Taller de problemas 3. - Departamento de Física

BPTFI01- Serie A. Período 1516-1
TALLER DE PROBLEMAS 3. CINEMÁTICA 2
Problema 1 - (* 3.88)
Se dispara un proyectil al aire desde la cima de una montaña a 200𝑚 por encima de un
valle. Su velocidad inicial es de 60𝑚/𝑠, a un ángulo de 60° por encima de la horizontal.
Despreciando la resistencia del aire, y usando 𝑔 = 10𝑚𝑠 −2 :
a) ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el proyectil respecto del punto del
lanzamiento?
b) ¿Dónde caerá el proyectil? Expresa tu resultado en coordenadas cartesianas,
ubicando el origen en el punto de lanzamiento, siendo el eje 𝑥 horizontal y el eje 𝑦
vertical.
Problema 2 - (* 3.84)
Un avión de transporte militar vuela horizontalmente a una altura de 12𝑘𝑚 con una
velocidad de 900𝑘𝑚/ℎ cuando un tanque se desprende de la rampa trasera de carga.
Usando 𝑔 = 10𝑚𝑠 −2 :
a) ¿Cuánto tarda el tanque en llegar al suelo?
b) ¿A qué distancia horizontal del punto en que se desprendió del avión se encuentra el
tanque cuando choca contra el suelo?
c) ¿A qué distancia está el tanque del avión cuando choca contra el suelo, suponiendo
que el avión sigue volando con velocidad constante?
Problema 3 - (* 3.108 levemente modificado)
Un muchacho rodando en bicicleta se aproxima al lecho de un riachuelo de 7𝑚 de ancho,
cuyas dos orillas están a la misma altura. Se ha construido una rampa de 10° de
inclinación para los ciclistas que quiera saltar. El muchacho circula a su máxima rapidez,
45𝑘𝑚/ℎ.
a) ¿Debería el muchacho intentar el salto, o más bien pisar los frenos?
b) ¿Cuál es la rapidez mínima que debería llevar para lograr el salto?
Problema 4 - (** Primer Parcial período 13-14-2)
Un avión de salvamento vuela horizontalmente a una altura de 500𝑚 sobre el nivel del
mar, a velocidad constante de 288𝑘𝑚/ℎ. Deja caer un paquete, que es recibido por una
lancha que viaja en la misma dirección que el avión, a velocidad de 36𝑘𝑚/ℎ.
a) ¿Cuál es la distancia horizontal entre la lancha y el avión en el instante en que éste
deja caer el paquete?
b) ¿Cuál es el vector velocidad del paquete en el momento en que llega a la lancha?
(*) Física para la Ciencia y la Tecnología. Volumen 1. 5ta. Edición. Paul A. Tipler y G. Mosca. Editorial
Reverté
(**) Banco de Problemas del Departamento de Física
SOLUCIONES AL TALLER DE PROBLEMAS 3-A
CINEMÁTICA 2
Problema 1a) Ubicando el origen de coordenadas en el punto de lanzamiento las ecuaciones
paramétricas del proyectil son:
𝑥(𝑡) = 30𝑡
(1)
𝑦(𝑡) = 30√3 𝑡 − 5𝑡 2
(2)
Derivando (1) y (2) se obtienen las componentes cartesianas del vector velocidad:
𝑣𝑥 (𝑡) = 30𝑚/𝑠 = 𝑐𝑡𝑒.
(3)
𝑣𝑦 (𝑡) = 30√3 − 10𝑡
(4)
Anulando 𝑣𝑦 (𝑡) calculamos en qué instante el proyectil alcanza su altura máxima.
Resulta: 𝑡𝐻 = 3√3 𝑠
Evaluando (2) en este instante:
𝐻 = 135𝑚
b) El proyectil completa su vuelo al llegar al valle, cuando ha descendido 200𝑚:
30√3 𝑡 − 5𝑡 2 = −200
⇒ 𝑡𝑣 = 13,38𝑠
Evaluando (1) en este instante se obtiene el alcance del vuelo:
𝐷 = 401,43𝑚
Entonces las coordenadas del punto en que toca tierra son:
𝑃 = (401,43𝑚; −200𝑚).
