Movimiento ondulatorio

MOVIMIENTO ONDULATORIO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Descripción física y clasificación de los fenómenos ondulatorios.
Ondas monodimensionales armónicas.
Ecuación del movimiento ondulatorio.
Intensidad de una onda.
Fenómenos ondulatorios: Absorción., interferencias, reflexión, refracción, difracción y
polarización.
Ondas electromagnéticas. Descripción. Espectro electromagnético.
E
l movimiento ondulatorio puede considerarse como el transporte de energía y
cantidad de movimiento sin transporte de materia.
Las ondas pueden propagarse en medios materiales, gracias a la elasticidad
del medio de propagación: ondas mecánicas, o en el vacío, debido a la propagación de un campo
electromagnético: son las ondas electromagnéticas.
Cuando la dirección de la propagación y la dirección de la vibración son
perpendiculares se trata de ondas transversales. Si la dirección es la misma, se trata de ondas
longitudinales.
) Periodo T es el tiempo que dura un ciclo completo.
) La longitud de onda λ es la distancia entre dos puntos consecutivos en el mismo estado de
vibración.
) La velocidad de propagación v es la distancia recorrida por la onda por unidad de tiempo. Si
consideramos el lapso de tiempo de un pulso, el tiempo será T y la distancia recorrida λ:
λ
v=
v = λf
T
) La frecuencia f es el número de pulsos por unidad de tiempo. Su unidad en el S.I. es el
hertzio (Hz)
) Pulsación ω vale 2πf.
Ondas armónicas.
Ondas que pueden ser descritas utilizando funciones seno o coseno.
Si consideramos una perturbación en un punto según la ecuación del movimiento
armónico simple Y(t) = A sen ω t; donde A es la amplitud y ω = 2πf, que se propaga en una
dirección, transcurrido un tiempo t' se habrá propagado una distancia x = v t', donde v es la
velocidad de propagación.
Y(x,t) = A sen ω ( t - t') = A sen ω ( t llamando número de onda a k =
2πx 
2πx 


) = A sen ωt −
 = A sen ωt −

v
Tv 
λ 


x
2π
λ
Y(x,t) = A sen (ω t - k x)
que es la ecuación del movimiento ondulatorio.
Conviene subrayar que la función Y(x,t) puede representar cualquier propiedad que se
propague, ya sea una altura (ondas de agua), presión del aire (sonido), o campo eléctrico (ondas
electromagnéticas).
MOVIMIENTO ONDULATORIO - 1
Al término ω t - k x se le llama fase. En el instante t = 0 y en el origen x = 0, la elongación Y no
tiene porque ser cero; hay que introducir un valor, la fase inicial ϕ0, de modo que la ecuación
general queda así:
Y(0,0) = Asenϕ0
Y(x,t) = A sen (ω t - k x + ϕ0)
Se dice que dos puntos están en fase si su diferencia de fase ∆ϕ = 2π, o un número par
por π. Si su diferencia de fase es π o un número impar por π, se dice que están en oposición de
fase.
∆ϕ = 2nπ en fase
∆ϕ = (2 n + 1)π oposición de fase
Energía del movimiento ondulatorio. Intensidad de una onda
La energía total de una partícula m vibrando será la suma de la energía cinética y
potencial:
E = ½ mv2 + ½ ky2 = ½ mv2 + ½ mω2y2
Para la máxima elongación v = 0 e y = A
ya que k = m ω2
E = ½ m ω2 A2 = 2 m π2 f2 A2
Es decir la energía de una partícula vibrante depende de la amplitud al cuadrado y la
frecuencia al cuadrado.
La intensidad de una onda en un punto es la energía que atraviesa la unidad de
superficie por unidad de tiempo en ese punto. Se mide en W/m2.
Si un foco puntual emite una potencia P0 en todas direcciones, la potencia a una
distancia r del foco se tendrá que repartir en una superficie esférica 4πr2 , por lo que la
intensidad a una distancia r valdrá:
I=
P0
4πr 2
es decir I disminuye con el cuadrado de la distancia.
Un ejemplo: el sonido. Nivel de intensidad
Por ejemplo, para el oído humano el umbral de audición es para una frecuencia de
10.000 Hz, 10-12 W/m2, y el umbral de dolor es de aproximadamente 1 W/m2.
Debido al enorme margen de intensidades audibles y a que la sensación sonora varía
con la intensidad no de modo lineal sino casi de modo logarítmico, se usa la escala logarítmica
para describir el nivel de intensidad sonora. El nivel de intensidad β se mide en decibelios (dB)
I
y se define: β = 10 log
; donde I es la intensidad e I0 es un nivel arbitrario de referencia que
I0
se considera como el umbral de audición. I0 = 10-12 W/m2.
