¿Qué es una estrella?

¿Qué es una estrella?
Parte II
Luis A. Aguilar
Instituto de Astronomía,
Universidad Nacional Autóma de México
([email protected])
¿Cuál es la fuente de energía
del Sol?
Al principio de la primera parte mencionamos que el Sol
produce 3.8x1026 Joules por segundo de energía luminosa.
¿De dónde proviene esta cuantiosa cantidad de energía?
Dada la gran temperatura del Sol,
una posibilidad es que provenga de
la inmensa cantidad de energía
térmica contenida dentro del Sol.
¿Cuál es la fuente de energía
del Sol?
La energía térmica de un gas ideal monoatómico es igual a:
U = (3 / 2) NkT
Donde N es el número total de partículas libres que
contiene el Sol.
N puede ser estimado dividiendo la
masa total del Sol entre la masa del
protón dividida entre dos, pues
recordemos que en el interior del Sol,
cada átomo de hidrógeno se ha partido
en dos partículas libres:
2 ! 10 30 kg
N=
= 2.4 ! 10 57 particulas
"27
(1.67 ! 10 kg) / 2
¿Cuál es la fuente de energía
del Sol?
La energía térmica del Sol es entonces igual a:
U = (3 / 2) NkT
= (3 / 2) ! (2.4 ! 10 57 ) ! (1.38 ! 10 "23 J / °K ) ! (1.15 ! 10 7 °K )
= 5.7 ! 10 41 Joules
Esta es una cantidad gigantesca de energía.
Sin embargo, ¿cuánto tiempo duraría encendido el Sol? Esto
lo podemos calcular dividiendo esta energía entre la
velocidad a la que se radia la energía, es decir su brillo:
Energia
5.7 ! 10 41 J
15
tK =
=
=
1.5
!
10
s
26
Brillo
3.8 ! 10 J / s
¿Cuál es la fuente de energía
del Sol?
t K = 1.5 ! 1015 s
Este tiempo, llamado tiempo de Kelvin, en honor de Lord
Kelvin, quien fue el primero que lo calculó, es de 47.6 millones
de años.
Dado que en la Tierra se han
encontrado rocas que tienen una
antigüedad de miles de millones de
años, es claro que la energía térmica
no es suficiente para explicar la
longevidad del Sol.
¿Cuál es entonces la fuente de
energía?
Hasta el primer tercio del siglo XX, se ignoraba cuál es la
fuente energética del Sol.
En ese siglo se descubrió la energía nuclear.
¿Cuál es entonces la fuente de
energía?
Como ya dijimos, casi todo el Sol esta hecho de hidrógeno,
es entonces natural buscar una reacción nuclear que
involucre a este elemento y produzca mucha energía.
Una reacción así es la fusión de 4 protones que produce
un núcleo de Helio.
¿Cuál es entonces la fuente de
energía?
4H ! 1He
La masa de 4 núcleos de hidrógeno es ligeramente superior
a la masa de un núcleo de helio, siendo la diferencia de solo
un 2.9% de la masa de un protón, o sea 4.89x10-29kg.
¿Cuál es entonces la fuente de
energía?
4H ! 1He
4mH-mHe = Δm = 4.89x10-29kg.
¿Qué sucede a esta masa durante la reacción?
Einstein nos dió la respuesta
con su famosa fórmula que nos
da la equivalencia entre energía
y masa: E = mc2
La masa faltante es convertida
en energía que se libera
durante la reacción.
¿Cuál es entonces la fuente de
energía?
Usando la fórmula de Einstein podemos encontrar
a cuanta energía equivale esta masa “perdida”:
!E = (4.89 " 10 #29 kg) " (3 " 10 8 m / s)2 = 4.4 " 10 #12 Joules
Esta parece ser una cantidad insignificante de energía, pero
recordemos que hay muchos átomos de hidrógeno en el Sol.
