Problemas Propuestos Topologia - U

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas
Departamento de Ingenierı́a Matemática
May 25, 2011
MA38B Análisis. Semestre 2011-01
Profesor: Rafael Correa
Auxiliares: Gianfranco Liberona, Pedro Pérez, David Salas, Nikolas Tapia.
Problemas Propuestos
Problema I:
P1 Sea X un espacio de Hausdorff compacto y F1 , F2 dos cerrados disjuntos de X. Muestre que existen
dos abiertos disjuntos U1 y U2 tales que F1 ⊂ U1 y F2 ⊂ U2 .
Problema II:
P2 Si x0 , x1 ∈ X, un camino de x0 a x1 sobre X es una aplicación γ : [0, 1] → X tal que γ(0) = x0 y
γ(1) = x1 . Diremos que X es conexo por arcos si para todo par de puntos (x0 , x1 ) de X, existe un
camino de x0 a x1 .
• Muestre que X es conexo y solamente si toda aplicación continua f : X → {0, 1} (donde {0, 1}
se considera con la topologı́a discreta ) es constante.
• Sean X, Y dos espacios topológicos con X conexo y f : X → Y una aplicación continua.
Muestre que f (X) es conexo.
• Muestre que la conexidad por arcos implica la conexidad.
Problema III:
P3 Sea (X, τ ) un espacio topológico dotado de una relación de equivalencia R. Notemos X̃ = X\R el
espacio cuociente. Muestre que existe una única topologı́a τ̃ sobre X̃ con la siguiente propiedad:
para todo espacio topológico Y y toda aplicación continua f : X → Y compatible con R, existe una
única aplicación continua f˜: X̃ → Y tal que f = f˜ ◦ π, donde π : X → X̃ es la proyección canónica.
Describa (X̃, τ̃ ) cuando X = R (dotado de la topologı́a usual ) y xRy ⇔ x − y ∈ Z.
Problema IV: Clases de Convergencia
Definición 1: Sea X un conjunto no vació. Una función φ : P(X) → P(X) que verifica.
(1.a) φ(∅) = ∅.
(1.b) ∀A ∈ P A ⊆ φ(A).
(1.c) ∀A ∈ P φ(φ(A)) = φ(A).
(1.d) ∀A, B ∈ P φ(A ∪ B) = φ(A) ∪ φ(B).
Se dice operador clausura.
Teorema 1: Sea φ operador clausura sobre X.
1.1 Pruebe
Fφ := {A ⊆ X : φ(Ac ) = Ac }
Es una topologı́a para X.
1
1.2 Demuestre que ∀A ∈ P(X) A
Fφ
= φ(A)
Definición 2 : Sea (Xi , 4i ) i ∈ I conjuntos dirigidos X :=
conjunto dirigido; donde -X se define como.
Q
i∈I
Xi . Entonces (X, -X ) es un
p -X q ⇐⇒ (∀i ∈ I)(p(i) 4i q(i))
Definición 3: Sea X un conjunto no vació sea
C := {(x, (xα )α∈D ) | x ∈ X, (xα )α∈D red en X}
una clase que satisface las siguientes propiedades.
(3.a) Si (xα )α∈D es tal que xα = x ∀α ∈ D. Entonces (x,(xα )α∈D ) ∈ C.
(3.b) Si (x, (xα )α∈D ) ∈ C. Entonces para toda subred (yβ )β∈E de (xα )α∈D (x, (yβ )β∈E ) ∈ C.
(3.c) Si (x, (xα )α∈D ) ∈
/ C. Entonces existe (yβ )β∈E subred de (xα )α∈D tal que para toda subred
(zγ )γ∈F de (yβ )β∈E , (x, (zγ )γ∈F ) ∈
/ C.
(3.d) Q
Sea (D, ≤) un conjunto dirigido,(Em , ≤m ) conjuntos dirigidos para cada m ∈ D, F := D ×
m∈D Em . R : F −→ D × D ; donde R(m, f ) := (m, f (m)). Si Sm , S(m, n) ∈ X ∀m ∈ D
∀n ∈ Em . Además si ∀m ∈ D (Sm , (S(m, n))n∈Em ) ∈ C y (s, (Sm )m∈D ) ∈ C. Entonces
(s, (S ◦ R, (F, -F ))) ∈ C.
Una clase con tales propiedades se dice clase de convergencia.
Teorema 2: Sea Ω : P(X) → P(X)
Ω(A) := {x ∈ X : ∃(xα )α∈D ⊆ X red tal que (x, (xα )α∈D ) ∈ C}
Entonces Ω es un operador clausura. Para esto haga lo siguiente
2.1
2.2
2.3
2.4
Pruebe
Pruebe
Pruebe
Pruebe
(1.a)
(1.b)
(1.c)
(1.d)
F
Ω
2.5 Pruebe que si(xα )α∈D una red. Entonces xα −−→
x si y solo si (x, (xα )α∈D ) ∈ C
Problema V
P5 Sea X, X 0 , X 00 tres espacios topologicos, sea f : X → X 0 , g : X 0 → X 00 . Entonces:
a) Si f, g son abiertas(resp. cerradas), entoncesg ◦ f también.
b) Si g ◦ f es abierta(resp. cerrada) y si f es continua y sobreyectiva, entonces g es abierta (resp.
cerrada)
c) Si g ◦ f es abierta(resp. cerrada) y g es continua e inyectiva, entonces f is abierta (resp.
cerrada).
Problema VI
P6 Definición: Sea (X, τ ) e.t. F ⊆ P(X) no vació, tal que cumple con las siguientes propiedades:
a) ∅ ∈
/ F.
b) ∀A, B ∈ F A ∩ B ∈ F.
c) Si A ∈ F y A ⊆ B entonces B ∈ F.
Una Familia con estas propiedades se dice Filtro.
Definición: Se dice que un filtro F es maximal si es maximal para la inclusión (no existe otro que
lo contenga estrictamente).
Pruebe que si F es un filtro entonces existe F filtro maximal tal que F ⊆ F.
2
Problema VII
Q
N
P7 Sean (Xi , τi ) i ∈ I espacio topologicos conexos. Pruebe que el ( i∈I Xi , i∈I τi ) es conexo.
Q
Q
Q
HINT: Sea x ∈ i∈I Xi muestre que D(x) := {y ∈ i∈I Xi : ∃C ⊆ i∈I Xi conexo tal que x, y ∈
C} es denso.
3