticas de 2º de bachillerato
II
Integral indefinida
Página
7.Ejercicios sobre integrales inmediatas .......................
Ejercicio 12 ..............................................
Ejercicio 13 ..............................................
Ejercicio 14 ..............................................
Ejercicio 15 ..............................................
Ejercicio 16 ..............................................
Ejercicio 17 ..............................................
Ejercicio 18 ..............................................
Ejercicio 19 ..............................................
Ejercicio 20 ..............................................
Ejercicio 21 ..............................................
Ejercicio 22 ..............................................
Ejercicio 23 ..............................................
Ejercicio 24 ..............................................
Ejercicio 25 ..............................................
Ejercicio 26 ..............................................
Ejercicio 27 ..............................................
Ejercicio 28 ..............................................
Ejercicio 29 ..............................................
Ejercicio 30 ..............................................
Ejercicio 31 ..............................................
Ejercicio 32 ..............................................
Ejercicio 33 ..............................................
Ejercicio 34 ..............................................
Ejercicio 35 ..............................................
Ejercicio 36 ..............................................
Ejercicio 37 ..............................................
Ejercicio 38 ..............................................
Ejercicio 39 ..............................................
Ejercicio 40 ..............................................
Ejercicio 41 ..............................................
Ejercicio 42 ..............................................
Ejercicio 43 ..............................................
Ejercicio 44 ..............................................
Ejercicio 45 ..............................................
Ejercicio 46 ..............................................
Ejercicio 47 ..............................................
Ejercicio 48 ..............................................
Ejercicio 49 ..............................................
Ejercicio 50 ..............................................
Ejercicio 51 ..............................................
Ejercicio 52 ..............................................
Ejercicio 53 ..............................................
Ejercicio 54 ..............................................
Ejercicio 55 ..............................................
Ejercicio 56 ..............................................
Ejercicio 57 ..............................................
Ejercicio 58 ..............................................
Ejercicio 59 ..............................................
Ejercicio 60 ..............................................
Ejercicio 61 ..............................................
Ejercicio 62 ..............................................
Ejercicio 63 ..............................................
8.Método de integración por cambio de variable .................
Ejemplo 13 ...............................................
Ejemplo 14 ...............................................
16
16
17
17
17
17
18
18
18
18
19
19
19
19
19
20
20
20
20
21
21
21
21
21
22
22
22
23
23
23
23
23
23
24
24
25
25
25
25
25
25
26
26
28
28
28
28
29
29
29
30
30
30
31
31
32
Matemáticas de 2º de bachillerato
III
Integral indefinida
Página
Ejemplo 15 ...............................................
Ejemplo 16 ...............................................
Ejemplo 17 ...............................................
Ejemplo 18 ...............................................
8.1.Observaciones ........................................
8.2.Integrales que se resuelven por substitución .........
32
33
33
34
34
35
8.2.1.Integral del tipo I = ∫ [u( x )] ⋅ u ′ ( x ) dx siendo n ≠ − 1 ... 35
Ejemplo 19 .................................... 35
n
8.2.2.Integral del tipo I = ∫ [u( x )] ⋅ u ′ ( x ) dx ........... 35
Ejemplo 20 ..................................... 35
8.2.3.Integral del tipo I = ∫ e u ( x ) u ′ ( x ) dx ............. 36
−1
Ejemplo 21 ..................................... 36
8.2.4.Integral del tipo I = ∫ a u( x ) u ′ ( x ) dx ; a ∈ R , a > 0 , a ≠ 1 ... 36
Ejemplo 22 ..................................... 36
∫
[
]
∫
[
]
8.2.5.Integral del tipo I = sen u( x ) ⋅ u ′ ( x ) dx ........ 36
Ejemplo 23 ..................................... 37
8.2.6.Integral del tipo I = cos u( x ) ⋅ u ′ ( x ) dx ........
Ejemplo 24 .....................................
u ′ ( x)
8.2.7.Integral del tipo I = ∫
dx ..............
sen 2 u ( x )
Ejemplo 25 .....................................
u ′ ( x)
8.2.8.Integral del tipo I = ∫
dx ..............
cos 2 u( x )
Ejemplo 26 .....................................
u ′ ( x)
8.2.9.Integral del tipo I = ∫
dx ............
2
1− [ u ( x ) ]
Ejemplo 27 .....................................
− u ′ ( x)
8.2.10.Integral del tipo I = ∫
dx ...........
2
1− [ u ( x ) ]
Ejemplo 28 .....................................
u ′ ( x)
8.2.11.Integral del tipo I =
...........
2 dx
1+ [ u ( x ) ]
Ejemplo 29 .....................................
− u ′ ( x)
8.2.12.Integral del tipo I =
...........
2 dx
1+ [ u ( x ) ]
Ejemplo 30 .....................................
