capitulo i

CAPITULO I. PROBLEMAS ESTACIONARIOS.
1.1. FORMULACIONES DEBILES VS FORMULACIONES FUERTES. PROBLEMAS ABSTRACTOS.
Recordemos dos problemas de valores de contorno (PVC) clásicos y mostremos que una
adecuada generalización de cada uno de ellos, es un problema bien planteado en el sentido
de Hadamard, e. d. para una determinada clase de datos iniciales, existe una única solución
que depende continuamente de los datos. Este estudio conduce al concepto de solución débil
en un cierto sentido y motivará las discusiones posteriores.
Sea Ω ⊆ 3N un abierto y F: Ω → 3 una función arbitraria. Consideremos la EDP
- ∆u + u = F en Ω,
y los PVC:
(PD)f
ì − ∆u + u = F en Ω
í
u = 0 en ∂Ω
î
(PN)f
ì − ∆u + u = F en Ω
ï
∂u
í
= 0 en ∂Ω
ïî
∂n
Recordemos ahora la Primera fórmula de Green: Si Ω es regular entonces
(1)
ò v∆u
+ ∇v ∇u =
Ω
∂u
ò ∂nv
=
∂Ω
ò γ (u)γ
1
0
( v ) , ∀ u∈H2 (Ω ), v ∈H1 (Ω ).
∂Ω
Sea F ∈ L2(Ω) y reformulemos los problemas (PD)f y (PN)f (f por “fuerte”) en el supuesto que
hayamos resuelto ambos problemas, para luego mostrar que existe equivalencia entre las
“formulaciones fuertes” anteriores, y las “formulaciones débiles”, que veremos ahora.
Sea u ∈ H2(Ω) solución de (PD)f. Por lo tanto, u ∈ H2(Ω) ∩ ∈ H10 (Ω), y así
-∆u + u = F
es una igualdad en L2(Ω).
Multipliquemos esta EDP por v ∈ H10 (Ω) arbitraria,
(- ∆u + u, v)L2 = (F, v)L2
∴
(-∆u, v)L2 + (u, v)L2 = (F, v)L2
Por la fórmula de Green
(∇u, ∇v ) − ò ∂uv + (u, v ) = (F, v )L
∂n
2
∂Ω
1
,
pero
∂u
ò ∂nv = 0 pues v ∈ H
1
0
(Ω). Luego,
∂Ω
(∇v,∇u)L
2
+ (u, v )L2 = (F, v )L
2
es decir,
, ∀ v ∈ H10 .
(u, v)H1 = (F, v)L2
(2)
Recíprocamente, si u ∈ H2(Ω) ∩ ∈ H10 (Ω) y verifica (2), entonces, en particular para toda v ∈
D(Ω), el espacio de las distribuciones, que es denso en H10 (Ω), pero no lo es en H1(Ω),
(F, v)L2 = (∇u, ∇v ) + (u, v ) ∀ v ∈ D
= (u, v) + (- ∆u, v) +
ò γ (u)γ
1
0
(v)
∂Ω
Pero γ0(v) = 0, por lo tanto,
es decir,
(F + ∆u – u, v) = 0 en D,
-∆u + u = F en Ω, (en el sentido de las distribuciones).
Hemos recuperado así la EDP.
Además, como u ∈ H10 (Ω), entonces u ∂Ω = 0 , y así hemos recuperado u sobre la frontera ∂Ω .
Por lo tanto, si u ∈ H2(Ω) ∩ ∈ H10 (Ω) y verifica (2), entonces u verifica
ì − ∆u + u = F en Ω
í
u = 0 en ∂Ω
î
La expresión (2) se llama formulación débil del (PD) y la denotamos por (PD)d.
Resumiendo:
u∈H2 (Ω ) ∩ H10 (Ω ) solución de (PD) f ⇔ u∈H2 (Ω) ∩ H10 (Ω ) solución de (PD) d
Análogamente, para (PN)f se tiene:
Supongamos que u ∈ H2(Ω) es solución de (PN)f. Multipliquemos la EDP por v ∈ H1(Ω)
arbitrario,
(F, v)L2 = ( - ∆u + u, v)L2
=
(∇u, ∇v )L
2
−
ò γ (u)γ
1
∂Ω
2
0
( v ) + (u, v )L2
Pero u solución de (PN)f implica
∂u
∂n
∂Ω
= γ 1 (u) = 0
(F, v)L2 = (∇u, ∇v )L2 − (u, v )L2
∴
es decir,
(u, v)H1 = (F, v)L2
(3)
∀ v ∈ H1(Ω).
Recíprocamente, si u ∈ H2(Ω) y verifica (3), entonces para toda v ∈ D,
(F, v )L
2
= (u, v )L2 + (∇u, ∇v )L2
ò γ (u)γ
= (u, v )L2 + ( − ∆u, v )L2 +
(4)
1
0
(v )
∂Ω
pero γ0(v) = v
∂Ω
= 0,
(F + ∆u – u, v)L2 = 0 ∀ v∈D,
∴
es decir, - ∆u + u = F en Ω (en el sentido de las distribuciones), y así hemos recuperado la
EDP.
