Capítulo 3 APLICACIONES DE LA TERMODINÁMICA A LA

Capítulo 3
APLICACIONES DE LA TERMODINÁMICA A LA GEOFÍSICA Y LA
ASTROFÍSICA
3.1
Complementos 3 (termodinámica).
Fausto T. Gratton.
3.1.1 Nota
Estos Complementos sólo tienen por objeto facilitar el acceso a algunos temas comentados en clase. Repito la advertencia de Complementos 1 (termodinámica) para preparar
el examen final del curso el estudiante debe hacer la lectura completa, meditada y el
estudio cuidadoso del texto del Profesor Julio Gratton, Termodinámica e Introducción a
la Mecánica Estadística, recientemente revisado (2003) [que se puede descargar desde el
sitio www.fdp.uba.ar del Instituto de Física del Plasma (FCEyN/UBA y CONICET)].
FTG, Febrero de 2004.
3.2
Aplicación a equilibrios atmosféricos
3.2.1 Atmósferas politrópicas
Equilibrio convectivo
Con mayores conocimientos de termodinámica podemos continuar el estudio de los equilibrios atmosféricos comenzado en Complementos 1. En un gas una relación de barotropía
del tipo
p = A ½n
(3.1)
se denomina politrópica y n se llama índice politrópico. Para aire con un grado significativo de humedad n = 1:2 corresponde aproximadamente al valor observado en la atmósfera
terrestre. El significado físico de esta dependencia entre presión y densidad se comprende
mediante el concepto de equilibrio convectivo debido a Kelvin (1862). Tomamos de Chandrasekhar (Stellar Structure, Dover, N.Y., 1957) algunas citas significativas de Kelvin
sobre esta cuestión.
”Se dice que un fluido bajo la acción de la gravedad está en equilibrio convectivo,
si la densidad y la temperatura se distribuyen en la totalidad de la masa fluida de modo
que las superficies de igual densidad y las superficies de igual temperatura permanecen
invariadas cuando se producen corrientes asociadas a una influencia perturbadora tan
débil, que los cambios de presión debidos a la inercia del movimiento son despreciables”.
Note el lector el cierre de la frase, donde asume que la inercia del movimiento es despreciable: significa que aún cuando se consideran desplazamientos del gas, estos son tan
lentos que en todo momento se satisface con buena aproximación la ecuación hidrostática
(la aceleración no cuenta). Kelvin agrega ”...la esencia del equilibrio convectivo es que
si una pequeña porción cúbica o esférica del fluido, en cualquier posición, P , se encierra
idealmente con una membrana impermeable al calor y se la deja expandir o contraer hasta
la densidad que posee el fluido en otra posición, P 0, su temperatura se va a modificar, por
la expansión o la contracción, desde la temperatura que tenía en P hasta la temperatura
actual del fluido en P 0.”
Lo que Kelvin propone es un proceso reversible, cuasiestático, de tipo adiabático,
que se desarrolla en cualquier elemento del fluido bajo una muy tenue perturbación y que
Aplicación a equilibrios atmosféricos
37
da lugar, por lo tanto, a una relación del tipo p = A ½ ° , donde ° es el cociente de los calores
específicos. Esta dependencia existe no sólo dentro del volumen que se desplaza, sino que
además se encuentra establecida en toda la masa del fluido. El siguiente comentario de
Kelvin aclara. ”Si un gas está contenido en una esfera rígida e impermeable al calor
y lo dejamos aislado por un tiempo suficientemente largo, se asentará en un estado de
equilibrio térmico global mediante la conducción del calor, hasta que la temperatura se
vuelva uniforme. Pero si lo revolvemos artificialmente en todo el volumen, las corrientes
que no alteran considerablemente la distribución estática de presión y densidad lo llevarán,
aproximadamente, a lo que yo he denominado equilibrio convectivo de la temperatura. La
agitación natural producida en una gran masa de fluido como el Sol por el enfriamiento
de la superficie, debe, yo creo, mantener una buena aproximación al equilibrio convectivo
en toda la masa”.
Hoy sabemos que el Sol no está enteramente en equilibrio convectivo, porque tiene
una zona central donde se produce energía por reacciones de fusión nuclear, cosa que se
ignoraba en tiempos de Kelvin, pero ciertamente una parte de la estructura de la estrella
se encuentra, aproximadamente, en equilibrio convectivo. Lo que nos interesa destacar de
los comentarios citados, es que podemos emplear la relación adiabática entre p y ½ junto
con la ecuación hidrostática, mientras se cumpla la condición termodinámica ± Q = 0 (los
elementos del gas no intercambian calor) durante el suave revolverse o agitarse del fluido,
evocado por Kelvin.
Sin embargo, esta condición no describe el caso más general. Ya hemos mencionado que un índice politrópico n 6= ° se ajusta más a lo observado en la atmósfera
terrestre. El mismo Kelvin fue llevado a considerar procesos de mezcla, o agitación del
aire, en los cuales ± Q 6= 0 debido a la presencia de humedad, la cual puede producir la
condensación del vapor en las corrientes ascendentes. Los cambios de estado que tienen
lugar durante la convección natural en estas condiciones se representan mejor con una
ecuación termodinámica del tipo
± Q = cd T ;
(3.2)
en la cual c es un calor específico, aproximadamente constante. Durante el proceso de agitación el calor entregado al sistema es proporcional al cambio instantáneo de temperatura.
Esta es la definición de un proceso politrópico.
Ecuación de procesos politrópicos
Si en estas circunstancias escribimos la primera ley de la termodinámica para una pequeña
porción del gas, resulta
(c v ¡ c) d T + p d V = 0;
(3.3)
y dado que para los gases perfectos vale la relación p V = R g T , donde R g es la constante
del gas (R g =º R , siendo º la cantidad de moles del gas y R =8.314 £ 107 erg/K mol, la
constante universal de los gases) tal que R g = c p ¡ c v , se obtiene, entonces, la siguiente
ecuación para los cambios politrópicos
(c v ¡ c)
dT
dV
+ (c p ¡ c v )
= 0:
T
V
(3.4)
Integrando resulta
T
(c v ¡ c)
V
(c p ¡ c v )
= co n s ta n te ;
(3.5)
de la cual, empleando la ecuación de estado y la relación ½ _ 1= V , se pasa facilmente a
la ecuación 3.1, p = A ½ n , en la cual el índice politrópico vale
n =
cp ¡ c
:
cv ¡ c
(3.6)
Por lo tanto, en el estudio de los equilibrios convectivos de la atmósfera se emplea la
relación politrópica. Esta última es más general que la adiabática y la comprende en el
caso c = 0.
