Documento Complementario Parte Dinamica RNC (click para
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Material complementario IntroducciónalAnálisisEstructural Método Matricial iterativo de Stodolla vianello * Metodo de la Determinante. Recopilación: Pablo Cruz Uriarte (ingpablocruz.com) Docente horario: UCA ‐2012. Introducción En las siguientes páginas se incluye material complementario para efectuar el cálculo de los parámetros dinámicos en estructuras con más de un grado de libertad dinámico. En la primera parte se muestra un proyecto de curso efectuado por el autor y en donde se ilustra el método de iteraciones sucesivas de Stodolla Vianello para un edificio de 2 niveles. Se adjunta también el proceso para el análisis dinámico, es decir el cálculo de las frecuencias y períodos de vibrar en un edificio de 3 niveles empleando el método de la Determinante. Con el objetivo de que el material de apoyo sea de utilidad en la realización de los proyectos de curso de la asignatura Introducción al Análisis Estructural, impartida en el II Cuatrimestre del 2012 en la Universidad Centroamericana (UCA). Ing. Pablo Cruz Uriarte Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal 3.7.- METODO DINAMICO DE ANALISIS MODAL 3.7.1.- ANALISIS DEL EJE 2 Cálculo de rigidez de columnas. K= 12*E*I L3 12*2038.901781 Tn/cm 2 *22185.135cm K1 = (380cm)3 K1 = 39.568431 Tn/cm 4 *4 columnas 12*2038.901781 Tn/cm 2 *17689.836cm (350cm)3 K2 = 40.379154 Tn/cm 4 *4 columnas K2 = 12*2038.901781 Tn/cm 2 *9906.308cm (400cm)3 K3 = 15.148492 Tn/cm K3 = 4 *4 columnas Determinación de la matriz de rigidez lateral (K). K= K1+K2 -K2 0 -K2 K2+K3 -K3 0 -K3 K3 79.947585 -40.379154 0 = -40.379154 55.527646 -15.148492 0 -15.148492 15.148492 Cálculo de masas por nivel. mi = m1 = Wi g 34610.365600kg 981cm/seg2 NOTA: Los pesos fueron calculados en las páginas No. 71 y 72. * 1Tn 1000 kg m1 = 0.035280699 ton-seg2/cm m2 = 34320.690000kg 981cm/seg2 * 1Tn 1000 kg m2 = 0.034985413 ton-seg2/cm Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal 5740.463298kg 981cm/seg2 m3 = * 1Tn 1000 kg m3 = 0.005851645 ton-seg2/cm Determinación de matriz de masa. M= m1 0 0 0 m2 0 0 0 m3 = 0.035280699 0 0 0 0.034985413 0 0 0 0.005851645 Cálculo de las frecuencias para cada uno de los modos de vibración. |K – W2*M| = 0 0.0 35280699 0 0 79.947585 -40.379154 0 2 0 0.034985413 0 -40.379154 55.527646 -15.148492 -W 0 0 0.005851645 0 -15.148492 15.148492 79.947585-0.035280699W2 -40.379154 0 -40.379154 55.527646-0.034985413W2 -15.148492 0 =0 -15.148492 15.148492-0.005851645W2 El desarrollo de este determinante conduce a la siguiente expresión: -7.22274291846e-6W6 + 4.65286688733e-2W4 – 80.3871827689W2 + 24203.348107 = 0 Resolviendo la ecuación anterior obtenemos: W1 2 = W2 2 = W3 2 = 379.556418024 seg-2 2431.62148381 seg-2 3630.78873029 seg-2 W1 = W2 = W3 = 19.482207730 seg-1 49.311474160 seg-1 60.256026506 seg-1 Cálculo del período para cada uno de los modos. T1 = 2S W1 = =0 2*S 19.482207730seg-1 T1 = 0.322508896 seg Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal 2S W2 T2 = = 2*S 49.311474160 seg-1 T2 = 0.127418322 seg 2S W3 T3 = = 2*S 60.256026506 seg-1 T3 = 0.104274803 seg Cálculo de las formas modales Para calcular los modos de vibración, se reemplazan los valores de W2 en la expresión «K-W2*M«*Z = 0. Primer modo: Procediendo así con W12, se obtiene el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones. 79.9475850.035280699*379.556418024 -40.379154 0 -40.379154 55.5276460.034985413*379.556418024 -15.148492 0 -15.148492 Z11 0 Z21 = 0 15.148492Z31 0.005851645*379.556418024 0 Se puede escoger arbitrariamente el valor de alguno de los Zij ; asumimos Z11 = 1.00, entonces el valor de Z21 y Z31, los obtenemos por sustitución, en las ecuaciones anteriores. Z1 = Z11 Z21 Z31 = 1.000000000 1.648290335 1.931478261 Segundo Modo: usando análogamente W22. 79.9475850.035280699*2431.62148381 -40.379154 0 -40.379154 55.5276460.034985413*2431.62148381 -15.148492 0 -15.148492 Z12 Z22 = 0 15.148492Z32 0.005851645*2431.62148381 Asumimos Z12 = 1 Método Dinámico de Análisis Modal 0 0 Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal Z2 = Z12 Z22 Z32 = 1.000000 -0.144671695 -2.383407279 Tercer Modo: Usando análogamente W32. 79.9475850.035280699*3630.78873029 -40.379154 0 Z13 -40.379154 55.5276460.034985413*3630.78873029 -15.148492 Z23 0 -15.148492 0 = 15.148492Z33 0.005851645*3630.7887029 0 0 Asumimos Z13 = 1, Despejando Z23: Z23 = Z23 Z33 = Z33 [79.947585-(0.035280699*3630.7887029)]*1 40.379154 = -1.192426650 -15.148492*(-1.192426650) 15.148492-(0.005851645*3630.7887029) = 2.962391959 Comprobación de la Ortogonalidad de los modos con respecto a las matrices de masa y rigidez. a) Ortogonalidad con respecto a la matriz de masas: ZjT*M*Zr = 0 si j z r Z1T*M*Z2 = 1.00 1.648290335 1.931478261 0.035280699 0 0 1.000000 0 0.034985413 0 -0.144671695 0 0 0.005851645 -2.383407279 =0 0.035280699 0 0 1.00 0 0.034985413 0 -1.192426650 0 0 0.005851645 2.962391959 =0 Z1T*M*Z3 = 1.00 1.648290335 1.931478261 Z2T*M*Z3 = Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal 1.00 -2.383407279 -0.144671695 0.035280699 0 0 1.00 0 0.034985413 0 -1.192426650 0 0 0.005851645 2.962391959 =0 b) Ortogonalidad con respecto a la matriz de rigidez: ZjT*K*Zr = 0 si j z r Z1T*K*Z2 = 1.00 1.648290335 1.931478261 79.947585 -40.379154 0 1.000000 -40.379154 0 55.527646 -15.148492 -0.144671695 =0 -15.148492 15.148492 -2.383407279 79.947585 -40.379154 0 1.00 -40.379154 0 55.527646 -15.148492 -1.192426650 =0 -15.148492 15.148492 2.962391959 79.947585 -40.379154 0 1.00 -40.379154 0 -1.192426650 55.527646 -15.148492 =0 -15.148492 15.148492 2.962391959 Z1T*K*Z3 = 1.00 1.648290335 1.931478261 Z2T*K*Z3 = 1.00 -0.144671695 -2.383407279 Análisis Sísmico Dinámico Cálculo del coeficiente de participación de cada modo Dm, haciendo uso de la ecuación: Dm = ¦m1*Iim ¦m1*Iim2 D1 = (0.035280699*1)+(0.034985413*1.648290335)+(0.005851645*1.931478261) (0.035280699*(1)2)+(0.034985413*(1.648290335)2)+(0.005851645*(1.931478261)2) D1 = 0.685122131 D2 = (0.035280699*1)-(0.034985413*0.144671695)-(0.005851645*2.383407279) (0.035280699*(1)2)+(0.034985413*(-0.144671695)2)+(0.005851645*(-2.383407279)2) D2 = 0.234967703 Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal D3 = (0.035280699*1)-(0.034985413*1.192426650)+(0.005851645*2.962391959) (0.035280699*(1)2)+(0.034985413*(-1.192426650)2)+(0.005851645*(2.962391959)2) D3 = 0.079910166 Cálculo de matriz modal normalizada. 0.685122131 1.000000 1.648290335 1.931478261 I2 = I3 = I1 = I1 = 0.685122131 1.129280187 1.323298502 0.234967703 1.000000 -0.144671695 -2.383407279 I2 = 0.234967703 -0.033993176 -0.560023734 0.182244 1.000000 -1.192426650 2.962391959 I3 = 0.079910166 -0.095287011 0.236725232 Forma Modal Normalizada Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal 3.7.1. CALCULO DE LAS FUERZAS Y CORTANTES SISMICOS (MODALES) MEDIANTE EL METODO DE ANÁLISIS DINÁMICO CON UN GRADO DE LIBERTAD POR PLANTA APLICANDO EL REGLAMENTO NACIONAL DE CONSTRUCCION EJE 2 Datos obtenidos del análisis dinámico con un grado de libertad por Nivel. 1.a) En la Tabla anexa se indican los pesos y las coordenadas modales de los diversos pisos calculados mediante un análisis modal. Nivel 3 2 1 I1 I2 I3 Wi (Kg) 5,740.46 1.323299 -0.560024 0.236725 34,320.69 1.129280 -0.033993 -0.095287 34,610.37 0.685122 0.234968 0.079910 1.b) Período de los modos (Datos del Análisis Dinámico) T1 = T2 = T3 = 0.3225089 0.1274183 0,1042748 Seg. Seg. Seg. Modo 1 Modo 2 Modo 3 Datos obtenidos aplicando la Norma Sismorresistente, (Tabla A-1, A-2, RNC-83, ver tabla en ANEXO I). 2.a) Ubicación y Zonificación: Managua, Zona sísmica 6 2.b) Uso: Apartamentos, Grupo 2 Vida Económica 50 años Probabilidad de daño aceptable 0.40 Probabilidad de no excedencia 0.60 Riesgo/año 0.10 100 Años Período de Retorno Entonces, A= 0.35 K 2.c) Sistema Aporticado por lo tanto, el tipo de 0.67 = Estructura es: Tipo I 2.d) Factor de deformación de daño dt= 3.00 2.e) Factor Intervalo de Confiabilidad Espectral (1+ Kt Vs) = 1.00 2.f) Factor de Reducción R R= 0.70 Fuerzas modales . Fim = Wi x Iim x Dm x Am/g Dm = ¦ Wi Iim ¦ Wi Im2 Sm= Am/g x Dm x ¦ Wi Fim = Fuerza Lateral en el Piso i, modo m am = Factor de participación de cada modo Sm= Cortante en la base para el modo m Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal 2 Dm = 1 ¦W ¦ Wi Iim ¦ Wi Iim2 Dm= Fracción de Masa total o participativa asociada con la respuesta en modo m Modo 1: Se determinará el coeficiente sísmico c Factor de Amplificación Dinámica, Como T1 = 0.3225089 seg< 0.5 seg. D= 2 T1 = 0.3225089 seg Se calcula V1= V1= Período Fundamental A*D*R*1/dt*(1+Kt Vs)*Wn/g 0.35*2*0.7*(1/3)*1*Wn/g V1 =0.163 Wn c = 0.163 Haciendo uso del espectro de aceleraciones para análisis dinámico modal, deducimos Am, en base al período modal Am = Am = cxg 0.163 g Se calcula el corte Basal Sm= Am/g x Dm x ¦ Wi Se construye la siguiente tabla: Modo 1 Masa I1 NIVEL Wi (Kg) (kg-s2/m) 3 2 1 ¦ 5,740.46 34,320.69 34,610.37 585.16 3,498.54 3,528.07 Wi I1 7,596.346 38,757.675 23,712.327 74,671.52 7,611.78 Acumulados 70,066.35 S1 =0.938x74,671.52x0.163 = 1.323 1.129 0.685 Wi I12 10,052.234 43,768.275 16,245.840 70,066.35 D 1 (Cte) D 1 (Cte) 0.938 1.000 11,444.17 kg Cálculo de la fuerza lateral Fim para cada piso, la cual se acumula para calcular el cortante basal que debe ser igual al calculado en el paso anterior. Por ejemplo, para el nivel 3 se tendrá: F31 = Wi x Iim x Dm x Am/g F31 = 5,740.46 x 1.323 x 1.000 x 0.163 = 1,240.74 kg Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal NIVEL Peso (kg) I1 D1 (Cte) Fi1 (kg) 3 2 1 ¦ 5,740.46 34,320.69 34,610.366 74,671.52 1.323 1.129 0.685 1.000 1.000 1.000 1,240.74 6,330.42 3,873.01 Vi1 (kg) 0.00 1,240.74 7,571.16 11,444.17 Se comprueban al final los valores comparando S1 del nivel 1 con V11 V11 = 11,444.17 Cortes del Modo 1 S1 = Kg OK 11,444.17 