C 2 - upiicsa

CAPACITORES
Este subtema es una aplicación de la primera parte del curso (Electrostática);
empezando con la existencia de dos objetos metálicos cargados como se
muestra en la figura adjunta. Experimentalmente cuando se coloca un
vóltmetro electrostático (instrumento para medir diferencias de potencial),
conectado a los dos conductores mostrados en la figura adyacente, éste
registra una diferencia de potencial lo cual indica que existe un campo
electrostático 𝐸⃗ entre los dos conductores.
Q
Q-
+

E
Experimentalmente se observa que si la carga aumenta en los conductores
también aumenta la diferencia de potencial registrada en el voltímetro (V) a la
vez si disminuye la carga en los conductores disminuye la diferencia de
potencial; de tal forma que: la carga Q y la diferencia de potencial son
directamente proporcionales o sea que sí C es una constante de
proporcionalidad, entonces:
Q=CV
CA-1
V
Por definición a esta constante de proporcionalidad se le llama CAPACITANCIA del dispositivo aquí considerado, que
también por definición se llama CAPACITOR y como de la igualdad inmediata anterior se obtiene:
C=
Coulomb
Q
. Aquí se observa que las unidades de la capacitancia son
volt
V
tales que:
1C
1V
se define como 1Farad. ;
sin embargo estas unidades son muy grandes por lo que se usan sub-multiplos de los Faraday o se 𝜇𝐹 o pF; como una
aplicación de la igualdad próxima anterior se desarrolla el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.- Demuestre que la capacitancia de un capacitor de placas paralelas, con área A en cada placa y d la
distancia que separa las placa muy pequeña; de tal forma que se desprecian los efectos de orilla, es C=
aclarando que la constante
0
0 A
d
,
es constante de permitividad en el vacío.
RESPUESTA: suponga la figura adjunta; con las
aclaraciones siguientes: A representa el área de cada una
de las placas, d la distancia que separa las placas, la
placa amarilla está cargada negativamente Q- y la placa
inferior tiene carga Q+; siendo ⃗⃗⃗⃗
𝐸0 el campo eléctrico
entre las placas, entonces la diferencia de potencial entre
la placa positiva y la placa negativa es V=E0d; por lo que
aplicando la definición de la capacitancia se tiene:
C =
Q
E0 d
pero del capítulo de
la ley de Gauss (la
magnitud de campo eléctrico en la vecindad de una placa
muy grande), se tiene que para dos placas una muy cerca
de la otra. E0 =

; 
0
de área, por lo que
=
la densidad de carga por unidad
Q

A
C =
Q
Q
d
0 A
=
0 A
d
Ejemplo 2.- Un caso de interés pedagógico, aunque ideal, es el capacitor
de forma esférica que se ilustra en el diagrama mostrado en la figura
adjunta: con b el radio exterior de la superficie esférica, a el radio del la
superficie esférica interior. En la figura aquí considerada, la esfera de radio
r, representa la superficie gaussiana, para poder aplicar la ley de Gauss y
se determina primero el campo electrostático entre las dos superficies
metálicas esféricas y posteriormente la diferencia de potencial entre las
mismas; remarcando que la superficie esférica exterior tiene carga negativa
Q-, mientras que la superficie esférica interior tiene carga positiva y lo que
se muestra en la figura es un corte justo a la mitad de las dos superficies
esféricas.
Con estas aclaraciones se asegura que la dirección del campo eléctrico es
normal exterior para todo punto de la superficie gaussiana, entonces de la
ley de Gauss se tiene:
b
a
 

 E ( r )  ds
s
=
r
𝑄
(1)
𝜀0
S
Note que esta integral se está evaluando sobre la superficie gaussiana de radio r y como el campo y la diferencial de
superficie tienen la misma dirección, entonces:
 

 E ( r )  ds
s

= 4𝜋𝑟 2 E( rs ), que sustituyendo en (1) se tiene:
S

4𝜋𝑟 2 E( rs ) =

 E (rs ) 
𝑄
𝜀0
Q
(2)
4 0 r 2
Aplicando la definición de potencial electrostático se tiene:
a
V=-
 


