Solución

S OCIEDAD
E CUATORIANA DE
M ATEMÁTICA
ETAPA CLASIFICATORIA
"VII EDICIÓN DE LAS O LIMPIADAS DE LA S OCIEDAD
E CUATORIANA DE M ATEMÁTICA "
Soluciones - Primer Nivel Infantil
01 de abril de 2010
1. Luego de vencer a las fuerzas del mal, el Hombre Araña resultó con su máscara rota tal como aprecias en la
ilustración de abajo:
¿Cuántos espacios de tejido se desprendieron de la máscara ?
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15
Solución. La respuesta correcta es c). En efecto, a continuación se muestra la máscara antes del combate, con los trozos
de tela faltantes resaltados. Se observa que son 13.
2. ¿Cuántos signos de paréntesis de apertura y de clausura se necesitarán en total para dibujar las ovejas
gemelas que aparecen en la figura sin que la una tape a la otra?
__ _
.-.’ ‘; ‘-._ __ _
(_,
.-:’ ‘; ‘-._
,’o"(
(_,
)
(__,-’
,’o"(
)>
(
(__,-’
)
‘-’._.--._(
)
||| |||‘-’._.--._.-’
||| |||
1
a) 10
b) 8
c) 4
d) 16
e) 12
Solución. La respuesta correcta es 16, la opción d). En efecto, a continuación se muestra una sola de las ovejas, y se
observa que para dibujarla se han usado 8 símbolos:
__ _
.-:’ ‘; ‘-._
(_,
)
,’o"(
)>
(__,-’
)
(
)
‘-’._.--._.-’
||| |||
Para dibujar dos ovejas se necesita el doble; es decir, 2 × 8 = 16 símbolos.
3. En una tabla de forma rectangular, se han clavado nueve tachuelas tal como se ilustra en la siguiente figura.
Con una piola , se unieron varias tachuelas hasta formar un rectángulo, como también se muestra en la
figura.
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
Tomando en cuenta que todo cuadrado es un rectángulo, ¿cuántos rectángulos puedes obtener utilizando
una piola en esta tabla?
a) 6
b) 8
c) 9
d) 10
e) 12
Solución. La respuesta correcta es la opción d), pues se pueden obtener diez cuadrados, como se muestra a continuación:
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
6 rectángulos
3 rectángulos
1 rectángulo
4. El juguete que se ilustra a continuación tiene cuatro bolillas de colores diferentes en su interior. Si se agita
al juguete, las bolillas cambian de posición y se ubican en las esquinas y en el centro, una vez que el juguete
está quieto.
bc
bc
bc
bc
2
¿De cuántas maneras diferentes se podrían ubicar las bolillas?
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
Solución. La respuesta correcta es la opción c). En efecto, para ocupar la posición del centro, tenemos cuatro opciones
para las bolillas, una por cada bolilla. Ahora, por cada bolilla ya ubicada en el centro, quedan tres por ubicarse en las
tres esquinas, y para esto hay solo dos formas diferentes de realizarlo.
En efecto, supongamos que las cuatro bolillas son de colores diferentes: amarillo, azul, rojo y verde, respectivamente.
Supongamos, también, que la bolilla de color amarillo ha caído en el centro. En el siguiente dibujo, se observan tres
posibles ubicaciones de las bolas de color azul, rojo y verde:
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
Pero todas estas situaciones son, en realidad, la misma, pues, si cualquiera de ellas es girada en sentido horario, se
obtiene una de las otras dos.
Ahora, es posible que también suceda lo siguiente:
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
Estas tres disposiciones son, también, idénticas entre sí. Sin embargo, cualquiera de éstas es diferente de cualquiera de
las tres del primer grupo, pues al girar cualquiera del segundo grupo en sentido horario, no se obtiene ninguna de las
tres del primer grupo.
En resumen, hay únicamente dos posibilidades para las bolas de color azul, rojo y verde, una vez que la bola de
color amarillo esté ubicada en el centro; es decir, por cada bola en el centro, hay dos posibilidades para las otras tres
bolillas en los vértices. En total: 4 × 2 = 8.
5. Observa la secuencia siguiente, construida usando las letras: b, d, p y q:
p , qp , qp ,
qp ,
d
d
db db
pq qp ,
db
pq qp ,
db bd
...
¿Cuántas letras b hay en el décimo término de la secuencia?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Solución. La respuesta correcta es la opción b). En efecto, en el décimo término, hay cuatro letras b, como se observa en
la siguiente figura con los términos desde el 7 hasta el 10 de la secuencia:
pq qp
qp pq pq qp
db bd bd db
db bd
qp pq pq qp
pq qp qp pq qp pq pq qp
db bd bd db
db bd bd db
3
6. Dos circunferencias en un mismo plano son tangentes si ellas se tocan en un único punto al que se lo denomina punto de contacto. A continuación, se muestran dos ejemplos de dos pares de circunferencias tangentes:
Punto de contacto
Punto de contacto
En el siguiente gráfico, ¿cuántos pares de circunferencias tangentes puedes encontrar?
