volúmenes de poliedros

VOLÚMENES DE POLIEDROS
CONCEPTO: El volumen es la medida de la capacidad que posee un sólido.
Todo sólido requiere tres dimensiones: largo, ancho y altura (profundidad ó
espesor), es por ello que el volumen tiene unidades cúbicas. A continuación se
enuncian las propiedades de los principales poliedros.
PRISMA:
CONCEPTO: Se denomina prisma a todo sólido que posee dos polígonos
paralelos llamados bases y sus caras laterales son rectangulares.
El área lateral del prisma es igual al perímetro de la base por su altura
𝑨𝑳 = 𝑷𝒃. . 𝑯
El área total del prisma es la suma del área lateral más el área de sus dos bases
𝑨𝑻 = 𝑨𝑳 + 𝟐𝑩
Los prismas se clasifican según el polígono que haya en su base así:
Triangular regular: Su base es un triángulo equilátero
Cuadrangular regular: Su base es un cuadrado
Pentagonal regular: Su base es un pentágono regular
Hexagonal regular: Su base es un hexágono regular
Es de tener en cuenta que esta misma clasificación se utiliza en la pirámide.
El volumen del prisma es el producto del área de la base por su altura
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒊𝒔𝒎𝒂 = 𝑩. 𝑯
PIRÁMIDE:
CONCEPTO: Se denomina pirámide a todo sólido que posee como base un
polígono, normalmente regular, y sus caras laterales son triángulos isósceles
APOTEMA: Se llama apotema de todo polígono regular al segmento trazado
perpendicularmente desde el centro de dicho polígono a uno de sus lados. La
apotema de la pirámide es cualquiera de las alturas de una de las caras laterales
que conforman el sólido.
Existen varias relaciones en la pirámide, una de ellas está conformada por la
altura de la pirámide, la apotema de la base y la apotema de la pirámide quienes
forman un triángulo rectángulo.
𝐴𝑃
𝐻
𝐴𝑏
𝐴𝑝 2 = 𝐻 2 + 𝐴𝑏 2
El área lateral de una pirámide regular es el producto del perímetro de la base por
la apotema sobre dos
𝑨𝑳 =
𝑷𝒃 . 𝑨𝒑
𝟐
El área total de una pirámide regular es igual a la suma de las áreas.
𝑨𝑻 = 𝑨𝑳 + 𝑨𝑩
Recordemos que el área de la base está definida por el polígono que conforma la
base del sólido en cuestión
El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la base
por la altura:
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒊𝒓𝒂𝒎𝒊𝒅𝒆 =
𝑨𝑩. 𝑯
𝟑
CILINDRO:
CONCEPTO: Se denomina cilindro a todo sólido en el cual las bases son círculos
y las caras laterales son circunferencias. Un cilindro se genera cuando un
rectángulo gira alrededor de uno de sus lados.
El área de la base del cilindro es igual al producto del doble de pi por el radio al
cuadrado
𝑨𝑩 = 𝟐𝝅. 𝑹𝟐
Donde R es el radio de la base.
El área lateral del cilindro es igual al producto del doble de pi por la altura
𝑨𝑳 = 𝟐𝝅. 𝑯
El área total se deduce de la siguiente expresión:
𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐵 = 2𝜋𝑅𝐻 + 2𝜋𝑅 2
𝑨𝑻 = 𝟐𝝅𝑹(𝑯 + 𝑹)
El volumen del cilindro es igual a pi por el radio al cuadrado por la altura
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐 = 𝝅𝑹𝟐 𝑯
CONO:
CONCEPTO: Se denomina cono al sólido generado cuando un triángulo gira
alrededor de uno de sus lados o alturas
Como se forma un triángulo rectángulo:
𝐻
𝑔
𝑔2 = 𝐻 2 + 𝑅 2
𝑅
Donde: 𝑔 = Generatriz
𝑅 = Radio de la base
𝐻 =Altura
El área de la base del cono es igual al producto de pi por el radio al cuadrado
𝑨𝑩 = 𝝅. 𝑹𝟐
El área lateral del cono es igual al producto de pi por el radio por la generatriz
𝑨𝑳 = 𝝅. 𝑹. 𝒈
El área total del cono es igual a:
𝐴𝑇 = 𝜋. 𝑅 2 + 𝜋. 𝑅. 𝑔
𝑨𝑻 = 𝝅. 𝑹(𝑹 + 𝒈)
El volumen del cono es igual a:
𝟐
𝝅. 𝑹 . 𝑯
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒐 =
𝟑
Al igual que en la pirámide, el volumen del cono es la tercera parte del cilindro que
tenga las mismas dimensiones
ESFERA:
CONCEPTO: Se denomina esfera al sólido generado por el giro completo de
una semicircunferencia alrededor de su diámetro.
