Números - Ministerio de Educación de Chile

Nivelación Restitutiva
Grupo
Nivel 2
2006
Matemática
Números
1º Medio
—1—
Materiales elaborados por:
FACULTAD DE EDUCACIÓN
PUC – CHILE
—2—
Datos del Alumno
Liceo
Nombre
Fecha
Curso
—3—
—4—
Sección 1
Números: Potencias, Racionales e Irracionales
Trabajando el concepto de potencia
Cuando multiplicas para dar respuesta a diferentes problemas cada uno de los números es un
factor del producto o resultado. Analiza los siguientes casos:
Un juego trae piezas con 4 formas: rectángulo, cuadrado, triángulo y círculo, cada una en 5
colores diferentes ¿Cuántas piezas tiene el juego? la solución se encuentra calculando:
4 • 5 = 20. El 4 y 5 son factores y 20 el producto.
Un material de geometría contiene fichas de 2 formas, cada ficha en 2 colores y de 2 tamaños.
¿Cuántas piezas trae el juego?
Plantea la multiplicación que resuelve el
problema.
Producto (respuesta)
¿Cuál o cuáles son los factores? ¿Cuál es el producto?
¿Qué otra forma hay para representar esa multiplicación?
¿Cuántas piezas trae el material?
Hay problemas que se resuelven por medio de la multiplicación de factores diferentes o bien
mediante la multiplicación sucesiva de un mismo número, es decir, mediante el desarrollo de
una potencia: 4 • 4 • 4 = 43 = 64
Encuentra el producto en cada caso. En la tabla de la izquierda lo haces mediante cálculo
escrito y en la tabla de la derecha usas calculadora científica.
Multiplicación
Potencia
Ejemplo: para calcular 53
digitas….
Y
6•6•6
63
53
10 • 10 • 10 • 10
10
7
(0,5) • (0,5)
5
7
X
3
=
Producto
125
5
95
(0,1) 2
(0,2) 3
(0,01) 2
Toma nota: El producto obtenido por medio de multiplicaciones sucesivas de un mismo número
se llama potencia. En la potencia 83, 8 es la base y 3 el exponente. La base se multiplica por sí
misma tantas veces como lo indica el número del exponente.
—5—
Recuerda… La adición sucesiva de un mismo número es frecuente expresarla o puede
expresarse mediante un producto, por ejemplo:
12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 7 • 12 = 84
La operación y resultado de la adición anterior no es lo mismo que multiplicar sucesivamente
12 por sí mismo 7 veces:
12 • 12 • 12 • 12 • 12 • 12 • 12 = 127 = 35.831.808
¿Sabías qué?… El pueblo Babilónico utilizó la elevación a potencia como auxiliar de la
multiplicación. Por su parte, los griegos trabajaron preferentemente las potencias al cuadrado
y al cubo.
Dos cabezas piensan más que una…
En el taller de matemática, Pablo construye un cuadrado con fichas cuadradas iguales.
Según esta situación resuelve los problemas 1, 2 y 3
1. Pablo afirma que el cuadrado lo forma con 62 fichas.¿Es cierto lo dicho por él? ¿Por qué?
2.
Pablo duplica la medida del lado del cuadrado anterior ¿Qué potencia representa la
cantidad de fichas del cuadrado nuevo? ¿Cuánto aumentó su área? ¿Por qué? Dibuja en
tu cuaderno.
3. Ahora, nuestro amigo ha construido el siguiente cubo con la ayuda
de cubitos iguales. Si Pablo aumenta su base de 5 a 10 cubitos
¿Qué potencia representa la cantidad de cubitos del cubo nuevo?
¿Cuánto aumentó su volumen? ¿Por qué?
—6—
Toma nota... Entre las diferentes potencias, las de exponente 2 se dice que están elevadas
al cuadrado, así 62 se lee: seis al cuadrado o también seis elevado a la segunda potencia,
análogamente para las potencias de exponente 3, se dice que están elevadas al cubo, por
ejemplo 93 se lee: nueve al cubo o nueve elevado a la tercera potencia.
Trabajando con propiedades
A continuación estudiaremos algunas propiedades importantes de las potencias. En la actividad
que desarrollarás a continuación puedes usar calculadora.
Imagina que deseamos calcular el área de un cuadrado de lado 23 unidades ¿Cuántas unidades
cuadradas tiene su área? Expresa los resultados usando potencias.
El área de un cuadrado se calcula multiplicando lado
por lado, es decir:
2
3
23 •
23 = (2 • 2 • 2 ) • (2 • 2 • 2)
=
8
•
8
=
64
Del desarrollo e igualdad anterior podemos concluir:
23 • 23 = (2 • 2 • 2 ) • (2 • 2 • 2)
23 • 23 = 26
23
¿Estás de acuerdo con esta conclusión? ¿Por qué?
¿Qué procedimiento tendrías que realizar para calcular las unidades cuadradas que tiene la
siguiente figura?
32
33
—7—
Observa el procedimiento empleado para el área de la figura anterior y responde: ¿qué observas
nuevamente?
Toma nota... Recuerda que para multiplicar potencias de igual base se conserva la base y se
suman los exponentes.
Veamos ahora el siguiente caso, se quiere calcular el área de la siguiente figura expresando los
cálculos mediante el desarrollo de potencias.
23
33
1. ¿Qué operación planteas para calcular? ¿Cuál es el área del rectángulo?
2. ¿Qué tienen en común las potencias que representan las medidas del largo y el ancho?
Según las respuestas anteriores, resuelve para verificar la igualdad:
33 • 23 = (3 • 2) 3 ¿Se cumple? ¿y para otros casos?
Comparte tus conclusiones y escribe una regla que permita multiplicar potencias de diferente
base, pero de exponente común. Ayúdate con los siguientes ejemplos:
a) 52 • 42 = (5 • 4) 2
25 • 16 = 202
400 = 400
b) 24 • 34 = (2 • 3)4
16 • 81 =
64
1.296 = 1.296
—8—
¡A investigar!
Consulta a tu profesor por material donde puedas averiguar que otras propiedades se cumplen
para las potencias, en particular considera inicialmente la división de potencias de igual base y
la división con distinta base, pero exponente común.
Toma nota… Recuerda que para multiplicar potencias de distinta base y exponente común se
multiplican las bases y se conserva el exponente.
(a • b) n = an • bn
Variación exponencial
Hemos recordado el concepto de potencia. Otra forma de representar, para calcular potencias
es la que trataremos a continuación:
•
Retomemos el problema que preguntaba por la cantidad de piezas del material de
geometría (pág. 2). La operación que dio solución a él fue 2 x 2 x 2 = 8 = 23
Observa ahora la siguiente representación. En ella se organizan las piezas según sus atributos:
2 formas, 2 colores y 2 tamaños.
RO
T
AZ
T: Triángulo
R: Rectángulo
RO: Rojo
AZ: Azul
GR: Grande
CH: Chico
RO
R
AZ
GR
CH
El diagrama representa de una forma diferente el
desarrollo de: 2 • 2 2 = 8 = 23 ¿Qué ventaja(s) le
encuentras?
GR
CH
GR
CH
GR
CH
¿Qué variación exponencial experimenta la cantidad de
piezas al incorporar un cuarto atributo: piezas delgadas
y gruesas? Calcula.
—9—
Veamos otro caso aplicado a la ciencia:
“Un laboratorio lleva el registro de que por cada media hora una célula madre reproduce 2
células hijas. Si la reproducción comenzó a las 08:30 hrs. AM”.
Tiempo
08:30
09:00
09:30
10:00
10:30
….
09:00 Hrs.
Desarrollo
1
1•2
2•2
2•2•2
2•2•2•2
………
Nº de células
20
21
22
1. Según el diagrama ¿A qué hora hay 8 células hijas?
2. Completa la tabla y calcula ¿cuántas células hijas habrá a las 14:00 hrs? ¿y, a las 24 hrs?
¿Qué variación exponencial experimenta la reproducción?
Toma nota... El diagrama de árbol corresponde a un tipo de representación gráfica que permite,
visualizar mediante sus extensiones o ramas, el crecimiento o aumento exponencial que
experimenta un número.
Potencias de exponente cero
Según las respuestas del trabajo anterior, busquemos una explicación que permita comprender
por que toda cantidad distinta de cero y elevada a cero, es igual a la unidad (1), en otras
palabras, ¿por qué?
20 = 1
Observa el siguiente caso:
Nos plantearemos resolver la siguiente división.
i) 52 : 52 =
— 10 —
Otro procedimiento para calcular 52 : 52 es aplicando la propiedad de la división de
potencias de igual base, donde
por lo tanto:
ii) 52 : 52 =
Finalmente, por procedimientos planteados en (i) y (ii) podemos establecer que:
52 : 52 =
Igual resultado se obtendrá para el caso:
23 : 23 =
Así, generalizando, podemos formular la siguiente propiedad:
Trabaja con lo aprendido... Lee y resuelve utilizando diagrama de árbol.
