TECNICAS DE CONTAR CONFERENCIA

INSTITUCION EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR “Santiago de Cali”
DEPTO DE MATEMATICA
TALLER DE ESTADISTICA
TEMA: TECNICAS DE CONTAR
NOMBRE:
GRADO
COD:
FECHA
TERMINOS.
1. SUMATORIA.
El símbolo de sumatoria: permite abreviar la notación de una
suma cuyos términos admiten cierta ley de formación y en orden
de ubicación.
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 + 𝑎6
Se escribe:
6
∑ 𝑎𝑖
𝑖=1
Se le: Sumatoria desde i=1, hasta 6 de 𝑎𝑖 .
Ejemplo: Si el índice de 𝑎𝑖 , i varía desde 1 hasta n, se escribe:
𝑛
∑ 𝑎𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛
𝑖=1
Ejemplo: Calcule.
6
∑ 𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
𝑖=1
6
∑ 𝑖 2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 =
𝑖=1
TECNICAS DEL CONTEO.
La teoría combinatoria estudia los métodos que permiten contar el
número de diversos arreglos o selecciones que puede formarse con
los elementos de conjuntos finitos. Entre sus aplicaciones prácticas
está el cálculo de probabilidades, al permitir enumerar los casos
favorables y casos posibles. Tiene también utilidad en otras ramas,
como por ejemplo, el cálculo de la complejidad o tiempo de ejecución
de un algoritmo o programa informático, al estimar el número de
operaciones que se realizan en un procedimiento algorítmico.
Cuando se desean escribir la totalidad de los resultados de un
experimento, se pueden presentar varias situaciones.
1. Si el número de posibles resultados de un experimento es
pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles
resultados.
a. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.
𝑅 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b. Lanzar una moneda al aire.
𝑅 = {𝐶𝑎𝑟𝑎, 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜}
c. Las posibles posiciones de tres competidores en una
carrera.
𝑅 = {𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐶𝐵, 𝐵𝐴𝐶, 𝐵𝐶𝐴, 𝐶𝐴𝐵, 𝐶𝐵𝐴}
d. Lanzar dos monedas al mismo tiempo, sin identificar las
monedas.
𝑅 = {𝐶𝐶, 𝐶𝑆, 𝑆𝑆}
e. Lanzar dos monedas al mismo tiempo, identificando las
monedas.
𝑅 = {𝐶𝐶, 𝐶𝑆, 𝑆𝐶, 𝑆𝑆}
f. Se tienen en un estante 3 libros uno de Álgebra, otro de
Contabilidad y otro de Biología. ¿De cuántas formas
distintas se pueden ordenar los libros?
1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91
5
∑ 𝑖 2 + 𝑖 = (12 + 1) + (22 + 2) + (32 + 3) + (42 + 4) + (52 + 5)
𝑖=0
2 + 6 + 12 + 20 + 30 = 70
6
∑ 2𝑖 2 = 2(1)2 + 2(2)2 + 2(3)2 + 2(4)2 + 2(5)2 + 2(6)2
𝑖=0
2.
2 + 8 + 18 + 32 + 50 + 72 = 182
FACTORIAL.
Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n
al producto de todos los naturales desde 1 hasta n:
𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) … … … 3𝑥2𝑥1
Por definiciones de factorial se da:
1. El factorial de 1: 1! = 1
2. El factorial de 0: 0! = 1
Es para facilitar las operaciones con factorial y de proceso lógico.
Ejemplo 1:
2! = 2𝑥1 = 2
3! = 3𝑥2𝑥1 = 6
4! = 4𝑥3𝑥2𝑥1 = 24
5! = 5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 = 120
6! = 6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 = 720
7! = 7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 = 5040
(𝑛 − 1)! = (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) … … 3𝑥2𝑥1 =
𝑘! = 𝑘(𝑘 − 1)(𝑘 − 2)(𝑘 − 3) … … . .3𝑥2𝑥1 =
Ejemplo 2: Simplificar y hallar los resultados.
1.
5!
3!
=
5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
3𝑥2𝑥1
2.
6!
8!
=
6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
3.
10!
8!
=
120
6
= 20
=
720
40320
10𝑥9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
=
8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
10𝑥9𝑥8!
