MODULO de CALCULO de ANGULOS

Código/Título de la Unidad Didáctica: CALCULOS
TRIGONOMETRICOS
Actividad nº/Título: A2. CALCULO DE ANGULOS
Introducción a la actividad Material Didáctico: Tiempo (2 hras)
1. OBJETIVO
El objetivo de esta actividad es identificar las fórmulas que permiten obtener el valor de
ángulos a partir de datos conocidos. Estos cálculos se obtendrán despejando los
ángulos de las fórmulas trigonométricas estudiados en actividades anteriores.
2. CONCEPTOS BÁSICOS. DEFINICIONES
Anteriormente, se ha estudiado que la trigonometría nos da la relación entre los lados y los
ángulos de un triángulo rectángulo.
A partir de esta definición, se puede suponer que si conocemos los lados de un triángulo
rectángulo, podremos obtener el valor de los ángulos del triángulo rectángulo, esto se
realiza del siguiente modo:
Partimos de las fórmulas trigonométricas del seno, coseno y tangente de un ángulo.
memorizar.swf
Si en el siguiente caso, en vez de tener como datos conocidos el ángulo y alguno de los
lados, lo que se conoce es el valor de dos de los lados del triángulo formado, y se pide
calcular el ángulo, se debe despejar el ángulo de las fórmulas del seno, coseno y tangente.
Al despejar los ángulos de las fórmulas del seno, coseno y tangente de un ángulo,
tendremos tres nuevos conceptos o términos que son: el arcoseno, el arcocoseno y la
arcotangente
En el siguiente ejemplo, se observa como se obtiene el arcoseno de un ángulo y cual es su
utilidad.
arcos.swf
Para estudiar los conceptos de arcoseno, arcocoseno y arcotangente, se va a tener en cuenta
que la incógnita o valor desconocido es el ángulo, debido a que estas fórmulas nos darán
información sobre el valor del ángulo desconocido.
Ejemplo en las imágenes el valor desconocido es
α
, y en función de que datos conocemos
del triángulo, se emplean fórmulas diferentes:
Arcoseno:
En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo, es el cociente entre el cateto
opuesto al ángulo y la hipotenusa del triángulo
α = arcseno(
cateto opuesto
hipotenusa
a
) = arceno( )
b
Esta expresión se utiliza cuando se debe calcular el valor de un ángulo de un triángulo
rectángulo y se conoce la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo que se quiere
calcular.
arcoseno.swf
Arcocoseno:
En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo agudo, es el cociente entre el
cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa del triángulo
α = arccos(
cateto contiguo
hipotenusa
c
) = arccos( )
b
Esta expresión se utiliza cuando se debe calcular el valor de un ángulo de un triángulo
rectángulo y se conoce la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo que se quiere
calcular.
arcococseno.swf
Arcotangente:
En un triángulo rectángulo, tangente de un ángulo agudo es el cociente entre el cateto
opuesto y el cateto contiguo
α = arctg (
cateto opuesto
a
) = arctg ( )
cateto contiguo
c
Esta expresión se utiliza cuando se debe calcular el valor de un ángulo de un triángulo
rectángulo y se conoce el valor del cateto opuesto y el cateto contiguo del ángulo a
calcular
arcotangente.swf
3. EJERCICIO
Por medio de este ejercicio, se van a identificar la aplicación de las fórmulas del arcoseno,
arcocoseno y arcotangente y se van a realizar cálculos utilizando la calculadora.
ENUNCIADO DEL EJERCICIO (CONSIDERACIONES)
Se ha visto las relaciones trigonométricas de un ángulo agudo y se ha visto como en un triángulo
rectángulo hay un ángulo de 90º y dos ángulos agudos.
Escribe las relaciones correspondientes a cada pregunta para el ángulo β de la imagen.
Pregunta1
Indica en las casillas los parámetros
correspondientes a la fórmula, a partir
de los datos de la imagen.
