1. Introducción 2. Consideraciones básicas

REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL.38, No.2, 2006
MODELO CLÁSICO DE LA PRECESIÓN DEL ESPIN DE MARTE
HARLEY ALEJO MARTÍNEZ,CAMILO DELGADO CORREAL
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
(Recibido 20 de Oct.2005; Aceptado 28 de Feb.2006; Publicado 05 de Abr.2006)
RESUMEN
En este trabajo se realizó un modelo clásico para describir la dinámica del planeta Marte,
en particular el movimiento fluctuante de su inclinación con respecto al Sol. El modelo
presentado se abordo desde el problema de los tres cuerpos teniendo en cuenta varios
factores como lo son la interacción con el Sol y el planeta Júpiter. Se presentan resultados numéricos a partir de un desarrollo analı́tico y de programas de computo elaborados
(Métodos Runge-Kutta). Esto nos permitió realizar algunas predicciones del comportamiento dinámico de Marte, sus movimientos orbital y de nutación.
Palabras claves: Dinámica de Marte, Movimiento Orbital, Precesión, Nutación.
ABSTRACT
In this work a classic model was made to describe the dynamics of the Mars planet, in
individual the fluctuating motion of its inclination with respect to the Sun. The model
presented attack from the problem of the three bodies considering several factors as they
are it the interaction with the Sun and the Jupiter planet. Numerical results appear
from an analytical development and of programs of compute elaborated (Runge-Kutta
Methods). This allowed us to make some predictions of the dynamic Mars behavior, their
orbital motions and of nutation.
Keywords: Dynamics of Mars, Orbital motion, Precession, Nutation.
1.
Introducción
El comportamiento fı́sico de Marte se ve afectado por su forma ligeramente elipsoidal, con
un diámetro ecuatorial de 6.794 Km y uno polar de 6.750 Km. Medidas micrométricas
muy precisas han dado un achatamiento de 0,01, o sea tres veces mayor que el de la
Tierra. A causa de este achatamiento, el eje de rotación está afectado por un movimiento
de precesión y una variación en su inclinación en relación al Sol, lo que se conoce como
movimiento de nutación. Varios factores provocan éste comportamiento, como lo son la
atracción del Sol sobre el abultamiento ecuatorial del planeta y las interacciones con los
demás planetas.
Para un análisis de la dinámica del planeta Marte abordamos un modélo clásico para
el problema de los tres cuerpos. El problema no tiene una solución analı́tica exacta,
ası́ que requiere parámetros de entrada y métodos numéricos para la solución de las
ecuaciones de movimiento resultantes. Partiendo del hamiltoniano del sistema, llegaremos
a las ecuaciones de movimiento para las componentes traslacional y rotacional, lo que
involucra muchos conceptos de dinámica de un cuerpo rı́gido.[1],[2] Para esto tendremos
en cuenta básicamente la atracción gravitacional generada por un cuerpo central, que en
nuestro caso es el Sol, y una perturbación en el sistema debido a la presencia de un tercer
cuerpo, Júpiter, ası́ como otras consideraciones que mencionaremos más adelante.
2.
Consideraciones básicas
A partir de las siguientes consideraciones llegaremos a las ecuaciones de movimiento para
el planeta Marte.
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Puesto que los campos de fuerza central son conservativos, podemos separar el hamiltoniano del sistema de la siguiente forma[2]
H(q, q̇) = Hc (qc , q˙c ) + Hr (qr , q˙r ),
(1)
donde Hc es la parte de el hamiltoniano que envuelve las coordenadas generalizadas (y
velocidades generalizadas) del centro de masa y Hr la parte relacionada a la orientación
del cuerpo respecto al centro de masa, descrito por qr y q˙r . En el caso traslacional se
considera únicamente la interacción gravitacional entre los cuerpos, que se asumen de
dimensiones puntuales y visto desde un sistema de referencia en el Sol, Hc .
En el modelo consideramos dos cuerpos de gran masa (el Sol y Júpiter) fijos en el espacio,
y un cuerpo de masa más pequeña (Marte) con la posibilidad de moverse en el espacio
circundante. La aproximación de que Júpiter se encuentre fijo, se debe a que este da
una vuelta alrededor del Sol cada 4333 dı́as (11,9 años) mientras que Marte lo hace en
687.02 dı́as, poco menos de 2 años, por lo tanto, podemos considerar a Júpiter como fijo
respecto a una rotación de Marte.
Para examinar la parte rotacional, consideramos a Marte como un cuerpo rı́gido oblongado con simetrı́a en uno de sus ejes. Trabajaremos desde su sistema de ejes principales
en su centro de masa, que se encuentra aproximadamente fijo, tal que la energı́a cinética
de rotación lleva la forma simple
1
1
1
(2)
I1 ω12 + I2 ω22 + I3 ω32
2
2
2
Puesto que las coordenadas generalizadas más convenientes para describir el movimiento
rotacional de un cuerpo rı́gido son los ángulos de Euler, la expresión (2) se puede reescribir
como[2],[4]
I1
I3
T = (θ̇2 + φ̇2 sin2 θ) + (ψ̇ + φ̇ cos θ)2 ,
(3)
2
2
donde hemos llevado el eje z a ser el eje principal de simetrı́a, con I1 = I2 .
