Significado y comprensión de la distribución normal en un curso

Significado y comprensión de la distribución normal en un curso
introductorio de análisis de datos
Carmen Batanero, Universidad de Granada, España
Liliana M. Tauber, Universidad Nacional del Litoral, Santa Fe, Argentina
Victoria Sánchez, Universidad de Sevilla, España
Quadrante, En prensa
RESUMEN: En este artículo describimos una experiencia de enseñanza de la distribución normal
dentro de un curso de análisis de datos basado en el uso de ordenadores y dirigido a estudiantes en su
primer año de estudios universitarios. Basándonos en un marco teórico sobre el significado de objetos
matemáticos, describimos diversos elementos de significado de la distribución normal y analizamos
los elementos específicos introducidos por el uso del ordenador. Evaluamos el conocimiento
adquirido por nuestros estudiantes al final del curso usando dos instrumentos: a) Un cuestionario
escrito; b) Tres tareas relacionadas a un fichero de datos nuevo para ser resueltas con la ayuda del
ordenador. Un análisis detallado de las respuestas de los estudiantes muestran que ellos aprendieron
a utilizar el software y adquirieron muchos de los elementos de significado considerados en la
enseñanza. Por el contrario, observamos dificultades en la discriminación entre los datos empíricos y
los modelos matemáticos, en interpretar en ciertos gráficos y resúmenes estadísticos y escasa
capacidad de análisis y síntesis.
Palabras clave: Significado y comprensión, distribución normal, enseñanza y aprendizaje de la
estadística, ordenadores.
ABSTRACT: In this paper we describe an experience for teaching the normal distribution inside a
course of data analysis based on the use of computers, and directed to students in their first year of
University studies. Basing on a theoretical framework about the meaning of mathematical objects, we
describe different elements of meaning in the normal distribution and emphasize the specific elements
induced by the use of computers. We assess the knowledge acquired by our students, at the end of the
course by using two different instruments: a) A written questionnaire; b) Three tasks regarding a new
data file to be solved with the help of computers. A detailed analysis of students' responses show that
the students learnt to use the software and acquired many elements of meanings considered in the
teaching. On the contrary, we observed difficulties in discriminating empirical data and mathematical
models, interpreting some statistics summaries and graphs and lack of analysis and synthesis ability.
Keywords: Meaning and understanding; normal distribution, teaching and learning statistics;
computers.
Introducción
Uno de los problemas didácticos principales en un curso introductorio de estadística a
nivel universitario es hacer la transición del análisis de datos a la inferencia (Moore, 1997). La
escasez del tiempo disponible y de los conocimientos previos de los estudiantes impide llevar
a cabo un estudio completo de la probabilidad. Es necesario, sin embargo, proporcionar a los
estudiantes nociones básicas sobre las distribuciones de probabilidad, ya que las dificultades
de comprensión de las mismas influyen en los errores de aplicación de los procedimientos
inferenciales, tales como la estimación por intervalos o los contrastes de hipótesis
(Vallecillos, 1996, 1999). Como afirman Cohen y Chechile (1997), estas distribuciones son
un tópico importante, incluso en un curso inicial, y los ordenadores, que han hecho más
accesible el análisis de datos para los estudiantes, también facilitan la enseñanza del tema.
En la Universidad de Granada estamos desarrollando una investigación, cuyo objetivo
principal es el estudio de las dificultades y errores de compresión de la distribución normal en
estudiantes del primer curso universitario, que no han seguido un bachillerato científico, y
apenas han adquirido conocimientos estadísticos durante la educación secundaria. Los
resultados que aquí presentamos corresponden al primer año del estudio y complementan los
publicados en Batanero, Tauber y Meyer (1999) y Tauber, Batanero y Sánchez (2000).
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Nos hemos centrado en la distribución normal, cuya relevancia en estadística se debe a
que muchos fenómenos físicos, biológicos, psicológicos o sociológicos, pueden ser
adecuadamente modelizados mediante ella. La distribución normal es también una buena
aproximación de otras distribuciones, como la binomial, Poisson o T de Student, para ciertos
valores de sus parámetros. Los teoremas de límite en cálculo de probabilidades aseguran que
la media y otros parámetros de las muestras aleatorias tienen una distribución
aproximadamente normal para muestras de suficiente tamaño, incluso en poblaciones no
normales, y muchos métodos estadísticos requieren la condición de normalidad para su
correcta aplicación. A pesar de esta importancia, no hemos encontrado un estudio sistemático
de los errores y dificultades de aprendizaje referidos a este tema y también son muy escasos
los antecedentes que hemos encontrado en relación al aprendizaje de la inferencia estadística
en alumnos universitarios.
Es claro que la dificultad de un tema depende en gran medida de la enseñanza
implementada. Por ello hemos decidido diseñar nosotros mismos una secuencia de enseñanza,
tomando como fundamento nuestro marco teórico sobre el significado institucional y personal
de los objetos matemáticos (Godino, 1996; Godino y Batanero, 1998). Nuestra secuencia
incorpora el uso de ordenadores, en su doble vertiente de herramienta didáctica y dispositivo
de cálculo y representación gráfica, que ha sido resaltada, entre otros, por Biehler (1997). En
particular, usamos el paquete estadístico Statgraphics, disponible en el laboratorio de
informática de la universidad de Granada.
Los objetivos del primer año de estudio, que describimos en este trabajo, fueron los
siguientes:
1. Diseñar una secuencia de enseñanza de la distribución normal, basada en el uso de
ordenadores y describir el cambio que el útil informático produce en el significado de la
distribución presentado a los estudiantes, respecto al significado presentado en el curso
introductorio de estadística en los textos universitarios.
2. Experimentar y realizar una primera evaluación de la secuencia didáctica en un grupo de
57 alumnos, dentro de una de las asignaturas optativas de la Universidad de Granada.
3. Construir instrumentos de evaluación adaptados a la naturaleza del curso, que permitan
evaluar el significado construido por los estudiantes al finalizar el mismo.
En lo que sigue describimos brevemente los fundamentos de nuestro estudio, el diseño de
la secuencia didáctica, comparándolo con la presentación del tema en una muestra de libros de
texto universitarios y la evaluación realizada tras la experiencia de enseñanza. Finalmente
describimos las principales conclusiones y cómo se han tenido en cuenta en la segunda fase
del estudio.
Fundamentos del estudio
En esta sección describiremos primeramente algunas investigaciones previas relacionadas
con la distribución normal y a continuación describiremos el marco teórico, caracterizando los
elementos del significado de la distribución normal presentados a los alumnos en el curso
(significado institucional). Se resaltarán aquellos elementos específicos implicados por el uso
del software estadístico.
Investigaciones Previas
Son pocas las investigaciones previas específicamente centradas sobre la comprensión de
la distribución normal y las que hemos encontrado estudian sólo puntos aislados en su
comprensión. El primer antecedente lo hallamos en el estudio de Piaget e Inhelder (1951)
sobre el desarrollo espontáneo en los niños de la comprensión de la convergencia estocástica.
En este trabajo, tratan de ver si los niños perciben la regularidad progresiva que aparece en la
disposición de una serie de granos de arena que caen a través de un pequeño orificio (en un
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aparato de Galton o en un reloj de arena). Estos autores consideran que, para predecir la
distribución final es preciso captar la simetría de las trayectorias posibles de los granos al caer
por el orificio, la equivalencia entre las partes simétricas, la dispersión y el papel de la repetición
del experimento en la regularidad final, que produce una distribución en forma de campana
(normal). Esta comprensión se produce en la etapa de las operaciones formales.
Respecto a los estudiantes universitarios, Huck, Cross y Clark (1986) han identificado dos
concepciones erróneas sobre las puntuaciones normales tipificadas: Por un lado, algunos
alumnos creen que todas las puntuaciones tipificadas han de tomar un valor comprendido entre
-3 y +3, mientras que otros estudiantes piensan que no hay límite para los valores máximo y
mínimo de estas puntuaciones. Hawkins, Jolliffe y Glickman (1992) describen errores en la
aproximación de una distribución binomial mediante la distribución normal, que se deben a la
no diferenciación entre lo discreto y lo continuo, lo que lleva a aplicar la corrección por
continuidad de una forma mecánica, sin entender su significado.
La comprensión del teorema central del límite y su implicación sobre las distribuciones
muestrales es un tema en el que se han descrito dificultades por parte de los estudiantes
quienes no perciben el efecto del tamaño de la muestra en la variabilidad (Rubin, Bruce y
Tenney, 1991) o no comprenden que la esperanza matemática de las distribuciones muestrales
depende del valor del parámetro desconocido en la población (Vallecillos, 1996, 1999).
Méndez (1991) compara la comprensión del teorema central del límite en estudiantes de
un curso introductorio y estudiantes expertos (que cursaban un doctorado), observando que
ninguno de los grupos dominaba el vocabulario técnico. Su estudio muestra también que los
estudiantes a nivel de doctorado mostraban una comprensión excesivamente formal del
teorema, mientras que los estudiantes del curso introductorio usaban los datos disponibles sin
tener en cuenta la población de la que provenían y sin considerar el tamaño de muestra.
