FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 1.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
1. EL Angulo de inclinación de una columna con respecto a su base es de 63° y
su altura es de 16 m, hallar los ángulos restantes, el valor de la base y la
longitud de la columna.
2. Para la construcción de una rampa tenemos un Angulo de 20° entre la base
y el largo de la rampa, una altura de 4m, ¿hallar la longitud de la base y el
largo de la rampa.
3. En la construcción del techo de una casa se tienen dos ángulos con
respecto a la base de 33° y una longitud de base de 20m, ¿hallar la altura
de dicho techo y la longitud de cada caída del tejado.
4.
En un parque se requiere construir, además, una plataforma triangular
para presentación de grupos musicales cuyos lados midan 34, 40 y 28 m.
Para trazarlo los albañiles necesitan conocer los ángulos interiores, ¿cuáles
son?
5. Se colocará un arenero en forma de triángulo. Dos de sus ángulos miden
respectivamente 85° y 45°, y el lado entre los dos ángulos mide 6 metros de
largo. Si en su perímetro se colocará un cordón de concreto, ¿cuál es la
longitud del cordón del arenero?
6. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el
triángulo.
C = 90 - 41.7 = 48.3
B = a × sen B
C = a × cos B
b = 5 × sen 41.7 = 3.326m
c = 5 × cos 41.7 = 3.733m
7. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el
triángulo.
C = 90 - 54.6 = 35.4
C= b
Tan B
c=
3
tan 54.6
A=
A=
3
sen 54.6
b
Sen B
= 2.132m
= 3.68m
8. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el
triángulo.
C = arc cos 4 = 48.19
6
B = 90 - 48.19 = 41.81
C = a × sen C
c = 6 × sen 48.19 = 4.47m
9. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el
triángulo.
C = arc tan 5 = 59.04
3
B = 90 - 59.04 = 30.96
A=
c
Sen C
a=
5
=
Sen 59.04
5.831m
10.
Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un
ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
Tan 12 = 800
d
d = 3763.70m
11. Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga.
Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.
12. Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de
24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70°.
13.
Cuando los rayos del sol forman un
angulo de 40° con el suelo la sombra de un árbol mide 18 m ¿Cuál es su
altura?
40
18
𝑥
Tan 40°= 18
14.
x=tan40° * 18 = 15.1m
calcular la altura del faro
x=
x
67
700m
700
sen67=
𝑥
𝑠𝑒𝑛67
x=
700
67
700
15.
Se encuentra que el Angulo de
elevación hasta la parte superior del Empire State en Nueva York es 11°
desde el suelo a una distancia de 1 milla a partir de la base del edificio.
Hallar la altura del edificio
h
11°
1
ℎ
Tan (11°) = 1
h= 1*tan(11°) = 0,19millas
16.
un poste se cayo en una avenida de 6
m de ancho y este cayo sobre una casa y formo un angulo de 25 ¿
que altura es la casa?
h
ℎ
Tan (25) = 6
25
°
h= t an(25)*6 = 2.79
17.
Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable
tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de
13.75 m
cos(B) =
7.5
13.75
=
56.94°
18. Calcular la altura de una torre sabiendo que esta proyecta una sombra de
8m. cuando los rayos del sol inciden sobre la tierra con un anulo cuya
tangente es 1´6351.
Rta:
Llamando h a la altura de la torre
Tg α = h/8
Tg α = 1´6351
h/8 = 1´6351
h
h= (8). 1´6351
h= 13´0808 m
8m
19.Una persona observa en un ángulo de 54°, lo alto que es un edificio; si la
persona mide 1,72 m y esta ubicada a 18 metros de la base del edificio.
¿Cuál es la altura en metros del edificio?
Rta:
Altura = h
18 m de distancia
1,72m
Sea el ángulo C, el ángulo base se determina:
a)
b)
c)
d)
Cateto opuesto: AB = altura del edificio = h
Cateto adyacente: BC = distancia = 18 m
Angulo = 54°
Función: trigonométrica que relaciona el cateto opuesto y el cateto
adyacente es la función tangente.
Tan θ . Cateto opuesto
= AB = h_
Cateto adyacente
BC 18 m
Tan 54° = h_
18m
h = (Tan54°)(18m)
h = (1,37638192)(18m)
h = 24,77 m
La altura del edificio según la posición del observador es de 24,77m a ello
se le suma la altura del observador, lo que proporciona.