Como H1(Ω) no es denso en D(Ω), ésta no es toda la información contenida en (3). En efecto,
de (3),
(F, v)L2 = (u, v)H1
y de (4)
∀v ∈ H1(Ω)
= ( − ∆u + u, v )L2 +
ò γ (u)γ
1
0
(v )
∂Ω
∴
ò γ (u)γ
(F, v) = (F, v) +
1
0
(v)
∂Ω
∴
ò γ (u)γ
1
0
( v ) = 0 ∀ v ∈ H1
∂Ω
y como Re(γ0) es denso en L2 (∂Ω ) , e.d. γ0 recorre toda ∂Ω , entonces a γ1(u) no le queda otra
cosa que anularse, e.d.
(5)
γ 1(u) =
∂u
=0
∂n
sobre ∂Ω .
3
NOTA: Recuerde que u ∈ H1 (y ∆u∈L2) permite definir
γ 1(u) =
γ 1(u)∈H −1/ 2 (∂Ω ) y así la igualdad (5) se verifica en H −1/ 2 (∂Ω ) ♦
∂u
∂n
∂Ω
, verificándose
Con la expresión (5) hemos recuperado la condición de contorno. Luego, si u∈ H2(Ω) y verifica
(3), entonces u verifica
ì − ∆u + u = F en Ω
ï
.
∂u
í
=
0
en
∂
Ω
ïî
∂n
La ecuación (3) se llama formulación débil del Problema de Neumann y la denotamos por
(PN)d. Luego tenemos equivalencia entre (PN)f y (PN)d.
En resumen:
u∈H2 (Ω ) solución de (PN) f ⇔ u∈H2 (Ω ) solución de (PN) d
De todo lo anterior, tiene sentido plantearse los problemas:
Dada F ∈ L2(Ω):
(PD)d: Hallar u ∈H10 (Ω) tal que (u, v )H1 = (F, v )L2
∀ v ∈H10 (Ω ).
(PN)d: Hallar u ∈H1 (Ω ) tal que (u, v )H1 = (F, v )L2
∀ v ∈H1 (Ω ). ´
sin la “coletilla” u ∈H2(Ω).
NOTA. Para (PN)d no es necesario que γ 1 (u)∈L2 (∂Ω ) (cf. Nota anterior). Luego, podemos
extender el operador γ1 para que valga la fórmula de Green sobre una clase más amplia de
funciones, o bien podemos justificar un resultado de regularidad para el hecho que una
solución de (PN)d esté necesariamente en H2(Ω). Pasamos de problemas fuertes de segundo
orden a problemas débiles de primer orden agregando regularidad.
Las formulaciones débiles anteriores son dos ejemplos concretos de un Problema Abstracto
más general:
Dado un espacio de Hilbert H y f ∈H’, hallar u ∈H tal que
(u, v)H = f(v) ∀ v ∈ H.
Así para (PD)d: H = H10 y f(v) = (F, v)L2 y para (PN)d: H = H1 y f(v) = (F, v)L2.
Además, en el marco abstracto, el problema es de fácil solución y bien planteado, de acuerdo al
siguiente
TEOREMA 1. (de RIESZ): “Para cada f ∈ H’ existe una única u ∈ H tal que
(6)
Además
(7)
∀ v ∈ H.
(u, v)H = f(v)
uH = f
H'
4
”.
COROLARIO: Si u1, u2 son las soluciones correspondientes a los datos f1, f2, entonces
(8)
u1 − u 2 H = f1 − f 2 H'
Identificando L2(Ω) ➥ H’ : F → f (H ⊂ L2 ⊂ H’), tenemos existencia y unicidad de solución u ∈
H10 (Ω ) para (PD)d y u ∈ H1(Ω) para (PN)d, con las elecciones: H= H10 (Ω ) , F∈L2(Ω) y H=H1(Ω),
F ∈ L2(Ω), respectivamente.
Además la solución u verifica
u H1( Ω ) ≤ F L2 ( Ω ) .
(9)
Con todo, el problema abstracto admite una presentación más ambiciosa, que incluye la
anterior y que involucra formas bilineales, (si el cuerpo del espacio vectorial son los reales) o
formas sesquilineales (si son los complejos):
Dado un espacio de Hilbert H, f ∈ H’ y a(. , .) una forma bilineal continua sobre H. Hallar
una solución u ∈ H de la ecuación variacional (abstracta):
(10)
a(u, v) = f(v) ∀ v ∈ H .
Por esta razón nos interesan formas bilineales que generen o provengan de EDP y definidas en
algún “buen” espacio funcional.
Ahora estamos en condiciones de aclarar los objetivos del Capítulo 1.: Resolver ecuaciones
variacionales abstractas y efectuar una aproximación variacional a ciertas EDP de segundo
orden importantes.
Dividiremos nuestro trabajo en cuatro etapas:
i)
ii)
iii)
Precisar la noción de solución débil (generalizada o variacional) de la EDP. Esto en
dos sentidos, dar a la EDP una forma variacional y una adecuada elección de los
espacios funcionales, que en este caso son los espacios de Sobolev Hm(Ω).
Establecer existencia y unicidad de solución débil por el método variacional.
Intentar obtener resultados de regularidad, es decir, probar que la solución débil es
una función regular o lo más regular posible (por ejemplo, que u sea de clase C2). Esto
es muy difícil y a veces es imposible. En efecto, es bien conocido que la solución del
problema elíptico lineal posee una regularidad dependiente de los datos. En los
problemas no lineales, esto no ocurre. Consideremos el siguiente :
EJEMPLO 1. Hallar u verificando:
− ∆u ≤ 0 ü
ï
u ≤ ψ ý ≡ max{− ∆u, u − ψ}= 0 en Ω= ]-1, 1[ ⊂ 3.
