Naturaleza y Propagación de la Luz

Actividades del final de la unidad
1. Indica los nombres de cuatro científicos que participaron en el estudio de la
naturaleza de la luz, dos de ellos asociados a la teoría corpuscular y otros dos
a la teoría ondulatoria.
Asociados a la teoría corpuscular, Newton (1642-1727) y Einstein (1879-1955); asociados a la teoría ondulatoria, Huygens (1629-1695) y Young (1773-1829).
2. Explica brevemente qué significa que la luz tiene una doble naturaleza. Indica
un fenómeno en el que se manifieste cada naturaleza.
Significa que la luz puede comportarse como onda o como partícula. Según el experimento al que se someta, manifiesta el carácter ondulatorio o el corpuscular.
En el fenómeno de las interferencias, la luz se comporta como una onda, mientras
que en el efecto fotoeléctrico lo hace como una partícula.
3. Razona sobre la veracidad o la falsedad de la definición que para la luz dio
Huygens: «La luz está formada por ondas longitudinales que se propagan en
un medio elástico llamado éter lumínico».
Aunque Huygens tiene el mérito de ser uno de los primeros científicos en postular la
naturaleza ondulatoria de la luz, su definición sobre la luz no es aceptable hoy en
día, ya que:
• La luz es una onda transversal.
• La luz no necesita de ningún medio para propagarse.
4. Explica brevemente la definición que dio Maxwell para las ondas electromagnéticas. Indica, además, las analogías y las diferencias que, sobre la luz, tendrían Maxwell y Huygens.
Maxwell demostró que:
«Las ondas
electromagnéticas son ondas
transversales compuestas por un campo eléc8
8
trico, E , y un campo magnético, B, ambos perpendiculares entre sí y, a su vez, perpendiculares a la dirección de propagación de la onda».
Ambos pensaban en la naturaleza ondulatoria de la luz; además, los dos científicos
creían en la existencia del éter luminoso. Sin embargo, entre otros hechos, diferían en
uno muy importante: para Huygens, la luz estaba formada por ondas longitudinales,
y Maxwell demostró que eran transversales.
5. Escribe las ecuaciones de los campos oscilantes eléctrico y magnético, indicando el significado de cada una de las magnitudes que en ellas aparecen.
8
8
El campo eléctrico, E , y el campo magnético, B, vienen descritos por una ecuación
análoga a la de cualquier onda unidimensional:
t
x
–
E = E0 · sen 2 · π ·
T. l
[
[
(
(
)]
)]
t
x
–
T. l
donde E0 es la amplitud máxima del vector campo eléctrico; B0, la amplitud máxima
del vector campo magnético; T, el período; l, la longitud de onda; t, un instante dado, y x, la posición de la onda en ese instante.
B = B0 · sen 2 · π ·
296
Unidad 9. Naturaleza y propagación de la luz
16. Repasa el modelo atómico de Rutherford que viste en el curso pasado y explica cómo afecta la teoría de Maxwell al concepto de átomo planetario con
electrones girando alrededor del núcleo.
El modelo de Rutherford establece que los electrones (cargas negativas) giran alrededor del núcleo. Pero, según la teoría de Maxwell, los electrones, como cualquier
otra carga eléctrica, emitirán energía en forma de radiación.
Según esto, el electrón iría perdiendo energía y acabaría precipitándose sobre el núcleo, con el consiguiente colapso del átomo.
17. Una emisora de radio emite en frecuencia modulada. Si nuestro receptor consigue sintonizarla a 102,7 MHz, determina la longitud de onda con que emite.
Las ondas de radio son ondas electromagnéticas que se propagan en el aire a la misma velocidad que la luz en dicho medio, que supondremos el vacío. Por tanto:
c 3 · 108 m · s–1
c=f·l 8 l= =
= 2,92 m
f
102,7 · 106 s–1
18. Un fotón de luz que se desplaza en el vacío tiene una longitud de onda de
600 nm. Calcula su frecuencia.
La relación entre la frecuencia, f, y la longitud de onda, l, es:
c
f=
l
Como 1 nm = 10–9 m, la frecuencia pedida resulta:
3 · 108 m · s–1
= 5 · 1014 Hz
f=
600 · 10–9 m
19. Los rayos X son un tipo de radiación que se encuentra fuera del intervalo visible. ¿Significa esto que el ojo humano no es sensible a ella?
No. El que no sean visibles significa que nuestro cerebro no da una respuesta en
cuanto a lo que entendemos por color. Sin embargo, al ser una radiación muy energética, puede producir daños irreversibles al ojo humano.
10. Indica cómo puede generarse:
a) Radiación de microondas.
b) Radiación visible.
c) Rayos X.
a) La radiación de microondas se produce al vibrar las moléculas de una sustancia
dada.
b) La radiación visible la emiten átomos o moléculas excitados electrónicamente.
c) Los rayos X se producen cuando inciden electrones muy energéticos sobre blancos metálicos.
11. Calcula el tiempo que tarda la luz en recorrer la distancia de la Tierra al Sol
(dT–S = 150 · 106 km).
Dado que la luz se propaga en el vacío con velocidad constante, c, tenemos:
s
s=v·t 8 t=
v
1,50 · 1011 m
t=
= 500 s = 8 min 20 s
3 · 108 m · s–1
Unidad 9. Naturaleza y propagación de la luz
297
12. Define brevemente el índice de refracción e indica las unidades en las que se
expresa.
