2 - Mestre a casa

Dr JM Ayensa 2015
PAU Física 2015 UNED ENUNCIADOS
OPCIÓN A
1. Dos estrellas lejanas cuyas masas suman 4 veces la masa del Sol MS, se encuentran
separadas por una distancia d que es constante. Ambas estrellas describen órbitas circulares
alrededor del mismo punto fijo, que se encuentra en la línea imaginaria que las une, debido al
campo gravitatorio entre ellas. Calcular la distancia que separa las dos estrellas sabiendo que
ambas órbitas tienen el mismo periodo T. Suponer que conocemos G. (3 puntos)
2. Supongamos que tenemos la configuración mostrada en la figura. A la izquierda tenemos un
conductor rectilíneo de longitud infinita por el que circula una corriente I1. A su derecha tenemos
una espira cuadrada de lado L colocada con los dos lados paralelos al conductor y a una distancia
mínima d. Por la espira circula una corriente con intensidad I2 en el sentido de las agujas del reloj.
Explicar lo más detalladamente posible qué efecto producirá sobra cada lado de la espira la
presencia de la corriente rectilínea. (3 puntos)
Ayuda: el módulo del campo magnético producido por un conductor rectilíneo infinitamente largo
por el que circula una corriente I, a una distancia r perpendicularmente al mismo es B =
µo I
. El
2π r
sentido del campo viene determinado por la regla de la mano derecha, es decir, las líneas de
campo magnético rodean el conductor en el sentido de los dedos de la mano derecha cuando el
dedo pulgar apunta en la dirección de la corriente.
I2
I1
d
L
3. El oído humano percibe sonidos cuyas frecuencias están comprendidas entre 20 y 20000 Hz.
El ultrasonido es una onda acústica que está por encima del umbral de audición humano.
Sabiendo que la velocidad de propagación del sonido en el aire en condiciones normales es 330
m/s aproximadamente, determinar el rango de longitudes de onda del ultrasonido en humanos. (2
puntos)
4. Como se muestra en la figura, la fibra óptica permite que los rayos de luz que entran por el
extremo de la fibra se propaguen a grandes distancias por reflexión total, de modo que no hay
pérdida de energía. La fibra óptica consta de un material interno de índice de refracción n1,
revestido de otro material cuyo índice de refracción es n2. ¿Qué condición deben satisfacer n1 y n2
para que el dispositivo pueda funcionar como una fibra óptica? Razonar la respuesta. (2 puntos)
n2
n1
n2
Dr JM Ayensa 2015
OPCIÓN B
1. A distancias de la superficie de la Tierra muy pequeñas comparadas con le radio terrestre se
suele considerar que la aceleración gravitatoria es constante y que tiene un valor go = GMT/RT2.
Calcular el error que se comete al aproximar la aceleración real mediante go, a una altura h de la
superficie terrestre, sabiendo que h = aRT. Expresar el error únicamente como función de a. (2,5
puntos)
Ayuda: el error se calcula como ε =
g(h) − g o
g(h)
, donde g(h) es la aceleración gravitatoria real a una
altura h.
2. Un electrón de carga –e y masa m se mueve en la dirección positiva del eje X con una energía
cinética To. En un momento dado penetra en una región de anchura d en la que existe un campo
eléctrico constante e uniforme. El electrón atraviesa esa dirección sin desviarse de su trayectoria
rectilínea inicial, pero su velocidad a la salida es la mitad de la inicial. Determinar el valor del
campo eléctrico dentro de esa región en función de los datos del problema. (3 puntos).
3. Una partícula realiza un movimiento armónico simple de amplitud 5 cm. En el instante inicial
tiene su velocidad máxima, que es 20 cm/s (sentido positivo). Obtener la ecuación completa de la
posición en función del tiempo. (2,5 puntos).
4. El primer estado excitado de un átomo de potasio es E1 = 1,62 eV por encima del estado
fundamental E0, el cual consideraremos de valor cero. El potasio posee también los niveles
energéticos E2 = 2,61 eV y E3 = 3,07 eV. ¿Cuál es la máxima longitud de onda de la radiación que
puede ser absorbida por el potasio en su estado fundamental? (2 puntos)
h = 4,14.10-15 eV.s; c = 3.108 m/s.
