Los números complejos 1

Los números complejos 1
Los números complejos, forma binómica.
Una ecuación de la forma x2+1=0 no tiene solución en el conjunto de los números reales.
Para poder resolverla es preciso introducir un nuevo número que llamamos unidad
imaginaria:
Los números complejos son de la forma: z=a+bi, a es la parte real y b es la parte imaginaria.
Comprueba
•Que el conjugado del
Dos números complejos son iguales cuando
tienen la misma parte real y la misma parte
imaginaria.
El conjugado de un número complejo z=a+bi
es el número z=a-bi.
conjugado de z es z.
•Que el módulo de z y el
del conjugado de z son
iguales.
Cada nº complejo z se puede representar por
un punto del plano Z(a,b), a este punto lo
llamaremos el afijo de z.
El módulo de z es la longitud del segmento OZ
m=|z|=
Operaciones con complejos
SUMA/RESTA: Se suman/restan las partes real
e imaginaria respectivas:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
PRODUCTO: Teniendo en cuenta que i2=-1,
multiplicamos los dos binomios,
(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
Calcula
•Dado z=2+3i, calcula
z+z, z-z, z·z, z/z
•Utiliza dos complejos z y
z'
cualesquiera
para
comprobar que
(z+z')=z+z', z·z'=z·z'
•El inverso de z=1+i
COCIENTE: Multiplicamos numerador y
denominador por el conjugado del
denominador.
Potencias de i
Las
potencias
sucesivas
comportamiento cíclico,
de
i
presentan
un
i0=1
i1=i
i2=-1
i3=i2·i=-1·i=-i
i4=i2·i2=(-1)·(-1)=1 y a partir de aquí se repiten
Comprueba
• i17=i,
i50=-1,
i300=1
• 1+i2+i3+...+i20=0
Para calcular cualquier potencia de i, hemos de dividir
el exponente para 4 y calcular la potencia
correspondiente al resto de esta división:
in=i4q+r=i4q·ir=1·ir=ir
MATEMÁTICAS I
Mª José García Cebrian, 2006