8!
=
4.
10!𝑥6!
12!
5.
15!𝑥20!
14!𝑥21!
6.
135!𝑥120!
134!𝑥121!
7.
19!𝑥23!
22!𝑥21!
8.
=
10𝑥9
1
10!𝑥6!
15𝑥14!20!
14!21𝑥20!
=
1
56
10𝑥9(8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1)
8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
=
= 90
= 12𝑥11𝑥10! =
=
=
=
6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
12𝑥11
15
21
=
135𝑥134!𝑥120!
134!𝑥121𝑥120!
5
7
=
19!𝑥23𝑥22!
60
= 11
=
(𝑛−1)!(𝑛+1)!
23
(𝑛−1)!(𝑛+1)
=
23
(𝑛+2)𝑛
1
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!
Ejemplo: Cuantas palabras de 2 letras diferentes se pueden
formar con las letras 𝑅 = {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷}
LISTADO DE LAS PALABRAS
AB
BC
CD
135
121
(𝑛+2)(𝑛+1)!𝑛(𝑛−1)!
Hay unos experimentos en los cuales el número de posibles
resultados es muy dispendioso y exageradamente grande. Es
muy extenso listar los resultados.
a. Lanzar tres dados al mismo tiempo.
𝑅 = {111, 112, 113, 114, 115, 116, … … … … … … … . }
b. Los resultados posibles de una lotería de cuatro cifras y sin
serie.
𝑅 = {0000, 0001, 0002, 0003, 0004, 0005, 0006, … . }
c. Las placas de las motos de una ciudad en especial.
𝑅 = {𝑃𝐻𝑁00𝐵, 𝑃𝐻𝑁01𝐵, 𝑃𝐻𝑁02𝐵, 𝑃𝐻𝑁03𝐵 … … . }
3. Hay un proceso para el cálculo, que son los diagramas de árbol y
el proceso operativo.
Los diagramas de árbol muestran objetivamente el número de
resultados posibles en que se puede disponer de la ordenación
de un conjunto de pocos elementos, pero esta enumeración es
limitada, pues a medida que aumenta el número de objetos
dicha ordenación se complica, por lo que hay que utilizar otro
procedimiento más sencillo para determinar el número total de
resultados. Con este fin, nos apoyaremos en los conceptos
permutaciones y combinaciones, los cuales tienen como base el
principio fundamental del conteo.
Recuerde que para n elementos organizados en grupos de r
elementos, podemos asegurar que se calcula así:
1. VARIACIONES:
Son técnicas de conteo que respetan el orden de colocación de
los elementos.
Ejemplo. ABC es diferente de ABC y de BCA y de BAC, etc.
Importa el orden de colocación de sus elementos.
Si son n elementos en total de r elementos del grupo.
𝑉(𝑛, 𝑟) =
= 22!𝑥21𝑥20𝑥19! = 21𝑥20 = 420
(𝑛+2)!𝑛!
2.
= (𝑛 + 2)𝑛
AC
BD
AD
CB
DC
c.
Cuántos de estos números sin repetir digito son pares.
d.
Cuantas de las boletas sin repetir digito, su número es
mayor que 400.
Ejemplo: Cuantas palabras de 3 letras diferentes se pueden
formar con las letras 𝑅 = {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷}.
𝑛!
4!
4! 4𝑥3𝑥2𝑥1 24
𝑉(𝑛, 𝑟) =
=
= =
=
= 24
(𝑛 − 𝑟)! (4 − 3)! 1!
1
1
e.
Cuántas de estas boletas, en las cuales no se repite digito
son de numeración inferior a 400.
COMBINACIONES: No importa el orden de colocación o de
agrupación de los elementos del grupo.
𝑛!
𝐶(𝑛, 𝑟) =
𝑟!. (𝑛 − 𝑟)!
Ejemplo: Si hay 4 estudiantes 𝑅 = {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷} distintos para
formar grupos de 2 estudiantes para trabajar en una exposición
del colegio. De cuantas formas se pueden organizar los grupos.
LISTADO DE LAS PALABRAS
AB
BC
CD
f.
Por medio de las variaciones o de los cuadritos posicionales
de los dígitos, determine el numero de boletas que
terminan en cifra impar.
g.
Cuánto dinero recogería el promotor de la actividad de la
rifa, si cada boleta la vende a $5.500 y se puede repetir
digito en la numeración de la boleta.
h.
Cuánto dinero dejo de percibir el organizador de la rifa si
saco a la venta la boletería sin repetir dígitos.
BA
DB
CA
DA
CALCULO OPERACIONAL.
n = 4, r = 2
𝑉(𝑛, 𝑟) =
2.
𝑛!
4!
4! 4𝑥3𝑥2𝑥1 24
=
= =
=
= 12
(𝑛 − 𝑟)! (4 − 2)! 2!
2𝑥1
2
AC
BD
AD
CALCULO OPERACIONAL
n = 4, r = 2
𝑛!
𝐶(𝑛, 𝑟) =
𝑟!. (𝑛 − 𝑟)!
4!
4!
4𝑥3𝑥2𝑥1 24
𝐶(4, 2) =
=
=
=
=6
2!. (4 − 2)! 2! 2! 2𝑥1𝑥2𝑥1
4
Ejemplos: Cuantas grupos diferentes de 3 estudiantes, se
pueden formar con los 4 estudiantes posibles 𝑅 = {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷}.
4!
4!
4𝑥3𝑥2𝑥1 24
𝐶(4, 3) =
=
=
=
=4
(4
3!. − 3)! 3! 1! 3𝑥2𝑥1𝑥1
6
3.
3.
PERMUTACIONES: Es la rotación de todos los elementos del
conjunto.
𝑃(𝑛) = 𝑛!
La técnica de la permutación es aplicada para encontrar el
número posible de arreglos donde hay solo un grupo de objetos.
Aquí se puede decir que hay n elementos para formar grupos de
n elementos.
Ejemplo: Cuantas palabras de 3 letras diferentes se pueden
formar con las letras 𝑅 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}.
LISTADO DE LAS PALABRAS
A
B
C
A
C
B
A
C
B
C
A
C
A
B
4.
B
C
B
A
CALCULO OPERACIONAL
𝑃(𝑛) = 𝑛!
1.
𝑃(3) = 3! = 3𝑋2𝑋1 = 6
Ejemplo: Cuantas palabras de 4 letras diferentes se pueden
formar con las letras 𝑅 = {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷}.
𝑃(4) = 4! = 4𝑋3𝑋2𝑋1 = 24
Simplificar cada una de las siguientes expresiones mostrando
todo el proceso.
10!𝑥5!
12!
a.
c.
9!𝑥3!
b.
2.
𝑛!
(𝑛−1)!
9!𝑥6!
d.
(𝑛+3)!
a.
b.
c.
d.
e.
(𝑛+1)!
Cuantas boletas para una rifa se pueden editar para la venta, con
los números: 1, 3, 5, 8, 6, 9, si cada boleta consta de 3 dígitos.
a. Si en cada una de las boletas no se permite repetir digito.
b.
5.
Si en cada una de las boletas se permite repetir cualquiera
de los dígitos.
f.
6.
Los estudiantes de la Normal Superior Santiago de Cali, del grado
11 deben presentar una evaluación que debe cumplir unas
condiciones especificadas por el profesor, y la evaluación consta
de 12 preguntas, en el Área de Matemática. Las condiciones son
que el estudiante debe responder solamente 10 de las
preguntas, pero:
a. Si la restricción es responder solamente 10, de cuantas
maneras se puede responder?
b. Las 3 primeras preguntas son de carácter obligatorio y las
restantes no interesa como las responda.
c. Si debe responder 5 o más de las 6 primeras preguntas.
d. Si debe responder 4 o más de las 6 primeras preguntas.
e. Si son de carácter obligatorio las 4 últimas preguntas.
De un juego de Naipe donde consta de 6 cartas especiales, para
un juego de Póker, se desea determinar.
a. De cuantas maneras se puede tomar una carta.
b. De cuantas maneras se puede escoger 2 cartas de las 6
posibles.
c. De cuantas posibilidades se pueden tomar 3 cartas de la
baraja de 6.
d. De cuantas formas diferentes se puede repartir 4 cartas
para determinar un juego especifico.
e. Como se puede escoger 5 cartas de la baraja.
f. Cuantas formas diferentes existen para escoger 6 cartas.
g. De cuantas maneras se pueden escoger una o más cartas de
las seis posibles.
