Guia_01_Aplicaciones de la derivadas

Cálculo de Variable Real
Guía de trabajo y estudio No. 3
Escuela de Ingeniería
Centro de Ciencia Básica
Aplicaciones de la derivada (Primera Parte)
Fecha: Mayo – Junio de 2006
Metas de aprendizaje:
- Definir el concepto de razón de cambio
- Determinar la importancia de las aproximaciones lineales y los diferenciales para el cálculo de
estimaciones.
- Comprender y aplicar el teorema de Taylor sobre funciones diferenciables.
Trabajo independiente:
I.
Analizar del texto guía la sección 3.10 (páginas 253 – 259) y responder las siguientes preguntas:
1. ¿Qué implica un problema de tasas relacionadas?
2. Escribir los pasos para resolver un problema de razones relacionadas.
3. Resolver los siguientes ejercicios: 5, 8, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 22, 26, 30, 32, 36.
II. Analizar del texto guía la sección 3.11 (páginas 259 – 266) y responder las siguientes preguntas:
1. ¿Qué es la diferencial de una función?
2. ¿Qué es una aproximación lineal de una función?
3. ¿Qué es el error absoluto, el error relativo y el porcentaje de error relativo?
4. Analizar en la hoja adjunta las fórmulas básicas de diferenciales.
5. Resolver los siguientes ejercicios: 6, 7, 10, 11, 12, 23, 26, 27, 30, 32, 35, 36, 39, 41, 42.
III. Analizar del texto guía el proyecto de laboratorio de la página 266 y responder:
1. ¿En qué consiste el teorema de Taylor y cómo se demuestra?
Trabajo del docente:
Elaboración de la guía y de los talleres.
Evaluación de la guía y de los talleres.
Solución de algunos ejercicios en clase.
Trabajo compartido:
Asesoría permanente, directa e individual durante el trabajo personal.
Conducta de entrada a los conceptos de razón de cambio, aproximaciones lineales y diferenciales.
Orientación de:
Puesta en común: Solución de las preguntas de los numerales I, II y III.
Propuesta evaluativa:
Resolver y justificar los ejercicios propuestos por el docente.
Evaluación escrita sobre el tema y los ejercicios tratados.
Bibliografía:
Texto guía: Stewart, James. Cálculo. Trascendentes tempranas. Cuarta edición.
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Aplicaciones de la derivada (Primera Parte)
Fórmulas básicas de diferenciales
2)
Incremento en x: ∆x = x f − x i
Incremento en y: ∆y = f (x + ∆x ) − f (x )
3)
Si ∆x → 0 entonces ∆y ≈ dy
4)
1)
6)
∆x = h = dx
dy
tan θ =
= f´(x )
dx
dy = f´(x 0 )dx = f´(x 0 )∆x = f´(x 0 )h
7)
f (x 0 + h) − f (x 0 ) ≈ f´(x 0 )h
8)
f (x 0 + h) ≈ f (x 0 ) + f´(x 0 )(x − x 0 ) se llama aproximación lineal o aproximación por la recta tangente de f en
x0 y la función L(x ) = f (a ) + f´(a )(x − a ) se le llama linealización de f en a.
5)
n
f´´(a )
(x − a )2 + f´´´(a ) (x − a)3 + ... + f (a) (x − a)n se llama polinomio de Taylor de
2!
3!
n!
n-ésimo grado de f con centro en x = a.
10) Error absoluto: EA = ∆y − dy
9)
Tn (x ) = f (a ) + f´(a )(x − a ) +
11) Error relativo a y: ERy =
dy
y
12) Porcentaje de error relativo a y: %ERy =
dy
x100%
y