Rentas Vitalicias - Universidad Nacional de Colombia : Sede Medellin

Modelos Estocásticos para los Sistemas
Pensionales de Prestación Definida
y de Ahorro Individual
Dı́a 1 : Rentas Vitalicias
.
Minicurso para el IX Coloquio Internacional de Estadı́stica
“Métodos Estadı́sticos Aplicados a Finanzas y Salud”
Medellı́n, Junio 29 - Julio 2, 2012
Norman Giraldo
Escuela de Estadı́stica
Universidad Nacional de Colombia
1 /32
Contenido del Minicurso
1. Dı́a 1
1.1 Supervivencia Actuarial.
1.2 Sistemas de Amortización.
1.3 Rentas Vitalicias.
2. Dı́a 2: Sistemas Pensionales de Prestación Definida.
3. Dı́a 3: Modelo Actuarial para el Sistema de Retiro
Programado.
2 /32
Contenido del Minicurso
1. Dı́a 1
1.1 Supervivencia Actuarial.
1.2 Sistemas de Amortización.
1.3 Rentas Vitalicias.
2. Dı́a 2: Sistemas Pensionales de Prestación Definida.
3. Dı́a 3: Modelo Actuarial para el Sistema de Retiro
Programado.
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Contenido del Minicurso
1. Dı́a 1
1.1 Supervivencia Actuarial.
1.2 Sistemas de Amortización.
1.3 Rentas Vitalicias.
2. Dı́a 2: Sistemas Pensionales de Prestación Definida.
3. Dı́a 3: Modelo Actuarial para el Sistema de Retiro
Programado.
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Contenido del Minicurso
1. Dı́a 1
1.1 Supervivencia Actuarial.
1.2 Sistemas de Amortización.
1.3 Rentas Vitalicias.
2. Dı́a 2: Sistemas Pensionales de Prestación Definida.
3. Dı́a 3: Modelo Actuarial para el Sistema de Retiro
Programado.
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Contenido del Minicurso
1. Dı́a 1
1.1 Supervivencia Actuarial.
1.2 Sistemas de Amortización.
1.3 Rentas Vitalicias.
2. Dı́a 2: Sistemas Pensionales de Prestación Definida.
3. Dı́a 3: Modelo Actuarial para el Sistema de Retiro
Programado.
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Contenido del Minicurso
1. Dı́a 1
1.1 Supervivencia Actuarial.
1.2 Sistemas de Amortización.
1.3 Rentas Vitalicias.
2. Dı́a 2: Sistemas Pensionales de Prestación Definida.
3. Dı́a 3: Modelo Actuarial para el Sistema de Retiro
Programado.
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Objetivos del Cursillo
1. Introducir algunos elementos actuariales, matemáticos, etc.
que puedan contribuı́r a esclarecer la difı́cil discusión en torno
a la viabilidad ó nó del sistema público pensional y a si el
sistema RAIS es realmente un sistema que puede proveer una
pensión digna para la mayorı́a de los jubilados.
2. Definir los elementos de los sistemas públicos de pensiones
para compararlos con las nuevas figuras pensionales, con base
en inversiones en el mercado de renta variables.
3. Buscamos señalar algunos desarrollos recientes, sin entrar en
detalles, como por ejemplo, el uso de técnicas de control
óptimo para administración de fondos pensionales, que
puedan servir como criterios para establecer la viabilidad de
estos sistemas.
3 /32
Objetivos del Cursillo
1. Introducir algunos elementos actuariales, matemáticos, etc.
que puedan contribuı́r a esclarecer la difı́cil discusión en torno
a la viabilidad ó nó del sistema público pensional y a si el
sistema RAIS es realmente un sistema que puede proveer una
pensión digna para la mayorı́a de los jubilados.
2. Definir los elementos de los sistemas públicos de pensiones
para compararlos con las nuevas figuras pensionales, con base
en inversiones en el mercado de renta variables.
3. Buscamos señalar algunos desarrollos recientes, sin entrar en
detalles, como por ejemplo, el uso de técnicas de control
óptimo para administración de fondos pensionales, que
puedan servir como criterios para establecer la viabilidad de
estos sistemas.
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Objetivos del Cursillo
1. Introducir algunos elementos actuariales, matemáticos, etc.
que puedan contribuı́r a esclarecer la difı́cil discusión en torno
a la viabilidad ó nó del sistema público pensional y a si el
sistema RAIS es realmente un sistema que puede proveer una
pensión digna para la mayorı́a de los jubilados.
2. Definir los elementos de los sistemas públicos de pensiones
para compararlos con las nuevas figuras pensionales, con base
en inversiones en el mercado de renta variables.
3. Buscamos señalar algunos desarrollos recientes, sin entrar en
detalles, como por ejemplo, el uso de técnicas de control
óptimo para administración de fondos pensionales, que
puedan servir como criterios para establecer la viabilidad de
estos sistemas.
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Introducción: Dı́a 1
1. El objetivo de este capı́tulo consistes en definir qué es una
renta vitalicia, desde el punto de vista financiero y desde el
punto de vista actuarial.
2. Elementos básicos: las distribuciones de supervivencia,
sistemas de amortización de un crédito y vehı́culos de
financiamiento de las anualidades.
3. Ingredientes: ec. dif. + ing.fin. + prob.
4 /32
Introducción: Dı́a 1
1. El objetivo de este capı́tulo consistes en definir qué es una
renta vitalicia, desde el punto de vista financiero y desde el
punto de vista actuarial.
2. Elementos básicos: las distribuciones de supervivencia,
sistemas de amortización de un crédito y vehı́culos de
financiamiento de las anualidades.
3. Ingredientes: ec. dif. + ing.fin. + prob.
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Introducción: Dı́a 1
1. El objetivo de este capı́tulo consistes en definir qué es una
renta vitalicia, desde el punto de vista financiero y desde el
punto de vista actuarial.
2. Elementos básicos: las distribuciones de supervivencia,
sistemas de amortización de un crédito y vehı́culos de
financiamiento de las anualidades.
3. Ingredientes: ec. dif. + ing.fin. + prob.
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Distribuciones de Supervivencia
◮
Para valorar una renta vitalicia es necesario determinar la
probabilidad de supervivencia de una vida de edad x.
◮
Tal probabilidad depende del modelo de mortalidad humana
que se adopte.
◮
Modelos para la mortalidad humana: tablas de mortalidad.
◮
Distribuciones de superviencia: DeMoivre (1725) ,
Gompertz-Makeham (1825,1860), Lee-Carter (1992) (1 )
1
Lee, R.D., Carter, L.R. (1992) Modelling and Forecasting U.S. Mortality.
JASA 87, 659-671.
5 /32
Distribuciones de Supervivencia
◮
Para valorar una renta vitalicia es necesario determinar la
probabilidad de supervivencia de una vida de edad x.
◮
Tal probabilidad depende del modelo de mortalidad humana
que se adopte.
◮
Modelos para la mortalidad humana: tablas de mortalidad.
◮
Distribuciones de superviencia: DeMoivre (1725) ,
Gompertz-Makeham (1825,1860), Lee-Carter (1992) (1 )
1
Lee, R.D., Carter, L.R. (1992) Modelling and Forecasting U.S. Mortality.
JASA 87, 659-671.
5 /32
Distribuciones de Supervivencia
◮
Para valorar una renta vitalicia es necesario determinar la
probabilidad de supervivencia de una vida de edad x.
◮
Tal probabilidad depende del modelo de mortalidad humana
que se adopte.
◮
Modelos para la mortalidad humana: tablas de mortalidad.
◮
Distribuciones de superviencia: DeMoivre (1725) ,
Gompertz-Makeham (1825,1860), Lee-Carter (1992) (1 )
1
Lee, R.D., Carter, L.R. (1992) Modelling and Forecasting U.S. Mortality.
JASA 87, 659-671.
5 /32
Distribuciones de Supervivencia
◮
Para valorar una renta vitalicia es necesario determinar la
probabilidad de supervivencia de una vida de edad x.
◮
Tal probabilidad depende del modelo de mortalidad humana
que se adopte.
◮
Modelos para la mortalidad humana: tablas de mortalidad.