Paulo envía por Internet un mensaje a 4 amigos solicitando ayuda solidaria para la compra de un
medicamento muy costoso que deben administrarle a su hermano. Los compromete para que al día
siguiente envíen el mensaje a 4 amigos más cada uno. Estos, se comprometen para enviar el mensaje al
día siguiente a 4 amigos más cada uno y así sucesivamente. Si los involucrados respetan el procedimiento
¿cuántas personas reciben el mensaje a los 5, 6, 7, 8, 9 y 10 días?
Confecciona en tu cuaderno una tabla de doble entrada para organizar y presentar tus resultados.
— 11 —
Sabías que… Cuando las bacterias y otras células alcanzan
un tamaño y un metabolismo crítico, se dividen y forman dos
células hijas idénticas. Una bacteria puede llegar a dividirse
cada seis minutos, y su colonia crecer de forma exponencial.
Hasta aquí has trabajado diferentes formas o procedimientos para el cálculo de una potencia:
la usual, mediante una multiplicación sucesiva, aplicando modelos geométricos y diagramas de
árbol.
Dos cabezas piensan más que una…
Los empleados de un laboratorio reciben dos ofertas de incentivo económico. La primera plantea
partir con $20.000 en la primera semana, los que aumentaran semanalmente en $ 5.000. La
segunda, considera partir con $ 5 la primera semana, y semanalmente ir triplicando lo recibido
en la semana anterior. Completa la tabla:
Semana
1
5
Oferta 01
20.000
Semana
1
Oferta 02
5
5
1. Si el convenio de incentivo económico tiene una duración de 5, 10 y 12 semanas.
¿Qué propuesta aconsejarías tomar a estos funcionarios? ¿Por qué?
2. El crecimiento numérico observado en cada tabla ¿Cómo lo defines? ¿Aditivo y/o
exponencial? Busca una explicación con ayuda de tu profesor.
— 12 —
Terminadas las actividades de Fiestas Patrias una
familia necesita guardar una lona de 24 m por lado.
¿Qué superficie total cubre la lona estirada?
Expresa tus cálculos usando potencias.
Para guardar la lona esta familia la dobla por la mitad en 6 oportunidades. Dibuja la situación
experimentada al efectuar los dobleces y escribe tus cálculos en la tabla.
23 m
23 m
24 m
24 m
La lona mide
16 metros por lado
24 m = 16 m.
Su área = 16 • 16 = 256 m2
Doblez
0
Área
2 x2
4
23 m
24 m
1º
Primer doblez
Un lado mide 8 m
y el otro 16 m.
Su área = 8 • 16 =
…
…
Al segundo doblez
cada lado mide 8 m
23 m = 2 • 2 • 2 = 8 m.
…
…
…
4
m2
1. ¿Qué área cubre la lona realizado el 6º doblez? Expresa mediante potencia.
2. ¿Qué tipo de variación exponencial experimenta el área de la lona al realizar los 6 dobleces?
¿Por qué?
— 13 —
El término regularidad en matemática significa descubrir las relaciones conceptuales o
patrones que van permaneciendo constantes. Con ayuda de tu calculadora científica completa
los productos de la tabla.
POTENCIA
PRODUCTO
?
12
X
?
Y
1
POTENCIA
=
PRODUCTO
?
(0,1) 2
(1,1) 3
(0,2) 3
(1,2)4
(0,3)4
(1,3) 5
(0,4) 5
(1,4) 6
(0,5) 6
(1,5)7
(0,6)7
(1,6) 8
(0,7)8
(1,7)9
(0,8)9
(1,8)10
(0,9)10
X
Y
?
0,01
Recuerda que…
=
Los números
decimales pueden
escribirse como
fracción, así:
(0,3) 2 =
9
100
0,09
1. Compara los productos obtenidos en ambas columnas ¿Qué diferencia estableces entre
ellos? Busca una explicación.
2. Según lo respondido, si tuvieses que formular una conjetura ¿Qué ocurre al calcular potencias
con base mayor a 1? ¿y qué sucede cuando la base es un número entre 0 y 1?
Este ejercicio de exploración permite concluir el tipo de variación exponencial experimentado en
cada caso. Conclusiones que podemos hacer extensivas a otros casos similares que además
permitirán anticipar posibles resultados. Por ejemplo, tomemos la potencia (0,1) 2 su base está
entre los valores 0 y 1 y su producto es 0,01 es decir una centésima, indudablemente este
resultado tiene relación con un decrecimiento exponencial.
Es importante señalar, que (0,1) 2 también se puede representar de la siguiente forma:
(0,1) 2 =
, por lo tanto (0,1) -2 = 10 -2
— 14 —
Observemos otro caso, a partir de 103 : 105 que es equivalente a escribir:
103 : 105 =
3
5
2
Entonces, de lo anterior se obtiene que: 103 : 105 =
2
2
Así, esta notación de potencia de base 10 con exponente negativo la
podemos extender a otras bases:
Primer ejemplo, 2-3 =
3
Para la división de
potencias de
igual base:
am: an = am – n
con:
∀ a ∈ Q ∧ m,
Pero, por la propiedad de la división de potencias de igual base,
se sabe que:
103 : 105 = 103 – 5 = 10-2, entonces se concluye que: 10- 2 =
Recuerda que…
, por lo tanto: 2-3 =
n ∈ Z
y para la
multiplicación
de potencias de
igual base:
am • an = am + n
con:
∀ a ∈ Q ∧ m,
n ∈ Z
Segundo ejemplo,
Entonces podemos concluir que: a-1 =
por lo tanto a-n =
Dos cabezas piensan más que una…
En consideración a lo desarrollado anteriormente consulta a tu profesor y responde las
siguientes preguntas:
¿Qué relación observas entre el signo negativo del exponente y el número representado en la
potencia? Por ejemplo: 3-1 =
Lee la siguiente afirmación:
“Todo número positivo se puede escribir como potencia con exponente positivo y también con
exponente negativo” ¿Estás de acuerdo con esta afirmación? ¿Por qué? :
— 15 —
¡Te invito a resolver!
Entre las siguientes potencias ¿cuál es mayor?
•
56 ó 6 5
•
(0,9)4 ó (0,4) 9
¿Qué otras conclusiones puedes obtener a partir de la pregunta anterior?
Dos cabezas piensan más que una…
En las actividades anteriores trabajaste la representación geométrica de las potencias al
cuadrado y cúbica. Observando la representación que se hace de 22 y 23 en la siguiente tabla.
Unidad patrón
Unidades por
lado.
Dibujo
Potencia
asociada.
Valor
(Cantidad de
unidades patrón)
2
22
4
2
23
8
• Investiguen cómo representar geométricamente las potencias 2-2 y 2-3
• ¿Cómo se puede representar como multiplicación iterada a 2-2 y 2-3
Te ayudaremos a partir con tu investigación. La potencia 2-2 =
entonces, si la representación geométrica de 22 es:
La representación de 2-2 es
1
4
de la
Superficie del cuadrado anterior
¿estás de acuerdo?
1
2
1
2
Ahora, continúa tú.
— 16 —
1 = 1 •
(2)2
2
1
=
2
1
4
Más Números Racionales en la vida diaria
Una información de prensa en junio de 1997,
señalaba que la producción anual aproximada de
basura en Chile era del orden de 2.560.000 toneladas.
Con ayuda de tu calculadora determina:
Las toneladas de basura promedio producidas al
al año por habitante, considerando la población
de Chile en 15 millones.
Si 1 tn. = 1.000 Kg. expresa la medida anterior en kilos de basura anual producidos por un
habitante.
Según los cálculos realizados para la primera pregunta ¿qué tipo de número apareció en
pantalla? ¿qué significado tiene ese número según el problema planteado?
¿Qué tipo de número aparece en pantalla al resolver la segunda pregunta? ¿A qué
corresponde este número de acuerdo a los datos del problema?
Toma nota.. Cuando uno utiliza la calculadora básica o científica es probable que en pantalla
aparezcan números tales como:
0,1706666666
0,1706666667
Aquí, ambas expresiones representan lo mismo en términos de cantidad, pero la primera
representa un decimal infinito semiperiódico que no ha sido redondeado sino truncado. En el
segundo caso, el número está redondeado por eso aparece el dígito 7 a la derecha.
Averigua con tu profesor qué procedimiento se puede utilizar para redondear cifras decimales
finitos o infinitos y la diferencia que esta tiene con la técnica de truncar.
