Unidad 2 parte 1 Hidrostática

Hidrostática
HIDROSTÁTICA
La hidrostática es el estudio de los líquidos en equilibrio. Para comenzar este estudio debemos
definir una nueva magnitud denominada presión.
PRESIÓN
¿ Por qué es mas fácil clavar un clavo de punta que de cabeza? ¿ Por qué para caminar en la
nieve sin hundirse se utilizan raquetas o esquíes?
Pensemos la respuesta: Un hombre con raquetas en los pies pesa lo mismo que sin ellas (si no
tenemos en cuenta el peso de las raquetas), por lo tanto no habrá a razón para que se hundiese en un caso
más que en el otro.
En el caso del clavo, el martillo aplicará la misma fuerza sobre él, este de cabeza o de punta.
Sin embargo el efecto observado no es el mismo. A esta altura ya todos sospechamos donde
está la clave de este problema, en la "superficie".
Así es, en estos fenómenos como en muchos otros, no solo el efecto observado depende de la
fuerza, sino también de la superficie de interacción entre los cuerpos.
Para medir este "efecto" es necesario definir una nueva magnitud que se denomina presión y
relaciona la fuerza aplicada con la superficie de interacción.
Presión:
Es una magnitud escalar cuyo valor se obtiene como el cociente entre el módulo de la fuerza
aplicada por un cuerpo sobre otro y la medida de la superficie de interacción o contacto entre los cuerpos.
Unidades:
Ejemplo 1:
¿ Qué significa que la presión que ejerce un cuerpo sobre otro sea 8 kg/cm2?
Significa que en cada cm2 de superficie de contacto está ejerciendo una fuerza de 8 kg.
Ejemplo 2:
Se desea cortar un trozo de carne con un cuchillo ejerciendo un fuerza de 2 kg. Calcular la
presión aplicada por el cuchillo sobre la carne si:
a-se corta con el canto que tiene una superficie de 0,8 cm2.
b-se corta con el filo que tiene una superficie de 0,00001 cm2 de superficie.
solución
a)
b)
Calculamos la presión en el primer caso:
b) Calculamos la presión en el segundo caso:
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Obsérvese que aunque la fuerza es la misma la presión es machismo mayor cuando se corta
con el filo.
Sólidos y líquidos
Una de las diferencias entre un sólido y un líquido es que los sólidos tienen forma propia
mientras que los líquidos adoptan la forma del recipiente que los contiene. Sin embargo existe otra
diferencia tan importante como ésta que fue descubierta por "Blas Pascal"(francés 1623-1662):"Los
sólidos transmiten fuerzas mientras que los líquidos transmiten presiones".
Principio de Pascal
Las presiones ejercidas sobre un líquido se transmiten con igual intensidad a todos los
puntos del líquido y pueden ejercer fuerzas en todas direcciones y sentidos.
Esto significa que si tomamos un recipiente cilíndrico como el de la figura, le colocamos un
líquido en su interior y lo cerramos con un pistón (como una jeringa con su punta tapada); al presionar sobre
el pistón la presión ejercida será igual en todos los puntos del líquido.
Prensa hidráulica
La prensa hidráulica es una máquina que se basa en el principio de Pascal.
Si tomamos dos jeringas de diámetro diferentes(una pequeña y otra grande) y las unimos por
sus puntas como indica la figura, se podrá observar que al presionar sobre el pistón menor con una cierta
fuerza, sobre el pistón mayor habrá que ejercer una fuerza mayor para equilibrar el sistema.
¿ Por que sucede esto?
La respuesta es sencilla. La fuerza aplicada sobre la superficie del pistón menor se traduce en
una presión sobre el líquido. Esta presión, según el principio
de Pascal, se transmite con igual intensidad a todos los puntos del líquido, incluso a los que se
encuentran en contacto con la superficie del pistón mayor. Como esta superficie es mayor, la presión sobre
ella ejerce una fuerza mayor.
Veamos con las ecuaciones: si llamamos F1 a la fuerza sobre el pistón menor y S1 a su
superficie, la presión ejercida sobre el líquido será:
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Según el principio de Pascal ésta presión se transmitirá hasta el otro pistón con la misma
intensidad, por lo tanto, si llamamos p2 a la presión sobre el pistón mayor:
p1 = p2
Pero si llamamos F2 y S2 a la fuerza y la superficie del pistón mayor respectivamente, tenemos:
Uniendo las ecuaciones (1) y (2) nos queda:
Ejemplo 3:
Sobre el pistón menor de una prensa hidráulica que mide 3 cm2 se ejerce una fuerza de 12 kg.
Calcular la fuerza que se obtiene sobre el pistón mayor que mide 300 cm2.
datos:
F1 = 12 kg.
S1 = 3 cm2.
S2 = 300 cm2.
Solución:
Aplicamos la ecuación que deducimos para la prensa hidráulica:
despejando:
Respuesta: Se obtiene una fuerza de 1200 kg.
Dispositivo de la prensa hidráulica
Pese a que en el pistón mayor se puede obtener una fuerza mucho mayor que la aplicada en el
menor, existe un inconveniente. Cuanto más fuerza se obtiene, menor es el desplazamiento del pistón
mayor. Para solucionar éste problema se ideó el siguiente dispositivo:
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Al presionar sobre el pistón menor se abre la válvula (A) y se cierra la (B), el líquido pasa al
cilindro mayor y el pistón comienza a prensar el cuerpo (D). Al subir el pistón menor se cierra la válvula (A) y
se abre la (B), permitiendo que el líquido que se encuentra en el depósito (C) llene el cilindro menor.
Repitiendo ésta operación en forma continua se logra prensar el cuerpo (D). Cuando la operación está
terminada, se abre el grifo (E) y el líquido contenido en el cilindro mayor regresa al depósito permitiendo que
el pistón descienda.
Este dispositivo es utilizado por los gatos hidráulicos que se ven en las gomerías, talleres y
estaciones de servicio.
Presión hidrostática
Teorema fundamental de la hidrostática
Como hemos visto experimentalmente los líquidos en reposo ejercen presión. Esta presión
depende en forma directamente proporcional de la profundidad. Pero ¿ cuál será la constante de
proporcionalidad?.
Supongamos que tenemos un recipiente como el de la figura que contiene un líquido
cualquiera y queremos saber la presión hidrostática en el punto "A".
Nosotros sabemos que para calcular la presión debemos realizar un cociente entre la fuerza y
la superficie, pero ¿ qué fuerza y qué superficie?
Imaginemos que el punto "A" pertenece a una superficie cuadrada "S" que es la base de un
prisma rectangular y que la superficie opuesta a "S" se encuentra en la superficie del líquido.
La fuerza que actúa sobre "S" es ejercida por el peso del líquido contenido en el prisma "P", por
lo tanto la presión será :
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Pero el peso del líquido contenido en el prisma puede calcularse conociendo el volumen del
prisma que a su vez se encuentra relacionado con la superficie "S" y la altura "h":
P=ρ.V= ρ.S.h
(2)
Remplazando (2) en (1) nos queda:
Finalmente simplificando:
p = ρ . h
L
Conclusión:
La presión hidrostática es directamente proporcional a la altura sumergida, siendo la constante
de proporcionalidad entre éstas magnitudes el peso específico del líquido.
Por lo tanto todos los puntos que se encuentran a la misma profundidad, en el interior de una
masa líquida, tienen la misma presión.
Es importante destacar que tampoco depende de la forma del recipiente
Ejemplo 4:
Un batisfera de 1 m de radio se encuentra sumergida a 500 m de profundidad. Calcular la
presión y la fuerza que soporta.
Solución
Aplicamos el teorema fundamental para calcular la presión:
p = ρ. h = 1 g/cm3 . 50.000 cm = 50.000 g/cm2 = 50 kg/cm2
Calculamos ahora la superficie de la batisfera para poder calcular la presión:
S = 4 . π . r2 = 4 . 3,14 . (1 m) 2 = 12,56 m2
La fuerza será :
F = P . S = 50 kg/cm2 . 125.600 cm2 = 6.280.000 kg
Respuesta: Soporta una presión de 50 kg/cm2 y una fuerza de 6.280 toneladas.
Vasos comunicantes
Se denominan vasos comunicantes a dos o mas recipientes unidos por sus bases.
Como el líquido se encuentra en equilibrio, la presión en el fondo de cada recipiente debe ser
la misma, por lo tanto la altura de todas las columnas también será la misma.
Vasos comunicantes con distintos líquido no miscibles
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En este caso se colocan en un tubo en U dos líquidos que no se mezclan, y el nivel en cada
rama no es el mismo, pues cada líquido tiene distinto peso específico.
Entre los dos líquidos existe una clara superficie de separación. A ambos lados de esta, la
presión debe ser la misma, pues si no fuera así el líquido no estaría en equilibrio.
Por ésta razón:
p1 = p2
por lo tanto:
ρ1 . h1 = ρ2 . h2
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
"Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido recibe una fuerza de abajo hacia
arriba denominada empuje que es igual al peso del líquido desplazado".