El Corte acumulado es igual al calculado (Puede haber diferencias por aproximaciones decimales) Kg Cálculo del desplazamiento modal en cada piso G'im = dt x Am x 1/W2m x Dm x Iim G'11 = 0.8677 cm G'21 = 1.4302 cm d'31 = 1.6759 cm Se repite el cálculo para los modos 2 y 3 lo cual aparece resumido en las tablas siguientes. Fuerzas modales en el 2do modo. Se determinará el coeficiente sísmico Factor de Amplificación Dinámica, Como T2 =0.1274183seg < 0.5; entonces D =2 T2 = 0.1274183 seg Se calcula V2= V2= A*D*R*1/dt*(1+Kt Vs)*Wn/g 0.35*2*0.7*(1/3)*1*Wn/g c= V2 =0.163 Wn c = .163 Haciendo uso del espectro de aceleraciones para análisis dinámico modal, deducimos Am, en base al periodo modal T2= 0.1274 seg Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal Entonces Am=c*g= 0.163 g Se calcula el corte Basal c = 0.163 Sm= Am/g x Dm x ¦ Wi Se construye la siguiente tabla: Modo 2 I2 D 2 (Cte) D 2 (Cte) NIVEL Wi (Kg) Masa Wi I2 Wi I22 2 (kg-s /m) 3 5,740.46 585.16 -0.560 -3,214.796 1,800.362 0.050 1.000 2 34,320.69 3,498.54 -0.034 -1,166.669 39.659 1 34,610.37 3,528.07 0.235 8,132.318 1,910.832 Acumulados 3,750.85 3,750.85 74,671.52 7,611.78 ¦ S 2 = 0.050 x 74,671.52 x 0.163 = 612.64 kg Cálculo de la fuerza lateral Fim para cada piso, la cual se acumula para calcular el cortante basal que debe ser igual al calculado en el paso anterior. Por ejemplo, para el nivel 3 se tendrá: F32= Wi x Iim x Dm x Am/g F32 = 5,740.46 x -0.560 x 1.000 x 0.163 = -525.08 kg NIVEL 3 2 1 ¦ Peso (kg) 5,740.46 34,320.69 34,610.366 74,671.52 I2 -0.560 -0.034 0.235 D2 (Cte) 1.000 1.000 1.000 Fi2 (kg) -525.08 -190.56 1,328.28 Vi2 (kg) -525.08 -715.64 612.64 Se comprueban al final los valores comparando S2 del nivel 1 con V12 V12 = 612.64 Cortes del Modo 2 S2 = Kg OK 612.64 El Corte acumulado es igual al calculado (Puede haber diferencias por aproximaciones decimales) Kg Cálculo del desplazamiento modal de cada piso G'im = dt x Am x 1/W2m x Dm x Iim G'12 = 0.0464 cm G'22 = -0.0067 cm G'32 = -0.1107 cm Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal Fuerzas Modales en el 3er modo: Determinación del coeficiente sísmico Factor de amplificación entonces D =2 Se calcula V3= V3= dinámica T3=0,104274803 A*D*R*1/dt*(1+Kt Vs)*Wn/g 0.35*2*0.7*(1/3)*1*Wn/g seg < 0.5 seg; V3 = 0.163 Wn c = 0.163 Determinación de la aceleración espectral Am En base al período Am = c*g = 0.163 Se calcula el corte Basal Sm= Am/g x Dm x ¦ Wi Se construye la siguiente tabla: Modo 3 NIVEL Wi (Kg) 3 2 1 ¦ 5,740.46 34,320.69 34,610.37 74,671.52 Masa I3 Wi I3 (kg-s2/m) 585.16 0.237 1,358.913 3,498.54 -0.095 -3,270.316 3,528.07 0.080 2,765.720 7,611.78 Acumulados 854.32 Wi I32 321.689 311.619 221.009 854.32 D 3 (Cte) D 3 (Cte) 0.011 1.000 S3 = 0.163 x 74,671.52 x 0.011 = 139.54 kg Cálculo de la fuerza lateral Fim para cada piso, la cual se acumula para calcular el cortante basal que debe ser igual al calculado en el paso anterior. Por ejemplo, para el nivel 3 se tendrá: F33 = Wi x Iim x Dm x Am/g F33 = 5,740.46 x 0.237 x 1.000 x 0.163 = 221.96kg NIVEL 3 2 1 ¦ Peso (kg) 5,740.46 34,320.69 34,610.366 74,671.52 I3 0.237 -0.095 0.080 D3 (Cte) 1.000 1.000 1.000 Fi3(kg) 221.96 -534.15 451.73 Vi3(kg) 221.96 -312.19 139.54 Se comprueban al final los valores comparando S3 del nivel 1 con V13 V13 = Cortes del Modo 3 139.54 Kg OK El Corte acumulado es igual al calculado (Puede haber diferencias por aproximaciones decimales) Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal S3= 139.54 Kg Cálculo del desplazamiento modal de cada piso G'im = dt x Am x 1/W2m x Dm x Iim G'13 = 0.0106 cm G'23 = -0.0126 cm G'33 = 0.0313 cm Fuerzas modales del análisis modal: los valores finales del corte basal y corte en cada piso se determinarán por combinación de los respectivos valores modales, tomando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada valor modal. NIVEL 3 2 1 V1 (kg) V3 (kg) V V2 (kg) 1,240.74 -525.08 7,571.16 -715.64 11,444.17 612.64 221.96 -312.19 139.54 2 ȈV1 , m (kg) 1,365.43 7,611.31 11,461.41 COMBINACIÓN CUADRÁTICA DE LOS NODOS Desplazamiento total en cada piso NIVEL MODO 1 MODO 2 MODO 3 3 2 1 G't1 1.6759 1.4302 0.8677 G't2 -0.1107 -0.0067 0.0464 G't3 0.0313 -0.0126 0.0313 G'i total (cm) 1.680 1.430 0.869 Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal ESTRUCTURA IDEALIZADA EJE 2 Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal 3.7.2.- ANALISIS DEL EJE B Cálculo de rigidez de columnas. K= 12*E*I L3 12*2038.901781 Tn/cm 2 *7242.427cm (380cm)3 K1 = 22.605230 Tn/cm 4 *7 columnas 12*2038.901781 Tn/cm 2 *3987.497cm (350cm)3 K2 = 15.928388 Tn/cm 4 *7 columnas K1 = K2 = 12*2038.901781 Tn/cm 2 *844.950cm K3 = (400cm)3 K3 = 2.261136 Tn/cm 4 *7 columnas Determinación de la matriz de rigidez lateral (K). K= K1+K2 -K2 0 -K2 K2+K3 -K3 0 -K3 K3 = 38.533618 -15.928388 0 -15.928388 18.189524 -2.261136 0 -2.261136 2.261136 Cálculo de masas por nivel. mi = m1 = Wi g NOTA: Los pesos fueron calculados en la sección 3.6.3, EJE B, página 50. 97508.933 kg 981cm/seg2 * 1Tn 1000 kg m1 = 0.099397 ton-seg2/cm m2 = 97112.404 kg 981cm/seg2 * 1Tn 1000 kg m2 = 0.098993 ton-seg2/cm Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal 16312.731 kg 981cm/seg2 m3 = * 1Tn 1000 kg m3 = 0.016629 ton-seg2/cm Determinación de matriz de masa. m1 0 0 M= 0 m2 0 0 0 m3 = 0.097359 0 0 0 0.098993 0 0 0 0.016629 Cálculo de las frecuencias para cada uno de los modos de vibración. |K – W2*M| = 0 38.533618 -15.928388 0 -15.928388 18.189524 -2.261136 38.533618-0.099397W2 -15.928388 0 0 -2.261136 2.261136 0.099397 0 0 -W2 -15.928388 18.189526-0.098993W2 -2.261136 0 0.098993 0 0 0 0.016629 0 -2.261136 2.261136-0.016629W2 El desarrollo de este determinante conduce a la siguiente expresión: -0.000163622828478W6 + 0.115745950405W4 – 19.6415422026W2 + 814.15564955 = 0 Resolviendo la ecuación anterior obtenemos: W1 2 = W2 2 = W3 2 = 62.4946020365 seg-2 167.382541723 seg-2 485.632845167 seg-2 W1 = W2 = W3 = 7.90535274586 seg-1 12.9376405006 seg-1 22.037078871 seg-1 Cálculo del período para cada uno de los modos. T1 = 2S W1 = 2*S 7.90535274586 seg-1 T1 = 0.795892 seg Método Dinámico de Análisis Modal =0 =0 Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal 2S W2 T2 = = 2*S 12.9376405006 seg-1 T2 = 0.486205 seg 2S 2*S = T3 = 22.037078871 seg-1 W3 T3 = 0.287365 seg Cálculo de las formas modales Para calcular los modos de vibración, se reemplazan los valores de W en la expresión |K – W2*M|Z = 0 2 Primer modo: Procediendo así con W12, se obtiene el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones. 38.5336180.099397*62.323369389 -15.928388 0 -15.928388 0 Z11 18.1895240.098993*62.323369389 -2.261136 -2.261136 Z21 2.2611360.016629*62.323369389 Z31 0 = 0 0 Asumimos Z11 = 1.00, entonces el valor de Z21 y Z31 los obtenemos por sustitución, en las ecuaciones anteriores. Z11 Z21 Z31 Z1 = = 1.000000 2.030277 3.749179 Segundo Modo: usando análogamente W22. 38.5336180.099397*167.00194394 -15.928388 0 -15.928388 0 Z12 18.1895240.098993*167.00194394 -2.261136 -2.261136 Z22 2.2611360.016629*167.00194394 Z32 Asumimos Z12 = 1 Z2 = Z12 Z22 Z32 = 1.000000 1.377046 -6.034989 Método Dinámico de Análisis Modal 0 = 0 0 Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal Tercer Modo: Usando análogamente W32. 38.5336180.099397*478.06956231 -15.928388 0 -15.928388 0 Z13 18.1895240.098993*478.06956231 -2.261136 -2.261136 Z23 2.2611360.016629*478.0695631 Z33 0 = 0 0 Asumimos Z13 = 1, Despejando Z23: [38.533618-(0.099397*478.06956231)]*1 15.928388 = -0.567091 Z23 = Z23 -2.261136*(-0.564091) 2.261136-(0.016629*478.06956231) = -0.224215 Z33 = Z33 Comprobación de la Ortogonalidad de los modos con respecto a las matrices de masas y rigideces. a) Ortogonalidad con respecto a la matriz de masas: ZjT*M*Zr = 0 si j z r Z1T*M*Z3 = 1.00 2.203027 3.749179 0.099397 0 0 0 0.098993 0 0 1.00 0 -0.564091 0.016629 -0.224215 =0 b) Ortogonalidad con respecto a la matriz de rigidez: ZjT*K*Zr = 0 Z1T*K*Z3 = 1.00 2.203027 si j z r 3.749179 38.533618 -15.928388 0 -15.928388 18.189524 -2.261136 0 -2.261136 2.261136 1.00 -0.564091 -0.224215 Método Dinámico de Análisis Modal =0 Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal Análisis sísmico dinámico Cálculo del coeficiente de participación de cada modo Dm, haciendo uso de la ecuación: Dm = ¦m1*Iim ¦m1*Iim2 (0.099397*1)+(0.098993*2.030277)+(0.016629*3.749179) (0.099397*(1)2)+(0.098993*(2.030277)2)+(0.016629*(3.749179)2) D1 = 0.489381 D1 = (0.099397*1)+(0.098993*1.377046)+(0.016629*(-6.034989)) (0.099397*(1)2)+(0.098993*(1.377046)2)+(0.016629*(-6.034989)2) D2 = 0.151619 D2 = (0.099397*1)+(0.098993*(-0.564091))+(0.016629*(-0.224215)) (0.099397*(1)2)+(0.098993*(-0.564091)2)+(0.016629*(-0.224215)2) D3 = 0.302336 D3 = Cálculo de matriz modal normalizada. I1 = I2 = I3 = 0.489381 1.000000 2.030277 3.749179 I1 = 0.489381 0.993579 1.834777 0.151619 1.000000 1.377046 -6.034989 I2 = 0.151619 0.208786 -0.915019 0.302336 1.000000 -0.564091 -0.224215 I3 = 0.302336 -0.170546 -0.067788 Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal Forma Modal Normalizada Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal 3.7.2.11. CALCULO DE LAS FUERZAS Y CORTANTES SISMICOS (MODALES) MEDIANTE EL METODO DE ANÁLISIS DINÁMICO CON UN GRADO DE LIBERTAD POR PLANTA APLICANDO EL REGLAMENTO NACIONAL DE CONSTRUCCION EJE B Datos obtenidos del análisis dinámico con un grado de libertad por Nivel. 