El índice de refracción de un determinado medio, n, se define como:
n=
velocidad de la luz en el vacío
c
=
velocidad de la luz en el medio v
Al ser un cociente entre dos magnitudes con las mismas dimensiones, será un número adimensional (sin unidades). Además, es siempre mayor que 1, al ser c > v.
13. ¿Qué significa que un medio es más refringente que otro?
Significa que tiene mayor valor del índice de refracción.
14. Calcula el índice de refracción de cierto medio respecto al vacío sabiendo
que en él la luz se propaga con una velocidad de 275000 km/s.
Teniendo en cuenta la definición de índice de refracción:
n=
Al sustituir datos y operar, resulta:
n=
c
v
3 · 108 m · s–1
= 1,09
2,75 · 108 m · s–1
15. Razona la veracidad o la falsedad de la proposición siguiente: «Cuando la luz
pasa de un medio a otro diferente cambia su longitud de onda; por tanto,
también lo hace la frecuencia».
La proposición es falsa. La frecuencia de la luz depende del foco emisor, y no del
medio en el que se propaga. Lo que sí cambia, además de la longitud de onda, es la
velocidad de propagación de la luz de forma que:
v
= constante = f
l
16. Una onda electromagnética, que en el vacío tiene una frecuencia de 1,5 · 1015 Hz,
penetra en un medio de índice de refracción 3,0. Calcula, para este medio,
la longitud de onda de dicha radiación. ¿Es de esperar que observemos luz
visible?
La longitud de onda en el vacío, l0, de una onda de frecuencia 1,5 · 1015 Hz es:
3 · 108 m · s–1
c
8 l0 =
= 2 · 10–7 m = 200 nm
1,5 · 1015 s–1
f
Teniendo en cuenta la relación entre los índices de refracción y los respectivos valores de la longitud de onda, será:
l0 =
l0
n1
n0 = l1
Donde n1 = 3,0, y n0 = 1 (vacío); por tanto:
n0
1
l1 = n · l0 8 l1 =
· 2 · 10–7 m = 6,7 · 10–8 m = 67 nm
3,0
1
Como la frecuencia no cambia al pasar la onda de un medio a otro, y la radiación
incidente corresponde a radiación UV, no observaremos luz visible.
298
Unidad 9. Naturaleza y propagación de la luz
17. El índice de refracción de un medio respecto de otro es 0,75. ¿Qué podemos
decir acerca de la velocidad con la que se propaga un haz de luz en los dos
medios? ¿Y de su longitud de onda? ¿Y de su frecuencia?
Para el medio 1, tenemos un índice de refracción n1, una velocidad v1, una longitud
de onda l1 y una frecuencia f1.
Igualmente, para el medio 2 tenemos: n2, v2, l2 y f2.
• Como la frecuencia depende de las características del foco emisor y no del medio
en el que se propaga, esta no variará:
f1 = f2
• Como el índice de refracción relativo de ambos medios es:
n2,1
c
v2
n2
v1
= n = 0,75 8 0,75 = c = v
1
2
v1
Luego, v1 = 0,75 · v2; es decir, al ser n1 > n2, la luz se propagará en el segundo medio con mayor velocidad, v2 > v1.
• Por otro lado, como se cumple que:
l1
n2
=
= 0,75
n1
l2
La longitud de onda en el primer medio, l1, será menor que en el segundo, l2,
cumpliéndose la siguiente relación:
l1 = 0,75 · l2
18. Enuncia el principio de Fermat referido a la propagación de los rayos de luz.
El principio de Fermat establece que la trayectoria que siguen los rayos de luz para
desplazarse de un punto a otro es aquella para la cual el tiempo invertido es mínimo.
19. Un rayo de luz que se propaga en el aire incide con un ángulo de 45° sobre la
superficie de separación con el agua. Justifica cuáles de las magnitudes siguientes se modifican al entrar la luz en el agua: a) Frecuencia. b) Longitud
de onda. c) Velocidad de propagación. d) Dirección de propagación.
a) La frecuencia no cambia, ya que esta no depende del medio en el que se propaga el rayo de luz, sino de la fuente que produce la luz.
b) y c) La longitud de onda y la velocidad de propagación sí cambian, ya que se
cumple la siguiente relación:
nagua
vaire
l
=
= aire
naire
vagua lagua
Como nagua > naire, entonces vaire > vagua, y laire > lagua.
d) También cambia la dirección de propagación, tal y como establece la ley de
Snell de la refracción. En particular, en este caso el rayo de luz se acerca a lo
normal:
naire · sen iˆ = nagua · sen r̂ 8 1,00 · sen 45° = 1,33 · sen r̂ 8 r̂ = 32,12°
Unidad 9. Naturaleza y propagación de la luz
299
20. Indica razonadamente cómo es el ángulo de refracción cuando un haz de luz
monocromática pasa del agua al aire: mayor, menor o igual que el ángulo de
incidencia.
Cuando un haz de luz monocromática pasa de un medio a otro menos refringente,
es decir, de menor índice de refracción, el rayo se aleja de la normal para que así se
cumpla el invariante de refracción:
nagua · sen iˆ = naire · sen r̂
Como nagua > naire, la igualdad obliga a que sen r̂ > sen iˆ, es decir, el ángulo de refracción será mayor que el ángulo de incidencia.