Dr JM Ayensa 2015
ENUNCIADOS Y RESPUESTAS
OPCIÓN A
5. Dos estrellas lejanas cuyas masas suman 4 veces la masa del Sol MS, se encuentran
separadas por una distancia d que es constante. Ambas estrellas describen órbitas circulares
alrededor del mismo punto fijo, que se encuentra en la línea imaginaria que las une, debido al
campo gravitatorio entre ellas. Calcular la distancia que separa las dos estrellas sabiendo que
ambas órbitas tienen el mismo periodo T. Suponer que conocemos G. (3 puntos)
Respuesta
r
r
Dos estrellas separadas una distancia fija d, se atraen con la fuerza gravitatoria, F12 = −F21 , de
manera que se mueven en órbitas circulares alrededor del centro de masas de las mismas. El
centro de masas de un sistema de dos partículas es un punto
situado entre las masas tal que su posición viene dada por el
r
r
r
m1 .r1 + m2 r2
vector rCM =
(1), donde se deduce que la masa
m1 + m 2
m2
r
F12
r2
mayor (por ejemplo m1 > m2) estará a menor distancia del centro
de masas que la menor (r2 < r1), m1r1 = m2r2 y ambas girarán en
órbitas elípticas o circulares (concéntricas) manteniendo la
distancia d entre ellas constante, o sea, d = r1 + r2 = cte. En este
caso, como se muestra en la figura, girarán en órbitas circulares
alrededor del centro de masas (es un ejemplo de sistema de estrellas binarias).
CM
d
r1
r
F12
m1
Los módulos de las fuerzas de atracción entre las masas son iguales y además, por ser órbitas
circulares, son las correspondientes fuerzas centrípetas que las hacen girar circularmente. O sea,
G.m1 .m2
m1 .v12 m2 .v 22
m1 .v12 m2 .v 22
=
F12 = F21 =
= 2 , o sea,
= 2 (2)
r12
r2
d2
r12
r2
Dado que el sistema de “partículas” está “aislado”, el centro de masas no tendrá aceleración, por
lo que un observador situado en dicho punto será un observador “inercial”. Si se toma como origen
del sistema de referencia el centro de masas, de acuerdo con la ecuación (1) se deduce que m1r1
= m2r2 (3). Ahora se dispone de tres ecuaciones para la resolución del problema. No obstante, los
cálculos se reducen de forma considerable si se utiliza el concepto de masa reducida µ, donde
1
µ
=
1
1
m .m
+
⇒ µ = 1 2 (3).
m1 m2
m1 + m2
El problema se simplifica si se tiene en cuenta que una masa igual a la masa reducida del sistema
de dos partículas se movería circularmente con rapidez v en torno al centro de masas con un
radio d (distancia entre las masas m1 y m2) y una aceleración centrípeta ac = µ
v2
(4), de manera
d
G.m1 .m2
v2
=
µ
(5). Ahora bien, el período de giro T de la masa
d2
d
2π .d
reducida está relacionado con la rapidez v y el radio de giro d, v =
(6), sustituyendo en la
T
m1 .m2 4π 2 .d G.(m1 + m2 )2
G.m1 .m2
G.m1 .m2
4π 2 .d 2
=
=
µ
,
o
sea,
⇒
= d 3 (7)
ecuación (5)
2
2
2
2
2
m1 + m2 T
d
d.T
d
4.π
que la ecuación (2) quedará
d=
3
G (m1 + m2 ).T 2 3 G 2 .4MS .T 2
=
⇒d=
4.π 2
4.π 2
3
G 2 .M S .T 2
π2
Dr JM Ayensa 2015
6. Supongamos que tenemos la configuración mostrada en la figura. A la izquierda tenemos un
conductor rectilíneo de longitud infinita por el que circula una corriente I1. A su derecha tenemos
una espira cuadrada de lado L colocada con los dos lados paralelos al conductor y a una distancia
mínima d. Por la espira circula una corriente con intensidad I2 en el sentido de las agujas del reloj.
Explicar lo más detalladamente posible qué efecto producirá sobra cada lado de la espira la
presencia de la corriente rectilínea. (3 puntos)
Ayuda: el módulo del campo magnético producido por un conductor rectilíneo infinitamente largo
por el que circula una corriente I, a una distancia r perpendicularmente al mismo es B =
µo I
. El
2π r
sentido del campo viene determinado por la regla de la mano derecha, es decir, las líneas de
campo magnético rodean el conductor en el sentido de los dedos de la mano derecha cuando el
dedo pulgar apunta en la dirección de la corriente.
I2
I1
d
L
Respuesta
Un conductor que porta corriente y se encuentra en un campo magnético experimenta una fuerza
r
r r
r
dada por la ley de Laplace, FM = I l xB , donde I es la intensidad de la corriente, l es el vector de
longitud (con sentido el de la corriente) del conductor inmerso en el campo magnético de
r
intensidad B , que en este caso, es el campo magnético creado por la corriente rectilínea I1, o sea,
r r
r
FM = I2 l2 xB1 .