Ω
∆u(u − ψ ) = 0 ïþ
Para el “obstáculo” ψ = x2 – cte., resulta que la única solución u ∈C1,1 = W 2,∞ . Así, para ψ = x2
– ¼, es fácil ver que la solución del problema es
5
ì 3−2 3
é −2+ 3ù
( x + 1),
x ∈ ê − 1,
ï
ú
2
ï−2+ 3
û
ë
ïï
é
1
−2+ 3 2− 3ù
u( x ) = í x 2 − ,
x∈ê
,
ú
4
2
2 û
ë
ï
ï 3−2 3
é2 − 3 ù
( x − 1),
x∈ê
,1ú
ï
2
ïî 2 − 3
ë
û
∞
Observamos que aun cuando ψ ∈ C , u ni siquiera es de clase C2(]-1, 1[).
ψ
u∈W2,∞
iv)
Regresar a las soluciones clásicas, es decir, probar que las soluciones débiles de clase
C2 son soluciones clásicas. Esto es sencillo de realizar.
1.2 . TEOREMA DE STAMPACCHIA.
Sea H un espacio de Hilbert, que para simplificar supondremos real, y sea H‘ su dual. Definimos
sobre H el producto escalar (u, v) que hace H completo para u = (u, u)1/ 2 . Usaremos la
notación • para indicar la norma de un espacio de Hilbert que contenga a otro espacio de
Hilbert. Con el símbolo <. ,. > indicaremos el producto de dualidad sobre H‘×H.
LEMA (Proyección de un cerrado convexo).
(11)
Sea H un Hilbert, K ⊂ H cerrado convexo no vacío. Entonces para cada f ∈ H ∃! u∈K tal
que
f − u = min f − v .
v∈K
6
Además u está caracterizado por
{u ∈ K : (f − u, v − u)H ≤ 0, ∀ v ∈ K}
(12)
NOTACIÓN: u = Pkf = proyección de f sobre K.
Dem.
i)
Existencia: Existe una demostración clásica basada en sucesiones minimizantes. Aquí
damos otra: Sea ϕ(v) una función continua y convexa y además lim ϕ( v ) = +∞. Como H
v →∞
ii)
es reflexivo (todo espacio de Hilbert los es), ϕ alcanza un mínimo en K.
Equivalencia entre (11) y (12): Sea u∈K tal que f- u= min f − v . Sea w∈K arbitrario y
v∈K
consideremos v= tw +(1-t)u ∈ K, t∈]0,1].
∴
f- u ≤ f- v = f- tw-(1-t)u = (f- u) + t(u- w)
∴
f- u2 ≤ (f- u) + t(u- w)2 = f- u2 +t2u- w2 +2t(f- u, u- w).
∴
2t(f- u, w- u) ≤ t2u- w2 :/2 y t→0,
∴
(f- u, w- u) ≤ 0, ∀ w∈K.
Recíprocamente, si (f- u, v-u) ≤0 , ∀ v∈H, se tiene entonces
u- f2 - v- f2 = 2(u -f, v-u) - u - v2 , ∀ v∈K.
Extrayendo raíz cuadrada, resulta (11).
iii)
Unicidad: Sean u1 y u2 proyecciones de f sobre K. Luego, ∀ v∈K:
(f- u1, v- u1) ≤ 0, (f- u2, v- u2) ≤ 0,
reemplazando v por u2 en la primera inecuasión y v por u1 en la segunda, resulta
(f- u1, u2- u1) ≤ 0 , (f- u2, u1- u2) ≤ 0 .
∴
u1- u22 = (u1- u2, u1- u2) ≤ 0 Þ u1 = u2. ♦
La aplicación Pk: H→K es un funcional lipschitziano de constante igual a uno, en efecto:
COROLARIO: Sean u1 = PKf1 , u2= PKf2, siendo K un subconjunto cerrado y convexo de H.
Entonces
(13)
PK f1 − PK f 2 ≤ f1 − f 2 , ∀ f1, f 2 ∈ H .
Dem. De (12)
(14)
(15)
(f1 − PK f1, v − PK f1 ) ≤ 0 , ∀v ∈ K
(f2 − PK f2 , v − PK f2 ) ≤ 0 , ∀v ∈ K
Sea v= PKf2 en (14) y v= PKf1 en (15), entonces,
(f1 − PK f1,PK f1 − PK f2 ) ≥ 0 ü
+
(PK f2 − f2 ,PK f1 − PK f2 ) ≥ 0ýþ
(f1- 2 + PKf2 - PKf1 , PKf1 - PKf2) ≥ 0.
∴
-(PKf2 - PKf1 , PKf1 - PKf2) ≤ (f1 - f2, PKf1 - PKf2)
∴
(PKf1 - PKf2 , PKf1 - PKf2) ≤ (f1 - f2, PKf1 - PKf2)
∴
PKf1 - PKf22 ≤ f1- f2PKf1 - PKf2 (por desigualdad de Scharwz)
Dividiendo por PKf1 - PKf2 ≠ 0, se tiene el resultado (Si PKf1 - PKf2=0, es trivial)
7
COROLARIO. Sea M subespacio vectorial cerrado de H (∴convexo). Entonces ∀ f ∈ H ∃!
u= PMf tal que
(16)
f − u = min f − v ⇔ ( f − u, v ) = 0 , ∀ v ∈ M .
v∈M
Además, PM: H →M es un operador lineal continuo y de norma 1.