Cuándo uno realiza diferentes cálculos, es muy probable que se encuentre con números
enteros y decimales: finitos e infinitos, pudiendo estos últimos ser: periódicos, semiperiódicos
o bien infinitos pero sin período. Pero, ¿cuáles son las características de estos números? ¿lo
recuerdas?
— 17 —
Con ayuda de la calculadora convierte a número decimal
las siguientes fracciones:
PRIMER GRUPO:
a)
1
= 1 : 2 = 0,5
2
b)
25
=
100
c)
75
=
10
d)
101
=
2
e)
3
=
5
f)
75
=
1.000
Recuerda que... Una
fracción decimal es aquella
cuyo denominador
corresponde a una
potencia de base 10.
Ejemplo:
25 , 15
100 10
¿Qué observas? ¿Cómo es el número decimal: finito o infinito?
ó 15 , 15
102 101
5 • 2 4
2
=
= = 0,4
5
5 • 2 10
Los divisores primos del
denominador son siempre
el 2 y el 5.
SEGUNDO GRUPO:
1
a) 2 =
b) 5 =
c)
=
9
9
9
Responde según lo observado:
¿Qué ocurre al dividir por 9? ¿Observas algún patrón?
d)
12
=
9
De acuerdo a lo descubierto ¿Cómo clasificarías a estos números decimales?
Vuelve a dividir:
a) 12 =
9
b)
15
=
9
c)
305
=
999
d)
145
=
999
¿Qué patrón o regularidad descubriste? ¿Qué explicación podrías dar para lo ocurrido?
Toma nota... Como pudiste observar en los cocientes se repite un patrón de dígitos infinitamente después de la coma. Este tipo de número decimal recibe el nombre de decimal periódico.
Una línea sobre la cifra indica el patrón.
2
= 0,2222222... = 0,2
9
15
= 0,151515... = 0,15
9
— 18 —
¡Te invito a resolver!
¿Qué ocurre si divides:
4 , 15 , 95 , 3 y 31 ?
9.000
15 90 90 900
¿Qué diferencia ves entre estos decimales y los obtenidos anteriormente? Pregunta a tu
profesor que nombre reciben estos números.
La actividad anterior permite concluir que los números decimales obtenidos, además de ser
infinitos, poseen un ante período. Estos números decimales se conocen con el nombre de
decimales semiperíodicos.
2
= -0,133333333... = -0,13
15
(Se lee: “cero coma uno tres periódico negativo”)
período
ante período
¿Recuerdas cómo se transforma un decimal infinito a fracción común?
Observa el ejemplo:
El numerador se forma
restando al número sin
El denominador se
961 coma decimal el valor
2.135 - 213
1.922
2,135 =
=
=
forma por tantos 9
obtenido entre la parte
450
900
900
como dígitos tenga el
entera y el ante período,
período, acompañado
si lo hubiese.
de tantos ceros como
dígitos tenga el ante
período.
Si el número es infinito periódico es más fácil transformar, puesto que estos no poseen ante
período, observa este segundo ejemplo:
12,5 =
125 - 12
9
=
113
9
Ahora, divide 113 por 9 ¿qué número decimal obtienes? ¡Fácil verdad!
Recuerda que... Los decimales del tipo 3,75 , 3,75...... y 3,75 no representan el mismo valor.
— 19 —
Dos cabezas piensan más que una
Una familia recorre 480,7 Km. en auto en un viaje realizado de
Santiago a La Serena. Si tardaron 6 horas en hacer el recorrido,
responde:
1. ¿Qué tipo de número obtienes al calcular 480, 7: 6? Escríbelo.
2. ¿Qué significado tiene este valor según los datos del problema?
3. Redondea el valor obtenido y según esto escribe el promedio de
kilómetros recorridos por hora
¿Sabías qué?
A propósito de la geografía y extensión de nuestro territorio. La
superficie de Chile es de 756.626 Km2 y en el habitan
aproximadamente 15.827.180 personas, según esto:
4. ¿Qué información se obtiene al realizar la siguiente operación
en la calculadora 15.827.180 ÷ 756.62 ?
La Carretera
Panamericana se
extiende desde
Alaska hasta
Sudamérica.
5. ¿Qué significado tiene el número obtenido? ¿conviene redondear?
6. En una enciclopedia se lee que la tasa de crecimiento de la
población en Chile equivale en valor decimal aproximadamente
a 10-2. Según esta información y entendiendo que la población
estimada de nuestro país al 2004 fue de 15.827.180 ¿Qué población
aproximada tendría nuestro país al término del 2005?
Recuerda que…
Para calcular la fracción
de un número se
multiplica la fracción por
el número, es decir:
a
a ⋅ n
de n =
b
b
b ≠0
— 20 —
Toma nota... Hasta aquí hemos revisado y trabajado con expresiones numéricas diversas. Las
últimas dicen relación con valores decimales finitos e infinitos: periódicos y semiperiódicos. El
ámbito numérico trabajado corresponde al de los Números Racionales. Un número racional
es todo número que se puede escribir como fracción, donde el numerador y denominador son
números enteros, con la condición de que el denominador sea distinto de 0
Este esquema ayuda a comprender quienes son números racionales.
Recuerda que...
Los números que ves en el
esquema, todos sin excepción, se
pueden escribir como:
N: Números Naturales
a
N0: Números Cardinales
N0= N U 0
b
Z: Números Enteros
, con a ∧ b ∈ Z y b ≠ 0
Por lo tanto: todo número natural,
cardinal y número entero es también
un número racional.
Q: Números Racionales
Realiza los siguientes ejercicios con ayuda de tu calculadora:
32
=
30
Al dividir
5
=
21
13
=
15
¿Qué observas nuevamente?
Ahora, presiona las teclas:
2
=
¿Qué tipo de número aparece en pantalla? ¿Será posible escribirlo como fracción? Pide ayuda
a tu profesor y resuelve este problema.
En la pantalla aparece un infinito truncado, sólo aparecen las primeras cifras decimales. El
número 2 no es racional, por lo tanto no se puede expresar como cociente de dos números
enteros y tampoco como decimal exacto o periódico, es un ejemplo de número irracional. El
número 2 ya se conocía en la época de Pitágoras. Este número se puede obtener al calcular la
longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, aplicando para ello el teorema de Pitágoras.
D
C
(AC) 2 = (AB) 2 + (BC) 2
(AC) 2 = 1 + 1
1
2
AC = 1 + 1 = 2
A
1
B
— 21 —
Otro número infinito de similares características es el siguiente:
2,202002000200002000002000000200000002…………………………………….
¿Qué secuencias de números escribirías a continuación? Como puedes ver tiene un desarrollo
decimal infinito, cumple con una regularidad o patrón pero no tiene período. A los números
decimales infinitos que cumplen con esta característica se les llama Número Irracional y a
diferencia de los Números Racionales estos no pueden escribirse de la
¿Sabías qué?
forma
Responde:
1. ¿Cuál es la diferencia fundamental entre un número decimal
infinito periódico o semiperiódico con uno irracional?
2. ¿Qué tienen en común un número decimal infinito periódico
o semiperiódico con uno irracional?
Desde la antigüedad
matemáticos filósofos y artistas
han creído en la existencia de
una razón privilegiada, que fue
llamada número áureo. Este
número es otro ejemplo de
número irracional.
Dos cabezas piensan más que una
Actividad: Representación geométrica de
Materiales: Regla, compás, lápiz y goma.
2 en la recta numérica. φ =
A continuación ejecuta los pasos para representar
numérica.
2 en la recta
Paso 01
En la recta dibuja un
cuadrado de lado 1
0
1
2
Paso 02
Traza la diagonal del cuadrado
que une el origen con el vértice
opuesto.
0
1
— 22 —
2
1 +
2
5
Paso 03
Copia con el compás la medida
de la diagonal y haciendo centro
en 0 traza el arco hasta intersectar
a la recta.
0
1
2
Paso 04
El punto de intersección con la recta
es la representación de
2
2
1
1
0
1
2
3,
2
Puedes emplear el teorema de Pitágoras para determinar raíces cuadradas en la recta
numérica. A continuación levanta una perpendicular de medida 1 teniendo como pie a 2 para
ubicar geométricamente a 3,
4 y 5 ¿Cuáles son números irracionales? Verifica con tu
calculadora y consulta a tu profesor.
¡A
investigar!
Tema de investigación: Números triangulares y cuadrados
Objetivo(s) de la investigación:
1. Conocer de forma experimental las características de los números triangulares y
cuadrados.
2. Inferir el patrón y relaciones que se establecen en la formación de los números
triangulares y cuadrados.
Técnica(s) de estudio a utilizar: Trabajo en equipo.
Materiales: 50 fichas circulares de tamaño pequeño y de un mismo color (se pueden
reemplazar por otro objeto pero manteniendo forma y color).
