Texto básico Estadística

COMPILACIÓN DE TEMAS
AUTORES: Dr. Juan Enrique García La Rosa..
Dr. Jesús Barreto Molina.
Dr. José Manuel González Abreu.
2008
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PRÓLOGO
El presente texto básico ha sido confeccionado mediante una compilación de temas de
diferentes autores. El mismo consta de seis capítulos en los que se aborda en lo esencial los
contenidos de la Estadística Descriptiva.
En el primer capítulo se explica la importancia de la Estadística en la vida cotidiana de las
personas y, esencialmente, para los profesionales de la educación, se definen los tipos de
variables estadísticas y las escalas para medirlas. El segundo capítulo aborda las diferentes
formas de presentación de datos estadísticos a través de la construcción de las tablas de
frecuencias y de gráficos estadísticos. El tercer capítulo describe los contenidos relacionados
con las medidas de tendencia central, de posición relativa y de dispersión y los capítulos 5 y
6, los contenidos sobre la teoría combinatoria y de las probabilidades.
Para mejor comprensión de los contenidos que se abordan en cada capítulo, se recurre a la
presentación de ejemplos concretos vinculados a la realidad escolar, es decir, a las posibles
situaciones que los profesores y las profesoras pueden encontrarse en el proceso de
enseñanza aprendizaje.
Al final de cada capítulo se proponen ejercicios y problemas para que los y las estudiantes
comprueben si han asimilado con solidez los contenidos que en este se han abordado.
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ÍNDICE
CAPÍTULO 1: ESTADÍSTICA: OBJETO
MEDICIÓN.
1.1. Objeto de estudio de la estadística.
DE
ESTUDIO.
VARIABLES.
PÁG. 3
PÁG. 3
1.2. Variables estadísticas: su medición.
PÁG. 5
CAPÍTULO 2: DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Y REPRESENTACIÓN PÁG. 10
GRÁFICA DE DATOS.
2.1. Presentación y agrupación de los datos.
PÁG. 10
2.2. Distribuciones de frecuencias para datos discretos
PÁG. 12
2.3. Distribución de frecuencias para datos agrupados.
PÁG. 15
2.4. Representación gráfica de distribuciones de frecuencia
PÁG. 18
2.5. Representación gráfica para datos discretos.
PÁG. 19
2.6. Representación gráfica para datos continuos.
PÁG. 22
CAPÍTULO 3: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN RELATIVA PÁG. 26
Y DE DISPERSIÓN.
3.1. Para valores simples o no agrupados.
PÁG. 26
3.2. Para valores agrupados.
PÁG. 31
3.3. Medidas de posición relativa.
PÁG. 34
3.4. Medidas de dispersión o variabilidad.
PÁG. 37
CAPÍTULO 4: CORRELACIÓN Y REGRESIÓN.
4.1. Relación entre dos variables cuantitativas.
4.2. Relación entre dos variables cualitativas.
CAPÍTULO 5: TEORÍA COMBINATORIA.
PÁG. 60
PÁG. 61
PÁG. 72
PÁG. 94
PÁG. 101
CAPÍTULO 6: TEORÍA DE LAS PROBABILIDADES.
6.1. Experimento. Espacio muestral y suceso aleatorio.
PÁG. 101
6.2. Operaciones entre sucesos. Sucesos mutuamente excluyentes y PÁG. 104
sucesos exhaustivos.
6.3. El concepto de probabilidad. Las definiciones clásica y estadística de
probabilidades. Propiedades de la probabilidad.
PÁG. 108
6.4. Definición de probabilidad condicional. Regla del producto. Sucesos PÁG. 114
independientes. Reglas de la Probabilidad Total Y de Bayes.
PÁG. 115
6.5. Sucesos independientes.
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CAPÍTULO 1: ESTADÍSTICA: OBJETO DE ESTUDIO. VARIABLES. MEDICIÓN.
El trabajo con datos se inició desde tiempos remotos en las sociedades primitivas, cuando en
los pueblos fue necesario contar sus habitantes y calcular sus recursos para poder organizar
sus comunidades y sus vidas.
La historia confirma que los primeros procesos de recopilación, procesamiento y análisis de
información fueron realizados por los gobernantes de las grandes civilizaciones antiguas con
la finalidad de que tuvieran conocimientos de los bienes que el Estado poseía y cómo
estaban distribuidos en la población. Desde entonces en muchos Estados se ordenaban
estudios que les permitieran tener mayor conocimiento de determinadas características de la
población, planificar los impuestos y conocer la cantidad de hombres disponibles para la
guerra.
Con el transcurso del tiempo ya por el siglo XVII en las sociedades era necesario hacer
análisis numéricos relacionados con la salud pública, nacimientos, muertes y actividades
propias del comercio, situación que determinó un perfeccionamiento paulatino de los
procesos de recopilación y tratamiento de información hasta llegar a la actualidad en que el
estudio y análisis de datos no se limita solamente al estudio demográfico y de la Economía.
Su campo de aplicación se extendió a las diferentes esferas de la vida del hombre pues día a
día se presentan informaciones de carácter económico, político y social que necesitan ser
interpretados para una mejor comprensión de los hechos y fenómenos de la sociedad y del
mundo.
Actualmente se necesitan métodos efectivos para describir con exactitud los valores de datos
económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos o físicos, así como herramientas
para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo no consiste sólo en reunir y tabular los
datos, sino sobre todo en el proceso de “interpretación” de esa información.
1.1. Objeto de estudio de la estadística.
Cuando se estudia el proceso de investigación empírica, por ejemplo la metodología
observacional, se comprende la necesidad de contabilizar e interpretar matemáticamente los
resultados obtenidos.
En el caso de las Ciencias Sociales resulta difícil generalizar a partir del estudio de un
fenómeno individual. Un evento puede ser suficiente para caracterizar a un sujeto, pero las
leyes científicas se confeccionan sobre la base de la frecuencia con que se repite tal
fenómeno. Por ejemplo, no se puede afirmar que un cierto método de lectura o de
aprendizaje de una lengua extranjera, sea más eficiente, cuando se ha obtenido un resultado
muy favorable con un cierto individuo concreto. Podremos hacer tal afirmación, cuando un
conjunto suficientemente amplio de individuos demuestren, con un margen de error
aceptable (por lo general menor que 5 – 10 %), que el método empleado conduce a
resultados superiores.
Aún cuando las observaciones respecto a un fenómeno sean rigurosas, existen diferencias o
discrepancias en los datos obtenidos. Esto ocurre a menudo, incluso en aquellos casos en
que el fenómeno se repite en condiciones idénticas por el mismo individuo. La implicación de
este hecho puede conducir a inseguridad, a un cierto margen de error o falta de certeza y
que nos hace dudar respecto a la base que puedan tener nuestras interpretaciones y
conclusiones de algún fenómeno.
3
De aquí surge la necesidad de contar con métodos y técnicas que nos permitan considerar
esas diferencias y determinar cuándo los resultados de nuestros estudios son válidos y así
poder tomar las decisiones necesarias.
La Estadística es la ciencia que provee de métodos que permiten obtener, organizar,
resumir, presentar y analizar datos relativos a un conjunto de individuos u observaciones lo
que permite extraer conclusiones válidas y tomar decisiones lógicas basadas en dichos
análisis.
Todo profesional tiene que ser un investigador y por tanto debe poseer conocimientos
mínimos necesarios para, al menos, poder realizar investigaciones y comprender los
resultados que se obtengan.
Por ejemplo a un maestro se le puede presentar la siguiente situación: En un aula de 30
alumnos hay 20 que alcanzan calificaciones (sobre 100) superiores a 90 puntos y 10 que no
alcanzan estos resultados. Realizar esta observación no significa haber hecho un estudio
estadístico y sería incorrecto pensar que en cualquier aula de esa escuela hay dos alumnos
con altas calificaciones por cada uno que no rebasa la calificación de 90.
Resultaría mucho más inadecuado tratar de aplicar el resultado de una sola aula al conjunto
de toda la escuela, o a todas las escuelas de la región. Para ello es preciso obtener
información, como la antes citada de numerosos alumnos en diversas aulas y escuelas de la
localidad.
Al recolectar datos respecto a las características de un grupo de objetos o individuos, tales
como las estaturas y los pesos de los estudiantes en las escuelas, es casi imposible observar
el grupo completo.
Por eso se considera como población al conjunto de individuos, o más general, elementos
con una característica observable (medible) y una muestra al subconjunto o a una parte de
una población.
En esencia, la Estadística se puede dividir en dos grandes ramas: la Estadística Descriptiva y
la Inferencial. La Descriptiva es la que estudia la descripción de una población representada
por un conjunto de datos, se encarga principalmente del estudio de las muestras. Cuando se
pretende describir (hacer estimaciones, tomar decisiones) acerca de una población partiendo
solo de la información de una muestra extraída de ella se hace uso de la Inferencial, o sea
se realizan generalizaciones a toda la población de la que fue seleccionada la muestra.
La Estadística Descriptiva analiza, estudia y describe a conjuntos de individuos de una
población. Su finalidad es obtener información, analizarla, elaborarla y simplificarla lo
necesario para que pueda ser interpretada cómoda y rápidamente y, por tanto, pueda
utilizarse eficazmente para el fin que se desee. El trabajo estadístico inicial después de
cuantificar las características de interés consiste en describir a través de tablas, gráficos y
determinados estadígrafos agrupando los datos buscando descubrir características
tendencias en distribuciones de frecuencia empíricas.
El proceso que se sigue para el estudio de una cierta población consta de los siguientes
pasos:
• Selección de caracteres dignos de ser estudiados (representativos).
• Mediante encuesta o medición, obtención del valor de cada individuo en los caracteres
seleccionados.
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• Elaboración de tablas mediante la adecuada clasificación de los individuos dentro de cada
carácter.
• Representación gráfica de los resultados.
• Obtención de parámetros estadísticos, es decir números que sintetizan los aspectos más
relevantes de una distribución estadística
1.2. Variables estadísticas: su medición.
Una variable es un símbolo, tal como X ; Y ; A ... pude asumir cualquiera de los valores de
un conjunto que se denomina, dominio de la variable.
Si la variable sólo puede asumir un valor se llama constante.
Por ejemplo en la ecuación 4 x + 3 = 7, x es una variable que puede tomar todos los
valores del dominio ( N , Z , Q , R ó C ).
El término variable, trasladado de las matemáticas al terreno de las ciencias sociales, reúne
dos características fundamentales:
• Rasgos que pueden ser observados, y que por tanto van a permitir alguna comprobación
con la realidad empírica.
• La propiedad de poder variar, es decir, de asumir valores.
Una variable es una característica medible que toma sus valores en dependencia de la
casualidad.
En la investigación una variable puede definirse como una característica medida en las
unidades de análisis de las muestras.
De acuerdo con el sistema de medición, es decir, las propiedades matemáticas, las variables
pueden ser:
1. Cualitativas: Cuando se establecen distintas categorías para cada modalidad de la
variable, reflejan cualidades de la variable. Se refieren a características que no se pueden
cuantificar. Estas variables también reciben el nombre de “categóricas”. La categorización
de estas variables es un requisito para su posterior análisis.
Ejemplo: Sexo, rendimiento académico (categorizado en alto, mediano y bajo), colores
de las flores, grado de satisfacción respecto a cierto servicio, interés por alguna actividad,
etc.
2. Cuantitativas: Cuando son suceptibles de ser medidas numéricamente.
Ejemplo: Edad, peso, rendimiento académico (medido en puntos), cantidad de alumnos
por grupo, etc.
En función de su naturaleza las variables cuantitativas pueden ser :
a) Discretas: Cuando sólo pueden tomar un número finito o a lo sumo numerable de
valores, que suelen coincidir con los números enteros.
Ejemplo: Número de alumnos en una clase, número de libros en una biblioteca,
número de hijos, etc.
b) Continuas: Pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo de números reales no
reducido a un punto ni vacío.
Ejemplo: La edad, el rendimiento académico, la inteligencia, etc.
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Nota: Existen otros tipos de variables:
Según el criterio metodológico
Según el control
Teórico – explicativo
− Dependientes
− Independientes
− Extrañas o ajenas
− Aleatorias
− Controladas
− Estímulo
− Respuesta
− Intermediarias
En sentido general las mediciones se expresan mediante datos continuos y las
enumeraciones o el conteo mediante datos discretos.
Para aplicar los métodos de la Estadística es necesario cuantificar las características o
propiedades del fenómeno objeto de estudio: aproximadamente hasta las primeras décadas
del siglo XX, muchos investigadores dudaban que se pudieran cuantificar las propiedades de
los fenómenos sociales; por tal motivo, renunciaban a la aplicación de la Estadística o
cometían el no menos grave error de hacer mediciones en las Ciencias Sociales, tal y como
se hacen en la Física o la Química.
Actualmente en lo relacionado con el problema de la "medición" en las Ciencias Sociales se
han logrado avances y se han propuesto algunas "escalas de medición".
Ahora bien, ¿qué significa realizar una medición? En un sentido amplio, "medir es asignar un
número a un objeto, de acuerdo con una regla"; medir es comparar algo con un patrón o
indicador más o menos definido y preciso, que la experiencia coadyuva a redefinir o precisar
aún más.
En síntesis, la medición exige primero establecer indicadores y después definir las escalas a
utilizar. En gran medida, el método estadístico a utilizar dependerá de la escala donde está
clasificada la variable que se está investigando.
Como medir es cuantificar es necesario establecer ciertas escalas para poder llevar a cabo la
medición.
Se emplean 4 escalas de medición o cuantificación: nominal, ordinal, de intervalo y de razón
o proporción.
La escala
categorías
establecer
elementos
nominal: Se presenta cuando la variable que se mide se puede "dividir" en
o clases mutuamente excluyentes y exhaustivas, entre las que solo es posible
una relación de "igual a" o de "desigual a", la igualdad se establece entre los
de una misma categoría; mientras que, la desigualdad está presente entre
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elementos de diferentes clases. Esta desigualdad no lleva implícita una relación de orden
entre las categorías, es decir, no es posible decidir si un elemento de una clase es inferior o
superior a un elemento de otra clase.
Las clases son mutuamente excluyentes y exhaustivas cuando cada elemento de la
población (o de la muestra) pertenece a una, y solo a una, de las clases establecidas. A cada
categoría se le podrá asignar un número diferente, pero ese número no tiene valor
cuantitativo, ni unidad de medida, es puramente identificativo de la clase. Se establecen
atributos o valores dados por cualidades y no hay relación matemática entre los elementos.
Si para la variable que se mide solo se pueden definir dos clases, con las características
antes mencionadas, se dice que la escala es "nominal dicotómica”.
Por ejemplo:
¾ La clasificación de los alumnos de una escuela según su sexo. Como se investiga la
variable sexo se tiene que, todo alumno de la escuela, será incluido en una de las dos
categorías posibles: masculino o femenino, abarcándose toda la población por lo que
es exhaustiva. En esta medición solo existen dos categorías, por lo que se considera
una escala nominal dicotómica.
¾ La clasificación de los estudiantes de una escuela según las particularidades
psicológicas de su personalidad. Como cada uno de los estudiantes se puede
clasificar en melancólico, sanguíneo, flemático o colérico; se está en presencia de una
escala nominal.
La escala ordinal también requiere de clases mutuamente excluyentes y exhaustivas, pero
con la propiedad de que entre las diferentes categorías que se consideren, sea posible
establecer una relación de orden; es decir, dentro de los elementos que están en una misma
clasificación se mantiene la relación de "igual a", pero entre elementos de dos categorías
diferentes, la relación de desigualdad es más precisa que en el caso de una nominal, ya que,
se puede decidir cuál de los dos elementos es "mayor o menor que" el otro.
En esta escala los números que se utilicen poseen también un valor identificativo y no se les
acompaña de ninguna unidad de medida, pero tienen que expresar la relación de orden que
existe entre las diferentes clases, aunque la distancia o diferencia entre dos de esos
números, que sean consecutivos, no importa.
Ejemplo: En la clasificación de los alumnos de una escuela según su disciplina, esta variable
permite clasificar a cada alumno en una de las tres categorías: mala, regular o buena. Todo
alumno que esté en la primera categoría se considera igual en cuanto a su disciplina, pero
diferente a otro que esté en alguna de las otras categorías; no solo diferente, sino que está
en una clase inferior a otro que esté con regular o con buena disciplina.
La escala de intervalos se presenta en el estudio de variables que se dividan en categorías
mutuamente excluyentes y exhaustivas, y al igual que la ordinal, precisa de una "relación de
orden" bien definida entre esas clases, pero en las que la distancia o diferencia entre dos
categorías consecutivas siempre sea la misma, lo cual la diferencia de la anterior escala.
En ella los números tienen mayor "relevancia" que en las escalas anteriores, con ellos se
puede, además de compararlos, realizar sumas, restas y multiplicarlos por un mismo valor;
sin embargo, el valor 0 no es absoluto, es decir, no indica la ausencia de la "característica"
que se investiga. Por otra parte existe una unidad de medida que es común para todas las
categorías utilizadas en la medición de la variable.
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Ejemplo: Si se consideran las calificaciones sobre 100 puntos, en Matemática, de los
alumnos de una escuela, un alumno que obtenga 0 puntos en el examen no significa que
sus conocimientos en esa materia son nulos, es decir, el valor 0 no es absoluto —no indica,
en este caso, la ausencia total de conocimientos—. Esta propiedad hace que, por ejemplo, si
un alumno A de esa escuela obtuvo 80 puntos y otro estudiante B logró 40 puntos, no indica
que A tenga "el doble" de los conocimientos que tiene B; sí se podrá decir que el alumno A
tiene 40 puntos más que el B.
Es una escala ordinal en la que se ha definido una distancia entre sus clases, una unidad de
medida entre sus clases o puntajes, de modo que la proporción o razón entre las longitudes
de dos intervalos cualesquiera permanece invariable ante toda transformación de la
escala en otra de intervalo. O sea para un par de puntajes x y z cualesquiera tales que x <
z se puede expresar la cantidad de unidades, de igual medida, en que z es mayor que x.
Por ejemplo la escala de temperatura medida en grados centígrados.
La escala de razones —también llamada de proporciones—, se presenta en el estudio de
variables que se dividan en categorías mutuamente excluyentes y exhaustivas, y al igual que
la de intervalos, se caracteriza porque existe una unidad de medida que es común para todas
las clases que se constituyan, pero para ellas —a diferencia de la de intervalos— el valor 0
es absoluto, es decir, indica la ausencia total del atributo que se investiga.
El cero absoluto se considera como la ausencia total de cualidad medida, y por tanto es el
valor que no puede ser rebasado en la parte inferior
Muchas variables cuantitativas de tipo físico se miden en escalas de razón como la edad, el
peso, la longitud.
Por ejemplo si se considera la estatura, en metros, de los alumnos de una escuela existe
una unidad común para todas las tallas que se encuentren; así como el 0 es absoluto, indica
toda ausencia de estatura.
Tanto en la escala nominal, como en la ordinal, los números utilizados no se "acompañan" de
una unidad de medida, por ello se dice que estas dos escalas son "no métricas"; en cambio,
las escalas de intervalos y de proporciones, respectivamente, están caracterizadas por una
unidad de medida que es común para todas las categorías que se definan en la variable, ello
hace que a ellas se les agrupe con la denominación de "escalas métricas".
Las escalas no métricas son las que con mayor frecuencia se encuentran en las Ciencias
Sociales, en cambio, las métricas son más cercanas al mundo físico.
Por ejemplo a los niños de un grupo con determinados trastornos se les podría clasificar
atendiendo a diferentes aspectos y habría que utilizar por tanto diferentes escalas según
corresponda:
Clasificación según:
Escala
El tipo de insuficiencia que presenten.
Nominal.
El grado en que presentan la insuficiencia.
Ordinal.
Su temperatura en grados Celsius.
Intervalo.
Su peso en kilogramos.
De razón.
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EJERCICIOS PARA COMPROBAR TUS CONOCIMIENTOS
Ejercicio 1: Diga cuál es continuo y cuál discreto de los datos dados a continuación:
a) Número de varones en cada 100 familias.
b) Peso de 50 estudiantes de una escuela.
Ejercicio 2: Describa los valores que puede tomar la variable y diga en qué tipo de escala se
puede realizar su medición.
a) Sexo de cada alumno de un grupo.
b) Cantidad de estudiantes en un grupo.
c) Calificación de un alumno en una prueba.
d) Estado de salud de los alumnos de un grupo.
e) El peso de cada alumno de un grupo.
f) Aceptación de un cierto método de estudio por los alumnos de un grupo.
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CAPÍTULO 2: DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE
DATOS.
2.1. Presentación y agrupación de los datos.
Diariamente, los periódicos, las revistas y la televisión muestran gráficos, tablas y en
ocasiones los resultados de encuestas realizadas a la población, por tanto es importante
tener el conocimiento básico para interpretar estas informaciones. También es preciso
considerar la forma de trabajar con los datos obtenidos de una investigación.
El trabajo estadístico se puede dividir en cuatro fases fundamentales: la recolección, la
clasificación, la presentación o exposición y el análisis de los datos.
En Estadística, los datos que no han recibido ningún procesamiento y que el investigador los
tiene, tal y como han resultado de su proceso de recolección, se denominan datos
primarios. Como por ejemplo:
Los siguientes datos constituyen las mediciones de cuatro variables, realizadas a una
muestra seleccionada al azar de 40 alumnos de una escuela.
Se considera X: notas en Matemática; Y: notas en Física, en puntos ambas; Z: disciplina de
los alumnos, en Bien, Regular y Mal
T: interés de los alumnos por el estudio, en sí o no.
Alumnos
X
Y
Z
T
Alumnos
X
Y
A1......
84.0
88.0
R
sí
A21......
66.0
62.0
M no
A2......
72.0
70.0
B
sí
A22......
75.0
72.0
M no
A3......
70.0
80.0
R no
A23......
67.0
70.0
M sí
A4......
72.0
84.0 M no
A24......
84.0
88.0
R
A5......
85.0
89.4
R
sí
A25......
77.0
72.4
R sí
A6......
84.0
88.0
R
sí
A26......
75.0
72.0
M no
A7......
74.0
88.6 M sí
A27......
82.0
84.0
B
A8......
77.0
90.0 M sí
A28......
67.0
75.0
R no
A9......
77.0
86.0
B no
A29......
71.0
80.0
R no
A10.....
77.0
88.5
R no
A30......
88.0
94.0
B
sí
A11.....
79.0
85.0
B no
A31......
78.0
70.0
R
sí
A12.....
68.0
90.0
B
sí
A32......
76.0
79.4
M sí
A13.....
79.0
83.4
R
sí
A33......
74.0
88.6
M sí
A14.....
82.0
82.0 M no
A34......
87.0
93.0
B
A15.....
76.0
79.4 M sí
A35......
70.0
80.0
R no
A16.....
78.0
88.0
B
sí
A36......
69.0
82.0
R no
A17.....
86.0
92.0
R no
A37......
73.0
62.0
R no
A18.....
88.0
75.0
B
A38......
86.0
88.0
B
sí
Z
T
sí
sí
sí
sí
10
A19.....
80.0
87.0
R no
A39......
73.0
60.0
R
sí
A20.....
81.0
78.0 M no
A40......
80.0
92.0
B
sí
Sería muy difícil, utilizando estos datos, tal y como aquí se muestran, responder, entre otras,
las siguientes interrogantes: ¿cuántos de estos alumnos tienen buena disciplina y qué por
ciento representan del total?, ¿cuántos tienen notas, en Matemática, entre 66 y 70 puntos y
qué por ciento ellos representan con respecto al total de esa muestra?, ¿cuántos de los
estudiantes tienen interés por el estudio y buena disciplina?,
Es por eso que una vez que se han obtenido los datos, es necesario e importante
organizarlos para poder extraer conclusiones de su análisis.
Las tablas y los gráficos, que son formas complementarias de presentación de los datos
primarios, ayudarán a responder, con cierta facilidad, las anteriores preguntas y otras
muchas.
Una tabla estadística —o simplemente, una tabla— es una disposición, arreglo o
agrupamiento de los datos primarios, de modo tal, que el "investigador" pueda encontrar
"regularidades esenciales" presentes en esos datos.
Al proceso de confección de una tabla se le denomina tabulación de los datos —o
brevemente, tabulación—. En ocasiones, antes de realizar la tabulación de los datos
primarios, ellos se suelen ordenar, de modo ascendente o descendente, según su magnitud;
por lo que ese `ordenamiento', sería el primer procesamiento que reciben los datos primarios.
Después de que los datos primarios se colocan en una tabla estadística, se les comienzan a
llamar datos tabulados o agrupados.
Sobre la base del ejemplo de los datos primarios a continuación se ofrece un ejemplo de
tabla.
Tabla #1Disciplina de los alumnos.
Categorías
Cantidad
Mal
12
Regular
17
Bien
11
Total
40
Para poder brindar una información más completa una tabla debe tener tres partes
esenciales: el encabezamiento, el cuerpo y el pie.
¾ El encabezamiento que es la parte superior y está formado por el título que es un
texto breve, conciso, que ofrece una información clara sobre los datos que están
tabulados y el subtítulo que es, al igual que el título, un texto breve, pero
complementario de aquel en el que se puede especificar la fecha en que fueron
recopilados los datos; así como, la unidad de medida empleada, si esta es común a
todos los datos de la tabla
11
¾ El cuerpo es la parte principal donde se sitúan los datos recogidos en la investigación.
Debe ser sencilla, comprensible, sin rebuscamiento, de manera tal que permita una
fácil interpretación de los datos, mediante la revelación de sus regularidades. Se suele
"resaltar" mediante el empleo de líneas, que constituyen "el marco del cuerpo de la
tabla".
¾ El pie está constituido por notas aclaratorias que se ubican debajo del cuerpo y donde
se pueden indicar la fuente de procedencia de los datos, el significado de símbolos
incluidos en el cuerpo; así como, otras informaciones anexas que contribuyan a
esclarecer el contenido de la tabla.
En los textos, en los periódicos y revistas así como en los informes de investigación, es
frecuente encontrar "tablas" que solo poseen el cuerpo, por lo que resulta difícil poder captar
la información que con ellas se quiere transmitir.
2.2. Distribuciones de frecuencias para datos discretos
Un método para organizar y clasificar los datos consiste en la confección de una distribución
de frecuencias que varía en dependencia de que la variable sea discreta o continua.
Las distribuciones de frecuencias son una forma relativamente abreviada de mostrar los
datos y ofrecen, para muchos fines, una información adecuada sobre los datos primarios,
aunque en ocasiones "omiten" algunos de estos datos.
Independientemente de si son simples o agrupados se deben considerar las categorías o
clases, las frecuencias absolutas, las frecuencias relativas, las frecuencias acumulativas y las
frecuencias relativas acumulativas.
Categoría o clase: Es el "arreglo" que se utiliza para distribuir los datos de la variable que se
tabula. (Ver la columna 1 de la tabla 1)
Cuando se confecciona una distribución simple, se toman las mismas categorías o valores
que posee la variable que se tabula, mientras que, si se confecciona una distribución para
datos agrupados, las categorías o valores de la variable que se va a tabular no se toman de
un modo explícito, tal y como los posee dicha variable.
En las distribuciones para datos simples, la cantidad de categorías que se utilizarán las
determina la propia naturaleza de la variable que se investiga; sin embargo, para las de
agrupados, tanto la cantidad como el tamaño de las subdivisiones que se emplearán, están
sujetos a determinadas "reglas" que se analizarán posteriormente.
Es frecuente reservar el término "categoría" para las distribuciones de datos simples,
principalmente porque ellas se emplean en variables no métricas; por otro lado, se usa la
denominación "clase" para las de datos agrupados, que con frecuencia son utilizadas para
las variables métricas.
La frecuencia absoluta de una categoría es igual al número de observaciones que
pertenecen a esta categoría. La suma de las frecuencias absolutas de todas las categorías
de una distribución de frecuencias es igual al número total de observaciones.
Se pueden determinar por ejemplo la cantidad de estudiantes que tienen un número
determinado de hermanos, la cantidad de familias que tienen un solo hijo o la cantidad de
estudiantes que son hijos únicos.
12
Como la frecuencia absoluta es la cantidad de veces que un dato primario se repite, dentro
de cada categoría se puede representar en una tabla como sucede por ejemplo en la
columna 2 de la tabla 1.
La frecuencia relativa de una categoría es igual a su frecuencia absoluta dividida por el
número total de observaciones. La suma de las frecuencias relativas de todas las
categorías de una distribución de frecuencias es igual a 1, salvo por cuestiones de
aproximación.
A veces para determinar la frecuencia relativa es necesario hacer redondeos, y si no se
obtiene el valor 1 para la suma se hacen aproximaciones de ésta.
La frecuencia relativa de la categoría i, en símbolos es fi =
Ni
N
La frecuencia porcentual de una categoría es igual a su frecuencia relativa multiplicada
por 100. La suma de las frecuencias porcentuales de todas las categorías de una distribución
N
de frecuencias es igual a 100, salvo por cuestiones de aproximación. fi = i × 100
N
La frecuencia acumulativa de una categoría es igual a la suma de las frecuencias
absolutas de esta categoría y de las anteriores. Se denota por Fi
Frecuencia relativa acumulativa o acumulativa relativa para una categoría j, es la suma
de las frecuencias relativas desde la categoría uno hasta la categoría j. En símbolos es:
j
Fj = ∑ Ni
i =1
Propiedades de las frecuencias
9 Las frecuencias absolutas y absolutas acumulativas son siempre números enteros no
negativos.
9 La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al total de la muestra:
h
∑N
i =1
i
=N
9 Las frecuencias relativas y relativas acumulativas son siempre números no negativos,
fraccionarios, mayores o iguales que 0 y menores o iguales que uno, o también,
mayores o iguales que 0% y menores o iguales que el 100%.
9 La frecuencia absoluta acumulativa de la primera categoría, es igual a la frecuencia
absoluta de esta misma categoría.
9 La frecuencia absoluta acumulativa correspondiente a la categoría h, es igual al total
de la muestra.
9 La frecuencia relativa acumulativa correspondiente a la primera categoría, es igual a la
frecuencia relativa de esa misma categoría.
9 La frecuencia relativa acumulativa correspondiente a la categoría h, es igual a la
unidad o al 100 %
Para la confección de una distribución de frecuencias de datos simples es recomendable
seguir los siguientes pasos:
13
•
Determinación a partir de los datos primarios de la variable, mediante la observación
de esta, cuáles y cuántas son las diferentes categorías o valores que posee dicha
variable.
•
Realización de la ubicación de cada dato primario de la variable que se investiga en la
categoría o valor que a él le corresponde. Este "proceso" se denomina tarjado.
•
Determinación de las frecuencias absolutas de cada categoría: esto es contar la
cantidad de tarjas (rayas o palotes) que corresponde a cada categoría y asignarle el
número correspondiente.
•
Calcular, si es necesario, las demás frecuencias y colocarle las otras partes a la tabla.
Ejemplo: A partir del ejemplo de los datos primarios de la variable Z (disciplina) realice una
tabulación de esta variable.
Siguiendo los pasos anteriores se determina que esta variable es ordinal y que tiene tres
categorías o valores individuales diferentes: Mal, Regular y Bien.