Resultados similares son obtenidos por delMas, Garfield y Chance (1999), quienes
describen el programa Sampling Distribution y diseñan actividades educativas para guiar a
sus estudiantes en la exploración del teorema central del límite. En su experimento, los
estudiantes podían cambiar la forma de la distribución teórica de la población (normal,
sesgada, bimodal, uniforme, en forma de U) y simular la distribución muestral de diferentes
estadísticos para varios tamaños de muestra. El aprendizaje se evalúa midiendo el cambio
entre pre-test y post-test en un instrumento diseñado por los autores específicamente para
evaluar la comprensión de la forma y variabilidad de las distribuciones muestrales y el efecto
del tamaño de la muestra. Incluso cuando los resultados demostraron un cambio significativo
positivo en los estudiantes como consecuencia de la instrucción, delMas, Garfield y Chance
(1999) avisan que el uso de la tecnología no siempre produce una comprensión efectiva de las
distribuciones muestrales. Los autores sugieren que las nuevas actividades y la nueva
información sobre el software pueden interferir con el aprendizaje de los estudiantes sobre las
distribuciones muestrales, cuya comprensión requiere la integración de las ideas de
distribución, promedio, dispersión, muestra y aleatoriedad.
Un punto también importante son las actitudes. Wilensky (1995, 1997) define la ansiedad
epistemológica, como el sentimiento de confusión e indecisión que sienten la mayoría de los
estudiantes frente a las distintas formas de resolución de un problema, que es particularmente
elevada en el caso de la estadística. En sus entrevistas a personas de diversas edades, la
mayoría de ellos profesionales con conocimientos de estadística, les plantea resolver un
problema por medio de simulación en ordenador. Aunque, en general, los sujetos de su
investigación sabían resolver problemas relacionados con la distribución normal, no eran
capaces de justificar el uso de la distribución normal en lugar de la de otro concepto o
distribución, mostrando una acusada ansiedad epistemológica.
En todos estos trabajos se ponen de manifiesto dificultades en puntos aislados sobre la
comprensión de propiedades o teoremas relacionados con la distribución normal y se muestra
el interés de diseñar cursos específicos encaminados a mejorar esas dificultades. En nuestro
trabajo, adoptamos una perspectiva más amplia e integrada de la comprensión de la
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distribución normal, de su evaluación y de la enseñanza del tema, en coherencia con el marco
teórico que pasamos a detallar.
Significado y comprensión de la distribución normal en nuestra investigación
Nuestro trabajo se apoya en un marco teórico sobre el significado y la comprensión de los
objetos matemáticos (Godino, 1996; Godino y Batanero, 1998). Un supuesto epistemológico
básico es que los objetos matemáticos (por ejemplo, la distribución normal) emergen de la
actividad de resolución de problemas mediada por las herramientas semióticas disponibles en
los contextos institucionales. El significado de los objetos matemáticos se concibe como el
sistema de prácticas ligadas a campos de problemas específicos y se diferencian cinco tipo de
elementos:
1. Elementos extensivos: Las situaciones y campos de problemas de donde emerge el objeto.
2. Elementos ostensivos: Las herramientas semióticas disponibles para representar o para
operar con los problemas y objetos involucrados.
3. Elementos actuativos: Procedimientos y estrategias para resolver los problemas.
4. Elementos intensivos: Propiedades características y relaciones con otras entidades:
definiciones, teoremas, y proposiciones.
5. Elementos validativos: Argumentos que sirven para justificar o validar las soluciones.
Estos elementos pueden variar, según los contextos institucionales y personales en que se
afronta la resolución de un campo de problemas. La distribución normal, por ejemplo, no
tiene el mismo significado en la enseñanza secundaria que en un curso de estadística para
investigadores o para un estadístico que desarrolla nuevos métodos de inferencia. Ello nos
lleva a diferenciar entre significados institucionales y significados personales, según se traten
de prácticas socialmente compartidas, o se refieran a manifestaciones idiosincrásicas de
sujetos individuales.
Al tratar de resolver ciertas clases de problemas los sujetos construyen un significado
personal de los objetos matemáticos implicados y cuando entran a formar parte de una cierta
institución (por ejemplo, la universidad) puede ocurrir que las prácticas adquiridas
individualmente entren en conflicto con las admitidas para dicho objeto en el seno de la
institución. En consecuencia, la enseñanza tiene como principal objetivo lograr la
comprensión progresiva de la distribución normal por parte de los alumnos, entendida como
acoplamiento progresivo entre los elementos del significado personal e institucional.
A continuación describimos brevemente el significado institucional de la distribución
normal presentado a los alumnos en la enseñanza diseñada, que fue determinado a partir de los
siguientes elementos:
• Análisis epistemológico sobre el significado del concepto y su papel en los métodos
estadísticos.
• Análisis de la presentación del tema en una muestra de libros de texto universitarios
dirigidos a alumnos en ciencias sociales.
• Nuestra experiencia previa en la enseñanza del tema en la misma asignatura y al mismo tipo
de alumnos, con un enfoque basado en el uso de ordenadores.
Este significado institucional fue tomado como referencia para la construcción de los
instrumentos de evaluación y para analizar sus resultados e inferir las características del
significado personal de la distribución normal construido efectivamente por el grupo de
estudiantes que participó en esta primera fase del estudio.
En lo que sigue describimos brevemente los distintos elementos del significado
institucional de referencia que tomamos para la distribución normal en nuestra enseñanza,
con el fin de clarificar nuestro modelo teórico, en el que la comprensión de un concepto dado
implica la apropiación por parte del alumno de estos diversos elementos de significado del
concepto, y tiene, por tanto, un carácter sistémico.
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Elementos extensivos: Campos de problemas y contextos presentados. Cuatro han sido los
campos de problemas que se han tomado en este estudio y cuya resolución hace surgir la idea
de distribución normal:
P1. Ajuste de una curva al histograma o polígono de frecuencias en una distribución de datos
empíricos como modelo teórico aproximado en campos tales como la psicología,
biometría, o teoría de errores.
P2. Aproximación de distribuciones de variables aleatorias discretas con un número grande de
valores; por ejemplo en la distribución binomial para valores grandes del parámetro n.
P3. Obtención de distribuciones en el muestreo de la media y otros estadísticos de poblaciones
no necesariamente normales para muestras grandes (distribuciones asintóticas).
P4. Estimación por intervalos de confianza.
Estos problemas fueron planteados a los alumnos en contextos antropométricos,
psicológicos, económicos, meteorológicos, educativos y físicos. Además de problemas
clásicos para ser resueltos sin soporte informático, también se trabajó con ficheros de datos, lo
que permite plantear problemas más abiertos e introduce una filosofía multivariante y
exploratoria en el análisis de datos.
Elementos ostensivos: Representaciones. En la experiencia de enseñanza se utilizaron los
siguientes tipos de representaciones de los objetos abstractos con una doble función simbólica
e instrumental:
Representaciones gráficas y numéricas en soporte tradicional. Histogramas, polígonos de
frecuencias, curva de densidad, gráficos de caja y diagrama de tallos y hojas, representación
de áreas bajo la curva normal, representación de los intervalos centrales en una curva normal,
tablas de frecuencias y resúmenes estadísticos de tendencia central, dispersión y forma.
Representaciones verbales y algebraicas de la distribución normal. Términos como
normal, estadístico, parámetro, función de densidad, N(µ,σ), representación simbólica de la
función de densidad: N ( x ; µ , σ ) =
1
σ
2π
e − ( 1 / 2 ) [( x − µ
)/ σ ]2
, fórmula de tipificación,
representación de intervalos (x ± k. s) para muestras y (µ ± kσ) para poblaciones,
representación simbólica de los axiomas de probabilidad: p(xi)≥0,
+∞
∫
f ( x ) dx = 1
−∞
Representaciones ofrecidas por el ordenador. El programa Statgraphics brindó una gran
variedad de representaciones, tanto numéricas como gráficas, que se pueden realizar
rápidamente y disponer de forma simultánea en la pantalla. Además de las representaciones
usuales en los libros de texto analizados, hemos usado otras como representar las funciones
de densidad de varias distribuciones en un mismo marco de referencia o superponer el
histograma de frecuencias y la curva de densidad. Los valores críticos y áreas de colas son
representaciones que en los libros de texto sólo se ofrecen para la distribución normal
tipificada, mientras que en el ordenador son disponibles para cualquier distribución normal.
Elementos actuativos. Técnicas específicas realizadas para la resolución de problemas.
Se consideraron los siguientes tipos de estrategias y procedimientos para la resolución de los
problemas anteriormente descritos:
A1.Estudio descriptivo del conjunto de datos, para tratar de resolver el problema P1.
A2.Tipificación. Aunque la mayoría de los libros plantea la tipificación como un punto
imprescindible en el manejo de tablas, en nuestro caso sólo fue utilizada en la
comparación de distribuciones que tienen diferentes medias y desviaciones típicas.
A3.Cálculo de probabilidades y valores críticos con ordenador. Se introdujo con ayuda del
ordenador por medio de dos técnicas de cálculo:
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1. Dados uno o dos valores de la variable, calcular la probabilidad de que la variable tome
valores en intervalos determinados por ese o esos puntos (áreas bajo la curva).
2. Dada una probabilidad, encontrar los extremos del intervalo que comprenda dicha
probabilidad (cálculo de valores críticos).
A4.Cálculo de probabilidades con lápiz y papel. En ocasiones la probabilidad se estimaba por
el valor del área bajo el histograma a partir de la distribución empírica de una muestra de
la población en estudio. En otros casos se hizo cálculo de probabilidades en la curva
teórica normal, a partir de las propiedades de simetría y distribución de casos alrededor de
la media.
Otras prácticas usadas en la resolución de los problemas fueron el cálculo de los intervalos
centrales que contiene un porcentaje dado de casos, y la comparación de una distribución
normal con un conjunto de datos empíricos en forma "visual".