De una baraja de Póker, 4 personas deciden jugar fierro, y se
concentran y analizan cada una de las posibilidades que existen
de juego así: Recuerde que en el fierro se reparten de 3 cartas a
cada jugador.
Cuantos juegos distintos posibles existen.
Cuantos fierros de 3, de 4, de 5, de 6 y de 7 se pueden hacer con
esta baraja.
Cuantos juegos diferentes pueden existir de 20 puntos.
Cuantos juegos diferentes que contengan 2 sietes pueden existir.
Si tener en cuenta el comodín, cuantos fierros de cada número
pueden hacerse.
Cuantos juegos de diferentes cartas se pueden hacer.
Cuantos billetes de la lotería del valle se ponen en juego cada
miércoles en el sorteo, si juega con 4 cifras y dos números para
la serie. Para las cuatro cifras del mayor serian:
𝑅 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
n = 10 r = 4
Aquí importa el orden de colocación de las cifras y existen
repeticiones.
10
10
10
10
= 10.000
Para la serie seria dos cifras.
10
7.
10
= 100
El total de billetes seria: (10.000)(100) = 1.000.000
Si el baloto electrónico es un juego que consta de 45 números en
total, para un posible ganador de 6 números diferentes, en
cualquier orden. Cuál sería el número de posibles juegos del
baloto?
Como en este caso no importa el orden de salida de los
números, se trata de combinaciones de 6 números de
elementos, de un posibles de 45.
𝐶(𝑛, 𝑟) =
𝑛!
𝑟!. (𝑛 − 𝑟)!
45!
45!
=
=
6!. (45 − 6)! 6! 39!
45𝑥44𝑥43𝑥42𝑥41𝑥40𝑥39! 15𝑥44𝑥43𝑥7𝑥41
=
=
6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1𝑥39!
1𝑥1𝑥1
8.145.060
Existen 8.145.060 posibilidades diferentes de juego.
¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos
letras seguidas de tres cifras? No se admiten repeticiones.
1. Método.
26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000
2. Método. Las Letras de la placa. 𝑉(𝑛, 𝑟) = 𝑉(26,2)
𝑛!
26!
26! 26𝑥25𝑥24!
=
=
=
= 26𝑥25
(𝑛 − 𝑟)! (26 − 2)! 24!
24!
𝐶(45, 6) =
8.
Los números, son n = 10 de r = 3. 𝑉(𝑛, 𝑟) = 𝑉(10,3)
𝑛!
10!
10! 10𝑥9𝑥8𝑥7!
=
=
=
= 10𝑥9𝑥8
(𝑛 − 𝑟)! (10 − 3)!
7!
7!
9.
Cuantos números distintos de 3 cifras se pueden formar con los
dígitos 4, 5, 6, 7, 8 y 9?
10. Con 7 personas. Cuantos comités distintos de 5 personas se
pueden formar?
11. Si se tienen 12 libros para ser leídos por 5 personas, de cuantas
maneras se pueden leer?
12. Cuantos números mayores que 2.000 y menores que 3.000 se
pueden formar con los números 2, 3, 5, y 6?
13. De 8 candidatos de un partido, se necesitan escoger 3 para ser
elegidos. De cuantas maneras se pueden elegir?
14. En una clase hay 25 estudiantes. De cuantas maneras se pueden
elegir, Presidente, vicepresidente, secretario y tesorero?
a. Si cualquiera de ellos puede ser elegido.
b. Si dos estudiantes cancelan el año antes de la elección?
c. Si tres estudiantes no desean ser elegidos para ningún
cargo?
d. Si solamente 5 estudiantes pueden aspirar a la presidencia
por las condiciones de rendimiento académico y no pueden
ser elegidos para otro cargo?
e. Si solamente 5 estudiantes pueden aspirar a la presidencia
y pueden ser elegidos para otro cargo?
