Potencial Electrostático Φ()

⃗ 𝒑)
Potencial Electrostático Φ(𝒓
Este subtema es otra parte fundamental del electromagnetismo y es consecuencia directa
del trabajo desarrollado por una fuerza electrostática; inicialmente se analiza el caso de
una carga puntual qp en la vecindad de otra carga puntual q que produce una fuerza
electrostática sobre la carga de prueba qp como se muestra en la figura adjunta.
Una fuerza externa F, desde muy lejos coloca la carga de prueba q p en la posición indicada
con

rp ; desarrollando un trabajo W dado por:

rp
W=

𝑞𝑝
q

 F  dr ; cabe recordar que en el caso de fuerzas electrostáticas, éstas son mucho

0 𝑟𝑝
𝑟𝑞
⃗⃗⃗

mayores en magnitud que las fuerzas gravitacionales, de tal forma que la magnitud de F es igual a la magnitud de la fuerza
electrostática que produce la carga puntual q sobre la carga de prueba q p pero en dirección contraria; quedando:
rp
W=-

F
e

 dr
( Fe fuerza electrostática producida por q)
PE-1

En el caso del problema aquí analizado de acuerdo a la ley de Coulomb se tiene:
 
qqp (rp  rq )

Fe 
, que sustituyendo en la igualdad inmediata anterior se obtiene:
3
4 0 rp  rq
rp
rp
q(rp  rq )
q p q(rp  rq )  dr
q(rp  rq )  dr
W = - 
= - qp
; note que la expresión
3

 3 es justamente el campo
  3
4 0 rp  rq
4 0 rp  rq

 4 0 rp  rq
 

electrostático generado por la carga puntual q valuado en la posición indicada con r , que se representa con; E(r ) ;
p
p
quedando la igualdad inmediata anterior como:
W
qp
rp
 

 E ( r )  dr
=-
PE-2
p

Por definición a esta cantidad escalar se le llama Potencial Electrostático y note que es el trabajo por unidad de carga valuado
en punto indicado con
(rp )
rp
=-

rp . Normalmente esta cantidad escalar se representa con el símbolo (rp )

 E ( r )  dr
de tal forma que:
PE-3
p

Observe que por definición el potencial electrostático se valúa puntualmente y tiene unidades de Joule/C; tales que 1
Joule/1C se define como 1 Volt
Además como el potencial electrostático es puntual entonces el valor de éste tiene valores diferentes en diferentes puntos; de
tal forma que la diferencia de dos potenciales electrostáticos se le llama DIFERENCIA DE POTENCIAL y obviamente tiene
las mismas unidades.
Regresando con el álgebra a la igualdad PE-3, recordando que el campo electrostático generado por la carga puntual q es :
q(rp  rq )
4 r  r
0
p
3
y por comodidad de cálculo; el origen del sistema de referencia se coloca en la posición de la carga puntual
q
que produce el campo, entonces
 (r )
qr  dr
q
 4 0 r 3   4 0
rp
=-

rq  0
y con
r  dr
 r3

rp  r , el potencial electrostático queda como:
rp
. Note que en esta integral
r & dr
tienen la misma dirección; de tal forma que:
rp
r  dr
rdr
1
 r 3   r 3   r 
rp
(rp ) 
; aclarando que el límite superior es rp, quedando el potencial electrostático como:
q
PE-4
4 0 rp
Aquí es recomendable aclarar que
1
r
se hace cero cuando r es

y que rp es la magnitud del vector
rp  rq ; quedando de
la igualdad inmediata anterior:
q
4 0 rp  rq
(r ) 
PE-5
Analizando esta igualdad se concluye que el potencial electrostático depende de la carga puntual q que lo produce y que se
evalúa en un punto del espacio a una distancia
rp  rq
de la carga puntual en cuestión.
Para el caso del potencial producido en un punto P indicado por el vector de posición
rp
y producido por N cargas puntuales,
se encontró que el campo electrostático es:

E (r p ) 
q j (rp  rj )
; sustituyendo esta igualdad en PE-3 se obtiene:

4 0 j 1 r  r 3
N
1
p
rp
1

(rp )   
4 0

j
q j (rp  rj ) 
 dr . En

3
j 1
r  r
N
p
esta integral así formada se pueden intercambiar la integral con la sumatoria;
j
quedando:
 rp q (r  r )

j
p
j


 dr  ; en esta igualdad note que la expresión contenida en los paréntesis rectangulares
=  
  3

j 1   4 r  r
0 p
j



justamente el potencial electrostático producido por la j-ésima carga puntual en el punto P indicado con r p ; por lo que
N
(rp )
es
dicha igualdad se puede indicar como:
(rp )
N
=

j 1
j
(rp )
=
1
4 0
N
 r
j 1
p
qj
PE-6
_ rj
Remarcando que fundamentalmente el potencial electrostático depende de las distancias de cada una de las N cargas
puntuales al punto P indicado con el vector de posición
rp .
Ejemplo No 1.- Determinar el potencial electrostático en el centro de un pentágono, debido a cargas puntuales idénticas
colocadas en los vértices del pentágono; considerando que la apotema de dicho pentágono mide 0.5m. y que cada carga
puntual tiene un valor de 3.5µC.
RESPUESTA.- Considere la figura adjunta y recuerde que el potencial electrostático
q
solamente depende de la carga que lo produce y de la distancia al punto P que en este
P
caso es el centro del pentágono y la distancia d al punto P es la misma para cada
carga puntual y sí se coloca el sistema de referencia en el centro del pentágono,
entonces
 
rp  r j
= d y como son cinco cargas puntuales, entonces aplicando PE-6
q
360
a
se tiene:
5
( P)  
j 1
qj
4 0 d
q
d
;
q
q
Pero en este caso las cargas son idénticas; de tal forma que:
( p ) 
5q
(1)
4 0 d
Cálculo de d.
De Trigonometría se sabe que: Cos360 =
5(3.5 x106 )
(P) 
4 0 (.62)
.5
.5
, quedando: d=
Cos 36 0
d
= 0.62m, que sustituyendo en (1) se tiene:
=2.54x105Volt.
Ejemplo-2.--Para la configuración de cargas mostrada en la figura siguiente. Demostrar que el potencial electrostático para
r>>d es: V(r) =
q-o
q
4 o r
+
q
o
d
d
(1 
2d
).
r
+
q
o
P
r
RESPUESTA:
Para facilitar los cálculos se coloca el sistema de referencia en la posición de la carga positiva intermedia proporcionada en la
figura por lo que para el punto P:
( P) 

rp  riˆ ; r1  diˆ , r2  0 ; r3  diˆ ; recuerde que el potencial valuado en P es:
1  q
q
q
       
4 0  rp  r1 rp  r2 rp  r3




(1)
Puesto que:
 
 
rp  r1  r  d
rp  r1  riˆ  diˆ  (r  d )iˆ

 
 
rp  r3  riˆ  diˆ  (r  d )iˆ  rp  r3  r  d
;
 
 
rp  r2  riˆ  0iˆ  riˆ  rp  r2  r ;
Sustituyendo estas igualdades en la igualdad (1) se tiene:
( P) 
1  q q
q 
=
 

4 0  r  d r r  d 
  r 2  rd  r 2  d 2  r 2  rd 

4 0 r 
r2  d 2

q
=
q   r (r  d )  (r  d )(r  d )  r (r  d ) 
=

4 0 
r (r  d )(r  d )

q  r 2  d 2  2rd 
; dividiendo en esta expresión cada término entre
4 0 r  r 2  d 2 
r2 y como r>>d, entonces las expresiones d2/r2 se aproximan a cero; quedando de la igualdad inmediata anterior:
( P ) 
 2d 
1 