Dem. Es trivial: sabemos que (f- u, v-u) ≤ 0 ∀ v∈M cerrado y convexo, luego, (f- u, u) ≥ 0 y si
v* =u - v, etc. ..(f- u ,u) ≤ 0 y de aquí la igualdad (complete la prueba).
Definición
Una forma bilineal a(u, v): H×H→IR es
i) continua si ∃ cte. C tal que a(u, v)≤ cuv, ∀ u, v ∈ H.
ii) coercitiva si ∃ α>0 tal que a(u, v) ≥ αu2, ∀ u∈ H.
(el caso α=0 es un caso degenerado y se verá más adelante).
En concreto, para H = H1(Ω), resulta que a(u, v) ≡ (u, v )H1 ( Ω ) es continua y coercitiva. En efecto,
la continuidad es trivial, pues se trata de un producto escalar (aplicar Cauchy-Schwarz) , y es
2
coercitiva pues a(u, u) = (u, v )H1 ( Ω ) = u H1 ( Ω ) , de donde, α=1.
TEOREMA 2 (Stampacchia (1964)).
“Sea a(u, v) una forma bilineal continua y coercitiva sobre H. Sea K en conjunto cerrado y
convexo de H. Entonces para cada f∈H’ existe una única solución de la inecuación variacional
(IV)
(16)
“Hallar u ∈K: a(u, v-u) ≥ < f , v − u > H' ×H , ∀ v ∈ K”.
(a veces el producto de dualidad <. > de f en v-u, simplemente se escribe f(v-u), si no produce
confusión).
Además la aplicación f = u es lipschitziana, e.d. si u1, u2 son soluciones para f1, f2
respectivamente, entonces
u1 − u 2
H
≤
1
f1 − f 2
α
H'
”.
(es decir, la constante de lipchitzianidad es el inverso de la constante de coercitividad)
Si a es simétrica entonces u está caracterizada por:
ì1
î2
ü
þ
u ∈K: ½a(u, u) - f(u) = min í a( v, v ) − f ( v )ý ”.
v∈K
NOTA: Observar que en la EV (10) no aparece la diferencia v - u que aparece en la IV (17).
Dem. (Teorema de Stampacchia)
i) Unicidad: Supongamos que tenemos la existencia. Sean u1 = u(f1) y u2 = u(f2) soluciones de
la IV y sea α la constante de coercitividad de a(u, u). Luego,
a(u1, v- u1) ≥ <f1, v -u1> , ∀ v∈K
a(u2, v- u2) ≥ <f2, v -u2> , ∀ v∈K.
Haciendo v= u2 en la primera inecuación, y v =u1 en la segunda y sumando previo la
multiplicación por -1 de manera correspondiente, obtenemos
8
a(u1 -u2, u1 -u2) ≤ <f1 -f2, u1 -u2>,
y por la coercitividad de a(u, v),
αu1 -u2 H2 ≤ f1 -f2H'u1 -u2H,
de donde, f1= f2 implica u1 =u2.
ii) Existencia. Consideraremos dos casos: a(u, v) simétrica y no simétrica:
• Supongamos que a(u, v) es simétrica. Definamos el funcional I: H→3 por I(v)=a(v, v) -2<f, v>,
que obviamente es lineal y continuo.
Sea d= inf I( v ) (preferimos ínfimo en lugar de mínimo, por no tener aun la seguridad de que
v∈K
esté en K). Probemos primero que d>-∞.
2
∀ v∈K, I(v) ≥ α v H − 2 f H' v H . Pero siempre f(v) ≤f(v)≤ fH'vH. Multiplicando por 2
α
,
α
2
resulta 2f(v) ≤2f(v)≤ 2fH'vH
así d ≥ −
f
1 2
α
2
2
≤ H' + α v H . Por lo tanto, I(v) ≥ α v H − f H' − α v H , y
α
α
α
1 2
f > −∞ .
α H'
Luego, existe una sucesión minimizante {un} de I en K tal que {I(un)}n →d, con la propiedad;
d ≤ I(un) ≤ d+
1
n
Aplicando la "ley del paralelogramo" y por la convexidad de K, resulta:
αun -um H2 ≤ a(un -um, un -um) =2a(un, un) + 2ª(um, um) -4ª(½(un +um), ½(un + um))
=2I(un)+4<f, un>+2I(um)+4<f, um>-4I(½(un +um))-8<f, a(½(un +um))>
2
∴
αun -um H ≤ 2I(un) + 2I(um) -4I(½(un +um)).
∴
Notar que (½(un +um))∈K Þ 4d≤4I(½(un +um))., y por la elección de esos términos de la
sucesión
αun -um H2 ≤ 2d +2d+2{1/n +1/m} -4d = 2{1/n +1/m},
y como {un} está mayorada, es de Cauchy. Luego, existe u= lím{un} y como K es cerrado: u∈K y
como I es continua, I(u)=lim{un} = d.
Resta probar que u es solución de la IV.
Sea v∈K arbitrario, luego u+ε(v-u) ∈K si ε∈[0, 1]. Por tanto, I(u+ε(v-u)) ≥ d =I(u).
∴ a(u+ε(v-u), u+ε(v-u)) - 2f(u+ε(v-u)) -a(u, u) +2f(u) ≥ 0 , ∀ v∈K, ∀ ε ∈ [0, 1].
∴ 2εa(u, v-u) + ε2ª(v-u, v-u) - 2εf(v-u) ≥ 0 :/2ε
a(u, v-u) ≥ - ε/2 a(v-u, v-u) + f( v-u) , ∀ v∈K, ∀ ε ∈ [0, 1].
y haciendo ε→∞
a(u, v-u) ≥ <f, v - u> , ∀ v∈K.
• Supongamos que a(u, v) es no simétrica.
Para cada t∈[0, 1] definimos la familia de formas bilineales simétricas
at(u, v) = a0(u, v) + tb(u, v)
9
siendo a0(u, v) = ½[a(u, v) + a(v, u)] , b(u, v) = ½[a(u, v) - a(v, u)], las partes simétricas y
antisimétricas de a(u, v), respectivamente. Observamos que a(u, v) = at(u, v)t=1 y que at(u, v)
es coercitiva con la misma constante α de a(u, v).
Con estas consideraciones tenemos el siguiente:
LEMA ( Método de continuación).
“Supongamos que la IV es resoluble para cierta forma bilineal a τ (u, v ) , τ∈(0,1) y para cualquier
f∈H’. Entonces podemos resolver la IV para toda forma a t (u, v ) y todo f∈H’, siendo τ ≤ t ≤ τ0 +
t0 con t 0 <
b(u, v )
α
y M = sup
< + ∞ ”.
M
u,v∈H
uv
Dem.( del lema) Consideremos la aplicación T:H→K, wÌTw = u, donde u es la solución de
a τ (u, v − u) ≥ Ft , v − u , ∀v ∈ K,
siendo
(17)
< Ft, v> = <f, v> - (t-τ)b(w, v), t∈[τ, τ+t0], Ft∈H'.
Probemos ahora que T es una contracción. Sean w1, w2 ∈H, entonces
Tw 1 − Tw 2
y por (17)
si elegimos t 0 <
H
1 1
Ft − Ft2
α
1
≤ t − τ b( w 1 − w 2 ,.) H'
α
t−τ
≤
w1 − w 2 M
α
t M
≤ 0 w1 − w 2 H
α
≤
α
, entonces T es contractiva, y como H es un espacio de Hilbert existe un
M
único punto fijo u∈K tal que Tu = u.
Luego,
aτ(u, v-u) +(t -τ)b(u, v-u) ≥ f(v -u)
∴
a0(u, v-u) + τb(u, v-u) ≥ f(v -u)
∴
∃! u∈K tal que u =Tu y tal que at(u, v-u) ≥ f(v-u), ∀ f∈H' ♦
Volviendo al Teorema de Stampacchia: Como la IV es resoluble para a0(u, v) y cualquier f∈H',
por el lema, al cabo de un número finito de etapas, la IV será resoluble para a1(u, v)=a(u, v) y
para todo f∈H'.
Para K = H el Teorema de Stampacchia se reduce al Teorema de Lax - Milgram, que sólo
damos como un simple
COROLARIO (Teorema de Lax - Milgram)
“Sea a(u, v) una forma bilineal continua y coercitiva sobre H. Entonces para cada f∈H’, ∃! u∈H
tal que se verifica la ecuación variacional
(EV)
a(u, v) = f(v) ∀ v∈H.
Si además a(u, v) es simétrica, u está caracterizado por
10
(18)
ì1
v∈H 2
î
ü
þ
½a(u, u) - f(u) = min í a( v, v ) − f ( v )ý .
Finalmente, la aplicación f = u es lipschitziana”.
Dem. (del Teorema de Lax - Milgram)
Sea K=H y sin olvidar que debemos probar la igualdad, repetimos la demostración anterior
hasta: I(u)=lim{I(un)} =d.
Sea v∈H, luego u+εv∈H ∀ ε∈3. Por tanto,
I(u+εv) ≥ I(u) Þ a(u+εv, u+εv) -2f(u+εv) - a(u, u) +2f(u) ≥ 0
(19)
∴2εa(u, v) + ε2a(v, v) -2εf(v) ≥ 0.
Supongamos ε>0. Dividiendo (18) por 2ε resulta
y si ε →0,
a(u, v) ≥ f(v) -(ε/2)a(v, v),
a(u, v) ≥ f(v).
Supongamos ahora que ε<0. Dividiendo (19) por 2ε, resulta
y si ε →0,
De donde
a(u, v) ≤ f(v) -(ε/2)a(v, v),
a(u, v) ≤ f(v).
a(u, v) = f(v) ♦
La caracterización (18) anterior es interesante pues para algunos problemas en EDP, tiene una
interpretación en mecánica y en física: El “Principio de mínima acción” o “Principio de
minimización de energía”. En la terminología del Cálculo de Variaciones, la EV representa la
ecuación de Euler del problema de minimización dado. En efecto
Sea u ∈ H solución de a(u, v)=f(v) ∀ v ∈H y sea I(v)=½a(v, v)-f(v) , y v∈H.
Sea ε ∈3 y definamos ℑ(ε) = I(u+εv).
Es fácil ver que I(u)=ℑ(0) ∴ ℑ(ε) ≥ ℑ(0) ∀ ε∈3. Luego, ℑ’(0)=0. Por lo tanto,
ℑ’(0) = lim
ε →0
1
(ℑ(ε) − ℑ(0))
ε
= lim[2a(u, v ) + εa( v, v ) − 2f ( v )] , u, v fijos en H
ε →0
= 2[a(u, v)-f(v)] :/2
11
e.d. la condición necesaria de mínimos (ecuación de Euler) es la EV. En efecto, veamos el
siguiente
EJEMPLO 2.