A continuación se va realizando un recorrido por cada uno de los datos de esta variable, y
mediante una raya, se va situando cada dato en la categoría que le corresponde; así el
alumno A1 que tiene regular disciplina estará ubicado en esa categoría, el alumno A2 que
tiene buena "conducta" estará en la tercera categoría y así sucesivamente:
Categorías
Tarjado
Mal
///// \\\\\ //
Regular
///// \\\\\ ///// \\
Bien
///// \\\\\ /
Se cuentan las rayas que hay en cada categoría y se obtienen las frecuencias absolutas tal y
como se observó en la tabla 1.Así se puede conocer que de los 40 alumnos de la muestra,
11 tienen buena disciplina, o lo que es lo mismo plantear que 27.50 % de los alumnos
investigados tienen buena disciplina.
Ejemplo: A partir de la tabla que aparece a continuación que corresponde al número de
profesores que trabajan en 10 escuelas dadas de matriculas similares se pueden extraer las
conclusiones siguientes:
DATOS
FRECUENCIA
FRECUENCIA
FRECUENCIA
FRECUENCIA
ABSOLUTA
RELATIVA
ABSOLUTA
RELATIVA
ACUMULADA
ACUMULADA
40
2
0,2
2
0,2
41
2
0,2
4
0,4
42
3
0,3
7
0,7
43
2
0,2
9
0,9
44
1
0,1
10
1,0
Totales
10
1,0
14
•
No existen grandes diferencias entre el número de trabajadores de los diez centros, la
cantidad de trabajadores que más se repite es 42, ya que hay 3 que poseen esa cifra
como se puede apreciar al observar la frecuencia absoluta).
•
Esa misma cifra dada en por ciento (frecuencia relativa) es el 30 %.
•
El número de escuelas con una cantidad de trabajadores menor o igual que 42 es 7 y
esta cifra representa el 70 %. (frecuencia absoluta y relativa correspondiente)
•
Si se tienen criterios sobre el número de trabajadores que debe tener una escuela
para que su gestión sea eficiente de acuerdo con la matricula, por ejemplo que el
número sea 36, de los datos de la tabla se puede apreciar que todas están por encima
de ese número, pudiendo ser causa de las posibles insuficiencias de la gestión
educativa de esos centros.
2.3. Distribución de frecuencias para datos agrupados.
En el caso en que las variables tengan pocos valores distintos que a menudo es el caso
de las variables en escalas nominal y ordinal las distribuciones serán como las tratadas
antes, por conteo de valores individuales en que junto a cada valor distinto aparece su
frecuencia que será igual a la cantidad de veces que se repite.
En el caso de los datos cuantitativos, se hará de forma similar al caso de los discretos pero
con la diferencia de que son previamente organizados por intervalos. Estos intervalos son
decididos por el investigador atendiendo a su naturaleza y a los intereses de la investigación.
Rango o amplitud: Es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor.
Longitud del intervalo: Diferencia de los extremos del intervalo más 1, para aproximar por
exceso.
Intervalos de clases: Son las divisiones del intervalo en subintervalos y pueden ser de
diferentes tamaños.
Límites de los intervalos: Cuando se habla de los límites de los intervalos se consideran los
puntos superior e inferior de cualquier intervalo.
Los límites se pueden presentar de distintas formas:
Ejemplo:
A
B
C
60
- 65
60 - 64,99
60 - 64
65
- 70
65 - 69,99
65 - 69
70
- 75
70 - 74,99
70 - 74
75
- 79
75 - 79,99
75 - 79
80
- 85
80 - 84,99
80 - 84
La forma A resulta algo confusa y es poco utilizada, ya que el límite superior de un intervalo
coincide con el límite inferior del intervalo siguiente. Si se tienen datos que coinciden con los
límites, entonces no es posible ubicarlos de manera unívoca en un intervalo.
15
La forma B es muy utilizada por resultar muy clara. Sin embargo en la Estadística aplicada a
la Educación, es muy utilizada la forma C.
En este caso hay que aclarar que los límites presentados no son los límites de clase reales.
Los límites de clase reales se obtienen sumando media unidad (0,5) al límite superior y
restando media unidad al inferior. Luego en el caso presentado, para el intervalo 65 – 69
serían 64,5 – 69,5, siempre que se trate de variables continuas.
Marca de clase: Es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene, sumando los límites
de clase inferior y superior y dividiendo por 2. También se le denomina punto medio.
Para la confección de una distribución de frecuencias para datos agrupados es
recomendable seguir los siguientes pasos:
1.- Determinar, a partir de los datos primarios de la variable que se investiga, cuál es el dato
menor y el dato mayor que se llamarán, Xmín y Xmáx. respectivamente. De aquí se sabe que
los N datos de la muestra están incluidos en el intervalo [Xmín, Xmáx]. (De lo que se trata, por
tanto, es de construir h "intervalos más pequeños" para "repartir" en ellos los N datos de la
muestra).
Precisamente, a estos intervalos es a lo que les denominan clase o intervalos de clase: estos
intervalos tienen que ser mutuamente excluyentes y exhaustivos.
2.- Calcular la diferencia entre el dato mayor y el menor de la muestra, que se llamará
"recorrido R" de los datos, en símbolos: R = Xmáx-Xmín.
3.- A partir del valor de R, decidir la cantidad "preliminar" h de intervalos a formar (h es un
número entero).
Está generalizado el criterio de no formar menos de cuatro clases, ya que si ello se hiciera se
"disipa" demasiado la información de los datos primarios: si el tamaño de la muestra es
pequeño o si los valores de la variable que se miden no son muy diferentes entre sí, es
preferible realizar una tabulación simple de esos datos.
Tampoco se deben formar "demasiadas" clases, ya que ello dificultaría encontrar
"regularidades" entre los datos que se investigan: es bastante general el criterio de no formar
más de quince intervalos y en casos muy extremos llegar hasta veinte.
4.- Determinar la amplitud Ci de cada intervalo de clase.
En realidad, debido a los propósitos para los que se construye la distribución de frecuencias,
es recomendable que todas las clases tengan la misma amplitud o "ancho", incluso, la
utilización de diferentes anchos, se debe reservar solo para casos extremos en los que las
particularidades de los datos no admitan amplitud igual para cada intervalo.
Cuando se toma la decisión de construir todos los intervalos del mismo ancho, entonces no
es necesario utilizar el subíndice i para denotar esta amplitud y se escribe simplemente C; en
tal caso el valor de C se determina de la división de R (recorrido) por el valor de h (cantidad
de intervalos), en símbolos: C= R/h.
5.- Construir los h intervalos de clase.
Para esto, se deberá tener en cuenta el ancho de cada intervalo y el dato menor,
determinados antes. El límite inferior de la clase uno, podrá ser el propio Xmin o algún valor
menor que este. A partir de aquí, para obtener el límite superior de esa clase, se adiciona el
16
valor de C al límite inferior adoptado ya: de cualquier modo, lo que sí se tendrá que cumplir,
necesariamente, es que el menor dato esté incluido en ese primer intervalo.
Para construir la segunda clase, se toma el límite superior de la primera y se le suma el valor
de C: con esto, el límite superior de la primera clase se convierte, a la vez, en límite inferior
de esta segunda clase; de este modo, se reitera el proceso hasta elaborar la clase h. El
mayor dato tendrá que estar, necesariamente, incluido en el intervalo h. Como el dato menor
estará incluido en el primer intervalo y el mayor en el último, se cumple la exhaustividad de
las clases.
El hecho de hacer coincidir el límite superior de una clase con el inferior de la siguiente, no
altera el postulado que establece que los intervalos tienen que ser mutuamente excluyentes,
ya que se adopta el convenio de considerar ese valor como un dato de la clase que lo
contiene como límite inferior, por lo que ese valor solo pertenece a una de ellas.
6.- Realizar la ubicación de cada dato primario de la variable que se investiga en la clase que
a él le corresponde. Este "proceso" se denomina tarjado.
En esta operación, se deberá tener en cuenta que si algún dato primario es igual al límite
superior de una clase, y por tanto, al inferior de la clase siguiente, ese dato será incluido en
el intervalo que tiene ese valor como límite inferior (según el criterio establecido en la
indicación 5).
7.- Determinar las frecuencias absolutas de cada categoría.
8.- Calcular, si es necesario, las demás frecuencias y colocarle las otras partes a la tabla.
Por ejemplo si se considera la confección de una distribución de frecuencia para la variable
X (calificaciones en Matemática) del ejemplo de los datos primarios.
Como es una variable medida en escala métrica, y que además, tiene 22 valores diferentes,
por tales razones es preferible realizar la tabulación mediante intervalos de clases.
Siguiendo los pasos anteriores, a partir de los datos primarios, se tiene que Xmín=66 y
Xmáx=88, por tanto, en el intervalo: [66; 88] están los 40 datos de la muestra.
Ese intervalo se divide en subintervalos de iguales amplitudes, pero antes se determina la
amplitud o recorrido de los datos primarios: R= Xmáx-Xmín=88-66=20.
Considerando las indicaciones del paso 3, se toma h= 6, y además, se adopta la decisión de
construir todas las clases de la misma amplitud, entonces C=R/h=20/6=3.33. Este valor de C
es "inapropiado", es preferible tomar el valor de C como un número entero, en este caso, y
también que sea par, por tanto se considera C=4.
Para formar los límites de las clases, se opta por comenzar por el propio Xmín y a partir de
ese valor se le va adicionando el valor de C para hasta construir la clase en la que esté
incluido el Xmáx: 66+4=70, 70+4=74, 74+4=78,... A continuación se hace el tarjado, tal y como
se explicó en la distribución anterior, si un dato primario coincide con el límite superior de una
clase, y por tanto, con el inferior de la siguiente, será incluido en la clase que tiene a dicho
valor como límite inferior, es por ello que se ha empleado el operador "menor que" en los
intervalos:
Clases
Tarjado
66.00 < 70.00
/////
70.00 < 74.00
///// \\
17
74.00 < 78.00
///// \\\\\
78.00 < 82.00
///// \\
82.00 < 86.00
///// \
86.00 < 90.00
/////
Si ahora se cuentan la cantidad de tarjas de cada intervalo, se obtienen las frecuencias
absolutas. Por último se completa tabla.
Tabla B: Calificaciones en Matemática.
Notas
Cantidad
Por ciento
Cantidad
Acumulada
Por ciento
acumulado
Puntos
medios
66.00<70.00
5
12.50
5
12.50
68
70.00<74.00
7
17.50
12
30.00
72
74.00<78.00
10
25.00
22
55.00
76
78.00<82.00
7
17.50
29
72.50
80
82.00<86.00
6
15.00
35
87.50
84
86.00<90.00
5
12.50
40
100.00
88
Total
40
100.00
(en puntos)
2.4. Representación gráfica de distribuciones de frecuencia
En ocasiones, para transmitir la información de una forma rápida y que sea comprendida por
otras personas, la tabla de frecuencia no es lo más ilustrativo porque a veces es muy
extensa y de difícil comprensión, así surgen otras formas para representar datos, los
llamados gráficos. O sea además de la presentación de los datos primarios en forma tabular,
también se pueden presentar mediante los gráficos que aportan mayor información pues la
visualización permite destacar los principales aspectos del fenómeno objeto de estudio.
Un gráfico es la representación de los datos por medio de puntos, líneas o rectángulos
cuyas dimensiones tienen que ser proporcionales a la magnitud de los datos presentados. Es
un medio auxiliar de exposición o presentación ya que el medio principal es la tabla
estadística. Mientras que la tabla muestra valores "exactos", el gráfico es una aproximación.
Sin embargo, tiene la ventaja de que permite apreciar más rápidamente el comportamiento
de los datos.
Al igual que la tabla, el gráfico tiene tres partes fundamentales, que son: encabezamiento,
cuerpo y leyenda.
El encabezamiento: Es la parte superior y está formado por el título que es un texto breve,
conciso, que ofrece una información clara sobre los datos que están graficados y el subtítulo
que es, al igual que el título, un texto breve, pero complementario de aquel.
18
El cuerpo: Es la parte principal ya que en ella se sitúan los datos recogidos en la
investigación. Determina el "tipo de gráfico" que se está empleando y mostrará la
proporcionalidad de los datos.
La leyenda: Está constituida por notas aclaratorias que se ubican, por lo general, hacia la
parte derecha del cuerpo. También existen otras tendencias que sitúan la leyenda debajo del
cuerpo e incluso en su interior.
Cuando en un gráfico se representan dos o más variables, la leyenda juega un papel
esencial para comprenderlo, en tal caso, se utilizan las mismas figuras que se emplearon en
el cuerpo con colores, sombreados, rayados u otras características acordes con las ya
empleadas y siempre diferentes entre sí.
Existen diversos tipos de gráficos, que se clasifican atendiendo a las "figuras" utilizadas en
su construcción. Entre los gráficos más usados están los de barras, de sectores, los
histogramas y los polígonos de frecuencias.
2.5. Representación gráfica para datos discretos.
Si se desea representar gráficamente las frecuencias absolutas o las relativas bastará con
llevar a un eje horizontal los valores de la variable y sobre cada uno de ellos levantar un
segmento vertical de longitud igual a la frecuencia absoluta o relativa correspondiente al
valor. Este tipo de gráfico se llama de diagrama de frecuencias o de barras de frecuencias.
Gráfico de barras: Es aquel en el cual el fenómeno que se estudia queda representado por
una serie de rectángulos o barras que pueden dibujarse horizontal o verticalmente. Se utiliza
para representar variables de tipo cualitativo o cuantitativo discreto.
Puede presentar dos o más indicadores que corresponden a dos o más variables, en ese
caso los rectángulos representativos de cada uno de ellos se distinguirán por distintos
colores o sombreados.
100
80
Fábrica 1
60
Fábrica 2
40
Fábrica 3
20
0
1er trim.
2do trim.
3er trim.
4to trim.
Las barras irán yuxtapuestas separando cada dato identificativo de acuerdo con las normas
para la separación de barras, e s decir, el espacio entre grupos no debe ser menor que la
mitad del ancho de una barra ni mayor que su ancho pero manteniendo la misma separación
una vez determinada.
En el caso de barras proporcionales se presenta en una sola figura geométrica datos cuyo
conjunto forma un todo definido, mostrando la proporción de cada una de las partes con
relación al total. La diferencia con los gráficos anteriores es que se encuentran todos los
datos representados en una sola barra dividida en porciones.
19
100%
80%
Fábrica 3
60%
Fábrica 2
40%
Fábrica 1
20%
0%
1er trim.
2do trim.
3er trim.
4to trim.
Si lo que se desea representar son las frecuencias acumuladas absolutas o relativas se hace
uso entonces de los llamados gráfico acumulativos de frecuencias. Estas gráficas consisten
en llevar sobre un eje horizontal los diferentes valores de la variable y levantando sobre cada
uno de estos valores un segmento vertical de longitud igual a la frecuencia acumulada
correspondiente completando con tramos horizontales hasta el valor inmediato siguiente.
El gráfico circular o de pastel es representado por un círculo que está dividido en partes
(sectores), cuyas amplitudes son proporcionales a la frecuencia correspondiente. Este tipo de
gráfico tiene gran impacto visual y es muy útil cuando el análisis de las partes con respecto a
un todo es más importante que el valor real. Resulta muy adecuado cuando hay pocos
valores, o bien cuando el carácter que se estudia es cualitativo.
La siguiente tabla corresponde a los resultados de una evaluación de 540 alumnos de una
escuela.
Evaluación
Frecuencia Absoluta
Frecuencia relativa
en por ciento
Regular
153
28,3
Mal
87
16,1
Bien
300
55,6
Total
540
100
Para su construcción se divide el círculo en sectores, de tal manera que la medida de cada
sector (amplitudes del ángulo central correspondiente al sector), represente el número de
alumnos o el por ciento evaluados en cada modalidad.
Para obtener cada sector se determina el ángulo central que le corresponde, dividiendo los
360° (medida del ángulo completo) en partes proporcionales a las frecuencias absolutas 153;
87 y 300 de la siguiente forma:
Para calcular la medida del sector que le corresponde a los evaluados como Regular, se
divide la frecuencia absoluta (153) por el tamaño de la muestra (540) y se multiplica por
360°. En general para calcular la amplitud del ángulo que va a corresponder a cada uno de
los sectores se multiplica la frecuencia relativa correspondiente al dato que se analice por
360°.
Así el cálculo para determinar el sector correspondiente a la modalidad de Regular es el
153
siguiente:
• 360° = 102°
540
20
De manera análoga para: Mal:
87
• 360° = 58°
540
Bien:
300
• 360° = 200°
540
Se verifica que el total es 360º o sea 102º + 58º + 200º = 360º
Por último, con ayuda del semicírculo graduado o dividiendo en partes proporcionales el
círculo de acuerdo a la medida del sector se obtiene el gráfico circular siguiente.
Regular
Mal
Bien
Es posible también hacer representaciones gráficas mediante el empleo de los llamados
pictogramas o diagramas pictóricos que se usan con frecuencia para presentar los datos de
una forma intuitiva. Muchos de ellos ponen de manifiesto una gran originalidad en su
presentación.
En estos gráficos para elegir la escala se debe tener en cuenta si son grandes o pequeñas
las cantidades a representar, de este modo cada unidad de longitud de la ordenada, cada
barra o símbolo será igual a un número de unidades de la cantidad a representar.
Ejemplo: En el siguiente gráfico se representan los resultados de una encuesta realizada en
una región donde se estudió el sexo de los trabajadores en seis actividades diferentes.
A través de la gráfica anterior de una forma muy atractiva puede visualizarse mediante
símbolos alusivos al fenómeno, la composición por sexo de las personas que trabajan en las
6 actividades diferentes seleccionadas; lo que le permitirá arribar a sus propias conclusiones
y a pensar en el por qué de esta composición.
21
2.6. Representación gráfica para datos continuos.
Histogramas: Consiste en un conjunto de columnas o rectángulos unidos, empleando una
columna para cada intervalo de clase.
Es una gráfica de barras, generalmente verticales, cuyas alturas vienen dadas por el
cociente de las frecuencia relativa de la clase y la amplitud del intervalo correspondiente y
cuyo ancho común es la longitud de cada clase. Se traza sobre un eje horizontal donde se
marcan las clases y sobre ellas las barras correspondientes y se considera un eje vertical
de las frecuencias.
Es decir en el eje x se marcan las bases de estos rectángulos y en el eje y se marca la
altura de los rectángulos que está determinada por la frecuencia absoluta o relativa de las
clases correspondientes.
Polígonos de frecuencia.
Esta representación consiste en una gráfica de líneas, dibujada en función del punto medio
de los intervalos. Se sigue el mismo procedimiento que para los histogramas pero las
frecuencias se marcan en los puntos medios de cada intervalo de clase y no en sus límites,
uniendo los puntos consecutivamente.
Un gráfico que muestre la frecuencia acumulativa menor que cualquier límite de clase real
superior dibujado en función del límite de clase superior se denomina polígono de frecuencia
acumulativa u ojiva.
Ejemplo de ojiva para la distribución de 1200 calificaciones en una evaluación de
Matemática.
22
EJERCICIOS PARA COMPROBAR TUS CONOCIMIENTOS
1. Se aplica una encuesta donde se pregunta:
¿Motiva usted sus clases? Se dan los ítems siguientes:
1. Siempre
2. La mayoría de las veces
3. Casi nunca
4. Nunca
Se obtienen las respuestas siguientes:
4
1
1
1
3
3
4
2
1
4
3
1
4
2
2
3
1
2
2
3
4
1
4
2
1
3
1
4
3
2
3
2
4
3
1
2
3
4
1
4
Confeccione una distribución de frecuencias.
Nota: Aunque aparecen tabulados números, éstos representan las categorías de los ítems de
la encuesta.
2. Una pregunta de selección múltiple en una encuesta tiene 5 respuestas posibles (A, B,
C, D, E). Haga una distribución de frecuencias para los datos siguientes:
A
D
D
E
B
A
E
C
D
D
A
A
C
B
E
E
D
B
D
A
A
A
E
E
C
C
C
B
B
E
D
A
B
C
D
B
D
A
A
E
E
B
B
C
C
E
A
B
3. Se observan 33 alumnos y se clasifican según la insuficiencia que presentan en A, B, C,
D, G, W y se obtienen los resultados siguientes:
A,A,B,W,B,G,A,B,B,B,G,D,D,C,C,W,W,C,C,B,A,W,C,G,G,B,B,C,G,C,B,G,W
Construya con estos datos:
a) Una distribución de frecuencias.
b) Las frecuencias relativa y porcentual.
c) Las gráficas de barras y circular o de pastel.
4. Se observan las calificaciones de 40 estudiantes en la asignatura Estadística, que
resultaron ser, según la lista:
R,M,E,E,M,M,R,B,M,M,B,B,B,B,B,E,B,B,R,R, (donde M - Mal , R - Regular
R,E,B,B,B,R,B,B,R,M,E,B,B,R,R,B,B,R,R,R
B - Bien y E - Excelente)
a) Construya una distribución de frecuencias.
b) Calcule las frecuencias relativas, acumulativas.
c) Confeccione el histograma y la gráfica de pastel.
5. Los datos siguientes corresponden a los tiempos de reacción, (en segundos) de una
muestra de 50 alumnos de la escuela A.
44.1 46.3 40.9 48.1 43.7 44.2 30.9 47.8
53.1
47.9
23
45.3 54.8 42.1 46.8 41.7 46.6 44.0 47.6
43.9
44.9
44.1 43.7 44.8 39.3 51.7 54.8 51.1 49.5
43.3
42.4
36.4 45.0 48.7 40.6 45.8 46.0 58.6 45.9
45.6
56.9
42.4 46.8 52.3 51.3 49.9 45.3 36.2 53.2
37.0
55.7
a) Construya una distribución de frecuencias.
b) Calcule las frecuencias relativas, acumulativas.
c) Confeccione el histograma y la gráfica poligonal.
6. En una investigación antropométrica se midieron los pesos de 40 alumnos universitarios
(peso en libras):
138
146
168
146
161
a)
b)
c)
d)
e)
f)
164
158
126
173
145
150
140
138
142
135
132
147
176
147
142
144
136
163
135
150
125
148
119
153
156
149
152
154
140
145
157
144
165
135
128
Haga una distribución de frecuencias con 12 clases.
Determine las marcas de clase.
Determine las frecuencias absolutas.
Determine las frecuencias relativas.
Determine las frecuencias relativas acumuladas.
Haga el histograma y el polígono de frecuencias de esa distribución.
7. En una escuela con matrícula de 800 estudiantes se realizó una encuesta sobre la
preferencia de programas de televisión, obteniéndose los siguientes resultados:
Programas
Alumnos
Deportivos
80
Musicales
120
Infantiles
240
Noticieros
200
Culturales
160
Represente los resultados de esta encuesta en un:
a) Gráfico de barras y circular.
b) Pictograma.
8. Se ha realizado una encuesta en 30 hogares en la que se les pregunta el número de
individuos que conviven en el domicilio habitualmente. Las respuestas obtenidas han sido las
siguientes:
4, 4, 1, 3, 5, 3, 2, 4, 1, 6, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 8, 3, 5, 3, 4, 7, 2, 3.
24
a) Calcule la distribución de frecuencias de la variable obteniendo las frecuencias absolutas,
relativas y sus correspondientes acumuladas.
b) ¿Qué proporción de hogares está compuesto por tres o menos personas? ¿Qué
proporción de individuos vive en hogares con tres o menos miembros?
c) Dibuje el diagrama de barras de frecuencias y el diagrama en escalera.
d) Agrupe por intervalos de amplitud 2 los valores de la variable, calcule su distribución de
frecuencias y represente el histograma correspondiente.
9. En un estudio sobre consumo de gasolina en una gran ciudad se eligió una muestra de
100 vehículos y se observó el número de litros que consumían en un día, obteniéndose la
siguiente distribución de frecuencias.
a) Calcule la distribución de frecuencias, obteniendo, además, la amplitud de cada intervalo
así como sus respectivas marcas de clase.
b) Represente gráficamente la distribución de frecuencias mediante un histograma.
10. Se realiza un estudio en una ciudad sobre la capacidad hotelera y se obtienen los
siguientes resultados:
a) Represente gráficamente esta distribución de frecuencias mediante un histograma.
b) ¿Cuál es la proporción de hoteles que disponen de entre 11 y 60 plazas?
c) ¿Cuántos hoteles tienen treinta o menos plazas?
d) Calcule las marcas de clase de cada intervalo.
e) ¿Cuál es la proporción de hoteles que disponen de entre 15 y 50 plazas? ¿Qué hipótesis
hace para este último cálculo?
11. Una entidad bancaria dispone de 50 sucursales en el territorio nacional y ha observado el
número de empleados que hay en cada una de ellas para un estudio posterior. Las
observaciones obtenidas han sido:
12, 10, 9, 11, 15, 16, 9, 10, 10, 11, 12, 13,14,15, 11, 11, 12, 16, 17, 17,16,16, 15, 14, 12, 11
11, 11, 12, 12, 12, 15, 13, 14, 16, 15, 18, 19, 18, 10, 11, 12, 12, 11, 13, 13, 15, 13, 11, 12.
a) Calcule la distribución de frecuencias de la variable obteniendo las frecuencias absolutas,
relativas y sus correspondientes acumuladas.
b) ¿Qué proporción de sucursales tiene más de 15 empleados?
c) Dibuje el diagrama de barras y el diagrama en escalera correspondientes.
d) Agrupe en intervalos de amplitud 3 los valores de la variable, calcule su distribución de
frecuencias y represente su histograma y su polígono de frecuencias acumuladas.
25
CAPÍTULO 3: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN RELATIVA Y DE
DISPERSIÓN.
Como ya se conoce, la Estadística se encarga de la recolección, clasificación y presentación
de datos, mediante tablas y gráficos, pero también del análisis de esos datos con el fin de
conocer características propias de la muestra seleccionada. Esto último se realiza a partir de
la "reducción" de los datos primarios, o de ellos ya tabulados, a unos cuantos "valores
representativos", que se les da el nombre de estadígrafos, estadísticos o medidas
descriptivas y que ayudan a encontrar regularidades entre los datos que describen.
Son magnitudes que sirven para valorar una serie de mediciones que se calculan a partir de
los datos. Se utilizan con mucha frecuencia para describir una característica o el carácter de
una distribución.
Se pueden obtener para los datos primarios y para agrupados.
Cuando se tiene una lista de datos numéricos a veces se necesita extraer uno que sea
representativo de todos, es decir, que ofrezca una cierta idea del valor más típico, ya sea
porque es el que más se repite o porque tenga la misma cantidad de datos antes o después
de él o porque es el valor alrededor del cual están los demás. Este tipo de datos que se
ubican hacia el lugar central de la lista y que indican medidas representativas se llama
medidas de tendencia central o de posición.
Los valores que asumen estas medidas están incluidos entre el menor y el mayor de los
datos lo que no significa que ocuparán exacta y necesariamente su centro, ni que los valores
que tomen tengan que coincidir con alguno de los que han sido recolectados.
Entre estas medidas se tienen la moda, la mediana, la media ( aritmética, geométrica,
armónica) y los percentiles, entre otras.
A veces es conveniente calcularlas todas, a veces dos y en otros casos una medida es la
apropiada, es decir, se pueden utilizar según el tipo de fenómeno que se analice y las
características de los datos que se procesan.
3.1. Para valores simples o no agrupados.
La moda: En una muestra de tamaño N, la moda, si existe, es el dato o los datos, que tienen
mayor frecuencia absoluta.
De lo anterior se infiere que en una muestra para que haya moda, tiene que existir por lo
menos un dato que se repita una cantidad de veces mayor que la que aparecen los demás.
Por tanto, en una muestra la moda puede o no existir, y si existe puede ser única o no. Se
puede calcular para cualquier escala de medición de la variable que se estudia.
Para denotar la moda de una variable X, se usará la notación X̂ .
En ocasiones una lista de datos puede tener más de una moda, cuando son varios los datos
que más se repiten (y se repiten la misma cantidad de veces).
Esta medida de tendencia central es también usualmente empleada para estudiar situaciones
de la vida práctica. Es muy útil cuando los datos son cualitativos, pues no depende de
cálculos con ellos.
Puede ser usada para cualquier tipo de datos, es fácil de determinar.
26
Se señala que puede no existir y que no es una función algebraica de los valores individuales
de la serie, por lo que puede oscilar mucho de una muestra a otra.
Por ejemplo, la moda se utiliza para indicar el número más frecuente de veces que un árbitro
muestra tarjeta amarilla a un jugador en un partido de voleibol para penalizar sus faltas, para
indicar la nota más frecuente que un grupo de alumnos obtuvo en la prueba de Matemática,
para identificar el horario preferido por los pobladores de una ciudad en una encuesta sobre
el tránsito de una línea de ómnibus.
La mediana de una muestra de tamaño N , cuyos datos han sido ordenados ascendente o
descendentemente, es el valor (único) que ocupa el propio centro de dichos datos. Por tanto,
si el elemento de la muestra cuyo valor es el de la mediana se excluye, los datos primarios
podrán redistribuirse en dos subgrupos, los cuales quedarán integrados por cantidades
iguales de datos.
Solo tiene validez práctica cuando se le aplica a variables que estén medidas en escala
métrica u ordinal.
Para calcular la mediana de una muestra de tamaño N, se deberán seguir los siguientes
pasos:
•
Ordenar los datos de modo ascendente o descendente.
•
Calcular la posición que ocupa la mediana: si N es impar, la mediana ocupa la
posición ( N + 1) 2 de los datos; en cambio si N es par, entonces la mediana se
encuentra entre los datos que ocupan las posiciones N 2 y ( N 2) + 1 .
•
Dentro de la muestra ordenada localizar el dato o los datos que ocupan la posición o
posiciones calculadas en el paso 3.
En el momento de realizar la interpretación de la mediana se deberá tener mucho cuidado,
ya que en ocasiones esta coincide con algunos de los datos primarios y en otras no. Puede
señalarse que :
¾ La mediana siempre existe y puede ser determinada para cualquier grupo de datos,
sean ordinales o numéricos (no para datos nominales).
¾ Siempre es única.
¾ Puede ser hallada con un mínimo de cálculos siendo apropiada para muestras
pequeñas.
¾ No es fácilmente afectada por valores extremos.
En la práctica se puede utilizar por ejemplo para determinar el valor central de las notas de
Matemática de los 30 alumnos de un grupo o el valor central de la cantidad de pasajeros
transportados por un ómnibus en los recorridos que hizo en un día.
Ejemplo: Conocidos los datos 3; 2; 5; 8; 7; 13; 11 calcule la mediana.
Después de ordenarlos queda: 2 3 5 7 8 11 13. El número de datos es impar: n = 7,
7 +1
= 4, por tanto la mediana es el dato que ocupa el cuarto lugar; en éste caso el
2
número 7.
27
La media aritmética es el valor alrededor del cual se encuentran los datos de una lista. Se
calcula sumando todos los datos y dividiendo el resultado por el número de datos. Solo tiene
validez práctica cuando se le aplica a variables que estén medidas en escala métrica.