Elementos intensivos. Definición, propiedades y relación con otros conceptos. La curva
normal se introdujo en forma dinámica, usando el ordenador, mediante un ejemplo referido al
coeficiente de inteligencia (CI) como un modelo que se aproxima al polígono de frecuencias
relativas cuando se aumenta el tamaño de la muestra y se disminuye el ancho de los
intervalos. Se estudiaron también las siguientes propiedades:
•
Propiedades de simetría y curtosis: posición relativa de media, mediana y moda,
interpretación del coeficiente de asimetría, curtosis y valores tipificados, área por encima
y por debajo de la media, probabilidad máxima en el intervalo central.
•
Propiedades relacionadas con los parámetros de la distribución normal: relación
existente entre la desviación típica con los puntos de inflexión de la curva, significado
geométrico de los parámetros, variación de la gráfica al variar estos parámetros.
•
Propiedades estadísticas: cálculo de probabilidades, probabilidad total bajo la curva,
distribución de casos en relación con la desviación típica y media, valor esperado de la
media muestral, distribución muestral asintótica de medias y proporciones, intervalos de
confianza para media y proporción.
•
Relación con otros conceptos: variable estadística y aleatoria, posición central, dispersión,
simetría y curtosis.
Debido a que el tema resulta muy amplio, no hemos tenido en cuenta en la evaluación los
elementos de significado específicamente relacionados con la distribución muestral de medias
y proporciones, teorema central del límite e intervalos de confianza.
Elementos validativos. La presentación del tema fue intuitiva, tratando de evitar la
formalización excesiva, usando los siguientes tipos de validación:
•
Validación a través de la representación gráfica y simulación con ordenador, que nos ha
proporcionado validación para el significado de los parámetros de la distribución normal o
la bondad del ajuste de datos empíricos a la distribución.
•
Validación por medio de comprobación de casos.
•
Generalización: Cuando a partir de demostraciones formales o informales se llegan a
conclusiones que pueden extenderse a todos aquellos casos que cumplan las condiciones
iniciales.
•
Análisis: Cuando se estudian las particularidades o características iniciales de una
situación que pueden conducir posteriormente a generalizaciones o a una síntesis.
•
Síntesis: Cuando se realiza una conclusión en la que se incluyan todas las propiedades o
conclusiones extraídas del análisis de un concepto.
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Metodología
Contexto institucional y alumnos participantes
Al ser éste un estudio innovador, en el sentido de contar apenas con antecedentes previos,
hemos decidido darle un enfoque cuasi-experimental (Cook y Campbell, 1979) y trabajar con
un sólo grupo de estudiantes.
El curso donde se ha realizado la experiencia es una asignatura de libre configuración de
“Análisis de datos y su didáctica”, de 9 créditos de duración (90 horas a lo largo del año),
impartida en la Facultad de Educación de la Universidad de Granada. Participaron un total de
57 alumnos (divididos en 2 grupos) en el curso lectivo 98-99. Los alumnos se repartían en su
mayoría entre las licenciaturas de Pedagogía y Empresariales, aunque también hubo alumnos
de diferentes especialidades de Maestro, así como de Psicología, Psicopedagogía y
Económicas.
Al iniciar el curso se pasó a los alumnos el instrumento de evaluación elaborado por
Garfield (1991), que incluye la evaluación de actitudes y concepciones erróneas o heurísticas
descritas en la investigación psicológica. Los alumnos mostraban, en general una actitud
positiva hacia la asignatura, que habían escogido libremente. Sus conocimientos iniciales eran
muy variados, pero ninguno conocía el paquete estadístico o los aspectos prácticos de
aplicación de la estadística. También mostraron errores referentes a la variabilidad en el
muestreo (heurística de representatividad) e interpretación de la asociación. Algunos de ellos
desconocían totalmente el uso de procesadores de texto o recursos informáticos.
Antes de comenzar la enseñanza de la distribución normal, los alumnos habían estudiado
los fundamentos de estadística descriptiva univariante y bivariante, incluyendo las
representaciones gráficas, medidas de posición central, dispersión y forma. Al comenzar la
secuencia de enseñanza de la distribución normal, se explicó a los alumnos la investigación
que se estaba realizando, pidiéndoseles su colaboración.
Desarrollo de la enseñanza
En total se dedicaron al estudio de la distribución normal 6 sesiones de dos horas de
duración y 4 al estudio del muestreo e intervalos de confianza, en las que se hizo uso de los
conocimientos adquiridos sobre la distribución normal. Como era habitual en el resto del
curso, la mitad de las sesiones se realizaron en un aula tradicional y el resto en el aula de
informática, en la que había disponible un ordenador para cada pareja de alumnos.
Se contó con en un material escrito que se entregó a los alumnos. Otros recursos
didácticos fundamentales fueron un conjunto de ficheros de datos y actividades propuestas en
base a ellos. En la primera y segunda sesión práctica relacionadas con la distribución normal,
se trabajó con un conjunto de datos obtenidos al aplicar un test de evaluación de intuiciones
probabilísticas primarias a 250 alumnos de educación primaria (12 a 14 años). En la práctica
tercera se utiliza un fichero que contiene datos sobre la altura de 1000 varones y 1000
mujeres. Antes de iniciar el estudio de la distribución normal, los alumnos habían trabajado
con otros datos sobre sus actitudes hacia la estadística (tomados en la evaluación inicial),
medidas físicas de los alumnos del curso anterior y rendimiento en lectura de un grupo de
escolares.
En las sesiones desarrolladas en el aula tradicional los alumnos estudiaron y discutieron,
con ayuda de la profesora, el material escrito que previamente se les había proporcionado. La
profesora planteó a los alumnos problemas dirigidos a que descubriesen por sí mismos
algunas de las propiedades de la distribución normal, presentó un resumen de otras, organizó
y orientó el debate de las soluciones. Se enfatizaron las actividades interpretativas y las
aplicaciones a problemas reales. Los problemas se resolvían con papel y lápiz, calculadora e
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instrumentos de dibujo y, en algunos casos, dejaban cuestiones abiertas que los alumnos
debían pensar y responder en las sesiones siguientes.
En las sesiones desarrolladas en el aula de informática, los estudiantes trabajaron en
parejas con el ordenador utilizando el programa Statgraphics. Se proporcionó a los alumnos
los ficheros de datos descritos, que contenían variables, algunas de las cuales podían ser
ajustadas por una distribución normal y otros donde esto no era posible, planteándoles
problemas relacionados con la distribución normal. Los alumnos debían producir un informe
escrito con procesador de texto, aportando los resultados de análisis de datos necesarios para
responder las cuestiones planteadas, por lo cual tuvieron muchas oportunidades de ejercitar su
capacidad argumentativa. Al comienzo de las sesiones la profesora presentaba un resumen de
las opciones del programa y durante la clase atendía a las preguntas formuladas por los
alumnos.
La secuencia de enseñanza se realizó durante los meses de Abril y Mayo cuando el curso
estaba finalizando. Las clases fueron observadas por una de las autoras de este trabajo, siendo
otra la profesora del curso. La observación de la clase se registró en un diario de observación,
que se revisaba a la salida de cada clase con la colaboración de la profesora para comprobar la
precisión de los datos. En todas las sesiones de clase se recogieron las respuestas escritas de
los alumnos a las tareas propuestas (informes en papel y lápiz en las clases teóricas e informes
grabados con ayuda de un procesador de textos en las clases prácticas). Debido a la limitación
del espacio solo describiremos la evaluación final realizada del aprendizaje.
Instrumentos de recogida de datos
En nuestro marco teórico, la evaluación se traduce en el estudio de la correspondencia
entre el significado institucional presentado en la enseñanza y el significado personal
efectivamente construido por los alumnos, identificando los puntos en que hay acuerdo y
aquellos en que el alumno presenta dificultades o errores. Este es el sentido de la evaluación
que tomaremos para este trabajo. Es importante entonces que la evaluación cubra una muestra
representativa de los diversos elementos de significado presentados a los alumnos en la
enseñanza. Con este fin, en este estudio hemos diseñado dos tipos de instrumentos de
evaluación, que responden a la evaluación considerada y también tienen en cuenta los dos
tipos de cuestiones sugeridas por Gal (1997) para la evaluación en estadística:
a) Cuestiones sobre lectura directa de datos, definiciones o reconocimiento de propiedades,
en que las respuestas pueden ser clasificadas como correctas o incorrectas. Este tipo de
cuestiones son recogidas en un cuestionario, que permite evaluar en forma rápida el
conocimiento de una amplia muestra de elementos de significado.
b) Por el contrario, para evaluar la capacidad de análisis de datos reales de los estudiantes
necesitamos información sobre los juicios de los estudiantes, sus procesos de
razonamiento, las estrategias utilizadas y forma en que relacionan los distintos elementos
de significado. Estos aspectos se recogen en una prueba de ensayo, que complementa el
cuestionario.
Diseño del cuestionario. El cuestionario contenía un total de 20 ítems, cada uno de los cuales
se divide en varios subítems. En su construcción se partió de ítems contenidos en Cruise,
Dudley y Thayer (1984), traduciendo sus enunciados y elaborando una tabla de contenidos,
para cubrir los diferentes elementos de significado que se pretendía evaluar. En una serie de
revisiones sucesivas se completaron y modificaron los ítems para conseguir una redacción
semejante y un número aproximadamente igual de subítems en cada uno de los ítems. Se
hicieron pruebas de legibilidad y comprensión del enunciado, modificando la redacción en los
casos que fue necesario.