Si dividimos esta energía entre la masa de 4 núcleos de hidrógeno,
obtenemos la energía liberada por unidad de masa, algo así como
el “octanaje” del combustible nuclear:
!E
4.4 " 10 #12 J
14
E =
=
=
6.6
"
10
J / kg
#27
4 " mH 4 " (1.67 " 10 kg)
¿Cuál es entonces la fuente de
energía?
E = 6.6 ! 1014 J / kg
Esta es una cantidad verdaderamente prodigiosa de energía que
corresponde a ¡157 kilotones por gramo!
Si multiplicamos este “octanaje” por la masa total del Sol,
obtenemos la cantidad de energía nuclear que tiene guardada el
Sol:
Enuc = E ! M Sol = (6.6 ! 1014 J / kg) ! (2 ! 10 30 kg) = 1.32 ! 10 45 J
Si ahora dividimos esta energía entre la velocidad a la que el Sol
consume su energía, es decir su luminosidad, obtenemos el
tiempo que el Sol puede durar encendido usando energía nuclear:
t nuc
Enuc
1.32 ! 10 45 J
18
=
=
=
3.5
!
10
s
26
LSol 3.8 ! 10 J / s
¿Cuál es entonces la fuente de
energía?
t nuc = 3.5 ! 1018 s
o sea aproximadamente 110,000 millones de años.
En realidad, las condiciones necesarias para que se efectúen las
reacciones nucleares sólo existen en el centro del Sol y es solo un
10% de la masa del Sol la que participa en estas reacciones.
Reacciones
nucleares
¿Cuál es entonces la fuente de
energía?
t nuc = 3.5 ! 1018 s
o sea aproximadamente 110,000 millones de años.
En realidad, las condiciones necesarias para que se efectúen las
reacciones nucleares sólo existen en el centro del Sol y es solo un
10% de la masa del Sol la que participa en estas reacciones.
Se estima que el Sol ha existido durante 5,000 millones de años y
que durará otro tanto más.
El físico Alemán Hans Bethe recibió el premio Nóbel de Física por
haber descubierto el origen de la fuente de energía de las
estrellas.
¿Qué determina la luminosidad
del Sol?
Hasta ahora hemos usado la luminosidad, o brillo del Sol,
como un dato medido, sin embargo, surge la pregunta:
¿Qué proceso físico determina la luminosidad?
Este proceso es la difusión de los fotones de luz producidos por las
reacciones nucleares en el centro del Sol y que tienen que
atravesar el resto del Sol para llegar a su superficie, desde donde
escapan finalmente al espacio.
Este proceso de difusión consiste en una serie de colisiones de los
fotones con las partículas que hacen al Sol.
¿Qué determina la luminosidad
del Sol?
Cuando una partícula, o un fotón, avanza colisionando con un
fondo de partículas esparcidas por su camino, el número de
colisiones depende no solo del número de partículas, sino del
tamaño de éstas.
El radio clásico de una
partícula
¿De qué tamaño aparente aparecen los protones y
electrones del plasma solar a un fotón?
Dado que la masa del electrón es despreciable comparada
con la del protón, pudiera parecer que los protones son
más grandes que los electrones. Sin embargo, los fotones
interactúan con las cargas eléctricas por medio de la fuerza
electromagnética, por lo que realmente importa es el
llamado radio clásico de una partícula, que es algo así
como su radio de influencia eléctrica.
El radio clásico de una
partícula
El concepto de radio clásico es muy sencillo: imaginemos
una esfera hueca de radio r, construida con un material
conductor y con una carga q, igual al de la partícula. La
energía electrostática almacenada en esta esfera se
puede calcular con la fórmula de Coulomb:
q2
E=K
r
La constante K de Coulomb es igual a
9x109 N·m2/C2, y la carga es medida en
Coulombs.
r
El radio clásico de una
partícula
La energía electrostática depende del tamaño de la
esfera, entre más pequeña es ésta, mayor es la energía.
E
q2
E=K
r
r
r
r
El radio clásico de una
partícula
La energía electrostática depende del tamaño de la
esfera, entre más pequeña es ésta, mayor es la energía.