21. ¿Cuál es el ángulo límite entre el diamante, nd = 2,5, y el vidrio, nv = 1,4?
El fenómeno de la reflexión interna total tiene lugar cuando la luz pasa de un medio
a otro menos refringente, bajo un cierto ángulo de incidencia o ángulo límite, que
es aquel para el que el ángulo de refracción es de 90°.
Aplicando la segunda ley de Snell de la refracción a la interfase diamante (d) vidrio (v),
queda:
nd · sen L̂ = nv · sen 90°
nv
nv
1,4
= 34,1°
sen L̂ = n 8 L̂ = arcsen n = arcsen
2,5
d
d
22. Determina el ángulo a partir del cual se produce reflexión total entre el aire
y un medio material en el cual la luz se propaga con v = 175000 km/s.
El fenómeno de la reflexión total se produce cuando la luz entra en un medio de menor índice de refracción con un valor umbral del ángulo de incidencia para el que el
ángulo de refracción resulta ser de 90°. Aplicando la segunda ley de Snell, tenemos:
n1 · sen L̂ = n2 · sen 90°
n2
n2
sen L̂ = n 8 L̂ = arcsen n
1
1
Para obtener L̂ necesitamos, por tanto,
calcular el índice de refracción del medio:
c
300 000
n1 = v 8 n1 =
= 1,714
175 000
1
Por tanto:
1,000
L̂ = arcsen
= 35,7°
1,714
N
Aire
r = 90°
n2 = 1,000
n1
L
Medio material
23. ¿Es posible el fenómeno de la reflexión interna total cuando un haz de luz
monocromática pasa del aire al agua? Justifica la respuesta ayudándote del
correspondiente dibujo.
No es posible. El fenómeno de la reflexión interna total solo ocurre cuando un rayo
luminoso pasa de un medio a otro menos refrigerante. En caso contrario, según la
ley de Snell de la refracción, aplicada en este caso al aire y al agua:
naire · sen iˆ = nagua · sen r̂
Y como nagua > naire, debe cumplirse que:
sen iˆ > sen r̂ 8 iˆ > r̂
300
Unidad 9. Naturaleza y propagación de la luz
Es decir, el rayo refractado se acerca a la normal, como se muestra en el siguiente
dibujo:
N
r
Agua
Aire
i
24. Un rayo de luz monocromática que se propaga en el aire incide sobre la superficie de separación de un recipiente que contiene benceno (n = 1,501).
Calcula el ángulo de incidencia para que el rayo reflejado y el rayo refractado sean perpendiculares.
El dibujo muestra la trayectoria del rayo
en ambos medios. Como el rayo pasa a
un medio más refringente, nbenceno > naire,
el rayo refractado se acercará a la normal. Del dibujo observamos que:
iˆ + r̂ = 90°
[1]
Por otro lado, aplicando la segunda ley
de Snell, tenemos que:
naire · sen iˆ = nbenceno · sen r̂
1,000 · sen iˆ = 1,501 · sen r̂
N
Rayo incidente
Aire
Benceno
Rayo reflejado
i
i
90°
r
[2]
Rayo refractado
Con las ecuaciones [1] y [2] tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:
iˆ + r̂ = 90°
sen iˆ = 1,501 · sen r̂
Despejando el ángulo de refracción, r̂ , de [1]: r̂ = 90° – iˆ, y sustituyendo en [2], nos
queda la ecuación:
sen iˆ = 1,501 · sen (90° – iˆ)
Y como sen (90° – iˆ) = cos iˆ, queda:
sen iˆ = 1,501 · cos iˆ 8 1,501 = tg iˆ 8 iˆ = 56,3°
25. Un rayo de luz monocromática que se propaga en el aire incide sobre un vidrio plano de índice de refracción 1,54, produciéndose un rayo reflejado y
otro refractado:
a) Si el ángulo de incidencia es de 25°, ¿qué ángulo formarán entre sí los rayos reflejado y refractado?
b) Para un ángulo de incidencia ligeramente mayor que 25°, ¿cómo será el
ángulo que forman los rayos reflejado y refractado, mayor o menor?
Unidad 9. Naturaleza y propagación de la luz
301
a) Cuando un haz de luz monocromática pasa de un medio a otro más refringente,
es decir, con mayor índice de refracción, el rayo refractado se acerca a la normal.
Por otro lado, el rayo reflejado emerge con el mismo ángulo que el rayo incidente (25°).
Del dibujo podemos ver que el ángulo que forman los rayos reflejado y refractado, a, es:
a = 180° – (25° + r̂ )
N
Rayo incidente
Rayo reflejado
25° 25°
Aire
α
Vidrio
r
Rayo refractado
Aplicando la segunda ley de la refracción, calculamos el ángulo refractado, r̂ :
naire · sen 25° = nvidrio · sen r̂ 8 1,000 · sen 25° 8 1,54 · sen r̂ 8 r̂ = 15,9°
Por tanto:
a = 180° – (25° + 15,9°) = 139,1°
b) Si aumenta el ángulo de incidencia, iˆ, también lo harán los ángulos de reflexión
y de refracción. Por tanto, el ángulo que forman los rayos reflejado y refractado
será menor.
26. Un haz de luz monocromática, que se propaga en un medio de índice de refracción 1,576, penetra en otro medio, de índice de refracción 1,228. Si el
ángulo de incidencia es de 25°, calcula la desviación que experimenta el rayo refractado respecto a la trayectoria del rayo incidente.
Cuando un rayo de luz pasa de un medio
a otro menos refrigerante, el rayo refractado se aleja de la normal. En efecto, al
aplicar la segunda ley de Snell de
la refracción, el ángulo de refracción resulta:
n1 · sen iˆ = n2 · sen r̂
1,576 · sen 25° = 1,228 · sen r̂
r̂ = 32,8°
Por otro lado, en la figura observamos
que:
r̂ = iˆ + a
N
i
α
n2 = 1,228
r
Medio 2
Medio 1
n1 = 1,576
i
luego:
a = r̂ – iˆ = 32,8° – 25° = 7,8°
302
Unidad 9. Naturaleza y propagación de la luz
27. Un rayo de luz incide sobre una lámina de vidrio de caras plano-paralelas, de
índice de refracción n, situada en el aire. Demuestra que el rayo que emerge de
la lámina forma el mismo ángulo con la recta normal que el rayo incidente.
La figura representa la trayectoria que sigue
el rayo de luz. Aplicando la ley de Snell a
las dos refracciones que tienen lugar en las
dos caras de la lámina, tenemos:
Aire
naire
Vidrio
n
Aire
naire
i1
r1
• En la primera cara:
naire · sen iˆ1 = n · sen r̂ 1
• En la segunda cara:
n · sen iˆ2 = naire · sen r̂ 2
En la figura se observa que r̂ 1 = iˆ2; por
tanto:
naire · sen iˆ1 = naire · sen r̂ 2 8 iˆ1 = r̂ 2
d
i2
Es decir, el rayo emergente sale paralelo al
incidente, pero desplazado lateralmente
una distancia d.
r2
28. Sean dos prismas idénticos de índice de refracción 1,65 y ligeramente separados. Si se hace incidir un haz láser perpendicular a la cara A del dispositivo, razona si es de esperar luz emergente por la cara B según que el espacio
separador entre los prismas sea aire o agua.
A
B
45°
45°
El haz de luz monocromática, al incidir perpendicularmente a la cara A, sigue una
trayectoria horizontal hasta alcanzar la superficie de separación del prisma con el aire. Como el ángulo de incidencia es de 45°, si aplicamos la segunda ley de Snell de
la refracción en el caso de que el espacio separador sea aire, resulta (véase la primera figura de la página siguiente):
nprisma · sen iˆ = naire · sen r̂
1,65 · sen 45° = 1,000 · sen r̂ 8 sen r̂ = 1,167
La expresión obtenida no tiene sentido matemático, ya que el seno de un ángulo no
puede ser mayor que la unidad. Este resultado nos indica que se produce el fenómeno de la reflexión total, lo que comprobamos inmediatamente calculando el valor del ángulo límite:
naire
1,000
L̂ = arcsen n
= arcsen
= 37,3°
1,65
prisma
Unidad 9. Naturaleza y propagación de la luz
303
Por tanto, no observaríamos luz emergente por la cara B:
N
A
B
45°
45°
C
45°
45°
45°
n=1
D
En el caso de que el espacio separador sea agua, el valor del ángulo límite en la superficie prisma-agua es:
nprisma · sen iˆ = nagua · sen r̂ 1 8 nprisma · sen L̂ = nagua · sen 90°
nagua
1,333
L̂ = arcsen n
= arcsen
= 53,9°
1,65
prisma
Como el ángulo de incidencia es menor que el ángulo límite, el haz láser emerge
del primer prisma.
El rayo se refracta con un ángulo de:
1,65 · sen 45° = 1,333 · sen r̂ 1 8 r̂ 2 = 61,1°
Y ese es el ángulo con el que incide el haz láser en el segundo prisma:
1,333 · sen 61,1° = 1,65 · sen r̂ 2 8 r̂ 2 = 45°
El haz láser seguiría, por tanto, una trayectoria horizontal hasta emerger por el segundo prisma, desplazado respecto al haz incidente.
N
A
N'
B
45°
C
45°
r1 = 61,1°
r2 = 45°
61,1°
45°
n = 1,333
29. Un haz de luz ( f = 5,4 · 1014 Hz) incide sobre el cristal de la figura. Calcula:
a) La longitud de onda de la luz incidente en el aire y en el cristal. b) El ángulo
que forma el haz de luz cuando atraviesa el cristal y entra de nuevo en el aire.