 E (r )  dr ; pero como el campo electrostático y la d r
tienen la misma dirección, entonces:
b
a
V=-
Qdr
 4 r
b
2
=
0
Q
1 a
( ) |b
4 0 r
=
Q (b  a )
; sustituyendo esta igualdad en la expresión que define la capacitancia
4 0 ab
se tiene:
C=
Q 4 0 ab
Q(b  a)
=
4 0 ab
ba
Comentario.- Del resultado de estos dos ejemplos se concluye, que la capacitancia solamente depende de la forma del
capacitor y no de parámetros físicos; además es recomendable aclarar que la nomenclatura que se usa para los
capacitores es
Ejercicio.- En forma semejante a lo que se hizo con el capacitor de forma esférica, encuentre la capacitancia de un
capacitor de forma cilíndrica de radio interior a y radio exterior b, b>a
CONEXIÓN DE CAPACITORES
A) Capacitores conectados en paralelo.- Suponga que
un conjunto de n capacitores están conectados como
se muestra en la figura adjunta. A esta conexión de
capacitores se le llama conexión en paralelo; aclarando
que V representa una diferencia de potencial
proporcionada por una fuente (batería) y note que la
diferencia de potencial es la misma en cada capacitor e
igual que V; quedando:
V
=
V1
=
V2
=
V3
=
…
=
Vn
CA-2
V
C1
C2
C3
Cn
Conceptualmente las cargas eléctricas ( electrones y/o protones) son micropartículas, mencionadas en la parte inicial
del curso y dichas partículas tienen masa, entonces la carga se CONSERVA y experimentalmente se encuentra que la
carga Q que proporciona la fuente es la suma de las cargas de cada capacitor, o sea que:
Q = q1 + q2 + q3 + … + qn
CA-3
Las igualdades: CA-2 y CA-3 son las ecuaciones fundamentales de n capacitores conectados en PARALELO.
Aplicando CA-1 en CA-3 se obtiene:
CV =C1V1 + C2V2 + C3V3 + … + CnVn ; pero como la diferencia de potencial es la misma en cada capacitor e igual a V;
de tal forma que:
CV = V(C1 + C2 + C3 + … + Cn)  C = C1 + C2 + C3 + … + Cn = Ceq
CA-4
Esta igualdad así determinada representa la capacitancia equivalente de un conjunto de n capacitores conectados e
paralelo.
B) CAPACITORES EN SERIE:
Cuando un conjunto de n capacitores está conectado como
se muestra en la figura anexa, se dice que dichos
capacitores están conectados en SERIE y aplicando el
C2
C1
C3
Cn
teorema de la conservación de la carga se concluye que la
carga que entrega la fuente (batería) es igual a la carga en
V
cada capacitor, o sea que:
Q
=
q1
=
q2
=
q3
=
…
=
qn
CA-5
Experimentalmente se encuentra que la diferencia de potencial que entrega la fuente es la suma de las diferencias de
potenciales en los capacitores; quedado:
V = V1 + V2 + V3 + … + Vn
CA-6
De la ecuación CA-1 se obtiene: Vi =
q
Q q1 q2 q3
    ...  n
C c1 c2 c3
cn
qi
ci
, para todo i = 1,2,3,…,n; por lo que sustituyendo en CA-6 se tiene:
; pero como la carga es la misma en cada capacitor, entonces:
Q
1 1 1
1
1 1 1 1
1
 Q(    ...  )      ... 
C
c1 c2 c3
cn
C c1 c2 c3
cn
CA-7
Aquí C = Ceq representa la capacitancia equivalente, que en el caso de dos capacitores en serie de la igualdad
inmediata anterior se obtiene:
Ceq =
C1C2
C1  C2
( más fácil de manejar)
CA-8
Cabe remarcar que Q es la carga que entrega la fuente.
Ejemplo 3.- a) Determine la capacitancia equivalente de la conexión de
capacitores que se muestra en el circuito anexo; considerando que:
C1 = C3 = C5 = 4.0µF, C2 = C4 = 6.0µF, V = 10Volt, b) hallar la carga
que entrega la fuente, c) la diferencia de potencial en el capacitor C 2, d)
la diferencia de potencial en la capacitancia equivalente C 345
RESPUESTA:
Inciso a Observe que los capacitores: C3 , C4 y C5 están conectados en
paralelo, de tal forma que:
C345 = 4.0µF +6.0µF + 4.0µF = 14.0µF. Observe que este capacitor así
calculado está en serie con los capacitores: C1 y C2.
Por comodidad de cálculo se usa la igualdad CA-8 en dos ocasiones a
saber:
C1
C3
V
C2
C4
C5
C12 =
Ceq =
( 4.0)( 6.0)
F = 2.4µF ; quedando la capacitancia equivalente del circuito como:
4 .0  6 .0
(14.0)( 2.4)
F = 2.048µF
14.0  2.4
Inciso b- Como se tiene la diferencia de potencial que entrega la fuente y además se riene la capacitancia equivalente,
entonces aplicando CA-1, quedando:
Q =CeqV = 2.048x10-6C(10V)= 2.048x10-5C
Inciso c- Observe que los capacitores : C1 , C2 y C345 están conectados en serie por lo que la carga es la misma que
entrega la fuente; de tal forma que q1 = 2.048x10-5C,
Quedando la diferencia de potencial V1 =
2.048x105
Volt
4.0 x106
= 5.16Volt-
Inciso d.- Como la carga es la misma en el capacitor C345, entonces la diferencia de potencial en este capacitor es:
V345 =
2.048x105
Volt
14.0 x106
= 1.46Volt.
Como un ejercicio adicional determinar la diferencia de potencial en el capacitor C 2
Ejercicio. -Encontrar la capacitancia equivalente para el arreglo de
capacitores que se muestra en la figura adjunta; considerando que:
V=15V, C1=C3=C5=C7=10  F; C2=C4=C6=15  F y posteriormente
hallar la carga que entrega la fuente
C1
C4
C2
V
C3
C7
C5
C6
d
b
Ejemplo No 4.- En la figura adjunta se muestra un capacitor experimental con un
objeto metálico de espesor b, que se puede mover libremente sin llegar a tocar las
placas exteriores de área A igual que el área de las placas de objeto metálico del
capacitor, demuestre que la capacitancia equivalente es C =
0 A
;
d b
considerando
que d es la separación de las placas exteriores.
RESPUESTA.- Analizando el capacitor propuesto se concluye que éste lo
constituyen dos capacitores: C1 y C2, conectados en serie como se
muestra en la figura adjunta ya que el objeto metálico es conductor; por lo
que aplicando CA-8 se tiene:
Ceq=
C1C2
C1  C2
Con C1 =
0 A
x
(1)
, x la distancia que separa las placas de este capacitor;
x
b
d
y
0 A
C2 =
, y la respectiva distancia de separación; además de la figura
y
 x  y  d b
aquí considerada: b+x+y = d
(2)
Puesto que:
Ceq =
0 A 0 A
0 A 0 A
x y
) , que sustituyendo en (1) se obtiene:
x
y
xy
x y
0 A
0 A
; sustituyendo (2) en esta expresión se tiene: Ceq =
(3)
d b
x y
C1C2 =
; también: C1+C2 =