Se denota por el símbolo X y la fórmula para calcularla es:
n
+
+ ... + xn
X = x1 x 2
=
n
∑ xi
i =1
n
=
1 n
∑ xi
n i =1
En esta expresión Xi representa a cada dato o valor de la variable, el signo Σ significa la
suma de todos los datos y n es la cantidad de datos.
A esta media aritmética se le llamara simple para diferenciarla de la media aritmética
ponderada que se analizará posteriormente. También, se le suele decir promedio, aunque
este último nombre se puede prestar a confusión. Constituye el punto de " equilibrio o centro
de gravedad" de los datos.
Es muy utilizada al analizar situaciones de la vida como por ejemplo al calcular el promedio
de notas de un alumno y el promedio del gasto de electricidad o de agua de una familia.
Puede señalarse que:
ƒ
Siempre existe.
ƒ
Siempre es única y fácil de calcular.
ƒ
Toma en cuenta cada dato de manera individual. Es una función algebraica de los
valores individuales de la serie de datos.
ƒ
Puede o no coincidir con uno o más de los datos y no depende de su cantidad. Para
su cálculo no requiere que los datos sean ordenados, ni tabulados y puede o no ser
igual a la moda.
ƒ
Se puede utilizar cuando la muestra no es extremadamente pequeña pero no en el
caso de datos nominales (que son atributos o valores dados por propiedades) ni
ordinales.
ƒ
Si en una muestra todos los datos son iguales (constantes), entonces la media
aritmética de esa muestra es esa misma constante.
La media aritmética está influida por valores extremos, lo que constituye una limitante en su
utilización, o sea, está "afectada" por cada dato y principalmente, por aquellos que se alejan
mucho de los demás. Quizás sea esta la gran deficiencia o limitación de esta medida lo que
hace que, en ocasiones, la media no sea una "buena representación" de los datos.
Ejemplo: Si se calcula la media considerando las calificaciones sobre 100 puntos de 10
alumnos 42 52 100 48 60
58
56
42
39
100
x ≈ 60 esto significaría que la media de los alumnos está aprobado, sin embargo sólo hay 3
aprobados (es decir, tres calificaciones de 60 o más puntos).
Ejemplo: Dada las notas (sobre 10 puntos) de 30 alumnos
6,9
9,7
3,2
6,8
8,8
5,3
4,5
2,8
8,7
9,8
6,8
7,6
9,2
8,3
8,3
6,3
6,9
7,6
6,8
9,3
28
7,7
7,6
9,8
5,7
1,3
7,2
9,7
4,9
6,9
1,7
a) Calcular la moda: Mo = 6,8 ; 6,9 ; 7,6
b) Calcular la mediana: Después de ordenadas las notas medias( pues 30 es par) son la
6,9 + 7,2
14 , 1
15 (6,9 ) y la 16 (7,2 ), luego la mediana es :
=
= 7 , 05 ≈ 7, 0
2
2
En este caso la mediana no es un dato pues hay un número par de datos.
La media geométrica de una muestra de tamaño N es la raíz Nésima del producto de los N
datos de esa muestra. Se denota esta medida por G. En símbolos: G = N X 1 X 2 X 3 ... X N
Cuando los datos vienen dados por razones es más recomendable utilizar la geométrica en
lugar de la aritmética. La media geométrica se utiliza en los casos en que los datos de la
variable que se investiga, presenta una "razón de crecimiento". Tiene, entre otros campos,
gran uso dentro de la Biología.
Si la cantidad de observaciones es muy grande para simplificar los cálculos se hace uso de
las propiedades de los logaritmos decimales y se obtiene una nueva expresión para esta
fórmula, que en realidad es la que se utiliza:
N
lg X 1 + lg X 2 + ... + lg X N
=
lg G =
N
∑ lg X
i =1
i
N
En definitiva, para calcular la media geométrica de una muestra de tamaño N, se procede del
siguiente modo.
9 Calcular el logaritmo decimal de cada dato de la muestra.
9 Calcular la media aritmética de esos nuevos datos.
9 Calcular el antilogaritmo de esa media.
La media armónica de una muestra de tamaño N es el cociente que se establece entre el
tamaño de la muestra y la suma de los recíprocos de los datos de esa muestra.
Denotando
por
MA
esta
N
N
es: MA =
= N
1
1
1
1
+
+ ... +
∑
X1 X 2
XN
i =1 X i
medida
y
su
fórmula
para
el
cálculo
En resumen, para calcular la media armónica de una muestra de tamaño N, se procede del
siguiente modo:
¾ Calcular el recíproco de cada dato de la muestra.
¾ Calcular la suma de esos nuevos datos.
¾ Dividir el valor de N por la suma anterior.
La media geométrica de un conjunto de valores positivos es menor o igual a su aritmética
pero mayor o igual que la armónica.
En resumen:
29
De las medidas de tendencia central estudiadas la media es la más utilizada, aunque en
ciertos casos la utilización de la mediana o de la moda es preferible.
La media en muy sensible a valores extremos, o sea, cuando se altera drásticamente el valor
de uno de los datos, la media varía considerablemente.
La mediana es preferible a la media cuando se está interesado en conocer el punto medio de
la distribución de los datos ya que es el valor que la divide en dos partes iguales.
La moda revela su utilidad, tanto en el estudio de datos cualitativos, como cuantitativos,
mientras que la media y la mediana son aplicables a datos cuantitativos.
La importancia de las medidas estudiadas está en dependencia del tipo de datos, de su
distribución y del objetivo que se tiene en la realización del estudio. A pesar de ser
considerada la media como la medida más importante en la mayoría de los estudios de
fenómenos o hechos, el conocimiento de las tres proporciona una mejor descripción de
estos.
Ejemplo:
La tabla de frecuencias que se presenta a continuación corresponde a los resultados del
control que realizó la directora de una escuela- durante 19 días - a los alumnos que llegaron
tarde a clases. Calcule la media, la moda y la mediana.
Número de alumnos que
llegaron tarde
Frecuencia absoluta
0
2
1
2
2
3
3
2
4
2
5
6
6
1
7
1
Total
19
Para calcular la media, como los datos están recogidos en la tabla donde están reflejadas
las frecuencias absolutas se puede reducir el número de sumandos haciendo uso del cálculo
de los productos que se obtienen al multiplicar la cantidad de alumnos que llegaron tarde por
la frecuencia. La suma de estos productos se divide por el número total de datos y de esta
forma se obtiene la media aritmética.
Media =
0 • 2 + 1• 2 + 2 • 3 + 3 • 2 + 4 • 2 + 5 • 6 + 6 •1 + 7 •1
=3,4
19
Si se observa la tabla de frecuencias se puede notar directamente de que el valor que más
se repite en este conjunto de datos es el 5. De manera que la cantidad de alumnos que con
más frecuencia llegaron tarde al matutino fue de 5, que es la moda de estos datos
30
En este caso para determinar la mediana se deberá ordenar en forma creciente o
decreciente el conjunto de datos: 0; 0; 1 ;1 ;2 ;2 ;2 ;3 ;3 ;4 ;4; 5 ;5; 5; 5; 5; 5; 6; 7 . Como el
número de datos es impar bastaría tomar su valor central que en este caso es 4. Luego la
mediana del número de alumnos que llegaron tarde al matutino es 4.
3.2. Para valores agrupados.
¿Cómo determinar la media, la moda y la mediana cuando los datos están agrupados en una
tabla de frecuencias?
Moda: En las distribuciones de frecuencia, cuando las observaciones se presentan en
intervalos de clase, la clase de mayor frecuencia es la modal.
⎛
Se calcula utilizando la fórmula : Mo = L i + ⎜⎜ n1
⎝ n1 + n2
⎞
⎟⎟ ⋅ i
⎠
L i : Límite inferior real de la clase modal.
n 1 : Frecuencia absoluta posterior a la frecuencia modal.
n 2 : Frecuencia absoluta anterior a la frecuencia modal.
i
: Amplitud del intervalo de la clase modal.
Dentro de una misma muestra depende considerablemente de la amplitud de las clases en
que fueron concentrados los valores.
Mediana: Cuando los datos están agrupados en clases se utiliza la fórmula:
⎛ n
⎞
− fa
⎜
⎟
−
m
1
2
⎝
⎠ ⋅ i donde:
Me = Li +
fm
Li:
Límite de clase real inferior de la clase mediana.
n:
Número de observaciones.
f a m − 1 : Suma de todas las frecuencias de las clases inferiores a la clase
mediana f
m −1
a m −1
= ∑ fk
k =1
f m : Frecuencia de la clase donde va a estar la mediana.
i : Amplitud del intervalo de la clase mediana (diferencia de los extremos más 1)
Cuando una serie de datos están agrupados en una distribución de frecuencias, la mediana,
por definición, será el punto que indique el 50 % de los casos.
Ejemplo: La siguiente distribución de frecuencias corresponde a las notas obtenidas por un
grupo de 50 escolares en un examen de Geografía con un valor de 100 puntos. Determine la
mediana.
31
INTERVALOS
f
Frecuencia
acumulada
INTERVALOS
f
Frecuencia
acumulada
50 - 54
1
1
75 - 79
6
20
55 - 59
3
4
80 - 84
10
30
60 - 64
2
6
85 - 89
8
38
65 - 69
4
10
90 - 94
7
45
70 - 74
4
14
95 - 99
5
50
Determinando la mitad de los casos
1
. 50 = 25
2
¿ A qué intervalo corresponde el caso No. 25 ? Con el auxilio de la frecuencia acumulada,
hasta el intervalo 75 - 79 se tienen 20 casos, faltan 5 , luego está en el intervalo 80 - 84 .
L i = 79,5
M = 79,5 +
n = 50
f a m − 1 = 20
fm =
10
i
=
5
(25 − 20 )
. 5= 82
10
Media aritmética: Si se tiene una distribución de frecuencias, todos los valores que se
encuentran en un intervalo dado se consideran coincidentes con el punto medio del intervalo,
entonces:
+
+ ... + f n xn
1 n
X = f 1 x1 f 2 x 2
=
∑fx
n i =1 i i
f 1 + f 2 + ... + f n
⎛ n
⎞
⎜ ∑ fi = n ⎟
⎜ i =1
⎟
⎝
⎠
donde fi es la frecuencia y xi el valor medio del intervalo o marca de clase.
Este procedimiento presupone que los valores se distribuyen uniformemente sobre la
amplitud de clase. Siempre que la amplitud de clase no sea muy grande y el número de
clases no sea muy pequeño, se puede pensar que las desviaciones de las marcas de clase
se compensan y que el error es pequeño
Ejemplo:
Si se considera la distribución dividida en intervalos del ejemplo de las notas de los 30
alumnos se tendría:
Intervalo
0 – 2,5
2,5 – 5
5 – 7,5
fi
2
4
10
Punto medio del intervalo
x1 =
0 + 2,5
= 1,25
2
x2 =
2,5 + 5
= 3,75
2
x3 =
5 + 7,5
= 6,25
2
32
7,5 – 10
X =
14
x4 =
7,5 + 10
= 8,75
2
2 ⋅ 1, 25 + 4 ⋅ 3 , 75 + 10 ⋅ 6 , 25 + 14 ⋅ 8 ,75
2 , 5 + 15 + 62 , 5 + 122 , 5
=
30
30
202 , 5
= 6 , 75 ≈ 6 , 8 que comparado con el resultado de los datos simples no difiere
30
mucho.
=
Si los datos se repiten se obtiene la media de igual forma que en los datos agrupados por
clases, pero donde xi son los datos que se repiten y fi las frecuencias (o sea, las veces que
se repiten).
+
+ ... + f n xn
X p = f1 x1 f 2 x 2
f1 + f 2 + ... + f n
donde fi : frecuencia de cada dato
xi : cada dato que aparece
i = 1, ... , n
Ejemplo: Las calificaciones 5; 8; 6; 2 se presentan en una cierta prueba con una frecuencia
de 3; 2; 4 y 1.
Xp =
3 ⋅ 5 + 2 ⋅ 8 + 4 ⋅ 6 + 1⋅ 2
57
=
= 5,7 ≈ 6
3 + 2 + 4 +1
10
Cuando se quiere obtener la media aritmética de varias se debe tener en cuenta el número
de elementos que han intervenido en cada una de ellas, de este modo la media obtenida con
más elementos tiene mayor valor que la obtenida con menos. De esta forma la media
ponderada surge cuando se quiere determinar la media única de varios grupos de datos
sobre la base de sus medias individuales y el número de datos de cada grupo. Con ello se
puede caracterizar la totalidad de las muestras investigadas.
Xp =
En este caso
n 1 x 1 + n 2 x 2 + ... + n k x k
n 1 + n 2 + ... + n k
donde ni es el número de datos (frecuencia) cuya media es x i .
La media única se obtiene ponderando las medias individuales.
Ejemplo: Conocidas las medias de notas en tres grupos
X i : 55
70
90
n i : 35
30
25
Si se pondera: X p =
35 ⋅ 55 + 30 ⋅ 70 + 25 ⋅ 90
6275
=
= 69 , 7 ≈ 70
35 + 30 + 25
90
33
3.3. Medidas de posición relativa.
Si un conjunto de datos se ordena, el valor medio que divide al conjunto en dos partes
iguales es la mediana. Ampliando esta idea se puede pensar igual de los valores que dividen
al conjunto en cuatro partes iguales. Estos valores denotados por Q 1 ; Q 2 ; Q 3 y Q 4 son
denominados cuartiles, siendo el valor Q 2 , igual al de la mediana.
Si se divide en 100 partes se llaman percentiles.
Ejemplo : División en cuartiles del conjunto de notas de 10 alumnos:
3,0
4,8
5,2
7,0
7,3
7,4
7,9
8,5
9,5
9,9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q1
2 Eltos. Q 2
Q3
2 Elementos
2 Eltos.
25 %
2 Eltos.
50 %
25 %
Método para calcularlos: Para esto se calcula primero la mediana del conjunto y después la
mediana de cada uno de los subconjuntos obtenidos.
Mediana:
Q2 =
7,3 + 7,4
14,7
=
= 7,35
2
2
Q 1 = 5,2
Son datos, pues hay un número impar de datos.
Q 3 = 8,5
Esto significa que el 25 % tienen 5,2 o están por debajo de 5,2; el 50 % tiene 7,35 o menos y
el 75 % tiene 8,5 o menos.
También se puede interpretar que el 25 % tiene 8,5 o más, el 50 % tiene 7,35 o más y el 75
% tiene 5,2 o más.
El percentil 50 es la mediana, el 25 es el cuartil 1 ( Q 1 ) y el percentil 75 es el cuartil 3 ( Q 3 ).
El primer cuartil ( Q 1 ) es el punto de amplitud que tiene por debajo de su valor el 25 %, o
sea la cuarta parte de los casos.
El segundo cuartil ( Q 2 ) es precisamente la mediana que tiene por debajo el 50 % , o sea la
mitad de los casos.
El cuartil ( Q 3 ) tiene por debajo las tres cuartas partes de los datos de la distribución, o sea
el 75 % de los casos y por tanto tiene por encima de él la otra cuarta parte de los casos.
Ejemplo: Con la distribución de frecuencias de los 50 alumnos en el examen de Geografía
1
⋅ 50 = 12 , 5
Q1 :
4
⎛ 12 , 5 − 4 ⎞
Q 1 = 69 , 5 + ⎜
⎟ ⋅ 5 = 69,5 + 4,25 =73,75 ≈ 73,8
10
⎝
⎠
Q 2 : Se halló antes y es 82.
34
Q3 :
3
⋅ 50 = 37 , 5
4
⎛ 37 , 5 − 30 ⎞
Q 3 = 84 , 5 + ⎜
⎟ ⋅ 5 = 84,5 + 4,69 = 89,2
8
⎝
⎠
Percentiles: Utilizando el mismo procedimiento de los cuartiles, se calculan puntos por
debajo de los cuales se encuentra el 10 %, 78 % o cualquier otro porcentaje, ya que la
escala total de puntuación se divide en 100 partes iguales. Q 1 es el P 25. Q2 es el P 50 y Q 3
es el P 75
Ejemplo: Utilizando el ejemplo anterior hallar P 35 y P 60
P 35 se obtiene calculando :
Como n = 50 entonces :
P 35 = 74, 5 + (
35
.n
100
35 . 50
100
17,5 − 14
6
= 17, 5 que cae en la clase 75 -79.
) .5 =
74,5 + 2,25
= 77,4
76,8
Esto significa que el 35 % de lo alumnos obtuvo notas de 76,8 o menos.
P 60 se obtiene calculando:
P 60 = 79,5 +
(
30 − 20
10
60
60 . 50
n =
= 30
100
100
) . 5 = 79,5 + 5 = 84,5
Esto significa que el 60 % de los alumnos obtuvo notas de 84,5 puntos o menos.
Rango de percentiles: Cuando se trata de determinar la situación de un alumno en un
grupo, de comparar su posición en dos materias diferentes, o de comparar la posición de dos
alumnos en dos grupos, el rango de percentil permite hacer esta comparación.
Si se quiere saber cuál de dos alumnos de dos grupos diferentes ocupa una mejor posición
en sus grupos, sabiendo que uno obtiene un rango de 15 en su grupo de 32 alumnos, y el
otro de 27 en un grupo de 42 alumnos, esto no es posible hacerlo a simple vista, es
necesario para compararlos encontrar su posición si ambos grupos tuvieran 100 alumnos.
Cálculo del rango de percentiles. Fórmula: R p = 100 −
100 R − 50
donde
n
n = número de datos R = rango de cada dato.
Las notaciones percentiles facilitan:
•
La interpretación significativa de las puntuaciones individuales.
•
La comparación de puntuaciones obtenidas por un mismo sujeto en dos o más test de
una materia o en pruebas distintas.
•
También permite conocer el porcentaje de observaciones ( datos ) que son menores e
iguales a un valor dado de la distribución.
35
Rango Percentil para datos agrupados.
Pueden utilizarse las frecuencias absolutas o relativas.
Con las frecuencias absolutas se usa la expresión: FXi = f a +
xi − li
( Fa − f a )
i
Fxi : frecuencia absoluta acumulada hasta el valor xi
xi : valor dado.
li : límite inferior del intervalo al que pertenece xi
i : amplitud del intervalo.
Fa : frecuencia absoluta acumulada que corresponde a la clase a la que pertenece
xi
f a : frecuencia acumulada anterior al intervalo al que pertenece xi .
La expresión anterior permite calcular la frecuencia absoluta acumulada hasta el valor Xi , al
Fxi
calcular que porcentaje representa del total de datos, entonces se calcula R =
⋅ 100
∑ fi
Si se trabaja con frecuencias relativas acumuladas, se utiliza
R = fr +
x i − li
( Fr − f r )
i
Donde:
Fr : frecuencia relativa acumulada a la clase a la que pertenece Xi .
f r : frecuencia relativa acumulada anterior al intervalo al que pertenece Xi .
li : límite inferior al intervalo al que pertenece Xi .
i : amplitud del intervalo.
Ejemplo: Conocida la distribución de las calificaciones obtenidas en una prueba de Física
se quiere conocer qué porcentaje de los alumnos tiene hasta 73 puntos.
INTERVALOS
f
fa
INTERVALOS
f
fa
50 - 54
1
1
75 - 79
6
20
55 - 59
3
4
80 - 84
10
30
60 - 64
2
6
85 - 89
8
38
65 - 69
4
10
90 - 94
7
45
70 - 74
4
14
95 - 99
5
50
Para ello se halla el rango percentil de la anotación 73.
36
F73 cae en el intervalo 70 – 74 con una
xi = 73
F xi = f a +
li = 69,5
i=5
Fa = 24
f a = 16
xi − li
73 − 69,5
( Fa − f a ) = 16 +
( 24 − 16 )
i
5
= 16 +
3,5
⋅8
5
= 16 + 0,7 ⋅ 8 = 16 + 5,6 = 21,6
Para conocer qué porcentaje de alumnos tiene hasta 73 puntos entonces
21,6
R=
⋅ 100 = 54 %
40
3.4. Medidas de dispersión o variabilidad.
Tanto la tabulación y agrupación de los datos como las medidas de tendencia central,
aunque sirven para caracterizar una distribución, no dan una idea completa de la situación,
es decir, las medidas de tendencia central no bastan pues se limitan a poner de manifiesto
un valor conjunto de todos los datos y no dan indicaciones de cómo se distribuyen los
elementos alrededor de un valor central.
No proporcionan información en torno a si los elementos pequeños son más numerosos que
los mayores ni ponen de manifiesto si las diferencias entre los elementos varían o no
regularmente y si son grandes o pequeñas.
Observe la figura siguiente, en donde los valores del eje X (abscisas) señalados,
corresponden a las medias de las distribuciones que se grafican respecto a las frecuencias
(eje Y).
D IS T R IB U C IO N E S - G rá fic o II
DIST RIBUCIONES - Gráfico I
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
2
0
0
0
1
2
3
2
4
6
8
4
En I, hay dos distribuciones distintas, pero con igual “media”.
En cambio en II, las medias son diferentes pero las distribuciones son idénticas.
En el caso siguiente: 3; 7; 42; 47; 71
15; 38; 42; 52; 23
X = 34
X = 34
M = 42
M = 42
37
A pesar de que las series son evidentemente diferentes, tienen la misma media y la misma
mediana.
Para eliminar estas insuficiencias de las medidas de tendencia central se hace necesario
contar con una medida que indique la variabilidad o dispersión de los datos de una
distribución y es por ello que se hace el estudio de la dispersión (que es el grado según el
cual los datos numéricos tienden a difundirse alrededor de un valor promedio) para
caracterizar una distribución.
La mayor o menor variabilidad de los valores de una serie de datos con respecto a las
medidas de tendencia central se representa por índices de dispersión o variabilidad. Cuanto
más homogénea es la serie menores son tales índices.
Entre las medidas de dispersión están el recorrido, la varianza, la desviación típica o
estándar, el coeficiente de variación y el error estándar de la media.
Rango, amplitud o recorrido:
Si se tienen las siguientes puntuaciones obtenidas por dos grupos de estudiantes.
Grupo I
Grupo II
Alumnos
Puntuación
Alumnos
Puntuación
A
100
J
62
B
80
K
61
C
60
L
60
D
40
M
59
E
20
N
58
Media
X = 60
Media
X = 60
Mediana
M = 60
Mediana
M = 60
Es evidente que las medidas de tendencia central no describen las diferencias de
rendimiento entre los estudiantes del grupo I y II. Es necesario emplear una medida de
dispersión al mismo tiempo que las de tendencia central, para comparar sus rendimientos.
El grupo I es decididamente heterogéneo, con grandes variaciones en los rendimientos. El
grupo II es bastante homogéneo con pocas diferencias en las puntuaciones contiguas y entre
las puntuaciones más altas y más bajas.
Entonces se analiza el rango pues define la variabilidad de las medidas. Esta es la más
simple de las medidas de dispersión y se utiliza para comparar rápidamente dos
distribuciones. Es poco confiable, pues considera sólo dos observaciones extremas,
independientemente de la forma de la distribución y de las frecuencias de cada valor de la
variable.
R = X máxima – X mínima
En general se tiene que a mayor recorrido (rango) se tiene una mayor dispersión de los datos
y viceversa.
En el ejemplo:
38
Grupo I
R = 100 − 20 = 80
Grupo II
R =
− 58 =
62
4
Luego en el grupo I hay una mayor dispersión de los datos que en el grupo II, es decir en el I
los datos están menos agrupados alrededor de la media en que el II que están más
concentrados.
Puede observarse que el rango es fácil de calcular pero en ocasiones no refleja diferencias
de la forma en que se distribuyen los datos de cada grupo.
Desviación media : Se define como la media aritmética de los valores absolutos de las
diferencias entre los datos y su media aritmética.
Solo se puede calcular con datos simples repetidos o agrupados en clases.
n
∑ xi − x
Dx =
donde
i =1
n
es la media aritmética de los datos de la distribución y
x
xi − x
es el valor
absoluto de la desviación de x i con respecto a x .
La desviación media indica donde estarían concentrados los datos si estuvieran todos a la
misma distancia de la media aritmética.
Ejemplo: Si se consideran las notas de 5 alumnos: 1; 3; 5; 8; 9.
xi
xi − x
xi − x
1
− 4,2
4,2
3
− 2,2
2,2
5
− 0,2
0,2
8
2,8
2,8
9
3,8
3,8
Dx =
x =
26
= 5,2
5
13,2
= 2,64
5
13,2
1
2
2,56
3
4
5
6
5,2
7
8
9
10
7,84
5,2 − 2,64 = 2,56
5,2 + 2,64 = 7,84
La mayor parte de los datos estarían concentrados entre 2,56 y 7,84.
Ejemplo: Hallar la D x de las notas de 10 alumnos.
39
Datos simples: 8,5 ; 7,3 ; 4,8 ; 5,2 ; 3,0 ; 7,9 ; 9,5 ; 9,9 ; 7,4 ; 7,0
Resultado:
xi
xi − x
8,5
1,45
7,3
0,25
4,8
− 2,35
5,2
− 1,85
3,0
− 4,05
7,9
0,85
9,5
2,45
9,9
2,85
7,4
0,35
7,0
− 0,05
10
∑ x i = 70,5 y X = 7,05 , por último D X =
i =1
16,5
= 1,65
10
Es posible considerar que la calificación de cada alumno se diferencia de la calificación
media en 1,65. Como ese es un valor pequeño se puede interpretar como que la mayoría de
los alumnos tiene una calificación próxima a la media. Desviación media para datos
agrupados.
n : No. de datos.
Xi : punto medio de la clase.
fi
: frecuencia de cada intervalo.
Ejemplo :
La siguiente tabla muestra la distribución de las notas de 50 alumnos en un examen de
Historia.
Clases
xi
fi
x if i
xi − x
xi − x fi
10 − 14
12
2
24
17,6
35,2
15 − 19
17
8
136
12,6
100,8
20 − 24
22
6
132
7,6
45,6
25 − 29
27
12
324
2,6
31,2
30 − 34
32
7
224
2,4
16,8
35 − 39
37
6
222
7,4
44,4
40
40 − 44
42
4
168
12,4
49,6
45 − 49
47
3
141
17,4
52,2
50 − 54
52
1
52
22,4
22,4
55 − 60
57
1
57
27,4
27,4
Total
X=
∑ Xi f i
n
50
=
1480
= 29,6
50
425,6
D x=
∑ f
i
x
−x
i
n
=
425,6
= 8,51
50
En ocasiones, por dificultades en el manejo algebraico de los módulos, hace que no se utilice
mucho.
La desviación estándar o desviación típica (S ).
Es la medida de variabilidad más comúnmente usada y de mayor confianza, puesto que varía
menos que otros cuando se calcula para varias muestras extraídas de la misma población.
La desviación estándar representa todas las diferencias de las observaciones respecto a la
media, de modo que si el valor de S es pequeño, las desviaciones son pequeñas y la
muestra es más homogénea respecto a otras muestras con valores mayores de S. La
desviación típica o estándar de una muestra de tamaño N es la raíz cuadrada positiva de la
varianza. Se denota por S y en símbolos es: S = + S 2
Cálculo de S para datos no agrupados: La fórmula de S para este tipo de casos viene
(
∑ xi − x
dada por: S =
)2
n
En el ejemplo de las notas de los 5 alumnos, x =
26
= 5,2
5
Xi
xi − x
(x i − x)
1
− 4,2
17,64
3
− 2,2
4,84
5
− 0,2
0,04
8
2,8
7,84
9
3,8
14,44
2
∑ = 44,8
∑ ( Xi − X ) 2
n
=
44,8
= 8,96
5
S=
8,96 ≈ 2,99
41
Cálculo de S para datos agrupados.
Aún cuando existe más de un método para el cálculo de S en este tipo de situación, se vera
aquel más largo, pero seguro en el cálculo.
La fórmula viene dada por : S =
∑ f i( x i − x )
2
n
donde, f i : frecuencia de cada intervalo.
x i : marca de clase o punto medio de cada intervalo.
x : media aritmética de la muestra.
n : número de casos u observaciones.
En el ejemplo de las 50 notas en el examen de Historia
Intervalo
xi
fi
xi − x
(x i − x)
10 – 14
12
2
– 17,6
309,76
619,52
15 – 19
17
8
– 12,6
158,76
1270,08
20 – 24
22
6
– 7,6
57,76
346,56
25 – 29
27
12
– 2,6
6,76
81,12
30 – 34
32
7
2,4
5,76
40,32
35 – 39
37
6
7,4
54,36
328,56
40 – 44
42
4
12,4
153,76
615,04
45 – 49
47
3
17,4
302,76
908,28
50 – 54
52
1
22,4
501,76
501,76
55 – 60
57
1
27,4
750,76
750,76
50
∑ f i( x i − x )
n
2
=
5462
= 109,24
50
2
f i (x i − x)
2
5462
S=
109,24 ≈ 10,45
La varianza de una muestra de tamaño N es la media aritmética del cuadrado de las
desviaciones de cada dato respecto a la media de esa muestra.
N
Se denota por S² y su fórmula de cálculo es: S 2 =
∑(X
i =1
i
− X )2
N
Observaciones: Se ha demostrado, estadísticamente, que para el cálculo de la varianza
muestral, resulta conveniente hacer una modificación en la fórmula anterior, que consiste en
realizar la división por N-1, en vez de hacerlo por N. 2.- Se debe observar que el valor de la
varianza se expresa en unidades al cuadrado, por eso, resulta difícil tener una idea clara del
42
grado de variabilidad de los datos, por lo que para eliminar esta dificultad se puede extraer la
raíz cuadrada a la varianza, con lo que se obtiene otro medida descriptiva
En síntesis, para calcular esta medida se deben realizar los siguientes pasos:
•
Calcular la media de la muestra.
•
Calcular las desviaciones (diferencias) de cada dato de la muestra respecto a la media
de esta.
•
Elevar al cuadrado cada una de las desviaciones obtenidas en el paso 2.
•
Sumar todos los resultados del paso 3.
•
Dividir la suma obtenida en el paso 4, por N-1.
Puede señalarse que:
•
Siempre un número no negativo, es decir, será cero o un valor con signo positivo.
•
La varianza de una muestra de tamaño N, en la que todos sus datos sean iguales es
cero. En tal caso no existe dispersión de los datos de la muestra respecto a su media.
•
La varianza de una constante c es igual a cero.
•
La varianza de la suma de una variable y una constante es igual a la varianza de la
variable.
•
La varianza del producto de una constante por una variable, es igual al producto del
cuadrado de la constante por la varianza de la variable.
Cuando es necesario distinguir la desviación estándar de una población, de la desviación
estándar de una muestra sacada de esa población, con frecuencia se utiliza el símbolo S
para la muestra y σ para la población. Así S 2 y σ 2 representarían la varianza muestral y la
varianza de la población respectivamente.
Los valores de S si se suman y restan a la media dan el intervalo de mayor concentración de
los datos. Es posible analizar la significación estadística de la desviación típica o estándar
(S).
Si la distribución es aproximadamente normal lo que significa que tiene una distribución
simétrica alrededor de la media. El histograma es aproximadamente :
X
Se cumple una relación entre X
y S (Regla empírica).