Nivel de intensidad de algunos sonidos comunes
β (dB)
Umbral de audición
0
Tráfico pesado
Respiración normal
10
Fábrica
Rumor de hojas
20
Camión pesado
Murmullo a 5 m
30
Tren suburbano
Biblioteca
40
Ruido de construcción
Oficina tranquila
50
Concierto de rock
Conversación normal
60
Martillo neumático
β (dB)
70
80
90
100
110
120 (umbral de dolor)
130
MOVIMIENTO ONDULATORIO - 2
Absorción
Experimentalmente se observa que la disminución -dI de intensidad de una onda al
atravesar un medio de espesor dx es directamente proporcional a la propia intensidad, al espesor
y a las propiedades intrínsecas del medio representadas por un coeficiente de absorción β:
I
I0
I
I - dI
Ix
− dI = Iβdx;
dI
x
∫ I = ∫ −βdx;
I0
0
ln
I
I0
= −βx
I = I 0e −βx
dx
x
es
decir
la
intensidad
disminuye
exponencialmente con la distancia.
La distancia para que la intensidad se reduzca a la
ln 2
mitad valdrá: x1/ 2 =
β
PROPIEDADES DE LAS ONDAS
Principio de Huygens
Huygens en 1690
ideó un mecanismo para
explicar el avance de un
frente de ondas, conociendo
dicho frente un instante
anterior.
Todo punto
de
un
medio
alcanzado por una
onda, se convierte en
foco emisor de ondas secundarias.
Interferencias
Este es uno de los fenómenos mas llamativos de las ondas, la posibilidad de interferir y
producir interferencias constructivas y destructivas. El fenómeno fue experimentado con ondas
luminosas antes de saber que la luz poseía tal carácter en una célebre experiencia realizada por
Young con dos rendijas muy finas separadas por una distancia menor que 1 mm.
d1
L
d2
d2 - d1 = nλ → Interferencia constructiva
d2 - d1 = (2n + 1)λ/2 → Interferencia destructiva
El fenómeno es fácil de
visualizar en una cubeta de ondas, un
modelo para estudiar el comportamiento
de las ondas usando las ondas que se
propagan en el agua. Si hacemos que
una onda pase por dos rendijas muy
próximas, las dos ondas formadas se
reunirán de nuevo en distintos puntos.
Cuando la diferencia de distancias
recorridas por ambas ondas ∆d sea un
múltiplo entero de longitudes de onda,
éstas llegarán en fase, produciéndose
interferencia constructiva. Cuando la
MOVIMIENTO ONDULATORIO - 3
diferencia de distancias recorridas por ambas ondas ∆d sea un múltiplo impar de semilongitudes
de onda, éstas llegarán en oposición de fase, produciéndose interferencia destructiva.
∆d = λ
∆d =
λ
2
∆d = 0
∆d =
λ
2
∆d = λ
Interferencias en una cubeta de ondas
Se observarán alternativamente por tanto, direcciones de propagación con interferencia
constructiva e interferencia destructiva.
Ondas estacionarias
Consideremos dos ondas iguales que se propagan en la misma dirección pero en sentido
contrario, como por ejemplo el resultado de el encuentro de una onda con su reflejada:
Onda incidente
x
Onda reflejada
Y1 = Asen(ωt - kx)
Y2 = Asen(ωt + kx)
La superposición de las dos ondas dará lugar a otra onda, que tendrá por función:
Y = Y1 + Y2 = 2Asen kx cos ωt = A cosωt
MOVIMIENTO ONDULATORIO - 4
Tal onda no se
desplaza, existiendo unos
puntos llamados nodos
donde la amplitud es
siempre cero.
Nodos
Un caso interesante es el
de una cuerda fija por sus
dos extremos; se forma
una onda estacionaria que
no puede tener cualquier
longitud de onda, sino
únicamente aquella que
cumpla que
λ/2
L=n
λ
2
siendo L la distancia entre los extremos de la cuerda. Para n = 1 tenemos la frecuencia
fundamental de vibración f0.
n=1
λ = 2L
f0 = v/2L
n=3
λ = 2L/3
f = 3f0
n=2
λ=L
f = 2f0
n =4
λ = L/2
f = 4f0
Difracción
Si hacemos llegar un frente de ondas (por ejemplo ondas de agua) sobre una rendija, el
resultado varía según el tamaño de la rendija. Solo si la longitud de onda es mayor que el
tamaño de la rendija, se observa que el orificio se convierte en foco emisor de ondas dando
lugar al fenómeno de la difracción.