El área de la esfera está dada por:
𝑨𝑬𝒔𝒇 = 𝟒𝝅. 𝑹𝟐
El volumen de la esfera es:
𝟒𝝅. 𝑹
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 =
𝟑
𝟑
EJEMPLOS:
1. La apotema de la base de una pirámide hexagonal regular mide 30
centímetros y una de las aristas laterales mide 50 centímetros. Calcule su
volumen.
Para resolver el problema sobre el volumen de la pirámide se requiere
dibujar la base de ésta y una cara lateral, no la pirámide en si
𝐿
𝐿
ab
2
Para el caso del hexágono regular la apotema de la base es la altura de uno
de los triángulos equiláteros que lo conforman, esta también es una mediana
y mediatriz.
Por Pitágoras:
2
2
𝐿 = 𝑎𝑏
𝑎𝑏
2
𝐿 2
𝐿2
+ ( ) → 𝐿2 = 𝑎𝑏 2 +
2
4
𝐿2 3𝐿2
2𝑎𝑏
=𝐿 − →
= 𝑎𝑏 2 → 𝐿 =
√3
4
4
3
2
Luego,
𝐿=
2.30
3
√3
𝑳 = 𝟐𝟎 √𝟑
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜:
1
∗ 𝐿 ∗ 𝑎𝑏
2
Reemplazando:
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜:
1
∗ 20√3 ∗ 30
2
𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒕𝒓𝒊á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐: 𝟑𝟎𝟎√𝟑 𝒄𝒎𝟐
El hexágono regular está conformado por 6 triángulos equiláteros, por lo
tanto:
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 ℎ𝑒𝑥𝑎𝑔𝑜𝑛𝑜 = 6 Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 ℎ𝑒𝑥𝑎𝑔𝑜𝑛𝑜 = 𝐵 = 6.300√3 𝑐𝑚2
𝑨𝑩 = 𝟏𝟖𝟎𝟎√𝟑 𝒄𝒎𝟐
Cara lateral
𝒂𝑳
𝒂𝑳 = 𝟓𝟎 𝑪𝒎
𝑎𝑝
𝑳 = 𝟑𝟎√𝟑𝑪𝒎
Por ser un triángulo isósceles, su altura ó apotema de la pirámide divide el
lado de la base en dos partes iguales. Por Pitágoras:
𝑎𝑙
2
𝐿 2
𝐿 2
2
2
√
= ( ) + 𝑎𝑝 → 𝑎 𝑝 = 𝑎𝑙 − ( )
2
2
Reemplazando:
2
𝑎𝑝 = √502 − (15√3) → 𝒂𝒑 = 𝟓√𝟕𝟑 𝒄𝒎
Utilizando la relación de la pirámide, para calcular la altura:
𝑯
𝒂𝒑
𝒂𝒃
Por Pitágoras:
𝑎𝑝 2 = 𝑎𝑏 2 + 𝐻 2 → 𝐻 = √𝑎𝑝 2 − 𝑎𝑏 2
Reemplazando:
2
𝐻 = √(5√73) − 302
𝐻 = √1825 − 900
𝐻 = √925 → 𝑯 = 𝟓√𝟑𝟕 𝑪𝒎
El volumen de la pirámide es:
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒊𝒓á𝒎𝒊𝒅𝒆 =
𝑨𝑩. 𝑯
𝟑
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒊𝒓á𝒎𝒊𝒅𝒆 =
1800√3. 5√37
3
𝟑
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒊𝒓á𝒎𝒊𝒅𝒆 = 𝟑𝟎𝟎𝟎√𝟏𝟏𝟏 𝑪𝒎
2. ¿Cuál es el volumen de un cono generado por un triángulo equilátero de 20
cm de lado, si gira alrededor de una de sus alturas?
L=g
H
𝑳
𝟐
Por Pitágoras
𝐿 2
𝐿2 = ( ) + 𝐻 2
2
𝐿2
3𝐿2
2
𝐻 =𝐿 − →𝐻 =
4
4
2
2
3𝐿2
𝐻=√
𝐻=
4
𝐿
→ 𝐻 = 2 √3
20
√3 → 𝑯 = 𝟏𝟎√𝟑 𝑪𝒎
2
Luego, el volumen del cono es:
𝟐
𝝅. 𝑹 . 𝑯
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒐 =
𝟑
Sustituyendo en la fórmula y operando:
2
𝜋(10𝑐𝑚 ).10√3
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒐 =
3
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒐 =
𝟏𝟎𝟎𝟎𝜋 √3
𝟑
𝑪𝒎
𝟑
EJERCICIO PROPUESTO N°30
1. Calcular el área lateral y el área total de un prisma hexagonal regular, si la apotema
de la base mide 12 cm y la arista lateral mide 36 RESPUESTA:AL: 1728√𝟑 Cm2,
AT2304√𝟑 cm2
2. El área total de un paralelepípedo rectángulo es de 376 cm2 ¿Cuáles son sus
dimensiones si están en la relación de 3,4 y 5 RESPUESTA___________
3. Calcular la arista de un prisma triangular regular, si su altura es igual al lado de la
base y el área total es de 10 dm2 RESPUESTA___________
4. Calcule el volumen de un prisma triangular regular si la altura de la base es de 6
cm y la altura del prisma es tres veces el lado de la base RESPUESTA___________
5. La diagonal de la base de un prisma cuadrangular regular mide 12 dm y la arista
lateral mide 40 dm. ¿Cuál es su volumen en centímetros cúbicos?