El instrumento finalmente construido incluye preguntas en que se pedía al alumno
proporcionar ejemplos de algún concepto (ítem 1), preguntas en que se pedía al alumno un
cálculo (ítem 14) y otras en que el alumno debía justificar un enunciado (ítems 16 a 20). El
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resto eran ítems de tipo verdadero/falso, cada uno de los cuales estaba compuesto de 3 ó 4
subítems en que el alumno debía marcar todas las respuestas correctas. La comprensión de
elementos intensivos se evaluaba en todos los ítems, los extensivos en los ítems 1, 3, 4, 6 y 9,
actuativos en el ítem 14, ostensivos en los ítems 11, 14, 15, 16 y 20 y, finalmente, los
validativos en los ítems 16 a 20.
Diseño de una prueba usando ordenador. El segundo instrumento es una prueba de ensayo
para ser resuelta en forma individual por cada alumno usando el ordenador, a partir de un
conjunto de datos que no había sido analizado previamente en la enseñanza. El alumno
debería responder a tres cuestiones sobre la distribución normal y producir un informe
grabado en un procesador de texto, al que debería incorporar las tablas, gráficos y resúmenes
estadísticos que juzgase conveniente para apoyar su argumentación. El nuevo fichero de datos
incluía variables cualitativas y cuantitativas, discretas y continuas, algunas de las cuales se
ajustaban bien a la distribución normal y otras no. En concreto, las cuestiones fueron las
siguientes:
Cuestión 1. Encuentra una variable en este fichero de datos que pueda ser aproximada por una distribución
normal. Explica el criterio que has seguido y el procedimiento utilizado para seleccionar la variable.
El objetivo de esta pregunta es evaluar si el alumno es capaz de discriminar variables que
se pueden aproximar bien por una distribución normal y otras que no, utilizando como
criterios de discriminación el tipo de variable (continua o discreta con muchos valores
diferentes), simetría y curtosis de la distribución y porcentaje aproximado de casos a distancia
una, dos y tres desviaciones típicas de la media. El interés se centra no sólo en que el alumno
determine una variable adecuada, sino en determinar los criterios de identificación que utiliza,
lo cual nos permite evaluar las propiedades (elementos intensivos) que atribuye a la
distribución normal. Puesto que no se indica qué variable hay que analizar y no basta uno solo
de los criterios, el alumno ha de hacer un trabajo de análisis (para comprobar las propiedades
en las diferentes variables) y síntesis (para obtener una conclusión del conjunto de análisis
realizados).
Cuestión 2. Calcula el valor adecuado de los parámetros para ajustar una distribución normal a la variable
seleccionada en la cuestión 1.
El objetivo es evaluar si el alumno comprende la idea de parámetro y es capaz de aplicarla
en un contexto práctico. Además, nos permite observar si se discrimina de manera correcta
entre los conceptos de parámetro y estadístico y entre distribución teórica y empírica
(elementos intensivos), ya que la confusión entre modelo y datos ha sido descrita en trabajos
previos sobre inferencia estadística, como el de Vallecillos (1996).
Cuestión 3. Calcula la mediana y los cuartiles en la distribución teórica que tú has ajustado.
El objetivo es evaluar si el alumno comprende las ideas de mediana y cuartiles y es capaz
de aplicarlas en un contexto práctico así como si discrimina la distribución de datos empírica
del modelo teórico que usa como aproximación de la misma (elementos intensivos).
Esta prueba también evalúa la capacidad de manejo del software estadístico y de
interpretación de los resultados proporcionados por el mismo, que no se recogen en el
cuestionario. Puesto que el alumno tenía libertad para resolver las cuestiones usando cualquier
tipo de conocimiento que considerase conveniente en relación a la distribución normal, esta
prueba nos permite evaluar el uso correcto o incorrecto de diferentes elementos ostensivos,
actuativos, intensivos y validativos por parte del alumno y la forma en que los ponen en
relación.
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Análisis de los datos y discusión de resultados
Resultados de la aplicación del cuestionario
Una vez finalizada la experiencia de enseñanza, se procedió a la aplicación de los
instrumentos de recogida de datos, con el fin de describir las características principales en el
significado personal que los alumnos habían construido sobre la distribución normal.
Los alumnos habían sido informados de que unos días después de finalizar el tema sobre
la distribución normal se les pasaría un cuestionario para analizar las dificultades de
comprensión, pidiéndose su colaboración en la investigación. Los alumnos respondieron
individualmente por escrito durante la última sesión práctica del curso (dos horas de
duración), recogiéndose datos de un total de 55 alumnos, quienes lo completaron con interés y
esfuerzo. En esta ocasión no se permitió a los alumnos consultar los apuntes o material de
clase.
Los porcentajes de respuestas en cada subítem del cuestionario se presentan en la Tabla 1,
donde hemos marcado con (*) las respuestas correctas. Consideramos correcto bien la
elección de una respuesta correcta o la no elección de una respuesta incorrecta. A
continuación se analizan las concordancias y diferencias entre el significado institucional
implementado en la enseñanza y el personal construido por los alumnos del grupo
participante que se refleja en estos resultados.
Concordancia entre el significado institucional y el significado personal construido por
los alumnos del grupo. Los alumnos respondieron correctamente a un promedio del 70% de
las preguntas del cuestionario, lo que indica que muchos de los elementos considerados en la
enseñanza habían pasado a formar parte del significado personal de los alumnos. A
continuación analizamos los elementos sobre los que los estudiantes demuestran una mejor
comprensión.
Elementos extensivos. Un gran número de alumnos han aplicado correctamente los tres
elementos extensivos que se habían previsto en la construcción del cuestionario, destacando
especialmente el ajuste de un modelo a datos continuos (6b, 6d), aproximación de
distribuciones discretas (6 a y 6 c) y el uso en inferencia (subítems 3 b, 3c, 4 a, 4c, 4d)..
También se identifica qué tipos de variables se pueden aproximar por medio de la distribución
normal ( 9a, 9b, 9c, 9d ).
Elementos ostensivos. Los alumnos han reconocido los términos verbales asociados a los
diferentes conceptos (en todos los ítems), como distribución, parámetro, media, etc.,
mostrando un dominio adecuado de los ostensivos verbales y simbólicos.
De los elementos ostensivos gráficos aplicados en este instrumento, ha destacado
principalmente el reconocimiento correcto de la gráfica de la función de densidad normal
(subítems 5 a, y c, 11 a, b, c) y convenios de representación de la distribución de probabilidad
(ítem 12). También se pone en relación esta representación gráfica con otros elementos de
significado, principalmente intensivos tales como el concepto de función de densidad, las
propiedades de simetría de la distribución normal (ítems 17 y 18), la variación de la forma
gráfica en función de los parámetros de la distribución normal (subítems 11 b y c) y
frecuencia de valores centrales (ítem 20) y exteriores (ítem 19). Pensamos que las
posibilidades gráficas brindadas por el ordenador y la exploración dinámica de la función de
densidad en la tercera clase práctica han ayudado a los alumnos a adquirir estos elementos de
significado y ponerlos en relación.
10
Tabla 1. Porcentajes de respuestas en los subítems del cuestionario (n = 55)
Ítems
Porcentaje
I 1. Escribe un ejemplo de cada uno de los siguientes tipos de variables:
a.
Variable cuantitativa continua (responden correctamente)
78
b.
Variable cuantitativa discreta (responden correctamente)
70
c.
Variable cualitativa (responden correctamente)
87
I 2. En un histograma, la frecuencia de valores de un intervalo está dada por:
a.
La altura de cada rectángulo
65
b.
La amplitud o ancho del intervalo
19
c.
El área comprendida entre el histograma y el eje, en el intervalo (*)
24
I 3. El propósito de un modelo matemático aplicado a cualquier ciencia es que:
a.
Nos permite visualizar la naturaleza de nuestros datos (*)
19
b.
Nos permite hacer predicciones sobre datos futuros (*)
69
c.
Nos proporciona una aproximación a los datos (*)
48
d.
Nos permite usar una ecuación (*)
9
I 4. La curva normal es un modelo que:
a.
Se encuentra raramente en una distribución de datos empíricos
7
b.
Está definida en términos de datos empíricos
81
c.
Está definida en términos de una ecuación matemática (*)
50
d.
Sirve para hacer inferencias sobre una población (*)
67
I 5. La curva normal es:
a.
Una curva que se aproxima indefinidamente al eje horizontal sin cortarlo (*)
54
b.
Una distribución matemática o teórica (*)
20
c.
Una curva en forma de campana (*)
87
d.
Puede tomar valores negativos (*)
7
I 6. ¿Cuáles de las siguientes distribuciones se aproxima mejor a una curva normal?
a.
Edades de los estudiantes de un instituto
37
b.
Pesos de los alumnos varones de un instituto (*)
48
c.
Números de libros publicados por los profesores de la Universidad de Granada
2
d.
El coeficiente intelectual de una población de aspirantes para cubrir diversos
puestos de una fábrica (*)
44
I 7. La distribución normal tiene muchos datos acumulados en:
a.
Los valores medios (*)
85
b.
Los valores más altos
4
c.
Los valores más bajos
17
d.
Depende de la variable medida
6
I 8. Para definir completamente una distribución normal, basta conocer:
a.
La mediana
9
b.
La media (*)
91
c.
La moda
9
d.
La desviación típica (*)
67
I 9. La distribución normal es una distribución aplicable a:
a.
Poblaciones de datos continuos (*)
72
b.
Poblaciones de datos discretos con pocos valores diferentes
19
c.
Poblaciones de datos cualitativos
4
d.
Poblaciones de datos ordinales
15
I 10. La distribución normal tipificada se diferencia de una distribución normal
cualquiera porque:
a. Tiene distinta media y distinta desviación típica
9
b. Tiene siempre media 0 y desviación típica 1 (*)
57
c.