◮
Distribuciones de superviencia: DeMoivre (1725) ,
Gompertz-Makeham (1825,1860), Lee-Carter (1992) (1 )
1
Lee, R.D., Carter, L.R. (1992) Modelling and Forecasting U.S. Mortality.
JASA 87, 659-671.
5 /32
Vida remanente
◮
Denotamos por X una variable aleatoria continua que
represente el tiempo en años que habrá de vivir una persona
recién nacida.
◮
La vida remanente de una persona de edad x se define como
la variable T (x) = X − x|X > x.
◮
Su función de distribución acumulada está dada por:
G(t) := P (T (x) ≤ t) = P (X ≤ x + t|X > x)
(1)
Y su función de densidad está dada por:
g(t) :=
6 /32
f (x + t)
1 − F (x)
(2)
Vida remanente
◮
Denotamos por X una variable aleatoria continua que
represente el tiempo en años que habrá de vivir una persona
recién nacida.
◮
La vida remanente de una persona de edad x se define como
la variable T (x) = X − x|X > x.
◮
Su función de distribución acumulada está dada por:
G(t) := P (T (x) ≤ t) = P (X ≤ x + t|X > x)
(1)
Y su función de densidad está dada por:
g(t) :=
6 /32
f (x + t)
1 − F (x)
(2)
Vida remanente
◮
Denotamos por X una variable aleatoria continua que
represente el tiempo en años que habrá de vivir una persona
recién nacida.
◮
La vida remanente de una persona de edad x se define como
la variable T (x) = X − x|X > x.
◮
Su función de distribución acumulada está dada por:
G(t) := P (T (x) ≤ t) = P (X ≤ x + t|X > x)
(1)
Y su función de densidad está dada por:
g(t) :=
6 /32
f (x + t)
1 − F (x)
(2)
La notación actuarial
◮
La notación actuarial es
t qx
= G(t),
(3)
t px
= 1 − t qx = P(T (x) ≥ t).
(4)
Además, 0 qx = G(0) = 0 y 0 px = 1.
◮
La función t px es clave para el cálculo de las rentas vitalicias.
10 q23
5 p30
= 0.115 = probabilidad de (23) no sobreviva 10 años
= 0.833 = probabilidad de (30) sobreviva 5 años
7 /32
La notación actuarial
◮
La notación actuarial es
t qx
= G(t),
(3)
t px
= 1 − t qx = P(T (x) ≥ t).
(4)
Además, 0 qx = G(0) = 0 y 0 px = 1.
◮
La función t px es clave para el cálculo de las rentas vitalicias.
10 q23
5 p30
= 0.115 = probabilidad de (23) no sobreviva 10 años
= 0.833 = probabilidad de (30) sobreviva 5 años
7 /32
La notación actuarial
◮
La notación actuarial es
t qx
= G(t),
(3)
t px
= 1 − t qx = P(T (x) ≥ t).
(4)
Además, 0 qx = G(0) = 0 y 0 px = 1.
◮
La función t px es clave para el cálculo de las rentas vitalicias.
10 q23
5 p30
= 0.115 = probabilidad de (23) no sobreviva 10 años
= 0.833 = probabilidad de (30) sobreviva 5 años
7 /32
La notación actuarial
◮
La notación actuarial es
t qx
= G(t),
(3)
t px
= 1 − t qx = P(T (x) ≥ t).
(4)
Además, 0 qx = G(0) = 0 y 0 px = 1.
◮
La función t px es clave para el cálculo de las rentas vitalicias.
10 q23
5 p30
= 0.115 = probabilidad de (23) no sobreviva 10 años
= 0.833 = probabilidad de (30) sobreviva 5 años
7 /32
Intensidad ó Fuerza de Mortalidad
◮
La intensidad de mortalidad se define como:
P(t ≤ T (x) < t + h|T (x) > t)
h→0+
h
µx+t = lim
(5)
mide el riesgo de fallecer en un intervalo de tiempo muy
pequeño [t, t + h), para una vida (x), dado que se sobrevive t
años.
◮
Relaciones básicas
µx+t = −
t px
◮
d
ln(t px ),
dt
R
= e−
t
0
µx+s ds
La función µx+t es la base para los modelos paramétricos,
para: hombre, mujer, inválidos, válidos.
8 /32
(6)
(7)
Intensidad ó Fuerza de Mortalidad
◮
La intensidad de mortalidad se define como:
P(t ≤ T (x) < t + h|T (x) > t)
h→0+
h
µx+t = lim
(5)
mide el riesgo de fallecer en un intervalo de tiempo muy
pequeño [t, t + h), para una vida (x), dado que se sobrevive t
años.
◮
Relaciones básicas
µx+t = −
t px
◮
d
ln(t px ),
dt
R
= e−
t
0
µx+s ds
La función µx+t es la base para los modelos paramétricos,
para: hombre, mujer, inválidos, válidos.
8 /32
(6)
(7)
Intensidad ó Fuerza de Mortalidad
◮
La intensidad de mortalidad se define como:
P(t ≤ T (x) < t + h|T (x) > t)
h→0+
h
µx+t = lim
(5)
mide el riesgo de fallecer en un intervalo de tiempo muy
pequeño [t, t + h), para una vida (x), dado que se sobrevive t
años.
◮
Relaciones básicas
µx+t = −
t px
◮
d
ln(t px ),
dt
R
= e−
t
0
µx+s ds
La función µx+t es la base para los modelos paramétricos,
para: hombre, mujer, inválidos, válidos.
8 /32
(6)
(7)
La Distribución Gompertz-Makeham
◮
La distribución Gompertz-Makeham se define a partir de la
fuerza de mortalidad colocando
µx+t = a + b cx+t ,
(8)
con a > 0, a + b > 0 y c > 1
◮
◮
◮
El parámetro a mide la fuerza constante de mortalidad por
riesgo de accidente
El término b cx+t es la fuerza de mortalidad por
envejecimiento.
La probabilidad de (x) sobrevivir hasta la edad x+t es:
t px
= e−
Rt
0
µx+s ds
= sx g c
donde s = e−a , g = exp(−b/ ln(c)).
9 /32
x (ct −1)
(9)
La Distribución Gompertz-Makeham
◮
La distribución Gompertz-Makeham se define a partir de la
fuerza de mortalidad colocando
µx+t = a + b cx+t ,
(8)
con a > 0, a + b > 0 y c > 1
◮
◮
◮
El parámetro a mide la fuerza constante de mortalidad por
riesgo de accidente
El término b cx+t es la fuerza de mortalidad por
envejecimiento.
La probabilidad de (x) sobrevivir hasta la edad x+t es:
t px
= e−
Rt
0
µx+s ds
= sx g c
donde s = e−a , g = exp(−b/ ln(c)).
9 /32
x (ct −1)
(9)
La Distribución Gompertz-Makeham
◮
La distribución Gompertz-Makeham se define a partir de la
fuerza de mortalidad colocando
µx+t = a + b cx+t ,
(8)
con a > 0, a + b > 0 y c > 1
◮
◮
◮
El parámetro a mide la fuerza constante de mortalidad por
riesgo de accidente
El término b cx+t es la fuerza de mortalidad por
envejecimiento.
La probabilidad de (x) sobrevivir hasta la edad x+t es:
t px
= e−
Rt
0
µx+s ds
= sx g c
donde s = e−a , g = exp(−b/ ln(c)).
9 /32
x (ct −1)
(9)
La Distribución Gompertz-Makeham
◮
La distribución Gompertz-Makeham se define a partir de la
fuerza de mortalidad colocando
µx+t = a + b cx+t ,
(8)
con a > 0, a + b > 0 y c > 1
◮
◮
◮
El parámetro a mide la fuerza constante de mortalidad por
riesgo de accidente
El término b cx+t es la fuerza de mortalidad por
envejecimiento.
La probabilidad de (x) sobrevivir hasta la edad x+t es:
t px
= e−
Rt
0
µx+s ds
= sx g c
donde s = e−a , g = exp(−b/ ln(c)).
9 /32
x (ct −1)
(9)
Ejemplos de probabilidades con G-M
◮
La Superfinanciera en 2010 modificó las Tablas de Vida
vigentes, elaboradas con base en la experiencia del ISS para
1980-1989, y las reemplazó por tablas con base en la
experiencia de las Aseguradoras durante 2000-2008.