Cuaderno y lápiz
— 23 —
Instrucciones
1. Dispón las fichas sobre la mesa. Deberás partir siempre por una ficha, prueba a
continuación formar un triángulo con tres, seis y diez fichas respectivamente
1(ficha)
3 (fichas)
6 (fichas)
10 (fichas)
¿Fue posible? ¿Qué tipo de triángulo reconoces en cada caso?
2. ¿Cuántas fichas se necesitarán para formar los dos triángulos siguientes? Dibuja lo
obtenido en tu cuaderno.
3. Prueba a continuación formar cuadrados con las fichas. Recuerda que nuevamente
debes partir con una ficha, a continuación el procedimiento es similar al de los
triángulos.
1(ficha)
4 (fichas)
9 (fichas)
..... ((fichas)
¿Fue posible? ¿Cuántas fichas ocupaste en cada cuadrado?
4. ¿Podrías definir qué son los números triangulares y cuadrados?
5. Señala cuál es el menor número (excluyendo el 1) que puede ser un número
triangular y un número cuadrado.
6. Con ayuda de un dibujo o el material, describe un patrón o regla para determinar los
primeros diez triángulos y los diez primeros cuadrados.
— 24 —
Sección 2
Variación Proporcional
Trabajando con la información
Hoy en día recibimos importante información de diferentes ámbitos: economía, deporte, salud,
alimentación, producción y otras más ¿qué herramientas se emplean para darla a conocer?
Observa la siguiente boleta.
ESTADO DE CUENTA
CLIENTE: 675438-9987-0
m3
m3
m3
m3
m3
m3
35
30
25
20
15
10
5
o
io
Ju
li
Ju
n
ril
ay
o
M
Ab
zo
ar
M
re
En
er
o
ro
0
Consumo a pagar
22m3
Total a pagar
$ 22.450
Vencimiento 15 de julio 2006
Fe
b
Detalle de consumo………………… 3.636
Lectura actual 09 Julio 2006……… 3.614
Lectura anterior 09 junio 2006…… 22,0
Diferencia de lecturas……………… 22,0
Facturación………………………… 22,0
Uso de alcantarillado y tratamiento…22,0
Consumo de agua de los últimos 7 meses
45
40
1 m3 = 1.000 litros
1. ¿Qué tipo de gráfico se utiliza para comunicar esta información?
2. ¿En qué mes hubo mayor consumo? ¿En cuál fue menor?
3. ¿Es necesario observar los números para concluir en qué período se consumió más o menos
agua? ¿Por qué?
— 25 —
4. Observa el gráfico, estima el consumo de agua mensual de esta familia. Luego ordénalos en
la siguiente tabla de valores:
Mes
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Consumo en m3 de agua
¿Sabías qué? En todo el mundo, más de 1.000 millones de personas no tienen acceso a agua
potable. Al año 1995 la cobertura de Agua Potable en Chile era del 98%.
Organizando el consumo de luz
Según la siguiente situación:
El consumo de luz aproximado que tiene una familia durante un período del año 2005 y 2006
es el siguiente: sep 380 KWH, oct 360 KWH, nov 340 KWH, dic 280 KWH, ene 310 KWH y
febrero 390 KWH.
Trabajando con lo aprendido
1. Construye una tabla de doble entrada donde organices
la información entregada e identifiques las variables.
2. En el espacio cuadriculado construye el gráfico de barras
correspondiente a la información contenida en la tabla.
3. Redacta 5 preguntas en tu cuaderno a partir de la tabla
y el gráfico y compártelas en clase.
Primera bombilla
incandescente
inventada en 1879
por Thomas Edison
Recuerda que... Un gráfico de barras emplea barras, verticales u horizontales, para mostrar
datos numéricos. Es útil para describir y comparar valores. El largo de cada barra es medida
según la escala utilizada y su intervalo corresponde al espacio que hay entre los valores de
la escala. Por ejemplo, para la tarea puedes usar una escala de 100 200 300 400 KWH, su
intervalo es 100
— 26 —
En la economía
El siguiente gráfico está incompleto y fue construido por un contador interesado en mostrar
información acerca del valor del dólar en un período de tiempo.
590
580
570
560
550
540
530
520
510
Feb
Mar
Abr
May
Jun
Jul
Ago
Sep
Todo gráfico debe llevar escrito un título y los datos (variables) que se relacionan en él, según
esto completa la información pendiente:
1. ¿Qué título pondrías a este gráfico? ¿Por qué?
2. ¿Qué datos se organizan en el eje de las abcisas (Eje X)? ¿y en el eje de las ordenadas?
Abcisas:
Ordenadas:
3. Según el gráfico, ¿el dólar está en alza o cae en su valor? ¿Cómo te das cuenta de ello?
4. ¿Qué información extraes del punto encerrado en un recuadro? Explica.
Toma nota... Este gráfico, es conocido como gráfico de líneas o poligonal, a menudo muestra
como cambian los datos en el tiempo. Cada punto representa un elemento de los datos; su
altura indica el valor del dato y que tan lejos se haya el punto inmediatamente ubicado a su
derecha, señala el tiempo. Sus variables son el precio del dólar y el tiempo.
— 27 —
Como ves la información es necesario organizarla. Del tipo de información contenida en tablas
y de su relación, depende el tipo de gráfico a construir.
Población estimada de Chile al 2005
Población estimada en Chile 2005
3% I 7% 1%
X XI
4%
7.000.000
IV
6.000.000
10%
5.000.000
39%
4.000.000
RM
V
5%
VI
3.000.000
6%
VII
2.000.000
1.000.000
13%
VIII
1% XII
0
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
Regiones
RM
III
2%
II
3%
IX
6%
Utiliza los gráficos para responder a las siguientes preguntas:
1.
¿Qué región tiene una población de alrededor de 1 millón 500 mil habitantes? ¿Qué gráfico
empleaste para averiguarlo? ¿Por qué?
2.
¿Qué región tiene más de un tercio de la población del país? ¿Qué gráfico usaste? Explica
tus razones.
3.
¿Qué gráfico comunica mejor la población estimada para cada región? ¿Cuál ilustra mejor
la porción de población estimada de Chile? Explica.
Como puedes observar, ambos gráficos entregan información acerca de la población estimada
de nuestro país al año 2005, pero la interpretación que debes hacer en cada caso es diferente:
en el gráfico de barras se describe y comparan valores de datos, a diferencia del gráfico
circular, donde comparas cada sector o parte en relación a un todo.
¡Te desafío a resolver!
El gráfico de líneas muestra como cambian los datos en el tiempo. De acuerdo a esto, averigua
la población de Chile según los últimos 4 censos y construye en papel milimetrado el gráfico de
líneas correspondiente. ¿Por qué en esta oportunidad es conveniente usar este tipo de gráfico
y no así, uno de barra o circular? Explica.
— 28 —
Razones, proporciones y constante de proporción
En la actualidad la industria y la tecnología avanzan a pasos agigantados. Por ejemplo, alrededor
del año 1913 industrias estadounidenses emplearon cadenas de montaje para la industria del
automóvil. Esta producción en cadena (o en serie) permitía producir más vehículos en menos
tiempo y con menor costo.
Los automóviles salían de la cadena de montaje cada 10 segundos, con un ritmo anual de dos
millones. Esto hizo que Estados Unidos se motorizara de forma masiva en la década de 1920.
De la información anterior se puede concluir que:
En esa época, cada 1 minuto 6 vehículos salían de las cadenas de montaje.
Según la información anterior, escribe en la tabla las razones del tiempo empleado con respecto
a la cantidad de vehículos que salían de las cadenas de montaje.
Tiempo (minutos)
1
2
3
Cantidad de vehículos
6
Razón
1:6
…
…
…
1.
En la tabla se escribe la razón 1:6 (1 es a 6), esto significa que al cabo de 1 minuto, 6 son los
vehículos que salen de las cadenas de montaje. En cambio si planteáramos la razón como
6:1, diríamos que en 6 minutos sale de la cadena de montaje 1 vehículo, de acuerdo a esto
¿qué significado tiene la razón 2 es a 12 y 3 es a 18?
2.
Según las respuestas anteriores ¿cuántos vehículos salían cada 4, 5…y 10 minutos?
3.
Escribe tres proporciones a partir de la tabla anterior. Explica por qué cada una de ellas es
una proporción.
Toma nota... una razón se compone de dos términos: el antecedente y el consecuente. Por
ejemplo, para “1 es a 6” ó 1 : 6 el antecedente es 1 y el consecuente 6. El valor de la razón es
0,16
— 29 —
Apliquemos el significado de razón y proporción analizando el siguiente problema:
Según sus cálculos, Pedro asegura que en carretera, a
una rapidez constante de 90 Km./hr., su vehículo rinde
en promedio 12,5 Km por litro. En cambio, en ciudad
alcanza sólo 9 Km por litro a una rapidez promedio
de 55 Km/hr.