Para un cuerpo de distribución de masa continua, m, que interactua con un cuerpo de
masa M , la energı́a potencial gravitacional viene dada por[2],[3]
T =
V =−
GM m GM (I3 − I1 )
+
P2 (γ)
r
r3
(4)
con P2 el tercer polinomio de Legendre y γ el coseno director de r relativo al eje principal
z. De la ecuación (4) sólo el segundo término depende de la orientación del cuerpo, por
tanto, es el potencial queda los torques, el primero lo tenemos encuenta sólo cuando
hagamos el análisis traslacional. Si tomamos el promedio del potencial sobre un perı́odo
orbital completo, obtenemos finalmente
GM (I3 − I1 )
P2 (cos θ),
(5)
2r3
en nuestro modelo, sobre Marte actuarán los potenciales debido al Sol y a Júpiter, los
cuales se superpondrán dando una suma aritmética.
V2 = −
3.
Ecuaciones de Movimiento Traslacional
El hamiltoniano del sistema viene dado por la expresión
H=
1
GM m Gm m
m(ṙ2 + r2 φ̇2 ) −
−
,
2
r
ρ
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(6)
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con M la masa del Sol, m ,r y m,r la masa y la distancia al Sol, respectivamente, de
los planetas Júpiter y Marte y ρ = r − r su distancia relativa. De la expresión (6) la
ecuación de movimiento en θ es
d
(mr2 φ̇) = 0
(7)
dt
es decir, r2 φ̇ = h, esta expresión muestra que la coordenada φ es cı́clica, por lo tanto, el
momento angular de Marte con respecto al centro fijo del Sol es una constante.
La ecuación de movimiento en r es
r̈ − rφ̇2 +
GM
Gm
−
=0
r2
(r − r)2
(8)
Para el caso en que el último término es cero, el problema se reduce al de los dos cuerpos,
el cual tiene como solución órbitas perfectamente elipticas.
4.
Ecuaciones de Movimiento Rotacional
Al considerar Marte no como una esfera, sino oblongado, como un elipsoide homogéneo y
simétrico, es posible encontrar expresiones para sus movimientos de precesión y nutación,
por interacción con el campo gravitacional del Sol y de Júpiter, despreciando las posibles
perturbaciones en su movimiento debido a los demás cuerpos presentes en nuestro sistema
solar.
El hamiltoniano en términos de los ángulos de Euler para este sistema se escribe como
H=
I3
I1 2
(θ̇ + φ̇2 sin2 θ) + (ψ̇ + φ̇ cos θ)2 + VS (cos θ) + VJ (cos θ)
2
2
(9)
Consideremos el caso de precesión uniforme, con variaciones en el ángulo de nutación θ,
es decir, θ̇ = 0. Ası́ la ecuación de movimiento correpondiente al ángulo θ viene dada por
∂VJ
∂VS
−
,
(10)
∂θ
∂θ
donde hemos considerado la expresión para el potencial dado en la ecuación (5).
Puesto que ω3 = ψ̇ + φ̇ cos θ, por las ecuaciones de Euler[2], cuando I1 = I2 , ω3 es
una constante que será tratada como una condición conocida del problema. Además, el
término φ̇ << ω3 , la velocidad de precesión es muy pequeña, la expresión (10) se puede
reescribir
I1 θ̈ = −I1 φ̇2 sin θ cos θ + I3 φ̇ sin θ(ψ̇ + φ̇ cos θ) −
∂VJ
∂VS
−
,
∂θ
∂θ
y reemplazando VS y VJ por la expresión obtenida en (4) tenemos
M
3G
m
(I3 − I1 ) sin θ cos θ 3 + 3
I1 θ̈ = I3 φ̇ω3 sin θ +
2
r
ρ
I1 θ̈ = I3 φ̇ω3 sin θ −
(11)
(12)
En ésta expresión φ̇ es la velocidad de precesión del espin, la cual es posible determinar
si suponemos θ̇ = 0. Para Marte φ̇ = 3,65 × 10−5 rad/año. Para un cálculo similar para
la Tierra ver [3].
En orden de obtener como cambia el ángulo de nutación como función del tiempo, necesitamos resolver la ecuación (12) numéricamente, los valores de los parámetros de entrada
que aparecen aquı́ para el planeta Marte, son dados en la referencia [5].
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5.
Análisis
En la figura 1 presentamos la gráfica de θ vs. t, las unidades del ángulo de nutación se
dan en grados, y el tiempo en años.
Figura 1: Gráfica del ángulo de nutación θ en función del tiempo.
Debido a la perturbación de Júpiter, las órbitas de Marte no son constantes en una
trayectorı́a elı́ptica sino que sufre ciertas desviaciones a través del tiempo, se expanden
y se contraen. De la misma manera, pero debido al achatamiento de Marte, el eje de
rotación está afectado por una lenta precesión debida a la atracción del Sol y de Júpiter
sobre el abultamiento ecuatorial del planeta; además se observa una variación temporal
del ángulo de nutación con el paso del tiempo, dichas variaciones se encuentran en un
movimiento fluctuante que oscila para nuestro modelo entre unos seis a siete grados por
encima de su valor actual que es de θ = 25,19o , esto cada 10,000 años aproximadamente.
Bibliografı́a
[1] CAMPOS, D. Prolegómenos a Sistemas Dinámicos, Universidad Nacional de Colombia, 2002.
[2] GOLDSTEIN, H. Classical Mechanics, Tercera Edición, Adisson-Wesley., 2002)
[3] KAULA,W. An Introduction to Planetary Physics, John Wiley & Sons, (1968)
[4] McCUSKEY S.W. An Introduction to Advanced Dynamics. Addison-Wesley Publishing Company,1959.
[5] http://home.earthlink.net/∼umuri/ /Main/T marsfact.html
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