La razón de éste
comportamiento es que ha
medida que disminuimos el
tamaño de la esfera, tenemos
que juntar más la carga q que
contiene, y como cargas del
mismo signo se repelen,
tenemos que hacer trabajo
para comprimir la esfera, la
energía de este trabajo se
almacena en la esfera.
E
q2
E=K
r
r
r
Analogía con un resorte: entre
más queremos comprimir un
resorte, más trabajo nos cuesta
El radio clásico de una
partícula
Volviendo a una partícula
cargada, imaginemos ahora
que comprimimos la esfera
hueca conductora hasta que la
energía electrostática
almacenada en ella es igual al
equivalente en energía de la
masa de la partícula, de
acuerdo a la ecuación de
Einstein:
Cuando esta condición se
cumple, obtenemos el radio
clásico de la partícula:
E
r
q 2r
K
= E = mc 2
r
Kq 2
rth =
mc 2
El radio clásico de una
partícula
Kq 2
rth =
mc 2
A este radio se le llama también radio de Thompson por el
científico inglés que lo describió primero.
El radio clásico del protón es entonces:
(9 ! 10 9 N " m 2 / C 2 ) ! (1.6 ! 10 #19 C)2
rp =
= 1.5 ! 10 #18 m
#27
8
2
(1.67 ! 10 kg) ! (3 ! 10 m / s)
Usando ahora la masa del electrón: me=9.1x10-31kg,
encontramos el radio clásico del electrón:
re = 2.8 ! 10 "15 m
El radio clásico de una
partícula
2
Kq
rth =
mc 2
rp = 1.5 ! 10 "18 m,
re = 2.8 ! 10 "15 m
Aquí hay algo aparentemente desconcertante, a pesar de que el
electrón es 1,835 veces menos masivo que el protón, ¡su radio
clásico es mucho mayor!
Esto es debido a que el tamaño clásico de una partícula
depende inversamente de la masa: a igualdad de carga
eléctrica, una partícula más ligera es la más “grande”.
Esto es algo que ya explicamos: la energía almacenada
aumenta al disminuir el tamaño de la esfera (o apretar más un
resorte); una masa mayor, por tanto, implica un tamaño menor.
El camino libre medio de un
fotón
De lo que acabamos de ver, es claro que los fotones
interactúan mucho más con los electrones que con los
protones, ya que éstos últimos aparecen como blancos
mucho más pequeños.
e
e
e
e
e
e
El camino libre medio de un
fotón
Cuando un fotón viaja en un
espacio lleno de electrones, cada
electrón le presenta al fotón un
blanco circular de radio re y área
igual a:
2
! T = (8 / 3) " re
Al área σT se le llama sección recta de
Thompson. El factor 8/3 es debido a
efectos electromagnéticos que no hemos
incluido en nuestra discusión.
re
El camino libre medio de un
fotón
Supongamos ahora que el fotón
atraviesa una región de área A y
grosor x. La probabilidad de que
haya una colisión es igual a la
fracción del área de la pared que
esta ocupada, en proyección, por
algún electrón.
El área A’ ocupada por electrones en proyección es
igual al número N de electrones dentro de la región,
multiplicada por la sección recta de Thompson de
cada electrón: A' = N ! " = (nAx) ! "
T
T
En la última expresión hemos sustituido N por la densidad de
electrones n, multiplicada por el volumen de la región Ax.
El camino libre medio de un
fotón
La probabilidad p de que haya una colisión es igual al cociente del
área proyectada al área total:
p = A'/ A = nx! T
A medida que el fotón avanza, la distancia x se incrementa y con
ello el área A’ y la probabilidad de sufrir una colisión.
x
El camino libre medio de un
fotón
La probabilidad p de que haya una colisión es igual al cociente del
área proyectada al área total:
p = A'/ A = nx! T
A medida que el fotón avanza, la distancia x se incrementa y con
ello el área A’ y la probabilidad de sufrir una colisión.
λ
Es claro que eventualmente la probabilidad de sufrir una colisión será
unitaria, con lo que una colisión habrá ocurrido.