◮
Se ajustaron distribuciones G-M a estas tablas, para hombres
y mujeres, y resultaron 4 distribuciones. Al calcular 33 p62 con
éstas se obtiene los resultados
ISS H 80-89 0.1503363
ISS M 80-89 0.1110357
Aseg H 2010 0.2130193
Aseg M 2010 0.2010437
10 /32
Ejemplos de probabilidades con G-M
◮
La Superfinanciera en 2010 modificó las Tablas de Vida
vigentes, elaboradas con base en la experiencia del ISS para
1980-1989, y las reemplazó por tablas con base en la
experiencia de las Aseguradoras durante 2000-2008.
◮
Se ajustaron distribuciones G-M a estas tablas, para hombres
y mujeres, y resultaron 4 distribuciones. Al calcular 33 p62 con
éstas se obtiene los resultados
ISS H 80-89 0.1503363
ISS M 80-89 0.1110357
Aseg H 2010 0.2130193
Aseg M 2010 0.2010437
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Ejemplos de probabilidades con G-M
◮
La Superfinanciera en 2010 modificó las Tablas de Vida
vigentes, elaboradas con base en la experiencia del ISS para
1980-1989, y las reemplazó por tablas con base en la
experiencia de las Aseguradoras durante 2000-2008.
◮
Se ajustaron distribuciones G-M a estas tablas, para hombres
y mujeres, y resultaron 4 distribuciones. Al calcular 33 p62 con
éstas se obtiene los resultados
ISS H 80-89 0.1503363
ISS M 80-89 0.1110357
Aseg H 2010 0.2130193
Aseg M 2010 0.2010437
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Ejemplos de probabilidades con G-M
◮
La Superfinanciera en 2010 modificó las Tablas de Vida
vigentes, elaboradas con base en la experiencia del ISS para
1980-1989, y las reemplazó por tablas con base en la
experiencia de las Aseguradoras durante 2000-2008.
◮
Se ajustaron distribuciones G-M a estas tablas, para hombres
y mujeres, y resultaron 4 distribuciones. Al calcular 33 p62 con
éstas se obtiene los resultados
ISS H 80-89 0.1503363
ISS M 80-89 0.1110357
Aseg H 2010 0.2130193
Aseg M 2010 0.2010437
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Ejemplos de probabilidades con G-M
◮
La Superfinanciera en 2010 modificó las Tablas de Vida
vigentes, elaboradas con base en la experiencia del ISS para
1980-1989, y las reemplazó por tablas con base en la
experiencia de las Aseguradoras durante 2000-2008.
◮
Se ajustaron distribuciones G-M a estas tablas, para hombres
y mujeres, y resultaron 4 distribuciones. Al calcular 33 p62 con
éstas se obtiene los resultados
ISS H 80-89 0.1503363
ISS M 80-89 0.1110357
Aseg H 2010 0.2130193
Aseg M 2010 0.2010437
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Ejemplos de probabilidades con G-M
◮
La Superfinanciera en 2010 modificó las Tablas de Vida
vigentes, elaboradas con base en la experiencia del ISS para
1980-1989, y las reemplazó por tablas con base en la
experiencia de las Aseguradoras durante 2000-2008.
◮
Se ajustaron distribuciones G-M a estas tablas, para hombres
y mujeres, y resultaron 4 distribuciones. Al calcular 33 p62 con
éstas se obtiene los resultados
ISS H 80-89 0.1503363
ISS M 80-89 0.1110357
Aseg H 2010 0.2130193
Aseg M 2010 0.2010437
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1.0
1.0
Probabilidades de Supervivencia
hombres: ISS 80−89
mujeres: ISS 80−89
0.6
prob supervivencia
0.0
0.2
0.4
0.6
0.4
0.0
0.2
prob supervivencia
0.8
mujeres: ISS 2010
0.8
hombres: ISS 2010
60
70
80
edad
90
100
60
70
80
90
100
edad
Figure: Comparación de Probabilidades de Supervivencia
11 /32
Sistemas de Amortización. Método continuo.
◮
En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral
para plantear los sistemas de amortización y pensiones =
Método continuo
◮
Un sistema pensional se puede ver como un sistema de
amortización de un crédito.
◮
Un sistema de amortización de un crédito con capitalización
continua, en el perı́odo [0, T ], requiere las variables
. Vt = el saldo de la deuda al tiempo t.
. δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó
constante,
Rt
. 0 Vs δ(s)ds = los intereses más capital generados en [0, t]
. B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas,
Rt
. 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0, t].
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Sistemas de Amortización. Método continuo.
◮
En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral
para plantear los sistemas de amortización y pensiones =
Método continuo
◮
Un sistema pensional se puede ver como un sistema de
amortización de un crédito.
◮
Un sistema de amortización de un crédito con capitalización
continua, en el perı́odo [0, T ], requiere las variables
. Vt = el saldo de la deuda al tiempo t.
. δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó
constante,
Rt
. 0 Vs δ(s)ds = los intereses más capital generados en [0, t]
. B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas,
Rt
. 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0, t].
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Sistemas de Amortización. Método continuo.
◮
En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral
para plantear los sistemas de amortización y pensiones =
Método continuo
◮
Un sistema pensional se puede ver como un sistema de
amortización de un crédito.
◮
Un sistema de amortización de un crédito con capitalización
continua, en el perı́odo [0, T ], requiere las variables
. Vt = el saldo de la deuda al tiempo t.
. δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó
constante,
Rt
. 0 Vs δ(s)ds = los intereses más capital generados en [0, t]
. B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas,
Rt
. 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0, t].
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Sistemas de Amortización. Método continuo.
◮
En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral
para plantear los sistemas de amortización y pensiones =
Método continuo
◮
Un sistema pensional se puede ver como un sistema de
amortización de un crédito.
◮
Un sistema de amortización de un crédito con capitalización
continua, en el perı́odo [0, T ], requiere las variables
. Vt = el saldo de la deuda al tiempo t.
. δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó
constante,
Rt
. 0 Vs δ(s)ds = los intereses más capital generados en [0, t]
. B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas,
Rt
. 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0, t].
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Sistemas de Amortización. Método continuo.
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En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral
para plantear los sistemas de amortización y pensiones =
Método continuo
◮
Un sistema pensional se puede ver como un sistema de
amortización de un crédito.
◮
Un sistema de amortización de un crédito con capitalización
continua, en el perı́odo [0, T ], requiere las variables
. Vt = el saldo de la deuda al tiempo t.
. δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó
constante,
Rt
. 0 Vs δ(s)ds = los intereses más capital generados en [0, t]
. B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas,
Rt
. 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0, t].
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Sistemas de Amortización. Método continuo.
◮
En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral
para plantear los sistemas de amortización y pensiones =
Método continuo
◮
Un sistema pensional se puede ver como un sistema de
amortización de un crédito.
◮
Un sistema de amortización de un crédito con capitalización
continua, en el perı́odo [0, T ], requiere las variables
. Vt = el saldo de la deuda al tiempo t.
. δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó
constante,
Rt
. 0 Vs δ(s)ds = los intereses más capital generados en [0, t]
. B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas,
Rt
. 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0, t].
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Sistemas de Amortización. Método continuo.
◮
En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral
para plantear los sistemas de amortización y pensiones =
Método continuo
◮
Un sistema pensional se puede ver como un sistema de
amortización de un crédito.
◮
Un sistema de amortización de un crédito con capitalización
continua, en el perı́odo [0, T ], requiere las variables
. Vt = el saldo de la deuda al tiempo t.
. δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó
constante,
Rt
. 0 Vs δ(s)ds = los intereses más capital generados en [0, t]
. B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas,
Rt
. 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0, t].
12 /32
Sistemas de Amortización. Método continuo.
◮
En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral
para plantear los sistemas de amortización y pensiones =
Método continuo
◮
Un sistema pensional se puede ver como un sistema de
amortización de un crédito.
◮
Un sistema de amortización de un crédito con capitalización
continua, en el perı́odo [0, T ], requiere las variables
. Vt = el saldo de la deuda al tiempo t.
. δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó
constante,
Rt
. 0 Vs δ(s)ds = los intereses más capital generados en [0, t]
. B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas,
Rt
. 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0, t].
12 /32
Ecuaciones de Flujo de Caja
◮
El flujo de caja del crédito durante la vida del mismo se
describe con una ecuación diferencial lineal
Vt′ = δ(t)Vt − B(t),
◮
(10)
para 0 ≤ t ≤ T , con V0 > 0 dado y VT = 0, la condición de
cierre en el caso de δ(t) no aleatorio ó constante. El valor V0
es el monto del crédito.
Rt
La solución Vt de (10) en función de Λ(t) = 0 δ(s)ds cumple
e
13 /32
−Λ(t)
Vt = V0 −
Z
t
0
e−Λ(s) B(s)ds,
(11)
Ecuaciones de Flujo de Caja
◮
El flujo de caja del crédito durante la vida del mismo se
describe con una ecuación diferencial lineal
Vt′ = δ(t)Vt − B(t),
◮
(10)
para 0 ≤ t ≤ T , con V0 > 0 dado y VT = 0, la condición de
cierre en el caso de δ(t) no aleatorio ó constante. El valor V0
es el monto del crédito.
Rt
La solución Vt de (10) en función de Λ(t) = 0 δ(s)ds cumple
e
13 /32
−Λ(t)
Vt = V0 −
Z
t
0
e−Λ(s) B(s)ds,
(11)
Condición de Cierre
◮
La solución en t = T cumple
e
−Λ(T )
VT = V0 −
Z
T
e−Λ(s) B(s)ds.
(12)
0
◮
La condición de cierre es VT = 0, para δ(t) no aleatorio, y es
E(e−Λ(T ) VT ) = 0 para aleatoria.
◮
Supongamos el caso no aleatorio por el momento. Luego
V0 =
Z
T
e−Λ(s) B(s)ds.
(13)
0
Esta condición permite encontrar los parámetros en varias
fórmulas para la tasa de pagos B(s). Interpretación: el valor
presente de las cuotas iguala el valor del crédito.
14 /32
Condición de Cierre
◮
La solución en t = T cumple
e
−Λ(T )
VT = V0 −
Z
T
e−Λ(s) B(s)ds.
(12)
0
◮
La condición de cierre es VT = 0, para δ(t) no aleatorio, y es
E(e−Λ(T ) VT ) = 0 para aleatoria.
◮
Supongamos el caso no aleatorio por el momento. Luego
V0 =
Z
T
e−Λ(s) B(s)ds.
(13)
0
Esta condición permite encontrar los parámetros en varias
fórmulas para la tasa de pagos B(s). Interpretación: el valor
presente de las cuotas iguala el valor del crédito.
14 /32
Condición de Cierre
◮
La solución en t = T cumple
e
−Λ(T )
VT = V0 −
Z
T
e−Λ(s) B(s)ds.
(12)
0
◮
La condición de cierre es VT = 0, para δ(t) no aleatorio, y es
E(e−Λ(T ) VT ) = 0 para aleatoria.
◮
Supongamos el caso no aleatorio por el momento. Luego
V0 =
Z
T
e−Λ(s) B(s)ds.
(13)
0
Esta condición permite encontrar los parámetros en varias
fórmulas para la tasa de pagos B(s). Interpretación: el valor
presente de las cuotas iguala el valor del crédito.
14 /32
Sistemas de Amortización
◮
Las fórmulas para la tasa de pagos son los sistemas de
amortización de créditos. Un tratamiento completo de los
sistemas que se usaron en el paı́s en 1985 está (2 ). Dos
ejemplos muy conocidos son:
. El sistema de cuotas crecientes geométricamente (Ahorramas).
. El sistema de cuotas decrecientes linealmente (BCH, sistemas
I-V).
◮
Se pueden re-interpretar estos sistemas de amortización como
formas de pagos de pensiones.
◮
E interpretar el sistema de retiro programado introducido en la
Ley100/93 como un sistema de amortización, para compararlo
con estos sistemas.
2
Gomez Ceballos, J. (1885). Sistemas de Amortización. Tecno Mundo
Editores, Ltda, Armenia Colombia
15 /32
Sistemas de Amortización
◮
Las fórmulas para la tasa de pagos son los sistemas de
amortización de créditos. Un tratamiento completo de los
sistemas que se usaron en el paı́s en 1985 está (2 ). Dos
ejemplos muy conocidos son:
. El sistema de cuotas crecientes geométricamente (Ahorramas).
. El sistema de cuotas decrecientes linealmente (BCH, sistemas
I-V).
◮
Se pueden re-interpretar estos sistemas de amortización como
formas de pagos de pensiones.
◮
E interpretar el sistema de retiro programado introducido en la
Ley100/93 como un sistema de amortización, para compararlo
con estos sistemas.
2
Gomez Ceballos, J. (1885). Sistemas de Amortización. Tecno Mundo
Editores, Ltda, Armenia Colombia
15 /32
Sistemas de Amortización
◮
Las fórmulas para la tasa de pagos son los sistemas de
amortización de créditos. Un tratamiento completo de los
sistemas que se usaron en el paı́s en 1985 está (2 ). Dos
ejemplos muy conocidos son:
. El sistema de cuotas crecientes geométricamente (Ahorramas).
. El sistema de cuotas decrecientes linealmente (BCH, sistemas
I-V).
◮
Se pueden re-interpretar estos sistemas de amortización como
formas de pagos de pensiones.
◮
E interpretar el sistema de retiro programado introducido en la
Ley100/93 como un sistema de amortización, para compararlo
con estos sistemas.
2
Gomez Ceballos, J. (1885). Sistemas de Amortización. Tecno Mundo
Editores, Ltda, Armenia Colombia
15 /32
Sistemas de Amortización
◮
Las fórmulas para la tasa de pagos son los sistemas de
amortización de créditos. Un tratamiento completo de los
sistemas que se usaron en el paı́s en 1985 está (2 ). Dos
ejemplos muy conocidos son:
. El sistema de cuotas crecientes geométricamente (Ahorramas).
. El sistema de cuotas decrecientes linealmente (BCH, sistemas
I-V).
◮
Se pueden re-interpretar estos sistemas de amortización como
formas de pagos de pensiones.
◮
E interpretar el sistema de retiro programado introducido en la
Ley100/93 como un sistema de amortización, para compararlo
con estos sistemas.
2
Gomez Ceballos, J. (1885). Sistemas de Amortización. Tecno Mundo
Editores, Ltda, Armenia Colombia
15 /32
Sistemas de Amortización
◮
Las fórmulas para la tasa de pagos son los sistemas de
amortización de créditos. Un tratamiento completo de los
sistemas que se usaron en el paı́s en 1985 está (2 ). Dos
ejemplos muy conocidos son:
. El sistema de cuotas crecientes geométricamente (Ahorramas).
. El sistema de cuotas decrecientes linealmente (BCH, sistemas
I-V).
◮
Se pueden re-interpretar estos sistemas de amortización como
formas de pagos de pensiones.
◮
E interpretar el sistema de retiro programado introducido en la
Ley100/93 como un sistema de amortización, para compararlo
con estos sistemas.
2
Gomez Ceballos, J. (1885). Sistemas de Amortización. Tecno Mundo
Editores, Ltda, Armenia Colombia
15 /32
Sistemas de Amortización
◮
Las fórmulas para la tasa de pagos son los sistemas de
amortización de créditos. Un tratamiento completo de los
sistemas que se usaron en el paı́s en 1985 está (2 ). Dos
ejemplos muy conocidos son:
. El sistema de cuotas crecientes geométricamente (Ahorramas).
. El sistema de cuotas decrecientes linealmente (BCH, sistemas
I-V).
◮
Se pueden re-interpretar estos sistemas de amortización como
formas de pagos de pensiones.
◮
E interpretar el sistema de retiro programado introducido en la
Ley100/93 como un sistema de amortización, para compararlo
con estos sistemas.
2
Gomez Ceballos, J. (1885). Sistemas de Amortización. Tecno Mundo
Editores, Ltda, Armenia Colombia
15 /32
Sistemas de cuotas crecientes geométricamente
◮
En este sistema las cuotas aumentan anualmente por el IPC ó
por el incremento legal para el salario mı́nimo anual, ó por
algún porcentaje pactado.
