examen de práctica con soluciones

XXIII OLIMPIADA MEXICAA DE MATEMÁTICAS
E GUAAJUATO
EXAME DE PRÁCTICA
Febrero de 2009
ISTRUCCIOES:
i) Escribe tus datos en la hoja de respuestas.
ii) Lee cuidadosamente cada uno de los problemas y escribe únicamente la respuesta en la
hoja de respuestas.
iii) Cuando termines el examen, entrega únicamente tu hoja de respuestas.
iv) Solamente está permitido el uso de lápiz, sacapuntas, pluma, borrador y juego de
geometría.
v) Si tienes alguna pregunta sobre la redacción de algún problema del examen, levanta tu
mano e indícale a tu cuidador que tienes una pregunta.
vi) El examen tendrá una duración máxima de 4 horas. Cada problema vale 1 punto.
vii) Los resultados de este examen se publicarán a más tardar el día 23 de Marzo en nuestra
página de internet: ommgto.wordpress.com.
PROBLEMAS:
Problema 1. En un partido de fútbol americano, se fallaron todos los puntos
extras, de manera que los equipos sólo obtuvieron puntos mediante touchdowns que
valen 6 puntos, goles de campo que valen 3 puntos y safeties que valen 2 puntos. Si el
partido terminó 40 a 37, ¿Cuál es el menor número de safeties que pudieron haber
ocurrido?
Problema 2. Javier quiere sacar un par de calcetines de
un cajón, en el que hay 10 calcetines blancos, 12 verdes, 4 rojos
y 2 azules. ¿Cuál es el mínimo número de calcetines que debe
sacar (sin ver) para asegurar que tendrá un par del mismo color?
Problema 3. En la figura, ABDC y EFGH son dos
cuadrados iguales. El área de la región sombreada es 8. ¿Cuál es
el área del cuadrado ABDC?
Problema 4. En una fiesta, cada persona saludó a exactamente otras tres
personas. Si hubo en total 123 saludos, ¿Cuántas personas asistieron a la fiesta?
Problema 5. En un torneo de fútbol participan los equipos de México, El
Salvador, Estados Unidos, Costa Rica, Honduras y Trinidad y Tobago. Juan, Arturo y
Gonzalo apuestan sobre los resultados de los tres partidos de esta jornada. Juan asegura
que ganarán Estados Unidos, México y El Salvador. Arturo pronostica un empate, y que
tanto Costa Rica como El Salvador saldrán derrotados. Gonzalo asegura que Trinidad y
Tobago ganará, con lo que tanto Arturo como Juan estarían equivocados en ese partido.
Si Arturo y Juan están de acuerdo en el partido de México ¿Contra quién juega Trinidad
y Tobago?
XXIII OLIMPIADA MEXICAA DE MATEMÁTICAS
E GUAAJUATO
EXAME DE PRÁCTICA
Febrero de 2009
Problema 6. Encontrar un entero positivo n tal que n+109 sea múltiplo de
n+28.
Problema 7. ¿Cuántos caminos hay del punto A al
punto B siguiendo las líneas de la figura si las direcciones
permitidas son
sentido esta permitido salvo
veces por el mismo punto?
(es decir, cualquier
) y no se permite pasar dos
Problema 8. Sean a y b dos números reales positivos, con a > b tales
a+b
?
que 2a 2 + 2b 2 = 5ab ¿Cuánto vale
a−b
Problema 9. En la figura, ABC y CDE son dos
triángulos equiláteros iguales. Si el ángulo ACD mide 80º,
¿Cuánto mide el ángulo ABD?.
Problema 10. En un cuadrado de 8 × 8 se hace un
corte con una línea recta que lo divide en dos cuadriláteros
iguales. Si los cuadriláteros tienen perímetro 26, ¿Cuál es la
longitud del lado menor de los cuadriláteros?