Para las distribuciones normales resulta que:
•
El 68% aproximadamente de los casos están incluidos entre X − S
y
X + S
43
Es decir, una desviación típica a cada lado de la media.
68 %
x−S
•
x+S
x
El 95% de los casos están incluidos entre
X−2S
y
X +2S
Dos desviaciones estándar a cada lado de la media.
95 %
x − 2S
•
x
x + 2S
El 99% de los casos están incluidos entre X − 3 S
y
X +3S
3 desviaciones estándar a cada lado de la media.
99 %
x − 3S
x
x + 3S
Consideraciones acerca de la curva normal.
Es simétrica y cuando se acerca al eje de las abscisas, en la práctica da la impresión de que
toca al eje aunque esto no es cierto. Mientras que en una determinada muestra particular,
todas las observaciones pueden caer en los límites antes señalados, si se pudiera observar
toda la población, algunos casos teóricamente caerían fuera de esos límites. En otras
palabras, teóricamente el gráfico se puede extender hacia el +∞ o -∞.
44
Por esta razón al dibujar la curva normal debe tocar al eje x, sino extenderse indefinidamente
acercándose cada vez más a él.
Todas las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) coinciden en el punto más
alto de la curva.
Hasta ahora se han visto datos que se obtienen a partir de la evaluación del
aprovechamiento escolar, del peso, la estatura o la edad; cada uno de estos valores están
expresados en escalas distintas y al reflejar esto en un gráfico, las anotaciones no se
podrían comparar entre sí, ya que corresponden a variables distintas.
Una de las ventajas de la curva, es que posee anotaciones propias, a las que se llama
estándar o puntaje estándar y tienen la característica de que cualquier grupo de anotaciones
independientemente de lo que midan pueden ser expresadas con este tipo de anotación; es
decir, permite reducir a una única escala cualquier tipo o clase de anotación.
El puntaje estándar se define como el cociente que se obtiene al dividir la desviación que
muestra un dato de la serie con respecto a su media aritmética, por la desviación típica de la
serie o distribución..
Este estadígrafo que a veces se expresa en % , evidencia su utilidad cuando se quieren
comparar dos valores correspondientes a dos distribuciones normales y más aún si dichas
series difieren con respecto a la media, desviación típica o ambas.
Se calcula utilizando la expresión: z =
donde: z : anotación estándar.
x
i
−x
S
S : desviación estándar.
x i − x : diferencia de cada dato respecto a la media.
z : mide la desviación de la media en unidades de la desviación estándar.
Ejemplo. Un estudiante recibió una nota de 84 puntos en un examen final de Matemática,
donde la nota promedio fue de 76 puntos y la desviación estándar de 10. En un examen final
de Física la nota promedio fue 82 y la desviación estándar 16 y recibió una nota de 90
puntos. ¿En qué materia fue su conocimiento relativo más alto?
zM =
84 − 76
= 0,8
10
zF =
90 − 82
= 0,5
16
Como se aprecia su conocimiento relativo fue más alto en Matemática.
El coeficiente de variación: Otro estadígrafo de dispersión, pero de carácter relativo, que
permite comparar las dispersiones de dos o más conjuntos de datos es el coeficiente de
variación.
Se define como el cociente que se obtiene al dividir la desviación estándar de una
distribución por la media aritmética. Se expresa generalmente en tanto porciento, permite
determinar en qué distribución los datos están más agrupados y, por tanto, la media es más
representativa.
El coeficiente de variación de una muestra de volumen N es el cociente entre la desviación
típica y la media aritmética de dicho muestra. Se denota por CV y en símbolos
45
es: CV = S
X
.Con mucha frecuencia el valor de CV se multiplica por cien y se expresa en por
ciento.
El hecho de que tanto la desviación estándar como la media, estén expresados en la misma
unidad de medida, hace que el coeficiente de variación no tenga unidad de medida; por ello,
es una medida muy propicia para comparar la variación entre dos conjuntos de datos que
estén medidos en diferentes unidades, por ejemplo, una comparación entre la dispersión de
la estatura y del peso corporal de los alumnos de una muestra.
Permite comparar distribuciones en las cuales las variables están expresadas en diferentes
unidades de medida.
Para calcular el coeficiente de variación se utiliza la expresión: V =
S
x
⋅ 100
Ejemplo. Los profesores de dos aulas de sexto grado aplicaron cada uno a su grupo de
alumnos una prueba cuyos resultados fueron los siguientes
A
B
x = 40
x = 45
S = 4
S = 9
Los profesores desean conocer qué grupo muestra los resultados más consistentes con
respecto a la nota promedio.
VA =
4
⋅ 100 = 10 %
40
VB =
9
⋅ 100 = 20 %
45
Se puede afirmar que los resultados del grupo A están más agrupados con respecto a la
media que los del grupo B, ya que en el B la dispersión relativa es mayor (20 %), es decir, a
menor coeficiente de variación corresponde una menor dispersión relativa y por tanto, una
mayor concentración de los datos alrededor de la media aritmética.
El error estándar de la media
El error estándar de la media de una muestra de extensión N, es el cociente entre la
desviación típica de la muestra y la raíz cuadrada del tamaño de esa muestra. Se denota por:
.
S X y su fórmula es S X = S
N
Ejemplo: Dada una muestra aleatoria de cinco alumnos y sus calificaciones, en puntos, de
Matemática. Calcule las medidas descriptivas.
M
F
Q
B
G
A1 ....
85
86
66
85
78.4
A2 ....
85
82
82
86
96.6
A3 ....
85
91
91
85
78.4
Alumnos
46
A4 ....
85
79
99
92
75.0
A5 ....
85
87
87
77
96.6
Moda. En realidad aquí se tiene un caso `extremo', en el que todos los datos son iguales: la
muestra es de cinco alumnos (N=5). La variable que se mide, como son las notas, está en
una escala de intervalos.
Como los cinco estudiantes tienen ―en Matemática― la misma nota (85 puntos), entonces,
la frecuencia absoluta de cada dato es igual a N, por tanto, no existe ningún dato que se
repita más que los otros, esto hace que no existe la moda.
Para Física, se ve que cada uno de los datos tiene frecuencia absoluta igual a uno, es decir,
ninguno de ellos se repite más que los otros, por tanto, tampoco existe la moda. Algo similar
ocurre en el caso de Química.
En Biología, se ve que dos alumnos tienen notas de 85 puntos, mientras que los otros tres,
tienen calificaciones diferentes entre sí, es decir, la frecuencia absoluta de 85 es 2, y la de
86, 92 y 77 es uno, respectivamente, por tanto, aquí la moda es de 85 puntos: la calificación
más frecuenta que obtienen los alumnos de la muestra, en Biología, es de 85 puntos. Se
trata de una muestra con una moda. En símbolos: X̂ =85 puntos.
Analice que para Geografía, la muestra tiene dos modas.
Mediana para las notas en cada asignatura.
En Matemática los datos están ordenados y como N=5, la mediana es la nota que ocupa la
~
posición (5+1)/2=3, que corresponde al alumno A3: 85 puntos: X =85 puntos. (En este
ejemplo todos los datos son iguales, y por tanto, la mediana coincide con todos ellos).
Para Física, lo primero es ordenar los datos: 79, 82,86,87,91.
Como N= 5, la posición que ocupa esta medida es la (5+1)/2=3, que corresponde al dato 86,
~
que es la nota del alumno A2: X =86 puntos. (Como todos los datos de la muestra son
diferentes, la mediana solo coincide con uno de ellos).
Por tanto, el 60% (3 de 5) de los alumnos de la muestra tiene calificaciones de 86 puntos o
menos y el otro 60% tiene notas de 86 puntos o más.
Para las otras asignaturas usted puede verificar que las medianas son, respectivamente,
87,85 y 78.4 puntos.
Considerando ahora que se observa la nota, en Física, de un alumno A6 y esta es de 94
puntos, entonces los datos ordenados son: 79, 82,86,87,91,94. Como N=6, la mediana es el
dato que está entre los que ocupan las posiciones 6/2=3 y (6/2)+1= 4, de aquí se tiene que
los datos que ocupan los lugares tres y cuatro son el 86 y el 87, esto hace que la mediana en
~
este caso sea: X = (86 + 87) = 86.5 puntos (que es un valor que no coincide con ninguno de
2
los datos primarios).
Por tanto, el 50% (3 de 6) de los alumnos de la muestra tienen calificaciones menores de
86.5 puntos y el otro 50% tienen notas superiores a los 86.5 puntos. Si en este ejemplo, los
datos tres y cuatro hubiesen sido iguales, por ejemplo ambos 86, la interpretación del
resultado sería más complicada.
47
Media aritmética
Primero se hará el análisis para Matemática,
Como N=5 y cada Xi lo constituyen cada nota en particular: X1=85, X2=85,..., X5=85, para
calcular la media, basta con sumar estas cinco notas y ese resultado dividirlo por cinco:
85 + 85 + 85 + 85 + 85 425
=
=85 puntos.
X =
5
5
Si se realizan los cálculos para las otras asignaturas, se comprobará que en todas ellas, la
media aritmética es de 85 puntos. Todo lo que se ha planteado con anterioridad para esta
medida, puede ser verificado, a partir de los datos de cada una de las asignaturas que se
han analizado.
Los casos de Química y Geografía, ilustran que la media no es una buena representante de
estos datos porque entre ellos existen valores extremos.
Varianza para cada una de las asignaturas
Como en todos los casos se ha obtenido que la media es de 85 puntos. Siguiendo los pasos
citados anteriormente, se realizará un esquema de cálculo:
Matemática:
Xi
(X i − X )
( X i − X )2
85
85-85=0
0²=0
85
85-85=0
0²=0
85
85-85=0
0²=0
85
85-85=0
0²=0
85
85-85=0
0²=0
∑(X
∑(X
∑X
i
= 425
i
− X) = 0
i
− X )2 = 0
Física:
Yi
(Yi − Y )
(Yi − Y ) 2
86
86-85=1
1
82
82-85=-3
9
91
91-85=6
36
79
79-85=-6
36
87
87-85=2
4
∑ (Y
∑ (Y
∑Y
i
= 425
i
−Y ) = 0
i
− Y ) 2 = 86
48
Aplicando la fórmula de la varianza, para Matemática S²= 0/(5-1)=0 puntos²: esto significa
que no existe dispersión de los datos de la muestra respecto a su media.
En el caso de Física: S²=86/(5-1)=86/4= 21.5 puntos²: la dispersión de los datos de la
muestra respecto a su media es alta.
Para las demás asignaturas, usted puede comprobar que las varianzas son: S² = 151.5
puntos² para Química, S²=28.5 puntos² para Biología y S²=114.06 puntos² para Geografía.
Desviación típica
S=0 puntos, en Matemática. S=4.64 puntos, en Física.
S=12.31 puntos, en Química. S=5.33 puntos, en Biología.
S=10.68 puntos, en Geografía.
La interpretación de estos resultados es la misma que la realizada para la varianza. Mientras
menor sea el valor de la desviación típica, menor será el grado de dispersión de los datos
respecto a la media aritmética.
Coeficiente de variación: CV=0 (0%) para las calificaciones en Matemática.
CV=0.054 (5.4%) para Física.
CV=0.144 (14.4%) para Química.
Cv=0.063 (6.3%) para Biología y CV=0.126 (12.6%) para Geografía.
Como se puede observar, aquí se mantiene la interpretación dada para la varianza y la
desviación típica. Química es la asignatura que presenta una mayor dispersión en sus
calificaciones y Matemática es la de mayor estabilidad.
EJERCICIOS PARA COMPROBAR TUS CONOCIMIENTOS
1.
La siguiente situación muestra el contenido de una encuesta.
Señale con una cruz (X) donde corresponda:
SEXO
ESTADO CIVIL
PREFERENCIA
A. Femenino ____
A. Soltero ______
En los ratos libres prefiere:
B. Masculino ____
B. Casado ______
A. Escuchar música_____
C. Viudo _______
B. Leer _____
D. Separado ____
Suponga que esta encuesta se aplica a una muestra representativa constituida por 10
profesores de escuelas. Las respuestas obtenidas aparecen reflejadas en la siguiente tabla:
S: variable “sexo”
EC: variable “estado civil”
P: variable “preferencia”
SUJETOS
S
EC
P
1
A
B
B
2
A
A
A
49
3
B
C
A
4
A
D
B
5
B
C
A
6
B
A
B
7
A
A
A
8
A
B
A
9
B
B
B
10
A
C
A
a) Haga la distribución de frecuencias.
b) Las variables medidas en esta encuesta ¿cómo son?
c) ¿Hay diferencias notables entre los solteros, casados y viudos?
d) ¿Qué es más frecuente en la muestra, encontrar mujeres u hombres?
2.
Las notas finales en Matemática de 80 estudiantes de una escuela están registradas
en la tabla siguiente:
68
84
75
82
68
90
62
88
73
79
88
73
60
93
71
59
61
65
75
87
74
62
95
78
66
78
82
75
94
77
69
74
96
78
89
61
75
95
60
79
79
62
67
97
78
85
76
65
65
80
73
57
88
78
62
76
86
67
73
81
72
63
76
75
76
85
63
68
83
71
53
85
93
75
72
60
71
73
74
77
Determina:
a) La calificación más alta.
b) La calificación más baja.
c) Las notas de los 5 estudiantes de más alta calificación.
d) Las notas de los 5 estudiantes de más baja calificación.
e) La calificación del estudiante que ocupa el décimo lugar.
f) ¿Cuántos estudiantes tuvieron notas iguales o más altas que 75?
g) ¿Cuántos obtuvieron notas por debajo de 85 puntos?
3.
En una encuesta a 16 alumnos sobre la asignatura que prefieren se obtuvieron los
resultados siguientes: Computación, Estadística, Biología, Química, Biología, Estadística,
50
Computación, Biología, Computación, Estadística, Biología, Química, Biología, Estadística,
Computación, Biología.
a)
Confeccione la tabla de distribución de frecuencias.
b)
Calcule las medidas descriptivas que correspondan.
4.
Se observan 25 personas y se clasifican según su aspecto en: Obesa (O), Gruesa
(G), Buen Peso (BP), Delgada (D) y Muy Delgado (MD), obteniéndose los resultados
siguientes:
BP, D, D, MD, O, D, G, G, G, O, BP, BP, D, D, D, O, O, G, G, BP, MD, BP, G, D, MD
a) Construya la tabla de distribución de frecuencias.
b) Calcule las medidas descriptivas que correspondan.
5.
Se lanza un dado 19 veces con las siguientes lecturas:
5, 1, 3, 3, 6, 2, 6, 4, 5, 2, 1, 2, 5, 3, 2, 6, 1, 4, 4
a) ¿Cuál es el promedio de las lecturas obtenidas?
b) ¿Cuál es la tirada que más se repite?
c) ¿Cuál es el valor intermedio de todas las lecturas, ordenadas estas de menor a
mayor?
6.
En una escuela se seleccionaron al azar 20 alumnos para hacer una investigación
sobre la edad de los alumnos que con más frecuencia participan en competencias
deportivas. Para ello se seleccionaron como muestra alumnos de diferentes grados,
recogiéndose sus edades de la siguiente forma:
11
15
14
12
11 14
14
13
15
16
12
12
14
14
15 15
13
14
15
13
a) Ordene los datos de menor a mayor.
b) Construya la tabla de frecuencias absolutas.
c) Determine la cantidad de alumnos que tienen 15 años.
d) ¿Qué por ciento de alumnos tienen 11 años?
e) ¿Cuál es la edad más frecuente de los alumnos seleccionados?
f) Diga la cantidad de alumnos que tienen edad superior a 13 años.
g) Realice una investigación similar en la escuela donde realiza la práctica laboral.
9. A continuación aparecen representados una tabla y dos gráficos que expresan los datos
(en milímetros), de la cantidad de agua caída (como promedio), en un municipio durante los
doce meses del año 2003.
51
Ene. Feb. Mar. Abr. May Jun. Jul.
Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.
101
264
43
41
20
22
193
300
130
270
225
14
300
250
250
200
150
100
200
150
Ene.
Mar.
May.
Jul.
Sep.
ov
.
N
En
e.
M
ar
.
M
ay
.
50
Ju
l.
Se
p.
50
0
100
0
220
Nov.
a) Identifique cada uno de los gráficos representados
b) ¿En qué meses cayó mayor y menor cantidad de lluvia?
c) ¿En qué meses cayó menos de 120 milímetros de lluvia?
d) ¿En qué meses se alcanzó mayores niveles de precipitaciones? ¿Por qué?
e) ¿Cuál fue el promedio de lluvia caída en el año?
f) ¿Qué importancia tiene para usted estos gráficos?
10. La información expresada en miles de Kilómetros cuadrados sobre la superficie
aproximada de diferentes regiones está dada en la tabla:
Regiones
Superficie
África
30000
América
42000
Antártida
13000
Asia
44000
Australia y Oceanía
9000
Europa
10000
a) Represente estos datos mediante un gráfico de barras y uno circular.
b) Según su opinión diga cuál de las dos gráficas es la más representativa para ilustrar
la situación dada.
11. En una escuela se hizo un estudio sobre las características anatómicas y fisiológicas de
un grupo de alumnos. Para ello se seleccionó una muestra de 40 alumnos y entre otros datos
recopilados se midió su estatura en centímetros con los siguientes resultados:
168, 160, 168, 175, 175, 160, 165, 154, 163, 165,
168, 168, 158, 168, 160, 161, 162, 166, 163, 158,
178, 169, 158, 163, 171, 170, 165, 156, 167, 164,
162, 165, 163, 156, 174, 165, 173, 172, 168, 168.
52
a) Construya con estos datos una tabla de frecuencias absolutas y relativas.
b) ¿Qué tanto por ciento de alumnos tiene una estatura superior a 168 cm?
c) ¿Cuál es el valor promedio de las estaturas de los alumnos de la muestra?
d) ¿Cuál es la estatura más frecuente en ese grupo de alumnos?
e) Realice una investigación similar en la escuela donde realiza la práctica laboral.
12. La siguiente tabla muestra las tasas de mortalidad infantil del año 2001 en algunos
países seleccionados de América (Fuente: Estado Mundial de la Infancia, UNICEF, 2001)
Países
Tasa de Mortalidad(Por cada mil
nacidos vivos)
Argentina
19
Brasil
34
Cuba
6,2
Colombia
26
Estados Unidos
7
Guatemala
45
a) Represente los datos anteriores en una gráfica de barras y en una gráfica de línea
(poligonal).
b) Los países que aparecen en la tabla están ordenados alfabéticamente. Ordene estos
en forma creciente según lasas de mortalidad correspondientes.
c) ¿Qué país tiene menor tasa de mortalidad infantil?
d) ¿Qué país tiene mayor tasa de mortalidad infantil?
e) ¿En cuánto supera la tasa de mortalidad de Brasil a la de Cuba?
13. En un estudio sobre el número de conejos recién nacidos en 60 camadas se obtuvieron
los siguientes datos por camada:
5
6
7
4
2
5
1
3
4
6
5
2
3
4
2
5
4
5
7
6
5
3
1
2
6
5
6
4
5
2
1
7
9
7
6
6
4
3
8
1
3
2
8
4
1
7
2
2
4
3
4
5
6
2
3
3
1
2
8
7
a) Ordene los datos de menor a mayor.
b) Elabore una tabla de frecuencias absolutas y relativas.
c) Determine cuántas conejas tuvieron camadas de 5 crías.
53
d) Determine la camada que se presentó con mayor frecuencia.
e) Calcular el número total de crías en las 60 camadas de conejos.
14. Durante el año, la temperatura mensual promedio en grados de una ciudad a las 12 m
es:
Feb Mar Abr
May Jun Jul
Ago Sep Oct
Nov Dic
20
17
18
21
Ene
24
18
19
20
23
20
18
23
a) ¿Cuál es la temperatura promedio anual?
b) ¿Cuál es el valor central de temperatura en dicha ciudad?
c) ¿Cuál es la temperatura más común?
15. Dados los resultados de una prueba de un grupo de 50 alumnos:
8,0 7,5
7,3
9,1
1,8
2,7
8,3
6,3
8,8
7,4
6,8 4,4
7,8
4,3
7,1
9,9
8,4
7,5
7,3
8,7
0,3 5,5
9,5
9,3
6,2
7,6
6,5
3,9
7,4
3,2
7,7 7,2
8,5
8,6
7,8
4,7
2,7
7,9
7,3
10,0
6,9 7,5
8,7
8,4
7,7
7,8
7,1
8,8
9,3
7,0
Determinar:
a) La calificación más frecuente.
b) El intervalo donde hay más calificaciones.
c) Cantidad de aprobados.
d) La nota, a partir de la cual se encuentra la mitad de los estudiantes.
e) La mejor y la peor nota.
f) Las 10 mejores y las 10 peores notas.
16.
El número de estudiantes reprobados por un grupo de profesores se recoge en la
tabla siguiente:
5 6 6 8 7 7 9 5 4 8 1 1 6 7 8 7 9 6 5 4 10
a) ¿Cuál es la medida de tendencia central que utilizaría para representar estos datos?
b) Calcúlela.
c) Determine la medida de dispersión asociada y represente estas medidas en una gráfica.
¿Qué nombre recibe?
d) Represente la información en un diagrama de frecuencias.
17. Se ha realizado un estudio entre 100 mujeres mayores de 15 años y el número de hijos
de las mismas. El resultado ha sido:
54
Se pide:
a) Calcular el número medio de hijos, la mediana y la moda.
b) Calcular los cuartiles y el decil 7.
c) Analizar la dispersión de la distribución, interpretando los resultados.
18. Sea la distribución referida a beneficios anuales de 38 empresas madrileñas:
Se pide:
a) Calcular el beneficio medio de estas 38 empresas madrileñas.
b) ¿Cuál es el beneficio mayor de la mitad de las empresas más modestas?
c) Determinar el beneficio más frecuente.
d) Estudiar la dispersión de esta distribución a partir del recorrido intercuartílico, desviación
típica y coeficiente de variación. Interpretar los resultados obtenidos.
19. Una empresa tenía a finales del pasado año mil seiscientos cincuenta accionistas
distribuidos de la siguiente forma:
Se pide:
a) Hallar el número medio de acciones por accionista y su desviación típica.
b) Hallar la mediana.
c) Comente, con base estadística, el grado de concentración de las acciones.
d) ¿Qué porcentaje del total de acciones poseen los accionistas mayoritarios?
e) ¿Qué porcentaje de los accionistas minoritarios posee el 20% del total de acciones?
20. Una alumna de primer curso de Economía, tras los exámenes de febrero, quiere saber en
qué asignatura de las cursadas en el primer cuatrimestre ocupa una mejor posición relativa
según la nota obtenida. Para satisfacer su curiosidad dispone de la siguiente información:
55
Determine en qué asignatura está situada en una mejor posición relativa.
21. Se expresan a continuación las longitudes de 7 objetos, medidas en cm
7,0 7,4 8,9 9,6 10,5 11,7 12,5
Calcula la media y desviación típica de los 7 datos.
Determinar, utilizando únicamente las medidas calculadas en el apartado anterior, la media,
la desviación típica, la varianza, y el coeficiente de variación de los mismos datos expresados
en mm.
22. Se mide cierta variable sobre una muestra de 10 individuos, obteniéndose los siguientes
datos:
4 5 4,5 3,9 5,2 4 5,2 5,3 23 4,1
Dar una medida de centralización y otra de dispersión adecuadas.
23. El polígono de frecuencias siguiente, nos da las puntuaciones obtenidas en Estadística
por un grupo de 20 alumnos:
a) Construir la tabla de frecuencias.
b) ¿Cuántos alumnos obtuvieron puntuaciones entre 40 y 70?
c) Encontrar gráficamente la mediana y la moda.
Si se le hace otra prueba al mismo grupo de alumnos, y se obtienen las puntuaciones:
50 55 100 25 50 40 55 60 25 45
70 55
15 45 55 60 55 40 45 55
d) Construir la tabla de frecuencias y calcular la mediana.
e) ¿Qué datos están más dispersos, los obtenidos en la primera prueba o en la segunda?
24. En un centro hospitalario de la provincia de Sevilla se ha tratado, con un nuevo
medicamento llamado SINDOLORCABEZON, durante 5 días a un grupo de pacientes, todos
ellos padecen de jaqueca crónica (se despiertan todos los días con dolor de cabeza). Se
56
realiza un estudio sobre el nº de días que un paciente sufre mejoría con el anterior
medicamento obteniendo la tabla:
Valores
xi
Frecuencias
ni
0
100
1
250
2
300
3
500
4
450
5
2000
a) Realizando el gráfico adecuado y hallando los promedios (Media aritmética, Media
armónica, Media geométrica, Moda, y Mediana), indicar cuál sería el que mejor representaría
los datos, (Contesta razonadamente y con el mayor detalle posible)
b) Calcula también el porcentaje de pacientes que sienten mejoría con el medicamento en
todos los días del tratamiento.
c) ¿Por qué no calculamos el coeficiente de variación para ver la representatividad de la
media? ¿Habría que hallarlo?
25. Se ha realizado una estadística en el centro comercial CONTINENTOL sobre los gastos
(en miles de pesetas) que una familia tiene cuando realiza sus compras un día cualquiera de
la semana. Este estudio nos aporta la siguiente tabla:
Intervalos Frecuencias
0-5
1000
5-10
1100
10-20
1600
20-50
1000
50-100
300
Se pide:
a) ¿Cuál es el motivo por el que los datos se presentan en intervalos?
b) ¿Te parece coherentes los datos de la tabla, o bien tendrías que estudiar su procedencia
antes de continuar el estudio?
57
c) Halla los ingresos que en ese día tuvo el centro comercial y el gasto medio, modal y
mediano de cada familia.
d) Hallar el primer cuartil. ¿Qué significado tiene?
e) Estudiar la representatividad del gasto medio. ¿Es representativa? ¿Por qué?
26. Se realiza una estadística en dos centros de enseñanza, uno público y otro privado,
referente a la nota global del bachillerato de cada uno de los alumnos que van a acudir a los
exámenes de selectividad. Las distribuciones de frecuencias son las siguientes:
Centro privado
Nota global de
Frecuencias
cada alumno.
5,5
10
6.5
15
7.5
20
8.5
30
9.5
15
Centro público
Nota global de
Frecuencias
cada alumno.
[5 , 6]
250
(6 , 7]
150
(7 , 9]
100
(9, 10]
20
Se pide:
a) A la vista de la tabla, te sugiere algún comentario de especial importancia. ¿Cuál es el
motivo de que los datos se presenten en dos tablas de diferente tipo?
b) Estudiar las diferentes medidas de tendencia central (promedios) en las dos distribuciones.
En cada distribución ¿cuál te parece más representativo? ¿por qué?
c) Hallar el porcentaje de alumnos que en cada centro tiene una nota global superior al 7.
58
d) Hallar los cuartiles primero y tercero de las dos distribuciones.
e) Estudiar la representatividad de las medias obtenidas en las distribuciones por separado.
¿En cuál de las dos es más representativa?
59
CAPÍTULO 4: CORRELACIÓN Y REGRESIÓN.
Hasta el momento nos hemos ocupado del cálculo de diversos estadígrafos, que nos han
permitido describir la distribución de los valores de una variable única y relacionar tales
estadígrafos con la interpretación de los datos.
Con frecuencia, nos vemos enfrentados al problema de determinar las relaciones entre dos o
más variables. Por ejemplo:
1. ¿Existe evidencia que permita decir que el método activo logra rendimientos más altos en
los alumnos?
2. ¿Cuál es el efecto de los cursos de perfeccionamiento realizados por los profesores en el
aprendizaje de sus alumnos?
3. ¿Existe relación entre la dependencia de la escuela (en los países donde exista,
municipal – particular) y la repetición de los alumnos?
4. ¿Qué relación existe entre el ingreso familiar e interés de los alumnos por seguir estudios
universitarios?
Tan pronto como empezamos a indagar acerca de las relaciones entre las variables, nos
adentramos en el campo de la correlación, el cual se presenta cuando nos preguntamos si
existe relación entre un par de variables.
Es común que un maestro se plantee las siguientes preguntas:
ƒ
ƒ
¿Existe relación entre el tiempo dedicado al estudio, ya sea individual o colectivo, y el
aprovechamiento logrado por los alumnos en cada una de las materias?
¿Cómo saber si existe esa relación?
Si se hace un análisis del comportamiento de los alumnos en relación con este hecho, es
muy probable encontrar lo siguiente:
a) Que generalmente cuando los alumnos estudian el número suficiente de horas, obtienen
un buen aprovechamiento, expresado en sus calificaciones.
b) Que los alumnos que generalmente estudian muy pocas horas al día, obtienen menor
aprovechamiento, si los comparamos con los que estudian más.
c) Que aquellos alumnos que habitualmente estudian un tiempo promedio – ni mucho ni
poco – obtienen también calificaciones promedio.
Estas tres alternativas dan una idea de la relación que existe entre el número de horas
dedicadas al estudio y el aprovechamiento.
Por experiencia se sabe que hay alumnos, que a pesar de estudiar mucho, tienen bajo
aprovechamiento, y algunos, que a pesar de estudiar poco, obtienen buenas calificaciones.
Esto puede ocurrir, pero no es lo que se observa en la mayoría de los alumnos.
¿Cómo investigar esta relación?
60
Hasta ahora hemos estado trabajando con series estadísticas, pero no hemos estudiado la
relación que existe entre ellas, aspecto que es muy importante en las investigaciones
pedagógicas.
4.1. Relación entre dos variables cuantitativas.
Análisis de regresión.
Ejemplo.
Se quiere investigar si existe alguna relación entre las notas de un grupo de alumnos y
alumnas en primer y segundo años en una disciplina determinada:
Alumno
X
1. año
8,8
7,3
9,5
6,1
8,3
1
2
3
4
5
Y
2. año
9,2
7,7
9,9
6,5
8,7
Nota: Se trata de datos simples.
La investigación de la relación entre las dos variables, se comienza generalmente con un
intento de descubrir la forma aproximada de la relación, para esto, se representan los datos
en un sistema de coordenadas. Este gráfico recibe el nombre de diagrama de dispersión.
Representemos en un sistema de coordenadas rectangulares los datos dados, donde a cada
eje corresponde un año.
X: nota de pirmer año Y: Nota de segundo año. Podría ser Y nota de primero y X la nota de
segundo. Para su representación formamos los pares:
(8,8 ; 9,2) , (7,3 ; 7,7) , (9,5 ; 9,9) , (6,1 ; 6,5) , (8,3 ; 8,7)
y los representamos gráficamente.
Y
Diagrama de dispersión
12
10
8
6
4
2
0
0
5
10
X
61
En la gráfica se puede observar si existe o no una relación acentuada y si tiene forma lineal o
no.
Si observamos el diagrama de dispersión anterior, vemos que corresponde al de una recta,
pues los puntos están alineados. Cuando esto sucede se dice que la relación entre ambas
series de datos es lineal, pues como se ve la representación gráfica está contenida en una
recta.
