maqueta MAPA Herramienta Didáctica – 11

DOCUMENTO DE TRABAJO Nº.11
ASIGNATURA
CÓDIGO
REQUISITO(S)
OBLIGATORIA/LECTIVA
ANUAL/SEMESTRAL
DIURNA/VESPERTINA
TEÓRICO-PRÁCTICA/PRÁCTICA
CARÁCTER
PLAN DE ESTUDIO
HORAS SEMANALES
II. Aprendizajes Esperados:
Definir el Modelo binomial.
Cálculo interpretación del la esperanza y varianza.
Identificar y resolver ejercicios a través de los Modelo Poisson.
III. Síntesis esquemática de Contenidos
Modelos de distribución de probabilidad. Binomial, ejemplos.
Cálculo de la media y Varianza, ejemplos.
Modelo de distribución de Poisson, ejemplos.
Cálculo de la Esperanza y Varianza, ejemplos.
IV. Actividades ( individuales o grupales)
1. En cada uno de los siguientes ejercicios indica porqué el experimento descrito sigue el
modelo binomial y resuelve la cuestión que se plantea.
2. 1Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que
cruces.
3. 2Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan
de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas
condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30
años, vivan:
4. 1. Las cinco personas. 2.Al menos tres personas.
3.Exactamente dos personas.
5. 3Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está
comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de
teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
6. 4La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál
es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad
de que acierte por lo menos en una ocasión?
7. 5En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota
si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y la
desviación típica.
8. Considera las siguientes situaciones.
9. A.-En una urna tenemos 6 bolas marcadas con el número +1, seis bolas con el número 0 y
5 bolas con el número -1. Extraemos tres bolas al azar sin reemplazamiento y contamos el
número de bolas con signo positivo.
10. B.-2 de los 12 jugadores de un equipo de baloncesto han tomado sustancias prohibidas. Al
finalizar el encuentro se seleccionan a tres al azar para hacer un control antidopaje.
¿Por qué no siguen el modelo binomial?
V. Evaluación de la actividades
VI. Síntesis de los contenidos :
Modelos de distribución de probabilidad Binomial
Todo experimento que tenga las siguientes características:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso éxito y su
contrario fracaso.
2. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos
anteriormente.
3. La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una
prueba a otra. La probabilidad de fracaso será 1- p y la representamos por q .
4.
El experimento consta de un número n de pruebas.
Será considerad como cl modelo de la distribución Binomial. Si la variable X expresa el
número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable
aleatoria binomial.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3,
4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como hay que considerar todas las maneras
posibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número
combinatorio n sobre k).
La distribución Binomial se suele representar por
B(n,p) siendo n y p los parámetros de
dicha distribución.
n: numero de pruebas n > 0
B(n, p) ==>
p: probabilidad de éxito tal que 0  p  1
Función de Probabilidad de la v.a. Binomial
Sea X la v.a.d (variable aleatoria discreta) una variable aleatoria binomial, obtenida de n
pruebas con probabilidad de éxito p donde 0  p  1. Entonces
 n
P( X  k )     p k  q nk
k 
Media y Varianza:
  np
Media
Varianza
 2  npq
Desviación Estándar
  npq
Recordemos que q = 1- p
Función de Distribución de la v.a. Binomial
n
 n
F ( xi )  P( X  xi )      p i  q ni
i 1  i 
Esta función de distribución proporciona, para cada número real xi, la probabilidad de que
la variable X tome valores menores o iguales que xi.
Ejemplos:
1) Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que 7 de las 1000, que produce, son
defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.
Definimos la variable X: número de piezas defectuosas fabricadas por la máquina. Se trata
de una distribución binomial, pues produce pieza buena o malas los parámetros serían B(50;
0,007) y debemos calcular la probabilidad p(X = 1).
 50
P( X  1)     0,0071  (1  0,007) 501  0,248
1
2) La probabilidad de éxito de una determinada campaña publicitaria es 0,72. Calcula la
probabilidad, una vez realizada en 15 comunas del país, obtener:
a) Ninguna halla fracaso
b) En toda las comunas halla fracaso
c) Dos de ellas halla fracaso
Definimos la variable X: numero de comuna en donde tuvo éxito la campaña de publicidad.
Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15 ; 0,72)
a)
b)
c)
15 
P( X  15)     0,7215  (1  0,72)1515  0,00724248
15 
15
P( X  0)     0,720  (1  0,72)150  5,097109
0
15
P( X  13)     0,7213  (1  0,72)1513  0,115
13
3) La probabilidad que una tanda comercial, de una serie de productos, no se muestre
correctamente por programa transmitido es de 0,04. Hallar :
a) El número de veces que no se muestra la tanda comercia en 1000 programa es de
b) La varianza y la desviación típica.
Definimos la variable X: numero de veces que se transmite mal la tanda comercial
por programa. Se trata de una distribución binomial de parámetros B(1000 ; 0,04)
  np  1000 0,04  40
Media
Varianza
 2  npq  1000 0,04 (1  0,04)  38,4
Desviación Estándar
  npq  38,4  6,19
Ejercicios
1. Se asegura que el 60% de todas las instalaciones fototérmicas, los gastos de sevicios se
reducen al menos en una tercera parte. De acuerdo con los anteriores ¿cuáles son las
probabilidades de que se reduzca al menos en una tercera parte en :
a) cuatro de cinco instalaciones
b) en al menos cuatro de cinco instalaciones
2. Si la probabilidad de que cierta columna falle ante una carga axial especifica es de 0,05.
a) ¿cuál es la probabilidad que entre 16 de tales columnas a lo más dos fallen?
b)
¿cuál es la probabilidad que entre 16 de tales columnas al menos cuatro fallen?
3. Si la probabilidad que una persona cualquiera no le guste el sabor de una nueva paste dental es
0,20, ¿cuál es la probabilidad que a 5 de 18 personas elegidas aleatoriamente no les guste?
4.Un fabricante de lavadoras asegura que solamente 10% de sus lavadoras requieren reparaciones
dentro del periodo de garantía que es de 12 meses. