Tasa de descuento relevante en la economía latinoamericana

Universidad Nacional Andrés Bello
Facultad De Ciencias Económicas Y Administrativas
Escuela De Ingeniería Comercial
INFORME TESIS
TEMA
DETERMINACIÓN DE LA TASA DE DESCUENTO RELEVANTE EN LAS PRINCIPALES
ECONOMÍAS DE LATINOAMERICA.
FINES GENERALES Y MOTIVACIÓN
Debido a la globalización de los mercados que hemos estado viviendo en una forma cada vez más acelerada,
los inversionistas pueden hoy en día tener un abanico de oportunidades de inversión mucho más amplio que
en el pasado. Además los cambios tecnológicos a los que nos vemos enfrentados permiten una mayor
flexibilidad en el movimiento de fondos de un país a otro, por lo que nace la necesidad de estudiar la validez
de los modelos ya existentes y crear nuevos modelos que puedan determinar las tasas de rendimientos dentro
de este escenario rápido y fluido en el que vivimos, hecho que será primordial para poder evaluar los
rendimientos, beneficios y costos de dichas inversiones.
METAS DE LA MEMORIA
La meta principal de nuestro trabajo, es proporcionar una herramienta eficiente y objetiva que le permita a los
inversionistas internacionales determinar cual será la tasa de descuento relevante que le deberán exigir a sus
inversiones en los países de Latinoamérica, para de esta manera efectuar sus evaluaciones desde un punto de
vista más realista y eficiente.
OBJETIVOS
El objetivo de este trabajo es analizar las diferentes variables y modelos que influyen en la determinación de
la tasa de descuento relevante para los inversionistas internacionales, estudiando de manera acuciosa la
validez de cada uno de los modelos y la relevancia de cada una de las variables que intervienen en ellos, junto
con sus alcances y limitaciones de los modelos que se aplican hoy en día analizando el marco teórico general,
para luego estudiar en forma practica como los inversionistas internacionales evalúan las tasas de descuento
relevantes en cada país.
METODOLOGÍA DE TRABAJO
En el presente trabajo se pretende abordar tres áreas de estudio las cuales son:
MARCO TEÓRICO
En esta etapa de estudio el objetivo es recopilar y analizar toda la información teórica existente referente a los
modelos más usados para determinar la tasa de descuento relevante para los inversionistas. Los temas a
desarrollar en el marco teórico serán:
• Análisis de los modelos.
1
• Alcances y limitaciones de los modelos.
• Análisis de las variables relevantes.
• Aplicaciones practicas.
• Análisis de las principales economías de Latinoamérica.
ANÁLISIS PRACTICO
En esta etapa de estudio lo que se pretende es comparar los modelos teóricos expuestos con anterioridad con
la metodología que ocupan los inversionistas en su evaluación, concretamente se estudiará como evalúan los
inversionistas internacionales la tasa de descuento relevante con relación a la teoría. Los temas a desarrollar
en esta etapa son:
• Como ocupan los inversionistas internacionales los diferentes modelos para la determinación de la
tasa de descuento relevante.
• Como los inversionistas internacionales adaptan las diferentes variables que se ocupan en los modelos
para que estas tengan significación en su análisis.
• Ejemplos prácticos en la determinación de la tasa de descuento relevante en las principales economía
de Latinoamérica.
• Principales diferencias en la determinación de la tasa de descuento relevante en las economías más
importantes de Latinoamérica.
CONCLUSIONES
En esta etapa de estudio se pretende determinar si los modelos teóricos son generalmente aceptados en la
realidad y cuales son las variaciones pertinentes que son necesarias a estos mismos para poder tener un
análisis real y confiable en la determinación de la tasa de descuento relevante. Los temas que se desarrollarán
en esta etapa son:
• Importancia de la determinación de la tasa de descuento relevante en los negocios internacionales.
• Alcances y limitaciones de los modelos ocupados en las economías más influyentes de Latinoamérica.
• Estandarización de los modelos y su aplicación.
• Ejemplos objetivos con especificaciones claras en el análisis y conclusiones de la evaluación.
TIEMPOS ESTIMADOS EN EL DESARROLLO DEL TRABAJO
TEMA
Marco teórico
Análisis practico
Conclusiones
SEP
OCT
NOV
DIC
CAPM
El CAPM (modelo de valoración de activos de capital) fue desarrollado casi simultáneamente por Sharpe
(1963−1964) y Treynor (1961), mientras que Mossin (1966), Litner (1965−1969) y Black (1972) lo
desarrollaron más ampliamente.
El CAPM intenta demostrar que las tasas de retorno de todos los activos riesgosos son una función de sus
covarianzas con el portafolio de mercado.
SUPUESTOS
2
Para poder desarrollar el modelo de valoración de activos de capital (CAPM) se trabajo sobre la base de un
mundo hipotético, donde se deben considerar los siguientes supuesto sobre los inversionistas y sobre el
conjunto de oportunidades para que el modelo tenga validez.
• Los inversionistas son individuos aversos al riesgo, los cuales maximizan la utilidad esperada de su
riqueza al final del período en estudio.
• Los inversionistas se informan del precio y tienen expectativas homogéneas acerca de los retornos de
los activos, los cuales están asociados a una distribución normal.
• Existe en el mercado un activo libre de riesgo, tal que los inversionistas pueden pedir prestado o
prestar montos ilimitados a la tasa libre de riesgo.
• Las cantidades de activos en el mercado están fijas y se asume que todos los activos son comerciables
y perfectamente divisibles.
• En los mercados de activos no existen impuestos, no existen costos de transacción, la información es
sin costos y asequible a todos los inversionistas en forma simultánea.
• No existen imperfecciones de mercado tales como regulaciones o limitaciones sobre las ventas cortas.
En la realidad la mayoría de estos supuestos ha sido cuestionado, ya que no se ajustan al mundo real, por
ejemplo el hecho de que los mercados sean sin fricción implica que la tasa de pedir prestado sea igual a la tasa
de prestar. Otro ejemplo de esto mismo es que si todos los activos son divisibles y comerciables se asume que
se puede dividir y vender el capital humano, o sea, que en este modelo se pueden transar las habilidades
humanas, las cuales se cotizan a precio de mercado. Otra implicancia importante de los supuestos es que en
este modelo los inversionistas no pueden ser engañados dado a que tienen creencias homogéneas y además
tienen la misma información al mismo tiempo. Por ultimo ya que se supone que todos los inversionistas
maximizan su riqueza al final del periodo se supone implícitamente que este es un modelo de un solo periodo,
cuando sabemos que en la realidad existen períodos continuados uno detrás de otro.
Si bien es cierto que sabemos que estos supuestos no se ajustan a la realidad, nos permiten hacer una
simplificación de esta misma con el objetivo de desarrollar este modelo que nos permite en definitiva tomar
decisiones financieras cuantificando y valorando el riesgo de una manera objetiva.
LA EFICIENCIA DEL PORTAFOLIO DE MERCADO
Para desarrollar el modelo de valoración de activos de capital, es necesario que en equilibrio el portafolio de
mercado sea un portafolio eficiente, con esto nos referimos a que este debe estar ubicado sobre la mitad
superior del conjunto de oportunidades de mínima varianza, situación que se muestra en el gráfico Nº1.
E(Rp)
Selección de un
portafolio eficiente
Conjunto de oportunidades de mínima varianza.
ö (Rp)
Donde :
• E(Rp): Esperanza de los retornos del portafolio.
• Ö(Rp): Varianza entre los portafolios eficientes y el conjunto de oportunidades de mínima varianza.
Luego una manera de establecer la eficiencia del mercado, es argumentar que mientras los inversionistas
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tienen expectativas homogéneas, estos percibirán el mismo conjunto de oportunidades de inversión de mínima
varianza, aún si no incluimos en nuestro análisis el activo libre de riesgo, ya que todos ellos seleccionarán
portafolios eficientes independientemente de sus tolerancias individuales al riesgo. Además ya que todos los
inversionistas tienen proporciones positivas de su riqueza en los portafolios eficientes en que han invertido,
entonces por conclusión el portafolio de mercado debe necesariamente también ser eficiente, ya que este es
simplemente la suma de las tendencias de todos los individuos y vemos que las todas las tendencias
individuales de estos mismos son eficientes.
Así en teoría, podemos apreciar que cuando todos los individuos tienen expectativas homogéneas, el
portafolio de mercado debe ser eficiente.
Por otro lado en el caso en que no existieran expectativas homogéneas, el portafolio de mercado no
necesariamente debe ser eficiente.
DERIVACIÓN DEL CAPM
Sabemos que para que exista equilibrio de mercado, los precios de todos los activos deben ajustarse hasta que
todo sea tenido por los inversionistas, por lo tanto no puede haber exceso de demanda, en otras palabras los
precios de los activos deben ajustarse hasta el punto que la oferta de todos los activos iguale a la demanda por
tenerlos. Consecuentemente, en equilibrio el portafolio de mercado consistirá en todos los activos
comercializables tenidos por los inversionistas en proporción de sus ponderaciones de valor.
Ahora introduciendo en nuestro modelo el activo libre de riesgo, podemos establecer el conjunto de
oportunidades de inversión provisto por las combinaciones del activo riesgoso 1, el portafolio de mercado y el
activo libre de riesgo, situación que se muestra en el gráfico Nº2.
Gráfico Nº2
E(Rp)
Línea de mercado de capitales.
M Combinaciones del activo riesgoso.
E(Rm)
Rf
ö (Rm) ö(Rp)
Donde:
• E(Rp): Esperanza de los retornos del portafolio.
• E(Rm): Esperanza de los retornos de mercado.
• Rf: Retorno del activo libre de riesgo.
• ö(Rm): Covarianza entre el activo riesgoso y el portafolio de mercado.
• Ö(Rp): Covarianza entre todos los activos riesgosos y el portafolio de mercado.
• M : Portafolio de mercado.
Luego la proporción de equilibrio de cada activo en el portafolio de mercado debe ser:
Wj = VMAI/VMTA
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Donde:
• Wj: Proporción de equilibrio de cada activo en el portafolio de mercado.
• VMAI: Valor de mercado del activo individual.
• VMTA: Valor de mercado de todos los activos.
Entonces si tenemos un portafolio que consiste en invertir en un a% en un activo riesgoso y en un (1−a)% en
el portafolio de mercado, tendrá las siguientes media y desviación estándar.
E(Rp) = a E(Ri) + (1−a) E(Rm)
2 2 2 2 2 1/2
ö(Rp) = (a ö + (1− a) ö + 2ª (1−a) ö )
i m im
Siendo:
2
• ö : Varianza del activo riesgoso I.
i
2
• ö : Varianza del portafolio de mercado.
M
• ö : Covarianza entre el activo I y el portafolio de mercado.
im
Veremos que es importante señalar que el portafolio ya contiene el activo I, tenido de acuerdo a su valor de
mercado relativo o ponderado.
Luego el conjunto de oportunidades ofrece varias combinaciones de activos riesgosos. El cambio en la media
y la desviación estándar con respecto al porcentaje a, del portafolio invertido en el activo I está determinado
de la siguiente forma:
& E(Rp) = E(Ri) − E(Rm)
&a
2 2 2 2 −1/2 2 2 2
& ö (Rp) = ½ [ a ö + (1−a) ö + 2 a (1−a) Ö ] x [2aö − 2ö + 2 aö + 2ö − 4 aö ]
i m im i m m im im
5
&a
El discernimiento de los creadores del modelo, el cual les permitió determinar el precio de equilibrio en el
mercado para el riesgo, fue que en equilibrio, el portafolio de mercado ya tiene el factor de ponderación Wj,
que es el porcentaje invertido en el activo riesgoso I, por lo tanto el porcentaje a en dichas ecuaciones es el
exceso de demanda para un activo riesgoso en particular, pero según los supuestos que se establecieron para la
construcción del modelo, nosotros sabemos que no puede existir un exceso de demanda para ningún activo del
mercado, por lo tanto este exceso de demanda que se muestra en la ecuación debe necesariamente ser cero,
situación en la cual los precios se ajustarán hasta que todos los activos sean tenidos.
Por lo tanto si las ecuaciones anteriormente señaladas son evaluadas cuando el exceso de demanda a es cero,
entonces será posible determinar las relaciones del precio de equilibrio en el punto M del gráfico Nº2. Esto
proveerá el precio de equilibrio del riesgo.
Evaluando las ecuaciones anteriores con el exceso de demanda igual a cero, obtenemos:
& E(RP) = E(Ri) − E(Rm)
&aa=0
2
& ö R(p) = öim − öm
&a a = 0 öm
La pendiente de la relación de intercambio riesgo retorno evaluado en el punto M en el equilibrio del mercado
es:
& E(Rp) / & a = E(Rp) − E(Rm)
2
& ö (Rp) / & a ( öim − öm ) / öM
Por lo tanto el discernimiento final, estará en darse cuenta que la pendiente del conjunto de oportunidades de
inversión, provista por la relación entre el activo riesgoso y el portafolio de mercado en el punto M debe ser
exactamente igual a la pendiente de la línea de mercado de capitales, junto con esto, sabemos además que la
línea de mercado de capitales es también una relación de equilibrio. Luego, dada la eficiencia del mercado, la
tangencia del portafolio M, debe ser el portafolio de mercado donde todos los activos son tenidos de acuerdo
con los valores relativos de mercado.
Si sabemos que la pendiente de la línea de mercado de capitales es:
Pendiente LMC = E (Rm) − Rf
Öm
y la Igualamos con la pendiente del conjunto de oportunidades de inversión en el punto M, tenemos:
E (Rm) − Rf = E(Ri) − E(Rm)
6
2
Öm (öim − ö m) / öm
Reordenando esta ecuación y despejando E(Ri) tenemos:
2
E(Ri) = Rf + [ E(Rm) − Rf ] öim/ öm
Ecuación que es conocida como el modelo de valoración de activos de capital. La tasa de retorno requerida
sobre cualquier activo E(Ri) en la ecuación anterior, es igual a la tasa libre de riesgo Rf más un premio por
riesgo. El premio por riesgo es igual al precio del riesgo multiplicado por la cantidad de riesgo, y en la
terminología del CAPM el precio del riesgo es la pendiente de la línea, que a su vez se presenta como la
diferencia entre la tasa de retorno esperada del portafolio de mercado E(Rm) y la tasa de retorno libre de
riesgo Rf.
La Cantidad de riesgo es llamada beta (Bj) y se expresa como sigue:
Bj = öim = Cov (RI; Rm)
2
öm V(Rm)
Por lo tanto beta es la covarianza entre los retornos sobre un activo riesgoso I y los retornos sobre el portafolio
de mercado, M, dividido por la varianza de los retornos del portafolio de mercado.
De esto podemos desprender que el activo libre de riesgo tiene un beta igual a cero ya que su covarianza con
el portafolio de mercado es también igual a cero, y consecuentemente podemos desprender que la covarianza
del portafolio de mercado consigo misma es idéntica a la varianza del portafolio de mercado, por lo tanto el
beta del portafolio de mercado será igual a 1.
GRÁFICO Nº3 ( Modelo de valoración de activos de capital)
E(Ri)
E(Rm) Línea de mercado de valores.
Rf
Bm=1 Bi
Donde:
• E(Ri): Esperanza de los retornos del inversionista.
• E(Rm): Esperanza de los retornos del mercado.