Se puede comprobar que cada par satisface la relación: Y = X + 0,4
X (1ero)
8,8
7,3
9,5
6,1
8,3
8,8
7,3
9,5
6,1
8,3
Y (2do)
+ 0,4 = 9,2
+ 0,4 = 7,7
+ 0,4 = 9,9
+ 0,4 = 6,5
+ 0,4 = 8,7
Este tipo de relación es muy importante, pues cuando se conoce, se puede predecir lo que
sucede con otros alumnos a partir del conocimiento de la nota de uno de los grados.
Ejemplo:
¿Cuál fue la nota de un alumno en 1er año, si en 2do año obtuvo 5,8?
X = 5,8 − 0,4 = 5,4
¿Cuál fue la nota de un alumno en 2do año, si en 1er año obtuvo 7,1?
Y = 7,1 + 0,4 = 7,5
Nota: Si solo se tiene la representación gráfica se puede también por aproximación predecir
cualquier nota. Pero, ¿cómo proceder si los datos no están en una relación lineal?
G r á fic o d e d is p e r s ió n
14
12
10
y
8
6
4
2
0
0
5
10
x
Aquí, en este diagrama de dispersión los datos no están en una línea recta, sin embargo se
puede trazar una recta que aproxime los datos, es decir, que “se ajusta”.
62
Es evidente que podría existir más de una recta, pero ¿cuál escoger?
Se debe buscar le línea de ajuste óptimo y a esta recta se le llama recta de regresión de Y
sobre X, y al proceso de búsqueda de la curva que ajuste mejor se le llama regresión
lineal.
Consideraciones matemáticas.
En un sistema de coordenadas rectangulares, las variables se representan
convencionalmente por x e y , y los puntos del plano por pares ordenados de la forma
(x ; y).
Cuando los puntos están sobre una recta, corresponden a una ecuación lineal de primer
grado que relaciona las variables. En nuestro ejemplo vimos que la ecuación era
y = x + 0,4.
Nota: Cada ecuación del tipo y = m x + n tiene como representación gráfica una recta, y
cada recta a su vez, tiene una ecuación del tipo descrito. Los coeficientes m y n son
constantes para cada recta, x e y son las variables.
m: depende del ángulo de inclinación con respecto semieje positivo x (pendiente de la recta)
n : representa el desplazamiento sobre el eje y.
y
y=mx + n
Ejemplo
y = 0,5 x + 2
n
α
tan α = m
m = 0,5
n = 2
x
Método de ajuste manual de curvas.
Para evitar criterios individuales en el ajuste, o sea, al construir rectas u otras curvas de
aproximación a los datos, es necesario estar de acuerdo con la definición de una curva de
ajuste óptimo.
63
Utilización del método de los mínimos cuadrados.
•
Dn
• D1
•
•
•
•
• D3
Distancia: diferencia
de la coordenada real y
la del punto que
x1
x2
x3
xn
corresponde en la curva
(desviaciones), D1, D2, ... Dn .
Para un valor de x, por ejemplo x1, existe una diferencia entre el valor de la ordenada y1 y el
correspondiente de la curva, este diferencia la denotamos por D1 y así sucesivamente.
Una medida de la bondad de ajuste de la curva con los datos viene dada por la cantidad:
D12 + D22 + D32 + ... + Dn2
Si esta es pequeña el ajuste es bueno, si es grande el ajuste es malo.
Definición: De todas las curvas que aproximan un conjunto dado de puntos, la curva que
tiene la propiedad de que D12 + D22 + D32 + ... + Dn2 sea un mínimo, se llama curva de ajuste
óptimo.
En este caso es la curva mínimo cuadrática.
Si se trata de una recta, entonces es la recta mínimo cuadrática.
Es costumbre emplear esta definición cuando x es la variable independiente e y la
dependiente. Si x es la variable dependiente, la definición se modifica considerando las
desviaciones horizontales en lugar de la verticales, lo que equivale al intercambio de los ejes
x e y. Si no se especifica lo contrario, es usual considerar x como variable independiente e
y como variable dependiente.
La recta mínimo cuadrática que aproxima al conjunto de puntos ( x i ; y i ) tiene la siguiente
ecuación:
y = mx + n
donde
m y n son constantes que se determinan de la forma
siguiente:
64
Tomamos: x = x i − x
e y = y i − y , es decir, sustituimos a x e y por sus valores
medios (desviaciones respecto a la media) que son los errores que se cometen al sustituir
por los valores medios).
∑xy
Entonces,
y n = y − mx
m=
∑ x2
El punto ( x ; y ) se denomina centroide o centro de gravedad de los datos y la recta de
ajuste pasa por él.
Ejemplo. Para las notas de 6to. y 7mo. grado .
X
8,8
7,3
9,5
6,1
8,3
x=8
xi
yi
8,8
7,3
9,5
6,1
8,3
9,2
7,7
9,9
6,5
8,7
m=
∑ xy
∑x
2
=
Y
9,2
7,7
9,9
6,5
8,7
y = 8,4
x = xi − x
0,8
− 0,7
1,5
− 1,9
0,3
0
6,999
=1
6,999
x · y
y = yi − y
0,8
− 0,7
1,5
− 1,9
0,3
0
0,64
0,49
2,25
3,61
0,09
6,999
x2
0,64
0,49
2,25
3,61
0,09
6,999
n = y − m x = 8,4 − 8 = 0,4
La ecuación de la recta de regresión es:
y = x + 0,4
Ya planteamos con anterioridad la importancia de encontrar una recta que se aproxime lo
mejor posible a los datos. Esto permite obtener valores no conocidos sobre la recta.
Ejemplo
Nota
1
2
3
4
5
1ro.
6,5
6,7
8,8
9,2
7,9
2do.
6,0
7,3
8,4
9,7
8,0
donde la ecuación de regresión es y = 1,05 x − 0,33 .
65
Si queremos averiguar cuál sería la nota en séptimo grado de un un alumno que en sexto
obtuvo:
1ero : x
7,0
9,5
4,0
2do : ŷ (valor estimado o dado por la recta)
7,02 ≈ 7,0
9,65 ≈ 9,7
3,87 ≈ 3,9
Para x = 7
ŷ = 1,05 · 7 − 0,33 = 7,35 − 0,33 = 7,02
Para x = 9,5
ŷ = 1,05 · 9,5 − 0,33 = 9,95 − 0,33 = 9,65
Para x = 4
ŷ = 1,05 · 4 − 0,33 = 4,02 − 0,33 = 3,87
¿Qué sucede si en este mismo ejemplo calculamos los valores dados inicialmente?
x : 6,5 6,7 8,8 9,2 7,9
y : 6,0 7,3 8,4 9,7 8,0
Recordemos que la ecuación es y = 1,05 x − 0,33 , luego para calcular los valores
pronosticados (estimados) debemos sustituir en la ecuación:
Para x = 6,5 :
ŷ = 1,05 · 6,5 − 0,33 = 6,83 − 0,33 = 6,5
De la misma forma se procede con el resto de los valores de x .
RESUMEN
•
•
•
La recta de ajuste o regresión establece una dependencia lineal entre dos series de datos
continuos o discretos, pero pertenecientes a un intervalo real.
No se puede usar con datos que sean solamente ordinales y mucho menos con
nominales.
Se usa apra establecer relaciones entre variables que permitan comprender mejor la
relación entre los fenómenos, hacer una descripción cuantitativa y hacer predicciones
(estimaciones). En la práctica se hace con series de numerosos datos. Aquí lo hemos
hecho con pocos, para no hacer cálculos demasiado engorrosos.
En el análisis de regresión se trata de establecer la forma de la relación entre las
variables, es decir, estudiamos la relación funcional entre las variables, de modo que
podemos predecir el valor de una con base a la otra. Convencionalmente la variable o
variables que son la base de la predicción se llaman variable o variables independientes y
la variable que se va a predecir se denomina variable independiente.
66
CORRELACIÓN LINEAL
Veamos ahora el grado de relación, o la correlación entre las variables, que permite conocer
el grado y la dirección de la relación que existe entre un hecho y otro o entre dos fenómenos,
ya que en muchos casos la simple observación no nos da los elementos suficientes acerca
de la existencia o no de una relación.
En el ejemplo visto hasta el momento, si ordenamos las notas observen que:
X : 6,5 7,7 8,7 9,2 9,9
Y : 6,1 7,3 8,3 8,8 9,5
A altos valores de la variable x corresponden altos valores de la variable y. Aquí hay una
correlación positiva, también en su representación gráfica se observó que en la recta a
medida que x crece y crece también (es creciente, sube), luego la recta tiene pendiente
positiva.
Puede suceder lo siguiente:
6
y
La recta “baja”. Existe un ajuste
“lineal”, pero a mayor valor de
x le corresponde un menor
valor de y. La correlación es
negativa.
8
4
2
0
0
2
4
6
8
Los datos no tienen una
tendencia lineal. En este caso
es parabólica.
Correlación no lineal.
y
x
4
3 ,5
3
2 ,5
2
1 ,5
1
0 ,5
0
0
2
4
x
En el siguiente caso no se observa ningún tipo de tendencia. No existe correlación.
67
y
No es posible
observar
regularidad alguna.
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
2
4
x
Existen varios tipos de correlación. Resulta de interés para nosotros la lineal y vamos a
prestarle atención a continuación.
En realidad siempre se puede hallar entre dos series de datos una línea de regresión, pero
es necesario saber la medida de su utilidad, o sea, en qué medida explica la variación de los
datos.
Esa medida se puede obtener a través de la suma de los cuadrados de las distancias a la
media.
•
y1 − y
y
• y0 − y
Variación total:
∑ (y − y)
2
Variación explicada
También se puede medir por la suma de los cuadrados de la diferencia entre los valores
estimados (explicados) y la media.
68
Recta de regresión
ŷ − y
∑ (y − y)
2
Al cociente de la variación explicada y la variación total se le llama coeficiente de
determinación:
2
Variación exp licada ∑ ( ŷ − y )
=
r =
2
Variación total
∑( y − y )
2
ŷ − y :Diferencia entre puntos de la recta y la media
y − y :Diferencia entre puntos de la recta y el valor real.
Una buena manera de evaluar la estimación realizada es comparando ambas variaciones.
Este coeficiente nos expresa qué parte de la variación total es la variación explicada,
multiplicando por 100 ( r 2 ⋅ 100 ) se calcula el por ciento de variación explicada.
La raíz cuadrada del coeficiente de determinación, es el coeficiente que se usa para “medir”
la bondad de la estimación hecha, es decir, si se ajusta o no.
r =
Variación exp licada
Variación total
El coeficiente de correlación es el valor o índice numérico identificado con una r que nos
permite conocer el grado y la dirección de la relación que existe entre dos conjuntos de
valores dados.
r ≤ 1 , es decir, “r” varía entre − 1 y 1.
•
•
•
Si r = 1
Si r = − 1
Si r = 0
es una correlación perfecta.
es una correlación inversa.
no hay correlación.
El valor de r será 1 ó − 1, si todos los puntos se encuentran sobre una línea recta.
69
Una correlación positiva indica que valores grandes de una variable tienden a acompañar
valores grandes de la otra variable, una correlación negativa indica que pequeños valores de
una variable tienden a acompañar a valores grandes de otra.
Debe señalarse que un alto coeficiente de correlación no es necesariamente una
dependencia real entre las variables.
Ejemplo.
Puede haber una alta correlación entre el rendimiento académico de los alumnos y el
resultado de los juegos de football del equipo de la localidad en ese año. Estos ejemplos son
a veces mencionados como correlaciones sin sentido.
Ejemplo.
Calcular la correlación en el ejemplo 1.
xi
yi
ŷ
8,8
7,3
9,5
6,1
8,3
9,2
7,7
9,9
6,5
8,7
9,2
7,7
9,9
6,5
8,7
2
r =
ŷ − y
0,8
− 0,7
1,5
− 1,9
0,3
( ŷ − y )
0,64
0,49
2,25
3,61
0,09
7,08
2
yi − y
0,8
− 0,7
1,5
− 1,9
0,3
(y i − y)
0,64
0,49
2,25
3,61
0,09
7,08
2
7,08
=1
7,08
100 % de la variación explicada, como r = 1 es una correlación perfecta.
Esta manera de calcular tiene la desventaja que no hay forma de saber si la correlación es
positiva o negativa.
La forma más fácil de calcularlo es considerando:
r =
∑ xy
2
∑x ∑y
2
donde x = x i − x , y = y i − y
∑ x 2 : Suma de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media, ∑ ( x i − x )
2
∑ y : Suma de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media, ∑ ( y i − y )
2
2
70
Ejemplo
Alumno
xi
yi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Total
80
70
82
83
86
87
85
84
93
90
840
75
79
77
85
82
92
83
86
90
81
830
Media
x = 84
y = 83
r =
X
xi − x
Y
Y
16
196
4
1
4
9
1
0
81
36
64
16
36
4
1
81
0
9
49
4
2
∑ X = 348
2
∑ Y = 264
yi − y
−4
− 14
−2
−1
2
3
1
0
9
6
0
−8
−4
−6
2
−1
9
0
3
7
−2
0
∑ XY
2
2
X2
XY
∑X ⋅∑Y
2
=
32
56
12
−2
−2
27
0
0
63
− 12
∑ X Y = 174
174
348 ⋅ 264
= 0,574
Interpretación de r .
Si algún concepto estadístico se usa y abusa de él, es el de coeficiente de correlación, por
ello es importante precisar su interpretación.
La interpretación del coeficiente de correlación como medida del grado de relación lineal
entre dos variables es una interpretación matemática pura y está desprovista de
implicaciones de causa y efecto. Es decir, que dos variables tiendan a aumentar o disminuir
al mismo tiempo, no implica que una tenga un efecto directo o indirecto sobre la otra, ya que
puede suceder que ambas estén sujetas a la influencia de otras variables.
Puede suceder que parejas de variables pudiesen dar un alto valor de un coeficiente de
correlación y que no se deba realmente a una estrecha relación entre ellas, sino al efecto
común sobre estas de una tercera variable, y entonces este alto valor del coeficiente de
correlación refleja solo este efecto común.
El coeficiente de correlación se debe manejar con mucho cuidado ya que de no ser así,
puede llevarnos a conclusiones totalmente erróneas. Luego, para usarlo correctamente se
debe tener conocimientos del campo donde se está utilizando.
Generalmente puede considerarse:
71
•
•
•
•
Una interrelación estadística fuerte, si r está entre 0,7
Una interrelación estadística media, si r está entre 0,5
Una interrelación estadística débil, si r está entre 0,20
Una interrelación estadística muy débil, si r está entre
y 0,9 .
y 0,69.
y 0,49.
0,09 y 0,19.
4.2. Relación entre dos variables cualitativas.
En este epígrafe analizaremos tres tipos de relaciones frecuentes entre dos variables
cualitativas.
I. Relación entre dos variables ordinales.
Una medida de relación entre dos variables ordinales es el coeficiente de correlación de
rangos de Spearman, que denotaremos por la letra griega ρ (Rho).
Existen innumerables situaciones a las que es posible aplicar ρ. Por ejemplo, un profesor
podría ordenar a sus estudiantes atendiendo a la puntualidad y luego reordenarlos
atendiendo a la responsabilidad. ¿Puede afirmarse que a mayor responsabilidad le
corresponda mayor puntualidad? La intuición sugiere que sí, pero el análisis cuantitativo
puede aportar más argumentos sobre la base del cálculo de ρ.
Es importante señalar que en este ejemplo todo el análisis gira en torno al ordenamiento de
cada variable, independiente de que el profesor haya utilizado cantidades para lograrlo. De
hecho, el número de llegadas tarde por estudiante constituye un conjunto de cantidades que
facilita ordenarlos atendiendo a la puntualidad, pero este criterio no debe ser suficiente si se
desatiende el grado de justificación y la importancia de la actividad que exige mayor
puntualidad, entre otros aspectos.
La práctica educativa demuestra que los ordenamientos no siempre constituyen un buen
instrumento pedagógico. Si la investigación lo amerita, es importante mantener la
confidencialidad de los datos. Además, muchas veces no queda otra alternativa que ubicar
dos o más individuos en una misma posición, como podría ser el siguiente ordenamiento
atendiendo al escalafón por índice general.
LOG
YTL
JCT
ECP
PTR
LRC
JMS
→
→
→
→
→
→
→
14
4 (*)
13
4 (*)
15
1 (*)
10
MRT
PTS
YLA
APS
YDA
MCR
YRR
→ 26
→ 10
→ 21
→ 8
→ 16
→ 9
→ 2 (*)
LGH → 20
YHH → 4 (*)
YLM → 16
YHV → 7
MCV → 22
AAF → 10
AFG → 24
YPC → 16
YBL → 2 (*)
MLO → 24
THV → 16
YUA → 23
Si se observa el conjunto de números señalados con asteriscos es posible notar que los seis
primeros expedientes ocupan los cuatro primeros puestos. Esta contradicción conduce al
concepto de rango como promedio de las ubicaciones ideales de las posiciones coincidentes
(en caso de desempate). Por ejemplo, era de esperar que existiese un segundo y un tercer
lugar, pero en la práctica esto no fue posible por la coincidencia del índice general de YRR y
72
YBL. Por tanto, como el promedio de 2 y 3 es 2,5 entonces se le otorga a cada uno este
número como rango. Lo mismo ocurrirá con los tres ocupantes del cuarto lugar, los tres
ocupantes del décimo, los cuatro ocupantes del decimosexto lugar y los dos ocupantes del
vigésimo cuarto lugar.
LUGAR
ESTUD.
1ro
2do
2do
4to
4to
4to
7mo
8vo
9no
10mo
10mo
10mo
13ro
LRC
YRR
YBL
YTL
ECP
YHH
YHV
APS
MCR
JMS
AAF
PTS
JCT
RANGO
1
2,5
2,5
5
5
5
7
8
9
11
11
11
13
LUGAR
ESTUD.
14to
15to
16to
16to
16to
16to
20mo
21ro
22do
23ro
24to
24to
26to
LOG
PTR
YLM
YDA
YPC
THV
LGH
YLA
MCV
YUA
AFG
MLO
MRT
RANGO
14
15
17,5
17,5
17,5
17,5
20
21
22
23
24,5
24,5
26
Bajo el supuesto de que no existen empates, el coeficiente de Spearman viene expresado
del modo siguiente:
n
ρ = 1−
6∑ d i2
i =1
3
n −n
donde di es la diferencia entre el valor ordinal en la variable X y el valor ordinal en la variable
Y del individuo i, siendo n el número total de pares de observaciones.
Para el caso en que existan empates (ligaduras), pero el número de estos sea reducido, se
emplea la misma fórmula, atribuyendo como valor ordinal el rango obtenido. Si el número de
coincidencias es grande, la nueva fórmula de ρ requiere del número p de empates en la
variable X, del número q de empates en la variable Y, del número txi de igualados en cada
uno de los grupos de empates en la variable X y del número tyj de igualados en cada uno de
los grupos de empates en la variable Y. A continuación, se calcula el valor de las siguientes
expresiones:
t xi3 − t xi
Txi =
12
Tyj =
t 3yj − t yj
12
, para todo i=1,2,…, p.
, para todo j=1,2,…, q.
n3 − n p
w=
− ∑ Txi
12
i =1
73
n3 − n q
z=
− ∑ T yi
12
j =1
Finalmente, la fórmula corregida por ligaduras del coeficiente de correlación de Spearman
es:
n
ρ=
w + z − ∑ d i2
i =1
2 wz
Cuando no existen ligaduras en ambas variables el coeficiente de Spearman coincide con el
de Pearson aplicado a los rangos de las dos variables en cuestión. Por este motivo, otro
modo de calcular ρ consiste en ranguear los datos y calcular con ellos el valor de R. Como
Excel no calcula ρ directamente, cuando el número de ligaduras es insignificante puede
seguirse este derrotero.
Las propiedades de ρ son muy similares a las de R. En efecto:
1. El valor de ρ siempre es un número real del intervalo [-1; 1], o sea, -1 ≤ ρ ≤ 1.
2. Cuanto más se aproxime ρ a -1 o a 1, mayor será la relación (dependencia o asociación)
que existe entre las variables.
3. Cuanto más se aproxime ρ a 0, más independencia existe entre las variables.
4. Si ρ es positivo (negativo), se concluye que a mayor valor ordinal de la variable X le
corresponde mayor (menor) valor ordinal de la variable Y.
Para ilustrar el caso más sencillo, he aquí un ejemplo sin ligaduras. Diez escuelas (n = 10) de
un municipio han sido ordenadas según el indicador de “Asistencia y Puntualidad” y según el
indicador de “Promoción”, resultando la siguiente tabla de datos:
ESCUELA
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
ASISTENCIA Y
PUNTUALIDAD
2
5
1
8
10
3
9
6
7
4
PROMOCIÓN
1
4
2
7
9
3
8
6
10
5
Denominando X a la variable “Asistencia y Puntualidad” e Y a la variable “Promoción”, es
atinado denotar el valor ordinal del individuo i por xi e yi en cada variable respectivamente.
Calculando di = xi – yi es posible hallar la suma de todos los valores di². Así pues, de la tabla
anterior se obtiene la siguiente:
74
xi
2
5
1
8
10
3
9
6
7
4
yi
1
4
2
7
9
3
8
6
10
5
∑
di
1
1
-1
1
1
0
1
0
-3
-1
di²
1
1
1
1
1
0
1
0
9
1
16
Por tanto, según la fórmula sin correcciones por ligaduras, el coeficiente ρ tiene el siguiente
valor:
6 ⋅ 16
≈ 0,9
103 − 10
En consecuencia, se puede inferir que los indicadores evaluados están bastante
correlacionados de manera directa; es decir, las escuelas que tienen mejor asistencia y
puntualidad también alcanzan los mejores resultados en su promoción.
ρ = 1−
Para ilustrar el cálculo de ρ en presencia de ligaduras sirve de ejemplo la siguiente situación,
donde un jefe de ciclo analiza las notificaciones del rendimiento escolar de nueve alumnos
del quinto grado (n = 9). Al comparar las calificaciones obtenidas en las asignaturas de
“Educación Plástica” y “Educación Musical y Corporal” intuye que existe una elevada
correlación entre ambas. Estas variables se expresan en una escala ordinal, utilizando las
categorías de Insuficiente (I), Regular (R), Bien (B), Muy Bien (MB) y Excelente (E). He aquí
las calificaciones de los nueve estudiantes:
ESTUDIANTE
AGZ
RPA
MCB
LEA
YGZ
YPT
APG
ESC
YSP
EDUCACIÓN
PLÁSTICA
B
B
E
MB
R
B
MB
E
B
EDUCACIÓN
MUSICAL Y
CORPORAL
B
B
MB
R
B
R
E
E
MB
Para facilitar el cálculo es necesario sustituir la tabla anterior por la correspondiente tabla de
rangos.
75
ESTUDIANTE
AGZ
RPA
MCB
LEA
YGZ
YPT
APG
ESC
YSP
X
6,5 (x3)
6,5 (x3)
1,5 (x1)
3,5 (x2)
9 6,5 (x3)
3,5 (x2)
1,5 (x1)
6,5 (x3)
∑
Y
6 (y3)
6 (y3)
3,5 (y2)
8,5 (y4)
6 (y3)
8,5 (y4)
1,5 (y1)
1,5 (y1)
3,5 (y2)
di
0,5
0,5
-2
-5
3
-2
2
0
3
d i2
0,25
0,25
4
25
9
4
4
0
9
55,5
En la variable X (rango en “Educación Plástica”) se tiene que existen tres ligaduras. La
primera de ellas es x1 (1,5) que se repite dos veces, luego x2 (3,5) que se repite también dos
veces y finalmente x3 (6,5) que se repite cuatro veces. El rango correspondiente a YGZ (9) no
tiene ligaduras. Recordando las notaciones de la fórmula corregida para el cálculo de ρ, se
tiene que p = 3 (tres ligaduras), donde tx1 = 2, tx2 = 2 y tx3 = 4. Por tanto,
23 − 2
Tx1 =
= 0,5
12
23 − 2
Tx 2 =
= 0,5
12
43 − 4
Tx 3 =
=5
12
3
∑T
i =1
w=
xi
= Tx1 + Tx 2 + Tx 3 = 0,5 + 0,5 + 5 = 6
93 − 9
− 6 = 54
12
En el caso de la variable Y (rango en “Educación Musical y Corporal”), todos los rangos
tienen ligaduras. Puede observarse directamente de la tabla anterior que ty1 = 2, ty2 = 2,
ty3 = 3 y ty4 = 2. De manera similar se obtiene que:
76
23 − 2
T y1 =
= 0,5
12
23 − 2
Ty 2 =
= 0,5
12
33 − 3
Ty3 =
=2
12
23 − 2
Ty 4 =
= 0,5
12
4
∑T
j =1
yj
= T y1 + T y 2 + T y 3 + T y 4 = 0,5 + 0,5 + 2 + 0,5 = 3,5
93 − 9
z=
− 3,5 = 56,5
12
Conocidos los valores de w, z y di², es posible calcular el valor del coeficiente ρ de
Spearman, corregido por ligaduras:
54 + 56,5 − 55,5
ρ=
≈ 0,51
2 54 ⋅ 56,5
Como puede observarse, la presunción del jefe de ciclo debería ser más conservadora.
Otro coeficiente de suma utilidad para el análisis de la correlación entre dos variables al
menos ordinales fue propuesto por el estadístico británico Maurice George Kendall (19071983). Si no existen ligaduras su cálculo es bastante sencillo. En general se siguen los pasos
siguientes:
1. Se ranguean las variables X e Y por separado, manteniendo los pares (xi; yi).
2. Se ordenan los pares atendiendo al orden de los rangos de X.
3. Para cada rango de Y se observa cuántos hay a su derecha mayores que él, y cuántos
menores. De esta manera es posible construir dos columnas de cantidades: una de valores
mayores y otra de valores menores.
4. Se suman los valores de cada columna y luego se resta la segunda suma de la primera. A
la cantidad resultante se le denota por D.
5. Se calcula el índice de asociación de Kendall utilizando la fórmula siguiente (donde τ es la
letra griega Tau):
2D
τ= 2
n −n
6. El grado de asociación se explica como en los coeficientes de Pearson y Spearman, según
τ esté más o menos cerca de ±1 o de 0. El signo de τ indica la dirección de la relación y su
valor absoluto indica la magnitud de la misma, de modo que los mayores valores absolutos
revelan las relaciones más fuertes.
He aquí un ejemplo ilustrativo. Dos estudiantes ordenan las asignaturas que reciben según
su preferencia, tal y como se muestra a continuación.
77
Estudiante
RRC
Español
Historia
Geografía
Matemática
Biología
Química
Estudiante
MCP
Español
Historia
Geografía
Matemática
Biología
Química
4
2
3
6
1
5
1
5
3
6
2
4
No es necesario ranguear, pues la estructura del instrumento exige el ordenamiento
empleando números naturales. Los pares (X; Y) son los siguientes:
X: 4 2 3 6 1 5
Y: 1 5 3 6 2 4
Ordenando según X se obtiene:
X: 1 2 3 4 5 6
Y: 2 5 3 1 4 6
Ahora es posible analizar la fila de la variable Y. A la derecha del 2 existen cuatro números
mayores que él (5, 3, 4 y 6) y uno menor (1). A la derecha del 5 existe un número mayor que
él (6) y tres menores (3, 1 y 4). Así sucesivamente se conforman las siguientes columnas de
cantidades:
MAYORES
4
1
2
2
1
∑ = 10
MENORES
1
3
1
0
0
∑=5
Por tanto, se obtiene D = 10 – 5 = 5 y con ello el valor del índice de asociación de Kendall:
2⋅5
≈ 0,33
62 − 6
Puede concluirse que las preferencias de ambos estudiantes son bastante dispares, por la
proximidad de τ a 0.
Si las variables presentan ligaduras debe utilizarse la siguiente fórmula corregida:
τ=
τ=
2D
n − n − w n2 − n − z
2
donde
p
q
i =1
j =1
w = ∑ t xi (t xi − 1), z = ∑ t yj (t yj − 1)
78
Nuevamente txi y tyj denotan las multiplicidades de las ligas en X e Y respectivamente, tal y
como se explicó en la corrección de ρ.
En la actualidad es común denominar la fórmula no corregida por Tau-a y a la corregida por
Tau-b. Esta última es una generalización de la primera y la de más amplio uso, razón por la
cual aparece en el análisis de correlaciones del SPSS junto a los test de Pearson y
Spearman. Existe otro coeficiente de Kendall denominado Tau-c (también conocido como
Tau-c de Stuart o de Kendall-Stuart), el cual tiene en cuenta el número de empates pero de
manera distinta. Este coeficiente se emplea cuando los datos se agrupan en tablas de
contingencia, muy grandes y no cuadradas. La interpretación de Tau-c es similar a sus dos
análogas.
El ejemplo analizado anteriormente resulta bastante artificial. Por lo regular el interés del
investigador no recae en la comparación de dos estudiantes. Más exactamente el interés
recaería en el grado de concordancia de un grupo numeroso de estudiantes, respecto a un
conjunto de asignaturas.
Existe otro índice denominado “coeficiente de concordancia de Kendall”, el cual goza de
amplia aplicación en problemas de concordancia de jueces. En el caso anterior, un grupo de
estudiantes constituiría un grupo de jueces imaginario que decidiría, mediante el citado
instrumento, el orden de preferencia de un conjunto de asignaturas. El problema de ordenar
las asignaturas según su grado de preferencia encierra otro problema de mayor envergadura:
¿En qué medida el grupo de “jueces” está de acuerdo (concuerda) con ese ordenamiento?
El coeficiente de concordancia de Kendall se denota por W y es un índice de divergencia
entre la concordancia real y la concordancia perfecta. Este estadígrafo asume valores del
intervalo [0; 1], de manera que valores cercanos a 1 indican alta concordancia de los jueces,
mientras que los cercanos a 0 indican una marcada tendencia al desacuerdo. Para evitar un
poco el formalismo matemático se describirá a continuación el cálculo de W a través de un
ejemplo.