n = 1,50
25°
304
d
Unidad 9. Naturaleza y propagación de la luz
a) Al pasar la luz de un medio a otro diferente, su frecuencia no cambia, pero sí lo
hace su longitud de onda. La relación entre la frecuencia de una onda, su longitud de onda y la velocidad con que se propaga es:
v
f=
l
Por tanto, la longitud de onda de la luz incidente en el aire, resulta:
v
3 · 108 m · s–1
laire = aire 8 laire =
= 5,6 · 10–7 m = 560 nm
5,4 · 1014 s–1
f
En el cristal, la velocidad de propagación del haz de luz vale:
3 · 108 m · s–1
c
c
8 vcristal =
=
= 2 · 108 m · s
1,50
v
ncristal
n=
Entonces, la longitud de onda de la luz incidente en el cristal será:
lcristal =
vcristal 2 · 108 m · s–1
=
= 3,7 · 10–7 m = 370 nm
5,4 · 1014 s–1
f
b) Aplicando la segunda ley de Snell de la refracción a las dos caras del cristal, resulta:
Aire
Cristal
Aire
• Primera cara:
naire · sen 25° = ncristal · sen r̂1
r2
i2
• Segunda cara:
ncristal
r1
25°
· sen iˆ2 = naire · sen r̂2
Pero, tal y como aclara la figura, iˆ2 = r̂1; por
tanto:
naire · sen 25° = naire · sen r̂2 8 r̂2 = 25°
30. Un haz de luz blanca incide sobre una lámina de vidrio de grosor d con un
ángulo a = 60°:
Vidrio
n2
Aire
n1
N
P
Aire
n1
P'
α
d
a) Dibuja esquemáticamente la trayectoria de los rayos rojo y violeta de dicha luz blanca.
b) Calcula la altura, respecto a P 4, del punto por el que la luz roja emerge de
la lámina en el caso de que sea d = 1 cm.
c) Calcula el grosor que debe tener la lámina para que los puntos de salida de
la luz roja y de la luz violeta estén separados 1 cm.
Datos: Los índices de refracción en el vidrio de las luces roja y violeta son,
respectivamente, 1,4 y 1,6.
Unidad 9. Naturaleza y propagación de la luz
305
a) Supongamos que el índice de refracción del aire es n1, y el del vidrio, n2. Cuando el haz de luz blanca incide sobre la lámina de vidrio, experimentará el fenómeno de la refracción en las dos caras. Aplicando la ley de Snell (figura inferior
de la izquierda), tendremos, para las caras primera y segunda:
n1 · sen iˆ1 = n2 · sen r̂1 °
§ 8 n · sen iˆ = n · sen iˆ 8 iˆ = iˆ
¢
1
1
1
2
1
2
n2 · sen r̂1 = n1 · sen iˆ2 §£
Es decir, el rayo luminoso emerge de la lámina de vidrio paralelo al rayo incidente.
Por otro lado, tenemos que:
• Cuando la luz se propaga de un medio a otro más refringente, el rayo refractado se acerca a la normal.
• El rayo de luz violeta, al tener mayor índice de refracción que el de luz roja,
saldrá más próximo a la normal.
Por tanto, el esquema, en el que las letras R y V hacen referencia a la luz roja y a
la luz violeta, respectivamente, será el mostrado en la figura de la derecha:
Aire
n1
Vidrio
n2
Aire
Aire
n1
Vidrio
Aire
Luz
roja
Luz
violeta
i2
NR
r1
60°
R
60°
N
P
r1
NV
P'
V
i1 = α
rV
N
α = 60°
d
rR
P
P'
Luz
blanca
d
b) Tenemos que calcular la distancia P4R. Para ello, del dibujo del apartado anterior
tomamos el siguiente triángulo, donde P4P = 1 cm = 0,01 m. El ángulo r̂R es:
R
n1 · sen 60° = nR · sen r̂R
1 · sen 60° = 1,4 · sen r̂R 8 r̂R = 38,2°
Entonces:
tg r̂R =
RP4
RP4
8 tg 38,2° =
PP4
0,01 m
RP4 = 7,9 · 10–3 m = 0,79 cm
rR
P
306
P'
Unidad 9. Naturaleza y propagación de la luz
c) Para resolver este apartado, calculamos, en primer lugar, el ángulo de refracción
para la luz violeta. Aplicando la ley de Snell de la refracción resulta:
n1 · sen 60° = nV · sen r̂V 8 1 · sen · 60° = 1,6 · sen r̂V 8 r̂V = 32,8°
Este apartado solicita el cálculo del valor de
PP4 para que VR = 1 cm.
R
V
Por la definición de tangente, tenemos:
P4V
P4R
; tg r̂R =
tg r̂V =
PP4
PP4
Como P4R = P4V + 1, obtenemos el siguiente
sistema de dos ecuaciones:
r
rR
V
P4V
P4V + 1
tg 32,8° =
; tg 38,2° =
PP4
PP4
P
P'
Despejando P4V de la primera ecuación, sustituyendo en la segunda y operando,
resulta:
PP4 · tg 32,8° + 1
P4V = PP4 · tg 32,8° 8 tg 38,2° =
8
PP4
8 PP4 · (tg 38,2° – tg 32,8°) = 1 8 PP4 = 7 cm
Además, la distancia P4V resulta:
P4V = PP4 · tg 32,8° = 7 cm · tg 32,8° = 4,52 cm
31. Un haz de luz monocromática incide sobre una de las caras de una lámina
de vidrio de caras planas y paralelas situada en el aire. El espesor de la lámina es de 5 cm, y su índice de refracción, de 1,50. Si el ángulo de incidencia es
de 30°, ¿cuánto valdrá el desplazamiento que experimenta el rayo respecto a
la dirección inicial?
De acuerdo con el enunciado, podemos realizar el siguiente dibujo.