En la figura adjunta se muestra el esquema de las líneas de fuerza del campo magnético creado
por la corriente rectilínea (más separadas cuanto más lejos del conductor), las cuales son
perpendiculares al plano del papel, entrantes en la parte derecha del conductor i salientes en la
parte izquierda. También se ha representado las fuerzas sobre cada lado de la espira cuadrada,
de modo que en el conductor paralelo izquierdo la fuerza
r
Z
es atractiva (de acuerdo con el resultado de aplicar el
F2
I1
producto vectorial de la ley de Laplace) y en el conductor
⋅
⋅ ⋅ x x I2 x
r
r
paralelo derecho es repulsiva, pero de menor módulo
r
r
⋅
B1
⋅
⋅
x
r
x
B1
x
F3
(dado que B tiene menor módulo cuanto más alejado del
F1
Y
⋅
⋅
x
⋅ x x
conductor I1). Las fuerzas sobre el lado superior están
r
d
L F4
dirigidas hacia arriba y sobre el lado inferior dirigidas
hacia abajo (tendrán el mismo módulo y sentido opuesto,
porque ambos conductores tienen la misma longitud y
cada elemento de corriente en del lado superior a una distancia r del conductor rectilíneo tendrá
su simétrico en el conductor inferior también a la misma distancia r de la corriente I1). Por
consiguiente, para el sistema de referencia elegido en la figura, la fuerza neta sobre la espira es la
suma vectorial de ambas, y tendrá sentido atractivo hacia la corriente I1.
r µ
r
r r r µ I
µ I
µI
I1 r µ oI1  1
1 r
L r r
L

F = F1 + F3 = o 1 .(− j ) + o
.j =
−  j = − o 1
j ;F = − o 1
j
2π d
2π (d + L )
2π  (d + L ) d 
2π d (d + L)
2π d (d + L)
7. El oído humano percibe sonidos cuyas frecuencias están comprendidas entre 20 y 20000 Hz.
El ultrasonido es una onda acústica que está por encima del umbral de audición humano.
Sabiendo que la velocidad de propagación del sonido en el aire en condiciones normales es 330
m/s aproximadamente, determinar el rango de longitudes de onda del ultrasonido en humanos. (2
puntos)
Respuesta
Dr JM Ayensa 2015
La velocidad de propagación de cualquier onda es el cociente entre la longitud de onda λ y el
tiempo que tarda en recorrer dicha distancia, o sea, T el período, el cual es la inversa de la
frecuencia ν. Por consiguiente, v = λ.ν. Para frecuencias inferiores a 20 Hz, λ > 330/20 = 16,5 m.
Para frecuencias superiores a 20000 Hz (ultrasonidos) λ < 330/20000 = 0,0165 m.
8. Como se muestra en la figura, la fibra óptica permite que los rayos de luz que entran por el
extremo de la fibra se propaguen a grandes distancias por reflexión total, de modo que no hay
pérdida de energía. La fibra óptica consta de un material interno de índice de refracción n1,
revestido de otro material cuyo índice de refracción es n2. ¿Qué condición deben satisfacer n1 y n2
para que el dispositivo pueda funcionar como una fibra óptica? Razonar la respuesta. (2 puntos)
n2
Respuesta
Para que se produzca la reflexión total en el interior de la
n1
fibra, el rayo luminoso ha de alcanzar la superficie del medio
n2
menos refringente con un ángulo mayor que el ángulo límite.
De acuerdo con la ley de Snell n1.sen i = n2.sen r. Si r es 90º, se dice que el ángulo de incidencia
(ángulo formado por el rayo incidente con la normal a la superficie de separación de los dos
medios) es el ángulo límite. O sea, n1.sen ilim = n2.sen 90º ⇒ ilim = arc sen(n2/n1). Cualquier
ángulo de incidencia mayor que el límite, i2 > arc sen(n2/n1) hará que el rayo se refleje en la
superficie de separación. Dado que los ángulos incidente y el ángulo de reflexión son iguales,
alcanzará la cara opuesta con un ángulo superior al límite y así sucesivamente. En la figura se ha
representado los ángulos mencionados. Nótese que si el rayo procede del aire, por ejemplo, al
refractarse en el material interior, el ángulo de refracción será
n2
el complementario al ángulo con que alcanzará la cara de
r1 i2
n1
separación de los medios, es decir, i2.
n2
OPCIÓN B
5. A distancias de la superficie de la Tierra muy pequeñas comparadas con le radio terrestre se
suele considerar que la aceleración gravitatoria es constante y que tiene un valor go = GMT/RT2.
Calcular el error que se comete al aproximar la aceleración real mediante go, a una altura h de la
superficie terrestre, sabiendo que h = aRT. Expresar el error únicamente como función de a. (2,5
puntos)
Ayuda: el error se calcula como ε =
g(h) − g o
g(h)
, donde g(h) es la aceleración gravitatoria real a una
altura h.