15. En una asamblea hay 8 personas casadas, 6 divorciadas, 6 viudas
y 4 solteras. De cuantas maneras se pueden agrupar cuatro
personas?
a. Si se eligen indistintamente.
b. Si se elige una de cada clase.
c. Si se eligen dos casadas y dos solteras.
d. Si se eligen dos divorciadas y dos viudas.
e. Si se eligen tres viudas y una divorciada.
16. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco
iris tomándolos de tres en tres?
7!
7!
7𝑥6𝑥5𝑥4! 7𝑥6𝑥5
𝐶(7,3) =
=
=
=
= 35
3! (7 − 3)! 3! 4! 3𝑥2𝑥1𝑥4! 3𝑥2𝑥1
17. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con
los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?
𝑃(5) = 5! = 5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 = 120
18. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados
de 4 en 4.
10!
10!
10𝑥9𝑥8𝑥7𝑥6! 10𝑥9𝑥8𝑥7
𝐶(10,4) =
=
=
=
= 210
4! (10 − 4)! 4! 6!
4𝑥3𝑥2𝑥1𝑥6!
4𝑥3𝑥2𝑥1
19. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado
por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden
formar?
35!
35!
35𝑥34𝑥33𝑥32! 39270
𝐶(35,3) =
=
=
=
= 6545
3! (35 − 3)! 3! 32!
3𝑥2𝑥1𝑥32!
6
20. ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de
presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol
sabiendo que hay 12 posibles candidatos?
12!
12! 12𝑥11𝑥10𝑥9!
𝑉(12,3) =
=
=
= 1320
(12 − 3)!
9!
9!
21. Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones
distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?
La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes
tomadas de 4 en 4.
(𝑖, 𝑜)𝑃(4) = 2𝑥4! = 2𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 = 48
22. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con
las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
𝑃(5) = 5! = 5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 = 120
Si es impar sólo puede empezar por 7 u 9.
(7,9)𝑃(4) = 2𝑥4! = 2𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 = 48
23. ¿De cuántos partidos consta una liguilla formada por cuatro
equipos?
No entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
4!
4! 4𝑥3𝑥2𝑥1
𝑉(4,2) =
= =
= 12
(4 − 2)! 2!
2𝑥1
24. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos
entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
10!
10!
10𝑥9𝑥8! 90
𝐶(10,2) =
=
=
=
= 45
2! (10 − 2)! 2! 8!
2𝑥1𝑥8!
2
25. Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras pueden
formarse? ¿Cuántos son pares?
Sí entran todos los elementos: 3 < 5
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
3
3
3
3
3
3x3x3x3x3 = 243
Permutaciones con repetición:
𝑃𝑅(3,5) = 35 = 3𝑥3𝑥3𝑥3𝑥3 = 243
26. Si el número es par tan sólo puede terminar en 2.
N2
3
3
3
3
1x3x3x3x3 = 81
27. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se
puede informar con sus vértices?
Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden
trazar entre 2 vértices.
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
Son, 𝐶(5,2) a las que tenemos que restar los lados que
determinan 5 rectas que no son diagonales.
5!
5𝑥4𝑥3!
𝐶(5,2) − 5 =
−5 =
− 5 = 10 − 5 = 5
2! 𝑥3!
2𝑥1𝑥3!
Vamos a determinar en segundo lugar los triángulos que se
pueden trazar entre los vértices.
5!
5𝑥4𝑥3!
𝐶(5,3) =
=
= 10
3! 𝑥2! 2𝑥1𝑥3!
28. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma
un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede
formarse, si:
1. Puede pertenecer a él, cualquier hombre o mujer.
𝐶(5,2) 𝐶(7,3) = 10𝑥35 = 350
2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
𝐶(5,2) 𝐶(6,2) = 10𝑥15 = 150
29. 3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
𝐶(3,2) 𝐶(7,3) = 3𝑥35 = 105
INDICADORES DE COMPETENCIA.
1.
Identifica y diferencia con facilidad las variaciones, combinaciones y
permutaciones.
2.
Aplica los conceptos de variación, combinación y permutación para calcular
situaciones reales.
3.
Calcula los valores de una variación, combinación y una permutación, para una
situación real.
Simeón Cedano Rojas
Profesor de la materia
TECNICAS DE CONTAR CONFERENCIA