La distribución normal tipificada representa datos ideales, mientras que una
39
distribución normal cualquiera representa datos reales
Nota: (*) Respuestas correctas
11
Tabla 1 (continuación). Porcentajes de respuestas en los subítems del cuestionario (n=55)
Ítems
Porcentaje
I 11. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones sobre las curvas son ciertas? ? (Se dan las
gráficas de dos distribuciones normales de igual media y distinta desviación típica)
a. Sólo la curva izquierda es normal
0
b. Las dos curvas son normales pero con desviaciones típicas diferentes (*)
85
c. Las dos curvas son normales pero las medias son distintas
26
30
d. El 50% de los datos está comprendido en el intervalo (µ-σ; µ+σ)
I 12. Una distribución de probabilidad establece que:
.
La frecuencia acumulada está sobre la ordenada (eje vertical) y el resultado probable
sobre el eje horizontal
7
.
El área de la curva está sobre el eje horizontal y los resultados posibles están sobre la
ordenada (eje vertical)
7
.
Los límites inferior y superior de los sucesos están sobre el eje horizontal y la
frecuencia está sobre la ordenada (eje vertical
22
d.
La probabilidad viene dada por el área bajo la curva y todos los valores posibles están
sobre el eje horizontal (*)
61
I 13. Juan ha determinado que sus datos están normalmente distribuidos con una media
de 16 y una desviación estándar de 4,2. ¿Qué más debería hacer antes de publicar sus
resultados?
a. Calcular el primer y tercer cuartil
9
b. Determinar todos los deciles
0
c. Todo lo anterior serviría como información adicional a su informe (*)
63
d. Nada, él tiene información suficiente (*)
43
I 14. ¿Cuáles de las siguientes distribuciones es una posible distribución de probabilidad?
(Se dan dos curvas de densidad, con los valores numéricos de áreas parciales
representados gráficamente. El área total bajo la curva 1 es mayor que 1 y el área total
bajo la curva 2 es menor que 1).
a. La primera curva
26
b. La segunda curva
9
c. Ninguna (*)
28
d. Las dos
17
I 15. El error cometido al medir una cantidad tiene una distribución normal con media 0 y
desviación típica 3 cm.
.
¿Cuál es el valor tipificado de un error de 6 cm? (respuestas correctas)
44
.
Si el valor tipificado es 1, ¿Cuál es el error cometido? (respuestas correctas)
39
I 16. En una distribución normal, el 50 % de las medidas caen por encima de la media.
V/F. (verdadero).
74
Justifica correctamente
69
I 17. En la curva normal, la media es igual a la moda. V/F. (verdadero).
72
Justifica correctamente
63
I 18. La curva normal representa una distribución que se distribuye en forma simétrica
con respecto a la media. V/F. (verdadero).
89
Justifica correctamente
70
I 19. Si una variable está distribuida normalmente, los casos extremos son poco
frecuentes. V/F. (verdadero).
76
Justifica correctamente
59
I 20. Entre x –3.s y x +3.s, en una distribución normal, se puede encontrar casi el 100
83
% de los datos” ( x es la media y s es la desviación típica). V/F. (verdadero).
69
Justifica correctamente
Nota: (*) Respuestas correctas
Elementos actuativos. Los elementos actuativos que se han aplicado correctamente
aproximadamente por el 40% de los alumnos han sido el cálculo de valores tipificados y de
sus inversos (subítems 15 a y b). No ha habido mucha variedad en la aplicación de estos
12
elementos como consecuencia del formato del cuestionario, en el que prácticamente no se
solicitaba realizar acciones.
Elementos intensivos. El cuestionario evalúa mayor diversidad de elementos intensivos,
tanto específicos como relacionados con la distribución normal. Los que han tenido un mayor
porcentaje de aplicación correcta han sido:
•
Los diferentes tipos de variables estadísticas (subítems 1 a, b y c, 6 a, b, c y d, y 9 a, b, c y
d): este es un concepto trabajado desde el comienzo del curso y no sólo en este tema
específico;
•
Se ha mostrado una comprensión significativa de la distribución normal tipificada (ítem
10), los parámetros en una curva normal (Subítems 8 a, b, c y d, 10 a y b), estableciendo
relaciones correctas entre la forma gráfica de la curva de densidad normal (elemento
ostensivo) y su significado geométrico (Subítem 11 b y c). También parece haber un
conocimiento claro de los parámetros de la distribución normal como elementos que
brindan la información esencial acerca de dicha distribución (ítem 13).
•
Se observa un buen conocimiento de la propiedad de unimodalidad de la distribución
normal ( ítem 17) y de la posición de la moda en dicha distribución.
•
Se aplica en forma adecuada la propiedad de simetría de la distribución normal con
respecto a la media (ítems 16, 17 y 18).
•
Se observa un nivel adecuado de conocimiento de las propiedades geométricas y
estadísticas de la distribución normal (subítem 11 b, ítem 18), y de la propiedad de los
intervalos centrales (subítem 11 d e ítem 20).
Elementos validativos. No ha habido mucha diversidad de aplicación debido a que sólo
había cinco ítems en los que se pedía justificar. En general, los alumnos han realizado
aplicación y comprobación de propiedades, así como en algunos casos, se han apoyado en la
representación gráfica para justificar sus afirmaciones (ítems 16, 17, 18, 19 y 20).
Diferencias entre el significado institucional y las características en el significado
personal de los alumnos del grupo
Por otro lado, no todos los ítems de la prueba fueron respondidos correctamente, habiendo
una gama de dificultad, desde preguntas acertadas por todo el grupo hasta otras con un
porcentaje de aciertos muy bajo. Observamos que los errores más comunes que se deducen de
las respuestas son los siguientes, que denotan desajustes con el significado institucional
pretendido en el curso:
Elementos extensivos. No se llegó a percibir que la distribución normal puede tomar tanto
valores positivos como negativos (Subítem 5 d), en coincidencia con lo que afirman Huck,
Cross y Clark (1986) por lo que no se aprecia la aplicabilidad de la distribución normal a
variables con este tipo de valores. En nuestra secuencia de enseñanza esta propiedad no se ha
trabajado demasiado, por lo que la dificultad mostrada por los alumnos pudo ser consecuencia
del escaso número de ejemplos de este tipo. No se percibe la utilidad del modelo para
visualizar los datos (ítem 3 a).
Elementos ostensivos. No se identifica el modelo normal con una ecuación (Subítem 3 d),
lo que también esto puede ser consecuencia del tratamiento poco formal que hemos dado a
nuestra enseñanza y el poco uso que se hizo de la ecuación.
Se identifica la frecuencia en un histograma con la altura de los rectángulos y resulta
bastante difícil observar la correspondencia entre frecuencia y área (Subítem 2a, 2c). Aunque
en nuestra enseñanza se hizo énfasis en este convenio de representación, que es importante
para comprender posteriormente el cálculo de probabilidades mediante el cálculo de áreas en
la función de densidad, parece que no fue suficiente para superar esta dificultad.
13
Sería necesario presentar más tareas en las que los alumnos debieran trabajar con
histogramas que tuvieran amplitud de intervalos no homogénea (en nuestro caso sólo hicimos
una actividad de este tipo). Pensamos que el error proviene del hecho de que cuando los
intervalos son homogéneos la frecuencia es proporcional a la altura y los alumnos han hecho
una generalización incorrecta. El error se ha reafirmado con la utilización del ordenador que
no proporciona la posibilidad de trabajar con histogramas de intervalos desiguales.
Elementos actuativos. Como ya hemos comentado, una parte de los alumnos tuvo
dificultad con el cálculo de valores tipificados y sus inversos (15a y b).
Elementos intensivos. Han habido dificultades cuando se debe diferenciar entre
distribución teórica y empírica (Ítems 4a, 5b) en concordancia con los señalado por otros
autores (Vallecillos, 1996; Schuyten, 1991). Los alumnos tampoco llegaron a percibir que el
área total bajo una curva de densidad debe ser igual a la unidad (ítem 14).
Resultados de la prueba con ordenador
En la prueba que se realizó con ordenador los estudiantes trabajaron individualmente con
el programa Statgraphics y tuvieron a su disposición los apuntes escritos de la asignatura y
notas de clase que podían consultar, aunque no se les permitió hablar entre ellos. Escribieron
su informe en un documento mediante procesador de texto, incorporando las tablas y gráficos
necesarios en su argumentación. Se les animó a que razonasen con detalle sus respuestas y se
les dio libertad para emplear el o los procedimientos que considerasen adecuados. El tiempo
disponible fue de tres horas.
Una vez recogidos los datos, se imprimieron los informes y se llevó a cabo un análisis de
su contenido, identificando para cada alumno si la respuesta a cada pregunta era correcta o
incorrecta, así como los diferentes elementos de significado que utilizan explícitamente en
forma correcta o incorrecta.
A continuación, pasamos a analizar los resultados de los 57 alumnos que completaron la
prueba. Describiremos, en primer lugar los resultados globales en cada una de las cuestiones
planteadas, pasando seguidamente a analizar los elementos de significado puesto en juego en
su conjunto, describiendo también las concordancias y diferencias entre el significado
institucional previsto y el significado personal que se manifiesta en las respuestas.