RESPUESTA: 2880.000 cm3
6. Calcular el volumen, el área lateral, el área total y la diagonal de un cubo cuya
arista mide 24 cm. RESPUESTA___________
7. ¿Cuánto pesa dentro del agua un cuerpo de 300 kg de forma cúbica, si su arista
mide 60 cm? RESPUESTA 84 kg
8. La diagonal de un cubo mide 15 cm. Calcular su volumen
RESPUESTA: 375√𝟑 cm3
9. Calcular el volumen de un prisma hexagonal regular, si la apotema de la base mide
9 cm y la altura del prisma es de 48 cm RESPUESTA___________
10. La apotema de la base de una pirámide regular mide 18 cm, y la altura de la
pirámide mide 24 cm. Calcular
la apotema de la pirámide
RESPUESTA___________
11. Expresar en función de la arista el área lateral del tetraedro regular.
RESPUESTA_________________________________________
12. La apotema de una pirámide triangular regular mide 45 cm y la apotema de la
base mide 27 cm. Calcular su volumen RESPUESTA: 266244√𝟑 cm3
13. Calcular el volumen de una pirámide triangular regular si el lado de la base mide 12
cm y la arista lateral mide 24 cm RESPUESTA___________
14. Una pirámide regular tiene por caras laterales tres triángulos rectángulos isósceles;
la hipotenusa de cada triángulo mide 18 cm. Calcular su volumen
RESPUESTA___________
15. La apotema de la base de una pirámide hexagonal regular mide 15 cm. Calcular su
volumen si la altura de la pirámide es de 45 cm RESPUESTA___________
16. Encuentre el volumen de un tetraedro regular cuya arista mide K.
RESPUESTA___________________________________
17. ¿Cuántos metros cúbicos de agua contiene un pozo cilíndrico de 6 m de
profundidad y 2.5 m de diámetro, si su contenido solo llega a los 2/5?
RESPUESTA___________
18. Un recipiente cilíndrico de 1.8 m de altura tiene una capacidad de 180 litros.
Calcular el radio de la base RESPUESTA___________
19. El lado de un triángulo equilátero mide 8 cm. Calcular el área total y el volumen
del cono generado por dicho triángulo, si gira alrededor de la altura.
RESPUESTA___________
20. Un cono tiene 30 cm3 de volumen. Calcular el área de la base, sabiendo que la
altura del cono es dos veces el radio de la base. RESPUESTA___________
21. Calcular el área de la superficie de una tienda de forma cilíndrica rematada por un
cono, sabiendo que tanto la generatriz del cilindro como la generatriz del cono y el
diámetro común miden 2.5 m c/u. RESPUESTA___________
22. Se quiere construir un embudo de 12 cm de diámetro y 18 cm de generatriz.
¿Cuánto costará el material para construirlo, si se paga a 0.80 dólares el dm 2?
RESPUESTA___________
23. Calcular el radio de la base de un cono de 12 cm de altura, si su volumen es igual
al de una esfera de 8 cm de radio RESPUESTA___________
24. Calcular la capacidad de una caldera cilíndrica rematada por dos hemisferios,
sabiendo que el diámetro común y la generatriz del cilindro mide cada uno 2.5 m
RESPUESTA___________
25. Calcular el radio de una esfera de hierro que pesa 3 Kg (Densidad del hierro 7.8
g/cm3) RESPUESTA___________
26. El área de una esfera es de 352.16 cm2 Calcular el volumen
RESPUESTA___________
de la esfera
27. La circunferencia exterior máxima de una esfera hueca tiene 36 cm y su espesor es
de 2 cm. Calcular su capacidad y el volumen del espesor. RESPUESTA___________
28. Una esfera hueca de cobre tiene 40 cm de diámetro. Calcular su peso sabiendo que
su espesor es de 3 cm (Densidad del cobre 8.9 g/cm3) RESPUESTA___________