En el modelo de la figura, en el primer caso, el punto P no se ve alcanzado por las
ondas, mientras que en el segundo si.
MOVIMIENTO ONDULATORIO - 5
Por ejemplo, usando ondas luminosas (λ ≈ 10-7 m), aparecerá difracción para orificios u
obstáculos de esa envergadura.
Reflexión y refracción
Cuando un frente de ondas choca con una superficie tenemos el fenómeno de la
reflexión (inversión de una velocidad), o refracción (continua cambiando de dirección).
i
1
i
r
2
r
En la reflexión, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión: i = r.
En la refracción, ángulo de incidencia y de refracción se relacionan con la ley de Snell:
sen i v1 n 2
=
=
sen r v 2 n1
la constante n recibe el nombre de índice de refracción y es la velocidad de la onda en el vacío
dividido por la velocidad en el medio.
c
n=
v
Hay un ángulo límite que hace que desaparezca la refracción (cuando r = 90º), entonces
sen iL = n, y todo el rayo sale reflejado (reflexión total).
iL
MOVIMIENTO ONDULATORIO - 6
Polarización
En las ondas transversales, existen multitud de planos posibles de vibración. Si
mediante algún mecanismo obligamos que la onda vibre en un solo plano, tenemos una onda
polarizada.
Modelo de polarización de una onda electromagnética
Así para la luz, que es la propagación de un campo eléctrico y magnético
perpendiculares a la dirección de propagación, si interponemos un filtro especial, solamente se
deja pasar aquellas vibraciones que tengan una dirección determinada, obteniéndose luz
polarizada.
Existen distintos mecanismos para polarizar la luz aunque principalmente son dos por
absorción y por reflexión. La polarización por
absorción consiste en que ciertas sustancias
absorben luz en cualquier plano posible de
vibración menos en uno.
luz polarizada
ip
polarizador
La polarización por reflexión se produce cuando
la luz al pasar de un medio a otro
(produciéndose reflexión y refracción) lo hace
con un ángulo tal que el rayo reflejado y el
refractado forman 90º. Entonces el rayo
reflejado
sale
totalmente
polarizado;
cumpliéndose:
sen i p
sen r
=
sen i p
sen( 90 − i p )
=
sen i p
cos i p
= tani p =
90º
r
n2
n1
(ley de Brewster)
MOVIMIENTO ONDULATORIO - 7
1. La ecuación de cierta onda es Y = 10 sen 2π(2x -100t), donde x se mide en metros y t en
segundos. Hallar:
a) La amplitud.
b) la longitud de onda.
c) La frecuencia.
d) La velocidad de propagación.
e) Representar gráficamente la onda para t = 0 y t = 2.4 ms.
0
Comparando con la ecuación general: Y = Asen (kx - ωt):
A = 10 m
k = 4π m-1
ω = 200π s-1
k = 2π/λ;
λ = 0.5 m
ω = 2πf
v=
λ
T
f = 100 Hz
= λf = 50 m/s
10
8
6
2.4 ms
4
y (m)
2
0
0 ms
-2
-4
-6
-8
-10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x (m)
2. Obtener la longitud de onda y la frecuencia del campo eléctrico definido por:
E(x,t) = 10-3 cos(200x - 5⋅1010t), x(m), t(s). ¿Cuál es el índice de refracción del medio?
La fase del movimiento ondulatorio kx - ωt, nos permite identificar:
ω = 5⋅1010 s-1 = 2πf; f = 5⋅1010/2π = 7.96 GHz.
k = 200 m-1 = 2π/λ; λ = 31.42 mm
v = λf = 2.5⋅108 m/s.
Por tanto el índice de refracción n =
c
v
= 1.2
MOVIMIENTO ONDULATORIO - 8
3. Dos ondas transversales polarizadas en el mismo plano de polarización, se propagan en una
cuerda en la misma dirección, tienen la misma frecuencia (100 Hz), longitud de onda (2 m) y
amplitud (2 cm), pero están desfasadas 60º. Calcular:
a) La velocidad de propagación de las ondas en esa cuerda.
b) La amplitud de la onda resultante y su ecuación de onda.
c) La velocidad máxima de un punto cualquiera de la onda.
a) v = λf = 200 m/s.
b) Se trata de sumar dos ondas:
Y = Y1 + Y2 = Asen (kx - ωt + ϕ1) + Asen (kx - ωt + ϕ2) = 2Acos
Por tanto, la amplitud de la onda resultante A = 2Acos
∆ϕ
2
∆ϕ
2
sen (kx - ωt + ϕmedio) (1)
= 0.02 3 m.