Cuestión 1: Elegir una variable que se ajusta a una distribución normal. En la Tabla 2
presentamos las características de las variables y el número y porcentaje de estudiantes que
seleccionaron cada una de ellas. Dos variables podían ser ajustadas por una distribución
normal. Tiempo para correr 30 m (diciembre) era una variable continua obtenida al simular
una distribución normal y pasó los tests de normalidad y de bondad de ajuste. La normalidad
de esta variable se reconocía fácilmente por la forma de sus representaciones gráficas, su
asimetría y curtosis eran cercanas a cero, aunque la media, mediana y moda no coincidían
exactamente. Pulsaciones después de 30 flexiones era discreta, aunque con muchos valores
diferentes, su forma y los diferentes estadísticos implicaban que la distribución normal podía
proveer una aproximación aceptable.
El 31% de estudiantes seleccionaron una de las variables consideradas correctas porque se
ajustan aproximadamente a una distribución normal. El resto tomaron una variable con alta
curtosis (talla) o una variable discreta con 3 valores diferentes (edad). Por tanto, no han
comprobado todos los requisitos necesarios para la normalidad, o bien los han interpretado
incorrectamente.
14
Tabla 2. Características de las variables seleccionadas por los estudiantes (n=57)
Variable
Características de las variables
Estudiantes que
la eligen
Tipo
Asimetría Curtosis Media, Mediana,
Porcentaje
Moda
Edad
Discreta; 3 valores
0
-0.56
13,13,13
28
diferentes
Talla
Continua
0.85
2.23
156.1, 155.5, (1)
30
Multimodal
*Pulsaciones después Discreta; muchos
0.01
-0.19
123.4, 122, 122
21
de 30 flexiones
valores diferentes
*Tiempo para correr
Continua
0.23
-0.42
4.4, 4.4, 5.5
10
30 m. (Diciembre)
Peso
Continua
2.38
9.76
48.6, 46, 45
5
Valores atípicos
Pulsaciones en reposo Discreta; muchos
0.2
-0.48
71.4, 72, 72
3
valores diferentes
Tiempo para correr
Continua
2.4
12.2
5.3, 5.2, 5
2
30 m. (Septiembre)
(*) Respuesta correcta. Estas variables se aproximan suficientemente a una distribución normal
(1) Tiene 3 modas: 150, 155, 157.
Cuestión 2: Determinación de los parámetros de la curva ajustada. En la tabla 3 se
muestran las soluciones de los estudiantes, donde observamos que el 43% no llega a calcular
los parámetros, 42% trabajaron con los datos empíricos (variable estadística) y sólo 14% con
la distribución teórica (variable aleatoria). En total, 47% de los estudiantes proporcionaron los
parámetros correctos mientras que un 7% más proporcionaron estadísticos adicionales
innecesarios, tales como la mediana, lo que indica que no comprendieron correctamente la
idea de parámetro. En consecuencia, estos resultados indican dificultades en la comprensión
de los siguientes elementos intensivos: parámetro, estadístico y diferencia entre distribución
teórica y empírica.
Tabla 3. Porcentaje de distribución usada por los alumnos y parámetros calculados (n=57)
Parámetros calculados
Distribución usada
Teórica Empírica Ninguna
Total
Parámetros correctos
12
35
47
Estadísticos adicionales innecesarios
7
7
Parámetros incorrectos
3
3
No dio soluciones
43
43
Total
15
42
43
100
Cuestión 3: Cálculo de percentiles en la distribución teórica. En la tabla 4 presentamos las
soluciones a la última cuestión. Los resultados obtenidos muestran que el 44% de los
estudiantes dieron soluciones correctas o parcialmente correctas en el cálculo de la mediana,
aunque sólo el 14% usaron la distribución teórica para calcular esos valores a partir de las
tablas de valores críticos de la distribución y calcularon la mediana de la distribución teórica.
El resto calcularon la mediana de la distribución de datos empíricos a través de las diferentes
opciones, como la tabla de frecuencia, los percentiles o los resúmenes estadísticos. 29% de
alumnos no llega a ninguna solución. Vemos de nuevo la adquisición de destrezas de cálculo
(actuativos) y la dificultad de discriminación entre distribución teórica y empírica (intensivo).
15
Tabla 4. Porcentaje de distribución usada y cálculo de mediana y cuartiles (n=57)
Cálculo de mediana y cuartiles
Distribución usada
Teórica Empírica
No se
Total
especifica
Correcto
14
30
44
Parcialmente correcto
7
2
9
Incorrecto
5
14
7
26
Sin solución
21
21
Total
19
51
30
100
Concordancias y diferencias entre el significado institucional y el significado personal de
los alumnos del grupo
A continuación describimos brevemente los principales elementos de significado que los
alumnos han explicitado en sus informes escritos al resolver la prueba con ordenador,
destacando las semejanzas y diferencias entre el significado institucional y el personal. Estos
resultados se resumen en la Tabla 5.
Elementos ostensivos. Los alumnos han aplicado diferentes elementos ostensivos de forma
correcta con predominancia de la gráfica de la función de densidad normal, la curva de
densidad y el histograma superpuestos, y el histograma, por lo que deducimos que los
alumnos han comprendido estos elementos, y los usan para representar diferentes elementos
intensivos y deducir relaciones entre los mismos. Es escaso el uso del polígono de
frecuencias, lo cual pudo deberse a que éste se encontraba en una opción secundaria del
programa.
Dentro de las representaciones numéricas es destacable el porcentaje de uso de los
parámetros (media y desviación típica de la distribución teórica ajustada). Los resúmenes
estadísticos se han aplicado correctamente cuando los alumnos han calculado los coeficientes
de asimetría y curtosis, e incorrectamente cuando se pedía calcular mediana y cuartiles (ya
que se tomó la distribución empírica en vez de sobre la teórica). Son pocos los alumnos que
usan correctamente las tablas de frecuencia, valores críticos y áreas de cola y también se
producen errores en su aplicación.
Podemos concluir que las representaciones gráficas han resultado más intuitivas para los
alumnos que las numéricas, ya que un gráfico da una idea mucho más precisa sobre la forma
de la distribución que los valores de un determinado coeficiente o estadístico y el trabajo con
resúmenes numéricos requiere de un nivel de abstracción mayor.
Elementos actuativos. El elemento actuativo más utilizado, no siempre correctamente, ha
sido la comparación visual. Un buen porcentaje de alumnos compara correctamente la curva
de densidad de la distribución empírica con la curva de densidad normal teórica. Sin embargo
la mitad de ellos confunden estas dos curvas y usan la curva teórica normal, en lugar de usar
la curva empírica, deducida directamente al suavizar el polígono de frecuencias.
Por ejemplo, para la variable Edad (Figura 1), que fue escogida por un porcentaje alto de
alumnos, la curva de densidad empírica es claramente no normal (asíntotas no horizontales).
Los alumnos que usaron la curva de densidad teórica que es normal, no llegaron a percibir que
el histograma no se ajusta a ella, incluso aunque se cambie la anchura de los intervalos, a
pesar de que es claramente visible en el gráfico.
16
Tabla 5. Porcentajes de principales elementos de significado aplicados en la prueba (n=57)
Elementos de significado usados por los alumnos
Ostensivos
Representaciones gráficas
Curva de densidad normal
Curva de densidad e histograma superpuestos
Histograma
Polígono de frecuencias
Representaciones numéricas
Valores críticos
Áreas de cola
Media y desviación típica (distribución teórica)
Resúmenes estadísticos (asimetría y curtosis)
Mediana y cuartiles (distribución empírica)
Tabla de frecuencias
Correctamente Incorrectamente
61
28
25
3
2
9
3
2
7
3
3
40
5
35
46
3
14
14
40
2
60
12
9
Intensivos
Tipo de variable
Simetría en la distribución normal
Unimodalidad en la distribución normal
Parámetros de la distribución normal
Propiedades estadísticas de la distribución normal
Propiedad de los intervalos centrales en la distribución normal
Distribución teórica -empírica
Curtosis en la distribución normal
Posición relativa de media, mediana y moda
Coeficiente de simetría y asimetría tipificado
Coeficiente de curtosis, y curtosis tipificado
32
23
10
35
17
3
35
7
17
16
7
68
10
5
12
3
2
44
2
3
2
2
Validativos
Comprobación de propiedades
Aplicación de propiedades
Análisis
Representación gráfica
Síntesis
12
26
14
49
7
5
5
2
32
35
26
Actuativos
Cálculo de parámetros de la distribución normal
Comparación visual
Cálculo de probabilidades en intervalos de la distribución normal
Cálculo de valores críticos en la distribución normal (cuartiles y
mediana)
Estudio descriptivo de datos para ajustar una curva
Figura 1. Curvas de densidad empírica y teórica para la variable Edad
Curva normal teórica ajustada a Edad
1
60
0,8
50
frecuencias
densidad
Curva de densidad empírica para Edad
0,6
0,4
0,2
40
30
20
10
0
0
12
12,4
12,8
13,2
Edad
13,6
14
11
17
12
13
Edad
14
15
También, un buen número de los alumnos calculan correctamente los parámetros, pero hay
un porcentaje importante de errores y aún mayor en el cálculo de valores críticos de la
distribución normal (cuartiles y mediana). Concluimos que, aunque el ordenador suprime la
necesidad de aprender el uso de las tablas de la distribución normal, no resuelve
completamente el problema de cálculo, ya que los alumnos tienen dificultades en el cálculo de
valores críticos con las opciones del programa. Finalmente algunos alumnos hacen uso
correcto o incorrecto del estudio descriptivo de datos para ajustar una curva.