Respuesta
El error viene dado por ε =
g(h) − g o
g(h)
A una altura h, el valor real g(h) =
= 1−
go
.(1)
g(h)
GMT
GMT
GMT
=
= 2
(2),
2
2
(RT + h) (RT + aRT ) RT (1 + a)2
GMT / RT2
= 1 − (1 + a) 2 (3)
Sustituyendo el valor de g(h) en la ecuación (1), ε = 1 −
2(
2
GMT /`[RT (1 + a) ]
Ecuación que también se puede escribir ε = (2a +a2)
6. Un electrón de carga –e y masa m se mueve en la dirección positiva del eje X con una energía
cinética To. En un momento dado penetra en una región de anchura d en la que existe un campo
Dr JM Ayensa 2015
eléctrico constante e uniforme. El electrón atraviesa esa dirección sin desviarse de su trayectoria
rectilínea inicial, pero su velocidad a la salida es la mitad de la inicial. Determinar el valor del
campo eléctrico dentro de esa región en función de los datos del problema. (3 puntos).
Respuesta
El trabajo realizado por el campo eléctrico sobre una carga que se traslada de un punto a otro de
un campo eléctrico, es Wcampo = -∆Ep = - ∆V.q, donde ∆V es la diferencia de potencial entre los
puntos que se traslada la carga q (en este caso el electrón) Wcampo = - ∆V.(-e) = Wcampo = ∆V.e. (1)
Dado solamente actúa la fuerza eléctrica, Wcampo = ∆V.e = ∆Ec = ½ mv 2 – ½ mv o2
(2)
Si la velocidad se reduce a la mitad, la energía cinética se reduce a la cuarta parte, o sea, T = To/4
∆V.e = To/4 – T = -(3/4)To ⇒ ∆V = -
3To
(3)
4.e
Por otro lado el campo eléctrico tiene la misma dirección y sentido opuesto a la velocidad del
electrón; o sea, Ex = cte. Pero la componente Ex es igual al gradiente de potencial en la dirección
X, o sea, Ex = - ∆V/∆x = cte; o sea, si los electrones se mueven el sentido positivo una distancia ∆x
= d, el campo tiene sentido negativo. En consecuencia, Ex = ∆V/d = -
3To
.
4.e.d
7. Una partícula realiza un movimiento armónico simple de amplitud 5 cm. En el instante inicial
tiene su velocidad máxima, que es 20 cm/s (sentido positivo). Obtener la ecuación completa de la
posición en función del tiempo. (2,5 puntos).
Respuesta
La ecuación de la elongación x en función del tiempo de un MAS es x = A.sen (ωt + φo) (1); donde
A= 0,05 m, ω es la frecuencia angular o pulsación y φo la fase inicial (argumento de la función seno
en el instante inicial).
dx
= A.ω.s cos(ω.t + φ o ) (2)
dt
para hallar φo se utilizan los datos correspondientes al instante inicial, o sea, vx (t=0) = Aω > 0
(valor máximo de vx), para que sea máximo, cos (φo)= 1 ⇒ φo = 0 y de la ecuación (1) xo = 0.
La ecuación (2) permite conocer la frecuencia angular, vmax = Aω; ⇒ 0,2 = 0,5.ω ⇒ ω = 4 rad/s
La velocidad es la derivada de la posición en función del tiempo, v x =
La ecuación del movimiento armónico simple es, x(t) = 0,05.sen (4 t) m, si t en s.
8. El primer estado excitado de un átomo de potasio es E1 = 1,62 eV por encima del estado
fundamental E0, el cual consideraremos de valor cero. El potasio posee también los niveles
energéticos E2 = 2,61 eV y E3 = 3,07 eV. ¿Cuál es la máxima longitud de onda de la radiación que
puede ser absorbida por el potasio en su estado fundamental? (2 puntos)
h = 4,14.10-15 eV.s; c = 3.108 m/s.
Respuesta
La frecuencia de la radiación absorbida cuando el electrón pasa de su estado fundamental a un
estado excitado, es Ei – Eo = hν (1), donde h es la constante de Planck y ν la frecuencia de la
radiación absorbida. Se pregunta cuál es la máxima longitud de onda de la radiación que puede
ser absorbida por el potasio en su estado fundamental, pero dado que la longitud de onda y la
frecuencia son inversamente proporcionales (c = λ.ν = cte) (2), la longitud de onda máxima
corresponde a la frecuencia más baja, o sea de menor energía.
La transición de más baja energía va desde el estado más bajo al primer estado excitado (1,62
eV= 1,62.1,6.10-19 = 2,59.10-19 J).
De la ecuación (1) y la (2) se obtiene Ei – Eo = hc/λ ⇒ λ = hc/( Ei – Eo)
Poniendo todas las magnitudes en el SI h = 4,14.10-15 .1,6.10-19 = 6,62.10-34J.s
λ = 6,62.10-34.3.108/(2,59.10-19) = 7,67.10-7 m