razones trigonométricas de ángulos cualesquiera

DESARROLLO SESION DE CLASES
Código: FOR-GA-83/Versión 1
IDENTIFICACIÓN DE LA GUÍA
PROGRAMA DE FORMACIÓN
COLEGIO TÉCNICO EMPRESARIAL UPARSISTEM 10-A
TRIGONOMETRIA
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ACTIVIDAD
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
SESIÓN(ES)
DURACIÓN
DESARROLLO DE LA CLASE
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Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el
cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo,
tienes algunas posibilidades:
Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores
(el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado
(aprox 0.87).
Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa
informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).
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.INTRODUCCIÓN
Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las
longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos
ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:
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Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).
Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que
sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo
resultado (aprox 0.64).
A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le
llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
(Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de
triángulos rectángulos).
1. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS:
En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre
la longitud de la hipotenusa.
Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la
hipotenusa.
Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto
entre la longitud del cateto contiguo.
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Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones
prácticas.
Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo
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sen(B) = AC/BC
cos(B) = BA/BC
tan(B) = AC/BA
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fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del
ángulo, no del tamaño del triángulo.
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA:
Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro
está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido antihorario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.
En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La
hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la
longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el
concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP =
OQ/1 = OQ)
Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo
positivo o negativo.
Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o
negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en
sentido horario).
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c os² α + sen ² α = 1
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1 R elac ión seno c oseno
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2 R elac ión sec an te tang en te
sec ² α = 1 + tg ² α
3 R elac ión co sec an te co tan gen te
c osec ² α = 1 + co tg ² α
Ejemplos:
180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
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Sabiendo que tg α = 2, y que
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Sabiendo que sen α = 3/5, y que
90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
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Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
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2
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Ejemplos:
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6
Razones trigonométricas del ángulo doble
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Ejemplos:
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7
Razones trigonométricas del ángulo mitad
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Ejemplos:
Transformación de operaciones
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Transformaciones de sumas en productos
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Ejemplos:
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Transformaciones de productos en sumas
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Ejemplos:
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BIBLIOGRAFÍA