4 0 r 
r 
q
POTENCIAL ELECTROSTÁTICO GENERADO POR OBJETOS
CARGADOS.
En la vida real se encuentran objetos con volumen V que tienen carga
total Q y que en este caso se analizan cuando la carga está
distribuida uniformemente; de tal forma que, sí se considera un objeto
con volumen V y carga Q distribuida uniformemente como se muestra
en la figura adjunta; tales que: 0 representa un sistema de referencia
colocado en un punto del espacio, P el punto donde se evalúa el
potencial electrostático,
ri
rp el vector de posición que indica el punto P,
indica la i-ésima partición del objeto que tiene la distribución de
carga o sea que indica un elemento de volumen ∆iV con una cantidad
de carga ∆iQ y si  representa la densidad de carga por unidad de
volumen, entonces recuerde que ∆iQ =

∆iV; para todo i = 1,2,3,…,
N, con N el número de particiones del volumen V ; de tal forma que
aplicando la ecuación PE-6 se tiene:
 (rp ) 
1
4 0
N
 iQ

p  ri
 r
i 1
=
1
4 0
 iV
N
 r
i 1
p
PE-7
 ri
Note que esta aproximación se convierte en una igualdad cuando la i-ésima partición es muy pequeña de tal forma que ésta
contenga “una sola carga puntual”; pero la sumatoria indicada en la expresión inmediata anterior, cuando N tiende a infinito se
transforma en una integral valuada sobre todo el volumen de la distribución de carga; quedando:
(rp ) 
lím
1
N   4 0
N
 iV
 r
i 1
p
 ri
=
1
dV
 r
4 0 V
p
PE-8-
 r
Comentario.- En esta integral la V que está al pie de la integral indica que la integración correspondiente debe ser sobre todo
el volumen V de la distribución de carga involucrada. En ocasiones es más aplicable la igualdad indicada en PE-3 que
justamente es la definición de potencial electrostático.
Ejemplo.3.- La función que representa la magnitud de campo electrostático dentro de una esfera no conductora de radio R,
que tiene una densidad de carga uniforme; está representada por: E(r)=
qr
4 0 R 3
; con q la carga total de la esfera y r es una
variable radial de la esfera. Demuestre que:
(r ) 
q(3R 2  r 2 )
.
8 0 R 3
RESPUESTA: Aplicando PE-3 se tiene:
r
R
r



(r )   E(r )  dr   E( R)  dr   E(r )  dr


R
(1)
R
Recuerde que:

( R)   E ( R)  dr 

(2)
4 0 R
qr
q
q 1 2

dr  
rdr  
( r  R 2 ) =
3
3 
3
4 0 R
4 0 R R
4 0 R  2

R
r
Pero:-
q
r


E
(
r
)

d
r


R
r
2
qR
qr2
q
qr2



8 0 R 3 8 0 R 3 8 0 R 8 0 R 3
(3)
Sustituyendo las igualdades: (2) y (3) en la expresión (1) se obtiene:
( r ) 
q
4 0 R

q
8 0 R

qr2
q

(3R 2  r 2 ) .
3
3
8 0 R
8 0 R
Observe que cuando r=R, el potencial es:
(r ) 
q
4 0 R
, (resultado esperado). Además cuando r= 0, el potencial
electrostático se está calculando en el centro de la distribución de carga (esfera); quedando:
3qR2
3q
(0) 

.
3
8 0 R
8 0 R
En el caso de distribuciones de carga por unidad de área;
considerando que S mostrada en la figura adyacente
representa a una superficie integrable con densidad de
carga
 (r )
, en el caso en que la distribución de carga no
depende del tiempo y con las siguientes notaciones 0
representa el sistema de referencia inercial, P es el punto
del espacio donde se calcula el potencial electrostático,
indica el i-ésimo
elemento de área
cierta cantidad de carga
i S

ri
que tiene una
i Q .
Cuando el número de particiones de S es muy grande,

ri
se
convierte en una función vectorial continua para toda la
distribución de carga S; de tal forma que haciendo una
deducción semejante al caso de distribuciones volumétricas
de carga se obtiene:

(rp ) 
1
4 0

 (r)ds
S
 
rp  r
PE-9
Aclarando que esta igualdad: S representa el área con carga total Q; cuya distribución de carga es una función de la

posición, r es una función vectorial que indica cualquier punto de la distribución de carga.
Ejemplo4.- Una carga Q está distribuida en una superficie que es parte de un círculo de radios: a & b; tales que a<b y la
densidad de carga superficial es una función de r; tales que:𝜎(r)= K/r3, con K una constante y r una variable radial en la
distribución de carga. Demuestre que el potencial electrostático valuado en el centro de curvatura es:
(0) 
Q(a  b)
8 0 ab
RESPUESTA: Considere la figura adjunta; con las aclaraciones siguientes: 0 es el centro
de la corona circular de radios a & b con b>a; por lo que aplicando la igualdad indicada en
PE-9 se tiene:
1
 (r)ds

(rp ) 
4 0 S rp  r
b
a
(1)
0

r
Con el propósito de facilitar el álgebra se coloca el sistema de referencia en el centro de
curvatura de la superficie S, de tal forma que
 
rp  0
y como el área de un círculo es 𝜋r2,
entonces ds = 2𝜋rdr, que sustituyendo en la igualdad (1) se tiene:
K 2rdr
(0) 

4 0 a r 4
b
1
K
2 0
=
b
dr
r
3
a
(2)
En esta última expresión ya se hicieron las sustituciones correspondientes; luego la integral indicada en (2) es:
dr (b 2  a 2 )
a r 3  2a 2b 2 , que sustituyendo en la igualdad inmediata anterior se obtiene:
b
(0) 
K (b 2  a 2 )
4 0 a 2b 2
(3)
En esta expresión así determinada aparece la constante K, que a continuación se determinaRecuerde que la carga total Q de una distribución de carga
b
Q=
  (r )ds  
S
tiene:
a

(0)
=
 (r )
K 2rdr
dr
ba
 2K  2  2K (
) 
3
r
r
ab
a
se calcula de:
b
K =
Qab
,
2 (b  a )
que sustituyendo en la igualdad (3) se
Q(a  b)(b  a) Q(a  b)

8 0 (b  a)ab
8 0 ab
Ejemplo No 5.- Para una distribución de carga uniforme por unidad
de área de forma circular de radio R y carga total Q, encuentre el
potencial electrostático valuado el punto P(0,0,b) colocado en el eje
positivo Z y posteriormente usar este resultado para determinar el
potencial en el centro de la distribución de carga.
Z
RESPUESTA: Considere la figura adjunta, con las anotaciones: R
radio del círculo de la distribución de carga, el área pintada de azul
representa la diferencial de área del círculo (ds = 2  rdr), el
segmento dirigido que indica el punto P va del origen al punto P y se
representa con 𝑟⃗⃗⃗𝑝 , la función vectorial 𝑟 va del origen del sistema de
coordenada a cualquier punto de la diferencial de área (2  rdr) y
como la carga Q está distribuida uniformemente, entonces el
potencial valuado en el punto P es:


(rp ) =
4 0
ds

p r
 r
S
P
R
(1)
X
Y


rp  bkˆ , r  (rCos )iˆ  (rSen ) ˆj ; r variable de 0 a R, el ángulo 𝜃 también variable de 0 a 2
 
 
rp  r  bkˆ  (rCos )iˆ  (rSen ) ˆj  r p  r = b 2  r 2 ; aclarando que  representa la densidad
De la figura se Obtiene :
 ; además
de carga por unidad de área; haciendo las sustituciones correspondientes en (1) se tiene:


 ( rp ) 
4 0
R

0
2rdr
=
b2  r

2 0
R
rdr

(2)
b2  r 2
0
La integral que aparece en esta igualdad se resuelve haciendo el siguiente cambio de variable u = b 2+r2; quedando du =2rdr;
de tal forma que:
R
1
2rdr
R
 b 2  r 2 0 =

2
2
2 0 b r


(rp ) 
b2  R2  b
2 0

 b  R  b
2
2
; que sustituyendo en la igualdad (2) se tiene:

(3)
Cuando el potencial se evalúa en el centro de la distribución de carga, b=0; quedando de la igualdad inmediata anterior :

R
(0) 
2 0
(4)
Para ambos casos de las igualdades: (3) y (4) la densidad de carga
igualdades como:

(rp ) 
Q
2R 2 0
 b  R  b
2
2
y

(0) 

por unidad de área es
Q
R 2
, quedando dichas
Q
2 0 R
Ejercicio1.- Para una distribución uniforme de carga en una superficie semi-esférica de radio R y carga total Q. Demostrar
que el potencial electrostático, calculado en el centro de curvatura de la superficie es:

(0) 
Q
8 0 R
CASO DE DISTRIBUCIONES DE CARGA POR UNIDAD DE LONGITUD
Suponga que la forma L de la distribución de carga es como la que se muestra en
la figura adjunta, cuya densidad de carga por unidad de longitud es:
i L
P

rp

ri
0
 (r ) 
dQ
dL
;
aclarando que Q es la carga total de la distribución de carga de longitud L, de tal
forma que dL es una diferencial de L,

ri
indica el elemento de longitud
i L , P es
un punto del espacio donde se calcula el potencial electrostático, 0 es un punto del
espacio que indica es sistema de referencia inercial; con estas aclaraciones y
mediante un procedimiento como el que se hizo para distribuciones volumétricas
de carga se encuentra:

 (rp ) 
1
4 0

L
 (rp )dL
PE-10
 
rp  r
En esta igualdad se aclara que cuando el número de particiones es muy grande
(N   ) la cantidad vectorial

ri
se convierte en la función vectorial; asimismo se
aclara que cuando la distribución de carga es uniforme la densidad de carga por
unidad de longitud es constante y sale de la integral.
Ejemplo 6.- Para una distribución de carga con forma de una circunferencia de
radio R y carga total Q distribuida uniformemente, determinar el potencial
electrostático valuado en el punto de coordenadas (0,0,b), colocado en el eje
positivo Z.
RESPUESTA: Por comodidad de cálculo se coloca el sistema de referencia en el
centro de curvatura de la circunferencia como se muestra en la figura adjunta; con
Z
las siguientes notaciones:
P

rp
indica la posición del punto P donde se evalúa el
potencial electrostático, de tal forma que:

rp =b kˆ

rp
Y

r
0
dL
X

4 0
 
r r
( P) 
Pero:
dL

p r
 r
L
=
p
,

r
indica el elemento de la longitud de la circunferencia de radio R;
quedando:

r =R ê r
= R( iˆCos
 ˆjSen ) .
Además recuerde que la diferencial de arco dL en coordenadas polares es:
dL =Rd  .
Con estas notaciones y de PE-10 se tiene:
(L longitud de la circunferencia )
b kˆ  ( RCos )iˆ  ( RSen ) ˆj

(1)
 
rp  r  b 2  R 2Cos 2  R 2 Sen 2
R 2  b2
=
,
que
sustituyendo en la igualdad inmediata anterior se tiene:
( P) 
 2 Rd
40 0 R 2  b2
( P ) 

4 0 R 2  b 2
2R
=
R
2 0 R 2  b 2
:
Q
; quedando:
2R
QR

pero además
( P) 
; como R y b son constantes, entonces:
4 0 R R 2  b 2
Comentario.- Cuando b=0 el potencial electrostático esta valuado en el centro de la circunferencia; tales que:
(0) 
Q
4 0 R
Ejercicio 2.- Calcular el potencial electrostático, en el centro de una semi-circunferencia de radio R y carga total Q distribuida
uniformemente.
q
q
2
1

r1
0

r2
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA (W)
Este sub-tema didácticamente es recomendable iniciarlo, calculando el
trabajo W desarrollado para colocar una carga puntual q 2 en la vecindad de
otra carga puntual q1 como se muestra en la figura adjunta.
Recuerde de la definición de potencial electrostático, que:
W


(rp ) 
 W = q2(rp )
q2
PE-11
(rp ) es
q2 o sea que: rp  r2
En esta igualdad es recomendable aclarar que
el potencial
electrostático valuado en la posición de
; quedando:
q2 q1
 