  0 A(
Note: que este resultado en el caso en que no exista el conductor interior b=0 y el resultado es el de un capacitor de dos
placas paralelas separadas por una distancia d
Ejemplo No 5.- En la figura adjunta los capacitores C1=2.16F y
C2 =4.22F, están cada uno de ellos
cargados a una diferencia de 100.0V pero con polaridad opuesta, de tal
e S1
forma que los puntos a & c están en el lado de las placas positivas de C 1 &
C2; mientras que los puntos d & b están conectados a las placas negativas.
a
d
Ahora se cierran los interruptores s1 & s2. Hallar: a) La diferencia de
a
potencial entre los puntos e & f, b) La carga en C1 , c) La carga en C2 .
C1
C2
S2
b
c
f
RESPUESTA: .- Como cada uno de los capacitores inicialmente tienen una
diferencia de potencial de 100V entonces la carga inicial de cada capacitor es: q 1 = 100C1 =100V(2.16x10-6F) = 2.16x104C & q = 100V(4.22x10-6F) = 4.22x10-4C. Note que una carga es mayor que la otra; por lo que al cerrar ambos
2
interruptores la carga se redistribuye; quedando la carga total en el circuito :
QT = 4.22x10-4C-2.16x10-4C =2.06x10-4C
Observe que ahora la diferencia de potencial se mide entre e y f: o sea que los capacitores están en paralelo; quedando
la capacitancia equivalente como:
C12 = C1 + C2 = 2.16x10-6F +4.22x10-6F = 6-38x10-6F; quedando la diferencia de potencial entre los puntos e y f.
Vef =
QT 2.06x104 C