◮
Este porcentaje se indica por la tasa continua efectiva anual
δ∆ . La expresión para la tasa de pagos es
B(t) = Ceδ∆ ⌊t⌋
◮
donde ⌊t⌋ es la función parte entera. El total pagado por
RT
cuotas durante el crédito es 0 B(s)ds.
(14)
Suponemos que las tasas son constantes: δ(t) ≡ δ, y además
que δ = δr + δ∆ , donde δr es la tasa real.
16 /32
Sistemas de cuotas crecientes geométricamente
◮
En este sistema las cuotas aumentan anualmente por el IPC ó
por el incremento legal para el salario mı́nimo anual, ó por
algún porcentaje pactado.
◮
Este porcentaje se indica por la tasa continua efectiva anual
δ∆ . La expresión para la tasa de pagos es
B(t) = Ceδ∆ ⌊t⌋
◮
donde ⌊t⌋ es la función parte entera. El total pagado por
RT
cuotas durante el crédito es 0 B(s)ds.
(14)
Suponemos que las tasas son constantes: δ(t) ≡ δ, y además
que δ = δr + δ∆ , donde δr es la tasa real.
16 /32
Sistemas de cuotas crecientes geométricamente
◮
En este sistema las cuotas aumentan anualmente por el IPC ó
por el incremento legal para el salario mı́nimo anual, ó por
algún porcentaje pactado.
◮
Este porcentaje se indica por la tasa continua efectiva anual
δ∆ . La expresión para la tasa de pagos es
B(t) = Ceδ∆ ⌊t⌋
◮
donde ⌊t⌋ es la función parte entera. El total pagado por
RT
cuotas durante el crédito es 0 B(s)ds.
(14)
Suponemos que las tasas son constantes: δ(t) ≡ δ, y además
que δ = δr + δ∆ , donde δr es la tasa real.
16 /32
Notación Actuarial
◮
El saldo de un crédito con tasa de pagos B(t) = 1, durante un
perı́odo [0, T ] cumple Vt′ = δVt − 1. El valor presente de los
pagos V0 es
āT
◮
δ
:= V0 =
Z
T
e−δs ds =
0
1 − e−δT
.
δ
(15)
El valor presente de anterior, pero con T pagos anticipados, a
la tasa eδ − 1, se denota
äT
δ
:=
T
−1
X
j=0
17 /32
e−δj =
1 − e−δT
.
1 − e−δ
(16)
Notación Actuarial
◮
El saldo de un crédito con tasa de pagos B(t) = 1, durante un
perı́odo [0, T ] cumple Vt′ = δVt − 1. El valor presente de los
pagos V0 es
āT
◮
δ
:= V0 =
Z
T
e−δs ds =
0
1 − e−δT
.
δ
(15)
El valor presente de anterior, pero con T pagos anticipados, a
la tasa eδ − 1, se denota
äT
δ
:=
T
−1
X
j=0
17 /32
e−δj =
1 − e−δT
.
1 − e−δ
(16)
Solución del Sistema con cuotas crecientes
geométricamente
◮
La condición de cierre es
Z
Z T
−δx
e B(s)ds = C
V0 =
0
◮
e−δs eδ∆ ⌊s⌋ ds.
(17)
0
La tasa de pagos es
B(t) = Ceδ∆ ⌊t⌋ =
◮
T
V0 eδ∆ ⌊t⌋
ā1 δ äT δr
(18)
Y por tanto
1
V0
Z
T
B(s)ds =
0
18 /32
eδ∆ (T −1) äT
ā1 δ äT
δr
δ∆
=
total pagos
valor del crédito
(19)
Solución del Sistema con cuotas crecientes
geométricamente
◮
La condición de cierre es
Z
Z T
−δx
e B(s)ds = C
V0 =
0
◮
e−δs eδ∆ ⌊s⌋ ds.
(17)
0
La tasa de pagos es
B(t) = Ceδ∆ ⌊t⌋ =
◮
T
V0 eδ∆ ⌊t⌋
ā1 δ äT δr
(18)
Y por tanto
1
V0
Z
T
B(s)ds =
0
18 /32
eδ∆ (T −1) äT
ā1 δ äT
δr
δ∆
=
total pagos
valor del crédito
(19)
Solución del Sistema con cuotas crecientes
geométricamente
◮
La condición de cierre es
Z
Z T
−δx
e B(s)ds = C
V0 =
0
◮
e−δs eδ∆ ⌊s⌋ ds.
(17)
0
La tasa de pagos es
B(t) = Ceδ∆ ⌊t⌋ =
◮
T
V0 eδ∆ ⌊t⌋
ā1 δ äT δr
(18)
Y por tanto
1
V0
Z
T
B(s)ds =
0
18 /32
eδ∆ (T −1) äT
ā1 δ äT
δr
δ∆
=
total pagos
valor del crédito
(19)
Solución del Sistema con cuotas decrecientes linealmente
◮
La condición de cierre, para C > 0 la cuota en el primer año,
y V0 dado, es
Z T
Z T
C⌊s⌋
−δs
−δx
e
C−
e B(s)ds =
V0 =
ds
T
0
0
!
eδ äT δ
e−δT
−
.
= C āT δ +
δ
δT
◮
La tasa de pagos es
V0 (1 − ⌊t⌋/T )
B(t) =
āT
◮
Y por tanto
Z T
1
B(s)ds =
V0 0
19 /32
δ
+
e−δT
δ
−
eδ ä
T
δT
(T + 1)/2
āT
δ
+
e−δT
δ
−
eδ ä
T
δT
=
δ
(20)
δ
total pagos
valor del crédito
(21)
Solución del Sistema con cuotas decrecientes linealmente
◮
La condición de cierre, para C > 0 la cuota en el primer año,
y V0 dado, es
Z T
Z T
C⌊s⌋
−δs
−δx
e
C−
e B(s)ds =
V0 =
ds
T
0
0
!
eδ äT δ
e−δT
−
.
= C āT δ +
δ
δT
◮
La tasa de pagos es
V0 (1 − ⌊t⌋/T )
B(t) =
āT
◮
Y por tanto
Z T
1
B(s)ds =
V0 0
19 /32
δ
+
e−δT
δ
−
eδ ä
T
δT
(T + 1)/2
āT
δ
+
e−δT
δ
−
eδ ä
T
δT
=
δ
(20)
δ
total pagos
valor del crédito
(21)
Solución del Sistema con cuotas decrecientes linealmente
◮
La condición de cierre, para C > 0 la cuota en el primer año,
y V0 dado, es
Z T
Z T
C⌊s⌋
−δs
−δx
e
C−
e B(s)ds =
V0 =
ds
T
0
0
!
eδ äT δ
e−δT
−
.
= C āT δ +
δ
δT
◮
La tasa de pagos es
V0 (1 − ⌊t⌋/T )
B(t) =
āT
◮
Y por tanto
Z T
1
B(s)ds =
V0 0
19 /32
δ
+
e−δT
δ
−
eδ ä
T
δT
(T + 1)/2
āT
δ
+
e−δT
δ
−
eδ ä
T
δT
=
δ
(20)
δ
total pagos
valor del crédito
(21)
0.0
0.5
1.0
cuotas
1.5
2.0
2.5
Ejemplos de Pagos Geométricos y Lineales
0
5
10
15
20
25
30
t
Figure: Negro = Geométrico , Rojo = Lineal decreciente
Para δr = 0.04, δ∆ = 0.06, T = 30,
(
4.890699 cuotas geométricas
total pagos
=
valor del crédito
2.026810 cuotas lineales decrecientes
20 /32
Rentas Vitalicias (1)
◮
Supuesto: Una Renta Vitalicia ó Anualidad de Vida es un
contrato entre dos partes, similar a un Crédito ó a un Bono.
◮
En su figura básica, una de las partes (el Emisor) se
compromete a realizar pagos periódicos, de acuerdo a una
fórmula bien definida y la otra (el titular) aporta un capital en
un solo contado ó en varios, como pago de una prima.
◮
Supuesto: Una renta vitalicia puede describirse mediante un
flujo de caja similar al de un crédito, por una ecuación
diferencial lineal
Vt′ = δ(t)Vt − B(t),
(22)
tal que 0 ≤ t ≤ T (x), y V0 es el precio de la anualidad.