Aire
Vidrio
Aire
D
30°
α
r
C
r
30°
A
B
El ángulo r̂ lo calculamos aplicando la segunda ley de Snell:
naire · sen 30° = nvidrio · sen r̂ 8 1,00 · 0,5 = 1,50 · sen r̂ 8 r̂ = 19,47°
Unidad 9. Naturaleza y propagación de la luz
307
El problema nos pide calcular la longitud del segmento DC. En el triángulo ACD tenemos que:
DC
sen a =
8 DC = AC · sen a
AC
Donde el ángulo a vale:
30° = a + r̂ 8 a = 30° – r̂ = 30° – 19,47° = 10,53°
Para calcular AC, observa que en el triángulo ACB se cumple que:
AB
AB
5 cm
cos r̂ =
8 AC =
8 AC =
= 5,30 cm
AC
cos r̂
cos 19,47
Por tanto:
DC = 5,30 · sen 10,53° = 0,969 cm
Entonces, el rayo saldrá paralelo a la trayectoria inicial, pero desplazado 0,969 cm.
32. Define brevemente qué es un prisma óptico.
Recibe el nombre de prisma óptico todo medio transparente limitado por dos superficies no paralelas. El ángulo que forman las dos superficies se suele denominar ángulo del prisma.
33. Sobre la cara lateral de un prisma de vidrio situado en el aire, de índice de refracción 1,40, y ángulo de 48°, incide un rayo de luz monocromática con un
ángulo de 20°. Calcula:
a) El ángulo de emergencia del rayo luminoso.
b) El ángulo de desviación experimentado.
c) El ángulo de desviación mínima que corresponde a este prisma.
a) Al aplicar la ley de Snell de la refracción a la primera cara del prisma, obtenemos
lo siguiente:
naire · sen iˆ = nvidrio · sen r̂
1,00 · sen 20° = 1,40 · sen r̂ 8 sen r̂ = 0,244 8 r̂ = 14,1°
Por otro lado, se cumple la siguiente relación (véase la página 273 del libro del
alumno), en la que a es el ángulo del prisma:
a = r̂ + r̂ 4 8 r̂ 4 = a – r̂ 8 r̂ 4 = 48° – 14,1° = 33,9°
48°
i = 20°
i ' = 51,3°
r = 14,1°
α
r ' = 33,9°
308
Unidad 9. Naturaleza y propagación de la luz
Al volver a aplicar la ley de Snell de la refracción a la segunda cara, resulta:
nvidrio · sen r̂ 4 = naire · sen iˆ4
Sustituyendo datos, se obtiene el ángulo iˆ4:
1,40 · sen 33,9° = 1,00 · sen iˆ4 8 sen iˆ4 = 0,781 8 iˆ4 = 51,3°
b) El ángulo de desviación experimentado, d, vale:
d = (iˆ + iˆ4) – a 8 d = (20° + 51,3°) – 48° = 23,3°
La deducción de la expresión que permite calcular el ángulo de desviación puede consultarse en la página 273 del libro del alumno.
c) El ángulo de desviación mínima se da cuando los ángulos de incidencia y de
emergencia son iguales. Por tanto, se cumplirá que:
a
48°
8 r̂ =
= 24°
iˆ = iˆ4 8 r̂ = r̂ 4 =
2
2
Aplicando la ley de Snell de la refracción a la primera cara del prisma se tiene:
1,00 · sen iˆ = 1,40 · sen 24° 8 sen iˆ = 0,569 8 iˆ = 34,7°
Por tanto, el ángulo de desviación mínima, dm, es:
dm = 2 · iˆ – a 8 dm = 2 · 34,7° – 48° = 21,4°
34. Un prisma de vidrio óptico, cuya sección es un triángulo equilátero, desvía un
rayo de luz que lo atraviesa con un ángulo de desviación mínima de 45°. Determina el índice de refracción del vidrio con que se ha fabricado el prisma.
Como la sección es un triángulo equilátero, el ángulo del prisma será de 60°. Como
el ángulo de desviación mínima, dm, vale 45°, tenemos:
d +a
45° + 60°
=
= 52,5°
dm = 2 · iˆ – a 8 iˆ = m
2
2
Por otro lado, se cumple (véase la página 273 del libro del alumno) que:
a
60°
r̂ = r̂ 4 =
8 r̂ =
= 30°
2
2
Aplicando la segunda ley de Snell de la refracción a la primera cara del prisma, obtenemos el índice de refracción del vidrio:
sen 52,5°
1,00 · sen 52,5° = n · sen 30° 8 n =
= 1,59
sen 30°
35. Determina el índice de refracción de un prisma de 60°, sabiendo que un rayo
de luz que incide rasante a una cara sale formando un ángulo de 45° con la
otra cara del prisma.