1.a) En la Tabla anexa se indican los pesos y las coordenadas modales de los diversos pisos calculados mediante un análisis modal. Nivel 3 2 1 I1 I2 I3 Wi (Kg) 16,312.73 1.834777 -0.915019 -0.067788 97,112.40 0.993579 0.208786 -0.170545 97,508.93 0.489381 0.151619 0.302336 1.b) Período de los modos (Datos del Análisis Dinámico) T1 = T2 = T3 = 0.795892 0.486205 0.287365 Seg. Seg. Seg. Modo 1 Modo 2 Modo 3 Datos obtenidos aplicando la Norma Sismorresistente, (Tabla A-1, A-2, RNC-83, Ver tabla en ANEXO I) 2.a) Ubicación y Zonificación: Managua, Zona sísmica 50 años 2.b) Uso: Apartamentos, Grupo 2 Vida Económica Probabilidad de daño aceptable 0.40 Probabilidad de no excedencia 0.60 Riesgo / año 0.10 100 Años Período de Retorno Entonces, A= 0.35 K 2.c) Sistema Aporticado por lo tanto, el tipo de 0.67 = Estructura es: Tipo I 2.d) Factor de deformación de daño dt= 3.00 2.e) Factor Intervalo de Confiabilidad Espectral (1+ Kt Vs) = 1.00 2.f) Factor de Reducción R R= 0.70 Fuerzas modales . Fim = Wi x Iim x Dm x Am/g Dm = ¦ Wi ¦ Wi Iim Iim2 Sm= Am/g x Dm x ¦ Wi Fim = Fuerza Lateral en el Piso i, modo m Dm = Factor de participación de cada modo Sm= Cortante en la base para el modo m Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal 2 Dm = 1 ¦W ¦Wi ¦Wi Iim Iim2 D m= Fracción de Masa total o participativa asociada con la respuesta en modo m Modo 1: Se determinará el coeficiente sísmico c Factor de Amplificación Dinámica, Como T1 = 0.795892 seg > 0.5 seg. Entonces D= 2*(0.5/T)0.5 D= 1.585 T1 = 0.795892 seg. Se calcula V1= V1= Período Fundamental A*D*R*1/dt*(1+Kt Vs)*Wn/g 0.35*1.585*0.7*(1/3)*1*Wn/g V1 =0.129 Wn c = 0.129 Haciendo uso del espectro de aceleraciones para análisis dinámico modal, deducimos Am, en base al período modal Am = Am = (0.5/T)x c x g 0.081 g Se calcula el corte Basal Sm= Am/g x Dm x ¦ Wi Se construye la siguiente tabla: Modo 1 NIVEL Wi (Kg) 3 2 1 ¦ 16,312.73 97,112.40 97,508.93 210,934.07 Masa I1 (kg-s2/m) 1,662.87 1.835 9,899.33 0.994 9,939.75 0.489 21,501.94 Acumulado Wi I1 Wi I12 Į (Cte) Į (Cte) 29,930.224 96,488.845 47,719.019 174,138.09 54,915.286 95,869.290 23,352.781 174,137.36 0.826 1.000 S1= 0.826 x 210,934.07 x 0.081 = 14,160.73 kg Cálculo de la fuerza lateral Fim para cada piso, la cual se acumula para calcular el cortante basal que debe ser igual al calculado en el paso anterior. Por ejemplo, para el nivel 3 se tendrá: F31 = Wi x Iim x Dm x Am/g F31 = 16,312.73 x 1.835 x 1.000 x 0.081 = 2,433.89 kg Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal NIVEL Peso (Kg.) I1 3 2 1 ¦ 16,312.73 97,112.40 97,508.933 210,934.07 1.835 0.994 0.489 D1 (Cte) Fi1 (kg) 1.000 1.000 1.000 2,433.89 7,846.37 3,880.46 Vi1 (kg) 0.00 2,433.89 10,280.26 14,160.72 Se comprueban al final los valores comparando S1 del nivel 1 con V11 V11 = 14,160.72 Kg. Cortes del Modo 1 S1 = El Corte acumulado es igual al calculado (Puede haber diferencias por aproximaciones decimales) OK 14,160.73 Kg. Cálculo del desplazamiento modal en cada piso G 'im = dt x Am x 1/W2m x D G'11 = 1.8741 cm G'21 = 3.8049 cm G'31 = 7.0262 cm m x I im Se repite el cálculo para los modos 2 y 3 lo cual aparece resumido en las tablas siguientes. Fuerzas modales en el 2do modo. Se determinará el coeficiente sísmico Factor de Amplificación Dinámica, Como T2 =0.486205 seg. < 0.5; Entonces D =2 T2 = Se calcula 0.486205 seg. V2= V2= A*D*R*1/dt*(1+Kt Vs)*Wn/g 0.35*2*0.7*(1/3)*1*Wn/g V2=0.163 Wn c =0.163 Haciendo uso del espectro de aceleraciones para análisis dinámico modal, deducimos Am, en base al período modal. T2= 0.4862 seg Entonces Am= c*g = 0.163g Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal Se calcula el corte Basal Sm= Am/g x Dm x ¦Wi Se construye la siguiente tabla: Modo 2 NIVEL Wi (Kg.) 3 2 1 ¦ 16,312.73 97,112.40 97,508.93 210,934.07 Masa I2 Wi I2 (kg-s2/m) 1,662.87 -0.915 -14,926.459 9,899.33 0.209 20,275.710 9,939.75 0.152 14,784.207 Acumulados 20,133.46 21,501.94 Wi I22 13,657.993 4,233.284 2,241.567 20,132.84 D 2 (Cte) 0.095 D 2 (Cte) 1.000 S2= 0.095 x 210,934.07 x 0.163 =3,288.57 kg Cálculo de la fuerza lateral Fim para cada piso, la cual se acumula para calcular el cortante basal que debe ser igual al calculado en el paso anterior. Por ejemplo, para el nivel 3 se tendrá: F32= Wi x Iim x Dm x Am/g F32 =16,312.73 x -0.915 x 1.000 x 0.163 = -2,438.06 kg NIVEL 3 2 1 ¦ Peso (Kg.) 16,312.73 97,112.40 97,508.933 210,934.07 I2 -0.915 0.209 0.152 D2 (Cte.) 1.000 1.000 1.000 Fi2 (kg) -2,438.06 3,311.80 2,414.83 Vi2 (kg) -2,438.06 873.74 3,288.57 Se comprueban al final los valores comparando S2 del nivel 1 con V12 V12 = 3,288.57 Cortes del Modo 2 S2 = Kg. OK 3,288.57 El Corte acumulado es igual al calculado (Puede haber diferencias por aproximaciones decimales) Kg. Cálculo del desplazamiento modal de cada piso G'im = dt x Am x 1/W2m x Dm x Iim G'12 = 0.4354 cm G'22 = 0.5996 cm G'32 = -2.6278 cm Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal Fuerzas modales en el 3er Modo: Determinación del coeficiente sísmico Factor de amplificación dinámica T3 = 0,287365 seg. < 0.5 seg.; entonces D=2 0.287365 seg. T3 = V3= V3= Se calcula A*D*R*1/dt*(1+Kt Vs)*Wn/g 0.35*2*0.7*(1/3)*1*Wn/g V3= 0.163 Wn c = 0.163 Determinación de la aceleración espectral Am En base al período Am = c*g = 0.163g Se calcula el corte Basal Sm= Am/g x Dm x ¦ Wi Se construye la siguiente tabla: Modo 3 NIVEL Wi (Kg.) 3 2 1 ¦ 16,312.73 97,112.40 97,508.93 210,934.07 Masa I3 (kg-s2/m) 1,662.87 -0.068 9,899.33 -0.171 9,939.75 0.302 21,501.94 Acumulados Wi I3 Wi I32 -1,105.807 74.960 D 3 (Cte) 0.056 D 3 (Cte) 1.000 -16,562.035 2,824.572 29,480.461 8,913.005 11,812.62 11,812.54 S3 = 0.056 x 210,934.07 x 0.163 = 1,929.41 kg Cálculo de la fuerza lateral Fim para cada piso, lo cual se acumula para calcular el cortante basal que debe ser igual al calculado en el paso anterior. Por ejemplo, para el nivel 3 se tendrá: F33 = Wi x Iim x Dm x Am/g F33 =16,312.73 x -0.068 x 1.000 x 0.163 = -180.62 kg NIVEL 3 2 1 ¦ Peso (kg) 16,312.73 97,112.40 97,508.933 210,934.07 I3 -0.068 -0.171 0.302 D3 (Cte) 1.000 1.000 1.000 Fi3 (kg) -180.62 -2,705.15 4,815.17 Vi3 (Kg.) -180.62 -2,885.77 1,929.40 Método Dinámico de Análisis Modal Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal Se comprueban al final los valores comparando S3 del nivel 1 con V13 V13 = 1,929.40 Cortes del Modo 3 Kg. OK El Corte acumulado es igual al calculado (Puede haber diferencias por aproximaciones decimales) 1,929.41 Kg. S3= Cálculo del desplazamiento modal de cada piso G'im = dt x Am x 1/W2m x Dm x Iim G'13 = 0.2993 cm G'23 = -0.1688 cm G'33 = -0.0671 cm Fuerzas modales del análisis modal: los valores finales del corte basal y corte en cada piso se determinarán por combinación de los respectivos valores modales, tomando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada valor modal. NIVEL 3 2 1 V1(Kg.) V2(kg) V3 (kg) V 2 ȈV1 , m (kg) 2,433.89 -2,438.06 -180.62 3,449.72 10,280.26 873.74 -2,885.77 10,713.30 14,160.72 3,288.57 1,929.40 14,665.04 COMBINACIÓN CUADRÁTICA DE LOS MODOS Desplazamiento total en cada piso NIVEL MODO 1 MODO 2 MODO 3 3 2 1 G't1 7.0262 3.8049 1.8741 G't2 -2.6278 0.5996 0.4354 G't3 -0.0671 -0.1688 -0.0671 G'i total (cm) 7.502 3.856 1.925 Método Dinámico de Análisis Modal EJE B ESTRUCTURA IDEALIZADA Análisis Sísmico Dinámico Análisis Comparativo entre el Método Estático y el Método Dinámico de Análisis Modal Introducción. El propósito del presente documento es el de presentar el procedimiento de diseño de un edificio de dos plantas y la obtención de fuerzas sísmicas por medio de Métodos Dinámicos así como su comparación con las obtenidas por medio del empleo del Método Estático Equivalente propuesto en el Reglamento Nacional de la Construcción, RNC-83. El edificio tratado es un edificio para uso de Biblioteca por parte del Colegio Bautista de Managua, con un área aproximada de 900 m2. Para efectuar el análisis dinámico se empleo el método de iteraciones matriciales de Stodolla-Vianello montado en el programa Mathcad 12, posteriormente se realizo un análisis de los periodos de vibración naturales del suelo del sitio tomando en consideración la información proporcionada por el estudio de suelos efectuado en el sitio. 3,00 1,00 5,00 4,99 3,00 5,00 1,00 0,30 0,30 0,26 3,00 1,39 0,30 0,85 3,00 0,85 0,20 1,39 0,30 0,90 1,90 P V 4 0,26 0,4 5 0,3 0 0,3 0 0,4 5 V 3 13 0,90 N.P.T.=0.00 P 7 P 11 0,80 P COCINA 12 P 9 0,10 8 10 0,4 5 0,3 0 5,00 0,10 P V 5 0,90 0 5 P 0,4 0,3 1,60 2,95 V 1 3,0 0 0,70 3,0 0 V 2 SALA DE JUNTAS DIRECCION SECRETARIA 6 0,30 P N.P.T.=0.00 N.P.T.=0.00 0,30 P 3 0,51 4 1,60 0,90 0,82 1,48 P 0,51 0,30 P 0,90 5 0,90 V 13 0,81 1,36 1,51 2,35 0,90 0,30 N.P.T.=0.00 0,15 P 0,90 2,10 2,10 1,25 0,90 1,60 1 1,25 0,90 4,15 V 12 VESTIBULO 3,00 CAJA V 11 BODEGA P N.P.T.=0.00 2 S U B E ESCALERA SECRETARIA ACADEMICA N.P.T.=0.00 N.P.T.=0.00 3,28 4 2 3 1 5 6 7 8 9 10 11 16 12 P 15 13 5,01 3,25 P 14 N.P.T.=0.00 N.P.T.=+2.00 0,81 25 24 23 20 22 21 19 18 17 16 P 19 18 1,51 1,51 P BODEGA CONTABILIDAD 0,30 2,80 17 1,70 P 15 0,30 14 0,84 111 N.P.T.=0.00 3,70 4,10 0,90 N.P.T.=0.00 P P 21 0,30 0,30 SECRETARIA CONTABILIDAD 5,00 N.P.T.=0.00 20 SUB-DIRECCION 0,3 0 N.P.T.=0.00 0,4 4 0,4 5 1,40 0 0,3 BODEGA SUB-DIRECCION 2,24 V 10 V 6 N.P.T.=0.00 3,0 0 0 3,0 V 8 V 9 V 7 4 4 0,4 0,26 0,30 3,00 1,39 0,85 3,00 0,85 0,30 1,39 3,00 0,30 PLANTA ARQUITECTONICA - PRIMER NIVEL ESCALA :------------------ 1 : 50 0,30 0,26 0,3 0 0 0,3 0,4 15,00 N.P.T.=0.00 P VESTIBULO 23,00 1,00 3,00 5,00 4,99 3,00 1,39 0,30 0,75 2,89 1,05 0,48 3,00 0,26 0,3 0 0,4 V 16 1,00 0,30 0,91 0,4 5 0,3 0 0,30 0,30 3,00 5,00 P 5 V 17 22 1,89 3,0 0 3,0 0 V 15 V 18 0,3 0 0,3 0 0,4 5 0,4 5 SALA MULTIMEDIA SALA DE LA CULTURA N.P.T.=+4.00 0,30 0,30 5,00 SALA DE LAS PROMOCIONES N.P.T.=+4.00 N.P.T.=+4.00 1,48 1,51 3,9 2 0,26 0,81 0,78 0,82 0,30 0,30 3,20 6,92 1,96 1,41 5 1,2 4,15 2,26 N.P.T.=+4.00 3,00 3,28 V 19 VESTIBULO 9 10 13 LOBBY N.P.T.=+4.00 11 N.P.T.=+4.00 VESTIBULO 12 3,25 5,00 15,00 SALA DE LOS TROFEOS V 14 N.P.T.=+4.00 ESCALERA N.P.T.=+2.00 111 0,24 0,96 0,81 0,84 0,96 0,30 B A J A P CONTABILIDAD 23 P P 24 25 SALA DE LOS DEPORTES 0,30 SALA DE LOS DIRECTORES 27 1,51 P 26 0,30 1,51 N.P.T.=0.00 P N.P.T.=+4.00 N.P.T.=+4.00 5,00 1,35 CONTABILIDAD N.P.T.=0.00 0,3 6 0,4 0 0,3 0 0,4 4 0,36 1,35 V 24 1,79 P P 28 V 20 29 CONTABILIDAD 0 3,0 3,0 N.P.T.