Problema 2a) Cuando el tanque se desprende del avión se está moviendo horizontalmente a la
misma velocidad que éste. Pasando este valor al S.I. de unidades:
𝑣𝐴 = (900/3,6)𝑚/𝑠 𝑖̂ = 250𝑚/𝑠 𝑖̂
⃗⃗⃗⃗
⇒
𝑣0𝑇 = 250𝑚/𝑠 𝑖̂
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Sus ecuaciones paramétricas son:
𝑥(𝑡) = 250 𝑡
(1)
𝑦(𝑡) = 12. 103 − 5𝑡 2
(2)
Anulando (2) se halla el tiempo de vuelo: 12. 103 − 5𝑡 2 = 0 ⇒ 𝑡𝑣 = 48,99𝑠
b) Evaluando (1) en este instante se determina el alcance horizontal: 𝐷 = 12,25 𝑘𝑚
⃗⃗⃗⃗ | = |𝑟⃗⃗⃗𝑇 − ⃗⃗⃗
c) 𝑑 = |∆𝑟
𝑟𝐴 | = |∆𝑦| = 12𝑘𝑚
El avión se hallará justo arriba del tanque cuando éste toque tierra, ya que ambos
se mueven horizontalmente con igual velocidad.
Problema 3a) Para responder la pregunta debemos averiguar cuál es el alcance de su salto,
circulando a 45𝑘𝑚/ℎ, y saltando a 10° respecto de la horizontal. Convirtiendo la
velocidad a unidades del S.I.:
45𝑘𝑚/ℎ = (45/3,6)𝑚/𝑠 = 12,5𝑚/𝑠
𝑥(𝑡) = 12,5𝑐𝑜𝑠10°𝑡
⇒
𝑥(𝑡) = 12,31 𝑡
(1)
𝑦(𝑡) = 12,5𝑠𝑒𝑛10° 𝑡 − 5𝑡 2
⇒
𝑦(𝑡) = 2,17 𝑡 − 5 𝑡 2 (2)
Anulando (2) hallamos el tiempo de vuelo: 𝑡𝑣 = 0,434𝑠
Evaluando (1) en ese instante resulta:
𝐷 = 5,34𝑚 < 7𝑚
Debería pisar los frenos enérgicamente, pues el alcance de su salto es menor que la
distancia hasta la otra orilla.
b) La rapidez mínima para lograr el salto se obtiene imponiendo que el alcance sea
𝐷 = 7𝑚:
𝑥(𝑡) = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠10°𝑡
⇒
7 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠10° 𝑡
(3)
2
2
𝑦(𝑡) = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛10° 𝑡 − 5𝑡
⇒
0 = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛10°𝑡 − 5𝑡 (4)
⇒ 𝑡𝑣 = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛10°/5
Introduciendo este tiempo de vuelo en (3) y evaluando resulta:
𝑣0 = 14,35𝑚/𝑠 = 51,58𝑘𝑚/ℎ
(*) Física para la Ciencia y la Tecnología. Volumen 1. 5ta. Edición. Paul A. Tipler y G. Mosca.
Editorial Reverté
(**) Banco de Problemas del Departamento de Física
Problema 4 Convirtiendo las velocidades al S.I. de unidades:
288𝑘𝑚/ℎ = (288/3,6)𝑚/𝑠 = 80𝑚/𝑠
36𝑘𝑚/ℎ = (36/3,6)𝑚/𝑠 = 10𝑚/𝑠
Ley de movimiento del paquete:
𝑥𝑃 (𝑡) = 80𝑡
𝑦𝑝 (𝑡) = 500 − 5𝑡 2
Ley de movimiento de la lancha:
𝑥𝐿 (𝑡) = 𝑑 + 10𝑡
𝑦𝐿 (𝑡) = 0
a) Planteando el encuentro, imponemos: 𝑥𝑃 (𝑡) = 𝑥𝐿 (𝑡)
y
𝑦𝑃 (𝑡) = 𝑦𝐿 (𝑡).
Resulta:
𝑡𝐸 = 10𝑠
y
𝑑 = 700𝑚
b) Evaluando la velocidad del paquete en 𝑡𝐸 = 10𝑠 resulta: 𝑣
⃗⃗⃗⃗𝑝 = (80𝑖̂ − 100𝑗̂)𝑚/𝑠
(*) Física para la Ciencia y la Tecnología. Volumen 1. 5ta. Edición. Paul A. Tipler y G. Mosca.
Editorial Reverté
(**) Banco de Problemas del Departamento de Física