De acuerdo con el enunciado, podemos dibujar lo siguiente:
60°
90°
r
45°
r'
60°
Unidad 9. Naturaleza y propagación de la luz
309
Como sabemos, a = r̂ + r̂ 4 = 60°. Aplicando la ley de la refracción a las dos caras:
• Primera cara:
1,00 · sen 90° = n · sen r̂ 8 n =
• Segunda cara:
sen 90°
1
=
sen r̂
sen r̂
n · sen r̂ 4 = 1,00 · sen 45° 8 n =
sen 45°
sen r̂ 4
Igualando las expresiones obtenidas, resulta:
1
sen 45°
n=n 8 n=
=
sen r̂
sen r̂ 4
Si resolvemos el sistema formado por las ecuaciones siguientes, obtenemos el índice
de refracción del prisma:
1
sen 45°
=
[1]
sen r̂
sen r̂ 4
r̂ + r̂ 4 = 60°
[2]
Despejando r̂ de [2], sustituyendo en [1], y empleando la relación trigonométrica del
seno de la diferencia de dos ángulos, tenemos:
1
sen 45°
r̂ = 60° – r̂ 4 8
=
8
sen (60° – r̂ 4)
sen r̂ 4
8
1
sen 45°
=
8
sen 60° · cos r̂ 4 – sen r̂ 4 · cos 60°
sen r̂ 4
8
sen r̂ 4
= sen 60° · cos r̂ 4 – sen r̂ 4 – cos 60° 8
sen 45°
8 tg r̂ 4 =
sen 60°
1
+ cos 60°
sen 45°
8 tg r̂ 4 = 0,452 8 r̂ 4 = 24,3 8
8 r̂ = 60° – r̂ 4 = 60° – 24,3° = 35,7°
Finalmente, el índice de refracción resulta:
1
1
n=
=
= 1,71
sen r̂
sen 35,7°
36. Explica brevemente qué es el fenómeno de la dispersión cromática de la luz
blanca por un prisma.
La luz blanca es una mezcla de distintas radiaciones de diferentes frecuencias; es decir, de distintos colores. Al incidir la luz blanca sobre el prisma, las distintas radiaciones o colores se separan, ya que su velocidad de propagación en este segundo
medio es diferente, dependiendo de su frecuencia.
Luz
blanca
Rojo
Naranja
Amarillo
Verde
Azul
Violeta
310
Unidad 9. Naturaleza y propagación de la luz
37. Un haz compuesto de radiación roja, amarilla, verde y azul, incide sobre un
prisma óptico. Indica mediante el correspondiente dibujo en qué secuencia
salen del prisma los colores citados.
Cuando un haz de luz policromático incide sobre un prisma óptico, este experimenta el fenómeno que denominaremos dispersión. Como el índice de refracción
varía con la longitud de onda y, en concreto, disminuye a medida que aumenta la
longitud de onda, tendríamos que:
nazul > nverde > namarillo > nrojo
ya que:
lazul < lverde < lamarillo < lrojo
Por tanto, el color que experimentará la máxima desviación será el azul, seguido
del verde, del amarillo y, por último, del rojo, que será el color con menos desviación. El dibujo muestra lo expuesto anteriormente:
Haz
policromático
Rojo
Amarillo
Verde
Azul
38. Un rayo de luz blanca incide desde el aire sobre una lámina de vidrio con
una inclinación de 30° respecto a la normal de la superficie. ¿Qué ángulo
formarán entre sí en el interior del vidrio los rayos rojo y azul?
Datos: nrojo = 1,612; nazul = 1,671.
Como la luz roja y la luz azul tienen distinto índice de refracción, sus respectivos
rayos se dispersarán en la superficie de
separación.
Al tener la luz azul mayor índice de refracción, sus rayos quedarán más cerca
de la normal, tal y como muestra la figura
de la derecha.
Aplicando la segunda ley de Snell de la
refracción a los dos rayos, tendremos:
N
Aire
i
n1 = 1,000
nrojo = 1,612
nazul = 1,671
Vidrio
rr
ra
α
• Para el rojo:
n1 · sen iˆ = nrojo · sen r̂rojo 8 1,000 · sen 30° = 1,612 · sen r̂rojo 8 r̂rojo = 18,1°
• Para el azul:
n1 · sen iˆ = nazul · sen r̂azul 8 1,000 · sen 30° = 1,671 · sen r̂azul 8 r̂azul = 17,4°
Por tanto, el ángulo a que formarán entre sí los dos rayos es:
a = 18,1° – 17,4° = 0,7°
Unidad 9. Naturaleza y propagación de la luz
311
39. Razona la veracidad o la falsedad de la proposición siguiente: «La luz roja tiene mayor longitud de onda que la luz azul; por tanto, experimentará mayor
desviación cuando ambas lleguen a un prisma».
La proposición es falsa. Cuanto menor es la longitud de onda de una radiación, mayor desviación experimenta. Como la longitud de onda de la luz azul es menor que
la de la luz roja, será la azul la que se desvíe más.
40. Explica brevemente cómo se forma el arco iris.
La formación del arco iris es debida a la dispersión que experimentan las distintas
longitudes de onda que componen la luz visible al atravesar las gotas de agua que
hay en la atmósfera.
Cada una de ellas actúa como un prisma óptico, desviando la luz del Sol en diferentes ángulos según la longitud de onda. Así, la luz blanca del Sol es dispersada en
sus distintos colores.
Para observar el arco iris, el Sol ha de estar a nuestra espalda.
41. Busca en la bibliografía adecuada alguna aplicación de la espectroscopia.
Con esta cuestión buscamos un doble objetivo:
1. Completar la información que sobre esta técnica se ha proporcionado en el libro
del alumno.
2. Acostumbrar al alumnado al uso de de otros libros, diferentes a los de texto, aspecto esencial en estudios superiores.
42. Explica brevemente en qué consiste el fenómeno de la difracción, indicando
si este fenómeno es posible para partículas materiales.