Altura total h = 24,77 m + 1,72 m
Altura total h = 26,49 m
20.Calcula
la altura de la luz de un faro sobre un acantilado cuya base es
inaccesible, si desde un barco se toman los siguientes medidas:
 El ángulo que forma la visual hacia la luz con la línea de horizonte es
de 25°
 Nos alejamos 200 m y el ángulo que forma ahora dicha visual es de
10°
h
25°
10°
X
200m
Tan 25° = h = h . X ( Tan 25°)
X
Tan 10° =
h
= h =(X + 200) Tan 10°
X + 200
X . Tan 25° = ( X + 200 ) Tan 10° = X ( Tan 25°- Tan 10°) = 200 . Tan 10°
= X = _ 200 . Tan 10° = 121,6 m
Tan 25° - Tan 10°
h = X Tan 25° = 121,6m . Tan 25°= 56,7m
21.Para calcular la altura del edificio PQ hemos medido los ángulos que indica
la figura. Sabemos que hay un funicular para ir de S a Q cuya longitud es de
250m. Hallar PQ
Rta:
P
Q
250m
10°
R
30°
 Calculamos SR y RQ con el triángulo SQR
Cos 30°= SR = SR = 250 . Cos 30° = 216,5 m
250
Sen 30° = RQ = RQ = 250 . Sen 30° = 125 m
250
 Calculamos RP con el triángulo SPR
Tan 40° = RP = RP = 216,5 . Tan 40° = 181,66m
SR
PQ = RP – RQ = 181,66 – 125 = 56,66
La altura del edificio es de 56,66m
22.Calcula la altura de la torre si nuestro personaje está a 7m de la base de la
torre, el ángulo con el que está observando la cúspide es de 60° y sostiene el
artículo a una altura de 1,5m.
60°
1,50m
7m
Rta:
Tan 60° = b = b = b = (7) . Tan 60° = (7) . 1,73 = 12,11m
c
7
R/la torre tiene un altura de 12,11m + 1,5 m = 13,61 m.
23.
Hallar la distancia que hay entre el techo y
la puerta principal de la casa. Lados a=5m, b=?,
c=? y ángulos A=33 grados, B= 57 grados, C=?
Desarrollo:
5
57
• tan 33 = 𝑏
a=
5m
5
b= 𝑡𝑎𝑛33
b= 7.69 m
√𝑐 2 = √ 𝑎2 + 𝑏2
b= ?
33
24.
Hallar a cuantos grados la pared esta
inclinada y cuál es su tamaño.
25.
Hallar la base de la rampa de acróbatas.
26.
Hallar el Angulo faltante y el lado faltante
del puente peatonal.
27.
Una persona observa en un ángulo de 54
grados lo alto que es un edificio; si la persona
mide 1.72 metros y está ubicado a 18 metros de
la base del edificio. Cuál es la altura del edificio?
28.
D e u n t ri án gu l o r ec t án gu l o AB C, s e c on o c en b = 3 m
y B = 54 .6 °. R e s ol v e r el tri án gu l o.
29.
D e u n t ri án gu l o r ec t án gu l o AB C, s e c on o c en a = 6 m
y b = 4 m. R e s ol v e r el t ri án gu l o.
30.
y c
D e u n t ri án gu l o r ec t án gu l o AB C, s e c on o c en b = 3 m
= 5 m . R es ol v e r el t ri án gu l o.
31.
Un á r bol d e 50 m d e al to p r o y ec ta u n a s om br a d e 60
m d e l ar ga . En c on t r ar el án g u l o d e el e v aci ón d el s ol en e s e
mo m en t o.
32.
Un di ri gi bl e qu e e st á v ol an do a 8 00 m de al tu ra ,
di sti n gu e u n pu ebl o c on u n án gu l o d e d e pr e si ón d e 12 °. ¿A
qu é di st an ci a d el pu ebl o s e h al l a?
33.
Hal l ar el r adi o d e u n a ci r cu n f e r en ci a s a bi en d o qu e
u n a cu e rd a d e 2 4. 6 m ti en e c om o a r c o c o r r es p on di en t e
u n o d e 70 °.
34.
Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33
m de altura que forma un angulo de 60° con respecto al piso.
c=5m
Por lo tanto, la escalera mide 5 m.
35.
Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable
tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un
largo de 13.75 m
cos = 0.5454
El angulo formado por el poste y el cable tirante es de 56° 57'
36.
El lado de un octógono regular mide 12 metros. Calcula la longitud de los
radios de las circunferencias inscrita y circunscrita.
El radio de la circunferencia inscrita se corresponde con la apotema: r
El radio de la circunferencia circunscrita se corresponde con el radio del octógono: R
Ángulo central = 360 : 8 = 45°
12
𝑅
=
𝑠𝑒𝑛 45° 𝑠𝑒𝑛 67,5°
2a 180 °- 45°= 135° a= 67,5
R= 15,68 m 𝑟 2 =15,682-62 =209,86 r=14,49m
37.