Según esta información:
Completa la tabla con ayuda de tu calculadora, si
obtienes decimales redondea a la centésima:
X: Combustible (lt)
Y: Distancia (Km.)
1
2
12,5
25
Y
=C
X
Y = C⋅ X
La tabla registra dos variables: X que representa el combustible (lt.) y la variable Y que representa
la distancia (Km.). Según esto responde en tu cuaderno:
1. ¿Qué relación puedes establecer entre las variables X e Y?
2. ¿Qué ocurre cada vez que divides Y por X?
3. ¿Qué valor tiene Y cuando X es 5? ¿y cuándo X es 10?
El siguiente gráfico describe la situación del vehículo en carretera y ciudad. Copia el gráfico en
tu cuaderno y responde:
60
50
¿Qué información registra el eje X? ¿y el eje Y?
40
¿Qué recta representa lo que ocurre en la
carretera? ¿y cuál en la ciudad? ¿Por qué?
Explica.
30
20
Según el gráfico, escribe tres conclusiones que
puedas obtener de él.
10
0
0
1
2
3
4
Vehículo en carretera
Vehículo en ciudad
5
— 30 —
Toma nota... La situación contempla dos variables, (litros de combustible consumidos y distancia
recorrida) en ambas su valor aumenta y a cada valor de una de las variables le corresponde
un valor y sólo uno en la otra. Observamos que al dividir la cantidad de kilómetros (y) por la
cantidad de combustible (x) obtenemos un valor constante al que llamamos “C”. De esto se
concluye la igualdad entre dos o más razones, es decir:
12,5
25
37,5
50
=
=
=
= 12,5
1
2
3
4
Recuerda que... Una razón es la comparación entre dos magnitudes por medio de un cociente.
Según el trabajo anterior, son razones:
12,5
se lee: “12,5 es a 1”
1
25
2
se lee: “25 es a 2”
La constante C = 12,5 es llamada constante de proporcionalidad. Según esta información,
responde:
¿Qué significa que C sea una constante?
¿Por qué C, además es llamada constante de proporcionalidad?
12,5
25
37,5
50
=
=
=
= 12,5
1
2
3
4
ejemplo su significado.
Teniendo que:
y C = 12,5 explica con ayuda de un
El trabajo anterior nos lleva a recordar algunos conceptos trabajados en años anteriores, ellos
son:
Dos razones iguales forman una proporción, por ejemplo en el caso anterior:
1
2
=
es una proporción, también se puede escribir: 1 : 12,5 = 2 : 25 y se lee:
12,5
25
“1 es a 12,5 como 2 es a 25”
Propiedad fundamental de las proporciones
Esta propiedad fundamental de las proporciones señala que: “el producto de los términos medios
es igual al producto de los términos extremos”. Según el ejemplo anterior:
1 : 12,5
= 2 : 25
a
c
=
a • d = b • c
Extremos
b
d
Medios
— 31 —
Trabaja con lo aprendido
Comprueba si las siguientes razones son iguales:
a) 18 : 2 y 27 : 4
b) 9 : 1 y 4,5 : 0,5
Calcula el valor de “n” para que se cumpla la igualdad.
c)
36
4
y
1
n
d)
25
2
y
n
4
Retomando el gráfico que ilustra la rapidez del vehículo en carretera y ciudad, responde:
60
50
40
30
2o Caso
20
10
0
0
1
2
3
4
Vehículo en carretera
Vehículo en ciudad
5
¿Puedes concluir la existencia de una constante de proporcionalidad a partir de los datos del
segundo caso? ¿Por qué?
¿Qué tipo de línea se dibuja en ambos casos? ¿Qué explicación habrá para ello? Formula una
o más conjeturas.
— 32 —
Según la información de rendimiento del auto en ciudad completa la tabla.
X: Combustible
(lt.)
Y: Distancia
(Km.)
Y
=C
X
Y = C⋅ X
Escribe las razones del gasto de combustible respecto del kilometraje recorrido.
¿Qué valor se obtiene al determinar la constante de proporcionalidad? ¿Qué significado tiene
ese número en función de los datos y situación planteada?
Conociendo la constante de proporcionalidad, a partir de la igualdad Y = C ⋅ X ,
es posible encontrar el combustible consumido al recorrer en las mismas condiciones 100, 200,
275 y 550 kilómetros. ¿Por qué?
Variación proporcional y variación no proporcional
La actividad anterior permitió observar la relación existente entre dos magnitudes. En distintas
circunstancias es frecuente escuchar expresiones como: “sí, esto es proporcional a” “hay
proporcionalidad entre ellos” o “la figura se ve proporcionada”
— 33 —
Observa las fotografías y comparte en clase:
1.
¿En qué fotografía dirías que la situación NO es proporcional? ¿Por qué? ¿Qué idea sugiere
entonces la expresión “es proporcional a”?
2.
A partir de la idea de “proporcional” y “No proporcional” señala un ejemplo donde
efectivamente la relación establecida de cuenta de ser “proporcional”
Dos cabezas piensan más que una
Has una pequeña encuesta entre tus compañeros y compañeras y averigua lo siguiente:
•
•
La edad actual de cada uno.
El peso de cada uno.
Ordena esta información en la tabla y luego responde en tu cuaderno:
Nombre del compañero
Edad
Peso (Kg.)
1. ¿Cómo son entre si las medida de peso de los compañeros?
2. ¿Podrías afirmar que si un compañero X de tu lista, a la edad de 15 años pesa, por
ejemplo 62 Kg., entonces a los 16 debería pesar más? ¿y a los 17 mucho más que a los 16
años? Y así sucesivamente. ¿por qué?
3. Pensando en el ejemplo de las fotografías ¿la relación entre las magnitudes edad y peso
serían proporcionales o No proporcionales? Explica.
— 34 —
Proporcionalidad directa
Toma nota... Volvamos al ejemplo del vehículo de don Pedro. Dicha situación representa en
ambos casos una relación de proporcionalidad directa. Observa el gráfico nuevamente.
Rapidez del vehículo en carretera y en ciudad
60
Distancia (Km)
50
40
30
25
20
18
10
9
0
0
1
2
3
4
5
Vehículo en carretera
Combustible (lt)
Vehículo en ciudad
Relacionando los datos del gráfico con las conclusiones que se enuncian a continuación:
1. Los valores aumentarán o disminuirán proporcionalmente y a cada valor de la variable
independiente (x) le corresponde un valor y sólo uno en el eje y del plano cartesiano.
Tenemos dos variables, una de las cuales (y) cambia en términos de los valores que toma la
otra (x), por ejemplo:
a. Cuando en ciudad su vehículo haya recorrido en promedio 9 Km. habrá consumido 1 litro
aproximado, si recorre 18 Km. consume 2 y así sucesivamente. ¿Cuál de las dos rectas
señala este caso.
b. Cuando en carretera su vehículo haya recorrido 12,5 Km. habrá consumido 1 litro
aproximadamente, por lo tanto, si recorre 25 Km. consume 2 litros.
2. Al dividir la cantidad de kilómetros (y) por la cantidad de litros (x) obtenemos un valor
constante para cada par de valores (x, y), al que en esta oportunidad llamamos “C”. Por
ejemplo:
•
En cada caso el valor de la razón es 9 (C = 9), es decir, por cada litro que consume el
vehículo en promedio avanza 9 kilómetros. En qué caso se cumple la razón señalada ¿en
ciudad o carretera?
3. El gráfico que muestra la variación de “x” e “y” es una recta. Como c es mayor a 0, entonces
la recta es ascendente.
•
Como los valores aumentan o disminuyen proporcionalmente, entonces la variación se
representa mediante una recta que divide al plano simétricamente y pasa por el origen
(0).
— 35 —
De esta manera, y ahora empleando la propiedad fundamental, podemos calcular la cantidad de
kilómetros recorridos o litros consumidos. Veamos un ejemplo:
Si don Pedro mantiene la rapidez constante, ¿Cuántos litros habrá consumido su vehículo en
carretera si ha recorrido 185,5 Km?
¿Qué podemos hacer?
Pensemos de la siguiente manera, si por cada litro de bencina el recorre 12,5 kilómetros, entonces al recorrer 185,5 Km. el habrá ocupado Y litros, entonces debemos plantearnos una
proporción.
¿Cómo lo hacemos?
La proporción a plantear es:
1
Y
=
12,5 185,5
Y =
185,5 • 1
= 14,84
12,5
La respuesta: su vehículo habrá consumido 14,84 litros.
Recuerda que... para resolver una ecuación como la planteada anteriormente debemos aplicar
propiedades de la igualdad y operatoria involucrada.
