Taller 9 - Universidad Nacional de Colombia : Sede Medellin

Taller No 9 de Cálculo Integral
Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellı́n
Semestre 01 – 2013
1. Hallar los centros de masa de las áreas determinadas por
2
9 27
R:
,
4 10
27
R : 0,
5
8
R : 2,
5
π π R:
,
2 8 4R
R : 0,
3π
3 12
R:
,
2 5
4
R : π,
3
1 256 1 256
R:
,
π 315 π 315
a) y = x ,
0 ≤ x ≤ 3.
b) y = x2 ,
y = 9.
c) y = 4x − x2 ,
y = 0.
d) y = sen x ,
0 ≤ x ≤ π.
e) x 2 + y 2 = R 2 ,
0 ≤ y.
f) y = 4 x − x2 ,
y = x.
g) x = t − sen t,
y = 1 − cos t .
h) x = cos3 t ; 0 ≤ x ,
y = sen 3 t ; 0 ≤ y .
2. Las placas descritas a continuación se encuentran sumergidas verticalmente en un
fluido con peso especf́ico γ. Encuentre la fuerza por presión hidrostática ejercida por el
fluido contra el costado de la placa
a) Placa rectangular de altura 8 y ancho 6.
R: 96 γ
b) Triángulo isóceles de base 30, altura 20; la base está en el nivel del fluido.
R: 2000 γ
c) Semicı́rculo de radio 2 con base en el nivel.
R:
2
16
3
γ
d) y = x , y = 14.
R: 25.6 γ
2
e) y = 4 − x , y = 0.
R: 17 γ
3. Una fuerza de 10 lb es necesaria para sostener un resorte estirado 4 in más que
su longitud natural.¿Cuánto trabajo es realizado en estirarlo 6 in mas que su longitud
natural?
4. Suponga que hacen falta 2 J de trabajo para estirar un resorte desde su longitud
natural de 30 cm hasta una longitud de 42 cm.
1
(i) ¿Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte de 35 a 40 cm?
R:
25
24
J
(ii) ¿Si se aplica una fuerza de 30 N, cuanto se alargará el resorte?
R: 10.8 cm
5. Un resorte tiene longitud natural de 20 cm. Compare el trabajo W1 realizado al estirar
el resorte de 20 cm a 30 cm con el trabajo W2 realizado al estirarlo de 30 cm a 40 cm.
¿Cómo están relacionados W1 y W2 ?
R: W2 = 3 W1
6. Una cuerda gruesa de 50 ft de largo pesa 0.5 lb/ft y cuelga sobre el borde de un edificio
de 120 ft de altura.
(i) ¿Cuánto trabajo es realizado para tirar de la cuerda hasta lo alto del edificio?
R: 625 ft-lb
(ii) ¿Cuánto trabajo es realizado al tirar de la mitad de la cuerda hasta lo alto del
edificio?
ft - lb
R: 1875
4
7. Un cable que pesa 2 lb/ft se usa para levantar 800 lb de carbón por un tiro de mina
de 500 ft de profundidad. Encuentre el trabajo realizado.
R: 650000 ft-lb
8. Una cadena de 10 ft pesa 25 lb y se halla colgada del cielo raso. Encuentre el trabajo
realizado al elevar el extremo inferior de la cadena hasta que quede al nivel del extremo
superior.
R: 3857 J
9. Una cubeta de 10 kg que tiene una fuga es levantada del suelo a una altura de 12 m a
una rapidez constante con una cuerda que pesa 0.8 kg/m. Inicialmente la cubeta contiene
36 kg de agua, pero ésta se fuga de modo constante y termina sin agua justo cuando la
cubeta llega al nivel de 12 metros. ¿Cuanto trabajo es realizado?
R: 125 lb-ft
10. Un acuario de 2m largo, 1 m de ancho y 1 m de profundidad está lleno de agua.
Encuentre el trabajo necesario para bombear a mitad del agua fuera del acuario (la
densidad del agua es de 1000 kg/m3 ).
R: 2450 J
11. Un acuario de 5 ft de largo, 2 ft de ancho y 3 ft de profundidad etá lleno de agua
(i) Encuentre la presión indrostática sobre el fondo del acuario.
R: 187.5 lb/f t2
(ii) La fuerza hidrostática sobre el fondo del acuario.
R: 1875 lb
(iii) La fuerza hidrostática sobre un extremo del acuario.
R: 562.5 lb
12. Un canal está lleno con un fluido de densidad 840kg/m 3 . Los extremos del canal
son triángulos equiláteros con lados de 8 m y vértice en el fondo. Encuentre la fuerza
hidrostática en un extremo del canal.
2
R: 5.27 × 105 N
13. Una piscina mide 20 ft de ancho, 40 de largo y su fondo es un plano inclinado, con el
extremo menos profundo de 3 ft y el extremo profundo de 9 ft. Si la piscina se llena de
agua calcule la fuerza hidrostática sobre
(i) El extremo menos profundo
R: 5.63 × 103 lb
(ii) El extremo profundo
R: 5.06 × 104 lb
(iii) Uno de los costados.
R: 4.88 × 104 lb
(iv) El fondo de la piscina.
R: 3.03 × 105 lb
14. Las masas mi , están situadas en los puntos Pi con i = 1, 2, 3. Encuentre los momentos
Mx , My y el centro de masa del sistema.
m1 = 6 ,
P1 = (1, 5) ,
m2 = 5 ,
P2 = (3, −2) ,
m3 = 10 ;
P3 = (−2, −1) .
1 10
, 21
R: 10, 1, 21
15. Trace la región acotada por las curvas y visualmente calcule la ubicación del centroide.
A continuación encuentre las coordenadas exactas del centroide.
a) y = 4 − x 2 ,
y = 0.
b) y = e x ,
y = 0,
x = 0,
3
x = 1.
R : (0, 1.6)
e+1
1
,
R:
e−1
4