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Matemáticas Discretas TC1003 Inducción Matemática Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 1/34 Inducción Matemática: Historia Inducción Matemática es un método de prueba relativamente reciente: el primer uso conocido lo hizo el sacerdote italiano Francesco Maurolico (1494-1575) en su publicación “Arithmeticorum libri duo” (1575). Inducción Matemática Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Matemáticas Discretas - p. 2/34 Inducción Matemática: Historia En el siglo 17 tanto Piere de Fermat como Blaise Pascal utilizaron inducción matemática para hacer demostraciones. Inducción Matemática Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Matemáticas Discretas - p. 3/34 Inducción Matemática: Historia En 1883 Augustus De Morgan fue el primero que describió el proceso cuidadosamente y le nombró inducción matemática. Inducción Matemática Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Matemáticas Discretas - p. 4/34 Inducción Matemática: Idea Intuitiva Suponga una fila interminable de fichas de dominó. Inducción Matemática Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Matemáticas Discretas - p. 5/34 Inducción Matemática: Idea Intuitiva Suponga una fila interminable de fichas de dominó. Suponga que las fichas están estrategicamente colocadas de tal forma que si cualquiera cayera hacia adelante tumbaría la siguiente ficha hacia adelante. (Paso Inductivo) Suponga también que la primera ficha cae hacia adelante.(Base Inductiva) ¿Qué pasará con las fichas de dominó? ¡Caerán todas! Inducción Matemática Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Matemáticas Discretas - p. 5/34 Inducción Matemática: Formulación Suponga que una propiedad (fórmula, desigualdad, condición etc) P(n) que está definida para los enteros apartir de un entero fijo a (Para n = a, para n = a + 1, para n = a + 2, . . . ) Suponga que las dos siguientes afirmaciones son ciertas: ■ P(a) es verdadero. ■ Para cualquier entero k mayor o igual que a: Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Si P(k) es cierto, entonces P(k + 1) es cierto. Entonces la afirmación: Para todos los enteros n ≥ a, P(n) es verdadera. Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 6/34 Inducción Matemática: El Método Para demostrar que es verdadera una afirmación: Para todos los enteros n ≥ a, P(n) Pruebe que: ■ Paso 1 (Base Inductiva): P(a) es verdadero. ■ Paso 2 (Paso Inductivo): Muestre que para cualquier entero k ≥ a . . . ◆ suponiendo que P(k) es verdadera (Hipótesis inductiva) ◆ entonces muestre que P(k + 1) también es verdadera. Inducción Matemática Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Matemáticas Discretas - p. 7/34 Inducción Matemática: Ejemplo 1 Suponiendo como válidas las reglas de derivación d x=1 dx y que d d d ( f (x) · g(x)) = g(x) · f (x) + f (x) · g(x) dx dx dx Demuestre que para todo entero n ≥ 1 Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 d n x = n xn−1 dx Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 8/34 Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 1. La fórmula que debemos demostrar para n = 1 queda: d 1 x = 1 x1−1 dx Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 es decir, d x=1 dx pero esto es uno de los datos que tenemos en el problema. Por tanto, la afirmación es cierta para n = 1. Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 9/34 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera se cumple: d k x = k xk−1 dx Mostremos que entonces se cumple: d k+1 x = (k + 1) xk+1−1 = (k + 1) xk dx Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 (La igualdad anterior se debe probar) Trabajemos con el lado izquierdo de la igualdad que queremos demostrar y hagamos un truco matemático: d k+1 d k x = x ·x dx dx Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 10/34 Si tomamos como f (x) = xk y como g(x) = x y utilizamos como probada al fórmula dada al inicio del problema tenemos´: d k d k d k+1 k d x = x ·x =x x +x x dx dx dx dx d k Por la hipótesis inductiva dx x = k xk−1 , entonces tenemos que la igualdad anterior queda: Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 d k+1 d k k d x =x x +x x = x·k xk−1 + xk · 1 dx dx dx Si hacemos álgebra en el lado derecho obtenemos: d k+1 x = (k + 1) xk dx Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 11/34 Que era la fórmula que debíamos demostrar. Por d k tanto hemos probado que si dx x = k xk−1 es d k+1 x = (k + 1) xk es también verdadera, entonces dx verdadera. Es decir, hemos probado el paso inductivo. Por haber probado la base inductiva y el paso inductivo, el principio de inducción matemática dice que la afirmación es cierta: Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 d n Para todo entero n ≥ 1, x = n xn−1 . dx Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 12/34 Inducción Matemática: Ejemplo 2 Demuestre que para enteros n ≥ 3: 2 n + 1 ≤ 2n Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 3. La desigualdad que debemos demostrar para n = 3 queda: Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 2 · 3 + 1 ≤ 23 es decir, 7 ≤ 8, pero esto es verdadero. Por tanto, la afirmación es cierta para n = 3. Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 13/34 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k ≥ 3 cualquiera se cumple: 2 k + 1 ≤ 2k Mostremos que entonces se cumple: LHS = 2 (k + 1) + 1 ≤ 2k+1 (La desigualdad anterior se debe probar) Trabajemos con el lado izquierdo de la desigualdad que queremos demostrar: Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2 Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 14/34 Por la hipótesis inductiva 2 k + 1 ≤ 2k y como para k ≥ 3, 2 ≤ 2k , lo anterior queda: LHS = 2 (k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 2 ≤ 2k + 2 ≤ 2k + 2k Por tanto, hemos probado que 2 (k + 1) + 1 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado el paso inductivo. Por el principio de inducción matemática la afirmación es verdadera: Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Para cualquier entero n ≥ 3, 2 n + 2 ≤ 2n Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 15/34 Note que en la demostración anterior hemos hecho uso de lo siguiente: ■ Si A ≤ B, entonces A + C ≤ B + C. ■ Si A ≤ B y B ≤ C, entonces A ≤ C. Inducción Matemática Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Matemáticas Discretas - p. 16/34 Inducción Matemática: Ejemplo 3 Demuestre que para enteros n ≥ 4: n2 ≤ 2n Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 4. La desigualdad que debemos demostrar para n = 4 queda: Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 42 ≤ 24 es decir, 16 ≤ 16, pero esto es verdadero. Por tanto, la afirmación es cierta para n = 4. Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 17/34 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k ≥ 4 cualquiera se cumple: k 2 ≤ 2k Mostremos que entonces se cumple: LHS = (k + 1)2 ≤ 2k+1 (La desigualdad anterior se debe probar) Trabajemos con el lado izquierdo de la desigualdad que queremos demostrar: Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1 Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 18/34 Por la hipótesis inductiva k2 ≤ 2k y como para k ≥ 4 ≥ 3, 2 k + 1 ≤ 2k , lo anterior queda: LHS = (k + 1)2 = k2 + 2 k + 1 ≤ 2k + 2 k + 1 ≤ 2k + 2k Por tanto, hemos probado que (k + 1)2 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado el paso inductivo. Por el principio de inducción matemática la afirmación es verdadera: Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Para cualquier entero n ≥ 4, n2 ≤ 2n Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 19/34 Inducción Matemática: Ejemplo 4 Demuestre que para enteros n ≥ 1: 1 + 2 + ··· + n = k X i=1 n(n + 1) i= 2 Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 1. La igualdad que debemos demostrar para n = 1 queda: 1 X i=1 Inducción Matemática Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 1 · (1 + 1) i=1= =1 2 Matemáticas Discretas - p. 20/34 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera se cumple: k X k(k + 1) i= 2 i=1 Mostremos que entonces se cumple: LHS = k+1 X i=1 (k + 1)(k + 1 + 1) (k + 1)(k + 2) i= = 2 2 Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 (La igualdad anterior se debe probar) k k+1 X X LHS = i = i + k + 1 i=1 Inducción Matemática i=1 Matemáticas Discretas - p. 21/34 Por la hipótesis inductiva i=1 i = k(k+1) lo anterior 2 queda: k k+1 X X k(k + 1) LHS = +k+1 i = i + k + 1 = 2 i=1 i=1 Pk Haciendo álgebra tenemos: k(k + 1) k(k + 1) + 2(k + 1) (k + 1)(k + 2) +k+1= = 2 2 2 Inducción Matemática Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Matemáticas Discretas - p. 22/34 Por tanto, hemos probado que k+1 X i=1 (k + 1)(k + 2) i= 2 Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado el paso inductivo. Por el principio de inducción matemática la afirmación es verdadera: n X n(n + 1) Para cualquier entero n ≥ 1, i= 2 i=1 Inducción Matemática Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Matemáticas Discretas - p. 23/34 Inducción Matemática: Ejemplo 5 Suponga una sucesión de números a1 , a2 , a3 , . . . que cumplen la siguientes reglas: ■ Regla 1: a1 = 1, y ■ Regla 2: an+1 = 2 an + 1 para n ≥ 1. Pruebe que la fórmula para los números an para n ≥ 1 es: an = 2n − 1 Inducción Matemática Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Matemáticas Discretas - p. 24/34 Demostración De acuerdo al principio de inducción matemática debemos demostrar: Base inductiva: Que la afirmación es veradera para el primero de esos enteros. En este caso n = 1. La igualdad que debemos demostrar para n = 1 queda: a1 = 21 − 1 = 1 Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 pero esto es verdadero por la regla 1. Por tanto, la afirmación es cierta para n = 1. Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 25/34 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera se cumple: ak = 2k − 1 Mostremos que entonces se cumple: ak+1 = 2k+1 − 1 (La igualdad anterior se debe probar) Trabajemos con el lado izquierdo de la igualdad que queremos demostrar: por la regla 2: Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 ak+1 = 2 ak + 1 Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 26/34 Por la hipótesis inductiva ak = 2k − 1 lo anterior queda: ak+1 = 2 ak + 1 = 2(2k − 1) + 1 = 2k+1 − 1 Por tanto, hemos probado que ak+1 = 2k+1 − 1 Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado el paso inductivo. Por el principio de inducción matemática la afirmación es verdadera: Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Para cualquier entero n ≥ 1, an = 2n − 1 Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 27/34 Inducción Matemática: Ejemplo 6 Considere el programa: SD(A,n,x) variable A array of float variable n integer variable x float if (n = 1) then [a] return(A[1]) else [b] return(A[n] + x*SD(A,n-1,x)) end if end proc Inducción Matemática Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Matemáticas Discretas - p. 28/34 Afirmación para n ≥ 1: Pn n−i SD(A, n, x) = A[i]x i=1 = A[n] + A[n − 1] x1 + · · · + A[1] xn−1 y su ejecución se realiza con 2(n − 1) FLOPs. Inducción Matemática Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Matemáticas Discretas - p. 29/34 Demostración Base inductiva: Debemos demostrar que para n = 1 el programa regresa : 1 X A[i] x1−i = A[1] x1−1 = A[1]. i=1 Pero esto es verdadero, pues el programa para n = 1 sale por la línea [a] entregando esto. Además, como no realiza ninguna operación de punto flotante se coincide con la fórmula para el número de FLOPs invertidos: 2 (1 − 1) = 0. Por tanto, la afirmación es cierta para n = 1. Inducción Matemática Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Matemáticas Discretas - p. 30/34 Paso inductivo: Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquiera se cumple: SD(A, k, x) = k X A[i]xk−i i=1 Y que lo hace con 2(k − 1) FLOPs. Mostremos que entonces se cumple: SD(A, k + 1, x) = k+1 X Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 A[i]xk+1−i i=1 y que lo hace en 2(k + 1 − 1) = 2 k FLOPs. Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 31/34 Revisemos la ejecución del programa para n = k + 1: Como k ≥ 1 entonces k + 1 , 1. Por lo tanto, el programa ejecuta la línea [b] entregando: SD(A, k + 1, x) = A[n] + x × SD(A, k, x) Por la hipótesis inductiva: SD(A, k + 1, x) = A[n] + x × k X A[i]xk−i Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 i=1 Por propiedades matemáticas lo anterior queda: SD(A, k + 1, x) = A[n] + k X i=1 Inducción Matemática A[i]xk+1−i = k+1 X A[i]xk+1−i i=1 Matemáticas Discretas - p. 32/34 Además, haciendo en conteo de las operaciones realizadas ■ la llamada recursiva requerirá 2(k − 1) FLOPs, y ■ la línea [b] requerirá aún dos FLOPs más: una suma y una multiplicación. Es decir, que el número de operaciones involucradas serán Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 2(k − 1) + 2 = 2 k Esto es exactamente lo que se quería demostrar. Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 33/34 Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesis inductiva, validez de lo afirmado para n = k, el programa ejecutado para n = k + 1 entrega SD(A, k + 1, x) = k+1 X A[i]xk+1−i i=1 y lo hace en 2(k + 1 − 1) FLOPs. Lo que es exactamente la afirmación para n = k + 1. Por tanto, hemos probado el paso inductivo. Por el principio de inducción matemática la afirmación es verdadera para enteros n ≥ 1. Inducción Matemática Historia Historia Historia Idea Formulación Método Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Matemáticas Discretas - p. 34/34