Un investigador ha formulado diez indicadores para caracterizar cierta situación de
aprendizaje. Estos indicadores proceden de diversas fuentes, así como de la elaboración
personal del propio investigador. Por tal motivo, es de esperar que algunos no resulten
pertinentes, o bien que resulten redundantes. Para perfeccionar su conjunto de indicadores
solicitó el concurso de cinco especialistas (expertos) de reconocido prestigio en este campo
de investigación. Después de explicarles su objetivo, solicitó que ordenaran estrictamente los
diez indicadores, basándose en su mayor prioridad. También les preguntó cuántos serían
suficientes para esta caracterización. Los resultados fueron los siguientes:
Indicadores
I1
I2
I3
I4
I5
I6
I7
I8
I9
I10
5
2
6
8
9
30
3
4
5
1
2
15
10
10
8
7
6
41
2
1
2
2
5
12
7
6
3
4
3
23
6
5
7
6
7
31
4
8
4
5
4
25
8
7
9
10
8
42
1
3
1
3
1
9
9
9
10
9
10
47
Expertos
E1
E2
E3
E4
E5
Suma de rangos
79
Como puede observarse, la última fila contiene la suma de los rangos. Tomando en
consideración que la mediana de la cantidad de indicadores que resultarían suficiente fue
Me = 5, el investigador seleccionó los cinco primeros indicadores (los de menor suma de
rangos): I9, I4, I2 e I7, en este mismo orden. Para analizar el grado de concordancia entre el
criterio de los expertos, se calcula τ de la siguiente manera:
W =
12 S 2
k 2 n2 −1
(
)
donde S² es la varianza del conjunto {Rj}, j = 1, 2, …, n de sumas de rangos (la última fila de
la tabla anterior), k el número de jueces (expertos) y n el número de ítems (indicadores). El
cálculo de S² es más sencillo tomando en consideración que el promedio de las sumas Rj
siempre es igual a ½k(n + 1). Por ejemplo, en este mismo caso se tiene
R=
5(10 + 1)
= 27,5
2
de manera que
S2 =
2
1 10 2
Rj − R
∑
10 j =1
(
)
1 2
30 +152 + 412 + 122 + 232 + 312 + 252 + 422 + 92 + 472 − 27,52
10
= 155,65
=
por tanto,
12 ⋅ 155,62
≈ 0,75
52 102 − 1
La fórmula para el cálculo de W es equivalente a la siguiente:
W =
(
)
n
W=
12∑ R j − 3n(n + 1)
2
j =1
(
2
)
n n2 −1
donde los promedios indicados se refieren a los valores de cada columna. Por ejemplo, en
este mismo problema los promedios resultan de dividir cada uno de los valores Rj entre 5,
que es la cantidad k de elementos en cada columna. En el ejemplo resulta:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
⎛ 30⎞ ⎛15⎞ ⎛ 41⎞ ⎛12⎞ ⎛ 23⎞ ⎛ 31⎞ ⎛ 25⎞ ⎛ 42⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 47⎞
R = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 364,76
∑
⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5 ⎠
j =1
10
2
j
12 ⋅ 364,76 − 3 ⋅ 10 ⋅ (10 + 1)
≈ 0,75
10 10 2 − 1
2
Por tanto, W =
(
)
80
Cuando el número de ítems a ordenar es grande, resulta difícil un ordenamiento objetivo por
cada juez, ya que el número de comparaciones aumenta notablemente. Por otra parte, no
siempre el juez cuenta con argumentos suficientes para ordenar cualquier par de ítems, de
modo que es atinado permitir posibles ligaduras. Cuando el número de empates es pequeño,
el resultado de la fórmula anterior no difiere significativamente; pero si este número es
grande se requiere de una corrección por ligaduras. He aquí la fórmula corregida:
12S 2
W=
(
) kn ∑T
k 2 n2 −1 −
k
i=1
Donde
gi
(
Ti = ∑ t hi − t hi
h =1
3
i
)
siendo i = 1, 2, …, k, gi el número de ligaduras en la fila j. Para cada grupo de ligas en la fila
i, thi es el número de observaciones coincidentes en el grupo h, h = 1, 2, …, gi.
Frecuentemente se hace uso de otra fórmula equivalente para el cálculo de W. Manteniendo
las notaciones anteriores esta otra fórmula es:
n
W=
12∑ R j − 3n(n + 1)
2
2
j =1
(
)
1 k
n n − 1 − ∑ Ti
k i =1
2
Haciendo uso de sencillos recursos algebraicos se demuestra la equivalencia de ambas
fórmulas. El investigador, al igual que en los casos anteriores, puede utilizar aquella que
considere de mayor comodidad. A continuación se resuelve un problema ilustrativo aplicando
la primera de ellas.
Un investigador somete a juicio valorativo de tres expertos un total de cinco metodologías
elaboradas por varios autores. Para ello se apoya en una escala tipo Likert con categorías
cualitativas. Los resultados obtenidos se ilustran en la tabla siguiente, donde las
evaluaciones de cada experto se representan utilizando los símbolos ♣, ♦ y ♥,
respectivamente.
MUY
ADECUADA
BASTANTE
ADECUADA
ADECUADA
♦♥
♦♥
♥
♣♦
♣
♣
♣♦
♥
METODOLOGÍA 1
METODOLOGÍA 2
METODOLOGÍA 3
METODOLOGÍA 4
METODOLOGÍA 5
♦
POCO
ADECUADA
INADECUADA
♣♥
81
En vista de que la escala es cualitativa ordinal, para cada metodología puede obtenerse el
rango considerado por cada experto. Por ejemplo, el experto representado por el símbolo de
trébol (♣) ha evaluado de bastante adecuadas las tres primeras metodologías, de modo que
obtendrán el mismo rango. He aquí la tabla de rangos:
EXPERTO 1 (♣)
METOD. 1
3
METOD. 2
3
METOD. 3
3
METOD. 4
1
METOD. 5
5
EXPERTO 1 (♦)
4,5
1,5
3
1,5
4,5
EXPERTO 1 (♥)
SUMA DE
RANGOS
4
1,5
1,5
3
5
11,5
6
7,5
5,5
14,5
La varianza de la fila correspondiente a las sumas de rangos (última fila) es S² = 12. Para el
cálculo de Ti es necesario observar que existe una sola ligadura en la primera fila, o sea,
g1 = 1. Esta ligadura contiene tres elementos, por lo que t11 = 3. Aquí el subíndice “hi” no
debe leerse como un “once”, sino “uno-uno”. En la segunda fila hay dos ligaduras, cada una
con dos elementos (g2 = 2, t21 = 2, t22 = 2). Finalmente, en la tercera fila solo aparece una
ligadura con un par de elementos (g3 = 1, t31 = 2). Calculando los valores Ti (i = 1, 2 y 3)
resulta:
T1 = 3 2 − 3 = 24,
(
) (
)
T2 = 2 3 − 2 + 2 3 − 2 = 12,
T3 = 2 − 2 = 6.
Sustituyendo en la fórmula resulta:
3
12 ⋅ 12
≈ 0,75
3
2
2
3 5 − 1 − (24 + 12 + 6 )
5
Por tanto, puede concluirse que los expertos concuerdan bastante en sus criterios. De esta
manera, tomando en consideración el orden de las sumas de rangos, el investigador puede
ordenar las cinco metodologías comenzando por la cuarta para mayor prioridad.
W =
(
)
II. Relación entre variables nominales
Como se recordará, la característica esencial de las variables nominales consiste en que sus
categorías no son ordenables. Este hecho no impide que se pueda medir el grado de
asociación, relación o dependencia entre estos tipos de variables. En 1904 Pearson introdujo
un estadígrafo conocido como “coeficiente de contingencia” que se explica a continuación.
Cualquier objeto o sujeto puede poseer varias características, relativas a diversas variables.
Cuando se trata de dos variables nominales, la representación por medio de una tabla de
doble entrada facilita mucho el análisis de los datos; solo que en este caso no importa el
orden de las filas ni el de las columnas.
Si ambas variables fuesen independientes por completo, al tomar una muestra representativa
de cada categoría es natural esperar que todas las celdas contengan la misma frecuencia
absoluta. Denotando este valor por A, todas las casillas de la tabla de doble entrada
contendrán el valor de A. Al tratarse de una tabla de k filas (1 ≤ i ≤ k) y n columnas (1 ≤ j ≤ n),
82
entonces las frecuencias marginales respectivas serán n A en cada fila (columna de valores
nA) y kA en cada columna (fila de valores kA); mientras que la suma total N es igual a knA,
como se muestra a continuación.
1≤j≤n
1≤i≤k
nA
k = número de
categorías de la
variable X
n = número de
categorías de la
variable Y
knA
kA
De aquí se desprende una estrategia para calcular el valor esperado de una celda en caso
de independencia, conocidas las frecuencias marginales y el total de observaciones. En
efecto, al multiplicar las frecuencias marginales observadas respecto a la celda (i; j) y dividir
el producto entre el total, se obtiene (nA . kA)/(knA) = A.
Pearson ya había creado un estadígrafo que años más tarde desarrollaría su hijo Egon
Sharpe Pearson (1895-1980), el cual ofrece una medida del grado de independencia entre
dos variables. Este estadígrafo se denomina “chi-cuadrado” (o “ji-cuadrado”) y ofrece una
medida de la independencia al contrastar las frecuencias observadas con las frecuencias
esperadas; se denota χ 2 y se calcula mediante una suma doble, extendida a todas las filas
y columnas:
k
n
χ = ∑∑
2
i =1 j =1
(f
− eij )
2
ij
eij
Aquí fij representa la frecuencia observada de la celda (i; j) y eij la correspondiente frecuencia
esperada. El símbolo χ 2 no representa el cuadrado aritmético de una variable denotada por
la letra griega Chi; es solo convencional.
Como se puede observar, el estadígrafo χ 2 alcanza su valor mínimo (se anula) en caso de
que las variables sean completamente independientes, o sea cuando fij = eij para todo par (i;
j). En cambio, χ 2 tiene el inconveniente de carecer de valor máximo, por depender del
tamaño de la muestra. Se puede demostrar que al multiplicar todas las fij por una constante
suficientemente grande χ 2 aumenta, a pesar de que las frecuencias relativas sean las
mismas antes y después de dicha multiplicación.
83
La idea de Pearson consistió en utilizar la siguiente fórmula para el cálculo del coeficiente de
contingencia:
C=
χ2
N + χ2
donde N es el número de observaciones (tamaño de la muestra).
En general, en lugar de χ 2 puede utilizarse otro estadígrafo más adecuado, sin que C deje
de denotar el coeficiente de contingencia. He aquí sus principales propiedades:
1. El coeficiente C siempre está comprendido entre 0 y Cmáx, donde
C máx =
t −1
, t = min(k , n ).
t
Particularmente, en tablas de contingencia cuadradas (k = n) se tiene que
C máx =
t −1
n −1
=
n
n
2. La fuerza de asociación entre las variables disminuye cuando C se aproxima a 0 y
aumenta cuando se aproxima a Cmáx, el cual siempre es menor que 1.
3. Dos coeficientes de contingencia, procedentes de dos observaciones diferentes de un
mismo par de variables, solo son comparables si mín(k, n) coincide en las correspondientes
tablas de doble entrada.
4. El coeficiente C también es aplicable a variables cualitativas ordinales y a variables
cuantitativas, siendo sus propiedades e interpretación las mismas.
5. El coeficiente de contingencia no es comparable directamente con otros coeficientes de
correlación como R, ρ y τ . Particularmente, en tablas cuadradas de orden k×k para variables
cuantitativas se cumple que:
R=
C
(1 − C )(k − 1)
2
A continuación se ejemplifica el cálculo de C.
Una directora afirma que no existe correlación sensible entre el estilo de dirección y el
temperamento de los cuadros. Para sostener este criterio se apoya en varios casos
percibidos durante su larga carrera profesional. Los datos devenidos de la experiencia
personal no necesariamente aportan suficientes argumentos para sostener tesis universales.
Por este motivo, la directora empleó algunos de los datos obtenidos en un diagnóstico
efectuado por el Departamento de Dirección Científica Educacional.
La variable “estilo de dirección” contaba de cuatro categorías: paternalista, democrático,
autoritario y permisivo; mientras que la variable “temperamento” registraba también cuatro
categorías predominantes: colérico, flemático, melancólico y sanguíneo. He aquí los datos
compilados en una tabla de doble entrada.
84
TEMPERAMENTO
ESTILO
PATERNALISTA
DEMOCRÁTICO
AUTORITARIO
PERMISIVO
∑
COLÉRICO
23
34
18
25
100
FLEMÁTICO
21
19
32
40
112
MELANCÓLICO
42
21
17
22
102
SANGUÍNEO
21
38
43
18
120
∑
107
112
110
105
434
En lugar de 23 (coléricos y paternalistas simultáneamente), el valor esperado bajo el
supuesto de independencia es igual al producto de las frecuencias marginales
correspondientes entre el total: (107×100)/434 ≈ 24,65. De igual manera se calculan todos
los valores esperados de cada casilla:
TEMPERAMENTO
ESTILO
PATERNALISTA
DEMOCRÁTICO
AUTORITARIO
PERMISIVO
COLÉRICO
24,65
25,81
25,35
24,19
FLEMÁTICO
27,61
28,90
28,39
27,10
De aquí resulta el valor del estadígrafo χ
χ2 =
(23 − 24,65)2 + (21 − 27,61)2
24,65
27,61
Por tanto: C =
+ ... +
2
MELANCÓLICO
25,15
26,32
25,85
24,68
SANGUÍNEO
29,59
30,97
30,41
29,03
:
(18 − 29,03)2
29,03
≈ 45,62
45,62
χ2
≈
≈ 0,31.
2
434 + 45,62
N+χ
En vista de que la tabla de contingencia es cuadrada de orden 4×4, el valor máximo de C es:
4 −1
≈ 0,87.
4
Como puede observarse, el valor de C está mucho más próximo a 0 que a 0,87. Por este
motivo, todo parece indicar que la directora tiene razón; así que de existir alguna correlación
esta es bastante leve.
C máx =
Además del coeficiente de contingencia, también es usual aplicar el “coeficiente de
correlación V de Cramér”. Este estadígrafo fue ideado por el matemático sueco Carl Harald
Cramér (1893-1985) y se define por la fórmula V =
χ2
, donde también t = mín(k, n) y N
N (t − 1)
es el total de observaciones. Los valores de V están comprendidos entre 0 y 1; ambos
inclusive. Esta peculiaridad lo hace más atractivo que el coeficiente C. Retomando el
problema anterior resulta:
V =
χ2
N (t − 1)
=
45,62
≈ 0,19 , lo que refuerza la hipótesis de la directora.
434(4 − 1)
85
III. Relación entre dos variables dicotómicas.
Ya se analizó la naturaleza de una variable dicotómica como aquella que solo puede
alcanzar una entre dos categorías. La dicotomía no es una característica exclusiva de
variables cualitativas nominales como el sexo (femenino o masculino) o el interés explícito y
definitivo por estudiar cierta carrera (sí o no). Por el contrario, la dicotomía puede ocurrir en
cualquier tipo de variable; por ejemplo, en variables cualitativas ordinales como la evaluación
de una inspección (insatisfactoria o satisfactoria), e incluso en variables cuantitativas como la
edad civil (menor de edad o mayor de edad, respecto al límite de 16 años).
En el último ejemplo la variable “edad” ha sido dicotomizada, tomando la edad núbil (16
años) para establecer la división. En general, al dicotomizar una variable no necesariamente
se busca un salto cualitativo o cuantitativo, sino la distinción entre dos conjuntos de atributos,
relaciones, valores, etcétera.
Para determinar la asociación, relación o dependencia entre dos variables dicotómicas se
utiliza un estadígrafo conocido como coeficiente de correlación ϕ , donde ϕ es la letra griega
Phi. Si los datos han sido agrupados en una tabla de contingencia de orden 2×2, como la
siguiente:
Y
X
y1
A
C
A+C
x1
x2
∑
y2
B
D
B+D
∑
A+B
C+D
N
entonces el coeficiente de correlación ϕ viene dado por:
ϕ=
AD − BC
( A + B )(C + D )( A + C )(B + D )
He aquí algunas de sus principales propiedades:
1. El coeficiente ϕ está comprendido entre -1 y 1 (ambos inclusive) y su interpretación es
similar a la del coeficiente R de Pearson, para valores cercanos a 0 y a ±1.
2. Si ϕ es positivo, entonces los individuos (u objetos) de la modalidad x1 tienden a la
modalidad y1 y los de la modalidad x2 tienden a la modalidad y2. Si ϕ es negativo estas
tendencias se intercambian.
3. En el caso de variables dicotómicas numéricas, ϕ coincide con el valor absoluto del
coeficiente R de Pearson aplicado a los valores de las dos variables.
4. En general, ϕ es un caso particular del coeficiente V de Cramér para t = 2. Por ello puede
demostrarse que ϕ =
χ2
, de manera que en tablas en las que una de las variables tiene
N
más de dos niveles, ϕ puede tomar valores mayores que 1 (pues el valor de χ 2 puede ser
mayor que el tamaño muestral). Esta es la razón por la cual se recomienda para variables
dicotómicas.
86
A continuación se ejemplifica el cálculo e interpretación de ϕ mediante un problema resuelto.
En una provincia se ha aplicado una encuesta a 500 estudiantes de preuniversitario, con el
objetivo de indagar sobre su interés por el estudio de carreras pedagógicas. Con el fin de
planificar los aseguramientos de hospedaje para hembras y varones en el ISP, conviene
analizar la correlación del interés respecto a ambos sexos. Los datos ya tabulados son los
siguientes:
SEXO
INTERÉS
F
121
135
256
Sí
No
∑
De aquí, ϕ =
M
72
172
244
∑
193
307
500
121 ⋅ 172 − 72 ⋅ 135
≈ 0,18.
193 ⋅ 307 ⋅ 256 ⋅ 244
Como puede observarse, la cercanía de ϕ a 0 indica muy baja correlación entre ambas
variables.
Las variables dicotómicas nominales también pueden cruzarse con variables numéricas y
especialmente con variables en escala de intervalo. Por ejemplo, cuando se desea analizar la
correlación entre las cantidades de estudiantes de sendos municipios y el total
correspondiente de errores ortográficos; o bien la correlación entre los índices generales de
los que prefieren las ciencias y los que prefieren las humanidades, entre disímiles exigencias
de la práctica escolar.
Existe un estadígrafo que se ajusta exactamente a estas condiciones y se denomina
“coeficiente de correlación biserial puntual”. A fin de comprender mejor este coeficiente se
retoma una observación realizada en el capítulo 2, respecto a la variable “sexo” de tipo
nominal dicotómico. En los paquetes computacionales se acostumbra a utilizar
convenidamente los números 0 y 1, de manera que representen cada uno una modalidad.
De esta forma resultan dos columnas de números: una variable cuantitativa X y otra
dicotómica Y formada por ceros y unos.
Considerando los valores 0 y 1 de la columna Y como auténticos números, el coeficiente de
correlación biserial puntual no es más que la fórmula del coeficiente de correlación lineal de
Pearson, aplicada a ambas columnas de números. Se demuestra que la fórmula del
coeficiente de correlación biserial puntual es la siguiente:
Rbp =
Xp−X
p
⋅
Sx
1− p
donde X p es el promedio de los individuos enumerados con 1 en la variable X, X y SX son
el promedio y la desviación típica de la variable X, mientras que p es la proporción de
individuos enumerados con 1 en la variable Y. El valor Rbp es el mismo si en lugar de
contabilizar los individuos etiquetados con 1 se contabilizan los etiquetados con 0, ya que la
variable Y es nominal y el orden carece de sentido. Las principales propiedades de Rbp son
las siguientes:
87
1. El coeficiente Rbp está comprendido entre -1 y 1 (ambos inclusive) y su interpretación es
similar a la del coeficiente R de Pearson para valores cercanos a 0 y a ±1.
2. Bajo el supuesto de que p se refiere a los individuos enumerados con 1, si el signo de Rbp
es positivo (negativo) entonces los individuos de la modalidad enumerada con 1 tienden a
tomar valores altos (bajos) en la variable X, y los enumerados con 0 tienden a tomar valores
bajos (altos) en X.
En problemas que involucran el cálculo de Rbp, regularmente, la variable numérica está
saturada de datos. A continuación se discute un ejemplo procedente de las investigaciones
educacionales.
Una escuela secundaria básica recibe su matrícula de varias escuelas primarias, siendo
algunas rurales y otras urbanas. Al aplicar un diagnóstico ortográfico se pudo contabilizar la
cantidad de errores por estudiantes. El siguiente gráfico ilustra un fragmento de la tabla
contentiva de los datos, donde 0 indica una procedencia urbana y 1 una procedencia rural.
ESTUDIANTE
MCR
ACP
JPP
JHB
LCP
(…)
ERRORES
12
3
20
3
6
(…)
PROCEDENCIA
1
0
0
1
1
(…)
Como se trataba de 210 estudiantes se decidió compilar los datos en una tabla de
frecuencias, donde la variable relativa al total de errores (cuantitativa discreta) se reorganizó
con sus datos agrupados. La tabla resultante es la siguiente:
MARCA DE
CLASE
3
8
13
18
23
28
33
ERRORES
[0, 5]
[6, 10]
[11, 15]
[16, 20]
[21, 25]
[26, 30]
≥ 31
∑
PROCEDENCIA
URBANA
RURAL
5
19
12
28
27
31
28
12
21
5
10
6
6
0
109
101
∑
24
40
58
40
26
16
6
210
La primera y la última marca de clase no son los promedios exactos de los correspondientes
intervalos; el lector deberá comprender la conveniencia de tomar estos valores (3 y 33). La
columna de frecuencias de procedencia rural es la que corresponde a los “unos” de la tabla
original. Por ese motivo, la proporción p se calcula directamente:
p=
total de procedencia rural 101
=
≈ 0,48.
210
total
88
Denotando por xi los errores según la columna de marcas de clase, por fiT (se lee “efe sub i
supra te”) la frecuencia absoluta total de ambas procedencias, por fip frecuencia absoluta de
los estudiantes procedentes de escuelas rurales (que son los señalizados por el símbolo “1”),
resulta esta nueva tabla:
f iT
24
40
58
40
26
16
6
210
xi
3
8
13
18
23
28
33
∑
f ip
19
28
31
12
5
6
0
101
xi fiT
72
320
754
720
598
448
198
3110
xi2 fiT
216
2560
9802
12960
13754
12544
6534
58370
xi fip
57
224
403
216
115
168
0
1183
Ahora es posible calcular los datos que se restan en la fórmula del coeficiente Rbp. En primer
lugar, respecto a la variable X que en este caso representa el total de errores por estudiante
se tiene, desestimando la procedencia, que:
∑x
X =
i
f iT
=
N
3110
≈ 14,81,
210
2
1
1
2
xi2 f iT − X ≈
⋅ 58370 − (14,81) ≈ 7,66.
∑
n
10
Considerando ahora la proporción relativa a escuelas rurales en la misma variable X resulta:
Sx =
X
∑x f
=
∑f
i
p
p
i
p
i
=
1183
≈ 11,71.
101
Por tanto,
Rbp =
Xp−X
p
11,71 − 14,81 0,48
⋅
≈
⋅
≈ −0,39.
Sx
1− p
7,66
0,52
La interpretación de este resultado comporta dos consideraciones. En primer lugar, como el
módulo de Rbp (el valor absoluto 0,39) es relativamente pequeño, puede decirse que la
correlación es baja. En segundo lugar, como el signo de Rbp es negativo, entonces los
estudiantes procedentes de escuelas rurales (individuos enumerados con 1) tienden a
cometer pocos errores ortográficos (valores bajos de la variable X); mientras que los
procedentes de escuelas urbanas tienden a cometer muchos errores. En ambos casos esta
tendencia es baja.
EJERCICIOS PARA COMPROBAR TUS CONOCIMIENTOS.
1. En un grupo de alumnos se recogió la información del número de horas que dedicaron al
estudio de la matemática para un examen y también sus notas en el examen. Los datos
son los siguientes:
89
horas 11,5 10 12,5 6 9,8 10,5 10 7 9 6,8
notas 9,8 8 8,2 9 7,6 9,2 9,3 8 10 5,4
a) ¿Qué tipo de medida de tendencia central y de dispersión representaría mejor estos
datos?
b) Represente la información bivariada en un diagrama de dispersión.
c) Si le parece apropiado, obtenga una recta de regresión.
d) Determine el coeficiente de correlación y la parte de la variación explicada.
e) ¿Qué conclusiones puede hacer respecto a la relación entre el número de horas de
estudio y la nota en el examen?
2. Las notas en estadística (X) y en matemáticas (Y) obtenidas por 10 alumnos elegidos al
azar en un grupo de primer curso de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
han sido las siguientes, según el orden de selección de la muestra:
a) Represente la nube de puntos correspondiente a esta distribución. ¿Qué hipótesis pueden
hacerse a la vista de esta representación?
b) Estime los parámetros de la recta de regresión de Y/X. Interprete los coeficientes
calculados.
c) Estime los parámetros de la recta de regresión de X/Y. Interprete los coeficientes
calculados, y compare ambas rectas.
d) Represente las dos rectas de regresión junto a la nube de puntos.
e) Calcule el coeficiente de correlación lineal entre X e Y.
f) Para un alumno que haya obtenido un 7 en matemáticas ¿qué nota le pronosticaría en
estadística?
g) Para un alumno que haya obtenido un 4 en estadística ¿qué nota le pronosticaría en
matemáticas?
3. Se desea estudiar la repercusión que tiene los días de lluvia en el número de visitas a un
zoo. Para ello, se observaron las siguientes variables, durante los últimos diez años, siendo
Y = Nº de visitas anuales, en miles, y X = Nº de días de lluvia al año:
a) Calcule el coeficiente de correlación lineal e interprete el valor hallado.
b) Obtenga la recta de regresión que explique el número de visitas anuales en función del
número de días de lluvia.
4. En un país europeo se han obtenido estadísticas que relacionan el número de vehículos
matriculados y el número de accidentes habidos en un período determinado. Los datos
recogidos son los siguientes:
90
Se pide:
a) Un modelo de regresión que nos explique el nº de accidentes en función de los vehículos
matriculados. Interpretar los coeficientes del modelo.
b) Coeficiente de correlación lineal. ¿Qué puede decir con este dato?
c) Porcentaje de las causas ajenas a la regresión que influyen en la variable dependiente.
d) Deducir cuál sería el nº de accidentes si se matriculan 800 vehículos.
5. Dada la difícil situación por la que atraviesa actualmente la empresa QUEMALAPATA en
la que hemos empezado a trabajar, se propone la reducción de determinados gastos. Para
ello se estudia la relación que existe entre dos variables como son: los gastos en publicidad
(variable X) y los beneficios (variable Y). De ambas variables disponemos de los siguientes
datos:
Año
1993
1994
1995
1996
1997
70
75
80
90
104
33
45
50
65
67
Gastos en Publicidad
(105 ptas)
Beneficios
(106 ptas)
Se pide:
a) ¿Se puede considerar que ambas variables guardan algún tipo de relación? ¿Cuál sería la
variable dependiente y cuál la independiente?
b) Realizando un gráfico adecuado. ¿Se puede suponer que la relación que las liga es de
tipo lineal?
c) Construye las dos rectas de regresión mínimo cuadrática asociada con las variables.
d) Si la empresa para el próximo año realizará un esfuerzo para poder invertir 11.500.000
ptas en publicidad. ¿Cuáles resultarían ser sus beneficios? ¿Con qué fiabilidad realizaría
usted la predicción?
91
e) ¿Cuáles resultarían ser sus beneficios si la predicción se efectúa considerando tan solo
como variable explicativa el tiempo? ¿Cuál sería la fiabilidad de esta otra predicción?
Comente los resultados.
6. Un estudiante de Estadística de la provincia de Sevilla, para poder pagarse sus estudios
debe trabajar como camarero en un bar de copas de su localidad
CASTILLEJADELCUESTON, al cual suelen acudir todos los jóvenes de la zona. Este año
con los conocimientos aprendidos decide por fin estudiar la relación existente entre las
galletas saladas y el consumo de bebidas, ya que, es costumbre, dar al cliente este aperitivo
cuando se pide una consumición.
Las galletas no pueden tener una concentración de sal superior a 35 gramos por cada 10.000
galletas, y por ello decide ir variando a partir de 10 gramos la concentración de 5 en 5
gramos cada semana e ir anotando el incremento en caja semanalmente. Obteniendo la
siguiente tabla:
Gramos de sal por cada
1
1000 galletas
Ingresos
pesetas)
en
caja
(en
1.5
2
2.5
3
140300 150000 165000 175000 200000
Se pide:
a) Establecer un modelo lineal que relaciona las dos variables, estudiando la fiabilidad de
dicho modelo
b) Como consecuencia de los resultados anteriores el propietario del bar decide añadir a las
galletas 40,25 gramos de sal, que coincide con toda la sal que tiene, en los almacenes.
Realiza una predicción de los ingresos en caja y comente el resultado.
c) Si el propietario desea unos ingresos de 160.000 pesetas que cantidad de sal aportaría a
las galletas. Si aporta 2,75, ¿cuál sería el ingreso en caja? Explicar cual de las dos
predicciones te merece mayor confianza.
7. Cinco niños de 2, 3, 5, 7 y 8 años (X) pesan respectivamente, 14, 20, 30, 42, y 44 kg (Y).
Calcular:
a) los parámetros x , y , Sx , Sy , Sxy .
b) la recta de regresión del peso sobre la edad.
c) el coeficiente de correlación lineal.
d) según estos datos, ¿cuánto se prevé que debiera pesar un niño de 6 años?
8. Se han colgado sucesivamente del extremo de un resorte cinco masas, X, en gramos, y se
ha registrado los alargamientos, Y, en milímetros, producidos por las cargas. He aquí la
tabla.
92
Dibuja la nube de puntos. Hallar la recta de regresión, el coeficiente de correlación lineal y
deducir lo que se estiraría el muelle si colgáramos una masa de 15 gramos.
9. La siguiente tabla muestra el número de accidentes de tráfico en los últimos 7 años:
a) determinar el número medio de accidentes en los 7 años
b) dibuja la nube de puntos
b) calcular la recta de regresión de X(años) sobre Y(nº accidentes)
c) obtener el coeficiente de correlación lineal
d) ¿cuántos accidentes estimarías para el año 2000?
10. Se han observado conjuntamente las variables X e Y, 1000 veces, obteniéndose en total
los siguientes valores:
Calcular:
a) los parámetros x , y , Sx , Sy , Sxy .
b) la recta de regresión.
11. Ajustar la recta de regresión con los puntos dados hallando el coeficiente de correlación
lineal. ¿Por qué da “r” ese valor?
93
CAPÍTULO 5: TEORÍA COMBINATORIA.
Variaciones, combinaciones y permutaciones.
Para realizar nuestro análisis, partiremos del ejemplo siguiente:
Ejemplo 1: Se tiene una urna que contiene 4 bolas idénticas en cuanto a sus tamaños y
formas; estas bolas están numeradas del 1 al 4. Consideremos el experimento que consiste
en seleccionar al azar dos bolas de esa urna. Describa de qué formas se puede realizar esta
selección.
Respuesta:
Caso 1: Se extrae una bola, se anota su número y se devuelve a la urna antes de escoger la
otra.
a) Interesa saber cuál bola se extrajo primero.
b) No interesa saber cuál bola se seleccionó primero.
Caso 2: Se extrae la primera bola, se anota su número y no se devuelve a la urna antes de
extraer la otra.
Caso 3: Se extraen simultáneamente las dos bolas.
Observaciones:
—En el caso 1-a, atendiendo al modo en el que se realizó la selección, se establece un
orden, y además, una misma bola puede ser seleccionada en las dos oportunidades, es decir
se admite la repetición. Esto se puede ilustrar mediante el siguiente diagrama de árbol:
94
Segunda extracción
Primera extracción
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4);(4, 1); (4, 2); (4,
3) y (4, 4)
Observe que: (1, 2)≠(2, 1)
Selección con repetición (reposición o reemplazo) y con orden.
—En el caso 1-b, según la forma de selección, no se puede establecer un orden, pero se
admite la repetición; por lo que el diagrama se simplifica como sigue:
(1, 1);(1, 2);(1, 3); (1, 4); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (3, 3); (3, 4); (4, 3) y (4, 4)
Observe que: (1, 2)=(2, 1)
95
Segunda extracción
Primera extracción
1
2
1
2
3
4
2
3
4
3
3
4
4
4
Selección con repetición (reposición o reemplazo) y sin orden.