Sea Ω un abierto acotado de 3N de frontera suficientemente regular como para aplicar la fórmula
de Green (por ejemplo que ∂Ω sea de clase C1). Entonces ∃! u∈H01(Ω) (respectivamente
u∈H1(Ω)), solución débil del problema:
ì− ∆u( x ) + a 0 ( x )u( x ) = f ( x ) , c.t..p. x ∈ Ω
PD ≡ í
u( x ) = 0 c.t.p. x ∈ ∂Ω
î
æ Re spectivame nte
ç
ì− ∆u( x ) + a 0 ( x )u( x ) = f ( x ), c.t.p. x ∈ Ω
ç
ç PN ≡ ïí
∂u
= 0, c.t.p. x ∈ ∂Ω
ç
ïî
∂υ
è
ö
÷
÷
÷
÷
ø
donde f∈L2(Ω), a0∈L∞(Ω) y tal que a0(x)≥c0>0, c.t.p. x∈Ω.
Para PD elegimos H=H01(Ω) y consideramos la forma bilineal:
ò
ò
ò
a(u, v ) = gra d u ⋅ gra d v + a 0 ⋅ u ⋅ v ≡ ∇u∇v + a 0 uv
Ω
Ω
Ω
definida sobre H= H 10 (Ω) (como u, v∈ H 10 (Ω) Þ ∇u∇v∈ L2(Ω))
∴
a(u, u)=
ì
ü
2
ï
2
2
2
2ï
ò (∇u) + a 0u ) ≥ min(1, c 0 )íò (∇u) + u ý = min(1, c 0 ) u H ( Ω)
1
0
ï
ï
îΩ
þ
Supongamos (de momento) que a(u, v) es continua, entonces f∈L2(Ω)Þf∈H1(Ω), y por LaxMilgram, ∃! U solución débil de a(u, v) = f(v), ∀v∈H, y como a(u, v) es obviamente simétrica
ìï 1 æ
üï
ü
ö
1 ìï
2
2
2ï
2
í ∇u L2 ( Ω ) + a 0 u ý − fu = min
í çç ∇v L2 ( Ω ) + a 0 v ÷÷ − fv ý
1
v∈H0 ( Ω )ï 2
2ï
ï
Ω
Ω
ø Ω ï
î
þ Ω
î è
þ
Ω
ò
ò
ò
ò
1.3 FORMULACION VARIACIONAL DE ALGUNOS PVC.
1.3.1 Condiciones tipo Dirichlet
Como lo habíamos adelantado, para cada problema, dividimos nuestro en cuatro etapas:
i)
ii)
iii)
iv)
Elección de los espacios y definición de solución débil.
Discutir existencia y unicidad de solución.
Estudio de la regularidad y
Las soluciones débiles regulares son clásicas.
12
EJEMPLO 3. Problema de Dirichlet homogéneo.
Sea Ω ⊆ IRN abierto acotado y consideremos el operador laplaciano: ∆ =
∂2
. Hallar u: Ω →
å
2
i=1 ∂x i
N
IR tal que:
ì − ∆u( x ) + u( x ) = f ( x ) x ∈ Ω
x ∈∂Ω
îu( x ) = 0
PD(f,0) ≡ í
(la homogeneidad se refiere a las condiciones de contorno).
1ra etapa:
Definiciones:
Una solución clásica o fuerte de PD(f,0) es una función u∈C2(Ω)∩C( Ω ) que verifica PD(f,0) en
cada punto x∈ Ω .
Una solución débil o generalizada de PD(f,0) es una función u∈ H10 (Ω ) tal que
ò ∇u∇v + ò uv = ò fv ,
Ω
Elección: H = H10 (Ω ) ;
a(u, v) =
Ω
ò ∇ u∇ v
∀v ∈ H10 (Ω) .
Ω
ò uv , que es obviamente bilineal en H
1
0
+
Ω
(Ω) .
Ω
2da etapa:
TEOREMA 3. (Dirichlet, Riemann, Hilbert)
“ ∀f ∈ L2 (Ω), ∃! u ∈ H10 (Ω ) tal que a(u, v ) = f ( v ), ∀ v ∈ H10 (Ω) . Además u verifica el “Principio
de Dirichlet”:
ì1 2
ü
1 2
u H1 − ò fu = min
v H1 − ò fv ý ”.
í
1
v∈H0 ( Ω ) 2
2
Ω
Ω
î
þ
(20)
Dem. Bastará aplicar el Teorema de Lax-Milgram (o el Teorema de representación de Riesz,
en el espacio H10 (Ω ) ). Verifiquemos las condiciones de hipótesis
ò
ò
2
a(u,v) es coercitiva. En efecto: a(u,u)= (∇u) 2 + u 2 =: u H1 .
Ω
N
a(u,v) es continua. En efecto a(u,v)=
N
i =1 Ω
∂u ∂v
+ uv =
∂x i ∂x i Ωò
N
æ ∂u ∂v ö
÷÷ + (u, v )L2
,
è i ∂x i ø L2
å çç ∂x
i =1
∂u ∂v
dx + ò uvdx
i ∂x i
Ω
å ò ∂x
i =1 Ω
a(u, v ) ≤ å ò
Ω
13
N
≤å
i=1
∂u
∂x i
2
L
∂v
∂x i
2
+ u L2 v L2 (Cauchy-Schwarz)
L
≤ uH1 v H1 + u H1 v H1 ≤ 2 u H1 v H1 .