Veamos el ejemplo:
1
Y
=
12,5 185,5
al efectuar el producto cruzado queda: 1 • 185,5 = 12,5 • Y
1 • 185,5 = 12,5 • Y
1 • 185,5
=
12,5
Y=
•
1
12,5
12,5 • Y
12,5
(Despejamos y multiplicando la igualdad por
el inverso multiplicativo de 12,5)
(Simplificamos para despejar Y y calculamos)
185,5
1 • 185,5
=
= 14,84
12,5
12,5
Y = 14,84
Trabaja con lo aprendido
1.
Bajo las mismas condiciones ¿cuántos litros consume al recorrer 115 Km. en un viaje de
Santiago a Valparaíso?
— 36 —
2.
Si el marcador de bencina da cuenta de haber consumido 5 litros ¿cuántos kilómetros lleva
recorrido? ¿y si ha consumido 10, 15 y 20?
3.
El siguiente gráfico ilustra el rendimiento por consumo de combustible que experimentan
dos vehículos en su recorrido.
300
Distancia (Km)
250
Vehículo 1
200
150
Vehículo 2
100
50
0
0
5
10
15
20
25
Combustible (lt)
Según esta información completa las tablas de valores para ambos móviles:
Vehículo 2
Combustible (lt.)
Distancia (Km.)
Vehículo 1
Combustible (lt.)
Distancia (Km.)
Responde:
1. ¿Cuál de los dos vehículos rinde más kilómetros por litro? Explica cómo lo supiste.
— 37 —
2. Si el vehículo 1, a los 200 kilómetros ha consumido 20 litros de combustible ¿cuántos kilómetros
en promedio rinde por litro?
3. ¿Cuántos kilómetros en promedio rinde por litro el vehículo 2? Explica cómo lo supiste.
4. Tres vehículos diferentes salen desde Concepción a Valdivia a la misma hora. El siguiente
gráfico ilustra el movimiento de cada uno.
Distancia (Km)
c
b
a
Tiempo (Hr.)
5. ¿Qué vehículo viaja más rápido? ¿Cuál lo hace más lento? ¿Por qué?
6. Según la información dada ¿podrías afirmar que en los tres casos, las magnitudes son
directamente proporcionales? ¿Por qué?
7. Comenta ¿fue necesario escribir los números en el gráfico para sacar tus conclusiones?
8. Si conociésemos la constante de proporcionalidad ¿sería posible encontrar los valores para
cada variable? ¿Por qué?
— 38 —
Proporcionalidad inversa
En la ciudad es frecuente ver personal realizando arreglos en
la vía pública: pavimentación, nivelación de terrenos, etc. Son
variados los equipos que se emplean, en especial maquinaria
pesada. Según esto, imaginemos que una apisonadora tarda 3
hrs. en compactar el asfalto para formar un pavimento liso.
A continuación verás cómo cambian los valores de las variables
involucradas en la situación planteada al comienzo. Si una apisonadora tarda 3 horas en
compactar cierta superficie con asfalto. ¿Qué tiempo deberían emplear 2, 3 o 4 máquinas para
realizar el mismo trabajo? Si una máquina demora 3 hrs. ¿Dos máquinas deberían demorar más
o menos tiempo? ¿Por qué?
Trabaja completando la siguiente tabla.
X
(Tiempo en Horas)
Y
(No Máquinas)
3
1
X ⋅ Y =C
La tabla muestra las variables: X que representa el tiempo y la variable Y que representa la
cantidad de máquinas. Según esto responde:
1. ¿Qué valor tiene X cuando Y es 2? ¿y cuándo Y es 3?
2. ¿Cómo varían los valores de las variables X e Y? ¿Qué relación importante estableces?
3. ¿Qué ocurre cada vez que obtienes el producto X
• Y? Explica.
4. ¿Qué diferencia puedes establecer entre proporcionalidad directa y esta nueva relación?
Explica.
— 39 —
Dos cabezas piensan más que una.
En el siguiente gráfico se describe la situación anterior.
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
1. ¿Qué información se registra en el eje X? ¿y en el eje Y?
2. ¿Qué observas de particular en la línea registrada en el gráfico? ¿Cómo es respecto de la
observada en los cálculos de proporcionalidad directa?
3. Según el gráfico, escribe tres conclusiones que puedas obtener de él.
a)
b)
c)
Toma nota... De la actividad anterior podemos concluir lo siguiente, el producto entre el número
de horas (x) y la cantidad de máquinas usadas (y) es constante e igual a 3.
•
La relación es entre dos variables. Esta relación se establece en condiciones que al
aumentar los valores de una variable disminuye los valores de la otra.
•
El gráfico de y versus x es una curva.
•
El producto entre cada uno de los pares de valores (x , y) es constante.
Por lo tanto el tiempo empleado es inversamente proporcional al número de
máquinas empleadas.
— 40 —
De similar forma a lo planteado anteriormente y empleando la propiedad fundamental, podemos
calcular como ejemplo, ¿qué tiempo emplearán 4 apisonadoras en hacer la misma tarea en
igualdad de condiciones?
¿Qué podemos hacer?
Si una máquina emplea 3 horas entonces 4 deberán hacerlo en Y tiempo. Como esta
proporcionalidad es inversa, además debemos considerar la aplicación del inverso
multiplicativo.
¿Cómo lo hacemos?
La proporción a plantear es:
1
4
1
4
3
por lo tanto por aplicación del inverso multiplicativo de
Y
Y
3 • 1
=
de donde: Y =
= 0,75
3
4
=
3
Y
finalmente tenemos
La respuesta: las cuatro máquinas emplearan un tiempo de 0,75 hr.
Trabaja con lo aprendido respondiendo en tu cuaderno
Una fábrica exportadora de alfombras hace un estudio para la compra de telares. La empresa
cuenta actualmente con 25 telares que producen cierta cantidad de alfombras en 120 horas.
Según el estudio:
120
100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Tiempo (Hr)
1. ¿Qué información se registra en el eje horizontal (al que llamamos X) y en el eje vertical (al
que llamamos Y)?
2. ¿Cómo varía el tiempo de producción si para la fabricación se adquieren más telares?
3. Si para este caso se concluye que la constante de proporcionalidad es 3.000 ¿Cuántos telares
se necesitan para disminuir el tiempo de producción a la mitad? ¿y a un tercio?
— 41 —
¿Cuánto has aprendido?
Jaime está realizando una tarea de matemática. Lamentablemente olvido concluir su trabajo,
pero dejo información suficiente para que tú puedas resolver el problema ¿tendrá solución?
Situación planteada a nuestro amigo Jaime:
1. Una industria química produjo 12.000 kilos de fertilizante para la actividad frutícola. Deciden
envasar su producción en bolsas de igual cantidad de kilos: 5 Kg., 10 Kg, 15 Kg. y 20 Kg. Si son
600 bolsas de 5 Kg., responde lo siguiente:
• ¿Cuántas bolsas se necesitan para envasar el fertilizante en bolsas de 10, 15 y 20 Kg?
• Según su análisis ¿Qué tipo de proporción resuelve este problema?
• De acuerdo a la respuesta anterior ¿cuál es la constante de proporcionalidad? ¿Por
qué?
• Construya el gráfico que ilustra la situación.
Lo que ves a continuación son los cálculos que alcanzó a realizar nuestro olvidadizo amigo
Jaime.
X
Kg. por bolsa
5
10
Y
Nº de bolsas
600
……….. = …..
¿Cómo te fue? ¿Tenía solución el problema planteado?
— 42 —
2. De acuerdo al número de bebes nacidos vivos en Chile, el siguiente gráfico describe la tasa
de mortalidad infantil estimada al año 2004 en nuestro país.
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
6.000
Número de nacimientos
La amniocentesis es un
examen que aporta
importante información
sobre anormalidades del
desarrollo.
Según esta información responde:
1. ¿Cuáles son las variables X e Y que intervienen en el estudio?
2. ¿Qué tipo de proporción describe la gráfica? ¿Por qué?
3. Según lo respondido en la pregunta 2 y a partir de los datos que se entregan en el gráfico
¿Cuál es la constante de proporcionalidad? Explica cómo lo supiste.
4. ¿Qué relación concluye entre la constante de proporcionalidad y la tasa de mortalidad infantil
que se describe en el gráfico? Explique.
Elabora la tabla de datos que corresponde al gráfico.
— 43 —
¡Matemática y juego!
Suma de fechas en el calendario
Otro espacio de entretención, en esta oportunidad tendrás que hacer tus cálculos escritos.
Esperamos que hagas matemática con gusto y demuestres tu pericia ¡Ánimo!
Material
Un calendario u hoja de calendario de 30 días.