—En el caso 2 se puede, evidentemente, establecer un orden de selección, pero no se
admite repetición ya que la primera bola extraída no se devuelve a la urna. El diagrama será:
Segunda
Primera
1
2
3
4
2
1
3
4
3
1
2
4
4
1
2
3
96
(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (4, 1); (4, 2) y (4, 3)
Observe que: (1, 2)≠(2, 1)
Selección sin repetición (reposición o reemplazo) y con orden.
—Por su parte, en el caso 3 como las dos bolas se extraen a la vez, no es posible la
repetición, ni existe un orden de selección. Aquí no se puede construir un diagrama de árbol.
(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3, 4)
Selección sin repetición (reposición o reemplazo) y sin orden.
En este ejemplo, la cantidad total de bolas que se tienen es pequeña (4), así como el total
que se van a seleccionar (2); ello facilita contar el total de resultados posibles: 16 en el caso
1-a, 10 en el 1-b, 12 en el caso 2 y 6 en el 3. Sin embargo, la realización del árbol o
simplemente el conteo de esos resultados sería laborioso si estos números (total de bolas y
cantidad a seleccionar) fueran mayores.
Precisamente, para realizar este conteo se emplea la teoría combinatoria.
Llamemos N al total de bolas (objetos) que están disponibles para ser seleccionados y sea R
la cantidad que se van a seleccionar. En el ejemplo que tratamos N= 4 y R= 2.
Definición 1: Se llaman variaciones con repetición y con orden de los N elementos de un
conjunto dado, tomados R a R, a todos los posibles ordenamientos con reposición de los R
elementos seleccionados de los N del conjunto dado. (Caso 1-a)
Notación: VR(N, R)
Definición 2: Se llaman variaciones sin repetición y con orden de los N elementos de un
conjunto dado, tomados R a R, a todos los posibles ordenamientos sin reposición de los R
elementos seleccionados de los N del conjunto dado. (Caso 2)
Notación: V(N, R)
Definición 3: Se llaman combinaciones sin repetición y sin orden de los N elementos de un
conjunto dado, a todos los subconjuntos diferentes de R elementos distintos, que se pueden
formar con los N elementos del conjunto dado. (Caso 3)
Notación: C(N, R)
Definición 4: Se llaman combinaciones con repetición y sin orden de los N elementos de un
conjunto dado, a todos los subconjuntos diferentes de R elementos iguales o no, que se
pueden formar con los N elementos del conjunto dado. (Caso 1-b)
Notación: CR(N, R)
Teorema 1: El número VR(N, R) está dado por V(N, R)= NR, con N y R naturales.
—Para el caso 1-a, tenemos: VR(4, 2)= 42=16.
Teorema 2: El número V(N, R) está dado por V(N, R)= N!/(N-R)!, con N y R naturales (N≥ R).
—Para el caso 2, tenemos que V(4, 2)= 4!/(4-2)!= 12.
Observación: Si N= R, a las variaciones sin repetición y con orden se les denomina
permutaciones y se denota por PN. De donde se tiene que PN= N!.
Teorema 3: El número C(N, R) está dado por:
C(N, R)= N!/(R! (N-R)!), con N y R naturales (N≥ R).
97
—Para el caso 3, tenemos que C(4, 2)= 4!/(2!(4-2)!)= 6.
Observaciones:
—Al valor C(N, R) se le denomina número combinatorio o coeficiente binomial.
—Si N= R1+ R2+...+ Rk, entonces al número N!/R1! R2!...Rk! se le denomina coeficiente
multinomial.
Propiedades del número C(N, R):
1.- (N, 0)= (N, N)= 1
2.- (N, 1)= 1
3.- (N, 2)= N(N-1)/2
4.- (N, R)= (N, N-R)
5.- (N, R)+(N, R+1)= (N+1, R+1)
6.- R(N, R)= N(N-1, R-1)
Teorema 4: El número CR(N, R) está dado por:
CR(N, R)= (N+R-1)/(R! (N-R)!)
—Para el caso 1-b, tenemos que CR(N, R)= (4+2-1)!/(2!(4-2)!)=10
EJERCICIOS PARA COMPROBAR TUS CONOCIMIENTOS
1. Un grupo de madres cuyos hijos juegan en un equipo de béisbol menor, animan sus niños
en los juegos con un grupo de pancartas. En total disponen de 10 pancartas distintas y llevan
siempre a cada juego por lo menos 3 pancartas. ¿De cuántas formas posibles podrían
animar las madres a sus hijos con las pancartas en el próximo juego?
2. Un test consta de 10 preguntas, cada una con 2 posibles respuestas: “si” y “no”. ¿De
cuántas formas posibles se puede responder este test?
3. Un examen consta de 8 preguntas; las 5 primeras con 2 posibles respuestas y las 3
últimas con 5 posibles respuestas cada una. ¿De cuántas formas posibles puede
responderse este examen?
4. Una caja contiene 25 cubos, 12 de color rojo, 8 de color negro y 5 de color blanco. Cada
cubo tiene un número que lo identifica. ¿Cuántos grupos de 7 cubos, 3 rojos, 2 negros y 2
blancos pueden formarse con los cubos de la caja?
5. Un grupo de 4 amigos salen con sus respectivas novias y en un conocido parque de la
ciudad le piden a una persona que le tomen una foto. ¿De cuántas formas se podrán
arreglar, si desean salir todos de pie y al lado de su respectiva pareja?
6. Un grupo de jóvenes aventureros han decidido ir a conocer 10 países de Europa, de los
cuales no tienen ninguna información. Luego de marcharse de cada país, calificarán al país
de acuerdo a lo visto en su corta visita como: “muy agradable”, “agradable” o “no agradable”.
98
¿De cuántas maneras podrán calificar a 4 países como “muy agradables”, 3 como
“agradables” y a 3 como “no agradables”?
7. Un grupo de 7 atletas se disponen a participar en una prueba de natación. ¿De cuántas
maneras posibles pueden entregarse las medallas de oro, plata y bronce?
8. Al iniciar una jornada de trabajo cualquiera las 4 personas encargadas de atender al
público en cierta empresa tienen a 7 personas en espera. ¿De cuántas formas posibles
podrán ser atendidas las 7 personas por los funcionarios de atención al público si cada
funcionario debe atender una persona por lo menos?
9. En una reunión hay 12 mujeres y 5 hombres. Queremos tomar fotografías distintas de
manera que en cada una aparezcan 5 personas. ¿En cuántas fotografías aparecen 2
hombres?
10. Una madre de una familia de 6 miembros posee 8 empaques de un determinado
producto para llevarlos a un buzón donde participará en un sorteo por un vehículo. Ella no
desea identificar todos los empaques con el mismo nombre, sino que desea que todos los
miembros de la familia aparezcan identificados en al menos un empaque, en busca de la
suerte familiar. ¿De cuántas formas posibles podrá identificar la señora los empaques bajo la
condición que ella misma ha impuesto?
11. ¿Cuántas palabras de 6 letras se pueden formar con las letras m, n, p, a, i, o de tal
manera que no aparezcan 2 consonantes ni 2 vocales juntas?
12. En el consejo de una ciudad hay 10 concejales y 5 oficiales. ¿Cuántos comités pueden
formarse si cada uno debe constar de 5 oficiales y 2 concejales?
13. ¿Cuántos productos de 3 factores se pueden formar con los números 5, 7, 9, 11 y 13?
14. ¿Cuántas señales diferentes pueden hacerse izando 6 banderas de colores diferentes
una sobre otra si se pueden izar cualquier número de ellas a la vez?
15. ¿De cuántas formas pueden ser colocados 10 automóviles en un stock, si 3 de ellos son
Fiat, 4 son Ford, 2 son Toyota y 1 es BMW?
16. ¿De cuántas maneras pueden ser seleccionadas 4 personas provenientes de 5 parejas
de casados, si la selección consiste de 2 damas y 2 caballeros?
17. Se tienen los números 5874 y 12369. ¿Cuántos números enteros diferentes pueden
formarse con 2 cifras no repetidas del primero y 3 no repetidas del segundo?
18. ¿De cuántas maneras pueden acomodarse en una biblioteca 5 libros de Matemáticas, 7
de Química, 4 de Física y 8 de Estadística de modo que los de una misma materia estén
siempre juntos?
19. Una junta directiva de 5 cargos diferentes debe estar formada por 3 hombres y 2 mujeres.
¿De cuántas maneras diferentes se puede formar dicha junta si se dispone de 7 hombres y
de 5 mujeres?
99
20. ¿De cuántas formas distintas se pueden colocar 5 cartas diferentes en 3 buzones, cada
uno dirigido a distintas partes del mundo?
100
CAPÍTULO 6: TEORÍA DE LAS PROBABILIDADES.
6.1. Experimento. Espacio muestral y suceso aleatorio
Experimento, según el Diccionario, es la "acción de experimentar" y, a su vez, experimentar
es "probar prácticamente una cosa". Así, son múltiples las definiciones que en la literatura se
encuentran sobre experimento; para nuestros propósitos adoptaremos la siguiente:
Definición 1: Experimento es la realización de un conjunto de condiciones que pueden ser
repetidas un número arbitrario de veces (al menos, mentalmente).
Cuando un investigador realiza un experimento, siempre espera obtener de él algún
resultado; pero, ocurre que en muchos de ellos podrá saber con certeza qué resultado va a
obtener, mientras que en otros no podrá realizar dicha aseveración. Esto hace que podamos
clasificar los experimentos en determinísticos o aleatorios.
Definición 2: Un experimento es determinístico, cuando se puede predecir con exactitud el
resultado que se obtendrá al realizarlo.
Definición 3: Un experimento es aleatorio, cuando no se puede predecir con exactitud el
resultado que se obtendrá al realizarlo. (A estos también se les llaman estocásticos).
Ahora ustedes podrán indicar varios ejemplos de experimentos y clasificarlos, pero vamos a
prevenirlos en el sentido de que nuestro interés son los experimentos estocásticos, es por
ello que, a continuación, relacionamos algunos ejemplos de estos últimos:
Ejemplo 1 (de experimentos aleatorios):
a) El lanzamiento de un dado homogéneo, o de una moneda, sobre una superficie plana.
b) La evaluación, de aprobado o suspenso, que obtendrá un alumno en el examen de
Matemática.
c) La selección —de modo imprevisto— de una tarjeta, de entre cinco que son idénticas y
que han sido perfectamente mezcladas. (Estas tarjetas pueden tener el nombre o el número
que identifica a cada alumno de un equipo de estudio, y el interés puede ser, observar la
situación docente del alumno seleccionado en Matemática, Física o Química).
En estas situaciones planteadas, se habrán percatado ustedes de que, no es posible predecir
con certeza el resultado que se obtendrá cuando se realice el experimento; sin embargo, sí
se puede predecir cuál o cuáles serán los posibles resultados en cada realización del
experimento (o en cada prueba).
Así, cuando se lanza un dado homogéneo sobre una superficie plana, son posibles seis
resultados; todo alumno que asiste a un examen tiene dos resultados posibles: aprobar o
suspender, y cuando de un equipo de estudio —como el descrito en el caso c—, se
selecciona un alumno en la forma en que se ha dicho, pueden ocurrir cinco resultados
posibles. (Una selección que se haga del modo que se plantea en este caso, se dice que es
una "selección aleatoria o al azar").
Queremos insistir en el hecho de que, aunque en los experimentos aleatorios no es posible
predecir el resultado exacto que se obtendrá al realizar el experimento, sí se puede saber
cuál o cuáles, serán los posibles resultados de este. Aquí nos interesa la siguiente definición:
Definición 4: Se llama punto muestral a cada uno de los resultados de un experimento
aleatorio.
101
En muchas ocasiones será de interés conocer cuáles son todos los puntos muestrales del
experimento, por ello tenemos la definición siguiente:
Definición 5: Se llama Espacio Muestral al conjunto de todos los puntos muestrales de un
experimento aleatorio.
Para referirnos al espacio muestral, como notación, emplearemos la S y para especificar el
total de puntos muestrales de S, usaremos la notación N(S).
De acuerdo con la cantidad N(S), el espacio muestral se puede clasificar en finito o infinito: si
N(S) es un número determinado, entonces el espacio muestral es finito; en caso contrario,
diremos que es infinito. (Los espacios muestrales de los distintos experimentos del ejemplo
1, son finitos).
Para representar el espacio muestral se emplean diferentes formas, entre las que tenemos:
⎯La representación descriptiva: consiste en indicar, verbalmente, cuáles son los puntos
muestrales del espacio muestral.
⎯La representación tabular: consiste en situar, entre llaves y separados por comas, cada uno
de los puntos muestrales del espacio muestral, mediante el empleo de símbolos. Estos
símbolos pueden ser letras, números, etc).
⎯La representación constructiva: consiste en emplear notaciones matemáticas, situadas
entre llaves, de modo tal que no aparezcan de forma explícita los puntos muestrales del
espacio muestral.
⎯La representación mediante diagramas: consiste en emplear figuras de la geometría plana,
tales como, cuadrados, circunferencias, etc., para indicar los puntos muestrales del espacio
muestral.
Ilustremos mediante un ejemplo los últimos aspectos tratados:
Ejemplo 2 (de espacio muestral):
Consideremos el experimento descrito en el caso c del ejemplo 1. Llamémosle a1, a2,.., a5 a
cada alumno del equipo y supongamos los siguientes resultados docentes de estos alumnos:
Aquí, el experimento consiste en seleccionar al azar un alumno del equipo, por tanto, los
puntos muestrales son cada uno
Alumno
Matemática Física
Química
de los alumnos, ya que
a1................. Bien............. Bien....... Bien
cualquiera de ellos puede ser
a2................. Bien............. Bien....... Bien
seleccionado.
a3................. Mal.............. Mal........ Bien
Veamos las diferentes formas de
a4................ Regular........ Mal........ Bien
representar el espacio muestral:
a5................. Mal.............. Bien....... Bien
⎯Representación descriptiva:
S: el espacio muestral está formado por los alumnos a1, a2, a3, a4 y a5 del equipo de estudio.
⎯Representación tabular:
S={a1, a2, a3, a4, a5}, N(S)=5. (El espacio muestral es finito).
⎯Representación constructiva:
S={ai: i≤5, i∈N\0}
102
⎯Representación mediante diagrama:
s
Este espacio muestral, además de ser finito, tiene otra característica que queremos destacar
y es que, no existe un alumno del equipo que tenga "mayor posibilidad" de ser seleccionado
que otro cualquiera. Cuando un espacio muestral tiene esta característica, se dice que es
"equiprobable".
Muchas veces el investigador no está interesado solo en conocer todos los posibles
resultados del experimento aleatorio, sino que, lo está en "algunos de esos resultados". Así,
en este experimento, puede estar interesado en los alumnos que estén evaluados de bien en
Matemática, o de mal en Física, etc. En tal caso, se hablará de un "suceso aleatorio".
Definición 6: Un suceso o evento aleatorio es un conjunto de puntos muestrales de un
experimento estocástico.
Para denotar los eventos se utilizan las letras mayúsculas de nuestro alfabeto, con o sin
subíndices: A, B, C,...., A1, A2,..., y para indicar el número de puntos muestrales del suceso,
se emplea la notación N(A), N(B),..., N(A1), N(B1),...
Esta definición es muy similar a la de espacio muestral, sin embargo se diferencia en que en
el espacio muestral tienen que estar todos los puntos muestrales del experimento, mientras
que, en el evento no necesariamente lo estarán.
Para representar a cada suceso se emplean las mismas formas que se utilizan para
representar el espacio muestral.
Por otro lado, debemos precisar que, todo suceso siempre estará referido a un espacio
muestral.
Ejemplo 3 (de sucesos aleatorios):
Algunos sucesos referidos al espacio muestral del ejemplo 2, son los siguientes:
A: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática.
B: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Física.
C: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Química.
D: que el alumno que se seleccione esté evaluado de regular en Física.
E: que el alumno que se seleccione esté evaluado de mal en Física.
Aquí solo hemos definido, en representación descriptiva, cinco de todos los posibles sucesos
que se pueden definir del espacio muestral anterior: usted podrá indicar otros muchos (le
sugerimos que lo haga).
Escribamos ahora, en representación tabular, estos eventos:
A={a1, a2}, N(A)=2. B={a1, a2, a5}, N(B)=3. C={a1, a2, a3, a4, a5}=S, N(C)=N(S)=5. D=φ, este
suceso NO TIENE PUNTO MUESTRAL ALGUNO:
N(D)=N(φ)=0.
103
(El símbolo empleado para indicar que este suceso no tiene punto muestral es la letra griega
phi).
E={a3, a4}, N(E)=2.
Ahora bien, si cuando realicemos este experimento, es decir, si cuando de ese equipo de
estudio seleccionemos, al azar, un alumno; este es el a2, diremos que los sucesos A, B y C
ocurren, mientras que los sucesos D y E no ocurren: ya que a2 es un punto muestral que
pertenece a los eventos A, B y C, pero no pertenece a los sucesos D y E.
Definición 7 (de ocurrencia de un suceso): sea M un suceso de un espacio muestral S.
Diremos que el suceso M ocurre, si el resultado que se obtiene cuando se realiza el
experimento, es un punto muestral que pertenece a dicho evento. En caso contrario, se dice
que el suceso M no ocurre.
En estos momentos tenemos que saber responder cuál o cuáles de los sucesos anteriores
ocurren y cuál o cuáles no, si el alumno seleccionado es el a1, o si es el a4, etc. Se
percatarán ustedes de que el suceso C "siempre ocurre" al realizar el experimento, sin
embargo, el D "nunca ocurre". Además, siempre que ocurra el suceso A, ocurre el suceso B
y ocurre el evento C, no así el suceso D y el E.
Definición 8 (de suceso seguro): Un suceso de un espacio muestral S que siempre que se
realice el experimento ocurre, se llama evento seguro o cierto.
El suceso seguro se denota por S y observe que este siempre va a tener la misma cantidad
de puntos muestrales que tenga el espacio muestral, es el caso del suceso C.
Definición 9 (de suceso imposible): un suceso de un espacio muestral S que no ocurre
nunca, cuando se realiza el experimento, se llama evento imposible.
El evento imposible se denota por φ y nunca va a tener punto muestral alguno, es decir,
N(φ)=0; tal es el caso del evento D.
Definición 10 (de subevento): Sean M y N dos sucesos de un espacio muestral. Diremos que
el suceso M es subevento del suceso N, si siempre que ocurra el suceso M, ocurre también
el suceso N.
Observación: Si M es subevento de N y a la vez N es subevento de M, entonces se dice que
M y N son iguales: M=N.
Notación de subevento: M⊂N.
En nuestro ejemplo 3, A⊂B, A⊂C y se cumple:
que N(A)<N(B), N(A)<N(C). Además, siempre se cumplirá que:
cualquiera sea M, M⊂S.
6.2. Operaciones entre sucesos. Sucesos mutuamente excluyentes y sucesos
exhaustivos.
1.- Complemento de un suceso:
Fijémonos nuevamente en los sucesos B y E del ejemplo 3:
B={a1, a2, a5} y E={a3, a4}. Observemos que si el alumno seleccionado es el a1, ocurre el
evento B, pero el suceso E no; mientras que si el alumno seleccionado es el a3, entonces
ocurre el evento E, pero no el suceso B. Así, en cada realización de este experimento,
siempre ocurrirá uno de estos dos sucesos, pero no los dos a la vez: cuando esto sucede se
104
dice que dichos eventos son complementarios.
Definición 11 (de complemento de un suceso): Sea M un suceso de un espacio muestral S.
Al suceso que ocurre, cuando al realizar el experimento no ocurre el evento M, se le llama
suceso complemento o contrario del evento M.
Para denotar el complemento del suceso M se emplea el símbolo Mc. Observe que todo
punto muestral de S siempre pertenecerá al suceso o a su complemento, es decir, si al
realizar el experimento ocurre el suceso M, entonces no ocurrirá su complemento; pero si
ocurre el complemento de M, entonces no ocurrirá el suceso M. Por tanto, al complemento
de un suceso pertenecen los puntos muestrales del espacio muestral que no pertenezcan al
suceso y viceversa.
Ejemplo 4 (de complemento de un suceso):
Determine el complemento de cada uno de los sucesos descritos en el ejemplo 3.
Ac: que el alumno que se seleccione no esté evaluado de bien en Matemática.
Ac={a3, a4, a5}, N(Ac)=3.
Bc : que el alumno que se seleccione no esté evaluado de bien en Física.
Bc={a3, a4}=E, N(Bc)=2. Observe que Bc⊂Ac, ya que A⊂B.
Cc: que el alumno que se seleccione no esté evaluado de bien en Química.
Cc=φ. Luego, como C=S, tenemos que Sc=φ.
Dc: que el alumno que se seleccione no esté evaluado de regular en Física.
Dc={a1, a2, a3, a4, a5}=S. Luego, como D=φ, tenemos que φC=S.
Ec: que el alumno que se seccione no esté evaluado de mal en Física.
Ec={a1, a2, a5}=B, N(Ec=3.
Tarea I: Sobre la base de los resultados obtenidos en los ejemplos 2, 3 y 4, verifique que son
válidas las siguientes igualdades:
1.- N(Ac)=N(S)-N(A)
2.- N(Bc)=N(S)-N(B)
3.- N(Cc )=N(S)-N(C)
4.- N(Dc)=N(S)-N(D)
5.- N(Ec)=N(S)-N(E)
Tarea II: Verifique que para todo suceso M de un espacio muestral S se cumple que:
(Mc)c=M
2.- Producto de dos sucesos
Ahora analicemos los sucesos A={a1, a2} y B= {a1, a2, a5}: veamos que el punto muestral a1
es común a los dos eventos, es decir, si el alumno que resulta seleccionado, cuando se
realiza el experimento, es el a1, estarán ocurriendo, a la vez, los eventos A y B —esto no es
así si el alumno seleccionado es el a5; en tal caso solo ocurre el suceso B—. Por tal razón, si
el alumno seleccionado es el a1, diremos que está ocurriendo el "producto de los sucesos A y
B"; que es otra de las operaciones que se definen entre los sucesos.
105
Definición 12 (producto o multiplicación de sucesos): Sean M y N dos sucesos de un espacio
muestral S. Al evento que ocurre cuando ocurren, a la vez, los sucesos M y N, se le llama
producto de los sucesos M y N.
Para denotar la multiplicación de los sucesos M y N emplearemos cualesquiera de las dos
formas siguientes: M∩N o M•N, y para referirnos al total de puntos muestrales del suceso
producto, lo haremos escribiendo la notación N(A∩B) o N(A•B).
En la definición anterior queda establecido que, el producto de dos sucesos, es también un
suceso. Este nuevo suceso ocurre solo cuando ocurran ambos eventos, es decir, en el
suceso producto están los puntos muestrales que son comunes a los dos sucesos.
Ejemplo 5 (producto de sucesos): Determine, sobre la base de los sucesos descritos en los
ejemplos 3 y 4, las multiplicaciones siguientes:
A∩B: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática y en Física.
(Los alumnos a1 y a2 cumplen estas dos condiciones: estar evaluado de bien en ambas
asignaturas).
A∩B={a1, a2}, N(A∩B)=2. Observe que N(A∩B)≠N(A)N(B) y además, si se determina B∩A,
se vería que A∩B=B∩A (propiedad conmutativa). También, en este caso se cumple que
A∩B=A, debido a que A⊂B.
A∩C: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática y en Química.
(Solo los alumnos a1 y a2 cumplen esta condición).
A∩C={a1, a2}, N(A∩C)=2. Observe que N(A∩C)≠N(A)N(C) y además, si se determina C∩A,
se vería que A∩C=C∩A. También tenemos que C =S (S es el suceso seguro), luego
cualquiera sea A, se cumple que A∩S=A.
A∩E: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática y de mal en
Física. (En este equipo no existe alumno alguno que cumpla estas dos condiciones).
A∩E=φ, N(A∩E)=0. En este caso se dice que los eventos A y E son "mutuamente
excluyentes".
Definición 13 (de eventos mutuamente excluyentes): Sean M y N dos eventos de un espacio
muestral S. Se dice que los eventos M y N son sucesos mutuamente excluyentes, si la
ocurrencia del producto de ellos es el suceso imposible.
Notación: M∩N=φ. Es evidente que dos sucesos que sean mutuamente excluyentes no
tienen ningún punto muestral en común.
Sigamos con el ejemplo 5:
A∩D: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática y de regular en
Física.
A∩D=φ. Como D=φ, tenemos que se cumple, para cualquier suceso M, que, M∩φ=φ.
Ac∩B: que el alumno que se seleccione no esté evaluado de bien en Matemática, pero sí lo
esté en Física. (Solo el alumno a5 cumple estas dos condiciones):
Ac∩B={a5}, N(Ac∩B)=1.
A∩Bc: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática y no lo esté en
Física. (No existe ningún alumno en el equipo que cumpla estas dos condiciones):
106
A∩Bc=φ, N(A∩Bc)=0.
Observe que Ac∩B≠A∩Bc.
Ac∩Bc: que el alumno que se seleccione no esté evaluado de bien ni en Matemática ni en
Física. (Los alumnos a3 y a4 son los que cumplen estas dos condiciones):
Ac∩Bc={a3, a4}, N(Ac∩Bc)=2.
Observe que se pudo haber descrito este suceso diciendo: "que el alumno que se seleccione
no esté evaluado de bien en ninguna de las dos asignaturas". Además, como:
Bc⊂Ac, se cumple que Ac∩Bc=B.
(A∩B)c: que el alumno que se seleccione no esté evaluado de bien en Matemática y Física, o
lo que es lo mismo, que no esté evaluado de bien en ambas asignaturas.
(A∩B)c={a3, a4, a5}, N(A∩B)c=3. Aquí hemos obtenido el suceso complemento de A∩B.
Tarea III: Sobre la base de los resultados de los ejemplos 3, 4 y 5, verifique que se cumple
que:
a) A∩Ac =φ, B∩Bc=φ.
b) N(Ac∩B)=N(B)-N(A∩B), c) N(A∩Bc)=N(A)-N(A∩B).
3.- Suma de sucesos
Como ya se a visto, el producto de dos sucesos es un evento que ocurre, cuando ocurran
exactamente los dos sucesos. Muchas veces estamos interesados en un suceso que ocurre,
cuando ocurra al menos uno de esos sucesos; en tal caso se dice que ocurre la "suma de
esos eventos".
Definición 14 (de suma o unión de sucesos): Sean M y N dos sucesos de un espacio
muestral S. Se llama suma o unión de los eventos M y N al suceso que ocurre, cuando
ocurra el evento M, o cuando ocurra el suceso N, o cuando ocurran ambos M y N.
Usaremos las notaciones M∪N o M+N para la suma de los sucesos M y N, y para referirnos
al total de puntos del suceso suma la expresión N(M∪N) o N(M+N).
En la definición anterior queda establecido que a la suma de dos sucesos pertenecen los
puntos muestrales que pertenezcan a un suceso, al otro o a ambos. Las expresiones "que al
menos uno de los sucesos ocurra" o "que ocurra el suceso M o el suceso N", se emplean con
frecuencia, para referirse a la unión de estos sucesos.
Ejemplo 6 (de suma de sucesos): Sobre la base de los ejemplos 2 y 3, determine:
A∪B: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática o en Física.
(Aquí, sería lo mismo decir que esté evaluado de bien en al menos una de estas
asignaturas).
A∪B ={a1, a2, a5}, N(A∪B)=3. Observe que A∪B=B, esto se debe a que A⊂B. Además
A∪B=B∪A, ya que la suma de dos sucesos es conmutativa.
AUC: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática o en Química.
A∪C ={a1, a2, a3, a4, a5}, N(A∪C)=5. Aquí, se cumple que A∪C=S, pero C=S. Luego
cualquiera sea el suceso M, se tiene que M∪S=S
107
A∪D: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática o de regular en
Física.
A∪D ={a1, a2}, N(A∪D)=2. Aquí, tenemos que A∪D=A, pero D=φ, luego cualquiera sea M, se
cumple que M∪φ=M.
A∪E: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática o de mal en
Física.
A∪E={a1, a2, a3, a4}, N(A∪E)=4. (Recuerde que los sucesos A y E son mutuamente
excluyentes: A∩E=φ).
B∪E: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien o de regular en Física.
B∪E={a1, a2, a3, a4, a5}, N(B∪E)=5. Aquí ha sucedido que el resultado de esta suma es S,
B∪E=S: cuando esto es así, se dice que los sucesos son "exhaustivos".
Definición 15 (de sucesos exhaustivos): Sean M y N dos sucesos de un espacio muestral S.
Los eventos M y N se llaman exhaustivos, si la ocurrencia de al menos uno de ellos es el
suceso seguro. (M∪N =S).
(Cualquier suceso y su complemento siempre son exhaustivos).
(A∪B)c: que el alumno que se seleccione no esté evaluado de bien en al menos una de estas
asignaturas, esto es lo mismo que decir que no esté evaluado de bien ni en Matemática ni en
Física.
(A∪B)c={a3, a4}, N(A∪B)=2. Si usted revisa el ejemplo 5, encontrará que (A∪B)c=Ac•Bc. Esta
igualdad es válida para dos sucesos M y N cualesquiera de S.
Ac∪Bc: que el alumno que se seleccione no esté evaluado de bien en Matemática o no esté
evaluado de bien en Física. Estas dos condiciones la cumplen los alumnos a3, a4 y a5.
Ac∪Bc ={a3, a4, a5}, N(Ac∪Bc)=3. Si vuelve usted a observar el ejemplo 5, encontrará que
A∪B=(Ac∩Bc). Esta igualdad es válida para dos sucesos M y N cualesquiera de S.
Tarea IV: Sobre la base de los ejemplos 2, 3, 5 y 6 compruebe que se cumplen las siguientes
igualdades, las que se pueden generalizar para cualesquiera sucesos M y N de S:
a) N(A∪B)=N(A)+N(B)-N(A∩B).
b) N(A∪E)=N(A)+N(E), ya que A∩E=φ.
c) N(Ac∩Bc)=N(S)-N(A∪B).
6.3.
El concepto de probabilidad. Las definiciones clásica y estadística de
probabilidades. Propiedades de la probabilidad
1.- El concepto de probabilidad:
Si consultamos el diccionario Larousse, veremos que probabilidad significa "verosimilitud,
cosa probable"; a su vez, verosimilitud se define como "carácter verosímil" y verosímil es un
adjetivo, cuyo significado es "que parece cierto". Por otro lado, se expresa que probable —
que también es un adjetivo— quiere decir "que tiene apariencias de verdad. Que puede
suceder".
Pero probabilidad es también una categoría filosófica, que para los idealistas se concibe
como "una medida del grado de certeza del observador": desde luego, esto significaría que la
108
probabilidad es una medida que depende de la conciencia del observador y no de la realidad
objetiva; debido a ello es que para nosotros la probabilidad tiene otra interpretación, que ha
sido corroborada por la práctica:
"La probabilidad es la medida del grado de realización de un acontecimiento concreto,
en unas condiciones concretas y con una regularidad concreta". Dicho de otro modo, la
probabilidad es la medida cuantitativa que tiene la posibilidad de llegar a ser realidad.
