Apuntes en construccion

1
Propiedades Ópticas de Sólidos
Apuntes
2
Capı́tulo 1
Generalidades
Ecuaciones de Maxwell, causalidad y relaciones de Kramers-Krönig. Constante dieléctrica
compleja y conductividad compleja. Indice de refracción complejo. Indice de refracción real
y coeficiente de absorción. Reflectancia.
Ecuaciones de Maxwell
Como fenómeno electromagnético, la luz está determinada por las ecuaciones de Maxwell.
Las enunciamos aquı́ de la forma más general posible.
~
~ = − 1 ∂H
∇×E
c ∂t
³
´
~
~ = 4π J~libre + J~ligada + 1 ∂ E
∇×H
c
c ∂t
~
∇·H = 0
~ = 4π (ρlibre + ρligada )
∇·E
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
Las caracterı́sticas del material están implı́citas en las cargas y corrientes ligadas, que vienen
a ser la respuesta del medio ante los campos aplicados. En nuestro caso, estamos interesados
en una descripción macroscópica de estos fenómenos. Por esto, es conveniente definir los
promedios
Z ∆t/2 Z
1
~
~ + ∆r, t + ∆t)
Ē (~r, t) =
dv E(r
(1.5)
∆v∆t −∆t/2 ∆v
Z ∆t/2 Z
1
~
~ + ∆r, t + ∆t)
dv H(r
(1.6)
H̄ (~r, t) =
∆v∆t −∆t/2 ∆v
donde ∆v y ∆t son magnitudes lo suficientemente pequeñas para describir precisamente los
campos, pero lo suficientemente grandes para redondear las variaciones bruscas dentro de
un átomo. En otras palabras, el volumen de integración es muy pequeño en comparación
con el volumen total del sólido, pero mucho más grande que el de un núcleo. Por su parte,
el tiempo de integración debe ser consistente con una distancia promedio definida por el
volumen (tı́picamente la raı́z cúbica de éste) y la velocidad de la luz. En metales es común
asociarlo con el tiempo de relajación de los electrones, que se explicará en detalle en el capı́tulo
~ al promedio H.
~¯
siguiente. Además le llamaremos B
Suponiendo que las integrales convergen uniformemente, las ecuaciones de Maxwell son
válidas para los campos definidos por (5) y (6).
3
4
CAPÍTULO 1. GENERALIDADES
Ecuaciones de la materia.
Ahora, caractericemos el campo eléctrico dentro de un sólido. Debido a nuestra escala de
trabajo, el momento dipolar, definido por
Z
p~ = ρ~rdv
(1.7)
es la magnitud apropiada para describir la reacción de los átomos frente a los campos aplicados. De esta forma, la contribución al campo eléctrico total será la polarización P~ , que
corresponde al momento dipolar por unidad de volumen. A partir de esta definición se desprende fácilmente que
Z
Z
~
P dv = ρ~rdv
(1.8)
Suponiendo además que el cuerpo es eléctricamente neutro,
Z
ρdv = 0
(1.9)
V
y utilizando la identidad vectorial
Z
Z
~a · P~ dv =
ρ~a · ~rdv
(1.10)
donde ~a es un vector arbitrario, es posible concluir
ρ = −∇ · P~
(1.11)
Lo cual liga el campo interno con las fuentes inducidas de carga.
Reemplazando este resultado en la ecuación de continuidad
∂ρ
∇ · J~ = −
∂t
tenemos
Ã
∇·
o bien,
∂ P~
J~ −
∂t
(1.12)
!
=0
∂ P~
~
=∇×N
J~ −
∂t
(1.13)
(1.14)
~ es un vector cualquiera por ahora. Es posible identificarlo con la magnetización M
~
donde N
∂P
si ∂t = 0. En tal caso,
~ = cM
~
N
En caso contrario, las variaciones de la polarización contribuyen a la corriente, oscureciendo
un poco más su identificación.
Para evitar estas distinciones engorrosas, incluyamos todos los efectos materiales en un
solo vector. Para ello, definimos
Z t
~
~ r, t0 )dt0
P=
J(~
(1.15)
−∞
5
de tal forma que satisface
y
~ r, t) = ∂P
J(~
∂t
(1.16)
~
ρ = −∇ · P
(1.17)
~
Ası́, la polarización y la corriente están completamente determinadas por P.
Es posible definir un vector desplazamiento eléctrico con esta polarización, de la forma
~ =E
~
~ + 4π P
D
y relacionarlo con el campo eléctrico de la forma más general posible
Z t
Z
0
Dα (~r, t) =
dt
dv²αβ (~r, ~r0 , t, t0 )Eβ (~r0 , t0 )
−∞
(1.18)
(1.19)
∆v
La integral respecto al volumen expresa una posible dependencia del campo respecto a la
magnitud de éste en regiones vecinas. Por ejemplo, si el despazamiento de los portadores es
comparable a la longitud caracterı́stica del campo eléctrico, deberemos considerar su valor en
regiones aledañas, pues afectarán su valor notablemente en un futuro cercano. Por otra parte
la integral temporal representa los efectos de retardo debidos a la existencia de corrientes
transientes. La anisotropı́a está incluida en el carácter tensorial de la constante dieléctrica
² (de importancia en estructuras cristalinas, para explicar fenómenos como birrefringencia y
efecto Kerr). Si el comportamiento del medio es invariante ante traslaciones, ² sólo depende
de su vecindad, y no del punto donde se evalúe.
²αβ (~r, ~r0 , t, t0 ) = ²αβ (~r − ~r0 , t, t0 )
(1.20)
Para la invariancia temporal, la expresión es análoga
²αβ (~r, ~r0 , t, t0 ) = ²αβ (~r, ~r0 , t − t0 )
(1.21)
En la mayorı́a de los casos se cumple esta última expresión. Si es ası́, la ecuación (19) queda
Z t
Z
0
Dα (~r, t) =
dt
dv²αβ (~r, ~r0 , t − t0 )Eβ (~r0 , t0 )
(1.22)
−∞
∆v
que es una convolución en el tiempo, por lo que es más conveniente trabajar en el espacio de
Fourier. Aplicando la transformada a cada lado de la ecuación (22), la transformada de la
convolución se transforma en un producto de transformadas, resultando
~
~ β (ω)
D(ω)
= ²αβ (ω)E
(1.23)
De aquı́ que la dispersión en el espacio de frecuencias proviene de los efectos de retardo. Por
otra parte, de cumplirse (20) el procedimiento es equivalente en el espacio recı́proco de la
posición. Análogamente, escribimos la corriente como
~
~
J(ω)
= σ(ω)E(ω)
(1.24)
~ nos permite calcular la polarización y la corriente,
Hasta ahora la introducción del vector P
que a su vez dependen linealmente del campo eléctrico por las relaciones (18), (23) y (24). Esto
6
CAPÍTULO 1. GENERALIDADES
nos permite inferir que debe haber alguna relación entre los tensores σ y ². Efectivamente,
reescribiendo (18) y (23), queda
~
~
~
E(ω)
+ 4π P(ω)
= ²(ω)E(ω)
donde
Z
~
P(ω)
=
∞
Z
t
iωt
e
−∞
J(t0 )dt0 dt
(1.25)
(1.26)
−∞
Integrando por partes, resulta
i ~
~
P(ω)
= J(ω)
ω
Finalmente, igualando las partes real e imaginaria en (23), queda
Re(²(ω)) = 1 −
Im(²(ω)) =
4π
Im(σ(ω))
ω
4π
Re(σ(ω))
ω
(1.27)
(1.28)
(1.29)
De aquı́ podemos concluir que ² es puramente real para un dieléctrico y puramente imaginario
para un metal. O bien, σ es imaginario puro si el material no es conductor, y completamente
real en el caso contrario. El trabajar con tensores complejos es el precio que debemos pagar
por introducir un vector que unifica ambos fenómenos.
A modo de ejemplo, calculemos la constante dieléctrica de un conjunto de N dipolos
no interactuantes. Cada uno consta de dos partı́culas de cargas q y −q, separadas por una
distancia r. Podemos suponer que para pequeñas perturbaciones en torno a la separación
de equilibrio r oscilará armónicamente con frecuencia ω0 , por lo que al aplicar un campo
~
eléctrico E(t)
tenemos para cada dipolo
q ~
~r¨ + γ~r˙ + ω02~r = E(t)
m
(1.30)
Aplicando la transformada de Fourier a ambos lados de la ecuación, resulta una expresión
algebraica para ~r.
q
~r(ω)(ω02 − ω 2 − iωγ) = E(ω)
(1.31)
m
Reordenando, se obtiene
E(ω)
q
~r(ω) =
(1.32)
2
m ω0 − ω 2 − iωγ
Con esto, es posible calcular el momento dipolar de cada dipolo, que viene dado por
p~ = q~r
(1.33)
Habiendo N dipolos en un volumen V , la polarización resulta ser
~ = N q~r
P
V
(1.34)
~ Finalmente,
pues no hay magnetización en el sistema (con lo cual se cumple P~ = P).
obtenemos la relación
¶
µ
4πnq 2 ω02 − ω 2 + iγω
~
~
E(ω)
(1.35)
D(ω) = 1 +
m (ω02 − ω 2 )2 + (γω)2
7
donde la función dieléctrica es compleja. A partir de la solución r(ω) es posible calcular J~ en
~ y verificar las relaciones (28) y (29). Ası́, si
función de E
tenemos que
J~ = −N q~r˙
(1.36)
nq 2 ωi ω02 − ω 2 + iγω ~
~
J(ω)
=
E(ω)
m (ω02 − ω 2 )2 + (γω)2
(1.37)
Lo cual es completamente consistente con el cálculo de ². Esta frecuencia de resonancia ω0
corresponde al color que el cuerpo absorbe, reflejando el resto. Es posible introducir a dedo
más frecuencias de absorción.