Traduciremos éste principio a ecuaciones:
El peso del líquido desalojado puede calcularse así:
PLD = ρ L . VLD
Pero según Arquímedes el peso del líquido desplazado es igual al empuje:
PLD = E
Y teniendo en cuenta que el volumen de líquido desplazado es igual al volumen de cuerpo
sumergido:
VLD = VCS
Podemos concluir que el empuje se calcula con la siguiente expresión:
E = ρ L . V CS
Flotación de los cuerpos
Cuando un cuerpo se sumerge en un líquido pueden ocurrir tres cosas:
a- Si al sumergir el cuerpo, su peso es mayor que el empuje que recibe, el cuerpo se hunde
hasta el fondo donde queda apoyado y en equilibrio.
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b- Si al sumergir el cuerpo totalmente el peso es igual al empuje, el cuerpo flota a media agua.
c- Si estando el cuerpo totalmente sumergido, el empuje es mayor que el peso, el cuerpo
comienza a ascender y emerge parcialmente hasta que el empuje se hace igual al peso.
Peso aparente
Al suspender un cuerpo de un dinamómetro, éste nos indica el peso del cuerpo. Si ahora
sumergimos el cuerpo en un líquido, el dinamómetro indica menor peso. Si embargo, la tierra atrae al
cuerpo siempre con la misma fuerza, es decir, el peso del cuerpo no cambia.
Al valor de la medición hecha con el dinamómetro se lo denomina "peso aparente" y su valor
se obtiene como la diferencia entre el peso del cuerpo y el empuje que recibe al sumergirlo.
Pap = P - E
Ejemplo 5:
Un cuerpo de 500 cm3 de plomo macizo, se sumerge en mercurio. Calcular:
a- El peso del cuerpo.
b- El empuje.
c- ¿ Flota o se hunde?
d- Si flota, ¿ qué volumen del cuerpo se encuentra sumergido?
Datos:
VC= 500 cm3,
ρPb = 11,3 g/cm3,
ρHg = 13,6 g/cm3
Primero calculamos el peso del cuerpo:
P = ρPb . VC= 11,3 g/cm3 . 500 cm3 = 5650 g
Ahora calculamos el empuje que recibiría el cuerpo totalmente sumergido:
E = ρHg . VCS = 13,6 g/cm3 . 500 cm3 = 6800 g.
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Al ser el empuje mayor que el peso (estando el cuerpo totalmente sumergido) el cuerpo flotará
.
Cuando se encuentre flotando el empuje será igual al peso del cuerpo, por lo tanto:
E=P
E = 5650 g.
E = ρHg . VCS
El volumen del cuerpo sumergido será 415,4 cm3.
PREGUNTAS Y PROBLEMAS
1- ¿Cuál es la superficie que hay que tener en cuenta en el cálculo de la presión?
2- ¿ Por qué para caminar en la nieve se utilizan raquetas o esquíes?
3- ¿ Puede una fuerza menor que otra producir una presión mayor que la otra?
4- ¿ Qué significa que la presión sobre una superficie sea 5 g/cm2?
5- Sobre una placa triangular de 20 cm de base y 30 cm de altura se ejerce una fuerza de 1,2 kg. Calcular la
presión bajo la placa.
Resp: 4 g/cm2
6- Calcular la fuerza que habrá que aplicar sobre una placa circular de 10 cm de radio para ejercer una
presión de 90 g/cm2.
Resp: 28,26 kg.
7- Cuánto medirá una superficie que al aplicarle una fuerza de 3 kg ejerce una presión de 60 g/cm2.
Resp: 50 cm2
8- Expresar una presión de 15 g/cm2 en: kg/cm2, kg/m2 y kg/dm2
9- Un cubo de hierro de 20 cm de arista se encuentra apoyado sobre una de sus caras. ¿ Qué presión
ejerce dicha cara contra el piso?
Resp: 157 g/cm2
10- Un cilindro de 10 cm de radio y 30 cm de altura está lleno de mercurio. Calcular la presión que ejerce
sobre el fondo.
Resp: 408 g/cm2
11- Calcular el peso específico de un líquido que se encuentra dentro de un recipiente cilíndrico de 20 cm
de altura, que pesa 4,8 kg y ejerce una presión de 24 g/cm2.
Resp: 1,2 g/cm3
12- ¿ Una prensa hidráulica puede funcionar con cualquier líquido?
13- El pistón menor de una prensa hidráulica mide 6 cm2 y el mayor 64 cm2. Calcular la fuerza que habrá
que aplicar en el menor para obtener en el mayor una fuerza de 2000 kg
Resp: 187,5 kg.