• Rf: Retorno del activo libre de riego.
• Bm: Beta de mercado.
• Bi: Beta del inversionista.
PROPIEDADES DEL CAPM
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El modelo de valoración de activos de capital contiene varias propiedades que son importantes de analizar.
Primero, en equilibrio cada activo debe ser valorado de tal manera que su tasa de retorno requerida caiga
exactamente sobre la línea del gráfico Nº3 (línea de mercado de valores). El significado de esta propiedad es
que los activos que no se encuentren en el conjunto eficiente de varianza media, se ubicarán exactamente
sobre la línea de mercado de valores expresada en el gráfico Nº3. Esto se cumple ya que no toda la varianza
del retorno de un activo en particular conviene a inversionistas aversos al riesgo, esto se basa, en que los
inversionistas pueden siempre diversificar todo el riesgo a excepción del riesgo provocado por la covarianza
de un activo con su portafolio de mercado, es decir, los inversionistas pueden diversificar todo su riesgo
invirtiendo en activos que estén inversamente correlacionados, pero por más que lo deseen nunca podrán
diversificar el riesgo de la economía como un todo, la cual es no diversificable, consecuentemente con este
análisis, el único riesgo por el cual los inversionistas estarán dispuestos a pagar un premio por evitar, es el
riesgo de la covarianza.
Luego de este análisis, podemos dividir el riesgo total de cualquier activo en particular en dos partes:
• Riesgo sistemático: Es una medida de cómo el activo covaría con la economía, por lo tanto es el
riesgo no diversificable al cual los inversionistas estarán dispuestos a pagar un premio por evitar.
• Riesgo no sistemático: El cual es independiente de la economía y por tanto diversificable.
De estas dos definiciones de riesgo podemos desprender que:
Riesgo total = Riesgo sistemático + Riesgo no sistemático.
Esta ecuación matemática puede ser agregada al notar que empíricamente el retorno de cualquier activo es una
función lineal del retorno de mercado más un termino de margen de error, el cual es independiente del
mercado.
Sabemos que si los inversionistas son aversos al riesgo, existe una razón de cambio positiva entre riesgo y
retorno, pero cuando los inversionistas tratan de usar la desviación estándar como una medida de riesgo para
un activo en particular, se ven forzados a hacer la equivoca e inapropiada observación de que el activo con
mayor riesgo tiene un retorno menor, esto se produce debido a que se esta usando una medida errónea de
riesgo ya que uno no se puede comparar la varianza del retorno de un activo en particular con la varianza de
un portafolio bien diversificado, por que la varianza del portafolio será casi siempre más pequeña.
Por lo tanto si el riesgo sistemático es el único riesgo por el cual los inversionistas estarán dispuestos a pagar
un premio por evitar y si la tasa de retorno requerida para todo activo en equilibrio debe caer exactamente
sobre la línea de mercado de valores del gráfico Nº3, podemos concluir que la medida apropiada de riesgo
para un activo en particular es beta, o sea, su covarianza con el mercado dividida por la varianza del mercado.
Este riesgo es no diversificable y linealmente relacionado con la tasa de retorno del inversionista requerida en
equilibrio.
La segunda propiedad importante del CAPM es señalar que la medida de riesgo para activos individuales es
linealmente aditiva cuando los activos se combinan en un portafolio, esto se refiere a que al tener un
inversionista un a% de su riqueza en un activo determinado x con riesgo sistemático Bx, y un b% de su
riqueza en otro activo determinado y con un riesgo sistemático asociado By, entonces el Beta del portafolio
resultante Bp, es simplemente el promedio ponderado de los betas de los valores individuales, o sea que el
riesgo sistemático de un portafolio en particular es simplemente la suma de los riesgos sistemáticos de cada
activo en forma individual que compone dicho portafolio, lo cual se expresa en la siguiente igualdad:
Bp = a Bx + b By.
Es importante reiterar en este análisis la relación que existe entre el riesgo del activo individual y el riesgo del
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portafolio, ya que la correcta definición del riesgo de un activo individual, es su contribución al riesgo del
portafolio, ya que la varianza de los retornos de un portafolio es:
2
V(Rp) = ö (Rp) = suma desde i a n de Wi cov(Ri;Rp)
Pero uno puede interpretar Wi cov(Ri;Rp) como el riesgo de un activo i en el portafolio p. Sin embargo,
marginalmente, el cambio en la contribución del activo i al riesgo del portafolio es simplemente:
Cov(Ri;Rp)
Por lo tanto el riesgo de covarianza es la apropiada definición de riesgo, puesto que esta mide el cambio en el
riesgo del portafolio como un cambio en el valor relativo de un activo en particular en el portafolio, hecho que
ya ha sido mencionado con anterioridad, pero que es importante recalcar.
Aunque hemos definido en el presente trabajo riesgo sistemático este es engañoso, ya que se fía en la no
existencia de costos en las oportunidades de diversificación y en la existencia de un gran portafolio de
mercado, situación que sabemos que en la realidad no ocurre, en cambio la definición de riesgo de covarianza
no. Esto sigue siendo relevante aún cuando el portafolio de mercado en cuestión tenga pocos activos.
USO DEL CAPM PARA VALORACIÓN
(MODELOS DE UN SOLO PERÍODO, INCERTIDUMBRE)
El CAPM es una herramienta extremadamente útil para la valoración de activos riesgosos, porque provee de
una medida cuantificable de riesgo para los activos individuales. Por el momento suponemos que se trata de
un solo período de tiempo (este supuesto se realizo en la derivación del CAPM). Deseamos valorar un activo
que tiene un pago riesgoso al final del período, en donde llamaremos P*e a este pago, este podría representar
la ganancia de capital de una acción común o la ganancia de capital más un dividendo, si el activo riesgoso es
un bono, este pago se podría definir como la amortización de capital más el pago de intereses, por lo tanto el
retorno esperado sobre una inversión en un activo riesgoso estará determinado por el precio que estamos
dispuestos a pagar al comienzo del período por el derecho al pago riesgoso al final del período. Si Po es el
precio que pagamos hoy, nuestro retorno riesgoso Rj se expresa como sigue:
Rj = Pe − Po
Po
El CAPM puede ser usado para determinar cual podría ser el valor corriente del activo, esto es:
E(Rj) = Rf + [E(Rm) − Rf] x cov(Rj;Rm)
V(Rm)
Que puede ser reescrito como:
E(Rj) = Rf + Ç cov(Rj;Rm)
Donde
Ç = E(Rm) − Rf
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V(Rm)
Nótese en este caso que Ç puede ser descrito como el precio de mercado por unidad de riesgo. De la ecuación
donde se define Rj y de las propiedades de la media, podemos igualar a este con su retorno esperado, lo que se
muestra a continuación:
E(Pe) − Po = Rf + Ç cov(Rj;Rm)
Po
De esto ultimo podemos interpretar a Po como el precio de equilibrio del activo riesgoso, por lo que sí
despejamos Po obtenemos:
Po = E(Pe)
1 + Rf + Çcov(Rj;Rm)
Que también se puede expresar como:
Po = E(Pe)
1 + CAPM
Ecuación que normalmente es citada como la formula de valoración de la tasa de retorno ajustada por riesgo,
en donde el numerador es el precio esperado al final del período para el activo riesgoso y el denominador
puede ser considerado como la tasa de descuento. De esta misma ecuación podemos desprender que si el
activo no tiene riesgo, entonces su covarianza con el mercado será cero y por lo tanto la tasa de descuento
apropiada para dicho activo será (1 + Rf), o sea, la tasa de descuento apropiada será de 1 más la tasa libre de
riesgo. Ahora para los activos con riesgo sistemáticos positivos, el premio por riesgo Çcov(Rj;Rm), esta
sumado a la tasa libre de riesgo, por lo que la tasa de descuento incorpora el riesgo sistemático y se ajusta a
este mismo.