∫
∫
I=
37
37
37
37
38
38
38
38
39
39
39
39
40
40
u ′ ( x)
∫2
dx ............. 40
u( x )
Ejemplo 31 ..................................... 40
8.2.13.Integral del tipo
8.3.Ejercicios de integrales resueltos por substitución ... 41
Ejercicio 64 ........................................ 41
Ejercicio 65 ........................................ 41
Matemáticas de 2º de bachillerato
IV
Integral indefinida
Página
Ejercicio 66 ........................................
Ejercicio 67 ........................................
Ejercicio 68 ........................................
Ejercicio 69 ........................................
Ejercicio 70 ........................................
Ejercicio 71 ........................................
Ejercicio 72 ........................................
Ejercicio 73 ........................................
Ejercicio 74 ........................................
Ejercicio 75 ........................................
Ejercicio 76 ........................................
Ejercicio 77 ........................................
Ejercicio 78 ........................................
Ejercicio 79 ........................................
Ejercicio 80 ........................................
Ejercicio 81 ........................................
Ejercicio 82 ........................................
Ejercicio 83 ........................................
Ejercicio 84 ........................................
Ejercicio 85 ........................................
Ejercicio 86 ........................................
Ejercicio 87 ........................................
Ejercicio 88 ........................................
Ejercicio 89 ........................................
Ejercicio 90 ........................................
Ejercicio 91 ........................................
Ejercicio 92 ........................................
Ejercicio 93 ........................................
Ejercicio 94 ........................................
Ejercicio 95 ........................................
Ejercicio 96 ........................................
Ejercicio 97 ........................................
Ejercicio 98 ........................................
Ejercicio 99 ........................................
Ejercicio 100 .......................................
Ejercicio 101 .......................................
Ejercicio 102 .......................................
Ejercicio 103 .......................................
Ejercicio 104 .......................................
Ejercicio 105 .......................................
Ejercicio 106 .......................................
Ejercicio 107 .......................................
Ejercicio 108 .......................................
Ejercicio 109 .......................................
Ejercicio 110 .......................................
Ejercicio 111 .......................................
Ejercicio 112 .......................................
Ejercicio 113 .......................................
Ejercicio 114 .......................................
Ejercicio 115 .......................................
Ejercicio 116 .......................................
Ejercicio 117 .......................................
Ejercicio 118 .......................................
9.Método de integración por partes .............................
9.1.Observaciones .........................................
Ejemplo 32 ..........................................
41
42
42
42
43
43
43
44
44
44
45
45
45
46
46
46
47
47
47
48
48
48
49
49
49
50
50
50
51
51
51
51
52
52
53
54
55
55
56
56
56
57
58
58
58
59
59
60
60
60
61
61
62
64
64
65
Matemáticas de 2º de bachillerato
V
Integral indefinida
Página
Ejemplo 33 .......................................... 66
Ejemplo 34 .......................................... 67
Ejemplo 35 .......................................... 68
9.2.Ejercicios resuel. por el método de integrac. por partes .... 68
Ejercicio 119 ....................................... 68
Ejercicio 120 ....................................... 68
Ejercicio 121 ....................................... 69
Ejercicio 122 ....................................... 69
Ejercicio 123 ....................................... 70
Ejercicio 124 ....................................... 70
Ejercicio 125 ....................................... 71
Ejercicio 126 ....................................... 71
Ejercicio 127 ....................................... 72
Ejercicio 128 ....................................... 72
Ejercicio 129 ....................................... 72
Ejercicio 130 ....................................... 72
Ejercicio 131 ....................................... 73
Ejercicio 132 ....................................... 74
Ejercicio 133 ....................................... 74
Ejercicio 134 ....................................... 75
Ejercicio 135 ....................................... 76
Ejercicio 136 ....................................... 76
Ejercicio 137 ....................................... 77
Ejercicio 138 ....................................... 78
Ejercicio 139 ....................................... 78
10.Integración de funciones racionales ......................... 79
10.1.Caso I ............................................... 80
Ejemplo 36 .......................................... 80
Ejemplo 37 .......................................... 81
Ejemplo 38 .......................................... 81
Ejemplo 39 .......................................... 83
Ejemplo 40 .......................................... 84
10.1.1.Estudio del caso Ia .........................
84
Ejemplo 41 .................................... 85
Ejercicio 140 ................................. 86
Ejercicio 141 ................................. 87
Ejercicio 142 ................................. 88
10.1.2.Estudio del caso Ib .........................
90
Ejemplo 42 .................................... 90
Ejercicio 143 ................................. 91
Ejercicio 144 ................................. 92
10.1.3.Estudio del caso Ic .........................
93
Ejemplo 43 .................................... 94
Ejercicio 145 ................................. 96
10.2.Caso II ............................................. 98
Ejemplo 44 .........................................
98
Ejercicio 146 ....................................... 99
Ejercicio 147 ....................................... 100