Aplicación a equilibrios atmosféricos
38
La función de presión 1.35 cuando n 6= 1 es
H
=
Z½
A n ½n¡ 2d½ =
½0
A n n¡
½
n ¡ 1
1
=
n p
n R T
=
;
n ¡ 1½
n ¡ 1 ¹
(3.7)
donde empleamos la ecuación de estado de los gases ideales en la forma
p =
½R T
;
¹
(3.8)
siendo T la temperatura absoluta, R la constante universal de los gases (8:314 £ 10 7
erg/K-mol) y ¹ el peso molecular. Combinando 3.1 con 3.8 se obtiene
p
=
p0
µ
T
T0
¶ n ¡n 1
;
½
=
½0
µ
T
T0
¶ n ¡1 1
;
(3.9)
ecuaciones que relacionan la presión y la densidad con la temperatura, donde el subíndice
0 se refiere a un estado termodinámico arbitrario de referencia.
Equilibrios politrópicos
El equilibrio bajo la acción de fuerzas conservativas se obtiene con 1.37
n R T
+−=C:
n ¡ 1 ¹
(3.10)
En el caso de la gravedad terrestre − = g z , poniendo T 0 para la temperatura en z = 0
resulta
n ¡ 1 z
T = T 0 (1 ¡
);
(3.11)
n L
donde
¹g
(3.12)
L =
R T0
es la escala de altura de la atmósfera. Tomando la temperatura standard para T 0 = 273
K, resulta L = 7:99 km. El descenso de la temperatura se describe con un gradiente
constante
dT
n ¡ 1 T0
=¡
¼ ¡ 5:7 K/km
(3.13)
dz
n
L
y la presión y la densidad varían según
n ¡ 1 z n n¡ 1
p
= (1 ¡
)
p0
n L
n ¡ 1 z n ¡1 1
½
= (1 ¡
:
)
½0
n L
(3.14)
La ecuación 3.11 nos muestra que la atmósfera es finita y para n = 1:2 llega a
una altura z = 6L = 48 km. En realidad, la atmósfera se compone de diferentes regiones,
la más baja, denominada troposfera alcanza, en latitudes medias, unos 11 km de altura
y debido a los movimientos convectivos que mezclan continuamente las capas de aire,
se encuentra en un equilibrio politrópico medio aproximado, con n = 1:2. Más arriba
está la estratosfera, una región en la cual la temperatura es aproximadamente constante,
alrededor de T=223 K, y más arriba aún la temperatura de la alta atmósfera comienza
a crecer hasta unirse al tenue plasma de la magnetosfera. Naturalmente, troposfera y
estratosfera no tiene una frontera definida, sino que se pasa gradualmente de una región
a otra.
Aplicación a equilibrios atmosféricos
39
Atmósfera isotérmica
El caso n = 1 corresponde a un gas en equilibrio térmico como indica la ecuación de
estado 3.8. La función de presión en este caso es
Z½
R T
G =
¹
½0
R T
½
d½
=
ln( ) ;
½
¹
½0
(3.15)
donde hemos puesto H = G , el potencial termodinámico de Gibbs. En efecto, cuando se
compara el estado termodinámico de dos pequeños volúmenes de gas próximos entre sí
podemos escribir la primera ley de la termodinámica en la forma
1
d E + pd ( ) = T d S = ±Q :
½
(3.16)
En esta ecuación E es la energía interna y S la entropía, ambos potenciales termodinámicos definidos por unidad de masa, 1= ½ es el volumen específico (volumen de la unidad de
masa) y ± Q es el calor intercambiado con el ambiente para poder pasar de un estado al
otro del gas. Si la temperatura es constante podemos reescribir 3.16 como
d (E +
p
dp
¡ TS)=
;
½
½
(3.17)
donde G = E + p = ½ ¡ T S . De aquí, con el mismo argumento que en 1.33, resulta
g r a d (G ) =
1
g r a d (p )
½
(3.18)
Volviendo a la 1.37 se obtiene
(3.19)
G +−=C
para el equilibrio isotérmico en un potencial de fuerzas general. En particula,r para la
gravedad terrestre tenemos
R T
½
(3.20)
ln( ) + g z = 0;
¹
½0
donde hemos puesto ½ = ½ 0 cuando z = 0, en la base de la atmósfera. De aquí se obtiene
½ = ½ 0 exp(¡
m gz
z
) = ½ 0 exp(¡ ) ;
kT
L
(3.21)
donde se ha usado la relación R = ¹ = k = m entre la constante universal de los gases y la
constante de Boltzmann (k = 1:38 £ 10 ¡ 1 6 erg/K; m : masa molecular) y la definición 3.12.
La atmósfera isotermica se caracteriza por un decaimiento exponencial de ½ y p con la
altura. La primera ecuación 3.21 coincide con el resultado de la distribución de equilibrio
de Boltzmann, obtenida con los métodos de la mecánica estadística en los comienzos de
esa nueva disciplina física. La atmósfera isotérmica se extiende hasta el infinito, pero la
densidad decrece rápidamente con la escala característica L .
Atmósfera adiabática
Cuando el índice politrópico vale n = ° = c p = c v tenemos un gas en equilibrio adiabático.
Es una configuración tal que en cada lugar se ha establecido la relación
p = A ½° ;
(3.22)
p 0 = ½ °0
) y ° es el cociente de los calores específicos a presión
donde A es una constante (A =
y volumen constantes. En el caso del aire ° = 1:40. La función 1.35 vale
H =
Z½
½0
A ° ½°¡ 2d½ =
A ° °¡
½
° ¡ 1
1
=
° p
° R T
=
;
° ¡ 1½
° ¡ 1 ¹
(3.23)
Aplicación a equilibrios atmosféricos
40
donde hemos empleado la ecuación de estado de los gases y la notación H , porque en
este caso la función de presión es un potencial termodinámico denominado entalpía. El
miembro izquierdo de la ecuación 3.16 es ahora nulo, por la hipótesis adiabática. Entonces
3.16 es equivalente a
p
dp
d (E + ) =
;
(3.24)
½
½
donde
H =E +
p
;
½
(3.25)
es la entalpía. Evidentemente d H = d p = ½ y por el argumento empleado en 1.33
g r a d (H ) =
1
g r a d (p ) ;
½
(3.26)
es decir, H coincide con la entalpía.
Reemplazando 3.23 en 1.37, resulta
° R T
+−=C;
° ¡ 1 ¹
(3.27)
y en el caso de la gravedad terrestre
° R T
° R T0
+ gz =
;
° ¡ 1 ¹
° ¡ 1 ¹
(3.28)
donde hemos fijado una temperatura T 0 en el nivel del mar z = 0. Reordenando la
ecuación se obtiene
° ¡ 1 ¹ gz
);
(3.29)
T = T 0 (1 ¡
° R T0
y la cantidad
µ
dT
dz
¶
ad
´ ¡
° ¡ 1 ¹g
;
° R
(3.30)
se denomina gradiente adiabático. En el caso de la atmósfera terrestre marca un descenso
de aproximadamente 1 ± centígrado por cada 100 metros de altura (10 K/km). En valor
absoluto el gradiente adiabático 3.30 es superior al gradiente politrópico 3.13. El gradiente adiabático tiene un papel destacado en el análisis de la estabilidad del equilibrio
atmosférico. La presión y la densidad se calculan con 3.9 donde n = ° .
3.2.2 Nociones de estabilidad atmosférica
Examinemos la estabilidad de un cierto equilibrio hidrostático. Tomamos un pequeño
elemento de volumen y lo desplazamos desde una altura z a z + d z . El elemento se
expande adiabáticamente (no hay tiempo para intercambiar calor) hasta que la presión
interna es igual a la del ambiente que lo rodea. Lo dejamos libre y estudiamos si comienza
a moverse de modo de volver a la posición inicial, o bien si continua moviendose hacia
arriba. En el primer caso el equilibrio es estable, en el segundo no hay estabilidad, el
equilibrio se rompe y comienza un movimiento convectivo. Sean ½ 1 ;p 1 ; los valores de la
configuración de equilibrio a la altura z y ½ 2 ;p 2 ; los valores correspondientes al ambiente
en z + d z . El estado termodinámico del elemento perturbado se indicará con notación
primada, ½ 0;p 0. Puesto que al comienzo de la perturbación el elemento de volumen no
difiere del ambiente, tenemos ½ 01 = ½ 1 , p 01 = p 1 . Al final del desplazamiento la presión
del elemento perturbado es igual a la del ambiente, p 02 = p 2 , pero la densidad puede ser
distinta, dado que depende de la expansión adiabática que sufre el elemento. Por lo tanto
½ 02 = ½ 01 (
p 02 °1
p2 1
) = ½1( ) ° :
p 01
p1
(3.31)
Aplicaciones de la termodinámica a la cosmología
41
Si ½ 02 es mayor que la densidad del ambiente, el peso del volumen desplazado causa su
hundimiento respecto a la atmósfera adyacente, de modo que vuelve hacia su posición
original. La condición
½ 02 > ½ 2 ;
(3.32)
asegura la estabilidad del equilibrio de la atmósfera. Esta condición se puede escribir de
una manera más significativa,
½1(
p 2 °1
1 dp
d½
) = ½ 1 (1 +
dz) > ½2 = ½1 +
dz;
p1
°p dz
dz
o sea
(3.33)
1 d½
1 dp
>
:
° p dz
½ dz
(3.34)
dp
= ¡ ½g
dz
(3.35)
Empleando la ecuación hidrostática
y la ecuación de estado de los gases 3.8 podemos reescribire la condición de estabilidad
como
1 d½
½g
1 dT
1 ¹g
>
=¡
¡
:
(3.36)
¡
° R T
½ dz
p
T dz
De la cual se deduce
° ¡ 1 ¹g
dT
> ¡
;
° R
dz
y comparando con 3.30
dT
>
dz
µ
dT
dz
¶
ad
=¡
° ¡ 1 ¹g
:
° R
(3.37)
(3.38)
Si la temperatura de la atmósfera disminuye con la altura más lentamente que el gradiente
adiabático se encuentra en equilibrio estable. Por ejemplo, ello ocurre en un equilibrio
politrópico en el cual n < ° . A veces en ciertas capas de la atmósfera se presenta una
situación inusual, la temperatura aumenta con la altura en lugar de disminuir. Este evento
se denomina inversión de temperatura y da lugar a una configuración sumamente estable.
En cambio, cuando la atmósfera se enfría, de modo que la temperatura decrece con la
altura más rápidamente de lo previsto por el gradiente adiabático, entonces el equilibrio
se vuelve inestable y se producen corrientes convectivas que tratan de mezclar el gas
para disminuir el valor absoluto del gradiente térmico. La condición 3.38 es de la mayor
importancia y tiene un amplio campo de aplicaciones en meteorología y astrofísica.
3.3
Aplicaciones de la termodinámica a la cosmología
La termodinámica extiende su alcance a todos los cuerpos de la naturaleza. Desde su
origen en el siglo XIX se comenzó a pensar en lo que implicaba la termodinámica para la comprensión del Universo como totalidad. Durante el siglo XX hemos asistido al
surgimiento de una cosmología física que engloba el Universo junto con las nociones fundamentales de tiempo, espacio y energía, como consecuencia de la Teoría General de la
Relatividad y de los descubrimientos de la nueva astrofísica. Con el desarrollo de la cosmología durante el siglo XX y particularmente con el predominio del modelo de Big Bang
durante la segunda mitad de 1900, la relación con la termodinámica se hizo más estrecha. Aquí vamos a señalar como se emplean algunas nociones de termodinámica de la
radiación de cuerpo negro para interpretar el fondo de radiación cósmica en microondas
(CMB: cosmological microwave background ). Para ello tenemos que describir brevemente
algunos avances de la astrofísica y de la cosmología durante el sigloXX
Aplicaciones de la termodinámica a la cosmología
42
3.3.1 Nociones elementales acerca del Big Bang
La cosmología física contemporánea se presenta como una historia de la naturaleza: describe el origen y la evolución del Universo. La cosmología comienza a tener una base física
sólida con la formulación de la Teoría General de la Gravitación dada por Einstein entre
1911 y 1917. Esta teoría extiende la teoría de la Gravitación Universal de Newton y liga
la estructura de la geometría espacio-temporal del Universo a la distribución de masa y
energía contenida en el mismo.