Problema 11. Alicia tiene 6 tarjetas y en cada una de ellas está escrito un
número entero positivo (algunos de los números pueden ser iguales entre sí). Toma 3
tarjetas y suma los números correspondientes. Al hacer esto con las 20 posibles
combinaciones de 3 tarjetas, obtiene 10 veces el resultado 18, y 10 veces el resultado
16. ¿Cuáles son los números de las tarjetas?
Problema 12. Se escribe en cada casilla de la pirámide un número natural mayor
que 1 de modo que las casillas marcadas tienen el número que se indica y el número
escrito en cada casilla sea igual al producto de los números escritos en las dos casillas
sobre las que está apoyada. ¿Qué número debe ir en la casilla marcada con un signo de
interrogación?
SOLUCIOES:
Problema 1. La respuesta es 4 safeties. Notemos que el total de puntos obtenidos entre
Goles de Campo y Touchdowns es múltiplo de 3. El marcador quedó 40 a 37. Si le restamos el
número de puntos conseguidos por safeties al total de puntos conseguidos por cada equipo, nos
debe quedar un múltiplo de 3. Notamos que entonces cada equipo debió anotar al menos dos
safeties (pues 40, 40-2=38, 37 y 37-2=35 no son múltiplos de 3, pero 40-4=36 y 37-4=33 sí lo
son. El menor número de safeties es 4.
Problema 2. La respuesta es 5 calcetines. Si Javier saca cuatro calcetines o menos, podría
ocurrir que todos fueran de colores distintos, ya que hay cuatro colores diferentes. Si sacamos 5,
necesariamente se repite algún color. El menor número de calcetines es 5.
Problema 3. La respuesta es 8. Si prolongamos las rectas de los
cuadrados y nombramos a las intersecciones como se muestra en la figura,
se
tienen
las
siguientes
relaciones:
área(CKF)=área(AIE),
área(AJE)=área(BLH), área(IEB)=área(KFD) y área(JCE)=área(LDH).
Esto pues las respectivas bases y alturas son iguales. De todo esto tenemos
que las áreas del cuadrado ABDC y de la zona sombreada son iguales, por
lo cual área(ABDC)=8.
Problema 4. La respuesta es 82 personas. Llamemos x al número de personas. Si
contamos el número de saludos, como cada persona saludó a otras tres, podríamos pensar que el
número de saludos es 3x pero esto es incorrecto. En realidad es 3 x . Esto pues al contar el
2
número de saludos como lo hicimos anteriormente, cada saludo se cuenta dos veces.
Finalmente, igualamos 3 x = 123 y obtenemos x=82 de donde el número de personas es 82.
2
Problema 5. La respuesta es contra Estados Unidos. De la aseveración de Juan
deducimos que México, Estados Unidos y El Salvador no juegan entre sí. De la de Arturo,
obtenemos que El Salvador no juega contra Costa Rica. Como Arturo y Juan están de acuerdo
con el resultado de México, se obtiene que Arturo dijo que México ganaría, por lo que debe
jugar contra Costa Rica. Trinidad y Tobago no puede entonces jugar contra México. Tampoco
puede ir contra El Salvador ya que entonces Arturo habría pronosticado que ganaría, pero
sabemos que Gonzalo fue el único que hizo dicho pronóstico. Como por la afirmación de Juan
sabemos que juega contra alguien entre México, El Salvador y Estados Unidos, deducimos que
juega contra este último.
Problema 6. La respuesta es 53. Supongamos que n+109 es múltiplo de n+28. Entonces
n+109-(n+28) también debe ser múltiplo de n+28. Es decir, n+28 divide a 81. Los divisores de
81 son 1, 3, 9, 27 y 81. Como n es un entero positivo, la única posibilidad es que n+28=81 de
donde n=53.
Problema 7. La respuesta es 12 formas. Notemos que si
marcamos los puntos que se muestran en la figura, el camino debe pasar
por exactamente un punto café, exactamente un punto verde y
exactamente un punto azul. Además, por ejemplo, existe un solo camino
que pasa por el punto café de arriba, el punto verde de abajo y el punto
azul de arriba y así para todos los caminos. Luego, sólo debemos elegir
por cuáles de los puntos pasamos. Para los primeros tenemos dos
opciones, para los segundos tenemos tres opciones y para los últimos tenemos 2 opciones. Estas
opciones se multiplican pues debemos elegir una de cada una. Tenemos en total 2x3x2=12
caminos.