La difracción es el fenómeno por el cual la luz es capaz de rodear obstáculos o de
reproducirse al atravesar orificios de determinado tamaño, alcanzando de esta forma puntos del espacio inaccesibles mediante la propagación rectilínea del foco emisor.
Algunas partículas subatómicas, como los electrones y los neutrones, en determinadas condiciones pueden experimentar este fenómeno.
Por ejemplo, cuando se hace incidir un chorro de electrones con la velocidad adecuada sobre un cristal, se pueden obtener figuras de difracción similares a las que
producen los rayos X. En este caso, se manifiesta el comportamiento ondulatorio de
la materia, sobre el cual incidiremos en la unidad 12, al estudiar la dualidad ondacorpúsculo.
43. ¿Por qué es difícil observar el fenómeno de la difracción en las ondas luminosas?
Para que el fenómeno de la difracción sea observable, el tamaño del obstáculo o la
abertura con la que se encuentra la luz ha de ser comparable a la longitud de onda
de esta. Por tanto, salvo que ocurra esto, no observaremos dicho fenómeno.
44. ¿Por qué dos linternas que se mantienen encendidas muy próximas no producen un patrón de interferencias en una pantalla distante?
No producen un patrón de interferencias, porque la luz que emiten no es coherente.
312
Unidad 9. Naturaleza y propagación de la luz
45. Determina la longitud de onda de una luz que atraviesa dos rendijas separadas por una distancia de 0,10 mm y que produce franjas brillantes cada
25,0 mm en una pantalla que está situada a 5 m de las rendijas.
Las franjas brillantes se producen cuando las ondas llegan a la pantalla en fase. Esto ocurre cuando (véase la página 277 del libro del alumno):
Dr = n · l
En la figura observamos que:
Dr = d · sen o
r1
Cuando la pantalla está muy lejos (L >>> d) y nos fijamos en
una posición cercana al máximo central, o es pequeño, y
podemos suponer que sen o = tg o = y/L, siendo y la distancia desde una línea dada a la franja central. Así:
n · l = d · sen o 8 n · l = d ·
y
L
8 y=n·l·
L
d
R1
r2
θ
d
r2 – r1 = d · sen θ
R2
La diferencia de posiciones entre dos franjas brillantes consecutivas (n y n + 1) vale:
Dy = (n + 1) · l ·
L
L
L
–n·l·
=l·
d
d
d
Por tanto:
25,0 · 10–3 m = l ·
5
8 l = 5 · 10–7 m = 500 nm
0,10 · 10–3 m
46. Se hace incidir un haz de luz monocromática de longitud de onda igual a
470 nm sobre dos rendijas separadas 0,010 mm. Si en una pantalla situada a
1,5 m de las rendijas aparece una línea brillante de primer orden, determina
la distancia a la que aparece dicha línea respecto a la franja central.
La figura de la derecha aclara la resolución
del problema.
Observa en la figura que Dr = d · sen o.
Además, para valores pequeños del ángulo o podemos hacer la siguiente aproximación: sen o = tg o. Entonces:
y
tg o =
L
P
R1
y
θ
d
Fuente
r1
θ
r2
O
R2
δ= ∆r
L
La diferencia entre dos franjas brillantes será, por tanto:
Dr = n · l = d · tg o 8 n · l = d ·
Pantalla
y
L
Una línea brillante de primer orden corresponde a n = 1; entonces:
y=n·l·
L
1,5 m
8 y = 1 · 470 · 10–9 m ·
= 0,0705 m
d
0,010 · 10–3 m
Es decir, la línea brillante de primer orden aparece a 70,5 mm de la franja central.
Unidad 9. Naturaleza y propagación de la luz
313
47. Explica brevemente qué significa que un haz de luz está polarizado linealmente.
Decimos que un haz de luz está polarizado linealmente cuando las vibraciones del
campo eléctrico se producen siempre en la misma dirección.
48. Comenta el significado de la frase: «Luz más luz puede dar oscuridad».
La frase hace referencia al fenómeno de interferencias, ya que dos focos de luz coherente, si interfieren destructivamente, pueden dar lugar a zonas oscuras en una
pantalla.
49. Explica brevemente qué es la polarización por reflexión, así como la ley de
Brewster.
Cuando un haz de luz no polarizada se refleja en una superficie, se observa que, en
función del ángulo de incidencia, el haz reflejado puede estar más o menos polarizado. Cuando la tangente del ángulo de incidencia coincide con el índice de refracción relativo del segundo medio, n2, frente al primero, n1, la polarización es total.
Este hecho se conoce como ley de Brewster.
50. Explica brevemente el significado de la frase siguiente: «Cuando un foco luminoso se aleja de nosotros, se produce un desplazamiento de la luz hacia el
rojo». ¿Tiene alguna aplicación este fenómeno?
El efecto Doppler establece que, cuando un foco luminoso cambia su posición respecto a un observador, la frecuencia de la luz que percibe este también cambia. Si
el foco se aleja del observador, la frecuencia de la luz disminuye, y tiende hacia valores característicos del rojo.
Analizando la luz que nos llega de las estrellas, aparte de su composición, podemos
saber si esta se aleja de nosotros observando si se produce este «desplazamiento»
hacia el rojo.
314
Unidad 9. Naturaleza y propagación de la luz