PREGUNTAS
Posibles respuestas
Doc. De ayuda (link)
c
β = arcsen( -----------)
b
β = arcsen( -----------)
ejercicio.swf
JUSTIFICACIÓN
En un triángulo rectángulo, el valor de un ángulo agudo se puede obtener a partir del la fórmula del arcoseno
teniendo en cuenta que: el ángulo es el valor correspondiente al arcoseno del cociente entre el cateto opuesto
al ángulo y la hipotenusa del triángulo.
En la imagen, se observa que el cateto opuesto a β
es “c” y la hipotenusa es “b” luego:
c
β = arcsen( -----------)
b
ejercicio.swf
Pregunta2
Posibles respuestas
Doc. De ayuda (link)
Indica en las casillas los parámetros
correspondientes a la fórmula, a partir
de los datos de la imagen.
a
β = arccos(-----------)
b
β = arccos(-----------)
ejercicio.swf
JUSTIFICACIÓN
En un triángulo rectángulo, el valor de un ángulo agudo se puede obtener a partir del la fórmula del arcocoseno
teniendo en cuenta que: el ángulo es el valor correspondiente al arcocoseno del cociente entre el cateto
contiguo al ángulo y la hipotenusa del triángulo.
En la imagen, se observa que el cateto contiguo a β
es “a” y la hipotenusa es “b” luego:
cos β
a
= -----------
b
ejercicio.swf
Pregunta3
Posibles respuestas
Indica en las casillas los parámetros
correspondientes a la fórmula, a partir
de los datos de la imagen.
c
β = arctang(-----------)
a
β = arctang(-----------)
ejercicio.swf
Doc. De ayuda (link)
JUSTIFICACIÓN
En un triángulo rectángulo, el valor de un ángulo agudo se puede obtener a partir del la fórmula del arcotangente
teniendo en cuenta que: el ángulo es el valor correspondiente al arcotangente del cociente entre el cateto
opuesto al ángulo y el cateto contiguo.
En la imagen, se observa que el cateto opuesto a
β es “c” y el cateto contiguo
c
es
β = arctang -----------
a
ejercicio.swf
“a” luego:
4. EJERCICIOS
Antes de realizar los ejercicios, se va a analizar una nociones sobre la verificación de
piezas con relojes comparadores, debido a que en los talleres muchas veces se debe
aplicar trigonometría a partir de la información que se obtiene de un útil de media, como en
este caso el reloj comparador.
Funcionamiento de un reloj comparador
En la siguiente animación, se puede apreciar el funcionamiento básico de un reloj comparador.
Pulsando en el botón “Play”, se aprecia como se mide la diferencia de alturas que hay en la
pieza de la imagen.
RELOJ.SWF
Verificación de una pieza sin desnivel con el reloj comparador.
Como se ha visto en el ejemplo anterior el reloj comparador da información sobre diferencia de
alturas ente dos superficies, teniendo esto en cuenta, observa la siguiente animación y fíjate si
la aguja y el palpador del reloj se mueven.
Como se observa y se explica en la
animación, el desplazamiento del palpador
es nulo al igual que el del aguja, debido a
que la medida de la superficie de la pieza
es la misma. En este caso, no tenemos
diferencia de alturas, como en el caso
anterior.
Pieza0.swf
Verificación de una pieza con desnivel con el reloj comparador
En la siguiente animación, a diferencia de la animación anterior, se observa como la aguja del reloj
comparador, al igual que el palpador, se mueven cuando el reloj recorre la superficie inclinada de la pieza.
En esta caso la aguja de la esfera del reloj da dos vueltas por lo que la diferencia de alturas entre la superficie
“a” y “b” de la pieza es de 2 mm.
Pieza_angulo2.swf
pieza1.swf
Ejercicio
Que respondan a las preguntas planteadas.
ENUNCIADO DEL EJERCICIO (CONSIDERACIONES)
En el siguiente ejemplo, se quiere conocer el valor del
ángulo de la pieza α, los datos conocidos son los
siguientes:
- Cada vuelta del reloj comparador,
corresponde a un desplazamiento del
palpador de 1 milímetro.
- Las cotas conocidas de la pieza son las
siguientes
cotas_pieza1.swf
En la siguiente animación dispones de una verificación de la pieza realizada con un reloj comparador.