0
0
0
0
0
0
Por otra parte, la función F: H01(Ω)→IR definida por F(v)=òΩfv es lineal y acotada (F(v)=(f,v)L2.
Por el Teorema Riesz tenemos existencia, unicidad y lipschitzianidad de solución:
u1 − u 2
(21)
H10 ( Ω )
=
1
f1 − f 2
α
H −1 ( Ω )
NOTA: Por Lax-Milgram, tenemos existencia y unicidad, pero no la lipschitzianidad de solución,
sino la caracterización ya indicada.
3ra etapa: Regularidad de la solución débil: aplazada.
4ta etapa: Retorno a la solución clásica, es decir, aceptando la regularidad de u, debemos ver si
toda solución débil regular es una solución clásica.
Admitamos que la solución débil u∈H01(Ω) pertenece a C2(Ω)∩C( Ω ) y supongamos ∂Ω∈C1, y
que f∈(Ω). Por “resultados de trazas”, u=0 sobre ∂Ω. Además,
∀ϕ∈D = C00(Ω) ⊂ H01(Ω), a(u,ϕ) = f(ϕ),
(la compleción de C01 con la norma de H1(Ω) es un espacio de Hilbert llamado H01)Ω))
es decir,
ò ∇ u ∇ ϕ + ò u ϕ = ò fϕ ,
Ω
Por Green
Ω
ò (−∆u + u)ϕ = ò fϕ,
Ω
∀ ϕ ∈ H10 (Ω ) .
Ω
Þ < -∆u+u, ϕ>D’xD = < f,ϕ>D’xD ∀ϕ∈D
Ω
es decir, -∆u + u= f c.t.p. x∈Ω, en L1loc(Ω) (espacio de las distribuciones regulares), y como
u∈C2(Ω) entonces, -∆u + u= f en todo x∈Ω. Por lo tanto u es solución clásica
EJEMPLO 4. Problema de Dirichlet no homogéneo.
Hallar u: Ω → IR tal que:
ì − ∆u( x ) + u( x ) = f ( x ) x ∈ Ω
x ∈∂Ω
îu( x ) = g
PD(f,g) ≡ í
donde hemos supuesto que g es tal que Ω existe un “levantamiento” g~∈H1(Ω)∩C( Ω ) que
puede extenderse por continuidad a Ω y tal que g~∂Ω = g.
14
NOTA: Si pedimos que ∂Ω∈C1 , entonces g∈H½(∂Ω) = R(γ0).
Definamos el siguiente conjunto cerrado y convexo de H1(Ω):
K = {v∈H1(Ω); v – g~∈H01(Ω)}.
(La convexidad es trivial (pruébela) y el cierre resulta de las propiedades de H01(Ω)).
1ra etapa:
Definiciones :
Una solución clásica o fuerte de PD(f,g) es una función u∈C2(Ω)∩C( Ω ) que verifica PD(f,g) en
cada punto x∈ Ω .
Una solución débil o generalizada de PD(f,g) es una función u∈K tal que
ò ∇u∇v + ò uv = ò fv ,
Ω
Elecciones: H = H1 (Ω ) ;
a(u, v) =
Ω
Ω
ò ∇ u∇ v
+
Ω
2da etapa:
∀v ∈ H10 (Ω) .
ò uv .
Ω
Por teorema anterior, proponemos
TEOREMA 4. “ ∀f ∈ L2 ( Ω ), ∃! u ∈ K tal que a(u, v ) = f ( v ), ∀ v ∈ H10 (Ω ) . Además u está
caracterizada por
1 2
u 1 − ò fu =
2 H
Ω
(22)
ì1 2
ü
v
fv
1 −
í
ò ýþ ”.
H
v∈H10 ( Ω ); v − g~∈H10 ( Ω ) 2
Ω
î
min
Dem. K convexo cerrado en H1(Ω), a(u,v) continua y coercitiva y f∈L2(Ω) ⊂(H1(Ω))’, por el
Teorema de Stampacchia, existe una única u ∈ K tal que
a(u, v-u) ≥ f(v-u) ∀ v∈ K.
Por otro lado, sea w ∈ H10 (Ω ) y consideremos v= u ± w ∈ K.
NOTA: v- g~ =u±w - g~ ∈ H10 (Ω ) , lo que es correcto pues la suma de dos elementos de H10 (Ω )
está en H10 (Ω ) .
∴
a(u,w) ≥ (f,w) y a(u,-w) ≥ (f,-w) Þ a(u,w) =(f,w) ∀ w ∈ H10 (Ω) .
3ra etapa: aplazada.
4ta etapa: Idéntica al ejemplo anterior.
15
EJEMPLO 5. Ecuación elíptica de segundo orden.
Hallar u: : Ω → IR tal que:
∗
(PD )
ì N ∂
∂u
a ij ( x )
+ a 0 ( x )u( x ) = f ( x ), x ∈ Ω
ï− å
í i,j=1 ∂x i
∂x i
ï
u( x ) = 0, x ∈ ∂Ω
î
NOTA: El operador está escrito en “forma divergencia”, lo que permite resolver de modo
simple; en caso contrario, es decir, en forma no divergente:
N
å aij ( x )
i, j=1
∂ 2u
+ ...
∂x i ∂x j
el problema es muy difícil de resolver.
NOTA: En los tratamientos clásicos es común exigir aij ∈ C2(Ω), pero para los métodos
variacionales basta aij ∈ L∞ (Ω), a0 ∈ L∞ (Ω), es decir, no tienen porque ser continuas.