Halla el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 10
centímetros de radio.
Ángulo central 360° :5 = 72°
10
𝑠𝑒𝑛45°
𝑎=
=
x
𝑠𝑒𝑛72°
2a = 180 ° - 72°= 108°
⇒ x = 11,76 cm
11,76𝑥5𝑥8,09
=237,85
2
a= 54 sen
𝑎2 =102 - 5,882 = 63,43
a=8,09m
𝑐𝑚2
38.
Los lados de un paralelogramo forman un ángulo de 70. Sus medidas son 7 y 8
centímetros. a) Calcula la longitud de la diagonal menor. b) Halla el área del
paralelogramo.
d
7 cm
h
h
8 cm
a) 𝑑2 = 72 + 82 - 2 x 7 x8 cos 70°= 74,694 ⇒
b) sen 70°=
h
7
⇒
d = 8,643 cm
h = 6,578 cm
A = 8x 6,578 = 52,624 cm2
39.
Un ingeniero observa una torre de comunicación desde un ángulo de 43º.
Si el ingeniero mide 1,80 y está observando a 23 metros de la torre ¿Qué altura
tiene esa torre?
40.
Seguridad industrial de la empresa OI-Peldar requiere saber donde apoyar
la escalera y el ángulo formado.
a=
b=
41.
El ángulo de inclinación de una tabla con respecto a su base es de 72 y la
altura es 18. Halle los ángulos
42.
Halla las razones trigonométricas del ángulo que se
forma en un plano
7m
α
25m
7
sen α =
cos α =
Tg α =
25
= 0,28;
√252 −72 24
25
7
24
=
25
≈ 0,29
= 0,96.
43.
Obtener la longitud de una
escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que
forma un angulo de 60° con respecto al piso.
c=5m
Por lo tanto, la escalera mide 5 m.
44.
una casa
Hallar los datos del plano de
11.6m
8m
SEN α =
√11.62 −82
11.6
=
8,4
11,6
= 0,724
45.
Con la misma información anterior hallar el otro
ángulo con el coseno.
8
cos α =
11,6
= 0,69
46.
Hallar el ultimo lado del plano para todos sus ángulos
8,4
tang α =
11,6
47.
= 1,05
Los obreros quieren saber las dimensiones de unos nuevos ladrillos
sabiendo que el ladrillo lo han dividido en dos por su diagonal y mide
48cm además saben que uno de sus ángulos es 90º y el otro 28º calcule
las dimensiones del ladrillosin
48.
Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable
tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un
largo de 13.75 m
cos = 0.5454
49.
Un albañil necesita saber cuántos metros debe medir el tirante de un
techo. Calcúlenlo sabiendo que la línea por medir es la que está indicada
en color rojo.
𝑐𝑜
sin 30 = ℎ𝑖𝑝
ℎ𝑖𝑝 =
𝑐𝑜
sin 30
ℎ𝑖𝑝 =
2
sin 30
ℎ𝑖𝑝 = 4
50.
Los lados de un paralelogramo forman un ángulo de 70. Sus medidas
son 7 y 8 centímetros. a) Calcula la longitud de la diagonal menor. b) Halla
el área del paralelogramo.
d
h
7 cm
h
8 cm
a) 𝑑2 = 72 + 82 - 2 x 7 x8 cos 70°= 74,694 ⇒
b) sen 70°=
h
7
⇒
d = 8,643 cm
h = 6,578 cm
A = 8x 6,578 = 52,624 cm2
51.
El extremo superior de una escalera esta apoyada en una pared de
forma que alcanza una altura de 3m. Si forma un ángulo 51º con el suelo,
¿Cuál es el largo de la escalera?
Sen51º=3/hip
3
Hip=𝑠𝑒𝑛51º
Hip=3.86m
52.
Un observador se encuentra en un faro al pie de un
acantilado. Esta a 687m sobre el nivel del mar, desde este punto
observa un barco con un ángulo depresión de 23º. Se desea saber
a que distancia de la base del acantilado se encuentra el barco.
53.
La gente de Bridgetown quería construir un puente para
cruzar el río cercano. Como son muy malos nadadores, su
maestro Trigonomos aceptó medir el ancho del río sin tener que
cruzarlo.
Trigonomos encontró un árbol al otro lado del río y marcó el punto que estaba
directamente frente a él. Después caminó hasta otro punto que estaba
a 10 metros río abajo y encontró que el ángulo entre su lado del río y la línea
que lo conectaba con el árbol era de 40°
¿Cuál es el ancho el río?
𝑥
= tan(40°)
10
𝑥 = tan(40°) ∗ 10
𝑥 = 8.39𝑚
54.
Los brazos de un compás, que miden 12 cm, forman un ángulo de 50°.