Pieza_angulo2.swf
Pregunta1
A partir de los datos de la pieza y del
dato obtenido de la verificación,
Indica que fórmula se debe emplear
para obtener el valor del ángulo :
- Arcoseno
- Arcocoseno
- Arcotangente
PREGUNTAS
Posibles respuestas
- Arcoseno
- Arcocoseno
- Arcotangente
Doc. De ayuda (link)
arcoseno.swf
arcococseno.swf
arcotangente.swf
Justificación
Para responder a esta cuestión, se debe tener en cuenta:
La relación que tiene el ángulo desconocido con un triángulo rectángulo
Si nos fijamos en la pieza acotada, en la zona
correspondiente al ángulo α , podemos generar
un triángulo rectángulo. Además si nos fijamos
conocemos uno de sus catetos de valor 20.
cotas_pieza1_trinagulo.swf
Identificar los datos conocidos del triángulo rectángulo relacionado con el ángulo
Como se ha visto, se tiene un triángulo rectángulo con un cateto de valor 20.
Con el reloj comparador, podemos obtener el valor del otro cateto. Si vemos la animación, se observa como a
lo largo del desplazamiento de la zona inclinada de la pieza, la aguja del reloj da dos vueltas. Como en el
enunciado se dice que cada vuelta de aguja corresponde a un desplazamiento del palpador de 1 mm, tenemos
que el valor del cateto opuesto a α es de 2 milímetros.
cotas_pieza1_trinagulo_b.swf
Pieza_angulo2.swf
Recordar las fórmulas correspondientes al arcoseno, arcocoseno y arcotangente
Fórmula del arcoseno : arcoseno.swf
Fórmula del arcocoseno :arcococseno.swf
Fórmula del arcotangente :arcotangente.swf
Identificar cual es la fórmula que utiliza los datos que para nosotros son conocidos en nuestro
problema
Una vez identificadas las tres fórmulas anteriores, se observa que la fórmula que mejor se adapta a los datos
que conocemos para calcular el ángulo α, es la fórmula del arcotangente.
Luego la respuesta correcta es la fórmula del arcotangente.
Pregunta2
Posibles respuestas
Doc. De ayuda (link)
Calcula el valor del ángulo α a partir
de los datos del ejercicio
a) 10º
b) 5.7º
c) 30º
cotas_pieza1_trinagulo_b.swf
Justificación
Se ha visto que para calcular el ángulo la fórmula más adecuada a aplicar es la de la Fórmula del
arcotangente. Sustituyendo los valores, correspondientes a los datos conocidos de la pieza en la
fórmula, se tiene que:
α = arctg (
cateto opuesto
2
) = arctg ( ) = arctg (0.1) = 5.7º
20
cateto contiguo
arcotangente.swf
Pregunta3
Posibles respuestas
Doc. De ayuda (link)
¿Cual es el valor del ángulo que debe
inclinarse el cabezal, si se quiere
mecanizar un agujero perpendicular a
la zona inclinada de la pieza? Si
sabemos que el ángulo de inclinación
de la pieza es de 30 º.
a)
b)
c)
d)
α = 60º
α = 45º
α = 30º
α = 90º
α = ___
Observa en la animación, el giro que
da el cabezal y la relación entre los
ángulos que se forman.
pieza_angulo_taladrado_b.swf
Justificación
Como se observa en la imagen, a partir del ángulo conocido de valor 30º, se forma un triángulo
rectángulo con un ángulo de 90º y otro de 60º
En el ángulo formado, se observa que las líneas que forman el ángulo desconocido α, aparecen en
el triángulo rectángulo formado (línea granate y línea negra discontinúa)
A partir de esta relación, se observa como la línea granate forma 90º con la línea horizontal donde se
encuentra el ángulo de 60º. De aquí se deduce que:
60º + α = 90º despejando α, se obtiene que α = 90º- 60º = 30º
sol_taladrado.swf
A MEMORIZAR
Fórmula del ARCOseno
Fórmula del ARCOcoseno
Fórmula de la ARCOtangente
INFORMACIÓN EN:
Arcoseno.SWF
Arcococseno.SWF
Arcotangente.SWF