Jugadores
Dos o más jugadores
Instrucciones
Toma del calendario la hoja de un mes de 30 días. Elige en ella un cuadrado de 4 fechas en
cualquier sitio del mes. Suma 4 al número más pequeño del cuadrado y luego multiplica el
resultado por 4. A continuación suma todas las cifras del cuadrado. Compara luego ambos
resultados.
Lunes
•
•
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
¿Qué observas? ¿Puedes justificarlo?
¿Qué relación matemática justifica lo observado? Busca una explicación.
— 44 —
Sección 3
Variación Porcentual
Porcentajes
En distintos medios de prensa escrita, revistas e inclusive
avisos publicitarios se lee información acompañada por
números, tales como: rebaja de un 10%, pie de un 25%,
interés mensual a 30 días de un 0,21%, etc.
Observa la siguiente situación:
El cálculo de porcentaje hoy en día es frecuente, pero veamos
que significa “menos el 10%”. Recuerda que este tipo de
número se puede escribir o representar de diferentes formas,
sin que por esto su valor cambie.
Así, la expresión 10% es equivalente a:
1
10
=
= 0,1
10
100
Como puedes ver son todas equivalentes, por lo tanto, el
descuento también se podría escribir
como: “menos
1
10
”, “menos
” o “menos 0,1” Esta
10
100
conversión facilita el procedimiento,
puesto que no tienes una sola expresión numérica para hacer
tus cálculos.
Un procedimiento para resolver el problema puede ser operando
como fracción de un número, así tenemos:
Operación
10
Se debe calcular el 10% de 9.000 , es decir,
de 9.000
100
10
10 • 9.000 90.000
• 9.000 =
=
= 900
Calculando, tenemos:
100
100
100
La camiseta se vende con un descuento de $ 900.
Es decir, a $ 8.100
Recuerda que…
Para calcular la
fracción de un
número se
multiplica
la fracción por el
número, es decir:
a
a ⋅ n
de n =
b
b
b ≠0
Revisemos el concepto de fracción de un número, dada la siguiente situación:
1.
En un campeonato juvenil de jockey en patines compiten
delegaciones de diferentes países.
En total participan 100 jugadores de diferentes nacionalidades, de ellos
3
10
brasileños,
1
4
1
5
son chilenos,
argentinos y el resto son de Estados Unidos y Uruguay. ¿Cuántos
jugadores compiten por Chile?
— 45 —
Procedimiento
Los 100 jugadores son el entero, así calculamos: 1 de 100
5
Operación
1
1
de 100 =
• 100 =
5
5
1 • 100
5 • 1
=
100
5
= 20
Por Chile competirán 20 jugadores de un total de 100,
lo que equivale al 20% del total de deportistas.
Veamos otro ejemplo:
3
4
¿A cuánto corresponde los
de 20?
En este caso el entero es 20 pero según la fracción se divide en 4 partes iguales. Cuatro de 5
unidades cada una.
15
20
De las cuatro se toman 3 partes, lo que hace un total de 15 unidades, que corresponde a más
del 50% del entero.
Trabaja con lo aprendido
Calcula:
1).
2
de 27
3
2).
3
de 100
5
3). de
4).
1
de 1.000
10
5).
4
de 540
6
7).
4
100
10
2
de 490
7
Resuelve:
2.
Una delegación nacional de tenis de mesa debe viajar aproximadamente 100 Km. de
Valparaíso a San Antonio. El bus hará parada en Isla Negra, ubicada a 60 Km. ¿Qué parte
del trayecto total habrá hecho el bus al llegar a este lugar?
Fracciones, decimales y porcentajes
Para estudiar el tema pondremos especial atención en aquellas fracciones cuyo denominador
es una potencia de base 10 o bien su fracción de igual valor.
15 ,
100
1
100
ó
2
5
= 40
100
1 = 50
2
100
— 46 —
1
2
=
3
12
Toma nota…El Porcentaje, o tanto por ciento, es la fracción de un número entero expresada en
centésimas. Por tanto, representa fracciones cuyo denominador es 100.
20 = 1 = 0,2
5
100
Escribe en forma de fracción cada porcentaje y luego con ayuda de tu calculadora conviértelo a
su equivalente expresión decimal.
Así el 20% es posible representarlo como
Porcentaje %
0,15%
Fracción
0,15
100
Número Decimal
0,0015
15%
0,5%
0,5
3
4
Los métodos de amplificación
y simplificación sirven para
encontrar fracciones de igual
valor.
Por ejemplo: para encontrar
la fracción de igual valor a
0,1%
27%
5,5%
Recuerda que….
4
5
pero que tenga denominador
100 podemos amplificar por
20
5,5
100
18%
0,9
0,05
4 • 20
80
=
= 0,8 = 80%
5 • 20
100
De esta forma si deseamos calcular el 20% de un número lo podemos hacer de las siguientes
formas:
1
20
• 40 ;
• 40 ó 0,2 • 40 Si calculas con cualquiera de ellas,
5
100
obtendrás el mismo resultado: 8
¿Sabías qué? El término porcentaje deriva del latín per centum, que significa “por ciento”
Los cálculos de porcentajes se utilizan a menudo en la industria y las finanzas, y en el mundo
científico para evaluar resultados.
De esta manera, otro procedimiento para calcular el 10% de descuento de las camisetas del
problema inicial es multiplicando por 0,1.
Operatoria:
Se multiplica 9.000 • 0,1 = 900 y se obtiene el valor en dinero a descontar.
En síntesis cuando pidan calcular porcentaje, tendrás diferentes registros numéricos para
hacerlo.
— 47 —
Trabaja con lo aprendido
Calcula
20% de 5.000
50% de 3.000
10% de 89.000
75% de 40.000
Verifica tus cálculos con ayuda de la calculadora, es fácil:
Escribes el número en pantalla, luego presionas la tecla x , a continuación ingresas el número
del porcentaje y a continuación la tecla % ¡listo!
También hay calculadoras en las que la secuencia de teclas a digitar sea diferente.
Tarea en equipo
Busca 2 a 3 recortes de diario donde aparezca información alusiva a porcentaje. Recorta en
tamaño conveniente y pégala en el recuadro.
Según la información seleccionada, responde en tu cuaderno:
1.
¿Qué se dice del porcentaje? ¿Es un descuento, corresponde a un adelanto en plata, es el
aumento de población, etc?. Explica
2.
¿Se puede calcular el porcentaje? ¿O sólo es una información?
Si es posible calcularlo, hazlo empleando el procedimiento que te parezca más cómodo.
— 48 —
Fracciones y porcentajes
El siguiente gráfico circular corresponde a una encuesta realizada a una población de 1.200
alumnos de un colegio.
Actividades preferidas en tiempo libre
Jóvenes entre 15 y 18 años
Otros
Salir a caretear
Chatear
Ver Televisión
Escuchar música
Deporte
Los 1.200 alumnos equivalen al 100% Según la descripción y simbología que en él aparece,
responde en tu cuaderno:
¿Qué fracción representa aproximadamente al grupo que elige deporte? ¿Qué otra elección se
acerca a este número?
¿Estas de acuerdo en la siguiente afirmación?
“La cantidad de alumnos que gustan de: salir a “carretear”, chatear y ver televisión,
corresponden aproximadamente a 1 de la población encuestada”. ¿Por qué?
2
Toma nota... Hay una relación directa entre porcentaje y fracción. Observa las equivalencias
de la columna de la izquierda y luego completa las de la derecha.
Porcentaje
25%
50%
75%
12,5%
Fracción
1
4
1
2
3
4
1
8
Número decimal
0,25
Porcentaje
Fracción
Número decimal
80%
1%
0,5
100%
0,75
0,125
40%
10%
Esta lista de equivalencias representa algunas conversiones bastante comunes, que podrán
ayudarte más adelante a realizar tus cálculos.
Toma nota... Un gráfico circular esta dividido en regiones. Cada región se compara con las
otras que en conjunto forman el total de datos estudiados. Así, el tamaño de cada sector, se
compara también con el círculo completo.
— 49 —
Trabaja con lo aprendido y la tecnología
Ahora te invitamos a realizar, en tu curso, la misma encuesta de la página anterior. Cada compañero
debe señalar la actividad más preferida, no lo olvides. Registra las preferencias en la tabla.
Actividad Preferida
Curso: …….
Escuchar música
Ver Televisión
Chatear
Salir de carrete
Otras
Nº de
alumnos
Frecuencia
Recuerda
Hablamos del 100% cuando nos referimos al total de cualquier cantidad.
Concluida la encuesta y registrados los datos finales en la tabla, deberás construir un gráfico
circular, para ello puedes considerar el siguiente procedimiento:
1º
paso: Considerar al total de encuestados como 100%, lo que equivale al círculo completo
(entero), es decir a un ángulo central de 360o ¿A cuántos compañeros aplicaste la encuesta?