Problema 8. La respuesta es 3. Recordemos que a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 y que
a 2 + b 2 − 2ab = (a − b) 2 .
2
2
Como
9ab = 5ab + 4ab = 2a + 2b + 4ab = 2(a + b)
2
2a 2 + 2b 2 = 5ab
y que
tenemos
que
ab = 5ab − 4ab = 2a + 2b − 4ab = 2(a − b) 2 .
2
2
2
Dividiendo estas dos ecuaciones se sigue que 9 = 9ab = (a + b) y por tanto, sacando raíz
2
ab
( a − b)
cuadrada, como a > b 3 = a + b .
a −b
Problema 9. La respuesta es 40º. Notemos que los ángulos
ABC y BCA miden 60º por ser los ángulos de un triángulo
equilátero. Además, el triángulo BCD es isósceles y el ángulo BCD
mide 60º+80º=140º. Esto significa que los dos ángulos restantes del
triángulo BCD deben sumar 40º (para que la suma total sea 180º) y
deben ser iguales. De esto, deducimos que el ángulo DBC mide 20º y
por tanto el ángulo ABD mide 40º.
Problema 10. La respuesta es 1. Sea X la longitud del menor
de los lados de los cuadriláteros, Y la mayor de ellos. Notemos que
como el perímetro de cada cuadrilátero es 26 y las longitudes de los
lados de los cuadriláteros son 8, X, 8-X y Y se tiene que 8+8+Y=26
por lo cual Y=10. Si bajamos la altura desde uno de los vértices del
cuadrilátero al lado opuesto obtenemos un triángulo rectángulo
cuyos lados valen 8, 10 y 8-2X. Usando el teorema de pitágoras
tenemos que 100 = 64 + (8 − 2 X ) 2 de donde 36 = (8 − 2 X ) 2 y
por tanto 8-2X= 6. Despejando obtenemos que X=1.
Problema 11. La respuesta es que los números de las tarjetas son 4, 6, 6, 6, 6 y 6.
Llamemos A, B, C, D, E Y F a los números de las tarjetas, con A ≤ B ≤ C ≤ D ≤ E ≤ F .
Entre los números de las tarjetas hay a lo más dos números distintos, ya que si hubiera tres,
podríamos encontrar tres sumas diferentes. También sabemos que A+B+C=16 y D+E+F=18
por ser los números menores y mayores respectivamente. Como A+B+C=16 y los tres son
enteros, alguno de ellos debe ser distinto a los otros dos. Tenemos dos casos, A=B<C o bien
A<B=C. En cualquiera de ellos A<C. Entonces, podemos deducir que A+B+E<C+D+F ya que
A<C, B ≤ D y E ≤ F . Por lo tanto A+B+E=16 y entonces C=D=E. Se sigue entonces que
C+D+E=18 por ser estos tres iguales y 16 no ser múltiplo de tres. Tenemos entonces que F=6.
Finalmente como A+C+E=16 se sigue que A=4 y que B=6=C=D=E=F.
Problema 12. La respuesta es 14. Notamos que 560105280 = 2 6 × 3 6 × 5 × 7 4 . Si
llamamos w, y, z a los valores que están en la parte inferior de la pirámide y la completamos,
obtendremos
que
4
6
4
560105280 = 7 × 2 × 5 × y × w × z .
De esta
igualdad, tenemos que y=3, pues debe ser mayor que
uno y elevado a la sexta potencia y multiplicado por 2
debe dividir a 560105280 lo que descarta a cualquier
otro entero. Esto nos lleva a la ecuación
2 5 = w 4 × z donde se sigue que w=z=2. Por lo tanto,
como 7z=14 es el número preguntado, la respuesta es
14.