Por otra parte, podemos modelar un material conductor con este mismo modelo. Si ω0 = 0,
se entiende que los portadores de carga se mueven sin una fuerza restitutiva, aunque sigue
existiendo el término γ responsable de la amortiguación de tal movimiento. Se dará un sustento teórico a tal suposición en el capı́tulo siguiente. Sin embargo, es de notar que ajustando
las constantes γ y ω0 , el modelo resulta ser más general de lo previsto.
Propiedades del tensor ²αβ
Estudiemos las propiedades de ² como la función compleja que es. Designamos
Z ∞
²αβ (ω) = δαβ +
fαβ (τ )eiωτ dτ
(1.38)
0
donde τ = t − t0 .
Ante la conjugación, se puede deducir fácilmente
²(ω)∗ = ²(−ω)
(1.39)
Por lo tanto, la parte real es par y la imaginaria, impar.
Ahora, si ω es complejo
Z ∞
²αβ (ω) = δαβ +
fαβ eiRe(ω)τ e−Im(ω)τ dτ
(1.40)
0
Entonces, ² posee un valor acotado en el semiplano superior, y por ende es analı́tica en esta
región. A partir de esto, es posible deducir una relación un poco más general,
²(−ω ∗ ) = ²(ω)∗
(1.41)
Veamos ahora que sucede en los valores lı́mite de ω. Para ω → 0, podemos recurrir a la
ecuación (27) y escribir
~ = (1 + i 4πσ )E
~
(1.42)
D
ω
Separemos las partes real e imaginaria, expresando
²(ω → 0) = 1 + α(ω) + i
4πRe(σ)
ω
(1.43)
donde α(ω) = − 4πImσ
. Podemos calcular el lı́mite para medios dieléctricos y conductores.
ω
Fśicamente es de esperar que en un dieléctrico, α(ω) tenga un valor acotado para un campo
estático y la parte real de σ tienda a cero debido a la ausencia de corrientes estables. Sin
8
CAPÍTULO 1. GENERALIDADES
Im ω
C3
R
C1
r1
C4
0
C2
r2
ω0
Figura 1.1: Contorno de la integral de
Re ω
²(ω)−1
.
ω−ω0
embargo, éstas pueden existir en un conductor, por lo que la parte imaginaria de ² diverge
en estos materiales para frecuencias nulas.
Para el lı́mite ω → ∞, consideremos
²(ω) = 1 +
4πnq 2 (ω02 − ω 2 ) + iγω0 )
m (ω02 − ω 2 )2 + (γω0 )2
(1.44)
que corresponde la solución dada por el modelo de Lorentz. La única suposición hecha en él
es que los electrones son partı́culas clásicas. Tomando los primeros términos de la expansión
en torno a ω = ∞, resulta
ωp2
(1.45)
²(ω → ∞) = 1 − 2
ω
donde
4πe2 n
ωp2 =
,
(1.46)
m
e es la carga del electrón, n la densidad de electrones y m, la masa efectiva de éstos ( que
puede variar según el material). A ωp se le llama frecuencia de plasma, y su valor es crucial
para determinar la propagación o atenuación de una onda en un medio de electrones libres,
como la ionósfera.
Las relaciones de Kramers-Kronig
Hasta ahora hemos deducido la analiticidad del tensor ²αβ en el semiplano superior complejo.
Gracias a esta propiedad podremos relaciones entre sus partes real e imaginaria.
Para ello, recordemos la fórmula integral de Cauchy
I
f (z)
1
dz
(1.47)
f (z0 ) =
2πi
z − z0
si el contorno de integración incluye el punto z = z0 . Ahora, consideremos la función ²(ω) − 1.
Gracias a la ecuación (1.45), su valor tiende a cero para frecuencias muy altas. Integrémosla
en el contorno que muestra la figura, aislando las singularidades ω = 0 y ω = ω0 .
9
Entonces,
I
²(ω) − 1
dω = 0
ω − ω0
(1.48)
lo cual se puede entender como que la suma de las cuatro integrales (las dos semicircunferencias que rodean los polos, el radio mayor y la que cubre la mayor parte del eje real) es
nula. Naturalmente, tomaremos los lı́mites R → ∞, r1 → 0 y r2 → 0. Para el primer lı́mite,
la contribución de la integral C3 se anula, debido a que, según la ecuación (39), ² decae como
ω −2 para valores grandes. Para las dos integrales alrededor de los polos, tenemos que por la
ecuación (42), sus valores serán la mitad de los residuos si es que los radios r1 y r2 tienden a
cero. Ası́,
4πσ
C1 = −
(1.49)
ω0
y
C2 = −iπ(²(ω0 ) − 1)
(1.50)
Entonces, la integral en el eje real está determinada completamente, y resulta ser
Z ∞
²(ω) − 1
4π 2 σ
dω = iπ(²(ω0 ) − 1) +
(1.51)
ω0
−∞ ω − ω0
separando las partes real e imaginaria, resulta finalmente
Z
4πIm(σ) 1 ∞ ²2 (ω 0 ) 0
²1 (ω) = 1 −
+
dω
ω
π −∞ ω 0 − ω
4πRe(σ) 1
−
²2 (ω) =
ω
π
Z
∞
∞
²1 (ω 0 ) − 1 0
dω
ω0 − ω
(1.52)
(1.53)
donde
²(ω) = ²1 (ω) + i²2 (ω)
(1.54)
Estas son las llamadas relaciones de Kramers-Kronig. De las ecuaciones se desprende que
si la parte real o imaginaria de ²(ω) es conocida, la función está determinada completamente.
Ondas Electromagnéticas en medios isótropos.
Hasta ahora ha sido útil caracterizar en el espacio de Fourier la respuesta de un medio ante
~ de la forma
un campo aplicado. Si escribimos cada vector C
Z ∞
~
~ ~k, ω)ei(~k·~r−ωt) d3~kdω
(1.55)
C(~r, t) =
C(
−∞
las ecuaciones de Maxwell pasan a ser ecuaciones algebraicas
~k × E(
~ ~k, ω) = ω B(
~ ~k, ω)
c
~ ~k, ω)
~k × B(
~ ~k, ω) = − ω D(
c
~k · B(
~ ~k, ω = 0
~ ~k, ω) = ρext
~k · D(
(1.56)
(1.57)
(1.58)
(1.59)
10
CAPÍTULO 1. GENERALIDADES
con la ya mencionada ecuación de la materia
~ ~k, ω) = ²(~k, ω)E
~
D(
(1.60)
~ hacemos
por lo que la solución estará determinada por la relación entre ω y ~k. Para hallar E,
producto cruz entre el vector ~k y la ecuación (50), obteniendo
³ ´2
~ + (~k · E)
~ ~k = ω ²E
~
−k 2 E
(1.61)
c
De aquı́ podemos clasificar las posibles soluciones como ondas longitudinales y transversales.
Si el lado derecho de la ecuación es nulo, tenemos una onda longitudinal, donde el campo
eléctrico oscila en la dirección de propagación. Esto puede producirse porque el valor de ² es
nulo para ciertas frecuencias, o porque la dirección del campo eléctrico es tal que el producto
del tensor dieléctrico con el vector es nulo. Naturalmente, esto depende de las caracterı́sticas
del medio, y no puede concebirse en el vacı́o.
El caso contrario corresponde a las ondas transversales, donde el campo eléctrico es perpendicular al vector de onda. Entonces
³ ω ´2
k 2 = ²(~k, ω)
(1.62)
c
por lo que en un medio isótropo,
√
k = nk0
(1.63)
donde n = ² es el ı́ndice de refracción habitual de la ley de Snell y k0 es el módulo del
vector de onda en el vacı́o. Supongamos ahora un pulso monocromático en los espacios ~k y ω
~ ~k, ω) = E
~ 0 δ(~k − n~k0 , ω − ω0 )
E(
(1.64)
por lo que a partir de la ecuación (55) obtenemos una onda plana en el tiempo y el espacio,
~ r, t) = E
~ 0 ei(nk0 ·r−ω0 t)
E(~
(1.65)
Sin embargo, es posible que n sea un número complejo. En tal caso, lo denotamos por
y definimos
N = n + iκ
(1.66)
~ = N ~k = n~k + i~
K
α
(1.67)
donde κ es el coeficiente de extinción. De acuerdo a (65), n determinará la forma de propagación de la onda, estableciendo los puntos de fase constante. Por otra parte, α será responsable
de un decaimiento exponencial de la amplitud de la onda en su dirección. Se denomina profundidad de piel (skindepth) a la distancia α1 , que indica cuánto penetrará la onda en el material
antes de desvanecerse significativamente. Es posible apreciar este fenómeno aún cuando el
ı́ndice de refracción sea puramente real. Por ejemplo, en la reflexión total interna sucede algo
similar entre dos medios dieléctricos. En este caso, la naturaleza compleja reside en el vetor
unitario que acompaña a α, y no en su valor.
Es posible obtener ² a partir de N como.
² 1 = n 2 − κ2
²2 = 2nκ
(1.68)
(1.69)
11
1
2
Ei
Et
Er
Vacío
Conductor
Figura 1.2: Interfase vacı́o-conductor.
Veamos como segundo ejemplo, un modelo de material conductor. Queremos calcular la
fracción de energı́a que transmite y refleja al incidir una onda plana sobre él. En el medio
inicial (supuestamente no absorbente), existen una onda incidente y una reflejada, mientras
que en el metal sólo hay una onda transmitida. Sean sus expresiones en los medios 1 y 2,
respectivamente
~ 1 (z < 0, t) = E
~ i ei(~ki ·ẑ−ωt) + E
~ r ei(−~ki ·ẑ−ωt)
E
(1.70)
y
~ 2 (z > 0, t) = E
~ t ei(~kt ·ẑ−ωt)
E
(1.71)
donde km = nm k0 , según la ecuación (63) . Si la frecuencia es lo suficientemente pequeña, la
constante dieléctrica viene dada por
4πσ
²=i
(1.72)
ω
Entonces el ı́ndice de refracción complejo es
r
µ
¶
4πσ 1 + i
√
N=
(1.73)
ω
2
Consideremos además que el medio inicial es vacı́o, o sea, ni = 1. Apliquemos ahora las
condiciones de borde. Sobre las fases, imponemos que en la interfase, éstas no dependen del
punto de evaluación. Entonces, si igualamos las partes real e imaginaria de todas las fases en
el plano de interfase,
~ki · ~r = ~kr · ~r = ~kt · ~r
0=α
~ · ~r
(1.74)
(1.75)
donde ~r pertenece a dicho plano.
De las partes reales se deducen fácilmente las leyes de reflexión y de Snell. De la parte
imaginaria, concluimos que el vector α siempre es perpendicular al plano para cualquier
ángulo de incidencia. Esto implica que los planos de amplitud constante son paralelos a la
interfase, mientras que los planos de fase constante están determinados por las direcciones de
12
CAPÍTULO 1. GENERALIDADES
los vectores de onda. Supongamos ahora que la incidencia es normal. Esto simplifica mucho
las cosas, ya que todos los vectores de onda están en el eje z, como muestra la figura. Ası́,
~ki = −~kr
(1.76)
y la única diferencia sustancial entre los vectores de onda es el ı́ndice de refracción. Respecto
a las amplitudes, simplemente por continuidad de las componentes tangenciales al plano de
~ y H,
~ tenemos
incidencia de los vectores E
Ei + Er = Et
Hi + Hr = Ht
(1.77)
(1.78)
La segunda ecuación es de utilidad si recordamos que, para el caso de ondas planas longitudinales,
~ = c ~k × E
~
H
(1.79)
ω
por lo que
Ei − Er = N E t
(1.80)
De esta forma, podemos resolver el sistema de ecuaciones y obtener la reflectancia y transmitancia definidas por
¯ ¯2
¯ Er ¯
R = ¯¯ ¯¯
(1.81)
Ei
¯ ¯2
¯ Et ¯
T = ¯¯ ¯¯
(1.82)
Ei
como
(n − 1)2 + κ2
(n + 1)2 + κ2
4
T =
(n + 1)2 + κ2
R=
(1.83)
(1.84)
donde se ha preferido trabajar con los módulos cuadrados de las amplitudes, para obtener
magnitudes proporcionales al flujo de energı́a.
Capı́tulo 2
Transiciones intrabanda
Propiedades ópticas de portadores libres en los metales. Modelo de Drude. Modelo de
ecuación de Boltzman.(4 cl)
13
14
CAPÍTULO 2. TRANSICIONES INTRABANDA
Figura 2.1: Función dieléctrica de un gas de electrones libres. ~ωp = 10 eV, γ = ~/τ = 0,1
eV.
2.1.
Ecuación cinética de Boltzmann
2.1. ECUACIÓN CINÉTICA DE BOLTZMANN
Figura 2.2: Parte imaginaria de la función dieléctrica del cobre. [PR 118, 1509 (1960)].
15
16
CAPÍTULO 2. TRANSICIONES INTRABANDA
10
n
8
k
6
4
2
0
1
2
3
1
2
3
4
8
6
e_1
4
e_2
2
0
-2
-4
-6
0
4
1
R
0.8
10xdHmmL
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
Figura 2.3: Constantes opticas del cobre. n y κ tomadas de [Johnson y Christy, PRB 6, 4370
(1972)].
2.1. ECUACIÓN CINÉTICA DE BOLTZMANN
17
Figura 2.4: Representación esquemática de la conservacı́on del número de electrones en su
movimiento en el espacio de fase ~r, ~k.
18
CAPÍTULO 2. TRANSICIONES INTRABANDA
Capı́tulo 3
Efectos de superficie en los espectros
ópticos
3.1.
3.1.1.
Elipsometrı́a
Determinación directa de ²1 y ²2 , sin utilizar las relaciones
de Kramer-Krönig
Considérese el problema general de la reflexión y refracción de un rayo de luz polarizado,
que desde un medio 1 incide en la intercara de un medio 2
Los vectores p y s representan la polarización del campo E de la onda incidente, reflejada
y refractada.
Onda P : Polarización paralela al plano de incidencia
Onda S: Polarización perpendicular al plano de incidencia
Figura 3.1: Esquema de Polarizaciones de la luz.
En un medio isótropo o cúbico, al aplicar las condiciones de borde de la electrodinámica
se obtiene:
sinφ2
N1
=
N2
sinφ1
19
20
CAPÍTULO 3. EFECTOS DE SUPERFICIE EN LOS ESPECTROS ÓPTICOS
Amplitud de Reflectividad (coeficiente de reflexión de Fresnel)
rp =
N2 cosφ1 − N1 cosφ2
Erp
=
Eip
N2 cosφ1 + N1 cosφ2
rs =
Ers
N1 cosφ1 − N2 cosφ2
=
Eis
N1 cosφ1 − N2 cosφ2
Reflectividad
Rs = |rs |2
Rp = |rp |2
Como N1 y N2 son complejos, las amplitudes de reflectividad son complejas: rs = |rs | exp (i∆s )
y rp = |rp | exp (i∆p ).
Ntese que N1 y N2 reales producen ∆s , ∆p igual a 0 o 180◦ .
La elipsometra determina el cambio en el estado de polarizacin del haz incidente al reflejarse en la muestra. Dicho cambio se expresa en trminos de la razn:
¯ ¯
rp ¯¯ rp ¯¯
ρ=
=
exp i (∆p − ∆s ) = tan Ψ exp (i∆)
rs ¯ rs ¯
La ecuacin anterior define los ngulos elipsomtricos Ψ y ∆
las ecuaciones de Fresnel permiten determinar ²(w) de las mediciones elipsomtricas de
acuerdo con la relacin:
"
µ
¶2 #
2
1
−
tan
(Ψ)
exp(i∆)
²(w) = sin2 (φ) 1 + tan2 (φ)
1 + tan2 (Ψ) exp(i∆
Para una reflexin aire/sustrato, N1 = 1 y N2 = n + ik, la constante dielctrica se puede
escribir como ² = ²1 + i²2 , por lo tanto de la ecuacin anterior podemos despejar los valores
de ²1 y ²2 , obtenindose:
¶
µ
tan2 φ1 (cos2 2Ψ − sin2 2Ψ sin2 ∆)
2
²1 = sin φ1 1 +
= n2 − k 2
(1 + cos ∆ sin 2Ψ)2
sin2 φ1 tan2 φ1 sin 4Ψ sin ∆
= 2nk
²2 =
(1 + cos ∆ sin 2Ψ)2
La luz incidente sobre la muestra est linealmente polarizada y la reflejada resulta elpticamente polarizada. Pues en la onda incidente se cumple que
→
− →
−→
→
Eis = |Eis | exp i( k · −
r − ωt)−
es
−
→ −
−→
→
Eip = |Eip | exp i( k · →
r − ωt)−
ep
Las que estn en fase
Y en la onda reflejada se obtiene que
−
→ →
−→
→
Ers = |Ers |Re{exp i( k · −
r − ωt + ∆r )−
es }
3.2. EFECTOS DE INTERFERENCIA EN CAPAS DELGADAS.
21
→
− →
−→
→
Erp = |Erp |Re{exp i( k · −
r − ωt + ∆p )−
ep }
→
−
−→ −→
E = Ers + Erp
Esto satisface
µ
Ex
|Ers |
¶2
µ
+
Ey
|Erp |
¶2
−2
Ex Ey
cos ∆ = sin2 ∆
|Ers | |Erp |
Con ∆ = ∆p − ∆r , sto es una elipse rotada en un ngulo θ.
Figura 3.2: Onda incidente linealmente polarizada y onda reflejada elpticamente polarizada.
rp |
El ngulo de rotacin de los ejes de la elipse θ satisface tan α = |E
, medible con polariza|Ers |
dores. θ es medible usando polarizadores.
Hay mtodos ms sofisticados usando dispositivos optoelectrnicos, que son de utilizacin
corriente, como el elipsmetro.
Figura 3.3: Elipsmetro
3.2.
Efectos de interferencia en capas delgadas.
En la vida real, no hay superficies iguales al bulto. La superficie puede estar oxidada,
tener rugosidad, o sufrir daos o reconstruccin, lo cual le cambia las constantes ²1 , ²2 (o n, k).
22
CAPÍTULO 3. EFECTOS DE SUPERFICIE EN LOS ESPECTROS ÓPTICOS
En modelo ms simple supone una capa intermedia entre el aire y el sustrato que se quiere
medir.
Figura 3.4: Reflexin de mltiples intercaras y su efecto en la tramitancia de una pelcula delgada
(T=1-R).
Donde 2β es igual a la diferencia de fase entre dos reflexiones sucesivas
β=
3.2.1.
2π
N2 d cos φ2
λ1
Obtencin del β
N1 sin φ1 = N2 sin φ2
l2 cos φ2 = d
2l2 sin φ2 cos (90◦ − φ1 ) = l1 con cos (90◦ − φ1 ) = sin φ1 . La diferencia de camino ptico
2β = k2 2l2 − k1 l1
2β =
=
ω
(N2 2l2 − N1 l1 )
c
2π
(2l2 )(N2 − N1 sin φ2 cos φ1 )
λi
=
2π
N2 (2l2 )(1 − sin2 φ2 )
λi
=
2π
N2 (2l2 ) cos φ2 cos φ2
λi
Con esto finalmente tenemos que:
2β =
4π
N2 d cos φ2
λ1
3.3. RUGOSIDAD
23
La amplitud de la onda reflejada es la interferencia de las reflexiones en las intercaras 1-2
y 2-3. Entonces la amplitud de reflexin neta es:
2
rtot = r12 +t12 r23 t21 exp(i2β)+t12 t21 r23
r21 exp(i4β)+. . .+t12 t21 r23 exp(i2β)(r23 r21 exp(i2β))n +. . .
s,p
rtot
= r12 +
t12 t21 r23 exp(i2β)
1 − r23 r21 exp(i2β)
2
Usando r21 = −r12 y t12 t21 = 1 − r12
obtenemos:
s,p
rtot
=
r12 + r23 exp(i2β)
1 + r12 r23 exp(i2β)
Si al medir tan ψ y ∆ se calculan ²1 y ²2 con un modelo AIRE/SUSTRATO, a ²1 + i²2
se le llama pseudofuncin dielctrica. Volveremos sobre este tema ms adelante. Solamente si la
superficie est limpia y sin dao, la pseudofuncin dielctrica ser la verdadera ²(ω).
3.3.
Rugosidad
La mayoria de las muestras utlizadas en laboratorios, son generadas sobre sustratos, donde
se forman capas rugosas de materiales, como se observa en la figura.
Figura 3.5: Esquema de la rugosidad superficial. [Adachi, 1999].
En estos casos, se realiza una aproximacin sobre el modelo que mejor describe la superficie,
modelos piramidales, semiesfricos, etc. Para ello tambin se utilizan imagenes obtenidas con
variados mtodos, como se observa en la figura a continuacin.
Figura 3.6: Imagen AFM de superficie de Cu(110) [Stahrenberg et al, PRB64, 115111 (2001)].
En lo que prosigue haremos un anlisis ms electrodinmico del material, para comprender
la rugosidad.
24
CAPÍTULO 3. EFECTOS DE SUPERFICIE EN LOS ESPECTROS ÓPTICOS
3.3.1.
Campo Local
~ 0 que actua sobre un tomo y el campo promediado E
~ 0 = E+∆
~
~
Distincin entre el campo E
E.
~ consideremos una division del espacio entre una esfera de radio R
Para calcular ∆E,
grande comparado con su dimensiones, y el resto del medio. Tenemos
~ =E
~ in + E
~ out
∆E
~ in se puede calcular dado el punto de vista microscpico, tomo por tomo. E
~ out puede
E
~ out es el campo del dielctrico dentro de la cavidad
calcularse con un enfoque macroscopico. E
vaca.
Consideremos que los tomos o molculas dentro de la cavidad se pueden representar por
dipolos puntuales.
(
)
~~
X 3(d~~ · R)
~ R
~
d
R
~ in =
E
− R3
R5
R
~
R
~ son las posiciones de los tomos y d~~ sus dipolos.
Donde R
R
Si los tomos no tienen momento dipolar permanete, sino que la polarizacin es inducida
~ loc , y E
~ loc es el mismo para todos, donde α es la
por el campo local, entonces d~R~ = αE
polarizabilidad.
~ = dR R cos θ, R
~ = R cos θ~ek + R sin θ~e⊥ , ~ek k d~~
d~R~ · R
R
X
(αEloc
3(αEloc )
~rk +
cos θ sin θR~e⊥
3
R
R3
R
R
~ R).
~ En un medio desordenado P se convierte en R2 sin θdRdθdψ.
Donde θR = ^(d,
R
Veamos que :
Z π
Z 1
Z π
2
2
x dx −
sin θdθ = 0
(3 cos θ − 1) sin θdθ = 3
~ in =
E
(3 cos θR 2 − 1)
0
−1
0
~ in = 0 en un medio desordenado. De hecho en una red cbica, la evaluacin
Es decir E
~ in = 0.
cuidadosa da que E
3.3.2.
Campo Exterior
La discontinuidad de P~ en el borde produce una carga de polarizacin.
ρpol = − 5 ·P~
Si integramos sobre el volumen del cilindro (ver figura) la expresin anterior:
Z
Z
ρpol dv =
− 5 ·P~ dv
I
P~ · d~s
ρpol hS =
s
ρpol hS = −(P2n − P1n )S
3.3. RUGOSIDAD
25
P2n
P
θ
θ
P=0
h
P
S
n
P
2
P
1
Figura 3.7: La discontinuidad de P~ en el borde produce una carga de polarizacin.
cuando h → 0, ρpol · h = σpol , por lo tanto de las ecuaciones anteriores obtenemos:
σpol = −(P2n − P1n )
pero P1n = 0 y P2n = P cos(θ) como muestra la figura, entonces la expresin final para la
densidad de carga polarizada es
σpol = −P cos θ
El campo elctrico en el centro de la esfera generado por esta carga de polarizacin es
paralelo a P~ .
Z π
Z π
σpol
Eout =
(− cos θ)2πR sin θRdθ = P 2π
cos θ2 sin θdθ
2
R
0
0
Eout =
4π
P
3
4π ~
P
3
Este viene a ser el campo en la posicin atmica. Una aproximacin mejor sera :
~ loc = E
~+
∴E
~ loc = E
~ + 4π γ P~
E
3
Con 0 ≤ γ ≤ 1, esto da cuenta de los dipolos no son puntuales. γ = 0 es el caso de
electrones libres deslocalizados.
Como simplificacin adicional, supondremos que el medio es istropo. En tal caso la polariza~ loc , con un coeficiente de proporcionalidad que es independiente
cin inducida P~ es paralela a E
de la direccin.
~ loc
P~ = nαE
Reemplazando el valor del campo elctrico local antes mostrado, obtenemos
µ
¶
4πγ ~
~
~
P = nα E +
P
3
26
CAPÍTULO 3. EFECTOS DE SUPERFICIE EN LOS ESPECTROS ÓPTICOS
donde n =
N
V
densidad de dipolos, ordenando la expresin anterior
4πγ
~
P~ (1 −
nα) = nαE
3
P~ =
~
nαE
4πγ
(1 −
nα)
3
~ es:
Por lo tanto el desplazamiento elctrico D

~ =E
~ + 4π P~ = E
~
D
1 +

4πnα 
4πγnα 
1−
3
Finalmente tenemos que :
4πnα
4πγnα
1−
3
Poniendo γ = 1 se obtiene la frmula de Clausius-Mossolti.
²=1+
²−1
4π
=
nα
²+2
3
sta frmula es vlida cuando n es muy pequeo, que es el caso para gases enrarecidos.
3.3.3.
Modelo de Medio Efectivo
El modelo de aproximacin de medio-efectivo de Bruggeman (EMA), el de Lorentz-Lorenz
(LL) y el de Maxwell Garnett (MG) son teoras simples de medio efectivo, que representan
una mezcla dielctrica heterognea. Todos los modelos LL, MG y EMA tienen la misma forma
genrica:
(< ² > −²h )
²1 − ²h
²2 − ²h
= v1
+ v2
+ ...
(< ² > +2²h )
²1 + 2²h
²2 + 2²h
Donde < ² >, ²h , ²1 , ²2 ,... son las funciones dielctricas (complejas) de un medio efectivo,
medio servidor e inclusiones del tipo 1,2,...
P en el servidor respectivamente y donde v1 , v2 , . . .
respresentan fracciones de volumen ( i vi = 1) del material del tipo 1,2,... en el volumen
total.
En la aproximacin LL, la cul fue desarrollada para describir entidades de puntos polarizables, de polarizabilidad
α, incertadas en vacio, ²h = 1,< ² >= ² y vi es igual a las fracciones
P
volumen, donde i vi = 1.
La relacin LL es usualmente expresada en trminos de la polarizabilidad αi , la cual esta
relacionada con la funcin dielctrica macroscpica ²i por la relacin Clausius-Mossotti :
.
²i − 1
4
πni αi =
3
²i + 2
3.3. RUGOSIDAD
27
En el modelo MG1 el sustrato es incertado en un servidor hueco (²h = 1) siendo identico
al modelo LL. En el modelo MG2 los huecos son incertados en el sustrato. Si asumimos un
medio hipottico, por ejemplo, de 50 % de huecos y 50 % de sustrato, los resultados LL y
MG1 son idnticos pero son muy diferentes los resultados de MG2 a pesar del hecho que las
fracciones de volumen relativas son idnticas. Los modelos MG1 y MG2 difieren slo en la opcin
del material del servidor.
En el modelo de Bruggeman, se reemplaza ²h por < ² >, es decir, dejando que el medio
efectivo actue como medio servidor.
=⇒ 0 =
P
X
i
vi
(²i − < ² >)
(²i + 2 < ² >)
Donde i vi = 1 y < ² > es la solucin numrica de la ecuacin anterior.
Las frmulas de LL, MG y EMA se reducen simplemete a opciones diferentes de la funcin
dielctrica del material servidor ²h . Para elegir el modelo de medio efectivo correcto a usar,
depender de las condicones del sistema.
Figura 3.8: Comparacin de la parte imaginaria ²2 de la funcin dielctrica efectiva para una
mezcla con 50 % de sustrato y 50 % de huecos calculada con los modelos LL, MG1, EMA y
MG2.
Para el caso en que L ¿ λ, siendo L la longitud caracterstica de la rugosidad, se modela
el medio rugoso o poroso como una mezcla fsica de material y vaco, con < ² > efectiva.
Para una superficie dada y mediciones de elipsometra tan φexp , cos δ exp , se pueden hacer
modelos y obtener tan φcalc y cos δ calc .
La ltima parte del proceso es comparar los valores medidos con las predicciones del modelo
basadas en las ecuaciones de Fresnel. El procedimiento de anlisis usualmente se denomina
ajuste de datos, ya que los parmetros ajustables del modelo se varan para encontrar el
mejor ajuste de los datos generados a los datos experimentales reales. Los parmetros de
ajuste a utilizar acordes al modelo seleccionado pueden ser: los grosores de las pelculas,
los coeficientes de la relacin de dispersin para sus constantes pticas, fracciones de volumen,
etc. Existen diferentes algoritmos de ajuste para el anlisis de datos pticos. El objetivo es
determinar rpidamente el modelo que exhibe la menor diferencia (mejor ajuste) entre los
datos medidos y los calculados. La raz del error cuadrtico medio σ se utiliza para cuantificar
la diferencia entre los datos experimentales y los predichos, considerando las desviaciones
estndar de las cantidades experimentalmente medidas, σ exp . Para mediciones espectroscpicas
28
CAPÍTULO 3. EFECTOS DE SUPERFICIE EN LOS ESPECTROS ÓPTICOS
con un elipsmetro de analizador rotatorio, el cual determina los valores de tan(Ψ) y cos(∆),
el valor σ se calcula
N
σ2 =
X
1
exp
2
(tan φexp
− tan φcalc
− cos δjcalc )2
j ) + (cos δj
j
N − P − 1 j=1
Donde N es el nmero de datos experimentales (a distintas ω), P es el nmero de parmetros
desconocidos.
Vemos algunos resultados para el Si.
Figura 3.9: Pseudo ε del Si con la corrección de la rugosidad simulada con la teoria del medio
efectivo.[Adachi, 1999].
En la Figura se presenta el espectro de ² para el silicio obtenido por espectroscopa elipsomtrica. Las transiciones electrnicas (puntos crticos) ocurren para energas cercanas a los 3.4 y 4.3
eV, y se manifiestan como mximos en ²2 . Este espectro puede representarse adecuadamente
con una generalizacin del modelo de oscilador armnico. La rugosidad puede determinarse independientemente mediante AFM [Adach et al, J. Appl. Phys. 80, 5422 (1996)] y comprobar
de acuerdo con las mediciones pticas.
3.4.
Figuras originales
3.5. EFECTOS DE INTERFERENCIA EN CAPAS DELGADAS
3.5.
Efectos de interferencia en capas delgadas
29
30
3.6.
CAPÍTULO 3. EFECTOS DE SUPERFICIE EN LOS ESPECTROS ÓPTICOS
Efectos de pelı́cula de óxido
3.7. RUGOSIDAD
3.7.
Rugosidad
31
32
CAPÍTULO 3. EFECTOS DE SUPERFICIE EN LOS ESPECTROS ÓPTICOS
Figura 3.10: a) Esquema de polarizaciones de la luz para el cálculo de los coeficientes de
Fresnel. b) Elipsometro. c) Reflectancia en función del angulo de incidencia.
3.7. RUGOSIDAD
33
Figura 3.11: Reflexión en múltiples intercaras y su efecto en la tramitancia de una pelı́cula
delgada (T=1-R).
34
CAPÍTULO 3. EFECTOS DE SUPERFICIE EN LOS ESPECTROS ÓPTICOS
Figura 3.12: a)Pseudo ε2 del GaAs con la corrección por la capa de óxido. [Aspnes and
Studna, PRB 27, 985 (1983)]. b) Pseudo ε del Si con la corrección por la capa de óxido.
[Adachi, 1999].
Figura 3.13: Imagen AFM de superficie de Cu(110) [Stahrenberg et al, PRB64, 115111 (2001)].
3.7. RUGOSIDAD
35
Figura 3.14: Esquema de la rugosidad superficial. [Adachi, 1999].
Figura 3.15: Pseudo ε del Si con la corrección de la rugosidad simulada con la teoria del
medio efectivo.[Adachi, 1999].
36
CAPÍTULO 3. EFECTOS DE SUPERFICIE EN LOS ESPECTROS ÓPTICOS
Capı́tulo 4
Transiciones Interbanda
4.1.
Teora de Transiciones Interbanda
Vamos a estar enmarcados en la Aproximacin monoelectrnica
Consideremos un Hamiltoniano monoelectrnico :
P̂
+ V (~r)
2m
De ac V (~r) es el potencial ocasionado por los ncleos y los dems eletrones, y conocemos del
Hamiltoniano sus autofunciones ψn (~r) y autoenergas En y su ocupacin f (Ei ) (probabilidad
1
de que est ocupado el estado Ei ) que por lo general es de la forma f = β(Ei −E )
. En
f + 1
e
donde :
Z
hψn | ψn i =
| ψn |2 dv = 1
H0 =
v
Sea un campo electromagntico, caracterizado por :
A(~r, t) = A0~eei(~q·~r−wt) + cc.
Donde cc. es el complejo conjugado del primer trmino, tambin ~e ⊥ ~q, con sto tenemos
que nuestro Hamiltoniano toma la forma :
³
´2
q
p~ˆ + A(~r)
c
H=
+ V (~r)
2m
De esta forma, cortando trminos de orden A20 tenemos :
¢
¡
q
A0 ei(~q·~r−wt) + e−i(~q·~r−wt ~e · p~ˆ
mc
¡
¢
q
Ŵ =
A0 ei(~q·~r−wt) + e−i(~q·~r−wt ~e · p~ˆ
mc
Con Teora de perturbaciones, la probabilidad de absorcin de un fotn, que es igual a la
probabilidad de transicin, est dada por :
H = H0 +
Pi→j =
2π
| hj | Ŵ | ii |2 δ(Ej − Ei − ~ω)
~
37
38
CAPÍTULO 4. TRANSICIONES INTERBANDA
reemplazando Ŵ nos queda :
µ
¶2
2π qA0
| hψj | ei~q·~r~e · p~ˆ | ψi i |2 δ(Ej − Ei − ~ω)
Pi→j =
~
mc
As tambin tenemos la probabilidad de emisin inducida :
µ
¶2
2π qA0
Pj→i =
| hψi | e−i~q·~r~e · p~ˆ | ψj i |2 δ(Ej − Ei − ~ω)
~
mc
La probabilidad de Transmisin neta de pasar del estado ψi al estado ψj est dada por :
W (~q, ω) = Pi→j f (Ei )(1 − f (Ej )) − Pj→i f (Ej )(1 − f (Ei ))
entonces :
2π
W (~q, ω) =
~
µ
qA0
mc
¶2 X ³
| hψj | ei~q·~r~e · p~ˆ | ψi i |2 δ(Ej − Ei − ~ω)f (Ei )(1 − f (Ej ))
i,j
− | hψi | e
−i~
q ·~
r
´
2
ˆ
~e · p~ | ψj i | δ(Ej − Ei − ~ω)f (Ej )(1 − f (Ei ))
Veamos lo que ocurre con el trmino hψi | e−i~q·~r~e · p~ˆ | ψj i
Recordando que :
p~ˆei~q·~r ψi = −i~[∇ei~q·~r ]ψi + ei~q·~r (−i~)∇ψi
= −i~[i~qei~q·~r ]ψi + ei~q·~r p~ˆψi
entonces :
hψi | e−i~q·~r~e · p~ˆ | ψj i =
=
³
¡
hψj | ~e · p~ˆei~q·~r | ψi i
hψj | (−i~)~e · i~qe
´∗
i~
q ·~
r
| ψi i
¢∗
³
+ hψj | e
i~
q ·~
r
~e · p~ˆ | ψi i
´∗
Utilizando ahora el hecho de que ~e ⊥ ~q, nos queda que :
³
´∗ ³
´∗
hψj | ~e · p~ˆei~q·~r | ψi i = hψj | ei~q·~r~e · p~ˆ | ψi i
.
Por lo tanto Pi→j = Pj→i . Adems f (Ei )(1 − f (Ej )) − f (Ej )(1 − f (Ei )) = f (Ei ) − f (Ej ).
De esta manera nos queda :
2π
W (~q, ω) =
~
µ
qA0
mc
¶2 X
| hψj | ei~q·~r~e · p~ˆ | ψi i |2 δ(Ej − Ei − ~ω)(f (Ei ) − f (Ej ))
i,j
Finalmente, la energa absorbida por unidad de tiempo es :
P = ~ωW (~q, ω)
4.1. TEORA DE TRANSICIONES INTERBANDA
39
Por otra parte : La energa disipada por unidad de tiempo, por un campo elctrico :
Z
~
P (ω) =
J~ · E
V
con
~
~ r, t) = 1 ∂ A = E0~eei(~q·~r−ωt) + c.c.
E(~
c ∂t
~ r, t) = σ(~q, ω)E0~eei(~q·~r−ωt) + c.c.
J(~
A0
.
c
~ queda :
El trmino J~ · E,
en donde E0 = iω
~
~ = 1 ∂ A = (E0~eei(~q·~r−ωt) + c.c.)(σ(~q, ω)E0~eei(~q·~r−ωt) + c.c.)
J~ · E
c ∂t
= σE02 e2i(~q·~r−ωt) + σ | E0 |2 +σ ∗ E0∗2 e−2i(~q·~r−ωt) + σ ∗ | E0 |2
Promediando :
2 2
~ = ω A0 2σ1
hJ~ · Ei
c2
Donde 2σ1 = σ + σ ∗ .
Ahora integramos sto, lo que nos deja :
Z
2
V
~ = 2σ1 (~q, ω) ω V A20
J~ · E
c2
= ~ωW (~q, ω)
=⇒ σ1 (~q, ω) =
c2 ~ω
W (~q, ω)
2V ω 2 A20
Recordemos que :
²(~q, ω) = 1 + i
4πσ
ω
con sto
4πσ
ω
es decir, tenemos la parte imaginaria de la constante dielctrica. Entonces
²2 (~q, ω) =
²2 (~q, ω) =
Finalmente :
2π~c2 1 W (~q, ω)
ω2 V
A20
40
CAPÍTULO 4. TRANSICIONES INTERBANDA
²2 (~q, ω) =
8π 2 q 2 1 X
| hψj | ei~q·~r~e · p~ˆ | ψi i |2 δ(Ej − Ei − ~ω)(f (Ei ) − f (Ej ))
m2 ω 2 V i,j
Este resultado lleva un factor 2 adicional causado por la degeneracin de spin. Si queremos
calcular la parte real de la constante dielctrica, nos basta usar las relaciones de KramersKrönig.