La Teoría de la Relatividad Especial
Uno de los grandes cultores de la teoría general de la relatividad creada por Einstein, el
físico John Wheeler, la bautizó como geometrodinámica. Someramente, repasemos algunas
ideas básicas. Sean dos eventos próximos a y b, que suceden en distinta posición y a
distintos tiempos (evento es todo lo que acaece en un punto y en un momento del tiempo).
Para la ”distancia” en el espacio - tiempo entre dos eventos próximos, la relatividad
restringida postula una expresión pseudo - pitagórica:
d s 2 = d x 20 ¡ d l2 ;
(3.39)
donde d x 0 = cd t y d l2 = d x 21 + d x 22 + d x 23 . Allí donde Pitágoras sumaría los cuadrados, aquí
tenemos la diferencia de dos cuadrados, uno de tipo temporal, d x 20 y otro de tipo espacial,
d l2 . En la teoría d s 2 es el cuadrado de una pequeña longitud, que no es la distancia de la
vida ordinaria y la llamaremos intervalo entre los eventos a y b.
Consideremos ahora observadores que pueden moverse unos respecto de otros,
con movimientos rectilíneos y velocidad uniforme. Cada observador tiene su propio reloj
y realiza sus propias mediciones temporales. En principio, las mediciones de uno pueden
diferir de las realizadas por otros observadores, pero ds2 el intervalo entre eventos es un
invariante. Es decir, todos los observadores miden esta cantidad con el mismo valor. El
intervalo d s es algo absoluto que no depende de los observadores o por lo menos, no
depende de su movimiento relativo con velocidad uniforme.
La Teoría General de la Relatividad
La Teoría General de la Gravitación de Einstein da un paso mucho mayor. Se propone una
generalización del intervalo con una expresión más compleja para d s 2 , llamada métrica de
la geometría pseudo - riemanniana del espacio - tiempo. Esta es
d s 2 = g 0 0 d x 20 ¡ d l2 ;
pero aquí,
d l2 =
X
jk
g jk d x j d x k
(3.40)
(3.41)
y la doble suma se realiza sobre todos los valores de j;k , desde 1 hasta 3. Los coeficientes
g 0 0 , g j k , definen la geometría del espacio - tiempo y son las funciones incógnitas fundamentales que la teoría debe determinar. Ahora los observadores pueden moverse unos en
relación a otros de forma arbitraria, incluyendo la posibilidad de movimientos acelerados.
Por ejemplo, movimientos de caida libre en campos de fuerzas gravitacionales o bien, rotaciones del observador respecto de las galaxias lejanas, etc.. En su esencia, se basa en la
idea de que existe una magnitud invariante, independiente de los observadores y de sus
movimientos, que mide el intervalo entre eventos. Dicho de otro modo, en la Teoría General de la Relatividad hay una expresión para d s 2 (más compleja que la fórmula pseudo
- pitagórica de la relatividad especial) que da una medida invariante de ”distancia” en la
nueva geometría de espacio y tiempo.
Pero lo más importante de la Teoría General de la Gravitación es que responde
a la pregunta: ¿cómo se determina la métrica, cuanto valen los coeficientes g 0 0 , g j k , que
establecen los intervalos en el Universo? La respuesta de Einstein fue: d s 2 se determina
Aplicaciones de la termodinámica a la cosmología
43
por la distribución de la masa y de la energía en el Universo. Las fuentes de la métrica
están en la distribución de materia y energía. La métrica determina a su vez el movimiento.
Se trata de una combinación orgánica de tiempo, espacio, materia y energía. El
Universo es un todo consistente de estas cosas, no hay un espacio pasivo por un lado y
cuerpos que se ubican en el espacio por otro, como si fueran entidades independientes.
Los cuerpos modifican las propiedades del espacio y la geometría del espacio - tiempo, a
su vez, gobierna el movimiento de los cuerpos. Como dijo Wheeler alguna vez: ”Matter
tells space how to curve, and space tells matter how to move.”
Consecuencias cosmológicas
Cuando Einstein estableció la Teoría General de la Gravitación, le pareció necesario evitar
que las porciones de materia que hay en el Universo no terminen cayendo unas sobre
otras por efecto de la gravitación. Era el mismo problema que había encontrado Newton
doscientos años atrás. Para la forma de pensar de Einstein resultaba satisfactoria la
idea de un Universo eterno, que no tuviera posibilidad de colapso o evolución y que en
promedio fuera estático. Entonces, tuvo que modificar algunos elementos de la teoría e
introducir ”ad hoc” un término adicional, el célebre término cosmológico. Está puesto en
las ecuaciones para que el Universo no tenga evolución en el tiempo. Esto fue así porque
en la década de 1910-1920 la noción de la fuga de las galaxias, a la cual nos referimos a
continuación, todavía no existía. Ni siquiera se había establecido el concepto de galaxia.
En 1929 comienza a conocerse en el ambiente astronómico las observaciones sobre
galaxias de Hubble, un distinguido astrónomo norteamericano que trabajaba en el Observatorio de Mount Wilson. A principios de la década de 1930, un joven religioso belga, el
Abate Lemaître (se ordenó sacerdote católico más adelante) se interesó por los trabajos de
Hubble. Lemaître era discípulo de Eddington, un eminente astrofísico y gran conocedor
de la Teoría General de la Gravitación. Eddington fue de los primeros que comprendió las
ideas de Einstein y que además trabajó para hallar evidencias observacionales de la teoría. Se trata de efectos muy tenues, difíciles de poner en evidencia, que requieren técnicas
avanzadas de observación. Un efecto, accesible a los métodos de detección de las primeras
décadas del siglo XX era la desviación de la trayectoria de un rayo luminoso que pasa
en la cercanía de un cuerpo de gran masa. Eddington lideró una de las dos expediciones
astronómicas que, durante un eclipse de Sol de 1919, hicieron la verificación del efecto
previsto por la teoría de la gravitación con resultados muy satisfactorios. Lemaître trabajaba con Eddington y disponía de información astronómica muy actualizada. Supo de
las observaciones de Hubble y pronto vio la conexión entre la fuga de las galaxias y la expansión que revelan las ecuaciones de Einstein cuando se elimina el término cosmológico.