Es importante darse cuenta en este caso, que el modelo esta expresado para un solo período determinado y que
el valor del activo no depende de las preferencias de los individuos. Todo lo que se necesita conocer para
determinar el valor de un activo específico, es el pago de caja esperado al final del período, la cantidad de
riesgo provista por el activo, la tasa libre de riesgo y el precio del riesgo, variables que como sabemos son
determinadas por el mercado.
En consecuencia, los individuos que perciben la misma distribución de pagos para un activo riesgoso, lo
valorarán de la misma manera, esto independientemente de sus funciones de utilidad individuales. La
separación entre la valoración y las actitudes hacia el riesgo es una consecuencia de la separación de los
fondos.
APLICACIONES DEL CAPM A POLÍTICAS DE EMPRESAS
El costo de capital propio para una determinada compañía es dado directamente por el CAPM, después de
todo el beta de la compañía es medido al calcular la covarianza entre el retorno de una acción común y el
índice de mercado, o sea, el beta mide el riesgo sistemático de las acciones comunes y el índice de mercado,
luego si conocemos el riesgo sistemático, podemos usar el CAPM para determinar la tasa de retorno requerida
sobre el capital propio. Lo cual se muestra a continuación:
E(Rj) = Rf + Bj[E(Rm) − Rf]
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Entonces si es posible determinar el riesgo sistemático del patrimonio de una compañía tan bien como la tasa
de retorno del mercado, entonces E(Rj) es la tasa de retorno requerida sobre el patrimonio, es decir el costo de
capital propio para la firma. En donde si designamos el costo de capital propio como Ke tenemos:
E(Rj) = Ke
Gráficamente: Gráfico Nº4
E(R)
E(Rk) LMV
Rk
K
Ke=E(Rj)
Rl L
E(Rl)
Rf
B
Bl Bj Bk
En la medida que los proyectos que son evaluados tienen el mismo riesgo que la compañía, entonces Ke
puede ser interpretado como la tasa de retorno mínima requerida sobre los nuevos proyectos. Entonces cabe
preguntarse, ¿qué pasa con los proyectos que tienen asociados un riesgo diferente al de la compañía como un
todo?, En ese caso lo que se necesita estimar es el riesgo sistemático del proyecto y usar el CAPM para
determinar la apropiada tasa de retorno requerida, como vemos en el gráfico Nº4 la tasa de retorno esperada
del proyecto K es más alta que el costo de patrimonio para la firma, pero el riesgo del proyecto es a su vez
más alto que el riesgo de la firma como un todo. Si los administradores de la firma exigieran que este proyecto
ganase la misma tasa que la firma, entonces el proyecto sería aceptado ya que su tasa de retorno anticipada es
mayor que el costo del capital propio de la firma, sin embargo este hecho sería un gran error, ya que el
mercado requiere una tasa de retorno E(Rk) para un proyecto de riesgo sistemático dado Bk, pero el proyecto
ganará menos, por lo tanto el proyecto es claramente inaceptable. Por otro lado vemos que ocurre todo lo
contrario con el proyecto L ya que la tasa de retorno esperada asociada a dicho proyecto es más baja que el
costo de patrimonio para la firma, pero el riesgo del proyecto es a su vez más bajo que el riesgo de la firma
como un todo, por lo tanto siguiendo el mismo criterio este proyecto se debería aceptar.
Como vimos el CAPM permite a los diferentes agentes tomadores de decisiones estimar la tasa de retorno
requerida para proyectos de diferente riesgo, para de esta manera compararla con el costo de capital de la
compañía y así tomar una adecuada decisión de inversión.
LEVANTAMIENTO DE SUPUESTOS
Como pudimos apreciar en la construcción del CAPM, este se realizo sustentado en una serie de supuestos
que crearon un mundo hipotético en el cual el modelo se desarrolla, pero todos sabemos que en la realidad
muchos de estos supuestos no se cumplen, por lo que nos interesará saber como se comporta el modelo una
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vez que se levanta la existencia de dichos supuestos y se inserta el modelo en la realidad.
EXISTENCIA DE ACTIVOS NO RIESGOSOS
Como vemos en la realidad, los inversionistas no pueden prestar y pedir prestado cantidades ilimitadas de
dinero a la tasa libre de riesgo, o como muchas veces también ocurre, no existe en el mercado un activo que
sea libre de riesgo. Entonces nos interesará saber como se comporta el modelo en la realidad bajo la ausencia
de dicho supuesto.
Afortunadamente este problema fue resuelto por Black (1972) en donde gráficamente muestra lo siguiente:
Gráfico Nº5
E(Rp)
LMV sin tasa libre de riesgo.
E(Rm) M
E(Rz) B A
Öm Ö(Rp)
Su argumento, se basa en que el portafolio M mostrado en el gráfico Nº5 es identificado por los inversionistas
como el portafolio de mercado que esta en el set eficiente, suponiendo que se puede identificar todos los
portafolios que no están correlacionados con el portafolio de mercado verdadero. Esto significa que sus
retornos tienen covarianza cero con el portafolio de mercado y tienen el mismo riesgo sistemático, por lo que
cada uno tiene el mismo riesgo sistemático y por ende cada uno debe tener el mismo retorno esperado. Como
se muestra en el gráfico Nº5 los portafolios A y B están ambos no correlacionados con el portafolio de
mercado y tienen el mismo retorno esperado E(Rz), sin embargo podemos ver que sólo uno de ellos, el
portafolio B, esta sobre el set de oportunidades, este es el portafolio de mínima varianza y es único, el
portafolio A, también tiene un beta cero, pero tiene una mayor varianza y por lo tanto no está sobre el set de
oportunidades de mínima varianza.
Luego podemos derivar la pendiente de la línea de mercado de capitales sin tasa libre de riesgo, al formar un
portafolio con un a% en el portafolio de mercado y un (1−a)% en el portafolio de mínima varianza y beta
cero. La media y desviación estándar de tal portafolio, pueden ser escritas como sigue:
E(Rp) = aE(Rm) + (1−a)E(Rz)
2 2 2 2 1/2
Ö(Rp) = [a Öm + (1−a)Öz + 2a(1−a)rzmÖzÖm]
Pero ya que la correlación, rzm, entre el portafolio de beta cero y el portafolio de mercado es cero, el último
término desaparece.
La pendiente de una línea tangente al set eficiente en el punto M, donde el 100% de la riqueza del
inversionista está invertida en el portafolio de mercado, puede ser encontrada al sacar las derivadas parciales
de dichas ecuaciones y evaluándolas en a = 1. Expresiones que se muestran a continuación:
&E(Rp) = E(Rm) − E(Rz)
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&a
2 2 2 2 −1/2 2 2 2
&Ö(Rp) = ½ [a Öm + (1−a)Öz] x [2aÖm − 2Öz + 2aÖz]
&a
Sacando el cuociente entre ambas derivadas parciales y evaluando donde a = 1, obtenemos la pendiente de la
línea E(Rz)M :
&E(Rp)/&a = E(Rm) − E(Rz)
&Ö(Rp)/&a Öm
Además, ya que la línea debe pasar por el punto (E(Rm),Ö(Rm)), la intersección de la línea tangente debe ser
E(Rz), por lo tanto la ecuación de la línea debe ser:
E(Rp) = E(Rz) + E(Rm) − E(Rz) x Öp
Öm
Esta ecuación, es exactamente la misma que la de la línea de mercado de capitales, con la diferencia que la
tasa de retorno esperada sobre el portafolio E(Rz) ha reemplazado a la tasa libre de riesgo.