Este número es tu 100%
paso: Supongamos que en tu curso los alumnos encuestados fueron 42 y que los que
prefieren otras actividades son 8, entonces 8 de 42 alumnos dijeron otras actividades, es
8
decir:
42
8
Por lo tanto, aplicando el principio de fracción de un número diremos que:
de 360o
42
corresponderá al “sector circular” de los alumnos que prefieren otras actividades, así:
2º
8
de 360o =
42
8 • 360
42
= 68,57 ≈ 69o
A continuación con el transportador dibujas el ángulo de 69o en el círculo, dicho “sector circular”
equivaldrá a los 8 alumnos. ¡Fácil!
Ahora, siguiendo los pasos descritos en la página anterior construye el gráfico circular que
describe las preferencias en tu curso.
¡Importante! No olvides identificar con color las preferencias.
— 50 —
Proporcionalidad y porcentaje
Hasta ahora, para el cálculo de porcentaje aplicaste procedimientos con la aplicación de
fracciones y decimales. En las actividades que vienen a continuación utilizaremos el principio
de proporcionalidad directa.
Tomaremos nuevamente la situación de la encuesta (página 50)
Actividad preferida
Nº de alumnos
Deporte
310
Escuchar música
220
Ver Televisión
215
Chatear
78
Salir de carrete
280
Otras
97
La tarea será convertir cada una de las cantidades de la tabla a porcentaje ¿cómo lo haremos?
Es lo que se ejemplificará a continuación, luego harás tu parte.
La pregunta es: ¿a qué porcentaje del total encuestado corresponden los alumnos de cada
actividad? ¿A qué porcentaje corresponden 310 alumnos del total?
El procedimiento: nos plantearemos una proporción. Los 1200 alumnos corresponden al 100%
entonces 310 equivalen a X%. Aquí vemos claramente que si el 100% son los 1200, entonces
los 310 representan un porcentaje menor. Al escribir la proporción queda:
1.200
=
100
310
X
De esta proporción formulamos la siguiente ecuación:
310 • 100 = 31.000 ≈ 25,83
X =
1.200
1.200
Respuesta... los 310 alumnos corresponden al 25,8 % de 1.200. Si en una tarea anterior
señalaste que estos alumnos correspondían aproximadamente a 1 del total, no estuviste nada
4
de lejos.
Trabaja con lo aprendido
Ahora, es tu turno, determina ¿a qué porcentaje corresponden los alumnos de las otras
actividades?
Una vez concluidos tus cálculos construye un gráfico circular, ubicando en él cada preferencia y
su correspondiente porcentaje. Solicita ayuda a tu profesor.
— 51 —
Porcentaje en la economía
En nuestra economía es frecuente escuchar o hablar de los índices económicos, uno de ellos es
el IPC (Índice de Precios al Consumidor). A comienzos de cada mes se da a conocer.
El siguiente ejemplo muestra como se relaciona el IPC a una de las tantas actividades que
realizamos diariamente:
Supongamos que el valor de una cuota por un pago
mensual en una financiera es de $ 127. 450 y se
reajusta mensualmente según el IPC,
¿Qué valor tendrá la cuota en julio, si el IPC del
mes de junio fue igual a 0,4%?
Procedimiento
Es claro que la cuota al mes de junio era de $ 127.450, ésta
sufrirá un incremento del 0,4 % puesto que deberá ser reajustada (aumentada) según IPC.
Operatoria
Según el razonamiento anterior, la cuota al mes de julio equivaldrá a:
100 % + 0,4% = 100,4%, por lo tanto, nos corresponderá calcular el 100,4 % de 127.450.
100,4
= 1,004
100
Entonces ahora calculamos: 1,004 • 127.450 = 127.959,8
Respuesta, el valor de la cuota es: $ 127.959,8
≈ $ 127.960
Dos cabezas piensan más que una. Responde en tu cuaderno
1. Pongámonos en la misma situación anterior, pero ahora el IPC de julio fue de 0,6% ¿Qué
valor tendrá la cuota de agosto?
2. Comenta ¿es conveniente que la inflación del país aumente? ¿Por qué? ¿Cómo afecta
a las finanzas de las personas el IPC?
3. Un corredor de propiedades cobra $ 135.450 por concepto de arriendo de un
departamento. Si el arrendatario se informa que este valor será reajustado de acuerdo
al IPC acumulado en el trimestre ¿Cuánto deberá pagar el arrendatario en mayo, si el
IPC de febrero fue 0,2; el de marzo 0,4 y el de abril fue negativo - 0,1?
Te invito a resolver
Piensa en las siguientes preguntas:
¿Qué representa 10% de 20?
¿Qué porcentaje es 10 de 20?
¿10 es el 20% de qué número?
Estas preguntas ¿significan lo mismo? Explica tu respuesta.
— 52 —
Porcentaje y sueldo
Un arrendatario revisa su sueldo mensual ¿Cuánto ganará realmente? Observa su colilla
de sueldo, seguramente tiene datos muy parecidos a los que reciben tus familiares en sus
liquidaciones mensuales.
¿Sabías qué?
Rut. 000-123- 00009 K
Liquidación de sueldo mes agosto 2006
Fecha…………………………………………………………………
Nombre………………………………………………………………
Sueldo imponible……………………………………………………
AFP (12,5%)…………………………………………………………
Fonasa (7%)…………………………………………………………
Total descuentos……………………………………………………..
Sueldo líquido a pagar $ 207.100
Antes de que el
papel y las monedas
se convirtiesen en
objetos de dinero el
hombre utilizó gran
variedad de objetos
para cambiar bienes.
Si preguntas a tus padres o familiares respecto de cual es la diferencia entre sueldo imponible
y líquido, seguramente te explicaran lo que estudiarás a continuación. Observa la papeleta y
responde:
1. ¿Qué porcentaje se descuenta por concepto de la Administradora de Fondos de Pensiones
(AFP)? ¿Por qué se aplica este descuento?
2. ¿Qué porcentaje se descuenta por Fonasa? ¿Cuál es el propósito de este descuento?
3. ¿Cuál es el porcentaje total descontado? Expresa su valor en número decimal.
— 53 —
Observa.
La siguiente representación explica que parte del sueldo se dispone para pago líquido y cuál
para descuentos legales.
AFP FONASA
80,5
100
0
Sueldo líquido
Descuento
Pero veamos a continuación uno de los procedimientos que nos permite saber cuál es el
sueldo imponible de este señor:
El sueldo líquido no es lo mismo que sueldo imponible. Este último, es el sueldo completo de
una persona. Ocurre que como estamos sujetos a descuentos legales, debemos asumir dicha
rebaja de dinero por concepto de previsión y salud, por lo tanto, según el ejemplo esta persona
tiene un descuento de 12,5 % + 7 % = 19,5 %
Operatoria: la siguiente gráfica ayuda a comprender lo que ocurre.
AFP FONASA
80,5
100
Expresado como ecuación nos queda:
0
0
Entonces a X sueldo imponible menos el 19,5% de X,
nos da finalmente $ 207.100
207.100
X
X - 0,195 X = 207.100
X ( 1 – 0,195) = 207.100
X = 207.100 = $ 257. 267
0,805
Respuesta: El sueldo imponible del señor es $ 257.267
Recuerda que…
19,5%, significa 19,5 de
cada 100. Por lo tanto, es
posible expresarlo como
0,195.
Dos cabezas piensan más que una. Responde en tu cuaderno.
Los siguientes valores equivalen a diferentes sueldos líquidos de los funcionarios de una
empresa de electrodomésticos. ¿Cuál es el sueldo imponible de cada uno?
Rojas Gastón………..……. $ 195.050
Bravo Derroche……..……. $ 327.200
Vera Buenaventura……… $ 542.000
Corvalan De La Plata…… $ 398.405
— 54 —
¡Matemática y juego!
Adivina la edad
A continuación te proponemos un espacio de entretención, en esta oportunidad con ayuda de la
calculadora. Este pequeño “computador” es un instrumento importantísimo para conseguir que tú
hagas matemática con gusto y puedas además facilitar tus cálculos.
Material
Una calculadora simple o básica.
Jugadores
Dos o más jugadores
Instrucciones
Pide al profesor o a un compañero escribir su edad en la calculadora, sin que tú lo veas. Pide a este
compañero que multiplique su edad por 10, luego sumen 20 al producto y a continuación vuelvan
a multiplicar por 10 y posteriormente sumar 165. A continuación tú debes pedir la calculadora con
el último número obtenido en pantalla o bien solicitarlo para escribirlo en un papel, al cual restarás
365.
El resultado, descontando los dos ceros de la derecha, es la edad buscada.
¡Éxito! ¿Cómo lo hiciste?
¿Qué explicación matemática tendrá este juego?
— 55 —
— 56 —