4.2.
Transiciones banda-banda
Cuando existen condiciones de simetra peridica, como en slidos, las funciones de onda se
pueden escribir de la forma (Teorema de Bloch):
~
eik·~r
ψ(~r) = √ u~k (~r)
V
~
Donde : u~k (~r) = u~k (~r + R).
Para cada ~k, hay una secuencia de soluciones para u~k (~r) y E(~k). Entonces de la ecuacin
de Schrödinger, tenemos que :
#
"
2
P̂
~
+ U (~r) − E eik·~r u~k (~r) = 0
2m
lo que nos lleva a :
·
¸
~2
2
~
(∇ + ik) + U (~r) − E u(~k) = 0
−
2m
Para ~k dado, E = En (~k) y u = un~k (~r).
Z
ψn0 k0 ψnk = δnn0 δkk0
V
El conjunto de todos los puntos En (~k) para n dado y todos los ~k posibles, se llama banda.
El conjunto de puntos ~k que dan soluciones linealmente independientes est limitado a la
~ para
primera zona de Brillouin (1ZB).La 1ZB es la regin del espacio, tal que |~k| < |~k − G|
~ = hb~1 + k b~2 + lb~3 , vector de la llamada red recproca (RR).
todo G
Con esto entonces nos estamos acercando a nuestro valor de la constante dielctrica, recordemos que ²1 puede obtenerse va Kramers-Krönig. Para continuar entonces, se puede usar la
relacin :
1
1
= P + iπδ(x)
η→∞ x − iη
x
lı́m
δ(Ej − Ei − ~ω)
lı́mη→0
=
1
Im
π
µ
1
Ej − Ei − ~ω − iη
¶
4.2. TRANSICIONES BANDA-BANDA
41
Por tanto para tener la constante dielctrica total, basta reemplazar la delta, quedndonos
as :
²(~q, ω) = 1 +
8πe2 1 X hψj | ei~q·~r~e · p~ˆ | ψi i f (Ei ) − f (Ej )
m2 V i,j
ωi,j
Ej − Ei − ~ω − iη
El decaimiento espontneo del estado excitado Ej se puede tener en cuenta mediante :
Ej −→ Ej − i
Γ
2
Γ
tiempo de vida medio.
~
La expresin ²(~q, ω) puede ser reducida, bajo ciertas aproximaciones, a la ²(~q, w) que se
obtiene de la ecuacin de Boltzmann.(vase Grosso and Pastori Parravaccini, Solid State Physics)
Adems dentro de la 1ZB, ~k toma valores :
con τ =
~k = m1 b~1 + m2 b~2 + m3 b~3
N1
N2
N3
Ni
Ni
donde mi = 0, ±1, ±2, . . . , ±(− + 1), ±
2
2
Siendo Ni el nmero de celdas cristalinas en la direccin i.
Para un cristal infinito, Ni → ∞ y ~k toma los valores continuos.
Entonces las ψi y ψj se pueden denotar como :
ψi = ψv,k~i (~r) Banda v (valencia o core).
ψj = ψc,k~j (~r) Banda c (conduccin).
Para el caso de los aislantes, f (Ei ) = 1, f (Ej ) = 0.
Veamos la integral.
Z
i~
q ·~
r
ˆ
hψck~j | e ~e · p~ | ψvk~i i = ψc∗k~ (~r)ei~q·~r~ep~ˆψvk~i (~r)d3~r
j
~
~
eik·~r
eik·~r X
~ ~ki )·~
r
~ i(G+
ψvk~i (~r) = √ uvk~i (~r) = √
uvk~i (G)e
V
V ~
G
Recordemos que la derivada de una funcin peridica es otra funcin peridica.
∂ 1 X
~ ~ki )·~
ˆ
r
~ i(G+
P~ ψvk~i = −i~ √
uvk~i (G)e
∂~r V
~
G
~
ieiki ·~r X ~
~ r
~
~ iG·~
= i~ki ψvk~i (~r) + √
i~Guvk~i (G)e
V ~
G
P
~ r
~ ~ (G)e
~ iG·~
en donde G~ i~Gu
es una funcin peridica.
v ki
Entonces, nuestro trmino de la constante dielctrica nos queda de la forma :
42
CAPÍTULO 4. TRANSICIONES INTERBANDA
Z
hψck~j | e
i~
q ·~
r
~
~
ei~q·kj ·~r u∗ck~ (~r)(~e · p~ˆ)(eiki ·~r uvk~i (~r))d3~r
~e · p~ˆ | ψvk~i i =
j
donde el ltimo termino de la integral pude escribirse de la forma (Recordemos procedimiento similar realizado en la seccin anterior) :
~
~
(eiki ·~r uvk~i (~r)) = i~(~e · k~i )uvk~i (~r) + (~e · p~ˆ)uvk~i (~r)eki ·~r
De esta forma entonces, el trmino de la constante dielctrica nos queda :
Z
1
~ ~
i~
q ·~
r
ˆ
hψck~j | e ~e · p~ | ψvk~i i = 2 ei(~q−kj −ki )·~r F (~r)d3~r
V
en donde :
³
´
F (~r) = u∗ck~ (~r) i~(~e · k~i )uvk~i (~r) + (~e · p~ˆ)uvk~i (~r)
j
X
~
FG~ eiG·~r
=
~
G
es una funcin peridica.
La integral del trmino de la constatne dielctrica no se anula, slo si el argumento de la
~ donde G
~ ∈ RR (red recproca).
exponencial (~q − k~j − k~i ) = −G
Ahora bien, como k~i y k~j estn en la 1ZB, entonces podemos tener que ~q ' 0 y k~i = k~j .
Cuando ~q ∼ 0 hablamos de la Aproximacin Dipolar, y cuando k~i = k~j se habla de
transiciones verticales.
Lo anterior es una regla de seleccin ocasionada por la simetra de traslacin del cristal.
Con esta regla de seleccin se simplifica el valor de la parte imaginaria de la constante dielctrica
²2 .
²2 (~q = 0, ω) =
8π 2 e2 1 X X
| hψc~k | ~e · p~ˆ | ψv~k i |2 δ(Eck − Evk − ~ω)
m2 ω 2 V c,v
~k
con ~k ∈ 1ZB. sta es la frmula fundamental de las transiciones pticas en cristales o sistemas
peridicos.
²2 (~q = 0, ω) =
8π 2 e2 1 X X | hψc~k | ~e · p~ˆ | ψv~k i |2 ~2
1
m2 V c,v
(Ec~k − Ev~k )2
(Ec~k − Ev~k − ~ω − i~k)
~
k
P mi ~
Ahora como k~0 = i
bi , tenemos que un punto ~k ocupa un volmen :
Ni
1
(2π)3
(2π)3
∆~k 3 =
b~1 × b~2 × b~3 =
=
N 1 N2 N3
ΩN1 N2 N3
V
P
V R 3~
Con esto, ~k =
d k, quedndonos la constante dielctrica de la forma :
(2π)3
Z
8π 2 e2 X
e · p~cv (~k) |2 ~2
1
3~ | ~
²2 (~q = 0, ω) =
d
k
2
2
m c,v
(Ec~k − Ev~k ) (Ec~k − Ev~k − ~ω − i~k)
Donde p~cv (~k) = hψc~k | p~ˆ | ψv~k i.
4.2. TRANSICIONES BANDA-BANDA
4.2.1.
43
Algunos Casos.
Hay materiales en los que los electrones estn muy ligados, ²2 depende de la topologa de
las bandas, y en particular, de las diferencias entre Evk y Eck . Las regiones particularmente
importantes, son las regiones de la 1ZB en donde Eck − Evk ≈ cte.
P
Para continuar recordemos que p~cv (~k) = hψc~k | p~ˆ | ψv~k i, y usando el hecho de que ~k =
V R 3~
mi ~
d k donde ~ki =
bi , con sto obtenemos la ecuacin :
3
(2π)
Ni
Z
d3~k
8π 2 e2 X
| ~e · p~cv (~k) |2 δ(Ec~k − Ev~k − ~ω)
²2 (ω) = 2 2
m ω c,v
(2π)3
En general ~e · p~cv (~k) es una funcin suave de ~k y ²(ω) tiene una gran correlacin con la
llamada Densidad Conjunta de Estados (JDOS).
Z
Jcv (ω) =
1ZB
d3~k
1
δ(Eck − Evk − ~ω) =
3
(2π)
(2π)3
Z
dSk
| 5k (Eck − Evk ) |Sk
En donde se utiliza la frmula ms conveniente dado el problema. Los puntos ~k en que
5k (Eck − Evk ) = 0 se llaman puntos crticos. La integral mata las singularidades, pero hay
variaciones rpidas, es decir, en estos puntos crticos, pueden integrarse analticamente.
Consideremos el caso de los semiconductores.
Punto crtico M0
En el borde de absorcin, las energas de las bandas de conduccin (c) y de valencia (v) son
de la forma :
~2~k 2
Ec (~k) = Eg +
2mc
~2 ky2
~2 kx2
~2 kz2
~
Ev (k) = −
−
−
2mvx
2mvy
2mvz
Con esto, la diferencia de energa esta dada por :
µ
¶
ky2
~2 kx2
kz2
~
~
Ec (k) − Ev (k) = Eg +
+
+
2 µx µy µz
1
1
1
=
+
.
donde
µi
mc mvi
La superficie de Integracin es :
¶
µ
ky2
~2 kx2
kz2
~ω − Eg =
+
+
2 µx µy µz
Esto conforma un elipsoide, donde su ecuacin analtica est dada por :
1=
con a2i =
2µi
.
− Eg )
~2 (~ω
kx2 ky2 kz2
+
+
a2x a2y a2z
44
CAPÍTULO 4. TRANSICIONES INTERBANDA
Ahora el rea del elipsoide que est descrito por la ecuacin anterior, nos facilita el clculo de
la integral de volmen que est dada por :
Ã
!