Ceq 6.38x106 F
= 32.2V.
Cálculo de la carga en el capacitor C1: Como los capacitores están en paralelo entonces tienen la misma diferencia de
potencial; de tal forma que:
q1 = 32.2(2.16x10-6)C = 6.95x10-5C & q2 = 32.2(4.22x10-6)C = 1.35x10-4C
Existen algunos problemas no del todo fáciles, que en algunos casos resultan bastante ilustrativos.
Ejemplo.6.- Para propósitos didácticos experimentales se analiza el
capacitor que se muestra en la figura adjunta de placas no paralelas y
de área cuadrada de lado a y considerando que el ángulo 𝜃 mostrado
en la figura es muy pequeño; tales que Sen𝜃 ≅ 𝑇𝑎𝑛𝜃. Demostrar que la
capacitancia equivalente es:
C≅
𝜃
 0a 2 
a 
1 

d  2d 
Cn
RESPUESTA: Con el propósito de facilitar la resolución considere la
Ci
figura anexa.
C1
𝜃
d
x
di
Observe que si el capacitor de placas no paralelas se particiona en n capacitores: C 1, C2, C3, …, Ci, …Cn; todos estos
capacitores están conectados en paralelo ya que todos están a la misma diferencia de potencial de tal forma que la
capacitancia equivalente es:
n
C
C ≅C1 + C2 + C3 + … +Ci + …+Cn =
(1)
i
i 1
Esta aproximación es porque la placa superior de cualquiera de los n capacitores no es paralela a la placa inferior da
cada capacitor en su caso.
De la figura observe que Ci≅
 0 Ai
di
;
con Ai el área de cada placa del i-ésimo capacitor; de tal forma que Ai = a∆ix ,
además di es la distancia que separa las placas de capacitor Ci ; por lo que de la figura di =d +xiTan𝜃; quedado:
 0 a i x
Ci ≅
d  xiTan
; como 𝜃 es constante y d también lo es entonces: Ci ≅



 0a
i x 
 d
 ; sustituyendo esta
Tan 
 xi 
 Tan

expresión en la aproximación (1) se tiene:
 0a
Tan
C≅
n

i 1
i x
d
 xi
Tan
(2)
Esta aproximación se convierte en una igualdad cuando el número de particiones es muy grande y ∆ix se convierte en
una diferencial (dx) y xi en una variable x, la sumatoria en una integral; por lo que
lím  0 a
n   Tan
C=
i x

d
i 1
 xi
Tan
n
=
d
 0 a a dx
; (c=

Tan
Tan 0 c  x
= constante)-
Observe que esta integral así obtenida tiene solución inmediata y que es ln(c+x); quedando:
 0a
d
a
ln(
 x ) |0
Tan Tan
 0a
Tan
d
d 