=0.00 0 V 22 V 23 V 21 4 0,4 0,4 4 0,3 0,26 3,00 1,39 0,85 3,00 0,85 1,39 3,00 0 0,3 0,30 0 0,30 0,30 0,30 0,30 23 22 21 20 19 18 16 17 15 0,91 14 1,41 0,26 PLANTA ARQUITECTONICA - SEGUNDO NIVEL ESCALA :------------------ 1 : 75 Nota: Se adjunta elevación arquitectónica ilustrativa al final del documento (En anexos). El edificio está conformado de paredes exteriores de Panel Covintec, Las paredes internas son particiones de JPM, la estructura principal será Metálica con entrepiso de losa mixta de lámina troquelada y concreto reforzado. II. CLASIFICACION ESTRUCTURAL. De acuerdo con el Reglamento Nacional de la Construcción, RNC-83, el edificio se clasifica de la siguiente manera: Grupo: 2 – Oficinas. Tipo: 3 – Edificio de dos Plantas con pórticos rígidos. K: 1.00 Grado: B – Calidad Regular. III. CARGAS VIVAS. Oficinas CV= 250 kg/m2 CVR=100 kg/m2 IV. CARGAS MUERTAS Zinc corrugado calibre 26= 5.4 Kg/m2 Cielo raso de Plycem con estructura de aluminio= 7 kg/m2 Peso de piso cerámico= 30 Kg/m2 Peso de paredes de Covintec = 150 Kg/m2 Peso de particiones ligeras (Durock/ Gypsum) = 23 kg/m2 Ventanas de Vidrio Fijo con Estructura de Aluminio= 35 kg/m2 C= 0.429 analisis dinamico edificio administrativo bautista final Resolucion al problema del analisis modal para un edificio de dos niveles siguiendo la metodologia empleada por el Ing. Gilberto Lacayo. (Metodo matricial StodollaVianello). Primeramente se ensambla la matriz de masas del edificio, para esto necesitamos Matriz de masas: conocer la masa de todos los elementos que lo componen tales como losas, vigas x 0.34 y columnas, forros y particiones, paredes, escaleras, descanso, losa de techo, ductos y tuberias, etc. (calculo en hoja de excel anexa). Matriz de rigidez lateral del edificio: 16 es el numero de columnas. La matriz de rigidez lateral es: La matriz de flexibilidad es file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (1 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM analisis dinamico edificio administrativo bautista final x 8.29x10^-2 es la matriz de flexibilidad La matriz dinamica para el PRIMER MODO DE VIBRACION es: factor de la matriz de flexibilidad * factor de matriz de masas. x 0.028 Configuracion caracteristica para el primer modo de vibracion vector de prueba inicial: Ecuacion carateristica para el primer modo de vibracion: D1*u1=1/wl2*u1 Para la segunda iteracion se toma el valor de D1*u1 anterior como vector de prueba. asi: Tercera iteracion file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (2 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM analisis dinamico edificio administrativo bautista final Cuarta iteracion Quinta iteracion los resultados son practicamente iguales. SEGUNDO MODO DE VIBRACION Aplicamos el principio de ortogonalidad. para lo cual calculamos la transpuesta de la matriz de desplazamientos U1 file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (3 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM analisis dinamico edificio administrativo bautista final La matriz traspuesta x la matriz de masas x el desplazamiento unitario segundo debe ser igual a cero, o sea. hacemos cero US1 y sustituimos el coeficiente de US2 en la matriz de masas. A partir de esta y la matriz de masas, construimos la matriz de eliminacion S1 recordando que: y montamos la matriz dinamica para el segundo modo de vibracion que es La configuracion caracteristica para el segundo modo de vibracion es: por lo tanto necesitamos asumir un valor de prueba para los desplazamientos u2 Primera iteracion matricial. file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (4 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM analisis dinamico edificio administrativo bautista final Segunda iteracion matricial. Tercera iteracion matricial. Cuarta iteracion matricial. Quinta iteracion matricial. Sexta iteracion matricial. Septima iteracion matricial. Octava iteracion matricial. Novena iteracion matricial. file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (5 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM analisis dinamico edificio administrativo bautista final Decima iteracion matricial. En el problema presentado empleamos el valor obtenido en la novena iteracion lo cual nos da los siguientes resultados. de aqui w2= el periodo T2 El vector U2, desplazamiento para el segundo modo de vibracion es: AHORA PASAMOS AL TERCER MODO DE VIBRACION No existe tercer modo de vibracion ya que hay tantos modos de vibracion como niveles tenga el edificio, en nuestro caso, tiene solamente dos niveles por lo tanto solo existen dos modos de vibrar. Con los valores de los vectores de desplazamiento para cada modo obtenemos la matriz modal para el sistema estructural la cual es: file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (6 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM analisis dinamico edificio administrativo bautista final Esta matriz de vectores de desplazamientos esta referida al nivel o piso de referencia uno, por lo cual es logico que los desplazamientos en los niveles superiores son mayores que en los niveles inferiores por lo tanto se ordenan de arriba hacia abajo, asi: Ahora procedemos a efectuar el analisis espectral que es la segunda parte del problema. La clasificación estructural siguiendo los lineamientos del RNC 83 son los siguientes. (esto es necesario para el calculo de las aceleraciones espectrales de acuerdo con el espectro de respuesta sumnistrado en el reglamento). Veamos: Grupo 1. Edificio destinado a uso como Biblioteca. Tipo 3. Edificios hasta de dos plantas con marcos rigidos de cualquier material o hibridos. Grado B. Sistema estructural con simetría aceptable, confiabilidad del sistema constructivo, control de los materiales, supervisión permanente. Zona Sismica: zona 6, que incluye Managua. Coeficiente Sísmico Último: De la tabla 14 del RNC. Cu=0.429. Los periodos de vibracion del edificio calculados son: n de golpes=27 segun el RNC es un SUELO MEDIO. Aplicamos el articulo 23 del RNC 83 Influencia del suelo y del periodo del edificio. Por lo tanto para suelos medios y duros con periodo mayor de 0.8 segundos (Ver espectro de aceleraciones del RNC 83). file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (7 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM analisis dinamico edificio administrativo bautista final La aceleracion para el primer periodo es Ahora se pasa a efectuar numericamente en una hoja de calculo de excel. file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (8 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM analisis dinamico edificio administrativo bautista final Ahora se procede a calcular los desplazamientos espectrales. Para el primer modo: Para el segundo modo: file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (9 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM analisis dinamico edificio administrativo bautista final Ahora calculamos las fuerzas sismicas espectrales. Para el modo 1: Para el modo 2: Las fuerzas sismicas estandarizadas son: file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (10 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM 1 3.9 ANÁLISIS MODAL ELÁSTICO PARA UN EDIFICIO DE CINCO NIVELES. Ilustraremos la aplicación del método de iteraciones matriciales en el análisis del edificio de cinco niveles mostrado en la Fig (3.32) proyectado para construirse en el sector de San Antonio en Managua, en un sitio localizado entre las fallas Estadio y Los Bancos, estructuras cuyo control tectónico se conoce desde el estudio de Durham H.W. (1939). GEOLOGÍA LOCAL La ciudad de Managua se localiza en una planicie de abanicos aluviales cuyo espesor alcanza hasta unos 12m, constituidos por estratos entremezclados de materiales piroclásticos y suelos, ya que el lugar registra un historial volcánico cuyas deposiciones junto con los materiales aluviales forman parte de la topografía de las planicies de Managua. Durante el Pleistoceno y el Holoceno la sedimentación del área de Managua fue de piroclastos transportados por el agua y el viento, esta deposición fue extensiva en las planicies, formando grandes abanicos aluviales siguiendo la ruta de los drenajes y de pequeñas escarpas de fallas, lo cual hace que la estratigrafía del área sea variable, caracterizada por estratos horizontales indicativos de largos periodos de inactividad volcánica. 2 Existen en el área aluviales espesos, con abundantes escombros y secuencias de materiales volcánicos depositados en capas tobáceas, así como materiales gruesos cementados, arenas y gravas en la vecindad lacustre. TECTÓNICA DEL LUGAR La ciudad de Managua se localiza dentro de la depresión tectónica o Graben de Nicaragua la cual se encuentra rellenada por materiales piroclásticos pertenecientes al vulcanismo Holocenico, cuya actividad principal se produjo en las estructuras volcánicas alineadas desde Apoyeque hasta la región del Nejapa y en la estructura del área del Tiscapa. Esta unidad tectónica presenta las características de las estructuras producidas por los esfuerzos de tensión debidos a la depresión nicaragüense y las estructuras individuales que integran la unidad. Existen evidencias de las tensiones en la región del Graben, observándose además esfuerzos compresivos en los materiales líticos tobáceos y en los materiales cementados, donde el fracturamiento presenta desplazamientos del orden de algunos centímetros. La información instrumental confirma que los esfuerzos confinados en la región del Pacifico de Nicaragua transfieren movimientos a lo largo de zonas de debilidad estructural, para nuestro propósito establecemos las relaciones de las fallas activas Estadio y Los Bancos con la posibilidad de que la energía acumulada produzca movimientos en algunas fallas del sistema escalonado de Managua. ESTRUCTURAS EXISTENTES EN EL SECTOR Del Informe Técnico de INETER titulado: “Actualización del Mapa de Fallas Geológicas de Managua” (ASDI, The World Bank Group, Managua 2002), transcribimos textualmente: (2) “La ciudad de Managua se ubica dentro de la cordillera volcánica entre los volcanes Apoyeque al noroeste y Masaya al sureste. En ella y en sus alrededores se reconocen numerosos pequeños edificios volcánicos y remanentes de volcanes: Santa Ana, Asososca, Tiscapa, Ticomo, Motastepe, entre otros. El subsuelo de Managua se caracteriza por la presencia de una secuencia volcanosedimentaria donde se reconocen productos provenientes de los volcanes Masaya, Apoyeque, Apoyo, de los volcanes del lineamiento Miraflores-Nejapa, Motastepe y de otros edificios fuera de este lineamiento, como Chico Pelón y Tiscapa que quedan ahora como remanentes de antigua actividad volcánica en el centro del área de estudio. La presencia de numerosos suelos fósiles demuestra la existencia de ciertos períodos de calma entre eventos volcánicos o tectónicos, que han permitidos el desarrollo de suelos de varios tipos (Hradecky et al., 1997). El subsuelo de Managua se compone, a partir de la base, por productos del Grupo Las Sierras, en los cuales se reconocen ignimbritas, ondas piroclásticas y piroclástos de caída, relacionados a explosiones regionales de calderas que se han formado entre final del Terciario e inicio del Cuaternario. Sobre este grupo se depositaron secuencias piroclásticas del Grupo Las Nubes y del Grupo Managua, las cuales están suficientemente descritas en Hradecky et al (1997) y en Hradecky (2001). (2) Este es el estudio mas actualizado acerca del riesgo sísmico debido al sistema de fallas geológicas de la ciudad de Managua. 3 ESTRATIGRAFÍA DE MANAGUA La geología y estratigrafía de Managua ha sido objeto de estudio en varios proyectos, sin embargo, pocos de ellos, por ejemplo (Bice, 1983) y (Hradecky et al., 1997), emplearon conceptos genéticos en la clasificación litológica; muchos propusieron una clasificación litológica con carácter ingeniero-geológica, especialmente los estudios elaborados después del terremoto de 1972 (Woodward-Clyde Consultants, 1975). El reciente estudio geológico del área de Managua de Hradecky et al. (1997) mejoró los conocimientos sobre la evolución geológica y estructural del área de la capital, considerando indispensables utilizar los aspectos genéticos, en particular vulcanológicos y geomorfológicos en la definición de la amenaza de esta área, así como en las investigaciones científica FALLAS GEOLÓGICAS Y LINEAMIENTOS Woodward-Clyde Consultants (1975) presentan una descripción de las fallas principales con sus respectivas denominaciones, parámetros y características. Moore (1990) y, más recientemente, el Grupo de Autores (1997, Reporte N°3 de la Microzonificación Sísmica de Managua) recopilaron información bibliográfica de cada falla principal. El área de Managua se ubica dentro de la Depresión de Managua, una estructura orientada N-S, considerada secundaria, con las mismas características y origen de la estructura principal (Depresión de Nicaragua). Sus relaciones con la estructura principal no se conocen. Se trata de una estructura reciente de tipo extensional y activa, que disloca la cordillera volcánica en sentido derecho por unos 13 Km. (discutido por Frischbutter, 1998). La Depresión o Graben de Managua está limitada por la Falla Cofradía al este y el lineamiento Miraflores-Nejapa al oeste. Hacia el norte el graben se pierde dentro del lago y hacia el sector suroeste el graben es limitado por la Falla Mateare y la Falla Las Nubes, mientras hacia el sur el límite se encuentra dentro de las calderas de Las Sierras. Dentro del graben se encuentran fallas orientadas según dos conjuntos conjugados: N-S y NE-SW (Woodward-Clyde Consultants, 1975). Las fallas con orientación N-S generalmente tienen forma de arco, con dirección paralela a estructuras mayores relacionadas a colapsos volcánicos y presentan desplazamientos de tipo normal. Estas observaciones sugieren que dichas fallas pueden estar relacionadas en el tiempo y espacio con el evento de subsidencia del graben. Las fallas con dirección NE-SW, en particular N35°E y N45°E presentan desplazamientos laterales izquierdos (WoodwardClyde Consultants 1975). En el sector sureste del área de estudio se pudieron reconocer además lineamientos E-W y ENE-WSW, ESE-WNW. Pocas fallas presentan una orientación NW-SE, las cuales se pueden encontrar en el sector este y central del área de estudio. LaFemina, Dixon y Strauch (2002) explican la orientación preferencial NNESSO con desplazamiento lateral izquierdo de las fallas en la cadena volcánica como acomodación de los bloques tectónicos en la cadena volcánica. Según este trabajo, los bloques orientados paralelamente a la fosa oceánica, responden a la oblicua presión del proceso de subducción en Nicaragua en forma de un tipo de fallamiento denominado bookshelf ("estantes de libros"). Mientras las fallas geológicas en el centro de Managua fueron detonantes de destructivos terremotos en el siglo XX, no se sabe mucho sobre la actividad de las fallas al este y sur de la ciudad. Cowan et al. (1998) probaron con un 4 estudio de Paleosismología que la Falla Aeropuerto es activa, y, hace aproximadamente 180 años, fue fuente de un terremoto con magnitud comparable con la del terremoto de Managua 1972. Frischbutter (1998) habla de la posibilidad de migración de la actividad hacia el este y que futuros terremotos fuertes podrían ocurrir en las fallas de esta zona. Strauch (1998) hizo simulaciones numéricas de los posibles efectos de terremotos causados por la Falla Aeropuerto y la Falla Cofradía. FALLAS GEOLÓGICAS Y AMENAZA SÍSMICA En la actualidad, en Managua viven alrededor de un millón de habitantes en una zona sísmica y volcánicamente activa. La ciudad cuenta con una elevada densidad de fallas geológicas activas (Brown et al. 1973) y sufrió en 1931 y 1972 dos terremotos destructivos que causaron grandes perdidas de vidas humanas y enormes daños materiales. Según Segura et al. (2000), las fallas sísmicas locales, en términos estadísticos, generan el 59 % de la amenaza sísmica total en Managua. El 41% restante resulta de la zona de subducción, de otras zonas en la cadena volcánica y de la zona montañosa de Nicaragua. Esto subraya la importancia del conocimiento del fallamiento local en Managua. Se cree que las fallas principales que atraviesan la parte central de Managua tienen pocos kilómetros de longitud y con esta característica pueden generar terremotos relativamente moderados de magnitudes hasta 6.5 Richter. No obstante resultan extremadamente destructivos porque el hipocentro es poco profundo, inclusive la ruptura corta la superficie, y la zona epicentral se ubica directamente en una ciudad densamente poblada. Por otro lado, las fallas que forman los límites Este y Oeste del graben de Managua (Falla Cofradía, Falla Mateare), por ser más largas y poder acumular más energía, podrían causar terremotos más grandes (Strauch et al. 2000. Estudio de la Microzonificación Sísmica de Managua) pero la densidad de población es más baja en esta zona. La importancia de consideraciones geológicas para la reconstrucción de Managua fue obvia después del terremoto de 1972 (Schmoll, 1975). Como acción inmediata, las Autoridades competentes de ese entonces encargaron un mapa de fallas y de la amenaza sísmica, que fue presentado, junto con la matriz de planeación, por Woodward-Clyde en 1975 al Vice Ministerio de Planificación Urbana. Un plan regulador para la reconstrucción y el desarrollo de Managua fue realizado por la Secretaría de Obras Publicas de México en 1973. A raíz de las recomendaciones derivadas de estos estudios se empezaron a requerir investigaciones geológicas para la detección de fallas geológicas en Managua, las cuales se convirtieron desde entonces, en un requerimiento técnico necesario para todo propietario de terreno que deseara levantar una obra o construcción civil de importancia.” (Final del texto transcrito del Informe Técnico de INETER) Las estructuras más importantes próximas a la zona considerada son: Falla Estadio: Localizada en el viejo centro de Managua fue reconocida por vez primera por Lientenant Dan I Sultan en 1931, siendo la causante del terremoto de Marzo de 1931. Su relato histórico puede encontrarse en el estudio de Woodward – Clyde – Consultants Nov de 1975 “Investigation of Active Faulting in Managua and Vinicity Brown en 1973 indica que durante el evento del 23 de Diciembre de 1972 esta falla no se movió. 5 Falla de los Bancos: Es paralela a la falla Estadio, corta diagonalmente al viejo banco central que continua por el parque Luis Alfonso Velásquez. Fue mapeada en detalle por Brown, Ward, Plafter (1973), el U.S.G..S.