Además. los coeficientes deben verificar además una hipótesis de elipticidad:
(23)
å a ( x )ξ ξ
ij
i
j
≥ αξ
2
c.t.p. x ∈ Ω , ∀ξ = (ξ1, ξ 2 ,.....ξ N ) ∈ IR N , α > 0
En realidad la constante α es el menor de los valores propios de la matriz, que debe ser
definida positiva. Si α es una constante, entonces hablamos de elipticidad uniforme, o
simplemente elipticidad, que es el caso que estudiaremos en este curso. Si α=α(x), entonces
hablamos de elipticidad. El caso degenerado α=0, es muy complicado y cae fuera del interés de
este curso.
1ra etapa:
Definiciones :
Una función u es solución clásica de (PD*) si u∈C2(Ω)∩C( Ω ) y verifica (PD*) en cada punto de
Ω.
Un función u es solución débil de (PD*) si u∈H 10 (Ω ) y verifica
N
ò åa
Ω i, j
ij
∂u ∂v
+ a 0 ( x )u( x )v( x ) = f ( x )v( x ) , ∀v ∈ H10 (Ω ) .
∂x i ∂x j
Ω
ò
æ
ö
∂u ∂v
+ a 0 uv ÷ , ∀u, v ∈ H10 (Ω) .
Elecciones: H= H 10 (Ω ) ; a(u, v ) = ç a ij
ç
÷
∂x i ∂x j
ø
Ωè
2da etapa: Existencia y unicidad de la solución débil
òå
PROPOSICION: Si a0(x)≥0 c.t.p. x∈Ω, entonces para cada f∈L2(Ω), ∃! u∈ H 10 (Ω) , solución débil
de (PD*). Además, si la matriz (aij) es simétrica, entonces u verifica:
16
1
2Ω
ò åa
ij
ìï 1
∂u ∂u
+ a 0 u 2 − fu = min
í
1
v∈H0 ( Ω ) ï 2
∂x i ∂x j
Ω
î Ω
ò åa
ò
ij
Dem. Probemos que a es coercitiva:
æ
a(u, u) = ç
ç
Ωè
ò åa
ij
ö
∂u ∂u
2
+ a0 ÷ ≥
÷
∂x i ∂x j
ø Ω
ò åa
≥α
ij
òå
Ω
~
üï
∂v ∂v
+ a 0 v 2 − fv ý
∂x i ∂x j
ï
Ω
þ
ò
∂u ∂u
, y por la elipticidad,
∂x i ∂x j
æ ∂u
çç
è ∂x i
2
ö
÷÷ , y por Poincaré
ø
2
≥ α u H1 .
(24)
0
∧
Probemos que a es continua: Sea a(u, v) = a (u, v) + a∨(u, v) = ∫∇u∇v +a0uv.
2
∧
2
Luego, a (u, v) =
òå
Ω
∂u ∂v
, y como aij ∈L∞ ellos están acotados en el límite esencial,
a ij
∂x i ∂x j
así
2
2
a∧(u, v)2 ≤ k2 u H1 v H1 .
2
2
Análogamente, a∨(u, v)2 ≤ k' 2 u H1 v H1 y eligiendo max{k, k'} = k*, resulta
a(u, v) ≤ 2k* u H1 v H1 ♦
~
NOTA: El α de (24) no se conoce (pues al aplicar la desigualdad de Poincaré, necesitamos que
Ω sea acotado en una dirección, y esa dirección y longitud máxima, la desconocemos –solo
sabemos que existe), pero;
"Si a0(x) ≥ c > 0 c.t.p. x∈Ω, entonces
a(u, u) ≥ α
òå
Ω
æ ∂u
çç
è ∂x i
2
ö
2
÷÷ + c (u) 2 ≥ α u H1 ( Ω )
0
ø
Ω
ò
con
α =min.{α,c}".
es decir, podemos obviar la desigualdad de Poincaré, pero debemos exigir otra hipótesis: que
a0 seas estrictamente positiva.
3ra etapa: aplazada
4ta etapa: Debemos probar que toda solución débil regular es solución clásica.
Sean: f∈C( Ω ), u∈H 10 (Ω) ∩C( Ω ) ∩C2(Ω) y consideremos ϕ ∈ C 0∞ (Ω) ⊂ H10 ( Ω) , y por 3ra etapa
(aceptemos de momento...) a(u, ϕ)=(f, ϕ) L2 , es decir,
æ
fϕ = ç
ç
Ω
Ωè
ò
ò åa
ij
ö
∂u ∂ϕ
+ a 0 uϕ ÷
÷
∂x i ∂x j
ø
∂ æ ∂u
çç a ij
∂x i
jè
Ω
Ahora pedimos que la distribución generada por f sea:
(25)
=−
ò å ∂x
17
ö
÷÷ϕ + a 0 uϕ .
ø
N
∂ æ
∂u ö
÷÷ + a 0 ( x )u , en D'(Ω) .
çç a ij ( x )
∂
x
j
i
ø
è
i, j =1
NOTA: Si aij∈C1(Ω) entonces las derivadas débiles coinciden con las derivadas clásicas, pero si
exigimos menos, digamos aij ∈H1(Ω) y f∈L2(Ω), entonces (26) está en L2, pero no tenemos
igualdad en todo punto.
(26)
f=−
å ∂x
Si en ( ) aplicamos Green, tras integrar por partes, tenemos
( )
18