ln(Tan  a)  ln(Tan )
d
d
aTan 
 a )  ln(
) = ln(1+
)
Recuerde que: ln(
Tan
Tan
d
1 2
Se conoce de SERIES ln(1+z)≅z- ( z ) ; quedando de (4)
2
aTan aTan  1 aTan  2 aTan  aTan 
 (
) =
Ln(1+
≅
1
d
d
2
d
d 
2d 
C=
=
(3)
(4)
(5)
Sustituyendo (5) en (3) se tiene:
 0 a  aTan   aTan 
1
Tan  d  
2d 
entonces: Tan   .
C ≅
=
 0a 2 
a 
1 
;
d  2d 
remarcando que como el ángulo es muy pequeño
Comentario.- Este resultado así obtenido coincide con el resultado de un capacitor de placas paralelas, cuando el
ángulo 𝜃 de inclinación es cero.
CAPACITORES CON DIELÉCTRICOS.- En
este sub-tema de esta unidad académica,
es importante indicar que un material
dieléctrico es aquel cuya estructura
molecular está constituida por dipolos
erétricos cuyo orden normalmente es
fortuito y puesto que un dipolo al ser
colocado en donde existe un campo
eléctrico; dicho dipolo se orienta de acuerdo
a la dirección del campo eléctrico.
Para propósitos didácticos, suponga un
capacitor de placas paralelas como se
muestra en la figura adjunta; Con las
aclaraciones: A el área de cada placa del
capacitor, la placa azul inferior con carga
positiva y la placa superior con carga
negativa, d distancia que separa las placas,
⃗⃗⃗⃗
𝐸0 campo eléctrico en el capacitor sin
Q-
d
⃗⃗⃗⃗
𝐸0
Q+
Q-
+
+
+
dieléctrico; tales que sí V0 es la diferencia de
potencial en el capacitor sin dieléctrico,
d
entonces:
⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑑
V0 = E0d ; (E0 magnitud del campo eléctrico )
CA-9
Q+ Cuando se coloca un dieléctrico entre las
placas del capacitor mostrado en la figura
inmediata anterior, los dipolos se orientan
como se muestra en la figura adjunta, que
por la ley de Coulomb; en la parte superior del dieléctrico se acumulan las cargas positivas; mientras que en la parte
inferior del dieléctrico se acumulas las cargas negativas; formándose otro capacitor en el dieléctrico, apareciendo un
⃗⃗⃗⃗𝑑 en el dieléctrico, que comparándolo con el campo eléctrico ⃗⃗⃗⃗
campo eléctrico 𝐸
𝐸0 sin dieléctrico se observa que tienen
direcciones contrarias; por lo que el campo eléctrico 𝐸⃗ resultante en el capacitor con dieléctrico es:
⃗⃗⃗⃗0 + 𝐸
⃗⃗⃗⃗𝑑
𝐸⃗ =𝐸
CA-10
Pero sí û es la dirección del campo resultante, entonces:
𝐸⃗ = ( E0 – Ed ) û
CA-11
Como la magnitud de un vector nunca es negativa , E0 - Ed > 0; de tal forma que también se debe cumplir que: E0 > E;
por lo que debe existir una constante K>1 tales que:
E0 = KE
CA-12
De esta igualdad así determinada se concluye que la magnitud del campo eléctrico en un capacitor cuando se le coloca
un dieléctrico disminuye.
En el caso de la diferencia de potencial, recuerde que: V = Ed; de tal forma que despejando E de la igualdad CA-12 y
haciendo la sustitución correspondiente se obtiene:
V=
E0
V
d 0
K
K
CA-13
Como K>1 entonces la diferencia de potencial en el capacitor disminuye cuando se coloca un dieléctrico en le capacitor
de constante dieléctrica K.
Para la capacitancia en el capacitor con dieléctrico, de la definición de la capacitancia se tiene:
C=
Q
V
, que sustituyendo CA-13 en esta igualdad se tiene: C =
Q KQ

V0
V0
K
= KC0 CA-14
Note que en este caso la capacitancia aumenta en capacitor al colocarle un dieléctrico
Ejemplo 7.- Para propósitos experimentales se construye un capacitor de
placas paralelas, cuya área de cada placa se representa con A. Se coloca un
dieléctrico de constante K en espacio comprendido entre las placas del
capacitor de espesor b y área A; tales que sí d es la distancia que separa las
placas, suponga que b<d: Encuentre la capacitancia equivalente. Ver figura.
x
b
K
C=
Con: C1 =
C=
0 A
x
, C2 =
0 A
, C3 =
y
1
1
1
1