4 0 r2  r1
W=
; Note: que esta igualdad representa el trabajo necesario para tener colocadas dos cargas puntuales en
alguna vecindad del espacio, separadas una distancia
 
r2  r1
, que por definición a dicha igualdad se le llama ENERGÍA
POTENCIAL ELECTROSTÁTICA y tiene unidades de trabajo.
Para calcular la energía W; en el caso de tres cargas puntuales
colocadas en algún lugar del espacio considere la figura adjunta.
El trabajo para colocar q2 en la vecindad de q1 de acuerdo a la igualdad
inmediata anterior es:
W 12 =
q2 q1
 
4 0 r2  r1
W = W 13 + W 23 =
q1
y el trabajo en la vecindad de q1 y q2 es:
q1q3
q2 q3
  
 
4 0 r3  r1 4 0 r3  r2
q2
; quedando la energía

r2
q3

r3

r1
total
W como:
W = W 12 + W 13 + W 23 =
q2 q1
 
4 0 r2  r1
qq
qq
1  q1q2
     1 3   2 3
4 0  r2  r1
r3  r1 r3  r2

W=
+



q1q3
q2 q3
  
 
4 0 r3  r1 4 0 r3  r2
=
0
Observe que esta igualdad se puede representar como:
q3 q1
q1q3
q2 q3
q3 q2 
1  q1q2
q2 q1
                 
8 0  r1  r2
r1  r3 r2  r1 r2  r3 r3  r1 r3  r2 
PE-12
Cabe aclarar que aquí se multiplicó por 2 y se dividió entre 2 para que se cumpla la igualdad; pero además note que aparece
el productos de una carga con cada una de las restantes y que no aparecen productos de una carga con ella misma; de tal
forma que para colocar N cargas puntuales en una vecindad de algún lugar del espacio, aplicando la igualdad PE-12 se
obtiene:
W=
N
N
N 1
qj
qj
qj
1  N qj
q1     q2     q3     ...  qN   
8 0  j 2 r1  rj
j 1, j  2 r2  rj
j 1, j  q r3  r j
j 1 rN  rj




En esta igualdad así formulada, multiplicando y dividiendo en cada sumatoria el término
N
1
4 0

j 1, j  i
qj
 
ri  r j
1 N
 qi (ri )
2 i1
4 0 ,
entonces cada término
representa el potencial electrostático generado por N-1 cargas puntuales valuado en la posición de la
carga qi; de tal forma que:
W=
PE-13
PE-14
COMENTARIO.- Para resolver problemas, la igualdad inmediata anterior
es más manipulable; aunque de la igualdad PE-13 se puede obtener otra
igualdad para la energía potencial electrostática
EJEMPLO 7 .- Se colocan; una carga puntual en cada vértice de un
pentágono; considerando que las cinco cargas son idénticas e igual a
4.5µC y que la apotema es 0.3m. Determinar: a ) El potencial
electrostático valuado en la posición de cada una de las cinco cargas
puntuales generado por las cuatro cargas puntuales restantes, b ) La
energía potencial electrostática para tener las cinco cargas puntuales en
la posición indicada.
RESPUESTA. Considere la figura adjunta; con la nomenclatura siguiente: a representa a la apotema pintada de verde, ri la
distancia del centro del pentágono a cualquier vértice del mismo, d 13 distancia entre las cargas 1 y3 & 2 y 4 para el cálculo
del potencial en la posición de la carga q1
Para facilitar los cálculos para todos los casos del potencial; se coloca el sistema de referencia en el centro del pentágono.
CALCULO DEL POTENCIAL
en la posición de q1
Recuerde que el potencial electrostático solo depende de la distancia de cada carga al punto, en este caso de q1.
Aplicando la igualdad del potencial electrostático para cuatro cargas puntuales se tiene:
1

(r1 ) 
4 0
4
qj
d
j 1
; como las cargas son idénticas e iguales a q y dij representan a las distancias correspondientes, de
1j
tal forma que:

(r1 ) 
q  1
1
1
1 





4 0  d12 d13 d14 d15 
=
q  2
2 



4 0  d12 d 14 
(1)
De la figura aquí considerada y como se trata de un pentágono: d 12 = d15 . Además cualesquiera de esta dos distancias
representa a la longitud de cualquiera de los lados del pentágono y como el ángulo que subtiene cada lado del pentágono es
de 720, de tal forma que la mitad de este ángulo es 36 0, entonces Tan360=
d12 / 2 d12

 d12  2aTan 36 0 ;
a
2a
Con a la
apotema del pentágono, que sustituyendo este dato se obtiene: d 12 = 0.436m =d15.
De la misma figura: d13= d14; pero el ángulo 𝜃 , se calcula de la figura aquí considerada puesto que
2𝛽 +720 =1800,quedadndo 2𝛽 = 1080, que observando la figura en cuestión este es el valor de 𝜃 y aplicando la ley de los
Cosenos se tiene:
d13 =
d 212  d 212  2(d12 ) 2 Cos1080
y sustituyendo datos se obtiene d13 = 0.705m=d14 , que sustituyendo datos en (1)
se tiene:
4.5x106  2
2 

(r1 ) 


4 0 .435 0.705
= 300.226V
Por la estructura del problema el potencial es exactamente el mismo en la posición de cada una de las cinco cargas
puntuales; de tal forma que:





(r2 )  (r3 )  (r4 )  (r5 )  (r1 )
=300.226V
INCISO B.- aplicando PE-14 se tiene:
1 5
 q (ri ) ; como las cargas puntuales son iguales y también los potenciales electrostáticos, entonces:
2 i 1 i
W  (.5)5(q)(300.22) Joule =0.003Joule.
W=
Ejercicio 3.- Determine la energía potencial necesaria para colocar una carga puntual en cada vértice de un cuadrado de lado
.4m, suponga que las cuatro cargas puntuales son idénticas e igal a 5.7𝜇C.
Comentario
En el caso de distribuciones continuas de carga haciendo un análisis semejante a los casos de potencial electrostático y
suponiendo que sí ∆IV es la i-ésima partición de una distribución volumétrica de carga, entonces ∆iq es la cantidad de carga
que hay en dicho elemento de volumen; tales que al aplicar el límite a la igualdad PE-14; cuando el número de particiones es
muy grande, quedando
W=
1
 (r)(r)dV ; aclarado que  (r )

2V
representa la densidad de carga por unidad de volumen en esta caso función
solamente de la posición. Aquí no se presentan ejemplos, por el nivel del curso.
Como un sub-tema final, se considera la definición de potencial electrostático indicada con PE-3 y sin presentar el rigorismo
matemático, diferenciando dicha igualdad se obtiene:

d (r )
(



(r )
(r )
(r )
dx  (
)dy  (
dz
x
y
z

= - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸(𝑟)  dr
PE-15
Aplicando el producto punto definido en el Cálculo Vectorial se obtiene:



(r )
(r )
(r )

d (r )  (
dx  (
)dy  (
dz =
x
y
z


 (r)
(r )
(r ) ˆ
( x )iˆ  ( y ) ˆj  ( z )k   (dx)iˆ  (dy) ˆj  (dz)kˆ



 ; por definición a la primera cantidad vectorial (lado
izquierdo) se le llama Gradiente de la función escalar contenida en las paréntesis rectangulares y se representa como grad

 (r )
; o sea que:



(r )
(r )
(r ) ˆ
ˆj 
iˆ 
k ; quedando de esta definición y de la igualdad PE-15:
x
y
z
 

E(r )   grad(r )
PE-16

grad  (r ) =
Como una aplicación de esta igualdad así formula, determinar el campo electrostático en un punto del eje de simetría, que es
perpendicular a un y que pasa por el centro del mismo considerando que el disco tiene radio R y carga total Q distribuida
uniformementeRESPUESTA: Utilizando PE-16 y puesto el radio del círculo es constante y la variación solamente es sobre el eje z; por lo
que dicha igualdad se convierte en una sola derivada parcial; quedando:


  Q
E( z)   
( z 2  R 2  z  kˆ
2
z  2 0 R

=

 ˆ
z
1

k
2 0 R 
R2  z 2 
Q
2
En términos generales esta propuesta de este subtema de la unidad académica de electromagnetismo se ajusta al programa
de un curso de electromagnetismo para las licenciaturas de ingeniería y ciencias.