Dado el resultado anterior, no es difícil probar que la tasa esperada de retorno sobre cualquier activo riesgoso,
sea que esté o no sobre el set eficiente, debe ser una combinación lineal de la tasa de retorno sobre el
portafolio de beta cero y el portafolio de mercado. Para demostrar esto, recordemos que en equilibrio, la
pendiente de una línea tangente a un portafolio compuesto del portafolio de mercado y cualquier otro activo,
hasta el momento representado por el portafolio de mercado, debe ser igual a:
&E(Rp)/&a = E(Ri) − E(Rm)
2
&Öm a=0 (Öim − Öm)/Öm
Despejando la tasa requerida de retorno sobre el activo i tenemos:
E(Ri) = (1 − Bi)E(Rz) + BiE(Rm)
Donde se muestra que la tasa esperada de retorno sobre cualquier activo puede ser escrita como una
combinación lineal de la tasa de retorno esperada de dos activos, el portafolio de mercado y el portafolio de
beta cero, único de mínima varianza, luego si reordenamos esta ecuación vemos que es exactamente igual al
CAPM, a diferencia de que la tasa esperada de retorno sobre el portafolio de beta cero ha reemplazado la tasa
de retorno sobre el activo libre de riesgo.
E(Ri) = E(Rz) + (E(Rm) − E(Rz)) Bi
El resultado final de esta prueba es que las conclusiones más importantes del CAPM no requieren la
existencia de un activo libre de riesgo, ya que el beta aún es la medida apropiada del riesgo sistemático para
un activo y la linealidad del modelo aún se mantiene.
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El modelo mostrado anteriormente en donde no existe un activo libre de riesgo, es conocido normalmente
como el modelo de dos factores, y su limitación más importante es que este se basa en que no existen
impedimentos a las ventas cortas, o sea, los inversionistas están capacitados para vender acciones que ya no
poseen, entonces usan los créditos para comprar otras acciones. Empíricamente, casi todos los retornos de
activos tienen correlaciones positivas, esto hace virtualmente imposible construir un portafolio de beta cero
compuesto sólo de posiciones largas en activos. Por lo tanto el uso irrestricto de las ventas cortas es una
necesidad práctica para obtener portafolios de beta cero. Con posiciones cortas la correlación entre los
retornos de un activo se revierte. Entonces podemos concluir que para obtener el CAPM en una forma lineal
necesitamos la existencia de un activo libre de riesgo o que no existan restricciones a las ventas cortas.
RETORNOS NO CONTENIDOS EN UNA NORMAL
Obviamente, los retornos de los activos no pueden estar distribuidos normalmente debido principalmente a
que el mayor retorno negativo posible, dad la responsabilidad limitada del inversionista es menos 100%,
desafortunadamente, el supuesto de que los retornos se distribuyen normalmente conlleva a que hay una
posibilidad finita que los retornos sean menores que menos 100% y que los precios de los activos sean
negativos. Sin embargo la posibilidad de observar retornos tan bajos como menos 100% puede ser tan
pequeña, que no produzca efecto alguno sobre la validez empírica del CAPM.
Otra implicación del supuesto es que son necesarios sólo dos parámetros para describir completamente la
distribución; su media y su varianza, sin embargo FAMA (1965) ha investigado la distribución empírica de
los retornos de los valores de la Bolsa De Comercio De Nueva York y descubrió en su investigación que los
retornos están distribuidos simétricamente, pero que la distribución empírica tiene colas gordas y varianza no
finita. Esto se muestra gráficamente a continuación:
Gráfico Nº6
F(R)
Cola larga.(distribución empírica de los
Precios de las acciones)
Retorno
Entonces la pregunta que surge es ¿ como pueden los inversionistas hacer elecciones basadas en la media y la
varianza, si la distribución real de los precios de los valores es tal que no existe una varianza?.
Fama en su investigación demostró que en la medida que la distribución es simétrica y estable, los
inversionistas pueden usar otras medida de dispersión aparte de la varianza y la teoría de la elección del
portafolio es aún válida.
Otro punto importante de señalar, es que si los retornos de los activos están medidos sobre períodos largos de
tiempo, su distribución se acerca más a una distribución de tipo lognormal que tiene sesgo positivo, en la cual
no hay limite para los retornos positivos que podrían obtenerse sobre una inversión exitosa, pero el máximo
retorno negativo es menos 100%. Gráficamente esto se muestra a continuación.
Gráfico Nº7
F(R)
lognormal
14
normal
Retorno
El CAPM no hace provisiones por la preferencia acerca de sesgo, es por lo tanto una cuestión empírica el que
el modelo calce o no lo suficientemente bien con la realidad para permitirnos ignorar el hecho de que la
distribución empírica de los retornos no se distribuye normalmente.
EXISTENCIA DE ACTIVOS NO COMERCIABLES
En la realidad, nosotros sabemos que existe una gran variedad de activos que no son comerciables, ya sea por
que existen regulaciones que no lo permiten o por sus altísimos costos de transacción, el ejemplo más claro de
esto es el capital humano por lo que los inversionistas pueden arrendar sus habilidades a cambio de un salario,
pero estos no pueden comprarlas. Debido a que una persona no puede separar totalmente sus habilidades y
vendérselas a diferentes inversionistas, esta estará obligada a tomar sus decisiones de portafolio donde estará
obligada a tener un gran componente de riesgo de su salud en la forma de su propio capital humano. Por lo
tanto la pregunta fundamental que salta a la vista es ¿ que impacto tiene esto sobre las decisiones del
portafolio y el CAPM?.
Todo inversionista, independientemente de la forma de su curva de indiferencia, tendrá el activo libre de
riesgo o el portafolio de mercado, lógicamente la evidencia empírica nos dice que esto no es lo que realmente
sucede en la realidad, ya que los inversionistas tienen diferentes portafolios de activos riesgosos. Hay muchas
razones por lo que esto podría ser verdadero y la existencia de activos no comerciables es una buena
posibilidad.
Meyers (1972) demuestra que cuando los inversionistas están limitados a tener activos no comerciables, que
tienen tasas de retorno riesgosas Rh, el CAPM toma la siguiente forma:
E(Rj) = Rf + ð[(VmCov(Rj;Rm) + Cov(Rj;Rh)]
En donde ð = E(rm) x Rf
2
Vm x Öm + Cov(Rm;Rh)
Vm : Valor corriente de mercado de todos los activos comerciables.
Rh: El retorno total sobre todos los activos no comerciables.
En esta versión del modelo, ð puede ser interpretado como el precio de mercado por unidad de riesgo, donde
el riesgo contiene a la varianza de mercado y a la covarianza entre la tasa de retorno sobre los activos
comerciables y el retorno agregado sobre los activos no comerciables. Este resultado se obtiene derivando las
curvas de demanda por activos comerciables de un individuo, luego estas se agregan para obtener la ecuación
señalada anteriormente, la que representa el retorno requerido en equilibrio de mercado sobre un activo
comerciable. Del levantamiento de este supuesto se desprenden tres implicaciones o consecuencias
importantes:
• Los individuos mantendrán portafolios diferentes de activos riesgos, debido a que sus capitales humanos
tienen diferentes montos de riesgos.
• El precio de equilibrio de mercado de un activo riesgoso puede aún ser determinado independientemente de
la forma de las curvas de indiferencia del individuo, implicando que el principio de separación aún se
15
mantiene. Existe aún un precio de mercado determinado objetivamente para el riesgo, el cual es
independiente de las actitudes individuales hacía el riesgo.
• La medida apropiada del riesgo es aún la covarianza, pero ahora debemos considerar la covarianza entre el
j− ésimo activo riesgoso y dos portafolios, uno compuesto de activos comerciables y el segundo compuesto
de activos no comerciables.
EL MODELO EN TIEMPO CONTINUO
Merton (1973) ha derivado una versión del CAPM que supone entre otras cosas, que las transacciones tienen
lugar de manera continua en el tiempo y que los retornos de los activos están distribuidos lognormalmente.