Elementos intensivos. Un alto porcentaje de alumnos ha utilizado correctamente los
diversos elementos intensivos específicos de la distribución normal. El mayor problema fue
que muchos alumnos tomaron como normal una variable discreta. Ello se debió en la mayor
parte de los casos a que no lograron distinguir entre la distribución empírica y la teórica, por
el alto nivel de abstracción requerido para diferenciar modelo y realidad y los diferentes
niveles en que usamos un mismo concepto en estadística, como sugieren Schuyten (1991) y
Vallecillos (1994).
Un hecho bastante significativo es que a pesar de que en el desarrollo de la secuencia de
enseñanza se hizo especial énfasis en la propiedad de los intervalos centrales en una
distribución normal, han sido muy pocos los alumnos que han llegado a aplicar este elemento
intensivo. Pensamos que en las sesiones prácticas los alumnos lograron aplicar este elemento
gracias a la guía de la profesora que salvaba las dudas en el momento. En el examen no se
contaba con esta ayuda y esta propiedad es una de las de mayor complejidad semiótica debido
a que requiere de la integración y relación de diversos elementos ostensivos, intensivos,
actuativos y validativos.
También se puede apreciar la escasa frecuencia de alumnos que llegan a interpretar la
curtosis, lo cual ya había sucedido en el desarrollo de la enseñanza, así como también es
notable el bajo porcentaje de aplicación de la unimodalidad, en comparación del uso de la
simetría. Respecto a los parámetros, aunque la mayor parte lo usa correctamente, aún se
presentan errores.
Dentro de los elementos relacionados con otros conceptos, algunos alumnos aplicaron la
propiedad de la posición relativa de las medidas de tendencia central. Aunque la propiedad ha
sido aplicada en forma correcta, en muchos casos los alumnos se han limitado a aplicar esta
única propiedad considerando que era suficiente para argumentar que la distribución empírica
podía ajustarse a la teórica.
Elementos validativos. Es predominante la utilización de la representación gráfica como
parte de las validaciones. Esto concuerda con el enfoque intuitivo que se ha desarrollado en
las clases pero también demuestra la dificultad de nuestros alumnos a la hora de dar
argumentaciones de alto nivel (análisis y síntesis). Además, la validación mediante
representación gráfica ha producido errores en un alto porcentaje de alumnos.
La mayoría de los alumnos se conforma con aplicar o comprobar una sola propiedad,
generalmente la simetría. Es decir, confunden una condición necesaria con una condición
suficiente para la normalidad, como el ejemplo que reproducimos a continuación, en que el
alumno ha usado correctamente un gráfico no previsto en principio en la enseñanza y que ha
descubierto por si mismo:
"De forma gráfica podemos corroborar la simetría de la variable tiempo en diciembre con el gráfico
symmetry plot, vemos que los puntos se ajustan aproximadamente a la recta, por lo tanto la
distribución se ajustará a una normal" (Figura 2).
18
distancia encima de la mediana
Tiempo en Diciembre
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
distancia bajo la mediana
Figura 2. Symmetry plot para la variable Tiempo en diciembre
Una pequeña parte de los alumnos aplican diversos elementos de significado, realizando
un análisis de cada propiedad y un 7% llega a una conclusión final correcta por medio de la
síntesis y relación de todos los elementos aplicados. Tal es el ejemplo siguiente, quien se basa
en el gráfico mostrado en la Figura 3:
“Considero la variable “Pulsaciones después de 30 flexiones” como una variable que se ajusta
aproximadamente a una distribución normal. Se trata de una variable numérica.
La variable es simétrica. Para ello observamos que tanto el histograma como el polígono de
frecuencias (Figura 3) son aproximadamente simétricos. Para ver si es simétrica también podemos
observar los coeficientes: Vemos que el coeficiente de asimetría es cercano a cero (0.0109) y que el
coeficiente de asimetría tipificado está dentro del intervalo +-2.
También observamos que el coeficiente de curtosis es próximo a cero (es –0.1977) lo que indica que
la curva se aproxima a una distribución normal.
También sabemos que una propiedad de una distribución normal es que coincidan la Media, la
Mediana y la Moda. En este caso los tres valores son muy aproximados (Media=123.4; Moda=120;
Mediana=122). También vemos que cuenta con una sola moda.
En cuanto a la regla 68,95,99,7 vemos si se cumple: En el intervalo (µ-σ,µ+σ)⇒(105.08.141.82)
está el 68.75% de las observaciones. En el intervalo (µ-2σ,µ+2σ)⇒(86.81,160.19) estarán el 95.84%
y en el intervalo (µ-3σ,µ+3σ)⇒(68.34,178.56) estará el 100% de los datos. Por lo que vemos que
también cumple esta regla.
Por lo que vemos que esta variable se puede ajustar a una distribución normal".
Polígono de frecuencias
Histograma
30
2
25
2
20
frecuencia
s
frecuencia
s
3
15
1
10
1
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Pulsaciones
Pulsaciones
Figura 3. Histograma y polígono de frecuencias para la variable Pulsaciones después de 30
flexiones
19
Este alumno escoge una variable adecuada, y en su resolución relaciona correctamente la
propiedad de simetría (elemento intensivo) con la forma del histograma y del polígono de
frecuencias (elementos ostensivos), así también con el cálculo (elemento actuativo) del
coeficiente de asimetría y la aplicación de los convenios de interpretación de éste (elemento
intensivo). También aplica y relaciona correctamente la propiedad de las posiciones relativas
de las medidas de tendencia central (elemento intensivo). Aplica la propiedad de los
intervalos centrales en una distribución normal (elemento intensivo), lo cual lo lleva a validar
todas sus argumentaciones previas.
Este análisis de los elementos de significado explicitados por nuestros alumnos al resolver
las tareas nos permite inferir que, aunque en muchos casos han seleccionado una variable que
no es adecuada los alumnos no sólo identifican correctanente muchos de estos elementos, sino
que también establecen relaciones correctas entre algunos de ellos, como, por ejemplo:
•
Relación entre el tipo de simetría y los valores de los coeficientes de asimetría; o la
posición relativa de media, mediana y moda y simetría (elementos intensivos);
•
Relación entre la aproximación física de histograma y curva de densidad con la bondad
de ajuste del modelo teórico a un conjunto empírico de datos (elementos ostensivos e
intensivos);
•
Relación entre diversas representaciones gráficas y resúmenes de datos y las acciones y
menús del programa necesarios para producirlos (ostensivos y actuativos);
•
Relación entre la definición y propiedades de la distribución normal (elementos
intensivos) y las acciones necesarias para comprobar que estas propiedades se cumplen
para un conjunto empírico de datos (actuativos).
Conclusiones
En este trabajo hemos descrito la primera fase de una investigación en marcha sobre la
enseñanza y comprensión de la distribución normal en un curso basado en el uso de
ordenadores y en un marco teórico, que diferencia entre las dimensiones personal e
institucional del significado y comprensión de las matemáticas. Las principales conclusiones
obtenidas en esta fase se describen a continuación.
El análisis de la secuencia didáctica diseñada y su comparación con el análisis de una
muestra de libros universitarios, realizado bajo la óptica de nuestro marco teórico revela la
complejidad del significado y de la comprensión del concepto de distribución normal, que no
pueden reducirse a su definición, sino que incluye un sistema interconectado de elementos
que los estudiantes deben reconocer y ser capaces de relacionar para la resolución de
problemas relativos a esta distribución.
Este análisis muestra también que la incorporación del ordenador introduce cambios en el
significado de la distribución normal, puesto que afecta a los diferentes elementos de
significado. El manejo de las tablas de la distribución y la necesidad previa de tipificación
para el cálculo de probabilidades desaparecen; la gama de representaciones del concepto se
amplía notablemente, convirtiéndose en útiles dinámicos de exploración; se propicia el trabajo
con ficheros de datos reales; se introduce una filosofía multivariante y exploratoria y la
necesidad de argumentación de alto nivel que combine el análisis y la síntesis.
Los instrumentos de evaluación diseñados para el estudio han sido eficaces para comparar
el significado institucional de las distribuciones normales presentado en la experiencia de
enseñanza y el significado personal que los estudiantes han adquirido finalmente. El
cuestionario nos ha proporcionado una información bastante completa sobre la comprensión
elemental de un gran número de elementos del significado y la puesta en relación de algunos
de ellos en tareas simples. La prueba de ensayo con ordenador nos ha permitido evaluar la
capacidad de argumentación de los alumnos y de poner en relación los diversos elementos de
significado para resolver tareas de análisis de datos reales, que suponen una mayor
20
complejidad semiótica que las propuestas en el cuestionario. Al resolver las tareas de esta
prueba (elementos extensivos) se requiere conocer el funcionamiento del programa
(elementos actuativos) seleccionar la representación óptima de la distribución de cada variable
(elementos ostensivos) e interpretar adecuadamente los resultados de cada análisis (elementos
intensivos), relacionándolos con las preguntas planteadas por medio de una argumentación
correcta (elementos validativos).
El trabajo descrito es sólo la primera fase de nuestra investigación y nos ha permitido
mejorar la secuencia de enseñanza y validar los instrumentos de evaluación, que están siendo
utilizados en nuevas implementaciones de la enseñanza con otros grupos de alumnos. Sin
embargo, debido a la falta de investigaciones previas sobre el tema, creemos que aporta una
primera información valiosa sobre cuáles son los elementos de significado que proporcionan
mayor dificultad de comprensión para los estudiantes en la distribución normal. Entre otros,
destacamos los siguientes:
•
Interpretación de áreas en histogramas de frecuencia y problemas en el cálculo del área
dentro de un intervalo, cuando ello implica el cambio de los extremos de los intervalos.
•
Dificultad en discriminar los casos en que una variable cuantitativa discreta puede y no
puede ser aproximada por una distribución continua y las implicaciones que esta
aproximación tiene.