Llamaremos a esta distancia en la que la probabilidad de colisión
acumulada es unitaria, el camino libre medio del fotón: λ
El camino libre medio de un
fotón
p = nx! T
Si en la expresión anterior hacemos p=1, entonces x=λ:
1 = n!" T
1
# !=
n" T
El camino libre medio representa la distancia que, en promedio,
recorre un fotón entre colisión y colisión.
Habiendo calculado ya el radio clásico de un electrón, podemos
calcular ahora el camino libre medio del fotón dentro del Sol:
!=
1
1
=
n" T n(8 / 3) # re2
1
(8.34 $ 10 29 electrones / m 3 ) $ (8 / 3) $ (3.1416) $ (2.8 $ 10 %15 m)2
= 0.018 m
=
El camino libre medio de un
fotón
! = 1.8 cm
Concluimos que, en promedio, un fotón avanza ¡poco menos de
2 centímetros entre colisiones con electrones dentro del Sol!
¡Supermán con su vista de
rayos X no podría ver mas allá
de sus narices dentro del Sol!
El Camino Azaroso
Como el camino libre medio de los
fotones es muchísimo menor que
el radio del Sol, cada fotón sufrirá
muchas colisiones desde que es
producido por las reacciones
nucleares en el centro del Sol,
hasta escapar en su superficie.
La pregunta es entonces, ¿cuántas
colisiones sufre en promedio cada
fotón y cuánto tiempo tarda en
escapar?
La respuesta nos lleva a examinar el concepto de camino
azaroso.
El Camino Azaroso
Imaginemos una línea recta que se extiende infinitamente en
ámbas direcciones a los lados de un punto que hemos marcado
como el origen.
Imaginemos ahora que, empezando del origen, avanzamos con
pasos de un tamaño fijo λ, con igual probabilidad de hacerlo hacia
la izquierda o la derecha.
Es claro que, aunque la posición
más probable es siempre el
origen, pues la probabilidad de ir
a la izquierda es la misma que ir
a la derecha; a medida que pasa
el tiempo, aumenta la
probabilidad de alejarnos del
origen.
¿Cómo medir la distancia que en
promedio nos alejamos del origen?
λ
El Camino Azaroso
En el diagrama inferior ilustramos todas las posibles combinaciones
después de dar dos pasos; en el primer paso, las únicas posiciones
posibles son x =-1 y x=+1; después del segundo paso, las posiciones
posibles con -2, 0 y +2, habiendo dos posibles rutas que nos llevan al
origen.
Una posible medida del alejamiento del origen es el valor promedio de x2,
en lugar de x.
x12 = [(!1)2 + (+1)2 ] / 2 = 1,
El valor promedio después de un paso es:
y después de dos pasos:
x22 = [(!2)2 + (0)2 + (0)2 + (+2)2 ] / 4 = 2
El Camino Azaroso
Los valores posibles de x2 después de N pasos, son:
"$(x N !1 + 1)2 = x N2 !1 + 2x N !1 + 1
x =#
2
2
$%(x N !1 ! 1) = x N !1 ! 2x N !1 + 1
2
N
donde el primer caso corresponde a un paso a la derecha y el segundo a
un paso a la izquierda.
Como los dos casos son igualmente probables, el valor promedio de xN2
corresponde al promedio de éstos:
x N2 =
1
1
(x N !1 ! 1)2 + (x N !1 + 1)2 = x N2 !1 + 1 = x N2 !1 + 1
2
2
En el segundo paso, los términos intermedios resultantes de elevar al
cuadrado los binomios, se han eliminado.
El valor promedio de x2 después de N pasos, es entonces igual al que
se tenía después de N-1 pasos, mas uno.
Como <x12>=1, se tiene que:
x2 = N
N
El Camino Azaroso
x N2 = N
Esta es la relación fundamental del camino azaroso, la distancia
promedio dN que nos alejamos del origen después de N pasos esta
dada por la raíz cuadrada de N:
dN =
x N2 = N
Tomando en cuenta que los pasos dador por el fotón tienen una
longitud promedio λ, obtenemos:
dN = N !