◮
La tasa de pago anual de la renta vitalicia es B(t).
R t El pago al
titular durante un perı́odo [t1 , t2 ] está dado por t12 B(s)ds.
21 /32
Rentas Vitalicias (1)
◮
Supuesto: Una Renta Vitalicia ó Anualidad de Vida es un
contrato entre dos partes, similar a un Crédito ó a un Bono.
◮
En su figura básica, una de las partes (el Emisor) se
compromete a realizar pagos periódicos, de acuerdo a una
fórmula bien definida y la otra (el titular) aporta un capital en
un solo contado ó en varios, como pago de una prima.
◮
Supuesto: Una renta vitalicia puede describirse mediante un
flujo de caja similar al de un crédito, por una ecuación
diferencial lineal
Vt′ = δ(t)Vt − B(t),
(22)
tal que 0 ≤ t ≤ T (x), y V0 es el precio de la anualidad.
◮
La tasa de pago anual de la renta vitalicia es B(t).
R t El pago al
titular durante un perı́odo [t1 , t2 ] está dado por t12 B(s)ds.
21 /32
Rentas Vitalicias (1)
◮
Supuesto: Una Renta Vitalicia ó Anualidad de Vida es un
contrato entre dos partes, similar a un Crédito ó a un Bono.
◮
En su figura básica, una de las partes (el Emisor) se
compromete a realizar pagos periódicos, de acuerdo a una
fórmula bien definida y la otra (el titular) aporta un capital en
un solo contado ó en varios, como pago de una prima.
◮
Supuesto: Una renta vitalicia puede describirse mediante un
flujo de caja similar al de un crédito, por una ecuación
diferencial lineal
Vt′ = δ(t)Vt − B(t),
(22)
tal que 0 ≤ t ≤ T (x), y V0 es el precio de la anualidad.
◮
La tasa de pago anual de la renta vitalicia es B(t).
R t El pago al
titular durante un perı́odo [t1 , t2 ] está dado por t12 B(s)ds.
21 /32
Rentas Vitalicias (1)
◮
Supuesto: Una Renta Vitalicia ó Anualidad de Vida es un
contrato entre dos partes, similar a un Crédito ó a un Bono.
◮
En su figura básica, una de las partes (el Emisor) se
compromete a realizar pagos periódicos, de acuerdo a una
fórmula bien definida y la otra (el titular) aporta un capital en
un solo contado ó en varios, como pago de una prima.
◮
Supuesto: Una renta vitalicia puede describirse mediante un
flujo de caja similar al de un crédito, por una ecuación
diferencial lineal
Vt′ = δ(t)Vt − B(t),
(22)
tal que 0 ≤ t ≤ T (x), y V0 es el precio de la anualidad.
◮
La tasa de pago anual de la renta vitalicia es B(t).
R t El pago al
titular durante un perı́odo [t1 , t2 ] está dado por t12 B(s)ds.
21 /32
Rentas Vitalicias (2)
◮
El perı́odo del contrato es aleatorio, 0 ≤ t ≤ T (x).
◮
En el caso δ(t) ≡ δ = δr + δ∆ , y B(t) ≡ 1, el precio de la
anualidad que paga una unidad en pesos corrientes,
actualizados continuamente por costo de vida, es
Z 110−x
e−δr s s px ds.
(23)
āx|δr :=
0
◮
◮
Ejemplo. Para x=60, mujer, Ley G-M 1980-1989, la renta
vitalicia anual de 12 salarios mı́nimos $12 ∗ 566.700, si se
pacta una tasa real = 4.0% y una tasa inflación = 8%, anual,
vale $92′ 297.730.
Y vale $110′ 362.700 usando G-M 2000-2008.
22 /32
Rentas Vitalicias (2)
◮
El perı́odo del contrato es aleatorio, 0 ≤ t ≤ T (x).
◮
En el caso δ(t) ≡ δ = δr + δ∆ , y B(t) ≡ 1, el precio de la
anualidad que paga una unidad en pesos corrientes,
actualizados continuamente por costo de vida, es
Z 110−x
e−δr s s px ds.
(23)
āx|δr :=
0
◮
◮
Ejemplo. Para x=60, mujer, Ley G-M 1980-1989, la renta
vitalicia anual de 12 salarios mı́nimos $12 ∗ 566.700, si se
pacta una tasa real = 4.0% y una tasa inflación = 8%, anual,
vale $92′ 297.730.
Y vale $110′ 362.700 usando G-M 2000-2008.
22 /32
Rentas Vitalicias (2)
◮
El perı́odo del contrato es aleatorio, 0 ≤ t ≤ T (x).
◮
En el caso δ(t) ≡ δ = δr + δ∆ , y B(t) ≡ 1, el precio de la
anualidad que paga una unidad en pesos corrientes,
actualizados continuamente por costo de vida, es
Z 110−x
e−δr s s px ds.
(23)
āx|δr :=
0
◮
◮
Ejemplo. Para x=60, mujer, Ley G-M 1980-1989, la renta
vitalicia anual de 12 salarios mı́nimos $12 ∗ 566.700, si se
pacta una tasa real = 4.0% y una tasa inflación = 8%, anual,
vale $92′ 297.730.
Y vale $110′ 362.700 usando G-M 2000-2008.
22 /32
Rentas Vitalicias (2)
◮
El perı́odo del contrato es aleatorio, 0 ≤ t ≤ T (x).
◮
En el caso δ(t) ≡ δ = δr + δ∆ , y B(t) ≡ 1, el precio de la
anualidad que paga una unidad en pesos corrientes,
actualizados continuamente por costo de vida, es
Z 110−x
e−δr s s px ds.
(23)
āx|δr :=
0
◮
◮
Ejemplo. Para x=60, mujer, Ley G-M 1980-1989, la renta
vitalicia anual de 12 salarios mı́nimos $12 ∗ 566.700, si se
pacta una tasa real = 4.0% y una tasa inflación = 8%, anual,
vale $92′ 297.730.
Y vale $110′ 362.700 usando G-M 2000-2008.
22 /32
Rentas Vitalicias (3)
◮
Supuesto La reserva Vt está invertida en un portafolio y
sometida a riesgo de tasa, en el sentido de que δ(t) ahora es
aleatoria, y puede tomar valores negativos.
◮
Este supuesto no es estándar. Hay que explicar por qué tiene
validez.
◮
Las Compañı́as de Seguros venden Rentas Vitalicias y los
portafolios en donde invierten las primas son portafolios de
renta fija, conformados por tı́tulos TES de deuda pública.
Posiblemente tendrán inversiones con riesgo pero muy
consevadoras.
◮
Se utilizaba una técnica conocida como Inmunización, que
consiste en conformar portafolios de renta fija con igual
duración y convexidad que los portafolios de las anualidades.
23 /32
Rentas Vitalicias (3)
◮
Supuesto La reserva Vt está invertida en un portafolio y
sometida a riesgo de tasa, en el sentido de que δ(t) ahora es
aleatoria, y puede tomar valores negativos.
◮
Este supuesto no es estándar. Hay que explicar por qué tiene
validez.
◮
Las Compañı́as de Seguros venden Rentas Vitalicias y los
portafolios en donde invierten las primas son portafolios de
renta fija, conformados por tı́tulos TES de deuda pública.
Posiblemente tendrán inversiones con riesgo pero muy
consevadoras.
◮
Se utilizaba una técnica conocida como Inmunización, que
consiste en conformar portafolios de renta fija con igual
duración y convexidad que los portafolios de las anualidades.
23 /32
Rentas Vitalicias (3)
◮
Supuesto La reserva Vt está invertida en un portafolio y
sometida a riesgo de tasa, en el sentido de que δ(t) ahora es
aleatoria, y puede tomar valores negativos.
◮
Este supuesto no es estándar. Hay que explicar por qué tiene
validez.
◮
Las Compañı́as de Seguros venden Rentas Vitalicias y los
portafolios en donde invierten las primas son portafolios de
renta fija, conformados por tı́tulos TES de deuda pública.
Posiblemente tendrán inversiones con riesgo pero muy
consevadoras.