La probabilidad, por otro lado, no es una medida del grado de ocurrencia de los
acontecimientos determinísticos, es decir, no es una medida de la necesidad: de aquellos
acontecimientos que ocurren por una ley establecida.
De todo lo planteado anteriormente, también debemos destacar que, una alta medida de
probabilidad no indica que, necesariamente, ese acontecimiento ocurrirá: significa sí, que el
grado de que la posibilidad se convierta en realidad, es alto. (Una valoración similar se puede
realizar para un valor bajo de la probabilidad).
2.- La definición clásica de probabilidad. Propiedades
Hasta ahora no hemos dicho cómo se calcula la probabilidad que tiene un suceso de ocurrir
(o de no ocurrir), es decir, cuál es la probabilidad de que un alumno que se seleccione al
azar, del equipo de estudio descrito con anterioridad, esté evaluado de bien en Matemática; o
cuál es la probabilidad de que no lo esté, etc., tales interrogantes serán respondidas a
continuación.
Sin embargo, queremos decir que no existe una única forma o vía matemática para calcular
la probabilidad, sino que existen diferentes maneras que se aplican atendiendo a las
particularidades del fenómeno que se investiga; una de estas vías es la definición clásica de
probabilidad, que fue la que primero se descubrió.
Definición 16 (Definición clásica de probabilidad): Sea S un espacio muestral finito y
equiprobable, y sea M un suceso aleatorio de S. La probabilidad de que el suceso M ocurra
se denota por P(M) y está dada por:
P(M ) =
N (M )
N (S )
Observación: Queremos llamar la atención en que, como el producto de dos sucesos es
también un suceso, entonces:
P( M ∩ N ) =
N (M ∩ N )
N (S )
Algo similar se puede definir para el complemento y para la suma de sucesos.
—Propiedades de la probabilidad:
Sean M y N dos sucesos de un espacio muestral S, se cumple:
1.- Para el suceso imposible φ, tenemos que N(φ)=0, luego:
P (φ ) =
N (φ )
0
=
=0
N (S ) N (S )
2.- Para el suceso seguro S, tenemos que N(S)=N(S), luego:
109
P( S ) =
N (S )
=1
N (S )
3.- Para el complemento de M, Mc, tenemos que: N(Mc)=N(S)-N(M), luego:
N (M C ) N (S ) − N (M ) N (S ) N (M )
P(M ) =
=
=
−
= 1 − P( M )
N (S )
N (S )
N (S ) N (S )
C
4.- Para los sucesos M∩Nc y Mc∩N, tenemos, respectivamente, que
N(M∩Nc)=N(M)-N(M∩N) y N(Mc∩N )= N(N)-N(M∩N), luego:
P(M ∩ N C) =
N(M ∩ N C ) N (M ) − N (M ∩ N ) N (M ) N (M ∩ N )
=
=
−
= P(M ) − P(M ∩ N )
N (S )
N (S )
N (S )
N (S )
P(M C ∩ N ) =
N (M C ∩ N ) N (N ) − N(M ∩ N ) N (N ) N (M ∩ N )
=
=
−
= P( N) − P(M ∩ N )
N (S )
N (S )
N (S )
N (S )
5.- Para el suceso M U N, tenemos que: N(M∪N)=N(M)+N(M)-N(M∩N),luego:
N (M ∪ N ) N (M ) + N ( N ) − N (M ∩ N ) N (M ) N ( N ) N (M ∩ N )
=
=
+
−
N (S )
N (S )
N (S ) N (S )
N (S )
= P ( M ) + P ( N ) − P( M ∩ N )
P( M ∪ N ) =
(Regla de la suma de dos sucesos).
Observación: Si los sucesos M y N son mutuamente excluyentes (M∩N=φ), entonces P(M∩N)=0 y se tiene que:
P(M∪N)=P(M)+P(N).
6.- Para el suceso Mc∩Nc, tenemos que: N(Mc∩Nc)= N(S)-N(M∪N), luego:
P(M C ∩ N C ) =
N ( M C ∩ N C ) N ( S ) − N (M ∪ N ) N (S ) N ( M ∪ N )
=
=
−
= 1 − P(M ∪ N )
N (S )
N (S )
N (S )
N (S )
7.- Para los sucesos M y N, si M⊂N, tenemos que: N(M)≤N(N), de donde:
N (M ) N ( N )
≤
, por tanto: P(M)≤P(N).
N (S )
N (S )
Observaciones:
⎯Si M es subevento de N, entonces P(M)≤P(N).
⎯Si P(N)>P(M), entonces N no es subevento de M.
⎯Si M no es subevento de N, entonces P(M) puede ser o no, menor o igual que P(N).
⎯Si P(M)≤P(N), entonces M puede ser o no, subevento de N.
Ejemplo 7 (sobre cálculo de probabilidades): Considerando el equipo de estudio descrito en
el ejemplo 2, calcule la probabilidad de los siguientes sucesos:
1) A: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática.
2) B: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Física.
3) C: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Química.
110
4) D: que el alumno que se seleccione esté evaluado de regular en Física.
5) E: que el alumno que se seleccione esté evaluado de mal en Física.
6) Ac: que el alumno que se seleccione no esté evaluado de bien en Matemática.
7) Bc: que el alumno que se seleccione no esté evaluado de bien en Física.
8) Cc: que el alumno que se seleccione no esté evaluado de bien en Química.
9) Dc: que el alumno que se seleccione no esté evaluado de regular en Física.
10) Ec: que el alumno que se seccione no esté evaluado de mal en Física.
11) A∩B: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática y en Física.
12) A∩C: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática y en
Química.
13) A∩E: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática y de mal en
Física.
14) A∩D: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática y de regular
en Física.
15) A∩Bc: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática y no lo
esté en Física.
16) Ac∩B: que el alumno que se seleccione no esté evaluado de bien en Matemática, pero sí
lo esté en Física.
17) (A∩B)c: que el alumno que se seleccione no esté evaluado de bien en Matemática y
Física, o lo que es lo mismo, que no esté evaluado de bien en ambas asignaturas.
18) A∪B: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática o en Física.
(Aquí sería lo mismo decir que esté evaluado de bien en al menos una de estas asignaturas).
19) A∪C: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática o en
Química.
20) A∪D: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática o de regular
en Física.
21) A∪E: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática o de mal en
Física.
22) B∪E: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien o de regular en Física.
23) (A∪B)c: que el alumno que se seleccione no esté evaluado de bien en al menos una de
estas asignaturas, esto es lo mismo que decir que no esté evaluado de bien ni en
Matemática ni en Física.
24) Ac∩Bc: que el alumno que se seleccione no esté evaluado de bien ni en Matemática ni en
Física.
25) Ac∪Bc: que el alumno que se seleccione no esté evaluado de bien en Matemática o no
esté evaluado de bien en Física.
Solución: De los ejemplos anteriores tenemos que:
Según el ejemplo 2: N(S)=5.
111
Según el ejemplo 3: N(A)=2, N(B)=3, N(C)=N(S)=5, N(D)=N(φ)=0 y N(E)=2.
Según el ejemplo 4: N(Ac)=3, N(Bc)=2, N(Cc)=0, N(Dc)=5 y N(Ec)=3
Según el ejemplo 5: N(A∩B)= 2, N(A∩C)= 2, N(A∩E)=0, N(A∩D)=0, N(Ac∩B)=1, N(A∩Bc)=0,
N(Ac∩Bc)=2, N(A∩B)c=3.
Según el ejemplo 6: N(A U B)= 3, N(A U C)= 5, N(A U D)= 2,
N(A∪E)c=4, N(B∪E)=5, N(A∪B)=2, N(Ac∪Bc)=3.
⎯Los incisos del 1 al 5, se resuelven aplicando directamente la definición 16 (definición
clásica de probabilidad), y los resultados de los ejemplos 2 y 3:
P(M ) =
N (M )
N (S )
1) P ( A) =
N ( A) 2
= = 0,4
N (S ) 5
2) P ( B ) =
N ( B) 3
= = 0,6
N (S ) 5
3) P(C)=1, (C = S); 4) P(D)=0, (D=φ); 5) P(E)=0,4, (Como P(A)=P(E), los sucesos A y E son
"equiprobables")
⎯Los incisos del 6 al 10 se resuelven aplicando directamente la definición 16 y los
resultados del ejemplo 4, o la propiedad 3 de la probabilidad y los resultados de los incisos
del 1 al 5, de este ejemplo:
6) P(Ac)=.6, (Aplicando la definición).
Otra vía: P(Ac)= 1-P(A)=1 -0,4=0,6, (Aplicando la propiedad 3 de la probabilidad y el
resultado del inciso 1).
Observación: En realidad, esta última vía de solución es la que tiene mayor aplicación
práctica; debido a ello, es que la emplearemos en los siguientes incisos: dejaremos de tarea
los incisos 8, 9 y 10.
7) P(Bc)=1-P(B)=1-0,6=0,4, (Usando el resultado del inciso 2).
⎯Los incisos del 11 al 14 se resuelven, aplicando directamente la fórmula dada en la
observación correspondiente a la definición 16 y los resultados del ejemplo 5: el inciso 14
queda de tarea.
11) P(A∩B)=0,4, (Observe que P(A∩B)≠P(A)P(B), es decir 0,4≠(0,4)(0,6)).
12) P(A∩C)=0,4, (Observe que P(A∩C)=P(A)P(C), es decir 0,4=(0,4)(1)).
13) P(A∩E)=0 (Recuerde que A∩E=φ)
⎯Los incisos 15 y 16 se resuelven, aplicando directamente la fórmula dada en la
observación correspondiente a la definición 16 y los resultados del ejemplo 5, o aplicando la
propiedad 4 de la probabilidad y los resultados de los incisos 1 ó 2 y 11, de este ejemplo.
Mientras que, en el ejemplo 17 podemos aplicar la observación de la definición 16 y uno de
los resultados del ejemplo 5, o la propiedad 3 de la probabilidad y el resultado del anterior
inciso 11.
15) P(A∩Bc)=0. (Aquí usamos la observación de 16 y el resultado del ejemplo 5).
Otra vía: P(A∩Bc)=P(A)-P(A∩B)=0,4-0,4=0. (Aquí usamos la propiedad 4 y los resultados de
112
los anteriores incisos 1 y 11: en realidad, lo que más frecuente se hace en la práctica es
aplicar esta propiedad; es por eso que, el próximo inciso solo lo haremos por esta vía).
16) P(A∩Bc)=P(B)-P(A∩B)=0,6-0,4=0,2. (Aquí usamos los resultados de los anteriores
incisos 2 y 11).
17) P(A∩B)c=1-P(A∩B)=1-0,4=0,6. (Aquí usamos la propiedad 3 y el resultado del anterior
inciso 11).
⎯Los incisos del 18 al 22 se resuelven, aplicando directamente la fórmula dada en la
observación correspondiente a la definición 16 y los resultados del ejemplo 6, o aplicando la
propiedad 5 de la probabilidad y los resultados de los anteriores incisos del 11 al 14: los
incisos 19, 20 y 22 quedan de tarea.
18) P(A∪B)=0, 6 (Aquí usamos la observación 5 definición 16 y el resultado del ejemplo 6).
Otra vía: P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=.4+.6-.4=.6 (Aquí usamos la propiedad 5 de la
probabilidad y los resultados de los anteriores incisos 1, 2 y 11).
21) P(A∪E)=P(A)-P(E)+P(A∩E)=0,4+0,4-0=0,8 (Aquí se da el hecho de que A∩E=φ, luego
P(A∪E)=P(A)+P(E)).
⎯Los incisos 23, 24 y 25 se resuelven, aplicando directamente la fórmula dada en la
observación correspondiente a la definición 16 y los resultados de los ejemplos 6, 5 y 6
respectivamente; o aplicando las propiedades 3, 6 y 5 de la probabilidad, respectivamente, y
los resultados de los anteriores incisos 18, 6, 7 y 24.
(Usaremos las propiedades en nuestra solución).
23) P(A∪B)c=1-P(A∪B)=1-0,6=0,4. (Aplicando la propiedad 3 y el resultado del anterior inciso
18).
24) P(Ac∩Bc)=1-P(A∪B)=1-0,6=0,4. (Aplicando la propiedad 6 y el resultado del anterior
inciso 18).
Observación: A causa de que (A∪B)c=Ac∩Bc, los resultados de los anteriores incisos 23 y 24
son iguales, es decir, se ha resuelto el mismo problema por dos vías diferentes.
25) P(Ac∪Bc)= P(Ac)+P(Bc)+P(Ac∩Bc)=0,6+0,4-0,4=0,6. (Aplicando la propiedad 5 y los
resultados de los anteriores incisos 6, 7 y 24).
Observación: A causa de que Ac∪Bc=(A∩B)c, los resultados de los anteriores incisos 25 y 17
son iguales, es decir, se ha resuelto el mismo problema por dos vías diferentes.
5.- La definición estadística de probabilidades. Propiedades
Como se ha visto, para calcular la probabilidad de un suceso aplicando la definición clásica
de probabilidades, no es necesario tener que realizar el experimento, es decir, es un modo "a
priori" de calcular la probabilidad; sin embargo, esta definición tiene las desventajas de que
para poderla aplicar el espacio muestral tiene que ser, en primer lugar, finito; y en segundo
lugar, equiprobable. Otra definición de probabilidad que es usada en la práctica es la
"definición estadística", pero su aplicación requiere que se haya realizado el experimento.
Definición 17 (Definición estadística de probabilidad): Sea N la cantidad de veces que se
realiza (o que se repite) un experimento, y sea M —llamado frecuencia absoluta—, la
cantidad de veces que se observa un suceso A en las M realizaciones de este experimento.
113
Al número M
N
se le llama frecuencia relativa de ocurrencia del suceso A.
En símbolos: f r ( A) =
M
N
La frecuencia relativa de un suceso representa la probabilidad que tiene ese suceso de
ocurrir solo si N es un número suficientemente grande.
Observación: La frecuencia relativa de un suceso cumple las mismas propiedades que la
probabilidad.
Ejemplo 8: De una escuela que tiene 800 alumnos se seleccionaron 600, de modo aleatorio,
y se observó que 560 de ellos son de bajos rendimientos docentes en las "ciencias". ¿Cuál
es la frecuencia relativa de alumnos de esta escuela que tienen problemas en las "ciencias"?
Solución: N= 600, M= 560 (frecuencia absoluta).
560
= 0,9333 . En este caso como N es grande, (N=600) la frecuencia relativa se
600
considera la probabilidad que tiene el suceso de ocurrir.
f r ( A) =
6.4.
Definición de probabilidad condicional. Regla del
independientes. Reglas de la Probabilidad Total Y de Bayes.
producto.
Sucesos
1.- La definición de probabilidad condicional
Retomemos el ejemplo del equipo de estudio que venimos tratando:
Ejemplo 9: De un equipo de estudio integrado por 5 alumnos se sabe que 2 están evaluados
de bien en Matemática, 3 lo están en Física y 2 lo están en ambas asignaturas. Si selecciona
al azar un alumno de ese equipo de estudio, cuál es la probabilidad de que:
a) esté evaluado de bien en Matemática, si se sabe que lo está en Física.
b) esté evaluado de bien en Física, si se sabe que lo está en Matemática.
c) esté evaluado de bien en Matemática, si se sabe que no lo está en Física.
d) no esté evaluado de bien en Matemática, si se sabe que no lo está en Física.
Solución: En el ejemplo 3 describimos los sucesos:
A: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Matemática.
B: que el alumno que se seleccione esté evaluado de bien en Física.
Además:
P(A)=0,4, P(B)=0,6, P(A∩B)=0,4, P(Ac)=0,6, P(Bc)=0,4, P(A∩Bc)=0 y P(Ac∩Bc)=0,4. (Todos
estos resultados se obtuvieron en el ejemplo 7)
Fijémonos que en el inciso a, se desea calcular la probabilidad de que ocurra el suceso A,
bajo la condición de que ya ha ocurrido el suceso B, para ello tenemos la siguiente definición:
Definición 18 (Definición de probabilidad condicional): Sean M y N dos sucesos de un
espacio muestral S. La probabilidad condicional de que ocurra el suceso M, si ha ocurrido el
suceso N, se denota por P(M/N) y si P(N)≠0, entonces:
114
N (M ∩ N )
N (N )
P(M / N ) =
Observación: La probabilidad condicional cumple las mismas propiedades que la
probabilidad clásica, además:
P( N / M ) =
P( M ∩ N )
, si P(M)≠0.
P( M )
Aplicando esta definición, podremos resolver este ejemplo:
a) P ( A / B ) =
P ( A ∩ B ) 0,4
=
= 0,6667
P( B)
0,6
P( A ∩ B) 0,4
=
=1
P ( A)
0,4
b) P ( B / A) =
Observación: P(A/B)≠P(B/A) por lo general.
c) P ( A / B C ) =
P( A ∩ B C )
0
=
=0
C
0,4
P( B )
d) P ( A C / B C ) =
P ( A C ∩ B C ) 0,4
=
=1
0,4
P( B C )
2.- Regla del producto
Si en la fórmula de la probabilidad condicional despejamos P(M∩N), tenemos que:
P(M∩N)=P(M/N)P(N)=P(N/M)P(M), expresión que se conoce como "regla del producto de la
probabilidad".
Ejemplo 10: La probabilidad de que un alumno de una escuela sea de primer año es de 0,7 y
la probabilidad de que participe en las actividades extraescolares, si es de primer año es de
0,4. Además se conoce que la probabilidad de que un estudiante de la escuela participe en
estas actividades es de 0,5. Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar
de esa escuela:
a) no sea de primer año.
b) sea de primer año y no participe en las actividades extraescolares.
c) sea de primer año o participe en las actividades extraescolares.
Solución: Primeramente debemos denotar y describir los sucesos. Resolveremos el inciso b y
dejaremos de tarea los otros dos.
A: que el alumno que se seleccione sea de primer año.
B: que el alumno que se seleccione participe en las actividades extraescolares.
P(A)=0,7, P(B/A)=0,4, P(B)=0,5
b)
P(A∩Bc)=P(A)-P(A∩B)=0,7-?,
P(A∩Bc)=0,7-0,28=0,42.
pero
P(A∩B)=P(B/A)P(A)=(0,4)(0,7),
luego:
6.5. Sucesos independientes.
En ocasiones se cumple que la probabilidad de que ocurra un suceso no está "afectada" por
la ocurrencia de otro suceso, en tal caso se tiene la siguiente definición:
Definición 19 (de sucesos independientes): Sean M y N dos sucesos de un mismo espacio
muestral S. Los eventos M y N son independientes si y solo si P(M/N)=P(M), o bien
115
P(N/M)=P(N). (Si la igualdad no se cumple se dice que los sucesos son dependientes o no
independientes).
Observaciones:
—Si los sucesos son de dos espacios muestrales diferentes, entonces siempre cumplirán la
igualdad anterior, es decir, siempre son independientes.
—Si los sucesos M y N son independientes, la regla del producto se expresa como
P(M∩N)=P(M)P(N).
—Si los sucesos M y N son independientes, también lo son M y Nc, Mc y N, y, Nc y Mc, y se
cumple que: P(M∩Nc)= P(M)P(Nc), P(Mc∩N)=P(Mc)P(N) y P(Mc∩Nc)=P(Mc)P(Nc).
—Si M≠φ y N≠φ, se cumple que:
1) si M∩N=φ, entonces M y N son dependientes.
2) si M y N son independientes, entonces M∩N≠φ.
3) si M∩N≠φ, entonces M y N pueden ser independientes o no.
4) si M y N son dependientes, entonces M y N pueden ser mutuamente excluyentes o no.
Ejemplo 11: La probabilidad de que un estudiante del grupo A participe en un trabajo
productivo es de .5, mientras que la probabilidad de que lo haga uno del grupo B es de .6. Si
se selecciona aleatoriamente un alumno de cada grupo, cuál es la probabilidad de que:
a) el del grupo B no participe en el trabajo.
b) ambos participen en el trabajo productivo.
c) el del grupo A participe y el del grupo B no.
d) el del grupo A participe, si el del grupo B lo hace también.
e) al menos uno de los alumnos participe en el trabajo.
f) ni el del grupo A ni el del grupo B participen.
Solución: Lo primero es denotar y describir los sucesos:
A: que el alumno del grupo A participe en el trabajo productivo.
B: que el alumno del grupo B participe en el trabajo productivo.
P(A)=.5, P(B)=.6
Observación: como los sucesos A y B son de dos espacios muestrales diferentes, son
independientes.
a) P(Bc)=1-P(B)=1-0,6=0,4.
b) P(A∩B)=P(A)P(B)=(0,5)(0,6)=0,30. (Efectivamente P(A∩B)≠0, ya que A y B son
independientes)
c) P(A∩Bc)=P(A)P(Bc)=(0,5)(0,4)=0,20. (Aquí se hubiese podido aplicar la propiedad:
P(A∩Bc)=P(A)-P(A∩B)).
d) P(A/B)=P(A)=0,5. (Por ser A y B independientes: el mismo resultado se obtiene si se usa
la definición de probabilidad condicional).
Los dos últimos incisos quedan de tarea.
116
3.- Reglas de la probabilidad Total y de Bayes
Analicemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 12: El primer año de la carrera de Matemática-Computación tiene una matrícula de
40 alumnos, distribuidos en dos grupos (A y B) en cantidades iguales. En el grupo A hay 12
militantes de la UJC y en el grupo B hay 18. Se selecciona al azar un alumno de primer
año de dicha carrera, cuál es la probabilidad de que:
sea del grupo A.
sea del grupo B.
sea militante de la UJC, si es del grupo A.
sea militante de la UJC, si es del grupo B.
sea militante de la UJC.
sea del grupo A, si se sabe que es militante de la UJC.
Sea del grupo B, si se sabe que no es militante de la UJC.
Solución: Lo primero es denotar y describir los sucesos:
A: que el estudiante seleccionado sea militante de la UJC.
B1: que el estudiante seleccionado sea del grupo A.
B2: que el estudiante seleccionado sea del grupo B.
Datos: N(S)=40, N(B1)=20, N(B2)=20
Observe que B1∪B2=S (son sucesos exhaustivos) y B1∩B2=φ (son mutuamente excluyentes)
Aplicando la definición clásica de probabilidades: P(B1)=20/40=1/2=0,50.
Aplicando la definición clásica de probabilidades: P(B2)=20/40=1/2=0,50.
Se desea calcular la probabilidad del suceso A, con la condición de que B1 ha ocurrido:
P(A/B1)=12/20=0,60.
P(A/B2)=18/20=0,90.
e) En este caso se desea calcular la probabilidad del suceso A, que está relacionado con los
eventos B1 y B2.
A= A•B1∪A•B2
P(A)=P(A•B1∪A•B2)
P(A)=P(A•B1)+P(A•B2) aplicando la regla de la multiplicación
P(A)=P(A/B1)P(B1)+P(A/B2)P(B2) (Regla de la probabilidad Total para dos sucesos)
=(12/20)(1/2)+(18/20)(1/2)
=0,30+0,45
=0,75
—Generalización de la regla de la probabilidad Total: sean A y B1, B2,..., BN sucesos de un
espacio muestral S, con las condiciones de que los eventos Bi (i=1, 2,..., N) sean
117
mutuamente excluyentes dos a dos y exhaustivos. La probabilidad de que ocurra el suceso A
está dada por:
N
P(A)=P(A/B1)P(B1)+P(A/B2)P(B2)+...+P(A/BN)P(BN)= P ( A) = ∑ P ( A / Bi ) P ( Bi )
(Regla
de
la
i =1
probabilidad Total).
f) En este caso, se trata de una probabilidad condicional P(B1/A) Aplicando la definición de
P( B1 • A)
probabilidad condicional: P( B1 / A) =
, por la regla del producto, se llega a:
P( A)
P( A / B1 ) P( B1 )
, las probabilidades del numerador y el denominador ya fueron
P ( B1 / A) =
P ( A)
calculadas en el inciso anterior. (esta fórmula se conoce con el nombre de Regla de Bayes
para dos sucesos).
Sustituyendo en esta fórmula, se obtienen el resultado pedido: P ( B1 / A) =
0,30
= 0,40 .
0,75
(El inciso g queda de tarea).
—Generalización de la regla de Bayes: considerando las mismas condiciones dadas en la
generalización
de
la
regla
de
la
probabilidad
Total,
se
tiene
que:
P ( A / Bi ) P ( Bi )
P( A / Bi ) P( Bi )
P ( Bi / A) =
= N
P ( A)
∑ P( A / Bi ) P( Bi )
i =1
EJERCICIOS PARA COMPROBAR TUS CONOCIMIENTOS
1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado?
2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un 4 al tirar dos veces un dado?
3. En una escuela el 60% de los alumnos están acreditados. ¿Cuál es la probabilidad :
a) de que un alumno seleccionado al azar esté acreditado?
b) de que en un grupo de 4 alumnos seleccionados al azar, los 4 estén acreditados?
c) de que al menos 1 alumno en un grupo de 4 esté reprobado?
4. Se desea escoger una escuela para una prueba. En la tabla siguiente se clasifican
según la región y el tipo de escuela.
Ubicación Urbana Rural Total
Norte
25
50 75
Sur
20
30 50
Total
45
80 125
¿Cuál es la probabilidad de escoger una escuela:
a) al Norte
b) al Sur
c) Rural al Norte
d) Urbana al Sur?
e) ¿Son independientes la ubicación y el tipo?
118
5. La siguiente tabla es una clasificación de los empleados de una Universidad, según la
ocupación y la edad:
Ocupación
Administración
Docente
Personal
de
apoyo
20 - 30
2
1
16
31 - 40
24
40
20
41 - 50
16
36
14
51 ó +
17
28
2
¿Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar:
a) esté en la administración o tenga más de 51 años
b) no sea miembro del cuerpo docente
c) sea miembro del cuerpo docente si tiene más de 41 años?
d) ¿Son independientes los criterios?
6. Calcula la probabilidad de obtener dos caras tras cinco lanzamientos de una moneda no
trucada. ¿Coincide con la probabilidad de obtener 20 caras tras 50 lanzamientos de la misma
moneda?
7. Se extrae una bola de un bombo que cuenta con 999 bolas iguales numeradas del 1 al
999. Calcular la probabilidad de que la bola extraída sea la no1. Supongamos que tras cada
extracción se repone la bola extraída. Calcula entonces la probabilidad de que, tras diez
extracciones, las bolas seleccionadas sean las números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 (en este
mismo orden).
8. Se lanzan dos veces un par de dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener totales de 7 y
11?
9. Una urna contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes. Se extrae una bola al azar.
Determina la probabilidad de que:
a) Sea roja, b) Sea amarilla, c) Sea verde, d) No sea roja, e) Sea roja o verde, f) No sea
verde, g) Sea roja, verde o amarilla.
10. Se lanzan tres monedas al aire. Calcula la probabilidad de que: a) haya al menos una
cara, b) hayan al menos dos caras, c) hayan caras o cruces.
11. Sean A y B dos sucesos aleatorios de un espacio muestral, tal que p(A) = 3/8, p(B) = 1/2
y p(A B) = 1/4. Se pide: a) p(A B), b) p(A), c) p(B).
12. Halla la probabilidad de que la suma de los puntos de las caras visibles de un dado que
se lanza al azar sea múltiplo de 5.
13. Halla la probabilidad de que al extraer dos cartas de una baraja de 40 cartas sean dos
ases.
14. En una bolsa hay 50 bolas numeradas del 1 al 50. a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar
una bola cuyo número sea múltiplo de 2? b) ¿Y múltiplo de 5?
119
15. Se tiene una urna compuesta por 20 bolas rojas y 15 blancas. Se extraen con
reemplazamiento dos bolas al azar. a) Halla la probabilidad de que ambas sean rojas. b)
Halla la probabilidad de que una sea roja y la otra blanca.
16. Ídem que en el problema anterior, pero suponiendo que las extracciones son sin
reemplazamiento.
17. De una baraja española de 40 cartas se extraen simultáneamente 2 cartas. Halla la
probabilidad de: a) Que sean ambos oros. b) Que ninguna sea copas.
18. La probabilidad de que un hombre viva dentro de 30 años es de 1/5 y la probabilidad de
que su mujer viva transcurridos 30 años es 3/7. Pasados 30 años hallar:
a) Probabilidad de que vivan ambos
b) Probabilidad de que sólo viva la mujer
c) Probabilidad de que sólo viva el hombre
d) Probabilidad de que no viva ninguno de los dos.
19. El 60% de los habitantes de una ciudad lee el periódico A; el 45%, el B y el 20% ambos.
¿Qué % no lee ninguno?
20. Según el Servicio Meteorológico, en Valdemorillo hay una probabilidad 0,4 de que haga
frío; 0,6 de que llueva o haga frío y 0,1 de que llueva y haga frío. ¿Cuál es la probabilidad de
que me moje si salgo a la calle sin paraguas?
21. Halla la probabilidad de que al lanzar tres dados se obtenga una suma inferior a 17.
22. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Un
día sólo asisten 44. Calcúlese la probabilidad de que la persona que falte sea: a) hombre, b)
mujer, c) hombre rubio, d) mujer morena, e) hombre moreno o mujer rubia, f) hombre rubio o
mujer morena, g) hombre o mujer, h) persona pelirroja.
23. Tiramos un dado y extraemos una carta de la baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que
salga número par en el dado y una carta de bastos?
120
Bibliografías de las cuales fueron tomados los contenidos de los diferentes capítulos
para la realización de esta compilación.
1. Cruz, M. y Campano, A. E. (2007). El procesamiento de la información en las
investigaciones educacionales. La Habana: Edición Cubana. Cuba. (para la
elaboración del epígrafe 4.2 del capítulo 4).
2. González A. y Fuentes, A. (2001). Lecciones de Probabilidades y Estadística. Instituto
Superior Pedagógico “José de la Luz y Caballero. Holguín. Cuba. (para la elaboración
de los capítulos 5 y 6).
3. Lima, S. (2006). Folleto de Estadística. Instituto Central de Ciencias Pedagógicas. La
Habana. Cuba. (para la elaboración de los capítulos 1, 2 y 3 y del epígrafe 4.1 del
capítulo 4).
4. Marco, R. y Ortiz, S. (2007). Colección de problemas de Estadística Descriptiva.
Universidad Autónoma de Madrid. España.
Compiladores:
-
Juan Enrique García La Rosa, Doctor en Ciencias Pedagógicas, Profesor de
Matemática y Profesor Auxiliar de la Universidad Pedagógica “Frank País García” de
Santiago de Cuba, Cuba.
Jesús Barreto Molina, Doctor en Ciencias Matemáticas, Profesor de Matemática y
Profesor Auxiliar de la Universidad Pedagógica “Félix Varela” de Villa Clara, Cuba.
José Manuel González Abreu, Doctor en Ciencias Pedagógicas, Profesor de
Matemática y Profesor Titular de la Universidad “Hermanos Saiz Montes de Oca” de
Pinar del Río, Cuba.
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