C1 C 2 C3
(2)
 0 A  0 A  0 KA
C2C3+C1C3+C1C2
x
)(
y
=
(1)
K 0 A
; la igualdad (1) algebraicamente se puede representar como:
b
C1C2C3
C2C3  C1C3  C1C2
Pero: C1C2C3 =(
d
RESPUESTA: Considere la figura anexa donde x es la distancia que
separa las placas del capacitor C1 sin dieléctrico, y la distancia que
separa las placas del capacitor C2 sin dieléctrico y C3 es un capacitor
con dieléctrico con constante K; con estas aclaraciones el capacitor así
formado lo constituyen tres capacitores conectados en Serie dos sin
dieléctrico y uno con dieléctrico; quedando la capacitancia equivalente
como:
d
y
b
)(
(
b
)
=(
( 0 A) 2  0 KA
(
)
xy
b
 0 A  0 KA
y
)(
b
( 0 A) 2  Kx  Ky  b 

xy 
b
)(
 0 A  0 KA
x
)(
b
(3)
)(
K K 1 
 
) = ( 0 A) 2  
y
yb
xb
xy 

0 A 0 A
x
)(
=
(4)
Sustituyendo (4) y (3) en (2) se obtiene:
C=
C=
K 0 A
K 0 A
=
Kx  Ky  b K ( x  y )  b
K 0 A
K ( d  b)  b
; pero de la figura aquí considerada: x+y = d-b; quedando:
Comentario.- Observe que este resultado, en el caso en que b=0 no hay dieléctrico, el resultado es justamente el de un
capacitor de placas paralelas de área A y distancia de separación d, K=1
Ejemplo 8.- Un capacitor de placas paralelas que tiene solo aire entre las placas se carga con una batería. El capacitor
se desconecta de la fuente sin que las placas pierdan carga. A ) Un voltímetro muestra una lectura de 45.0V cuando se
coloca entre los bornes del capacitor; luego se inserta entre las placas del capacitor un dieléctrico, que ocupa todo el
espacio, entonces el voltímetro indica una lectura de 11.5V, a ) hallar la constante del dieléctrico, b ) encontrar la lectura
en el voltímetro, sí el dieléctrico se retira parcialmente, de modo que ocupe solamente un tercio del espacio entre las
placas del capacitor.
RESPUESTA.- inciso a ) Puesto que se tienen las lecturas de la diferencia de potencial sin dieléctrico y con dieléctrico y
además se sabe que:
V0 = KV
K
V0
45


V 11 .5
3.913
Inciso b: Considere la figura anexa, remarcando que lo que se va a calcular es
la diferencia de potencial Vf y analizando la figura se concluye que son dos
capacitores conectados en paralelo, uno con dieléctrico y otro sin dieléctrico;
pero por hipótesis la carga permanece constante, de tal forma que:
Vf =
Qi
Ce
(siendo Qi la carga inicial en cada placa del capacitor)
Vf
K
(1)
Ce la capacitancia equivalente del capacitor mostrado en la figura aquí considerada; tales que:
Ce = C0f + Cd =
2
1
C0  KC0
3
3
(2)
Aclarando que C0 es la capacitancia en el capacitor sin dieléctrico; o sea C 0 =
igualdad (2) se tiene : Ce =
Qi 2 K
Q
(  ) = 1.97( i )
45 3 3
45
Qi
V0
=
Qi
45
; que sustituyendo en la
=0.044Qi
Finalmente sustituyendo esta igualdad en la igualdad (1) se tiene. V f=
Ejercicio.-Se construye para propósitos experimentales el
capacitor que se muestra en la figura adjunta de placas
paralelas de área A cada una y se le colocan tres dieléctricos
con las constantes que se muestran en la misma figura,
Determinar la capacitancia equivalente.
ENERGIA EN UN CAPACITOR.- Recuerde de la unidad IV de
esta asignatura que la energía se define como:
W = Vq; siendo q la carga en cada una de las placas del
capacitor que es variable, de tal forma que:
dW = VdQ; siendo V la diferencia de potencial entre las dos
estructuras metálicas que constituyen el capacitor, de tal
Qi
0  044Qi
=22.7V
A/2
d
A/2
K2
K1
K3
d/2
d/2
forma que V=
Q
Q
; quedando: dW =
dQ, integrando esta igualdad se obtiene:
C
C
Q
W=
QdQ Q 2
0 C  2C
CA-15
Recuerde que: V = Ed =
Q
 Q  EdC ; por lo que Q2 = E2d2C2 que sustituyendo en la igualdad para la energía se
C
tiene:
W=
W=
W=
0 A
E 2 d 2C 2 E 2 d 2C