Si la tasa de interés libre de riesgo no es estocástica en el tiempo, entonces, independientemente de las
preferencias individuales, la distribución de la riqueza de los individuos o de su horizonte de tiempo, los
retornos de equilibrio deben satisfacer:
E(Ri) = Rf + ((E(Rm) − Rf)
La ecuación es la analogía de tiempo continuo en el CAPM. De hecho es exactamente la misma que la del
CAPM, excepto que las tasas de retorno instantáneas han reemplazado a las tasas de retorno sobre intervalos
discretos de tiempo, y la distribución de los retornos es lognormal en vez de normal.
Si la tasa libre de riesgo es estocástica, los inversionistas están expuestos a otra clase de riesgo, señalada como
el riesgo de los cambios desfavorables en el conjunto de oportunidades de inversión. Merton muestra que los
inversionistas tendrán portafolios entre tres fondos:
• El activo libre de riesgo,
• El portafolio de mercado, y
• Un portafolio elegido de tal manera que sus retornos estén perfectamente inversamente correlacionados con
el activo libre de riesgo.
Este modelo muestra tres fondos de separación, el tercer fondo es necesario proteger contra los cambios
imprevistos en la tasa libre de riesgo futura. La tasa de retorno requerida sobre el j−ésimo activo es:
E(Rj) = Rf + Y1(E(Rm) − Rf) + Y2(E(Rn) − Rf)
En que:
Rn: Es la tasa de retorno instantánea sobre un portafolio que está perfectamente inversamente correlacionado
con el activo libre de riesgo.
Y1 = Bjm − BjnBnm Y2 = Bjn −Bjm Bn
22
1 − Önm 1 − Önm
Önm : Es la correlación entre el portafolio n y el portafolio de mercado m.
Bik = Cov(Ri;Rk)
2
16
Ök
Merton argumenta que el signo de Y2 será negativo para los activos de alto beta y positivo para los activos de
bajo beta. Según la evidencia empírica el argumento de Merton es consistente.
EXISTENCIA DE EXPECTATIVAS HETEROGÉNEAS E IMPUESTOS
Si los inversionistas no tienen la misma información acerca de la distribución de los futuros retornos,
percibirán conjuntos de oportunidades distintos y obviamente eligirán portafolios distintos. Lintner (1969) ha
expuesto que la existencia de expectativas heterogéneas no altera críticamente al CAPM, excepto que los
retornos esperados y las covarianzas están expresadas como promedios ponderados complejos de las
expectativas del inversionista. Sin embargo, si los inversionistas tienen expectativas heterogéneas, entonces el
portafolio de mercado no es necesariamente eficiente. Esto hace inestable al CAPM.
Nadie ha investigado modelos de equilibrio en un mundo con impuestos, tanto en las empresas como en las
personas. Sin embargo Brennam (1970) ha investigado el efecto de las tasas diferenciales de impuestos sobre
las ganancias de capital y los dividendos. Aunque el concluye que el beta es la medida apropiada de riesgo, su
modelo incluye un termino extra que causa que el retorno esperado sobre el activo dependa del rendimiento
del dividendo tanto como del riesgo sistemático.
E(Rj) = Y1Rf + Y2Bj + Y3Dj
En que Dj : Es el rendimiento del dividendo sobre el activo j.
Este modelo predice que se requerirán mayores tasas de retornos sobre los activos con mayores rendimientos
de dividendos. En otras palabras, a los inversionistas no les gustan los dividendos por que deben pagar tasas
de impuestos a los ingresos ordinarios sobre dichos dividendos, a menos que las tasas de ganancias de capital
sobre el precio de las acciones se incrementen.
COSTO DE CAPITAL PROMEDIO PONDERADO (WACC)
KE = [ PGU + D/K (PGU − I) (1 − Tc )]
Donde :
Ke : Rentabilidad del accionista.
D: Deuda.
K: Patrimonio.
D/K: Cantidad de riesgo financiero.
I: Tasa de interés de la deuda.
PGU − I: Premio por riesgo financiero.
POLÍTICA DE FINANCIAMIENTO Y VALOR DE LA EMPRESA
Según Modiglliani y Miller en un mundo perfecto, o sea, sin impuestos ni imperfecciones de mercado, en
donde todos tienen acceso a la información y esta es instantánea. El valor de una compañía es independiente a
su estructura de financiamiento, es decir, el valor de una compañía será igual independientemente de cómo
17
esta se financie.
Luego expresa que manteniéndose en un mundo perfecto, el retorno exigido por el inversionista aumenta
linealmente con el riesgo, lo cual se muestra gráficamente a continuación:
Gráfico N°8
Retorno Ke
CCPP
Kd
D/K
Por lo tanto en lo primero que debe pensarse es en las decisiones de inversión, para luego preocuparse por las
decisiones de financiamiento. Luego de esto podemos deducir la formula de CCPP Como sigue:
CCPP = D/(D + K) Ke + I D/(D + K)
Modelo Valorización por Arbitraje (A.P.T.)
Este modelo fue formulado por Ross en 1976 y procede de una familia que no pregunta que carteras son
eficientes, sino que, empieza con el supuesto de que la rentabilidad de cada acción depende en parte de
malévolas influencias macroeconómicas o factores y en parte a las perturbaciones (los cuales son sucesos
específicos para cada empresa), el cual ofrece una alternativa demostrable de la valoración de los activos de
capital.
Además, la rentabilidad debe obedecer a la siguiente relación:
Rentabilidad = a+b1(r factor1)+b2(r factor2)+.........+perturbaciones
Por otra parte dicha teoría no nos dice que factores serian estos: uno podría ser el factor precio, otro el tipo de
interés, pero en definitiva dependerá básicamente del país y la empresa a evaluar para definir las posibles
variables.
Para una acción individual hay dos fuentes de riesgo:
• La primera es el riesgo que proviene de los factores macroeconómicos que no pueden ser eliminados
por la diversificación.
• La segunda es que el riesgo proviene de posibles sucesos que son específicos para la empresa. La
diversificación hace eliminar el riesgo único, y los inversores diversificados pueden, por consiguiente,
ignorarlo cuando están decidiendo si comprar o vender una acción.
La prima por riesgo esperado de una acción es afectada por el factor o riesgo macroeconómico, no viene
afectado por el riesgo único.
En el cual el modelo predice que las tasas de retorno de los valores estarán relacionados con ¨N¨ factores, ya
que asume que la tasa de retorno de cualquier valor es una función lineal de N factores como podemos:
Ri= E(Ri)+ bi1*F1+........+bik*fk+Ei
18
en donde:
• Ri= La tasa de retorno aleatoria sobre el i−ésimo activo.
• E(Ri)= La tasa de retorno esperada del i−ésimo activo.
• bik = La sensibilidad de los retornos del activo i−ésimo al k−ésimo factor.
• Fk = La media cero del K−ésimo factor común a los retornos de todos los activos bajo consideración.
• Ei = Término aleatorio que indica el riesgo no sistemático.
Este modelo es derivado bajo los supuestos de mercados de capitales perfectamente competitivos y sin
fricción. Además de suponer que los individuos tienen creencias homogéneas de que los retornos aleatorios
para el conjunto de activos que se considera son regidos por el modelo lineal de K factores. La teoría requiere
que él número de activos a considerar, sea mucho más grande que él número de factores y que él termino de
error (Ei). Este debe ser independiente de todos los factores y de todos los términos de error de otros activos.
Características más Importantes:
Es razonable y recta, esto quiere decir, en equilibrio, todos los portafolios posibles a seleccionar del conjunto
de activos bajo consideración y que satisfagan las condiciones:
• No usar riqueza.
• No tener riesgo.