- Brown et al le describieron de largo 2.7 k.m, con desplazamiento lateral de 5.9cm, J .Kuant y Carlos Valle la mapearon para el Catastro, fue descrita después del evento de 1972 para controlar cuanto se desplazó, es una falla menor con estructura ramificada. La secuencia estratigráfica del lugar del proyecto en orden de lo más reciente a lo más antiguo es la siguiente: (1) RELLENO SUPERFICIAL (R) Estos materiales se presentan en forma de escombros recientes,arenas limos, gravas. SUELO HOLOCENICO ( Hs ) compuesto de materiales finos de limos-arcillas y arenas finas ALUVIAL HOLOCENICO (Hal ) consiste en materiales sueltos o poco consolidados de arenas limosas, limos, y gravas SUELO FOSIL ( Hfs ) consiste en materiales finos con trazos de gravas o fragmentos de rocas, arenas limosas irregulares PÓMEZ DE APOYEQUE (Haq ) este material es formado por fragmentos o pequeñas capas de ± 4cm color blanco amarillento FORMACIÓN SAN JUDAS ( Hsj ) son tefras de tipo basaltico escoriacio, lapilli, y cenizas ALUVIALES MAS ANTIGUOS ( HPAL, Pa y Pal ) depósitos aluviales profundos con abundancia de fragmentos de Pómez MATERIAL CONGLOMERATICO ARENOSO COMPACTO (Hmf ) materiales con comportamiento de roca ligeramente cement SUELO FOSIL (Hfs ) provienen de la formación de Tobas, retiro o materiales aluviales de las unidades anteriores TOBA RETIRO ( Hrt ) material muy fracturado e intemperizado oxidado dándole el aspecto amarillento, algunas veces verdoso EVALUACIÓN DEL RIESGO SÍSMICO PARA EL LUGAR Por los estudios referidos y por el historial sísmico sabemos que la ciudad de Managua es de alto riesgo con un sistema escalonado de fallas capaz de generar eventos con profundidades focales superficiales menores de 30km Arce (1973) refiere el siguiente historial sísmico para el sector estudiado FECHA 31 Marzo 1931 4 Enero 1968 2 Enero 1972 23 Diciembre 1972 Hasta 1978 MAGNITUD ( Richter ) 5.3-5.9 4.6 4.3 6.5 ±3.0 PROFUNDIDAD ( km ) Superficial ± 5.0 ± 5.0-10 (Hansen ) Superficial Superficial El sitio puede estar expuesto a vibraciones sísmicas donde la influencia y efecto que ocurrirían a las edificaciones seria proporcional a la distancia focal y magnitud del evento, pudiendo originarse una M máxima probada de 6.5 Richter y una magnitud máxima creíble M = 7.0 Richter. La información disponible sobre el riesgo sísmico y la estratigrafía del lugar será utilizada en la construcción de los espectros de respuestas para el sitio del edificio proyectado, empleando el programa Shake 92. Los espectros se construyeron descombolucionando las componentes N-S del acelerograma del evento del 23 de Diciembre de1972, y clasificando los suelos de los estratos, de acuerdo con el sistema unificado de clasificación de suelos (SUCS). Inicialmente consideramos un porcentaje de amortiguamiento β = 0.05 para el suelo y β = 0.02 para el basamento rocoso. Posteriormente realizamos el análisis modal elástico aplicando el método de iteraciones matriciales de Stodolla-Vianello, mostrándose cada una de las etapas del análisis modal, hasta obtener las figuras características y los periodos fundamentales para los tres primeros modos de vibración, valores que nos permitirán cuantificar los 6 desplazamientos , las fuerzas sísmicas laterales y el momento de volcamiento inducidos en el edificio con las aceleraciones espectrales obtenidas para el lugar. La aceleración pico del espectro Shake 92 obtenida para el sitio a partir de la estratigrafía conocida, será comparada con la aceleración del espectro del (RNC1983) correspondiente a la zona sísmica de Managua. El sistema estructural consiste básicamente de un conjunto de marcos de tres crujías y cinco niveles en ambas direcciones ortogonales, los cuales se colaboran con diafragmas rígidos horizontales en las elevaciones de pisos y techo. El objetivo del ejemplo consiste en mostrar cada uno de los pasos que deberán seguirse cuando se emplea este método de análisis modal-espectral elástico hasta obtenerse las fuerzas cortantes directas en cada uno de los marcos constitutivos de la primera línea de defensa sismorresistente del sistema estructural analizado. Fig. (3.32): Edificio simétrico estructurado en base a marcos rígidos de concreto 7 En vista de la simetría del sistema estructural, no fueron cuantificadas las cortantes debidas a la torsión elástica originada por las excentricidades entre el centro de masas y el centro de flexión del edificio, ni las debidas a excentricidades accidentales lo cual se hará en los ejemplos 3.10 y 3.11, los cuales presentan mejores características para ilustrar el procedimiento a seguir en el análisis torsionante de edificios. El proceso de iteraciones matriciales para determinar las frecuencias correspondientes a los tres primeros modos de vibración se realizo empleando el operador Mathcad 6.0 El sistema estructural consiste básicamente de un conjunto de marcos de tres crujías y cinco niveles en ambas direcciones ortogonales, los cuales se colaboran con diafragmas rígidos horizontales en las elevaciones de pisos y techo. La cimentación consiste en una losa rígidizada con nervios de concreto en cada eje de los marcos cimentada en un estrato elástico. MATRIZ DE MASA DEL EDIFICIO. La masa gravitatoria en cada nivel del edificio será calculada para la combinación de la CM+CVR desglosada del siguiente modo: No 01 02 03 04 05 06 07 08 09 DESCRIPCION Losa de pisos Vigas de entrepisos y azotea Columnas de concreto Escaleras y descanso Forros y particiones livianas Losa de techo Equipos de azotea Ductos y tuberías Cargas misceláneas UM m² m CANTIDAD 288 144 CM(kg/m²) 550 702(kg/m) m 72 600(kg/m) m² 25 900 m² 1000 120 m² m² 288 288 550 118 m² 288 25 m² 288 25 Masa de cada piso y del techo m1=m2=m3=m4=m5= 0.54(Tseg²/cm) Matriz de masas: CVR(kg/m²) 200 WCM(T) 158.4 101.0 WCVR(T) 57.6 ΣW(T) 216T 101T ΣM(Tseg²/cm) 0.22 0.10 43.2 0.05 30 0.03 120 0.12 187.2 34 0.19 0.03 7.2 7.2 0.01 7.2 7.2 0.01 43.2 300 22.5 7.5 120 100 158.4 34 28.8 8 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 Tseg 0 0 1 0 0 . 0.54 . cm 0 0 0 1 0 (M) = 2 0 0 0 0 1 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DEL EDIFICIO 50 4 Se empleara concreto con Ec = 282 (T/cm²) Ι = K= Emplear la Ec (3.27): 12 4 = 5.208 10 5 cm 12 . E. I 3 h 12 . 16 . 282 . 5.208 . 10 5 Σ Kx = Σ Kz = 450 3 = 309.445 T cm Matriz de rigidez lateral considerando que las vigas horizontales son mucho más rigidas que las columnas, cuya seccion transversal se considera igual en todos los niveles del edificio. 2 1 2 1 K= 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 1 0 2 0 1 1 . 309.445 . T cm 1 MATRIZ DE FLEXIBILIDAD 2 1 F= K 1 = 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 = 1 2 3 3 3 1 2 3 4 4 1 2 3 4 5 3.232 . 10 MATRIZ DINAMICA PARA EL PRIMER MODO DE VIBRACION. ( D1 ) = ( F ) . ( M ) . 1.745 . 10 3 3 cm T 9 CONFIGURACION CARACTERÍSTICA PARA EL PRIMER MODO DE VIBRACION 1.0 1.1 Vector de prueba inicial: u1 = 1.2 1.3 1.4 Ecuación característica para el primer modo de 1 . u1 vibración. ( D1 ) . u1 = 2 ω1 Primera iteracion matricial: 1 1 1 1 1 1.0 1 2 2 2 2 1 1.1 1.833 1 2 3 3 3 . 1.2 = 6. 2.483 1 2 3 4 4 1.3 2.933 1 2 3 4 5 1.4 3.167 Segunda iteración matricial: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1.833 1.912 1 2 3 3 3 . 2.483 = 11.416. 2.664 1 2 3 4 4 2.933 3.199 1 2 3 4 5 3.167 Tercera iteración matricial: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3.476 1 1.912 1.918 1 2 3 3 3 . 2.664 = 12.251. 2.681 1 2 3 4 4 3.199 3.226 1 2 3 4 5 3.476 3.509 10 Cuarta iteración matricial 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1.918 1.919 1 2 3 3 3 . 2.681 = 12.334. 2.682 1 2 3 4 4 3.226 3.228 1 2 3 4 5 3.509 Quinta iteración matricial 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3.513 1 1.919 1.919 1 2 3 3 3 . 2.682 = 12.342. 2.682 1 2 3 4 4 3.228 3.229 1 2 3 4 5 3.513 3.513 Para el grado de convergencia logrado, los valores de la frecuencia natural y del periodo correspondiente al primer modo de vibración son los siguientes: rad 1 2 T1 = 0.915seg = 1.745 . 12.342 . 10 3 = 0.022 seg ω 1 = 6.864 . 2 seg ω Fig. (3.33): Configuración característica para el primer modo de vibración SEGUNDO MODO DE VIBRACION Para el cálculo del segundo modo de vibración partimos de la aplicación del principio de ortogonalidad de los modos de vibración, o sea: U1 T. M . U2 = 0 11 1 0 0 0 0 u1 0 1 0 0 0 u2 . . u3 ( 1 1.919 2.682 3.229 3.513 ) 0 0 1 0 0 u1 = 1.919u2 2.682u3 0 0 0 1 0 u4 0 0 0 0 1 u5 3.229u4 = 0 3.513u5 Ahora construiremos la matriz de eliminación (S1) del primer modo de vibración haciendo u1=0 y reemplazando los valores por los correspondientes a la fila i=1 en la matriz de masa (M) MATRIZ DE ELIMINACIÓN DEL PRIMER MODO DE VIBRACION ( S1 ) = 0 1.919 2.682 3.229 3.513 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 MATRIZ DINAMICA PARA EL SEGUNDO MODO DE VIBRACION La matriz dinámica (D1) correspondiente al segundo modo de vibración se obtiene de la premultiplicación de la matriz dinámica (D) por la matriz de eliminación del primer modo (S1) o sea: ( D1 ) = ( D ) . ( S1 ) CONFIGURACION CARACTERISTICA PARA EL SEGUNDO MODO DE VIBRACION 12 Ecuación característica: ( D1 ) . u2 = 1 ω2 2 . u2 . 1.745 . 10 3 seg 2 1 1 Vector de prueba inicial: u1 = 0 1 1 Primera iteración matricial: 0 0.919 1.682 2.229 2.513 1 1 0 0.081 0.682 1.229 1.513 1 0.169 0 0.081 0.318 0.229 0.513 . 0 = 1.203. 0.169 0 0.081 0.318 0.771 0.487 1 0.169 0 0.081 0.318 0.771 1.487 Segunda iteración matricial 0 0.919 1.682 2.229 2.513 1 0.663 1 1 0 0.081 0.682 1.229 1.513 0.169 0.816 0 0.081 0.318 0.229 0.513 . 0.169 = 0.85. 0.434 0 0.081 0.318 0.771 0.487 0.169 0.147 0 0.081 0.318 0.771 1.487 Tercera iteración matricial: 0 0.919 1.682 2.229 2.513 0.663 0.927 1 1 0 0.081 0.682 1.229 1.513 0.816 1.15 0 0.081 0.318 0.229 0.513 . 0.434 = 1.177. 0.606 0 0.081 0.318 0.771 0.487 0.147 0.307 0 0.081 0.318 0.771 1.487 0.927 1.094 13 Cuarta iteración matricial: 0 0.919 1.682 2.229 2.513 1 1 0 0.081 0.682 1.229 1.513 1.15 1.262 0 0.081 0.318 0.229 0.513 . 0.606 = 1.357. 0.676 0 0.081 0.318 0.771 0.487 0.307 0.357 0 0.081 0.318 0.771 1.487 1.094 1.163 Novena iteración matricial: 0 0.919 1.682 2.229 2.513 1 1 . . . . 0 0.081 0.682 1.229 1.513 1.308 1.311 0 0.081 0.318 0.229 0.513 . 0.714 = 1.444. 0.716 0 0.081 0.318 0.771 0.487 0.372 0.373 0 0.081 0.318 0.771 1.487 1.201 1.205 Para este grado de convergencia la frecuencia y el periodo natural correspondientes al segundo modo de vibración son los siguientes: rad 1 ω 2 = 19.92 . = 1.444 . 1.745 . 10 3 = 2.52 10 3 seg2 2 seg ω 2. π T2 = ω 2 = 396.86 . seg 2 = 0.315 seg 19.92 Fig. (3.34): Configuración característica para el segundo modo de vibración. 