Y = 0.02 3 sen (πx - 200πt + π/6) figura 1
0.04
0.03
0.02
y (m)
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
x (m)
figura 1. Onda resultante de dos ondas desfasadas 60º
c) V=
1
dY
dt
= -Aω sen (kx - ωt + ϕmedio), por lo que vmax = Aω = 0.02 3 2π100 = 4π 3 m/s
Recordar que senα+senβ = 2sen
α +β
2
cos
α−β
2
MOVIMIENTO ONDULATORIO - 9
4. Una onda de frecuencia 5000 Hz tiene una velocidad de fase de 200 m/s.
a) ¿Cuál es la separación entre dos puntos que tengan una diferencia de fase de 45º?
b) ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos elongaciones en un mismo punto que estén separados
por un intervalo de 0.1 ms?
λ = 40 mm
a) La longitud de onda λ vale λ = v/f =
2π
= 50π m-1
200/5000 = 0.04 m. k =
λ
y el ángulo de fase ϕ = kx - ωt, luego la
diferencia de fase entre dos puntos de la
onda en el mismo instante será:
∆ϕ = ϕ2 - ϕ1 = k(x2 - x1).
x
π/4 = 50π∆x; ∆x = 0.005 m.
∆ϕ = 45º → 5mm
b) La diferencia de fase será ahora:
∆ϕ = ϕ2 - ϕ1 = ω(t2 - t1).
t1 = 0
t2 = 0.1 ms
-1
ω = 2πf = 10000π s ;
∆ϕ = 104π10-4 = π rad.
Es decir, las dos elongaciones del mismo punto se
hallan en oposición de fase.
5. Si una onda sonora atraviesa un espesor de pared de 10 cm, su intensidad se reduce de 12 a 2
pW/cm2. Hallar el coeficiente de absorción.
Aplicando la ley de la absorción I = Ioe-βx; β =
1
x
ln
Io
I
= 10 ln6 = 17.9 m-1
6. Un foco emite ondas esféricas con una potencia de 100 W. ¿Cuál es la intensidad de la onda a
10 m del foco?
I=
P
4πr
2
=
100
4π100
= 79.6 mW/m2
MOVIMIENTO ONDULATORIO - 10
7. La intensidad de un sonido se reduce a la mitad cuando ha atravesado 1 cm de cierto material.
¿En qué proporción se reducirá cuando haya recorrido 5 cm? ¿Cuánto vale el coeficiente de
absorción del material?
Aplicando la ley de la absorción I = Ioe-βx;
I
Io
=
1
2
 1 5 1
e − β5 =   =
2
32
= e −β1
β = ln 2 = 0.693 cm-1
8. La intensidad del sonido a 20 m de una explosión es de 2 W/m2. ¿A qué distancia hay que
alejarse para que sea de 1µW/m2?
La intensidad decrece con el cuadrado de la distancia:
P 
2

I
4πr12  I1  r2 
 =   ; r2 = r1 1 = 20 2 103 =28.3 km
P
I2
 I 2  r1 
I2 =
2
4πr2 
I1 =
9. Una onda elástica longitudinal, plana y armónica, se propaga a lo largo del eje x con una
velocidad de 2.4 km/s, siendo su longitud de onda 18 cm. En el punto x=0 la elongación es
máxima en el instante t = 24 µs y vale 0.1 mm. Hallar:
a) La ecuación que describe la onda.
b) La elongación y la velocidad en el punto de coordenadas x = 1 m en el instante t = 0.1 s.
a) El periodo T = λ/v = 7.5⋅10-5 s
y = Acos (kx - ωt + ϕ) = 0.1cos(
2π
0.18
x−
2π
7.5 ⋅ 10 −5
t + ϕ ) = 0.1cos2π(5.55x - 13333t + θ) mm
para obtener la fase θ tendremos en cuenta que y(x,t) = y(0 , 24µs) = 0.1:
13333⋅24⋅10-6 = θ = 0.32 rad
b) y(1m , 0.1s) = 0.1cos2π(5.55 - 1333.3 + 0.32) mm = -0.097 mm
v=
dy
dt
= 26666π⋅0.1sen2π(5.55x - 13333t + 0.32) mm/s =
2.67πsen2π(5.55x - 13333t + 0.32) m/s
v(1,0.1) = 2.67πsen2π(5.55 - 1333 + 0.32) = -0.53 m/s
MOVIMIENTO ONDULATORIO - 11