¿Cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura?
𝑐. 𝑜𝑝
ℎ𝑖𝑝𝑜
𝑐. 𝑜𝑝
𝑠𝑒𝑛 25° =
12 𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑛 25° × 12 𝑐𝑚 = 𝑐. 𝑜𝑝
5,07 𝑐𝑚 = 𝑐. 𝑜𝑝
𝑠𝑒𝑛 25° =
R/ el radio de la circunferencia que puede trazar este compas es 10,14 cm.
55.
Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con
un avión que va a aterrizar. En ese momento, el avión se encuentra a una altura de
1 200 metros y el ángulo de observación desde la torre (ángulo que forma la visual
hacia el avión con la horizontal) es de 30°.
¿A qué distancia está el avión del pie de la torre si esta mide 40 m de altura?
𝑡𝑔 30° =
1200 − 40
𝑑
1160
𝑑
𝑡𝑔 30° × 1160 = 𝑑
𝑑 = 2 009,2 𝑚
𝑡𝑔 30° =
Utilizando el teorema de Pitágoras:
𝐷 = √12002 + 2009.22 = 2 340,3 𝑚
𝐷 = 2 340,3 𝑚
R/ La distancia del avión al pie de la torre es de 2 340,3 m.
56.
El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en
un Ángulo de depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del
mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del
naufragio?
4
𝑐. 𝑎𝑑𝑦
40
𝑐. 𝑎𝑑𝑦 =
𝑡𝑎𝑛𝑔 12°
𝑐. 𝑎𝑑𝑦 = 188.19
R/El buzo necesita avanzar aproximadamente 188 metros para llegar a los restos del
Naufragio.
tang 12 ° =
57.
Un árbol de hoja perenne está sostenido por un alambre que se extiende
desde 1.5 pies debajo de la parte superior del árbol hasta una estaca en el suelo.
El alambre mide 24 pies de largo y forma un ángulo de 58° con el suelo. ¿Qué
altura tiene el árbol?
𝑐. 𝑜𝑝
ℎ𝑖𝑝𝑜
𝑐. 𝑜𝑝
sin 58° =
24 𝑝𝑖𝑒𝑠
sin 58° × 24 𝑝𝑖𝑒𝑠 = 𝑐. 𝑜𝑝
20.4 = 𝑐. 𝑜𝑝
se suma la altura la altura hasta donde está el punto de la soga con los 1.5 pies de demás
que tiene el árbol.
sin 58° =
1.5
1.5 + 20.4 = 21.9 𝑝𝑖𝑒𝑠.
R/ la altura total de este árbol es de 21.9 pies.
58.
Un faro está ubicado sobre la playa. El faro tiene una altura de 675 metros.
Desde lo alto del faro y en un ángulo de depresión de 76° se divisa una
embarcación. ¿A qué distancia de la base del faro se encuentra la embarcación?
𝑡𝑎𝑛𝑔76° = (𝑐. 𝑜𝑝)/(𝑐. 𝑎𝑑𝑦)
𝑡𝑎𝑛𝑔76° = (𝑐. 𝑜𝑝)/(𝑐. 𝑎𝑑𝑦)
𝑡𝑎𝑛𝑔76° × 675𝑚 = 𝑐. 𝑜𝑝
4.01 × 675𝑚 = 𝑐. 𝑜𝑝
2706.75 = 𝑐. 𝑜𝑝
R/ La embarcación se encuentra a 2706.75 m de distancia de la base del faro.
59.
Calcula la altura de la torre de acuerdo con la siguiente gráfica.
𝑐. 𝑜𝑝
20.4𝑚
𝑠𝑒𝑛 34° × 20.4 = 𝑐. 𝑜𝑝
11.40 = 𝑐. 𝑜𝑝
𝑠𝑒𝑛 34° =
R/ La altura de la torre es de 11.40
60.
Calcular la altura del monte.
𝑐. 𝑜𝑝
650 𝑚
𝑐. 𝑜𝑝 = 650 𝑚 × 𝑠𝑒𝑛 30°
𝑐. 𝑜𝑝 = 650 𝑚 × 0,5
𝑐. 𝑜𝑝 = 325 𝑚
𝑠𝑒𝑛 30° =
R/La altura de la montaña es de 325 m
61.
Calcular la altura de la torre.
𝑐. 𝑜𝑝
20𝑚
𝑐. 𝑜𝑝 = 20 · 𝑡𝑎𝑛𝑔 45°
𝑐. 𝑜𝑝 = 20 · 1
𝑐. 𝑜𝑝 = 20𝑚
𝑡𝑎𝑛𝑔 45° =
R/ La altura de la torre es 20 m.