Z
X ~2 k 2
d3~k
i
Jcv (ω) =
δ Eg +
− ~ω
(2π)3
2
µ
i
i
s
Ãs
!−1
r
2
6
~ 2
2µi
~
haciendo cambio de coordenadas : qi =
k , ki =
qi , con esto : d3~k =
d3 ~q.
2µi i
~2
8µ1 µ2 µ3
Con sto tenemos entonces :
s
−1
Z
~
d3 ~q

δ(Eg − ~ω + q12 + q22 + q32 )
3
8µ1 µ2 µ3
(2π)
µ
¶−1 Z
~3
√
=
4π d~q ~q 2 δ(Eg − ~ω − ~q 2 )
8µ1 µ2 µ3
p
Utilizando : q0 = ~ω − Eg , 5q (q 2 − Eg − ~ω) |q0 = 2q0 .
Obtenemos :
Jcv (ω) = 
6
µ
¶−1
~3
4π q02
√
Jcv (ω) =
8π 3 2q0
8µ1 µ2 µ3
p
~ω − Eg
~3
=
2
4π sqrt8µ1 µ2 µ3
√
8µ1 µ2 µ3 p
=
~ω − Eg
4π 2 ~3
p
Entonces tenemos que Jcv ∝ ~ω − Eg . ste es el llamado punto crtico M0 .
²2 (ω) ∝
1
Jcv (ω)
ω2
Transiciones prohibidas en el punto crtico M0 .
Puede darse el caso de que en el punto crtico ~k0 , ocurra que p~cv (k~0 ) = 0. En este caso es
importante la variacin de p~cv . Expandiendo en serie tenemos :
p~cv (~k) = p~cv (k~0 ) + 5~k p~cv (k~0 ) · (~k − k~0 )
∂(~pcv )α
(4k)β
p~cv (~k)α = p~cv (k~0 )α +
∂kβ
entonces :
~e · p~cv = eα
∂(~pcv )α
(4k)β
∂kβ
~ (~k0 )
~e · 5k p~cv (~k0 ) = M
4.2. TRANSICIONES BANDA-BANDA
45
~ cv (~k0 ) · 4~k, con sto tenemos entonces que la parte imaginaria
es un vector, y ~e · p~cv = M
de la funcin dielctrica es :
Z
8π 2 e2 X d3~k ~ ~
²2 (ω) ' 2 2
| Mcv (k0 ) · (~k − ~k0 ) |2 δ(Ec (~k) − Ev (~k) − ~ω)
m ω cv
8π 3
Punto crtico M0 en ~k0 = 0. Contribucin de bandas c → v. Entonces,
!
Ã
Z
X ~2 k 2
8π 2 e2 ~ ~ 2
i
− ~ω d3~k
²2 (ω) ' 2 2 | Mcv (k0 ) |
k 2 cos2 θδ Eg −
mω
2µ
i
i
es ms complicado.
En el caso en que µ1 = µ2 = µ3 , se obtiene que :
1
(~ω − Eg )3/2
2
ω
²cv
2 (ω) ∝
Punto de Ensilladura M1 .
2
2
2
~2 k˜1
~2 k˜2
~2 k˜3
Tomemos el caso : Ecv − Evk = E1 +
+
+
, siendo k̃i = ki − k0i .
2µ1
2µ2
2µ3
s
~2 ˜
k3 , entonces tenemos :
Sea µ3 < 0; µ1 , µ2 > 0, entonces q3 =
2 | µ3 |
√
Z 3
8µ1 µ2 µ3
d ~q
Jcv (ω) =
δ(E1 − ~ω + q12 + q22 − q32 )
3
3
~
8π
Utilizamos ahora coordenadas cilndricas, q1 = q⊥ cos ψ, q2 = q⊥ sin ψ, q3 = q3 y d3 ~q =
q⊥ dq⊥ dψdq3 . Entonces tenemos que :
Z
I=
Z
dq⊥ dψdq3 q⊥ δ(E1 − ~ω +
2
q⊥
−
q32 )
Z
qcut
= 2π
∞
dq3
−qcut
0
2
dq⊥ q⊥ δ(E1 − ~ω + q⊥
− q32 )
Se debe notar que la superficie de integracin no puede salirse de la 1ZB, y la dependencia
cuadrtica con qi est limitada a puntos cercanos, sto es una tendencia.
Entonces :
√
Jcv (ω) =
√
8µ1 µ2 µ3
4π 2 ~3
Z
Z
qc
q˜c
dq3
Z
−qc
qc
Z
0
2
dq⊥ q⊥ δ(E1 − ~ω + q⊥
− q32 )
q˜c
8µ1 µ2 µ3
2 1
2
dq
dq⊥
δ(E1 − ~ω + q⊥
− q32 )
3
2
3
4π ~
2
−qc
0
√
Z qc
8µ1 µ2 µ3 1
dq3 Θ(q32 + ~ω − E1 )
=
2
3
4π ~
2 −qc
=
Donde Θ(x) es la funcin escaln de Heavyside. Finalmente nuestro resultado queda :
Ãp
!(
8πµ1 µ2 | µ3 |
qc
~ω > E1
√
Jcv (ω) =
2
3
4π ~
qc − E1 − ~ω
~ω < E1
Se deja al lector realizar como ejercicio los casos :
46
CAPÍTULO 4. TRANSICIONES INTERBANDA
M2 : µ2 , µ3 < 0; µ1 > 0, donde se obtiene :
(
C2
√
C2 − α ~ω − E2
~ω < E2
~ω > E2
M3 : µ1 , µ2 , µ3 < 0, donde se tiene que :
(
C3
√
Jcv (ω) =
C3 − α E3 − ~ω
~ω > E3
~ω < E3
Jcv (ω) =
4.3.
Cristales Bidimensionales.
Lo siguiente es vlido para superficies, pozos cunticos o estructuras de capas, en que los
fenmenos ocurren confinados en ciertos planos cristalinos. El grafito es un ejemplo de sto. Se
deriva principalmente de un cristal 3D para el caso en que µ3 → ∞.
Tabla I : Resultados para cristales bidimensionales.
µ1 µ 2
Jcv
si
+
+
-
4.4.
+
-
-
S
√
S µ 1 µ2
π 2 ~2
~ω > E0
0
~ω < E0
p
µ1 | µ2 |
4qc2
log
π 2 ~2
| ~ω − E1 |
~ω 6= E1
√
S µ 1 µ2
π 2 ~2
~ω < E2
0
~ω > E2
Cristales Unidimensionales.
Un ejemplo clsico de ste caso, son los nanotubos. Tenemos entonces que :
Z
~2 k 2
dk
δ(E0 +
− ~ω)
Jcv (ω) =
2π
2µ
r
Z
2µ i
=
dqδ(E0 − ~ω + q 2 )
~2 2π
√
√ Z
δ(q − ~ω − E0 )
2µ
=
dq
2π~2
2q

1
√ 
~ω > E0
2µ √
~ω − E0
=
2
2π~ 0
~ω < E0
4.5. CONSTANTE DIELCTRICA DE UN SISTEMA DE OSCILADORES CANTICOS.47
Finalmente :
Para el caso en que µ < 0 tenemos que :

p
1
2 | µ | √
E1 − ~ω
Jcv =
4π~2 0
~ω < E1
~ω > E1
Tenemos un punto crtico 0-dimensional donde Eck − Evk ∼ E0 .
J(ω) = cδ(E0 − ~ω)
D0
E0 − ~ω − iη
Donde D0 incluye las constantes, esto es un oscilador y coincide con el modelo de Lorentz.
Corresponde a bandas paralelas en una amplia regin del espacio.
2π
Notemos que en la deduccin de la regla de oro de Fermi Pi→j =
| E | δ(Ej −Ei −~ω), se
~
hace uso explcito de que ~ω > 0 y se desprecian trminos de menor orden. Si no se desprecian
estos trminos y se considera el tiempo de vida finito, se obtiene :
²(ω) = 1 +
²(ω) = 1 +
D0
D0
−
E0 + ~ω + iη ~ω − E0 + iη
Con η > 0. Esta forma cumple la propiedad ²(ω)∗ = ²(−ω) que se vio en el captulo inicial
del curso.
4.5.
Constante dielctrica de un sistema de osciladores
canticos.
Para un oscilador cuntico, segn la frmula general, tendramos (i =Estado bsico,j =Estado
de n~ω).
²(~q, ω) = 1 +
8πe2 1 X | hψn | ei~q·~r~e · vecp
ˆ | ψ 0 i |2
m2 V n
nω0 (n~ω0 − ~ω − iη)
Ntese que un sistema de 1 oscilador no es homogneo espacialmente, por lo cual hay
~ entonces :
dependencia con ~q. Supongamos ahora que el oscilador est situado en el centro R,
~ | ei~q·~r~e · p~ˆ | ψ0 (~r − R)i
~ = ei~q·R~ hψn (~x) | ei~q·~x~e · p~ˆ | ψn (~x)i
hψn (~r − R)
Un caso tpico es :
r
l=
~
2π
¿ λ =⇒ h~q · ~ri =
hri ¿ 1
mω
λ
e
i~
q ·~
r
q
2 (~
≈ 1 − i~q · ~r + i
· ~r)2
2
Entonces hψn | ei~q·~r~e · p~ˆ | ψ0 i = hψn | ~e · ˆ~p | ψ0 i.
Para el oscilador, puede demostrarse directamente que slo n = 1 tiene elemento matricial
no nulo.
48
CAPÍTULO 4. TRANSICIONES INTERBANDA
8πe2 1
e · p~ˆ | ψ0 i |2
r
~ 2 | hψ1 | ~
i~
q ·R
²(~q, ω) = 1 +
|e
|
+ o( )
2
m V
~ω0 (ω0 − ω − iΓ)
λ
~ que pueden ser sitios
Si tenemos un conjunto de osciladores distribuidos en posiciones R,
de la red, tenemos :


2
i~
q ·~
r
2
X
8πe
e | ~e · p~10 | 
²(~q, ω) = 1 + 2 
mV
~ω(ω0 − ω − iΓ)
~
R
~ la suma cuenta por multiplicar por N , entonces, para ~q = 0
Puesto que no depende de R,
se tiene que :
²(~q = 0, ω) = 1 +
8πe2 N
| ~e · p~10 |2
m2 V V ~ω(ω0 − ω − iΓ)
Ntese que en la regla de oro de Fermi, se us el hecho de que ω > 0 y se desprecian
contribuciones que no tienden a la δ(Ej − Ei − ~ω). Si estas contribuciones no se desprecian
llegamos a la frmula :
²(~q = 0, ω) = ²(ω) = 1 −
A0
A0
+
ω − ω0 + iΓ ω + ω0 + iΓ
8πe2 N ~e · p~10
. Notemos que se cumple la propiedad ²(ω) = ²(ω)∗ .
m2 V ~ω0
Ej − Ei
Los tomos no son osciladores, pero tienen transiciones con frecuencias ωji =
bien
~
definidas. Si hacemos una correspondencia formal entre cada transicin i → j y un oscilador,
y se desprecian transiciones entre 2 tomos, obtenemos la frmula de Lorentz para la constante
dielctrica, como la suma de contribuciones de osciladores.
¶
Xµ
Aj
Aj
²(ω) = 1 +
−
ω
+
ω
+
iΓ
ω − ωj + iΓj
j
j
j
Donde A =
Esta expresin funciona para gases poco densos, para impurezas en medios transparentes.
Se da el nombre DHO (Damped Harmonic Oscillators), es comn usarla como frmula de
ajuste en valores en la regin de transparencia.
Un tratamiento
directo, del clculo de ²(ω), puede verse en Quantum Mechanics, A.S.
H
Dauydov 81.
4.6.
Figuras originales
Fundamentos cuanticos. Reglas de selección. Puntos crı́ticos. Modelo de osciladores armónicos efectivos. Modelo de puntos crı́ticos. Modelo de función dieléctrica. Excitones.
4.7.
Bandas de energı́a
4.8. TRANSICIONES INDIRECTAS
Figura 4.1: Esquema de bandas del Si y el Ge
4.8.
Transiciones indirectas
49
50
4.9.
CAPÍTULO 4. TRANSICIONES INTERBANDA
Excitones
4.10. RESUMEN DE LAS PROPIEDADES DE LOS EXCITONES
4.10.
51
Resumen de las propiedades de los excitones
Transiciones directas M0 de primer tipo (permitidas):
∞
X B
πxeπx 1−e
Eb
ex
²2 (ω) =
²2 (ω) +
δ(~ω
−
E
+
),
g
2 n3
2
sinh πx
ω
n
n=1
(
~ω−Eg
A
1/2
(~ω
−
E
)
si
À1
πxeπx 1−e
g
2
Eb
ω
² (ω) =
~ω−E
C
sinh πx 2
si E g ¿ 1.
ω2
b
Transiciones directas M0 de segundo tipo (no permitidas):
∞
X n2 − 1
Eb
πx(1 + x2)eπx 1−e
²2 (ω) +
B 2 5 δ(~ω − Eg + 2 ),
=
sinh πx
ω n
n
n=2
( 0
~ω−Eg
A
3/2
2 πx
(~ω
−
E
)
si
À1
πx(1 + x )e 1−e
g
2
Eb
²2 (ω) = ω
0
~ω−Eg
C
sinh πx
¿ 1.
si
2
E
ω
²ex
2 (ω)
b
Transiciones indirectas (no verticales)
X A
1 1
Eb
ind
ind
²2 (ω) =
(n
+
∓
)(~ω
−
E
+
± ~ΩQ)1/2
Q
g
2
3
2
ω n
2 2
n
n
Z
ind
D E=~ω−Eg ±~ΩQ πxeπx
1 1 p 2
+ 2
(nQ + ∓ ) E − y 2dy
ω 0
sinh πx
2 2
Ensanchamiento espectral
Z ∞
Γ/π
f
²ef
(~ω)
=
dE
²
(~ω
−
E)
2
2
2 + Γ2
E
−∞
52
4.11.
CAPÍTULO 4. TRANSICIONES INTERBANDA
Perfiles de Fano
4.12. MODELOS ANALÍTICOS
4.12.
Modelos analı́ticos
4.12.1.
Aproximacion de Osciladores Armónicos
53
54
4.12.2.
CAPÍTULO 4. TRANSICIONES INTERBANDA
Modelo estándard de puntos crı́ticos
4.12. MODELOS ANALÍTICOS
4.12.3.
Función dieléctrica modelo
55
56
CAPÍTULO 4. TRANSICIONES INTERBANDA
Contribución a E1 de las transiciones banda-banda y excitón.
Contribución de las transiciones no verticales a la función dieléctrica. Observese el efecto
de Γ 6= 0.
4.12. MODELOS ANALÍTICOS
57
Figura 4.2: Arriba: Ampliación de diagrama de bandas del Ge. Abajo: Función dieĺectrica
imaginaria.
58
CAPÍTULO 4. TRANSICIONES INTERBANDA
Figura 4.3: Efecto de las transiciones indirectas en el coeficiente de absorción para el Si y el
Ge. Los puntos corresponden a mediciones experimentales (PRB 98, 1865 (1955); PRB 97,
1714 (1955)), las lı́neas a al ajuste a la ecuación teórica.
4.12. MODELOS ANALÍTICOS
59
Figura 4.4: Espectro de absorción producido por excitones en gases nobles solidificados.
Figura 4.5: Espectro de absorción producido por excitones en GaAs.
60
CAPÍTULO 4. TRANSICIONES INTERBANDA
Figura 4.6: Espectro de absorción del InSe para varias temperatura. Se observa al aumentar
la temperatura, el corrimiento del borde de absorcion y el ensanchamiento de las lı́neas. se
ve como desaparece progresivamente el pico excitonico al aumentar la temperatura. [Tomado
de PRB 17, 4718 (1978)]
Figura 4.7: Espectro de absorción producido por excitones Cu2 O.
Capı́tulo 5
Propiedades ópticas de aisladores en
el infrarrojo
5.1.
Fonones
61
62 CAPÍTULO 5. PROPIEDADES ÓPTICAS DE AISLADORES EN EL INFRARROJO
5.1. FONONES
63
Figura 5.1: Polaritón fonónico.
Figura 5.2: Polaritón excitónico.
64 CAPÍTULO 5. PROPIEDADES ÓPTICAS DE AISLADORES EN EL INFRARROJO
Figura 5.3: Curvas de dispersión polaritónicas de un cristal polar cúbico diatómico con portadores libres, cuya frecuencia plasmónica es ωp .
Figura 5.4: Izquierda: Frecuencias de los fonones en aleaciones. Derecha: función dieléctrica
de la aleación de Alx Ga1−x As, en que se observa el comportamiento bimodal.
5.1. FONONES
65
Figura 5.5: Espectro IR en Ge y GaAs amorfos.
66 CAPÍTULO 5. PROPIEDADES ÓPTICAS DE AISLADORES EN EL INFRARROJO
Capı́tulo 6
Luminiscencia
Figura 6.1: Comparacion entre absorcion cerca del gap y luminiscencia. La distribucion de
portadores restringe la luminiscenca a energias de unos pocos kT por encima del gap.
67
68
CAPÍTULO 6. LUMINISCENCIA
Figura 6.2: Esquema del experimento de fotoluminiscencia.
Figura 6.3: Perfil de distribucion de portadores. x es la profundidad.
69
Figura 6.4: Comparacion de tecnicas de crecimiento para GaAs y n-GaAs. Linea continua:
Epitaxia gaseosa (n = 2 × 1016 cm−3 ); linea de trazos: epitaxia en solución (n = 1 × 1016
cm−3 );trazos y puntos: cristalización (Czochralski o Bridgman) (n = 1 × 1016 cm−3 ).
Figura 6.5: Espectros de PL de GaAs:Cd. Muestra 1: •, 80 K, ◦ 20 K. Muestra 2: J, 20K.
70
CAPÍTULO 6. LUMINISCENCIA
Figura 6.6: Espectros de PL de GaAs:Si. •, 20 K; − − − − − teoria K. ; J, 2K.
Figura 6.7: Efecto de la densidad de excitacion sobre la banda de 1.49 eV en p-GaAs (p ∼
1 × 1015 cm−3 ) a 4.2 K.
71
Figura 6.8: Dependencia del espectro PL de complejos excitonicos con la temperatura y el
dopaje en n-GaAs.
Figura 6.9: Dependencia de la intensidad de las lı́neas de PL de complejos excitonicos con la
temperatura y el dopaje en n-GaAs.
72
CAPÍTULO 6. LUMINISCENCIA
Figura 6.10: Estructura fina del espectro PL de GaAs altamente puro a 4.2 K.
Figura 6.11: Posibles lı́neas de emisión (sin fonones), para bajas concentraciones de impurezas.
Capı́tulo 7
Nanoestructuras
Figura 7.1: Cambios en la densidad de estados cuando se reduce la dimensionalidad.
73
74
CAPÍTULO 7. NANOESTRUCTURAS
Figura 7.2: Esquema de niveles de energia en un nanocristal. A la derecha se ilustra el espectro
de absorción.
Figura 7.3: Absorcion en nanocristales de gap indirecto vs gap directo.
75
Figura 7.4: Esquema de niveles de energia en un nanocristal. A la derecha se ilustra el espectro
de absorción.
76
CAPÍTULO 7. NANOESTRUCTURAS
Capı́tulo 8
Bibliografı́a
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11. Artı́culos.
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