; pero C =
( caso de un capacitor de placas paralelas); quedando:
d
2C
2
E 2 d 2 0 A  0 2

E Ad ; observe que E2 = 𝐸⃗  𝐸⃗ y Ad es el volumen del capacitor; quedando la energía como:
2d
2
0 ⃗ ⃗
𝐸  𝐸 Ad
CA-16
2
 
De esta igualdad así formulada, la energía por unidad de volumen queda como:
𝑊
U=
CA-17
𝐴𝑑
Ejemplo.9.- Dos capacitores idénticos de placas paralelas de 20𝜇𝐹cada uno, reciben cargas iguales de 150𝜇C cada uno
y luego se separan de la fuente de carga; a ) hallar la energía que almacena el sistema. Mediante un cable se conectan
sus placas positivas y mediante otro cable sus placas negativas. b ) ¿Cuál es la energía almacenada en el sistema?, c )
Un dieléctrico de constante 3.2 se inserta entre las placas de uno de los capacitores, de tal forma que llena la región
entre las placas, hallar la carga final de cada capacitor, d ) Determinar la energía almacenada en el sistema con
dieléctrico.
RESPUESTA: inciso a: Como los capacitores tienen la misma carga entonces los capacitores están conectados en serie
y la carga del sistema así formado es la misma; pero se conoce que la energía almacenada en el capacitor equivalente
es:
𝑞2
2𝐶
=W
(1)
La capacitancia equivalente de dos capacitores conectados en seria es:
C1C2
C=
C1  C2
W=
=
20x106 (20x106 )
2(20x106 )
(150x106 ) 2
2(10x106 )
= 10x10-6F; sustituyendo datos en (1) queda:
=1.12x-3J
Inciso b: Note que en este caso los capacitores están conectados en paralelo y la capacitancia equivalente: C = C1+C2 =
40𝜇F y la carga en el nuevo sistema es la suma; sea que:
Q=q1+q2 = 300𝜇C; quedando la energía W =
(300x106 ) 2
2(40x106 )
= 1.12x10-3J
Inciso c: Los capacitores siguen conectados en paralelo por lo que la diferencia de potencial en cada uno de ellos es la
misma; siendo ésta:
V=
Q 300C
=
C 40F
= 7.5V; solo que en este caso un capacitor tiene un dieléctrico, que puede ser capacitor C2 tales que
el capacitor con dieléctrico es KC2 = (3.2)C2= 3.2(20𝜇𝐹) = 6.4x10-5F; quedando la carga para este capacitor
q = (7.5)(6.4x10-5)= 4.8x10-4C
En el caso del capacitor sin dieléctrico q1 = (7.5)(2x10-5)C = 1.5x10-4C
Inciso d: Los capacitores siguen estando en paralelo por lo que la carga es la suma de cargas, quedando:
qt = (4.8+1.5)x10-4C= 6.3x10-4C; siendo la capacitancia equivalente:
Ce = Cd+ C1 = 6.4x10-5F+2x10-5F = 8.4x10-5F; quedando la energía almacenada del sistema asi formado como:
W=
(6.3x104 ) 2
2(8.4 x105 )
= 2.86x10-3J
Indudablemente existen muchos más ejemplos de aplicación pero se espera que con estas ilustraciones el sub-tema
como tal sea el adecuado.