No deben ganar retornos sobre el promedio. Estos portafolios son llamados portafolios de arbitraje.
Construcción de un portafolio de Arbitraje:
Se define Wi como el cambio en el monto de US$1 invertido en el i−ésimo activo como un porcentaje de la
riqueza total invertida del individuo.
Para formar dicho portafolio que requiere que no haya cambios en la riqueza, los pasos a seguir seria vender
algunos activos y usar el producto para comprar otros.
Matemáticamente, el cambio de cero en riqueza se escribe como:
n
" Wi=0
I =1
Si hay N activos en el portafolio de arbitraje, el retorno de portafolio adicional ganado es:
n
Rp = " Wi*Ri="Wi*E(Ri)+"Wi*bi1*F1+..........+"Wi*bik*Fk+" Wi*Ei
i=1 i i i i
Determinación de un portafolio sin riesgo, tenemos que eliminar ambos riesgos, diversificable y el
no−sistemático. Para ello necesitamos cumplir tres condiciones:
• Seleccionar razones de cambio porcentuales en la inversión que sean pequeñas.
19
• Diversificando a través de un gran numero de activos.
• Eligiendo cambios, la suma de componentes de riesgo sistemático, sea igual a cero.
Matemáticamente:
" Wi* bik= 0, para cada factor.
I
Debido a que los términos de error, son independientes, la ley de los grandes números garantiza que el
promedio ponderado de mucho de ellos se aproxime a cero, cuando N tiende a ser grande, Esto quiere decir
que la no−existencia de costo de diversificación elimina él ultimo termino, por lo tanto la ecuación nos queda:
Rp=" Wi*E(Ri)+" Wi*bi1*F1+......+" Wi*bik*Fk
Iii
A simple vista este portafolio parece ser una variable aleatoria, pero sea elegido de tal manera que el
promedio ponderado de los componentes de riesgo sistemáticos sea igual a cero ("Wi*bik=0). Por lo que
hemos eliminado todo el riesgo sistemático, ya que hemos seleccionado un portafolio de arbitraje con beta
igual a cero en cada factor y el retorno del portafolio se hace constante, ya que al elegir correctamente las
ponderaciones hemos eliminado toda incertidumbre, por lo tanto Rp no es una variable aleatoria.
Matemáticamente la ecuación nos queda:
Rp=" Wi*E(Ri)
i.
Tenemos que recordar que el portafolio de arbitraje construido de esta manera no tiene riesgo y no requiere
nueva riqueza. Si el retorno de portafolio no fuese cero entonces seria posible obtener una tasa de retorno
infinita sin requerimiento de capital y sin riesgo.
Esto es claramente imposible si el mercado se encuentra en equilibrio, matemáticamente:
Rp=" Wi*E(Ri)=0
i.
Las tres ultimas ecuaciones son postulados reales del álgebra lineal. Cualquier vector que sea ortogonal a un
vector constante.
(" Wi)−1=0
i.
Y para cada uno de los vectores de coeficiente.
"Wi*bik=0, por cada k.
i.
20
Debe también ser ortogonal al vector de retornos esperados.
" Wi*E(Ri)=0
La consecuencia algebraica de este postulado es que el vector de retorno esperado debe ser una combinación
lineal del vector constante y de los vectores coeficientes, por lo que algebraicamente debe existir una serie de
k+1coeficientes (++....+) tales que:
E(Ri)= +*bik+........+k*bik
Tenemos que recordar que los bik son las sensibilidades de los retornos del k−ésimo factor. Si hay un activo
sin riesgo con una tasa de retorno libre de riesgo, Rf; entonces b0k=0 y
Rf=
Por lo tanto la ecuación de la esperanza de los retornos E(Ri), puede ser reformulada en forma de retornos en
exceso como:
E(Ri)"Rf= "bi1+......+k*bik
En equilibrio, todos los activos deben encontrarse sobre la línea de valoración de arbitraje. La interpretación
natural que se le puede dar a es que ésta representa el premio por riesgo, en equilibrio, para el k−ésimo
factor. Debido a que la relación de valorización de arbitraje es lineal podemos usar la definición de
pendiente−intercepción con el eje vertical de una línea recta para reformular la ecuación:
E(Ri)= Rf+(k"Rf)*bik
Donde k es el retorno esperado de portafolio con sensibilidad únicamente al k−ésimo factor y cero a todos
los otros factores. Por lo tanto, el premio por riesgo es el diferencial entre la esperanza del portafolio que
responde sólo al k−ésimo factor y cero a los otros factores, y la tasa libre de riego, Rf.
k= k" Rf
Por lo que la teoría de valorización de arbitraje puede ser reescrita como:
E(Ri)" Rf= ("Rf)*bi1+......+(k"Rf)*bik
Si dicha ecuación es interpretada como una ecuación de regresión lineal, ( suponiendo que los vectores de
retorno tienen asociado una distribución normal y que los factores han sido transformado linealmente, tal que
los vectores transformados en octonormales) es entonces los coeficientes, bik, son definidos exactamente de la
misma manera que beta en el modelo de valorización de los activos de capital.
bik= Cov (Ri , k)
V (k)
En donde:
Cov (Ri , k)= A la covarianza entre los retornos del i−ésimo activo y la transformación lineal del k−ésimo
factor.
V (k)= A la varianza de la transformación lineal del k−ésimo factor.
21
Por lo tanto, el CAPM es visto como un caso especial del APT (en que los son supuestos asociados a un
normal).
La teoría de valorización arbitraje es mucho, mas fuerte que el modelo de valoración de activos por varias
razones:
• El modelo APT no hace supuestos acerca de la distribución empírica de los retornos de un activo.
• El modelo APT no hace supuestos acérrimos acerca de las funciones de utilidad de los individuos.
• El modelo APT permite que en equilibrio los retornos de los activos sean dependiente de muchos factores.
• El modelo APT genera un postulado acerca de valorización relativa de cualquier subconjunto de activos,
por esto que uno no necesita medir el universo completo de activos para probar la teoría.
• No hay un rol especial para el portafolio de mercado en el modelo APT, mientras que el CAPM requiere
que el portafolio de mercado sea eficiente.
El modelo APT es fácilmente extendido a un esquema multiperíodico.
E(RI)
E(Fk) A Línea de valorización en arbitraje
E(Ri)= Rf+*bik
Rf
bk=1 bik
PARIDAD DE LA TASA DE INTERÉS
Definición: Es la igualdad de la rentabilidad en 2 países teniendo en cuenta el tipo de cambio. Esto es porque
no se puede analizar las rentabilidades de dos países (por ejemplo bonos) de una manera directa, sino que hay
que considerar el tipo de cambio entre ambos países.
La fórmula es la siguiente:
RENT. PAÍS 1 = RENT. PAÍS 2 + ( E* − E0 ) / E0
donde:
RENT. PAÍS 1 : Es la rentabilidad de un país, como por ejemplo Estados Unidos.
RENT. PAÍS 2 : Es la rentabilidad de otro país, como por ejemplo Alemania.
E* : Es el tipo de cambio esperado, que por consiguiente no se puede manejar. se asume como constante.
E0 : Es el tipo de cambio en un momento determinado. Momento cero. Se puede manejar.
( E* − E0 ) / E0 : Es la tasa de depreciación del tipo de cambio.
Ejemplo: Supongamos que el tipo de cambio del dólar con respecto al marco es de 0.395 (dólares por marco).
Bajo este contexto asumimos que existe la paridad en la tasa de interés. En el gráfico que se muestra
continuación muestra esta paridad.
22
Ahora supongamos que la rentabilidad de los Estados Unidas aumenta, modificando la paridad. Es decir,
RENT. USA > RENT. ALEMANIA + ( E* − 0.395 ) / 0.395
donde:
E0: 0.395 dólares por marco.