El término que, como se dijo, había sido puesto a propósito para frenar la expansión del
modelo. En la década de 1930 Lemaître da a conocer una teoría del origen del Universo
a partir de una singularidad inicial, la cual más adelante fue bautizada con el nombre de
Big Bang.
Se sabe ahora que también Friedman, en Rusia, había encontrado las propiedades
de evolución temporal de las soluciones de la Teoría General de la Gravitación en el convulsionado período de la revolución comunista de 1917. El trabajo permaneció ignorado y
Friedman afectado por problemas de salud murió joven poco después. Sólo muchas décadas más tarde se conoció que había encontrado la solución de las ecuaciones de Einstein
sin el término cosmológico, aunque Friedman, físico-matemático por formación, nunca
hizo la conexión con los datos observacionales.
No parece justo que se hable ahora del modelo de Friedman como si Lemaître
no hubiera existido nunca. Por ejemplo, el silencio de Hawking acerca de Lemaître en
su reciente libro de divulgación sobre la historia del tiempo es típico. Pero hay voces
ilustres que han expresado opiniones muy claras sobre la cuestión de la prioridad. Por
ejemplo, el monumental tratado Gravitation de Misner, Thorne, y Wheeler, o la obra de
Peeble, Physical Cosmology. Esta última cuando trata del modelo de Lemaître expresa
”According to the usual criterion for establishing credit for scientific discoveries Lemaître
Aplicaciones de la termodinámica a la cosmología
44
deserves to be called the ’Father of the Big Bang Cosmology’ ”.
Para nuestros limitados propósitos no es necesario estudiar el modelo cosmológico
de Big Bang. Presentamos estas noticias elementales de la teoría con el fin de familiarizar
el lector con el contexto cosmológico dentro del cual se fueron ubicando los extraordinarios
descubrimientos astrofísicos del siglo XX, que pasamos a describir.
El corrimiento al rojo
Con el desarrollo de la espectroscopía óptica durante el siglo XIX, se comenzó a conocer la
composición química de las estrellas. Es bien sabido que podemos conocer mucho acerca de
las estrellas por el análisis de la luz que ellas emiten. Mediante técnicas espectroscópicas
se puede medir también la velocidad con que se mueven respecto del obervador. El
corrimiento al rojo se expresa habitualmente con el cociente
z = (¸ o bs ¡ ¸ e m ) = ¸ e m
(3.42)
donde ¸ o bs , ¸ e m , son las longitudes de onda observadas y emitidas, respectivamente.
Para la velocidad v de la fuente emisora, cuando z ¿ 1 (en realidad alcanza con z · 0:5)
tenemos la relación no relativista v = z c, donde c es la velocidad de la luz (3 £ 10 1 0
cm/s). Cuando el espectro característico de elementos conocidos se ha desplazado hacia
la zona roja de longitudes de onda, decimos que el cuerpo emisor tiene un corrimiento
Doppler hacia el rojo. Podemos medir el desplazamiento y deducir la velocidad del emisor,
sabemos que se está alejando de nosotros. Si se acercara veríamos un desplazamiento del
espectro hacia el azul.
Cuando z aumenta, z & 1 es necesario utilizar la fórmula relativista
v (1 + z ) 2 ¡ 1
=
;
c (1 + z ) 2 + 1
o bien, su inversa
z =
s
1+
1¡
v
c
v
c
¡ 1:
(3.43)
(3.44)
Vemos que cuando z ! 1 , entonces v ! c. Un valor z = 4:9, como en el caso del
quasar (quasi stellar objects) más lejano conocido, corresponde a una velocidad de recesión
v = c = 0:94.
Con los trabajos de Hubble, en 1929 los astrónomos comenzaron a enterarse con
sorpresa que todas las galaxias más lejanas viran hacia el rojo. Se empezó a hablar de
la ”fuga” de las galaxias, es decir, como si todas escaparan de la nuestra. Además, fuga
en todas las direcciones, o sea, de manera isótropa respecto del observador. La velocidad
de fuga aumenta con la distancia. La ley empírica hallada por Hubble se puede escribir
como
V = H 0 r;
(3.45)
es decir, la velocidad V crece con la distancia r de las galaxias, siendo H 0 una magnitud
igual para todas las galaxias.
Datos recientes dan para H 0 alrededor de 72 km/s por Mpc, pero el valor de
H 0 está sujeto a considerable incerteza, con estimaciones entre 65 km/s Mpc hasta 80
km/s Mpc (H 0 = 50 km/s Mpc era el valor preferido hace una década). Aquí 1 Mpc,
megaparsec (106 parsec, abreviatura pc) = 3.08 £ 101 9 km = 3.26 £ 106 a.l., años luz; 1
año=3.16£ 10 7 s. La distancia de los quasars más lejanos observados es » 10 4 Mpc.
Pronto se dió una interpretación cosmológica a la ley de Hubble, es decir, se
estableció una conexión entre estas observaciónes y modelos teóricos del Universo que son
soluciones de la teoría general de la gravitación de Einstein (Lemaître). Los astronomos
dejaron de pensar que había una ”fuga de las galaxias” en sentido literal. Se comenzó a
considerar que el fenómeno tenía que ver realmente con la estructura del Universo y su
expansión en el marco de la Teoría General de la Gravitación. Todas las galaxias lejanas
Aplicaciones de la termodinámica a la cosmología
45
se apartan entre si porque aumenta la escala de distancias del Universo. La ley V = H 0 r
se atribuye al alejamiento recíproco de dos galaxias lejanas cualesquiera, cuya distancia
de separación es r y esta aumenta porque la escala de distancias del universo R (t) crece
debido a la expansión.
El corrimiento al rojo es un hecho observacional, quizás el más significativo entre
los que sostienen la teoría del Big Bang. Se puede mencionar que se intentaron otras
explicaciones que no requieren un Universo en expansión. Por ejemplo, se conjeturó una
nueva propiedad de la luz según la cual ésta envejece y de alguna manera pierde energía,
de modo que la frecuencia de la luz decae peulatinamente hacia el rojo. Entonces las
galaxias más lejanas, siendo las mas viejas deberían tener el espectro corrido al rojo. Se
intentaron muchas alternativas, pero ninguna resultó satisfactoria. Poco a poco se impuso
la opción más razonable: que la llamada fuga de las galaxias tiene un origen cosmológico.