Despejando N obtenemos el número de pasos necesarios para
avanzar, en promedio, una distancia dN:
N = (d N / ! )2
El Camino Azaroso
Volviendo al caso de los fotones dentro
del Sol, el camino azaroso no se efectúa
en una línea, sino en un volumen de 3
dimensiones.
En este caso, el número de pasos que
hay que dar para avanzar una distancia
dN dada, es tres veces mayor:
N = 3(d N / ! )2
¿Cuánto tardan los fotones en
escapar del Sol?
Habiendo encontrado el tamaño del camino libre medio de los
fotones dentro del Sol y el número de pasos necesarios para avanzar
en un camino azaroso, podemos estimar el número de colisiones que
sufre un fotón para escapar del Sol y el tiempo que le toma.
De lo que vimos sobre camino azaroso, el número de colisiones es:
2
" 7 ( 10 8 m %
" rSol %
N col = 3 $ ' = 3 $
= 4.54 ( 10 21
'
# ! &
# 0.018m &
y el tiempo transcurrido entre colisiones es:
2
(
)
!t = ( " / c ) = 0.018m / 3 # 10 8 m / s = 6 # 10 $11 s,
donde c es la velocidad de la luz.
¿Cuánto tardan los fotones en
escapar del Sol?
El tiempo de viaje del fotón se obtiene al multiplicar el número de
colisiones con el tiempo entre éstas:
t viaje = N col ! "t = (4.54 ! 10 21 ) ! (6 ! 10 #11 s) = 2.72 ! 1011 s
o sea, ¡8,600 años!
Comparemos este tiempo con el que le tomaría a un fotón que
viaja libremente sin sufrir colisiones:
tlibre
rSol
7 ! 10 8 m
=
=
= 2.33s
8
c
3 ! 10 m / s
La gran disparidad entre estos dos números nos da idea de la
enorme opacidad del interior del Sol.
Como veremos ahora, esta enorme opacidad es la que regula la
luminosidad del Sol.
¿Cómo obtenemos la
luminosidad del Sol?
De manera análoga a como la velocidad a la que se vacía un
tanque de agua por un hoyo en su fondo, depende del nivel del
agua y el tamaño del hoyo, la luminosidad del Sol esta
determinada por la cantidad de energía de los fotones en el
interior del Sol y la velocidad a la que éstos escapan:
Luminosidad =
energia termica
tiempo de difusion de fotones
¿Qué es un cuerpo negro?
Para calcular la cantidad de energía que contienen los fotones en
el interior del Sol, es necesario primero hablar un poco sobre su
distribución de energía, es decir, ¿qué fracción de fotones tienen
una energía dada?
En el interior del Sol, los fotones tienen una distribución de energía
igual a la de un Cuerpo Negro.
Rayos γ
Rayos X Ultravioleta Infrarojo
Luz visible
Radar FM TV
AM
Longitud de onda (metros)
¿Qué es un cuerpo negro?
El concepto de cuerpo negro es fácil de entender. Cuando
iluminamos un objeto, parte de la luz es reflejada y otra parte es
absorbida por el objeto para ser re-emitida de nuevo.
¿Qué es un cuerpo negro?
El concepto de cuerpo negro es fácil de entender. Cuando
iluminamos un objeto, parte de la luz es reflejada y otra parte es
absorbida por el objeto para ser re-emitida de nuevo.
Las propiedades de la luz reflejada
dependen de la iluminación, así por
ejemplo, una manzana que sabemos es
roja, no se verá de este color si la
iluminamos con luz que no es blanca, sino
de algún color.
¿Qué es un cuerpo negro?
Por el contrario, la luz que es absorbida, es “cambiada” por el
objeto, y al ser re-emitida, sus propiedades ya no dependen de la
iluminación original, sino del objeto.
Foto de una persona
tomada con luz visible,
que es luz reflejada. Si
apagamos la
iluminación, dejamos de
ver a la persona.