Gráficamente, podemos ver este aumento en la rentabilidad de los Estados Unidos (o la disminución de la
rentabilidad de Alemania), como la diferencia horizontal entre la nueva rentabilidad de Alemania y la
rentabilidad de los Estados Unidos.
Producto de esta mayor rentabilidad, los capitales extranjeros (Alemania) prefieren invertir en Estados
Unidos. La demanda por los dólares aumenta. Esto produce una apreciación de la moneda norteamericana. A
su vez en Alemania, como existe una menor rentabilidad relativa, los capitales extranjeros prefieren no
invertir en esta. La demanda por los marcos disminuye y la oferta por estos aumenta.
Todo lo anterior hace que el tipo de cambio se modifique. Ahora, y dado que se apreció la moneda
norteamericana y se depreció la moneda alemana, el tipo de cambio del dólar con respecto al marco
disminuyó, por ejemplo a 0.258 dólares por marcos.
Esta disminución hace que la desigualdad de la paridad del tipo de cambio vuelva a normalizarse. Esto es:
RENT.USA > RENT. ALEMANIA + ( E* − E0 ) / E0
vuelva a:
RENT. USA = RENT. ALEMANIA + (( E* − E0 ) / E0 )
RENT. USA = RENT. ALEMANIA + (( E* − 0.258 ) / 0.258 )
9 % = 7 % + 2 % (como ejemplo)
Se ocupa el mismo análisis, si en vez de aumentar la rentabilidad en los Estados Unidos, aumenta la
rentabilidad en Alemania.
Haciendo un análisis más exhaustivo, podemos decir que la demanda de dinero de una país está en función de
la tasa de interés y del ingreso. Es decir:
Md = F ( r , y )
donde:
Md : demanda de dinero.
F : función de... .
r : tasa de interés.
y : ingreso.
Asumimos, que la tasa de interés es una variable constante que no la manejan los inversionistas, dado que ésta
23
la determina el Banco Central (gobierno de cada país) y que el ingreso es un factor variable que puede
modificar directamente la demanda de dinero por parte de los inversionistas.
Gráficamente podemos ver que ante un aumento en el ingreso, la curva de demanda de dinero se desplaza
hacia afuera.
La oferta de dinero está dada por el Banco Central de cada país, por lo cual se asume como constante.
Dado estos factores, puede ocurrir que en la economía exista un exceso de oferta de dinero o un exceso de
demanda de dinero.
Supongamos que existe un exceso de oferta de dinero, producto de que la demanda real de esta disminuyó
debido a un aumento en la tasa de interés (que es inversa a la inversión). Si disminuye la demanda de dinero
en la economía, quiere decir que las personas no desean tener en su poder más dinero, es decir hay una menor
tenencia de liquidez real. Ante lo cual buscan alternativas de ahorro, como lo son los bonos. Esto produce que
exista un aumento en la demanda de bonos. Al aumentar la demanda de bonos, hace que aumente el precio de
los bonos (producto de la oferta y demanda) para mantener el equilibrio inicial. Y este aumento en el precio de
los bonos hace que disminuya la tasa de interés hasta el punto donde la oferta de dinero se iguale con la
demanda de dinero.
Gráficamente, ocurre lo siguiente:
Ahora, podemos relacionar la paridad de la tasa de interés con la oferta y demanda de dinero (y su respectiva
tasa de interés) en un determinado país. Y esto es porque la rentabilidad de un país, en el análisis de paridad
de la rasa de interés, nos entrega el punto de equilibrio entre la oferta y demanda de dinero. Esto es lógico por
cuanto dado una cierta rentabilidad, los capitales internos (oferta y demanda de dinero) de un país tienen que
estar equilibrados o en vías de equilibrarse si es que la rentabilidad de un país con respecto a otro cambia.
Esto se explica mejor gráficamente.
Cabe señalar, que el mercado de dinero correspondiente es de los Estados Unidos y que este análisis es a corto
plazo.
Un análisis a largo plazo frente a un cambio en la rentabilidad relativa de un país con respecto a otro, produce
que se rompa el equilibrio en el mercado de dinero de un país. Esto puede producir un exceso de demanda de
dinero o un exceso de oferta de dinero. Si se produce, por ejemplo, un exceso de demanda de dinero producto
de una mayor rentabilidad relativa, hace que se aprecie esa moneda y que cambie nuevamente el tipo de
cambio para mantener, a su vez la paridad del tipo de cambio. Esto conlleva a que se regule la oferta y
demanda de dinero de un país. Pero el problema que surge aquí y producto de que es a largo plazo es que se
sobre estima el tipo de cambio, es decir, el efecto se anula pero el tipo de cambio aumenta.
Gráficamente podemos ver esta sobre estimación:
PARIDAD DEL TIPO DE CAMBIO
En realidad, la parte más compleja de los mercados de divisas, es el uso de éstas como medio de riqueza. Si
los sistemas bancarios de diferentes países ofrecen tasas de interés desiguales, los inversionistas fluctuarán
hacia la que sea más conveniente siempre y cuando el riesgo cambiario no reduzca las ganancias en forma
negativa. La ganancia real se define como:
R=1+i_1
1+#
24
donde:
R : es la tasa de interés real.
i : es la tasa de interés nominal.
# : es la inflación.
Por ejemplo, si la inflación en México es de 7%, y la tasa de interés de los CETES es de 16%, entonces la tasa
real es:
1.16 _ 1 = 8.4%
1.07
Ahora para sacar los dólares de México, se debe incluir el tipo de cambio al vencimiento, comparado con el
de entrada (devaluación esperada)
EL RIESGO DE CAMBIO
El riego de un inversor está dado por las posibilidades de desviaciones respecto al rendimiento previsto, o en
otras palabras, es la posibilidad de que los rendimientos reales sean distintos de los esperados.
PARIDAD DEL PODER ADQUISITIVO (PPP)
Este modelo plantea que la cotización relativa de dos monedas (el precio de una expresado en otra moneda) se
encuentra en función del poder adquisitivo de ellas. Entonces, las desviaciones relativas de los niveles de
precios de dos países, con respecto a un periodo base, estarían indicando la variación del precio relativo de
ambas monedas con respecto al mismo periodo base.
Esto se expresa en la siguiente fórmula:
C(1) = PA(1) / PA(0) C(0)
PB (1) / PB(0)
Donde:
C(0) : Es la cotización existente en el periodo elegido como base (momento cero) entre ambas monedas.
C(1) : Es el tipo de cambio que debería existir en el momento de la medición, de acuerdo ala evolución que
muestra el poder adquisitivo de ambas monedas.
PA(0) : Es el índice de precio del país A en el periodo base.
PB(0) : Es el índice de precio del país B en el periodo base.
PA(1) : Es el índice de precio del país A en el momento de la medición.
PB(1) : Es el índice de precio del país B en el momento de la medición.
Ejemplo:
25
Sea en el país A:
• Índice de precios al 1/1/97 = 100.
• Índice de precios al 30/6/99 = 120.
Sea en el país B:
• Índice de precios al 1/1/99 = 100.
• Índice de precios al 30/6/97 = 114.
Cotización al 1/1/97: $A 60 = $B 1
Aplicando la fórmula, la cotización esperada al 30/6 debería ser:
C1 = 120/140 60
114/100
C1: $A 63,16 = $B 1
Por lo tanto, si la cotización aún se mantiene en 60 unidades monetarias del país A = $B 1,00 ; existe una
posibilidad importante de que el país A devalúe su moneda con respecto a la moneda del país B.
R = ( C(1) _ 1 ) 100
C(0)
R = ( 63,16 _ 1 ) 100
60
R = 5,27 %
26
27
28
Porcentaje de variación de las tasas de cambio.
Línea de paridad del poder adquisitivo.
Porcentaje de diferencial de inflación.
29