Síntesis primordial de los núcleos livianos
Otro dato de observación importante es el análisis estadístico de la composición química
de nuestro Universo. Esta se basa en el análisis espectral de la luz y a lo largo de muchas
décadas los astrofísicos han acumulado evidencia confiable sobre la distribución de los
elementos en el Universo. Sabemos, por ejemplo, que aproximadamente el 75% de la
materia visible está constituida por hidrógeno, el elemento más liviano y por alrededor
de 24% de helio, el elemento inmediatamente más pesado en la tabla de los elementos
conocidos. Después vienen otros elementos en proporciones mucho más pequeñas. Se
han determinado porcentajes promediados sobre observaciones en todas las direcciones
del espacio y a todas las distancias. La cosmología debe poder explicar esta particular
composición: ¿por qué 75% de hidrógeno, por qué 24% de helio y luego pequeñas fracciones
de los demás elementos?
Esta pieza de evidencia observacional no tiene explicación satisfactoria por otros
caminos que no sean los de la cosmología del Big Bang. La teoría fue desarrollada en
la década de 1940 por Gamow, Alpher y Herman y permite demostrar que durante el
período comprendido entre 1 y 200 segundos, desde el comienzo del Universo, se produjo
una síntesis nuclear primordial de elementos livianos. La teoría del Big Bang predice
temperaturas enormes para el Universo primitivo. Un segundo después del comienzo
T » 109 K y el Universo era un gas de neutrones, protones, electrones, anti-electrones
(positrones), fotones y neutrinos. A medida que el Universo se enfrió los neutrones en
parte decayeron en protones y electrones y en parte se combinaron con los protones para
formar el deuterio (isótopo pesado del hidrógeno). Durante los primeros tres minutos la
mayor parte del deuterio se fusionó para producir helio y una pequeña fracción de litio
La nucleosíntesis del Big Bang generó 4 He (helio) con una abundancia en peso
respecto del H (hidrógeno) en acuerdo con las observaciones astrofísicos y muy pequeñas
cantidades de otros núcleos livianos, 2 H , 3 He (isótopo liviano del helio) y 7 Li (litio). Todos
los núcleos más pesados fueron generados, mucho tiempo más tarde, en el interior de las
estrellas. Para ello hubo que esperar la recombinación del plasma, el desacoplamiento de
la radiación de la materia, la formación de las galaxias y la evolución de las estrellas.
Es importante notar que el carbono, 1 2 C, elemento crucial para el desarrollo de la
vida, no se generó en la síntesis primigenia. Hubo que esperar que el carbono se formara
en el interior de la primera generación de estrellas. Luego, con la explosión en la cual
culmina la evolución de las estrellas, este elemento junto con otros fue lanzados al espacio
donde se mezcló con el material interestelar residual. A partir de este material, ahora
enriquecido por elementos más pesados, se formaron nuevas generaciones de estrellas.
Recién entonces, en un planeta perteneciente a estrellas de sucesivas generaciones (como
el Sol) puede aparecer la vida, basada en una química mucho más compleja, gracias al
carbono y la variedad de otros elementos pesados disponibles en una etapa más avanzada
de la nucleosíntesis de los elementos.
Aplicaciones de la termodinámica a la cosmología
46
La radiación cósmica de cuerpo negro (CMB)
Finalmente, un punto observacional de crucial importancia es lo que se encontró en la
banda de frecuencias de microondas de la radiación electromagnética que llega de todas
las direcciones del espacio. La observación astronómica en microondas es lo que denominamos radioastronomía. A partir del fin de la Segunda Guerra Mundial empieza el gran
florecimiento de la radioastronomía. La razón de ello está vinculada a la guerra porque
el desarrollo de los radares cobró gran impulso, en Inglaterra, en Estados Unidos y en
Alemania, por motivos bélicos. Tuvieron gran importancia, como se sabe, en la batalla
de Inglaterra, es decir, en la defensa aérea de ese país durante el conflicto mundial.
Terminada la guerra, el primer radiotelescopio fue un aparato que se había usado
para fines militares y que los ingleses adaptaron para la exploración del Universo, abriendo
así una nueva ventana para la astrofísica. A partir de ese comienzo, años más tarde en
1965 dos ingenieros del Bell Telephone Laboratories en Murray Hill, New Jersey, Estados
Unidos, realizaron sin proponerselo, un gran descubrimiento. La Bell tiene importantes laboratorios de investigación y siempre contrató importantes científicos. Penzias y
Wilson descubrieron una radiación ubicada en una banda de microndas de 160 GHz que
corresponde a la de un cuerpo negro con una temperatura cercana a 3 grados Kelvin.
La radiación provenía de todas las direcciones del espacio con un flujo de alto grado de
uniformidad. A los ingenieros les molestaba esa radiación porque querían poner a punto
un receptor de microondas de alta sensibilidad para otros fines. No conseguían eliminar
la perturbación y decidieron consultar a Robert Dicke, un distinguido astrónomo de la
Universidad de Princeton. Con su ayuda, se realizó la identificación de esta radiación como de origen cosmológico, un residuo del Universo temprano. En 1978 Penzías y Wilson
obtuvieron el premio Nobel por este descubrimiento. Se habían adelantado sin saber al
grupo de Princeton dirigido por Dicke que también estaba construyendo un radiotelescopio con el propósito de detectar la radiación cosmológica, aparentemente ignorando a su
vez publicaciones téoricas precedentes de Gamow en 1948, y de Alpher y Herman en 1950,
que contenían una predicción teórica de la existencia de la radiación primordial.
Figura~1 Intensidad espectral de la radiación cosmica de microondas de fondo determinada por COBE. El ajuste con la distribución de cuerpo negro de Planck corresponde a
T=2.725§ 0:001 K (cortesía de NASA/WMAP Science Team)
Aplicaciones de la termodinámica a la cosmología
47
El Universo temprano.
En síntesis: hay un conjunto de observaciones astronómicas que es difícil explicar de otras
maneras a pesar de que no han faltado muchos intentos. No parece haber otra forma
mejor de que todo encaje en un sólo esquema, que no sea por la interpretación basada en
la cosmología. Si examinamos la distribución de galaxias retrocediendo en el tiempo la ley
de Hubble nos lleva a un momento en el cual la densidad de materia (más precisamente,
energía) era extraordinariamente (en teoría, infinitamente) grande. El Universo comienza
en un estado de altísima concentración de energía con una explosión y se expande. Se
trata de la gran explosión o Big Bang (nombre despectivo acuñado por el gran astrónomo
inglés Fred Hoyle, autor de una cosmología rival que no prosperó) como empezaron a decir
los científicos norteamericanos y el nombre, un tanto irreverente para la magnífica visión
del Universo en formación, quedó afianzado por el uso.
Evidentemente, todas las galaxias que ahora se están alejando en algún momento
estuvieron muy próximas. La densidad y la temperatura fueron muy superiores a las
actuales. Lo que se expande es el conjunto de espacio-tiempo y energía. En los momentos
iniciales hubo una concentración enorme de energía.
A medida que el Universo se expande, se enfria y evoluciona. En un sistema
aislado, tal como sucede con un gas, la expansión comporta un descenso de temperatura.
El comienzo del Big Bang corresponde a una singularidad (en sentido matemático) de las
ecuaciones gravitacionales, en la cual temperatura y densidad eran infinitamente grandes.
Por lo tanto, el instante inicial escapa a la descripción de cualquier teoría física. El
Universo, el espacio, el tiempo y la energia comenzaron juntos. El tiempo t0 transcurrido
desde el origen hasta hoy es la edad del Universo que está comprendida entre 10 y 15 £ 10 9
años. La estimación actual (año 2004) que mejor ajusta oservaciones y datos de distinto
origen es t0 ' 13:7 £ 10 9 años. Como cabe esperar, t0 » 1= H 0 , es del mismo orden de
magnitud que la inversa de la constante de Hubble (14£ 10 9 años).
La ley de Hubble V = H 0 r es una manifestación del incremento de la escala de
longitud del Universo. Indicando con R (t) el radio actual del Universo en el tiempo en
que observamos la radiación y con R (0) el valor correspondiente a un tiempo anterior en
el cual fueron emitidos los fotones, podemos escribir
º em
¸ o bs
R (t)
=
=
= 1 + z:
º o bs
¸ em
R (0)
(3.46)
Sabemos que cuando aumenta la temperatura aumenta la energía media de los
componentes de la materia y se pueden producir cambios de fase. Cuando la temperatura
sube, al incorporarse cada vez más energía a una porción de materia ésta se termina por
desintegrar. A medida que aumenta la temperatura primero se funde, luego pasa a la fase
gaseosa. A temperaturas mayores, alrededor de 103 K las moléculas del gas se rompen
y gases diatómicos, como el hidrógeno o el oxígeno, se disocian y se convierten en gases
monoatómicos. A temperaturas aún mayores, 3-4£ 103 K, se separan los electrones del
núcleo de los átomos. La ionización produce un plasma, es decir, una mezcla gaseosa
en la cual electrones e iones están libres. Podemos seguir considerando una jerarquía de
cambios de estados de la materia. Arriba de 109 K la radiación es tan energética que
resulta un plasma formado por electrones y positrones, además de mesones y bariones. A
medida que crece la temperatura, a partir de 101 2 K y más, se liberan los constituyentes
más profundos de la materia, nucleares y eventualmente subnucleares.
En suma, a energías cada vez mayores la materia termina por separarse completamente en los componentes últimos. Si el Universo empezó en una etapa en la cual
había una enorme temperatura, posiblemente > 10 3 2 K, entonces hablamos de una época
ideal para la física de las partículas elementales. En el Universo primordial estuvieron
disponibles no sólo las altísimas energías, / 10 2 GeV, que con gran dificultad, costos
y enormes aparatos aceleradores, los físicos experimentales apenas intentan imitar, sino
energías mucho más altas aún, > 10 1 9 GeV, que nunca podremos alcanzar.
Para la física actual, las etapas iniciales del Universo ofrecen la posibilidad de
unir los conocimientos del cosmos en gran escala, el macrocosmos - observado por la
Aplicaciones de la termodinámica a la cosmología
48
astrofísica y estudiado por la Teoría General de la Gravitación - con los conocimientos
del microcosmos, el mundo de las escalas más pequeñas de la materia. En los instantes
iniciales del Universo la física subnuclear tiene un papel fundamental. La atracción de la
cosmología del Big Bang estriba también en la posibilidad de poner en juego todas las
teorías físicas, todo lo que sabemos del mundo nuclear y subnuclear y unir en una gran
síntesis lo infinitamente pequeño con lo infinitamente grande.
Expansión y desacoplamiento de la materia y radiación CMB
La edad del Universo es algo menos de unos catorce mil millones de años como se ha dicho.
En ese intervalo temporal hay etapas que son accesibles a la observación astronómica.
Podemos llegar con buenos instrumentos a observaciones de lo que estaba ocurriendo
hasta el primer millón de años y un poco menos, después del momento inicial. Más atrás
en el tiempo todo se basa en modelos, la herramienta físico-matemática que nos permite
penetrar en el Universo temprano que no podemos ver directamente.
La razón es que cuando el Universo era muy denso, el camino libre medio del fotón
(la longitud que recorre un fotón entre una dispersión y la siguiente) era muy pequeño
y la luz no se podía propagar sin ser contínuamente dispersada. Podemos, dado que la
luz tarda un cierto tiempo en llegar hasta nosotros, mirar los objetos más lejanos y ver
las etapas más antiguas del Universo. Si pudieramos mirar suficientemente lejos veríamos
como se inició todo. Lamentablemente esto no es así, a partir de un cierto momento,
alrededor de 400 000 años desde el comienzo, no podemos penetrar más atrás. Hay como
una ”nube” que se extiende sobre lo que ocurrió en ese primer período.
Pero los físicos han disectado el primer millón de años en fracciones finas mediante
los resultados de las teorías de partículas elementales y de campos. Hoy se discute con
cierta seguridad de lo que sucedió desde un segundo hasta varios minutos después del
instante inicial. Tal vez porque precisamente en esos tres minutos iniciales se produce la
nucleosíntesis de los elementos más livanos prevista por Gamow y colaboradores. Esta
se encuadra muy bien con las observaciones de la composición química del Universo y
con la teoría de la evolución estelar. De la nucleosíntesis original (que ocurre en la etapa
que no podemos observar directamente) tenemos buenas evidencias indirectas. Como
el paleontólogo, que no puede observar los animales prehistóricos vivos pero estudia los
restos fósiles.
En suma, a partir del momento inicial se desarrolla una compleja evolución de
energía y materia: la evolución del Universo. Durante los primeros 400 000 años, envuelto
en la ”niebla” que impide la observación electromagnética directa, tenemos el Universo
temprano (early Universe) en el cual la física de partículas elementales domina la escena y
proporciona cierto conocimiento (aunque provisorio y conjetural) de esa etapa. Tenemos
evidencia indirecta de la evolución nuclear primordial en los primeros minutos. A partir
de los » 400 000 años de edad, podemos observar y especular sobre las fluctuaciones que
mucho más tarde, hace unos 10 000 millones de años, generaron las galaxias.
Para nuestro propósito interesa destacar el período, alrededor de los 400 000 años
desde el comienzo (por lo tanto, » 13 £ 10 9 años atrás) en el cual, debido a la disminución
gradual de temperatura, el plasma primordial se recombina. Ello ocurre a temperaturas
algo menores a 1 eV¼ 1:1 £ 10 4 K, una estimación razonable es T ¤ = 3000 K. La energía de
ionización del hidrógeno (la energía de ligadura del estado fundamental) es de 13.6 eV, lo
cual equivale a una temperatura de 15 £ 10 4 , pero la mecánica estadística muestra que la
ionización del gas ya es muy abundante a temperaturas de un orden de magnitud menores.
Para T > T ¤ la materia está en estado de plasma. La abundancia de electrones libres,
la alta densidad y la sección eficaz para la difusión Thomson de la luz, permiten estimar
que los fotones recorren distancias relativamente cortas y son dispersados muy pronto.
A temperaturas menores de T ¤ el plasma se recombina rápidamente y el gas neutro se
vuelve transparente. Ello ocurre para valores de z » 1000. Se estima que para valores
inferiores de z los fotones pueden viajar libremente por el Universo hasta el momento
actual, puesto que la probabilidad de difusión durante ese trayecto es muy pequeña. La
Aplicaciones de la termodinámica a la cosmología
49
radiación primordial se desacompla completamente de la materia. Esos fotones traen
información del estado del Universo en la época de la recombinación, del momento de su
última dispersión.
Figura~2 La radiación cosmica en microondas (CBM) permite observar el Universo hasta
el momento en que se vuelve opaco, unos 400,000 años después del Big Bang. La barrera
de radiación se denomina superficie de última difusión (last scatter) puesto que fue la última
vez en la que la mayoria de los fotones CMB fueron dispersados por la materia. Los mapas
de temperatura de la radiación CMB, muestran la superficie de última difusión (cortesía de
NASA/WMAP Science Team).
La radiación CMB, que proviene de todas la direcciones del Universo corresponde
a un máximo espectral de cuerpo negro asociado a la temperatura T = 2:725 § 0:001
K, según mediciones muy precisas realizadas por el satélite COBE (Cosmic Background
Explorer ) de NASA. Es importante destacar que, una vez descontada las anisotropía
debida a movimientos locales, la radiación CMB es isótropa con gran exactitud. Aparece
con la misma intensidad en todas las direcciones del espacio con casi perfecta uniformidad,
mejor que una parte en mil. A partir de 1992 el mundo científico fue sacudido por la noticia
de que COBE había podido detectar algún grado de inhomogeneidad en la radiación de
fondo.
Las muy pequeñas diferencias de uniformidad registradas por COBE han sido
confirmadas por observaciones de alta resolución más recientes por el Wilkinson Microwave
Anisotropy Probe (WMAP) lanzado por la NASA el 30 de junio de 2001. Son muy
importantes porque revelan fluctuaciones de densidad en el Universo primitivo al tiempo
de la recombinación y permiten la ubicación temporal del comienzo de la formación de
galaxias. Este aspecto de la CMB es como la pieza de un rompecabezas, va completando
una visión de conjunto que consolida la teoría del origen del Universo. La investigación
de estas fluctuaciones es uno de los temas más importantes de la cosmología actual.
3.3.2 Termodinámica de la radiación cósmica de microondas de fondo
Con la información proporcionada en las secciones precedentes, la termodinámica de la
radiación residual (CMB) luego de la recombinación del plasma, se plantea de un modo
muy simple. A partir de la ecuación 3.46 R (t) = R (0) (1 + z ) se desprende que la escala
Aplicaciones de la termodinámica a la cosmología
50
Figura~3 El cielo en radiación CMB. La imagen del satélite WMAP muestra las fluctuaciones
de temperatura (en escala de gris) de hace 13 billones de años, sobre la superficie de última
dispersión. Las diferencias de uniformidad contienen las semillas de la formación de las
galaxias (cortesía de NASA/WMAP Science Team).
de longitudes crece proporcionalmente a (1 + z ) y que por lo tanto el volumen varía como
V = V 0 (1 + z ) 3 :
(3.47)
Por otra parte, la ley adiabática para la radiación de cuerpo negro es
V
°¡ 1
T = co n s t:;
(3.48)
donde ° = 4= 3 y naturalmente esperamos una evolución con esta propiedad dado que
el Universo es la totalidad de las cosas (y por definición es un sistema aislado. De aquí
resulta
T0
T =
;
(3.49)
1+z
y poniendo T 0 = T ¤ ¼ 3000 K, 1 + z ¼ 1000 (ver sección anterior) se obtiene T ¼ 3 K
para la temperatura actual de la radiación de fondo.
Podemos notar que para la materia (básicamente un gas monoatómico) el exponente adiabático es en cambio ° = 5= 3 y se obtiene
T =
T0
;
(1 + z ) 2
(3.50)
una temperatura media mucho menor que la de la radiación CMB (para el gas que no
está confinado gravitacionalmente en estrellas, naturalmente).
Dado que para la radiación de cuerpo negro la energía está dada por la ley de
Stefan-Boltzmann
E = u V = aT 4V ;
(3.51)
(a = 7:56 £ 10 ¡
16
J/K m3 ) y la entropía es
S =
4E
;
3T
(3.52)
E =
E0
1+z
(3.53)
S = S 0:
(3.54)
se comprueba que
y que
Aplicaciones de la termodinámica a la cosmología
51
La entropía de la radiación de fondo permanece constante, como cabe esperar dado que
hemos supuesto que la expansión es adiabática. La entropía del Universo reside en gran
medida en la entropía de CMB. El número de fotones es proporcional a E = T , cociente que
no depende de z y por lo tanto el número de fotones de la radiación CMB se mantiene
constante.