Foto de la misma persona
tomada con luz infrarroja.
Esta luz no es reflejada
por el sujeto, sino que es
emitida por él. Si
apagamos la iluminación
continuaremos viendo su
rostro.
En general, no nos
percatamos de la luz reemitida pues la mayoría de
los objetos que hay a
nuestro alrededor emiten luz
infrarroja que no podemos
ver. Sin embargo, hay
insectos como los mosquitos
que si ven esta luz y por
esto nos encuentran aún
cuando apaguemos la luz.
¿Qué es un cuerpo negro?
Cuando un cuerpo está a una temperatura constante y además
absorbe toda la luz que lo ilumina sin reflejar nada, entonces toda
la luz que emite sólo depende de su temperatura. Este es un
cuerpo negro.
En la foto inferior vemos el interior deun
horno de alfarería que esta frío. La luz que
vemos es reflejada.
En la foto superior, el horno esta encendido
y su interior ha alcanzado una temperatura
constante. La luz emitida es la de un cuerpo
negro. Nótese que ya no se ven los objetos y
sólo se observa un resplandor uniforme.
¿Qué es un cuerpo negro?
Como la luz emitida por un cuerpo negro sólo depende de su
temperatura, cualquier información adicional, como su forma o
color, se pierde, y lo único que vemos es una iluminación uniforme
cuyo color sólo depende de la temperatura.
El interior del Sol es un cuerpo Negro.
¿Qué es un cuerpo negro?
Afortunadamente para nosotros, la energía total contenida en la luz
emitida por un cuerpo negro, fue encontrada experimentalmente
por Josef Steffan en 1879 y derivada teóricamente por Ludwig
Boltzmann pocos años después.
La energía total por unidad de volumen en un cuerpo negro está
dada por:
4
ECN = aT
donde a es la llamada constante de Steffan-Boltzmann y su
valor es igual a:
a = 7.5643 ! 10 "16 J / m 3 # °K 4
¿Cuál es finalmente la
luminosidad del Sol?
Usando la fórmula de Steffan-Boltzmann, obtenemos la cantidad
de energía contenida en los fotones del interior del Sol:
Efotones = a(Tc / 4)4 ! volumen
= (7.5643 ! 10 "16 J / m 3 # °K 4 ) ! (1.15 ! 10 7°K / 4)4
! (4 / 3)(3.1416)(7 ! 10 8 m)3
= 7.43 ! 10 37 J
Hemos usado Tc/4. Ya que si usamos Tc, sobreestimaremos la energía.
La temperatura del Sol aumenta hacia el centro.
Cada capa del Sol actúa como un cuerpo negro y su
T4
contenido energético esta dado por la fórmula de
Tc4
Steffan-Boltzmann usando la temperatura local.
Si dividimos al Sol en capas y sumamos la energía
contenida en cada una, suponiendo que T aumenta
(T /4)4
linealmente con r, el resultado es equivalente a usar c
Tc/4.
r
¿Cuál es finalmente la
luminosidad del Sol?
La luminosidad del Sol es entonces:
L = Efotones / t viaje = (7.43 ! 10 37 J ) / (2.72 ! 1011 s) = 2.73 ! 10 26 J / s
Comparando con la luminosidad observada del Sol:
LSol = 3.8 ! 10 26 J / s
vemos que nuestra estimación resulta ser un 30% menor.
Este es un error realmente minúsculo tomando en cuenta el
modelo del Sol tan simplificado que hemos construido.
¿Qué es una estrella?
Lo más importante de estas lecciones es ilustrar cómo,
con un poco de Física, podemos aprender muchas cosas
sobre las estrellas y entender cómo funcionan.
•Hemos deducido las condiciones de presión y
temperatura que deben prevalecer dentro del
Sol.
•Esto nos llevó a descubrir el origen de la
energía solar.
•Finalmente, descubrimos la insospechada
gran opacidad del material solar, y cómo los
electrones determinan en gran medida la
luminosidad del Sol.
FIN
SOHO Consortium, ESA, NASA