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
Solución. La respuesta correcta es la opción e), pues hay once pares de círculos tangentes, como se puede observar a
continuación:
7. Para comprar en el bar de tu escuela, has juntado varias monedas: 2 de cincuenta centavos, 7 de diez centavos, 13 de cinco centavos, 33 de un centavo. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?
a) En monedas de cinco centavos, tengo más que la mitad de los centavos que tengo en monedas de
cincuenta centavos.
b) En monedas de diez centavos, tengo menos centavos que los que tengo en monedas de cinco y de un
centavo juntas.
c) En monedas de cincuenta centavos, tengo menos centavos que los que tengo en monedas de diez y de
un centavo juntas.
d) El total de centavos que tengo es menor que el total de centavos que hay en 5 monedas de cincuenta
centavos.
4
e) En monedas de diez y de cinco centavos juntas, tengo más centavos que los que tengo en monedas de
cincuenta y de un centavo juntas.
Solución. La respuesta correcta es la opción d). En efecto, notemos que tengo 100 centavos en monedas de cincuenta;
en monedas de diez centavos, 70 centavos; en monedas de cinco centavos, tengo 13 × 5 = 65 centavos y 33 centavos en
monedas de un centavo. En total tengo 100 + 70 + 65 + 33 = 268 centavos, pero hay 250 centavos en cinco monedas de
cincuenta. Luego, como 268 > 250, la proposición de la opción d) es falsa.
8. Los tricubos son piezas que se forman al pegar tres cubos idénticos. Los únicos tricubos son los dos que se
muestran a continuación:
a) ¿Es posible armar con tricubos un cubo que contenga ocho cubos?
b) ¿Es posible armar un cubo con tricubos que contenga 27 cubos? Si tu respuesta es sí, explica al menos
dos maneras de armar ese tricubo.
Justifica tus respuestas.
Solución.
(a) No es posible armar un cubo de ocho cubos con tricubos, pues cada tricubo tiene tres cubos; luego, cualquier
objeto que se arme con un tricubo tendrá siempre un número de cubos múltiplo de tres, y 8 no es múltiplo de tres.
(b) Sí es posible. Una manera de hacerlo es utilizar 9 tricubos en forma de hilera. La otra opción es utilizar dos tricubos
en forma de L y siete tricubos en forma de hilera.
9. Según el calendario chino, cada 12 años se repite el año de un animal de doce posibles: Rata, Búfalo, Tigre,
Liebre, Dragón, Serpiente, Caballo, Oveja, Mono, Gallo, Perro y Cerdo. El año 2010 corresponde al año del Tigre.
a) ¿Cuáles son los cuatro años del Tigre anteriores a 2010?
b) ¿Cuáles son los cuatro años del Tigre posteriores a 2010?
Justifica tus respuestas.
(a) Como el año 2010 corresponde al año del Tigre y como, en el calendario Chino, el año de un animal se
repite cada 12, debemos restar 12 de 2010 para saber cuál fue el año del Tigre anterior a ese año, y luego podemos
repetir este proceso para encontrar los tres años del Tigre anteriores. Así, como
Solución.
2010 − 12 = 1998,
1998 − 12 = 1986,
1986 − 12 = 1974,
1974 − 12 = 1962,
tenemos que los cuatro años del Tigre anteriores a 2010 fueron: 1998, 1986, 1974 y 1962.
(b) En cambio, para calcular los cuatro años del Tigre posteriores a 2010, debemos sumar sucesivamente 12 años. Así,
dado que
2010 + 12 = 2022,
2022 + 12 = 2034,
2034 + 12 = 2046,
2046 + 12 = 2058,
podemos afirmar que los cuatro años del Tigre posteriores a 2010 serán: 2022, 2034, 2046 y 2058.
10. Con la hoja de color amarillo, tamaño A4, construye, mediante dobleces, un triángulo isósceles; es decir, un
triángulo que tiene dos lados iguales.
Solución. Entre otras soluciones, se puede proceder de la siguiente manera:
(a) Doblar por la mitad la hoja por el lado más largo y luego desdoblar, de modo que quede marcada la línea por
donde se realizó el doblaje.
5
(b) Unir cada uno de los vértices superiores opuestos respecto a la línea del doblaje anterior con esta línea.
(c) Doblar hacia arriba la parte de la hoja que está bajo el triángulo formado.
(d) Doblar las dos esquinas que sobresalen. Se obtiene un triángulo isósceles.
6