◮
Se utilizaba una técnica conocida como Inmunización, que
consiste en conformar portafolios de renta fija con igual
duración y convexidad que los portafolios de las anualidades.
23 /32
Rentas Vitalicias (3)
◮
Supuesto La reserva Vt está invertida en un portafolio y
sometida a riesgo de tasa, en el sentido de que δ(t) ahora es
aleatoria, y puede tomar valores negativos.
◮
Este supuesto no es estándar. Hay que explicar por qué tiene
validez.
◮
Las Compañı́as de Seguros venden Rentas Vitalicias y los
portafolios en donde invierten las primas son portafolios de
renta fija, conformados por tı́tulos TES de deuda pública.
Posiblemente tendrán inversiones con riesgo pero muy
consevadoras.
◮
Se utilizaba una técnica conocida como Inmunización, que
consiste en conformar portafolios de renta fija con igual
duración y convexidad que los portafolios de las anualidades.
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Rentas Vitalicias (4)
◮
Pero la demanda creciente de rentas vitalicias ha hecho que los
tı́tulos se encarezcan. Sucedió en el Reino Unido a principios
de 1990. A su vez, las rentas vitalicias se encarezcen.
◮
Pregunta: se puede financiar una renta vitalicia con el
mercado accionario en lugar de utilizar tı́tulos TES?.
◮
La respuesta se dió en el Reino Unido a principios de 1990:
aparecieron unos nuevos productos financieros denominados
en inglés “Investment-linked retirement-income
programmes”. Una traducción al castellano podrı́a ser:
retiros programados atados a fondos de inversiones, ó RPAFI.
◮
La figura del Retiro Programado, introducida en el art. 81 de
la Ley 100/93, la interpretamos aquı́ como un RPAFI. Es una
anualidad financiada con riesgo de mercado.
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Rentas Vitalicias (4)
◮
Pero la demanda creciente de rentas vitalicias ha hecho que los
tı́tulos se encarezcan. Sucedió en el Reino Unido a principios
de 1990. A su vez, las rentas vitalicias se encarezcen.
◮
Pregunta: se puede financiar una renta vitalicia con el
mercado accionario en lugar de utilizar tı́tulos TES?.
◮
La respuesta se dió en el Reino Unido a principios de 1990:
aparecieron unos nuevos productos financieros denominados
en inglés “Investment-linked retirement-income
programmes”. Una traducción al castellano podrı́a ser:
retiros programados atados a fondos de inversiones, ó RPAFI.
◮
La figura del Retiro Programado, introducida en el art. 81 de
la Ley 100/93, la interpretamos aquı́ como un RPAFI. Es una
anualidad financiada con riesgo de mercado.
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Rentas Vitalicias (4)
◮
Pero la demanda creciente de rentas vitalicias ha hecho que los
tı́tulos se encarezcan. Sucedió en el Reino Unido a principios
de 1990. A su vez, las rentas vitalicias se encarezcen.
◮
Pregunta: se puede financiar una renta vitalicia con el
mercado accionario en lugar de utilizar tı́tulos TES?.
◮
La respuesta se dió en el Reino Unido a principios de 1990:
aparecieron unos nuevos productos financieros denominados
en inglés “Investment-linked retirement-income
programmes”. Una traducción al castellano podrı́a ser:
retiros programados atados a fondos de inversiones, ó RPAFI.
◮
La figura del Retiro Programado, introducida en el art. 81 de
la Ley 100/93, la interpretamos aquı́ como un RPAFI. Es una
anualidad financiada con riesgo de mercado.
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Rentas Vitalicias (4)
◮
Pero la demanda creciente de rentas vitalicias ha hecho que los
tı́tulos se encarezcan. Sucedió en el Reino Unido a principios
de 1990. A su vez, las rentas vitalicias se encarezcen.
◮
Pregunta: se puede financiar una renta vitalicia con el
mercado accionario en lugar de utilizar tı́tulos TES?.
◮
La respuesta se dió en el Reino Unido a principios de 1990:
aparecieron unos nuevos productos financieros denominados
en inglés “Investment-linked retirement-income
programmes”. Una traducción al castellano podrı́a ser:
retiros programados atados a fondos de inversiones, ó RPAFI.
◮
La figura del Retiro Programado, introducida en el art. 81 de
la Ley 100/93, la interpretamos aquı́ como un RPAFI. Es una
anualidad financiada con riesgo de mercado.
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Lo que dice la Ley (1)
ARTÍCULO 81. RETIRO PROGRAMADO. El retiro programado
es la modalidad de pensión en la cual el afiliado o los beneficiarios
obtienen su pensión de la sociedad administradora, con cargo a su
cuenta individual de ahorro pensional y al bono pensional a que
hubiera lugar.
Para estos efectos, se calcula cada año una anualidad en unidades
de valor constante, igual al resultado de dividir el saldo de su
cuenta de ahorro y bono pensional, por el capital necesario para
financiar una unidad de renta vitalicia para el afiliado y sus
beneficiarios. La pensión mensual corresponderá a la doceava parte
de dicha anualidad.
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Lo que dice la Ley (2)
La “condición de paso a una anualidad”:
El saldo de la cuenta de ahorro pensional, mientras el afiliado
disfruta de una pensión por retiro programado, no podrá ser inferior
al capital requerido para financiar al afiliado y sus beneficiarios una
renta vitalicia de un salario mı́nimo legal mensual vigente.
26 /32
Lo que dice la Ley (3)
En 1996, el Decreto 832 del MHyCP estableció, en el artı́culo 12,
“la opción de paso a la renta vitalicia” como un mecanismo para
evitar la pérdida de la pensión, debido a efectos adversos en los
rendimientos. El artı́culo 12 se titula “Control de Saldos en el
Pago de Pensiones bajo la Modalidad de RP”.
En todo caso deberá incorporarse en el contrato de
retiro programado o en el reglamento respectivo, una
cláusula que aluda al artı́culo 81 de la Ley 100 de
1993...indicando que por tal razón, en el momento en
que el saldo deje de ser suficiente, deberá adquirirse una
póliza de Renta Vitalicia.
por valor de un salario mı́nimo mensual legal vigente.
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Un Modelo para RP por el método continuo (1)
◮
Para terminar esta Dı́a 1, se dan algunos pasos para modelar
el RP como un sistema de amortización.
◮
El objetivo es llegar a un modelo realista que permita
responder inquietudes sobre el desempeño del RP.
◮
Por ejemplo, calcular el indicador
1
V0
Z
T
B(s)ds =
0
total pagos
capital ahorrado
(24)
Y compararlo con el correspondiente indicador en el sistema de
prima media con prestación definida, del ISS por ley 100/93.
◮
3
4
Se han realizado estudios en esta última dirección, por
ejemplo Osorio, Martı́nez y Rodrı́quez (2005), (3 ), y en un
documento de Asofondos (4 ).
El Modelo DNPensión v 4.0. DNP, documento 285.
Estimación de los Subsidios en el Régimen de Prima Media
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Un Modelo para RP por el método continuo (1)
◮
Para terminar esta Dı́a 1, se dan algunos pasos para modelar
el RP como un sistema de amortización.
◮
El objetivo es llegar a un modelo realista que permita
responder inquietudes sobre el desempeño del RP.
◮
Por ejemplo, calcular el indicador
1
V0
Z
T
B(s)ds =
0
total pagos
capital ahorrado
(24)
Y compararlo con el correspondiente indicador en el sistema de
prima media con prestación definida, del ISS por ley 100/93.
◮
3
4
Se han realizado estudios en esta última dirección, por
ejemplo Osorio, Martı́nez y Rodrı́quez (2005), (3 ), y en un
documento de Asofondos (4 ).
El Modelo DNPensión v 4.0. DNP, documento 285.
Estimación de los Subsidios en el Régimen de Prima Media
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Un Modelo para RP por el método continuo (1)
◮
Para terminar esta Dı́a 1, se dan algunos pasos para modelar
el RP como un sistema de amortización.
◮
El objetivo es llegar a un modelo realista que permita
responder inquietudes sobre el desempeño del RP.
◮
Por ejemplo, calcular el indicador
1
V0
Z
T
B(s)ds =
0
total pagos
capital ahorrado
(24)
Y compararlo con el correspondiente indicador en el sistema de
prima media con prestación definida, del ISS por ley 100/93.
◮
3
4
Se han realizado estudios en esta última dirección, por
ejemplo Osorio, Martı́nez y Rodrı́quez (2005), (3 ), y en un
documento de Asofondos (4 ).
El Modelo DNPensión v 4.0. DNP, documento 285.
Estimación de los Subsidios en el Régimen de Prima Media
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Un Modelo para RP por el método continuo (1)
◮
Para terminar esta Dı́a 1, se dan algunos pasos para modelar
el RP como un sistema de amortización.
◮
El objetivo es llegar a un modelo realista que permita
responder inquietudes sobre el desempeño del RP.
◮
Por ejemplo, calcular el indicador
1
V0
Z
T
B(s)ds =
0
total pagos
capital ahorrado
(24)
Y compararlo con el correspondiente indicador en el sistema de
prima media con prestación definida, del ISS por ley 100/93.
◮
3
4
Se han realizado estudios en esta última dirección, por
ejemplo Osorio, Martı́nez y Rodrı́quez (2005), (3 ), y en un
documento de Asofondos (4 ).
El Modelo DNPensión v 4.0. DNP, documento 285.
Estimación de los Subsidios en el Régimen de Prima Media
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Un Modelo para RP por el método continuo (2)
◮
El modelo debe considerar un perı́odo [0, T (x)] aleatorio. Y un
tiempo intermedio T0 + 1, también aleatorio, en el cual ocurre
lo que plantea el Decreto 832 del MHyCP: el cambio a una
anualidad de vida, con pensión indexada por costo de vida.
◮
Iniciar con la ecuación básica, asumiendo una tasa constante
δ = δr + δ∆ . Un modelo más avanzado asumirá tasa variable,
por ejemplo
δ(t) = µt + σW (t)
(25)
con W (t) un proceso Wiener. O la tasa de rendimiento de un
portafolio rp (t) como se verá en el Dı́a 2 en un ejemplo.
◮
La ecuación es
Vt′ = δVt − B(t),
para 0 ≤ t ≤ T (x).
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(26)
Un Modelo para RP por el método continuo (2)
◮
El modelo debe considerar un perı́odo [0, T (x)] aleatorio. Y un
tiempo intermedio T0 + 1, también aleatorio, en el cual ocurre
lo que plantea el Decreto 832 del MHyCP: el cambio a una
anualidad de vida, con pensión indexada por costo de vida.
◮
Iniciar con la ecuación básica, asumiendo una tasa constante
δ = δr + δ∆ . Un modelo más avanzado asumirá tasa variable,
por ejemplo
δ(t) = µt + σW (t)
(25)
con W (t) un proceso Wiener. O la tasa de rendimiento de un
portafolio rp (t) como se verá en el Dı́a 2 en un ejemplo.
◮
La ecuación es
Vt′ = δVt − B(t),
para 0 ≤ t ≤ T (x).
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(26)
Un Modelo para RP por el método continuo (2)
◮
El modelo debe considerar un perı́odo [0, T (x)] aleatorio. Y un
tiempo intermedio T0 + 1, también aleatorio, en el cual ocurre
lo que plantea el Decreto 832 del MHyCP: el cambio a una
anualidad de vida, con pensión indexada por costo de vida.
◮
Iniciar con la ecuación básica, asumiendo una tasa constante
δ = δr + δ∆ . Un modelo más avanzado asumirá tasa variable,
por ejemplo
δ(t) = µt + σW (t)
(25)
con W (t) un proceso Wiener. O la tasa de rendimiento de un
portafolio rp (t) como se verá en el Dı́a 2 en un ejemplo.
◮
La ecuación es
Vt′ = δVt − B(t),
para 0 ≤ t ≤ T (x).
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(26)
Un Modelo para RP por el método continuo (3)
◮
Se define la tasa de pagos B(t) como

V⌊t⌋

si 0 ≤ tleqT0 + 1,

 āx+⌊t⌋|δr
B(t) =


C eδ∆ ⌊t−T0 −1⌋ si T + 1 < t ≤ T (x).
0
0
donde T0 + 1 es el tiempo en el cual se debe pasar a una
anualidad porque el saldo Vt ha disminuı́do talque no alcanza
para financiar una pensión mı́nima anual.
30 /32
Un Modelo para RP por el método continuo (4)
◮
Cómo se define T0 ?. Se empieza por el valor de la pensión
mı́nima anual en t = 0 cuando el pensionado tiene edad x.
Suponga que es Pmin .
◮
El capital inicial es V0 . Suponga que permite una pensión
anual de m > 1 veces el salario mı́nimo. Entonces
V0 = mPmin āx
◮
(27)
Entonces se define T0 como el mayor j ≥ 1 para el cual se
cumple
Vj+1
≥ Pmin eδ∆ (j+1) }
(28)
āx+j+1
31 /32
Un Modelo para RP por el método continuo (4)
◮
Cómo se define T0 ?. Se empieza por el valor de la pensión
mı́nima anual en t = 0 cuando el pensionado tiene edad x.
Suponga que es Pmin .
◮
El capital inicial es V0 . Suponga que permite una pensión
anual de m > 1 veces el salario mı́nimo. Entonces
V0 = mPmin āx
◮
(27)
Entonces se define T0 como el mayor j ≥ 1 para el cual se
cumple
Vj+1
≥ Pmin eδ∆ (j+1) }
(28)
āx+j+1
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Un Modelo para RP por el método continuo (4)
◮
Cómo se define T0 ?. Se empieza por el valor de la pensión
mı́nima anual en t = 0 cuando el pensionado tiene edad x.
Suponga que es Pmin .
◮
El capital inicial es V0 . Suponga que permite una pensión
anual de m > 1 veces el salario mı́nimo. Entonces
V0 = mPmin āx
◮
(27)
Entonces se define T0 como el mayor j ≥ 1 para el cual se
cumple
Vj+1
≥ Pmin eδ∆ (j+1) }
(28)
āx+j+1
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Un Modelo para RP por el método continuo (5)
◮
Una vez definido T0 se plantean dos flujos de caja. Uno en el
tramo 0 ≤ t ≤ T0 + 1 dado por
Vt′ = δVt − B1 (t),
V⌊t⌋
B1 (t) =
āx+⌊t⌋|δr
◮
(29)
El otro en el tramo final T0 + 1 ≤ t ≤ T (x)
Vt′ = δVt − B2 (t),
B2 (t) = C0 e
(30)
δ∆ ⌊t−T0 −1⌋
donde C0 = Pmin eδ∆ (T0 +1) . Y tal que E(VT (x) ) ≥ 0.
◮
Finalmente las ecuaciones (29), (30) se resuelven y se calculan
los indicadores de interés.
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Un Modelo para RP por el método continuo (5)
◮
Una vez definido T0 se plantean dos flujos de caja. Uno en el
tramo 0 ≤ t ≤ T0 + 1 dado por
Vt′ = δVt − B1 (t),
V⌊t⌋
B1 (t) =
āx+⌊t⌋|δr
◮
(29)
El otro en el tramo final T0 + 1 ≤ t ≤ T (x)
Vt′ = δVt − B2 (t),
B2 (t) = C0 e
(30)
δ∆ ⌊t−T0 −1⌋
donde C0 = Pmin eδ∆ (T0 +1) . Y tal que E(VT (x) ) ≥ 0.
◮
Finalmente las ecuaciones (29), (30) se resuelven y se calculan
los indicadores de interés.
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Un Modelo para RP por el método continuo (5)
◮
Una vez definido T0 se plantean dos flujos de caja. Uno en el
tramo 0 ≤ t ≤ T0 + 1 dado por
Vt′ = δVt − B1 (t),
V⌊t⌋
B1 (t) =
āx+⌊t⌋|δr
◮
(29)
El otro en el tramo final T0 + 1 ≤ t ≤ T (x)
Vt′ = δVt − B2 (t),
B2 (t) = C0 e
(30)
δ∆ ⌊t−T0 −1⌋
donde C0 = Pmin eδ∆ (T0 +1) . Y tal que E(VT (x) ) ≥ 0.
◮
Finalmente las ecuaciones (29), (30) se resuelven y se calculan
los indicadores de interés.
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