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14- Calcular la superficie del pistón menor de una prensa hidráulica que al aplicarle una fuerza de 8 kg
genera en el mayor, que mide 50 cm2, una fuerza de 250 kg.
Resp: 1,6 cm2
15- El radio del pistón menor de una prensa hidráulica mide 10 cm y el del mayor mide 100 cm. Calcular la
fuerza que se obtendrá al aplicar en el menor una de 60 kg.
Resp: 6000 kg
16- ¿ De qué factores depende la presión hidrostática?
17- ¿ Por qué razón el tanque de agua de una casa debe estar sobre el techo?
18- ¿ La presión hidrostática depende del volumen de agua?
19- Calcular qué profundidad habrá que sumergirse en agua para encontrar una presión de 0,8 kg/cm2.
Resp: 8 m
20- Calcular el peso específico de un líquido que a una profundidad de 76 cm ejerce una presión de 1033,6
g/cm2. ¿ De qué líquido se trata?
Resp: 13,6 g/cm3
21- Un recipiente contiene ácido sulfúrico, peso específico 1,5 g/cm3. Calcular las presiones a las siguientes
profundidades: 5 cm, 10 cm, 15 cm y 20 cm. Representar gráficamente la presión en función de la altura.
22- En el casco de un barco, a tres metros por debajo de la línea de flotación, se produce un orificio
rectangular de 0,8 m de ancho y 1,2 m de largo. Calcular la fuerza que deberá soportar la chapa que lo
obture.
Resp: 2880 kg
23- Un recipiente contiene: aceite, agua y glicerina,
como indica la figura, calcular la presión en el fondo
del recipiente.
Resp: 96 g/cm2
24- Un tubo con forma de U contiene agua y aceite. Si la columna de aceite mide 14 cm ¿ A qué altura
llegará la columna de agua?
Resp: 12,6 cm
25- Resuelva los problemas 10 y 11 aplicando sus conocimientos de presión hidrostática.
26- Un cuerpo cúbico de corcho mide 10 cm y se lo sumerge en agua, de manera que su cara superior
queda paralela a la superficie libre y a 20 cm de profundidad. Calcular:
a- La presión hidrostática sobre la cara superior e inferior del cubo.
b- Las fuerzas ejercidas por dichas presiones sobre las respectivas caras.
c- La diferencia entre las dos fuerzas antes calculadas.
d- El peso del cubo.
e- Analizar los resultados anteriores e indicar si el cubo flota o se hunde y explicar el por qué de su
conclusión.
27- Enuncie el principio de Arquímedes.
28- ¿ En qué condiciones los cuerpos flotan?
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29- ¿ Puede flotar una esfera de plomo? Justifique su respuesta.
30- Sumergido en agua, un cuerpo ¿ pesa menos?
31- Un cubo de 15 cm de arista se sumerge en agua. Calcular el empuje que recibe.
Resp: 3375 g
32- Calcular el peso específico de un líquido que a un cubo de 5 cm de arista le ejerce un empuje de 250 g.
Resp: 2 g/cm3
33- Cuánto parecerá pesar 1 kg de aluminio cuando se lo sumerja en agua.
Resp: 629,6 g
34- Un cuerpo pesa 1,2 kg y parece pesar 0,9 kg cuando se lo sumerge en ácido sulfúrico. Calcular:
a- El volumen del cuerpo.
b- El peso específico del cuerpo.
Resp: 200 cm3 y 6 g/cm3
35- Un cubo de hierro de 10 cm de arista flota en mercurio. Calcular qué volumen del cubo se encuentra
sumergido.
Resp: 577,2 cm3
36- Calcular qué peso específico deberá tener un líquido para que un trozo de corcho flote en él con un
tercio de su volumen sumergido.
Resp: 0,66 g/cm3
37- Una esfera maciza de plomo de 4 cm de radio se coloca en un recipiente con glicerina. calcular la
fuerza que la esfera ejercerá sobre el fondo del recipiente.
Resp: 2707,6 g
38- Un cuerpo cilíndrico de 2 cm de radio y 10 cm de altura, parece pesar 700 g cuando se lo sumerge en
aceite.(0,9 g/cm3). Calcular cuál es su peso y su peso específico.
Resp: 813 g y 6,47 g/cm3
39- Se ha construido una esfera hueca de plomo de 6 cm de radio exterior , 0,5 cm de espesor y se la
sumerge en éter(0,9 g/cm3) ¿ flotará o se hundirá?
Resp: Se hunde.
40- Calcular cuánto deberá medir el radio interior de una esfera de hierro de 10 cm de radio exterior para
que flote a media agua en el agua.
Resp: 9,56 cm
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