14 TERCER MODO DE VIBRACION Partiremos de la doble aplicación del principio de ortogonalidad de los modos de la siguiente manera: U1 T. ( M ) . U3 = 0 U2 T. ( M ) . U3 = 0 Estas dos condiciones generan el siguiente sistema de ecuaciones las cuales nos permiten fijar los valores de u1 y u2, dejando libre los valores de u3, u4 y u5 u1 1.919u2 2.682u3 3.229u4 3.513u5 = 0 u1 1.311u2 0.716u3 0.373u4 1.205u5 = 0 u1 = 3.523u3 u2 = 8.138u4 3.233u3 5.924u4 11.376u5 7.718u5 Ahora construimos la matriz de eliminación del segundo modo de vibración eliminando en la matriz de masa las dos columnas correspondientes a los modos calculados. MATRIZ DE ELIMINACION DE LOS DOS PRIMEROS MODOS: S2 = 0 0 0 0 3.233 5.924 7.718 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 3.523 8.138 11.376 MATRIZ DINAMICA DEL TERCER MODO: D3 = D . S2 15 CONFIGURACIÓN CARACTERÍSTICA PARA EL TERCER MODO DE VIBRACIÓN: Ecuación característica: ( D3 ) . u3 = 1 ω 32 . u3 . 1.745 . 10 3 seg 2 Vector de prueba inicial: 1 1 u3 = 0 1 1 Primera iteración matricial 0 0 1.29 3.214 4.617 1 1 0 0 0.943 1.71 2.142 1 0.308 0 0 0.057 0.71 1.142 . 0 = 1.403. 0.308 0 0 0.057 0.29 0.142 1 0.308 0 0 0.057 0.29 0.858 1 0.405 Segunda iteración matricial 0 0 1.29 3.214 4.617 1 1 0.308 0.104 0 0 0.943 1.71 2.142 0 0 0.057 0.71 1.142 . 0.308 0 0 0.057 0.29 0.142 0.308 0.34 0 0 0.057 0.29 0.858 0.405 0.499 1 1 Tercera iteración matricial 0 0 1.29 3.214 4.617 = 0.483. 0.54 0 0 0.943 1.71 2.142 0.104 0.043 0 0 0.057 0.71 1.142 . 0.54 = 0.515. 0.697 0 0 0.057 0.29 0.142 0.34 0.388 0 0 0.057 0.29 0.858 0.499 0.581 16 Cuarta iteración matricial 0 0 1.29 3.214 4.617 1 1 0 0 0.943 1.71 2.142 0.043 0.142 0 0 0.057 0.71 1.142 . 0.697 = 0.536. 0.799 0 0 0.057 0.29 0.142 0.388 0.438 0 0 0.057 0.29 0.858 0.581 0.646 1 1 . . . . . . . Duodécima iteración matricial 0 0 1.29 3.214 4.617 0 0 0.943 1.71 2.142 0.306 0.303 0 0 0.057 0.71 1.142 . 0.936 = 0.581. 0.936 0 0 0.057 0.29 0.142 0.564 0.565 0 0 0.057 0.29 0.858 0.78 0.778 Para este grado de convergencia los valores de la frecuencia y el periodo natural correspondientes al tercer modo de vibración son entonces los siguientes: rad 1 2 ω 3 = 31.406 . = 1.745 . 0.581 . 10 3 = 1.014 10 3 seg seg ω 32 2. π T3 = ω 32 = 986.344 . seg 2 = 0.2 seg 31.406 Fig. (3.35): Configuración característica correspondiente al tercer modo. Matriz modal para el sistema estructural en base a marcos rígidos en ambas direcciones 17 ( A) = 3.51 1.21 3.23 0.37 0.78 0.57 2.68 0.72 1.92 1.31 0.30 1 1 1 0.94 ACELERACIONES ESPECTRALES El edificio se construirá en un sitio cuya estratigrafía corresponde a las condiciones locales previamente descritas, para el cual se construyeron los espectros de respuestas descombolucionando el registro de acelerograma del terremoto del 23 de Diciembre de 1972. El periodo predominante de vibración del suelo Ts1 = 0.65 seg se obtuvo empleando matrices de transferencia, permitiéndonos clasificar el suelo como Tipo III, al cual corresponde el espectro para suelos medios del RNC1983. Los factores de amplificación dinámica para los periodos predominantes de vibración del sistema estructural según el Art. 32 del RNC1983 son los siguientes: T1=0.915seg>0.5seg D. ( T1 ) = 2. 0.5 0.5 T1 T2<0.5seg, T3<0.5seg = 1.48 0.10 <T2<0.5 D(T2) = D(T3) =2.0 ACELERACION (%g) ESPECTRO DE ACELERACIONES PARA EL SITIO DEL EDIFICIO DE CINCO NIVELES 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 PERIODO (Sec) El cálculo de las aceleraciones espectrales A(c, T) requiere de la clasificación del sistema sismorresistente conforme al Capítulo del RNC1983: Grupo 2: Edificios destinados al uso de oficinas. 18 Tipo 5: Sistema estructural constituido en sus direcciones principales de análisis por marcos arriostrados de concreto reforzado para resistir la totalidad de las fuerzas laterales y verticales. El sistema de piso y techo constituyen diafragmas rígidos. AMPLITUD ESPECTRO DE AMPLIFICACION DINAMICA SITIO DEL EDIFICIO DE CINCO NIVELES 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 FRECUENCIA ( Hz ) Grado B: Sistema estructural con simetría aceptable, confiabilidad del sistema constructivo control de los materiales, supervisión permanente. Zona sísmica 6: Incluye la ciudad de Managua y su entorno geográfico según el mapa de isoaceleraciones del RNC 1983. Coeficiente sísmico ultimo: De Tabla 14 del RNC 1983. Grupo 2 Tipo 5 Grado B Cu= 0.452 Zona 6 19 Espectro de aceleraciones del RNC 1983 0.5 T1>0.5seg ü (T1) = 0.10<T2<0.5seg ü (T2) = 1.00 0.10<T3<0.5seg ü (T3) = 1.00 MODO 1 2 3 T(seg) T1 0.5 = 0.739 ü (T) cü A=cüg(cm/seg²) 0.915 0.739 0.334 327.347 0.315 1.000 0.452 442.960 0.200 1.000 0.452 442.960 AMPLITUD ESPECTROS DE FOURIER PARA EL SITIO DEL EDIFICIO DE CINCO NIVELES 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0 0 2 4 FRECUENCIA (Hz) 6 8 20 COEFICIENTES DE PARTICIPACIÓN MODAL MODO PISO ui Mi M iu i M iu i² 5 Mi. ui Ci = i= 1 5 2 Mi. ui i= 1 1 1 2 3 1.000 1.919 2.683 1.000 1.000 1.000 1.000 1.919 2.683 1.000 3.682 7.198 3.229 3.513 1.000 1.000 2 4 5 Σ 1 2 3 1.000 1.311 0.716 1.000 1.000 1.000 3.229 3.513 12.344 1.000 1.311 0.716 10.426 12.341 34.647 1.000 1.718 0.512 C2=0.300 -0.373 -1.205 1.000 1.000 3 4 5 Σ 1 2 3 -1 -0.303 0.936 1.000 1.000 1.000 -0.373 -1.205 1.449 -1.000 -0.303 0.936 0.139 1.452 4.821 1.000 0.0918 0.876 C3=-0.200 4 5 Σ 0.565 -0.778 1.000 1.000 0.565 -0.778 -0.58 0.319 0.605 2.892 DESPLAZAMIENTOS ESPECTRALES Δi= Ai. Ci. ω i2 Ui Primer modo: Δ1= 327.347 . 0.356 . 47.125 1 2.473 1.919 4.745 2.682 = 6.632 3.228 7.983 3.513 8.687 cm C1=0.356 21 Segundo modo: Δ2= 442.96 . 0.30 . 396.86 1 0.335 1.311 0.439 0.716 = 0.24 0.373 0.125 1.205 0.403 cm Tercer modo: 442.96 . 0.20 . Δ3= 986.344 1 0.09 0.303 0.027 0.936 0.084 = 0.051 0.565 0.778 0.07 FUERZAS SISMICAS ESPECTRALES Fi = Ki. Δ ij = Ki. ( Δ i Δ j) Modo 1: F1 F2 F3 F4 F5 = = = = = 2.473 . 309.445 2.272 . 309.445 1.887 . 309.445 1.351 . 309.445 0.704 . 309.445 = = = = = T 703.059 T 583.923 T 418.06 T 217.849 T 765.257 Modo 2: F1 F2 F3 F4 F5 = 0.335 . 309.445 = 103.664 T = 0.104 . 309.445 = 32.182 T = 0.199 . 309.445 = 61.58 T = 0.365 . 309.445 = 112.947 T = 0.278 . 309.445 = 86.026 T Modo 3: F1 F2 F3 F4 F5 = 0.09 . 309.445 = 27.85 T = 0.063 . 309.445 = 19.495 T = 0.111 . 309.445 = 34.348 T = 0.033 . 309.445 = 10.212 T = 0.121 . 309.445 = 37.443 T cm 22 FUERZAS SISMICAS ESTANDARIZADAS F1 = 765.257 2 103.664 2 F2 = 703.059 2 32.182 2 F3 = 583.923 2 ( 61.58 ) 2 F4 = 418.06 2 ( 112.947 ) 2 10.212 2 = 433.169 T F5 = 217.849 2 ( 86.026 ) 2 37.443 2 = 237.193 T 27.85 2 = 772.748 T ( 19.495 ) 2 = 704.065 T ( 34.348 ) 2 = 588.165 T DISTRIBUCION VERTICAL DE LAS FUERZAS SISMICAS El objetivo de este ejemplo es mostrar el procedimiento que debe seguirse para obtener las fuerzas sísmicas espectrales directas inducidas en edificaciones que puedan idealizarse como estructuras simples de cortante con parámetros discretos simplemente acoplados como el mostrado en la Fig (3.31) En el cálculo de las fuerzas se considero la influencia de las condiciones locales del suelo en las respuestas sísmicas incorporando las propiedades dinamicas de éste para la selección del espectro de respuestas, lo cual constituye el propósito de este trabajo. El ejemplo también permite establecer las diferencias cualitativas existentes para el tratamiento de edificios de varios niveles y el de puentes tradicionales de varios vanos como el previamente analizado. 23 Fig. (3.36): Distribución vertical de las fuerzas sísmicas y diagramas de momentos para estructuración en base a marcos rígidos. 24 Ahora cambiaremos el sistema estructural, para la misma geometría del edificio, incorporando muros de cortante en sustitución de los miembros verticales de los marcos y conservando las vigas y losas de pisos a como se aprecia en la Fig (3.37). Con la incorporación de muros de corte de concreto reforzado aumentamos la rigidez lateral del edificio y por ende disminuimos el valor del periodo fundamental de vibración, modificándose los valores de las fuerzas cortantes espectrales respecto a las obtenidas para la estructuración con marcos rígidos en ambas direcciones ortogonales. Ahora la rigidez individual de cada pieza de muro se obtiene con la Ec (3.26): Ec = 282 T/cm² PISO H (m) L (m) t (cm) K (T/cm) Σ k (T/cm) 1y 2 4..50 2..50 30 162 685 3,4y 5 4..50 2.50 25 135 539 E. t K= h 4. L 3 3. h L Fig. (3.37): Estructuración del edificio en base a piezas de muros de cortante. 25 La matriz de rigidez lateral es ahora la siguiente: 2.54 ( K) = 1.27 1.27 2.27 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 1 2 0 1 . 539 . T cm 0 1 1 La matriz de flexibilidad es : 2.54 ( F) = 1.27 1.27 2.27 0 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 2 1 1 0 = 1 1 0.787 0.787 0.787 0.787 0.787 0.787 1.575 1.575 1.575 1.575 0.787 1.575 2.575 2.575 2.575 0.787 1.575 2.575 3.575 3.575 0.787 1.575 2.575 3.575 4.575 1 1 3 cm 1.85 . 10 . T Matriz dinámica para el primer modo de vibración: 0.787 0.787 0.787 0.787 0.787 1 0 0 0 0 1 0.787 1.575 1.575 1.575 1.575 0 1 0 0 0 1 2.001 2.001 2.001 2.001 0.787 1.575 2.575 2.575 2.575 . 0 0 1 0 0 1 1 1 2.001 3.272 3.272 3.272 = 0.787 1.575 2.575 3.575 3.575 0 0 0 1 0 1 2.001 3.272 4.543 4.543 0.787 1.575 2.575 3.575 4.575 0 0 0 0 1 1 2.001 3.272 4.543 5.813 Ecuación característica: 1 . 3 2 u1 . 0.787 . 10 . seg 2 ω1 ( D1 ) . u1 = Empleamos el mismo vector de prueba empleado en el análisis del sistema en base a marcos rígidos de concreto. Proceso iterativo: 1 1 1 1.1 1.834 1 2.001 3.272 3.272 3.272 . 1.2 = 6.000 . 2.66 1 1 1 1 1 2.001 2.001 2.001 2.001 1 2.001 3.272 4.543 4.543 1.3 3.232 1 2.001 3.272 4.543 5.813 1.4 3.529 1 1 1 1 1 1 1 2.001 2.001 2.001 2.001 1.834 . 1 2.001 3.272 3.272 3.272 2.66 1 1.919 . = 12.255 2.896 1 2.001 3.272 4.543 4.543 3.232 3.598 1 2.001 3.272 4.543 5.813 3.529 3.963 26 1 1 1 1.919 1.926 1 2.001 3.272 3.272 3.272 . 2.896 = 13.376 . 2.92 1 1 1 1 1 2.001 2.001 2.001 2.001 1 2.001 3.272 4.543 4.543 3.598 3.638 1 2.001 3.272 4.543 5.813 1 1 1 1 1 3.963 1 4.015 1 1 2.001 2.001 2.001 2.001 1.926 1.927 1 2.001 3.272 3.272 3.272 . 2.92 = 13.499 . 2.922 1 2.001 3.272 4.543 4.543 3.638 3.643 1 2.001 3.272 4.543 5.813 1 1 1 1 1 4.015 1 4.021 1 2.001 2.001 2.001 2.001 1.927 . 1 2.001 3.272 3.272 3.272 2.922 1 1.927 . = 13.513 2.923 1 2.001 3.272 4.543 4.543 3.643 3.643 1 2.001 3.272 4.543 5.813 4.021 4.021 Para este grado de convergencia los valores de la frecuencia angular natural y del periodo predominante de vibración son los siguientes: 1 ω1 2 = 0.787 . 13.513 . 10 3 = 0.011 seg 2 ω 1 = 9.535 . rad seg T1 = 2 .π 9.535 = 0.659 seg Aplicando el principio de ortogonalidad construimos la matriz de eliminación del primer modo: ( S1 ) = 0 1.927 2.923 3.643 4.021 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 27 La matriz dinámica para el segundo modo de vibración es la siguiente: 0 1.927 2.923 3.643 4.021 0 0.927 1.923 2.643 3.021 0 1 0 0 0 0 0.074 0.922 1.642 2.02 1 2.001 3.272 3.272 3.272 . 0 0 1 0 0 0 0.074 0.349 0.371 0.749 1 2.001 3.272 4.543 4.543 0 0 0 1 0 0 0.074 0.349 0.9 0.522 1 2.001 3.272 4.543 5.813 0 0 0 0 1 0 0.074 0.349 0.9 1.792 1 1 1 1 1 1 2.001 2.001 2.001 2.001 = Proceso iterativo para el segundo modo: 0 0.927 1.923 2.643 3.021 1 1 0.922 1.642 2.02 1.5 1.351 0.749 . 0.75 = 1.85 . 0.768 0 0.074 0 0.074 0.349 0.371 0 0.074 0.349 0.9 0.522 0.40 0.332 0 0.074 0.349 0.9 1.792 1.2 1.156 0 0.927 1.923 2.643 3.021 1 1 0.922 1.642 1.351 . 0.768 0.749 0 0.074 0 0.074 0.349 0.371 0 0.074 0.349 0.9 0.522 0.332 0.325 0 0 0.074 0.927 0.349 1.923 0.9 2.643 1.792 3.021 1.156 1 1.22 1 0 0.074 0.922 1.642 0 0.074 0.349 0.371 0 0.074 0.349 0.9 0.522 0.325 0.322 0 0.074 0.349 0.9 1.792 1.22 1.25 0 0.927 2.02 1.385 . 0.827 0.749 2.02 1.385 . = 1.641 0.827 1.4 . = 1.67 0.853 1.923 2.643 3.021 1 1 0.922 1.642 2.02 1.4 1.404 0.749 . 0.853 0 0.074 0 0.074 0.349 0.371 0 0.074 0.349 0.9 0.522 0.322 0.32 0 0.074 0.349 0.9 1.792 1.25 1.261 = 1.689 . 0.863 Los valores de la frecuencia natural y del periodo correspondiente al segundo modo son: 1 ω2 2 = 0.787 . 1.689 . 10 3 = 1.329 10 3 seg 2 ω 2 = 27.43 . rad seg T2 = 0.23 . seg 28 Empleando doblemente el principio de ortogonalidad de los modos podemos construir la matriz de eliminación de los modos previamente calculados: u1 1.93u2 2.92u3 3.64u4 4.02u5 = 0 u1 1.40u2 0.86u3 0.32u4 1.26u5 = 0 u1 = 4.58u3 u2 = 3.89u3 0 0 ( S2 ) = 10.77u4 15.21u5 7.47u4 9.97u5 4.58 10.77 15.21 0 0 3.89 7.47 9.97 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 La matriz dinámica para el tercer modo es la siguiente Proceso iterativo para obtener la figura característica del tercer modo a partir de un vector de prueba arbitrario: 0 0 1.69 4.3 6.24 1 0 0 1.203 2.176 2.739 0.40 0.905 1.468 . 0 0 0.068 0 0 0.068 0.366 0 0 0.068 0.366 0.197 1.073 1 0.75 0.9 1 0.528 . = 0.701 1.013 0.742 0.889 29 0 0 1.69 4.3 6.24 1 1 0 0 1.203 2.176 2.739 0.528 0.617 0.905 1.468 . 1.013 = 0.645 . 1.088 0 0 0.068 0 0 0.068 0.366 0 0 0.068 0.366 1.073 0.889 0.95 0 0 1.69 4.3 6.24 1 1 0 0 1.203 2.176 2.739 0 0 0.068 0 0 0.068 0.366 0 0 0 0 0.068 1.69 0.366 4.3 0 0 1.203 0.197 0.742 0.8 0.617 . 1.088 1.468 0.905 0.8 0.197 1.073 6.24 2.176 0.69 . = 0.649 1.148 0.854 0.95 1 1.006 1 0.69 . 1.148 1.468 0.728 . = 0.665 1.176 2.739 0 0 0.068 0 0 0.068 0.366 0 0 0.068 0.366 1.073 1.006 1.036 0 0 1.69 4.3 6.24 1 1 0 0 1.203 2.176 2.739 0.905 0.197 0.854 0.886 . . . 0 0 0.068 0 0 0.068 0.366 0 0 0.068 0.366 0.757 . 1.198 1.468 0.905 0.197 0.781 . = 0.668 1.216 0.912 1.073 0.934 1.06 1.081 Los valores de la frecuencia natural y del periodo correspondiente al tercer modo son: 1 ω3 2 = 0.787 . 0.67 . 10 3 = 5.273 10 4 seg 2 ω 3 = 43.543 . rad seg T3 = 2 .π 43.543 = 0.144 seg 30 La aceleración espectral del RNC1983 para los tres modos es: A = 0.452g = 443 cm/seg² Matriz modal para el sistema estructural en base a muros de cortante. ( A) = 4.02 1.26 3.64 0.32 1.08 0.93 2.92 0.86 1.22 1.93 1.4 0.78 1 1 1 Puede apreciarse la aproximación de un 5% entre el valor de la aceleración A = 0.452g obtenida con el espectro del RNC1983 y el valor de A = 0.478g correspondiente al espectro de aceleraciones construido con los datos geotécnicos para el sitio de la obra. 31 Los coeficientes de participación modal son: MODO PISO ui Mi M iu i M iu i² 5 Mi. ui Ci = i= 1 5 2 Mi. ui i= 1 1 1 2 3 1.00 1.93 2.92 1.000 1.000 1.000 1.00 1.93 2.92 1.00 3.72 8.53 C1 = 0.32 3.64 4.02 1.000 1.000 2 4 5 Σ 1 2 3 1.00 1.40 0.86 1.000 1.000 1.000 3.64 4.02 13.51 1.00 1.96 0.86 13.25 16.16 42.66 1.00 1.96 0.74 C2 = 0.41 -0.32 -1.26 1.000 1.000 3 4 5 Σ 1 2 3 -1.00 -0.78 1.22 1.000 1.000 1.000 -0.32 -1.26 2.24 -1.00 -0.78 1.22 0.10 1.59 5.39 1.00 0.60 1.49 C3 = -0.14 4 5 Σ 0.93 -1.08 1.000 1.000 0.93 -1.08 -0.71 0.86 1.17 5.12 Los desplazamientos espectrales para cada modo son los siguientes: Δi= Δ1 = Δ2 = 443 . 0.32 . 90.916 443 . 0.41 . 752.405 Ai. Ci. ω i2 Ui 1 1.559 1.93 3.009 2.92 = 4.553 3.64 5.676 4.02 6.268 1 0.241 1.40 0.338 0.86 = 0.208 0.32 0.077 1.26 0.304 cm cm 32 Δ3 = 443 . 0.14 . 1896 1 0.033 0.78 0.026 1.22 0.04 = cm 0.03 0.93 0.035 1.08 Las fuerzas sísmicas horizontales son las siguientes: Modo 1: F1 F2 F3 F4 F5 = = = = = 685 . 1.56 = 685 . ( 3.01 539 . ( 4.55 539 . ( 5.67 539 . ( 6.27 1.069 10 1.56 ) = 3.01 ) = 4.55 ) = 5.67 ) = 3 T 993.25 T 830.06 T 603.68 T 323.4 T Modo 2: F1 F2 F3 F4 F5 = = = = = 685 . 0.24 = 164.4 T 685 . ( 0.34 0.24 ) = 68.5 T 539 . ( 0.21 0.34 ) = 70.07 T 539 . ( 0.08 0.21 ) = 156.31 T 539 . ( 0.30 0.08 ) = 118.58 T Modo 3: F1 F2 F3 F4 F5 = = = = = 685 . ( 0.033 ) = 22.605 T 685 . ( 0.026 0.033 ) = 40.415 T 539 . ( 0.04 0.026 ) = 35.574 T 539 . ( 0.03 0.04 ) = 5.39 T 539 . ( 0.035 0.03 ) = 35.035 T Fuerzas sísmicas estandarizadas: F1 = 1.069 . 10 3 2 ( 164.4 ) F2 = ( 993.25 ) 2 ( 68.5 ) 2 F3 = ( 830.06 ) 2 ( 70.07 ) F4 = ( 603.68 ) 2 ( 156.31 ) F5 = ( 323.40 ) 2 ( 118.58 ) 2 2 ( 22.605 ) = 1.082 10 3 2 ( 40.415 ) = 996.429 T 2 2 2 ( 35.574 ) = 833.772 T 2 2 ( 5.39 ) = 623.612 T 2 ( 35.035 ) = 346.231 T T 33 Fig. (3.38): Distribución vertical de las cortantes sísmicas en las piezas de muros. Comparación de las cortantes sísmicas obtenidas para ambos sistemas estructurales. SISTEMA ESTRUCTURAL Marcos Muros F1 F2 F3 F4 F5 773 1082 704 996 588 834 433 624 237 346 DIMENSIONAMIENTO DE LA PIEZA DE MURO TIPICA DE LA PLANTA BAJA. Para dimensionar el refuerzo de los muros de cortante empleamos el ACI Art 11-10 ( Vu φ . Vc ) . s2 a) Refuerzo por cortante: Vc = 2. fc. h. d Av = φ . fy. d Vu kg 270.5 . 10 3 = Vu< φ . Vc 3.536 = 2 0.85 . 450 . 200 φ . h. d cm Emplear cuantía mínima: ρ = 0.0025 Av = 2.25 cm² dos lechos de No 4@ 30cm A/D d = 0.8L= 200cm vu = b) Refuerzo por flexión: Mu 2 φ . b. d = 43.4 . f’c = 283 kg/cm², fy = 4218 kg/cm² kg cm2 ρ = 0.011 14No8 en tension 34 DIMENSIONAMIENTO DEL SISTEMA DE CIMENTACIÓN La fundación del edificio consiste en una losa rígida de 19x19x0.50m cartelada en los ejes resistentes en ambas direcciones ortogonales. Para determinar los valores de las presiones transmitidas al estrato de cimentación se empleo la red de elemento finito mostrada en la Fig. (3.39a), este método se basa en asumir que el modulo de subgrado es sustituido por un lecho muelles enrollados cuya rigidez de resorte constante k representa el valor del coeficiente de reacción de subgrado del suelo de cimentación. 35 a) Red de elemento finito empleado en el análisis del sistema de cimentación. Fig. (3.39): Geometría y cargas del sistema de cimentación. La ecuación diferencial parcial de cuarto orden de Lagrange para calcular las deflexiones de una losa de cimentación apoyada sobre suelo elástico es: 36 ∇ 4. δ = Siendo: q ∂ 4. δ ∂. Χ 4 ∇ 4. δ = k. δ D ∂ 4. δ ∂ . Χ 2. ∂ . Ζ ∂ 4. δ ∂. Ζ 4 2 q = reacción de subgrado por unidad de área de la losa. k = coeficiente de reacción de subgrado. E = modulo de elasticidad. δ = deflexión de la losa μ = relación de Poisson. D = rigidez de la losa = E. t3 12 . ( 1 μ 2) t = espesor de la losa 37 Fig. (3.40): Presiones de contacto entre el suelo y la losa de cimentación. En el método de las diferencias finitas se sustituye la ecuación diferencial parcial de cuarto orden por un sistema de ecuaciones algebraicas lineales simultaneas para obtener las deflexiones de un numero finito de puntos donde se interceptan las retículas (hxh) en que fue dividida la losa .Determinadas las deflexiones se calculan los momentos y esfuerzos cortantes mediante la relación apropiada entre las deflexiones de los grupos de puntos. 38 Fig. (3.41): Reacciones en las esquinas de la losa y diagramas de momentos. Cada elemento pequeño en que fue dividida la placa posee propiedades de deformación por flexión las que pueden cuantificarse con buena aproximación. El método consiste en aplicar las cargas en las esquinas de los elementos separados, restableciendo luego las condiciones de continuidad para la pendiente deformación de cada nodo, de manera que se cumplan las condiciones de equilibrio y de frontera. Mx = M’x + μM’δ Donde Mx = momento flexionante en una franja unitaria de losa en dirección x M’x = momento flexionante en dirección x sin considerar la influencia del momento flexionante en la dirección z M’δ = momento flexionante en dirección z sin considerar la influencia del momento flexionante en la dirección x. Usando los operadores de diferencias finitas, el momento total en una franja de losa en la dirección m-n se expresa para un punto interior común a cuatro retículas del siguiente modo: 39 El caso fue resuelto empleando una red de elemento finito de 9x9 retículas empleando le programa Risa 3D, para lo cual se utilizo un valor k = 60 T/cm para el coeficiente de sub grado del suelo en el estrato de desplante. Algunas veces es necesario aumentar el numero de retículas en la proximidad de los ábacos de las columnas y en las franjas de muros con lo cual logramos aumentar la precisión de los resultados. Para las cargas y la geometría de la losa, el valor de la máxima presión transmitida al suelo resultó ser qs = 1.55kg/cm². Los momentos flexionantes máximos en ambas direcciones son Mumax = 1243 Tcm Mu = φ . b. d2 24.38 . kg cm2 Para f’c = 284 kg/cm², Fy = 4218 kg/cm², ρ = 0.006 As = 7.90 cm² No 8 @ 20cm A/D lecho inferior. No 8 @ 30cm A/D lecho superior.