•
Dificultad en recordar y aplicar correctamente los convenios de interpretación de los
coeficientes de asimetría y curtosis.
•
Dificultad en recordar y aplicar correctamente los convenios de lectura de los elementos
constitutivos de un gráfico estadístico.
•
Escasa diferenciación entre el modelo teórico y los datos empíricos y dificultad en
distinguir cuándo el programa de cálculo se refiere a una u otra distribución, así como no
discriminación entre los estadísticos y parámetros. Las actividades propuestas implican el
trabajo de modelización y la discriminación de los planos empírico (datos) y teórico
(modelo), que los alumnos a veces no llegan a separar y que puede explicar errores en la
aplicación de la inferencia (Moses, 1992).
•
Dificultad de uso de las opciones del software que pertenecen a un menú secundario y que
son, sin embargo esenciales para el análisis.
•
Escasa capacidad de argumentación, sobre todo de análisis y síntesis.
Algunos de estos puntos son específicos de la distribución normal o del uso de
ordenadores, pero otros corresponden a temas que deberían haber sido adquiridos durante la
educación secundaria. Como afirma Fischbein (1975), la intuición probabilística, y en
consecuencia la estadística basada en aquella, no se adquieren espontáneamente, por lo que
sería beneficioso tanto para los alumnos como para los profesores de universidad, que la
iniciación del estudio de la estadística se adelantara a la enseñanza secundaria, y así sirvieran
de base para lograr una mayor profundización durante los estudios universitarios.
Afortunadamente, las nuevas orientaciones curriculares muestran la voluntad, por parte de
las autoridades educativas, de introducir temas relacionados con la estadística en la educación
secundaria. En consecuencia, es necesario continuar con la investigación basada en estos
temas, en el diseño de secuencias didácticas para la educación secundaria y en la evaluación
de las mismas.
Nuestro trabajo sugiere que es posible diseñar una enseñanza que posibilite el aprendizaje
de nociones básicas sobre la distribución normal dirigida a alumnos que no tengan
conocimientos previos en estadística. Esto puede observarse en el hecho de los buenos
resultados en el cuestionario, en que se consideraba el conocimiento básico de un gran
número de elementos del significado. Puesto que el aprendizaje del cálculo no es un objetivo
importante, ya que puede hoy llevarse a cabo con los ordenadores, se puede introducir los
conceptos básicos sobre la distribución normal incluso a estudiantes con conocimientos
intermedios en matemáticas, siempre que se elijan tareas que estén acordes con dichos
21
conocimientos. Somos conscientes que la enseñanza de conceptos estadísticos como la
distribución normal reviste una gran complejidad, pero la realización de experiencias de
simulación con la ayuda de programas informáticos puede contribuir, como Biehler (1991)
indica, a proporcionar a los alumnos una experiencia estocástica difícil de alcanzar sin estos
medios.
Fue menor la proporción de alumnos que fue capaz de llegar a resolver completamente las
tareas de la prueba abierta, ya que se requieren capacidad de análisis y síntesis y la puesta en
relación de los diferentes elementos de significado. Puesto que el objetivo de un curso de
estadística en la universidad no es convertir a los alumnos en estadísticos (quienes llevan a
cabo el análisis de datos complejos) sino en usuarios de la estadística (que deben ser capaces
de comunicar con el estadístico y comprender los análisis proporcionados por éste), creemos
que los resultados en general apuntan a la consecución de nuestros objetivos didácticos.
Puesto que la muestra de estudiantes tuvo un tamaño limitado, todos estos resultados han
sido utilizados para revisar el material de enseñanza y la secuencia didáctica, haciendo mayor
énfasis en los puntos difíciles que hemos descrito anteriormente. Durante el curso 1999-2000
hemos realizado una segunda experiencia de enseñanza a partir de la revisión efectuada en la
que participaron otros 61 alumnos. En la actualidad nos encontramos analizando los nuevos
datos desde diversos puntos de vista, incluyendo la comparación entre los resultados de las
dos experiencias de enseñanza.
Agradecimientos:
Agradecemos a João Pedro da Ponte y Joana Porfírio sus indicaciones sobre el borrador de
este artículo que nos han ayudado en gran medida en la elaboración de la versión final.
Este trabajo es parte del Proyecto BSO2OOO-1507 (DGES. MEC, Madrid)
Referencias
Batanero, C., Tauber, L. y Meyer, R. (1999). From data analysis to inference: A research project on
the teaching of normal distributions. Bulletin of the International Statistical Institute: Proceedings
of the Fifty-Second Session of the International Statistical Institute (Tome LVIII, Book 1, pp. 5758). Helsinki, Finlandia: International Statistical Institute.
Biehler, R. (1991). Computers in probability education. En R. Kapadia y M. Borovcnick (Eds.),
Chance encounters: Probability in education (pp. 169-211). Dordrecht: Kluwer.
Biehler, R. (1997). Software for learning and for doing statistics. International Statistical Review,
65(2), 167-190.
Cohen, S. y Chechile, R. A. (1997). Probability distributions, assessment and instructional software:
Lessons learned from an evaluation of curricular software. En I. Gal y J. B. Garfield (Eds.), The
assessment challenge in statistics education (pp. 253-262). Amsterdam: IOS Press.
Cook, T. D. y Campbell, D. T. (1979). Quasi-experimentation. Design and analysis for field setting.
Chicago: Rand Mc. Nelly.
Cruise, R. J., Dudley, R. L. y Thayer, J. D. (1984). A recource guide for introductory statistics.
Dubuque, IO: Kendall-Hunt.
delMas, R. C., Garfield, J. B. y Chance, B. (1999). Exploring the role of computer simulations in
developing understanding of sampling distributions. Comunicación presentada en el Annual
Meeting of the American Educational Research Association, Montreal, Canada.
Fischbein, E. (1975). The intuitive sources of probabilistic thinking in children. Dordrecht: Reidel.
Gal, I (1997). Assessing students’ interpretations of data: Conceptual and pragmatic issues. En B.
Phillips (Ed.), Papers on Statistical Education presented at ICME-8 (pp. 49-58). Swinburne
University of Technology.
Garfield, J. B. (1991). Evaluating students understanding of statistics: Developing the Statistical
Reasoning Assessment. En R. G. Underhill (Ed.), Proceedings of the 13th Annual Meeting of the
North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics
Education. (Vol. 2, pp. 1-7). Blacksburg, VA: Comité organizador.
Godino, J. D. (1996). Mathematical concepts, their meaning and understanding. En L. Puig, y A.
Gutiérrez (Eds.), Proceedings of the 20th Conference of the International Group for the
Psychology of Mathematics Education (v.2, pp.417-424). Valencia: Comité organizador.
22
Godino, J. D. y Batanero, C. (1998). Clarifying the meaning of mathematical objects as a priority area
of research in mathematics education. En A. Sierpinska y J. Kilpatrick (Eds.), Mathematics
Education as a research domain: A search for identity (pp. 177-195). Dordrecht: Kluwer.
Hawkins, A., Jolliffe, F. y Glickman, L. (1992). Teaching statistical concepts. Essex: Longman.
Huck, S., Cross, T. L. y Clark, S. B. (1986). Overcoming misconceptions about z-scores. Teaching
Statistics, 8(2), 38-40.
Méndez, H. (1991). Understanding the central limit theorem. Ph. D. University of California. UMI nº
1-800-521-0600.
Moore, D. S. (1997). New pedagogy and new content: The case of statistics. International Statistical
Review, 65(2), 123–155.
Moses, L. E. (1992). The reasoning of statistical inference. En D. C. Hoaglin y D. S. Moore (Eds.),
Perspectives on contemporary statistics (pp. 107-122). Washington, DC: Mathematical
Association of America.
Piaget, J., e Inhelder, B. (1951). La génese de l'idée de hasard chez l'enfant. Paris: Presses
Universitaires de France.
Rubin, A., Bruce, B. y Tenney, Y. (1991). Learning about sampling: Trouble at the core of statistics.
En D. Vere-Jones (Ed.), Proceedings of the Third International Conference on Teaching Statistics
(pp. 314–319). Voorburg, Holanda: International Statistical Institute.
Schuyten, G. (1991). Statistical thinking in psychology and education. En D. Vere-Jones (Ed.),
Proceedings of the III International Conference on Teaching Statistics. (v. 2, 486-489). Dunedin,
Australia: Universidad de Otago.
Tauber, L., Batanero, C. y Sánchez, V. (2000). Comprensión de la distribución normal por estudiantes
univesitarios. En C. Loureiro, F. Oliveira, y L. Brunheira (Eds), Ensino e Aprendizagem da
Esstatística (pp. 117-130). Lisboa: Sociedad Portuguesa de Estatística.
Vallecillos, A. (1996). Inferencia estadística y enseñanza: Un análisis didáctico del contraste de
hipótesis estadísticas. Madrid: Comares.
Vallecillos, A. (1999). Some empirical evidence on learning difficulties about testing hypotheses.
Bulletin of the International Statistical Institute: Proceedings of the Fifty-Second Session of the
International Statistical Institute (Tome LVIII, Book 2, pp. 201-204). Helsinki: International
Statistical Institute.
Wilensky, U. (1995). Learning probability through building computational models. En D. Carraher y
L. Meira (Eds.), Proceedings of the 19th PME Conference (v. 3, pp. 152-159). Recife, Brazil:
Organising Committee.
Wilensky, U. (1997). What is normal anyway? Therapy for epistemological anxiety. Educational
Studies in Mathematics, 33, 171-202.
23
24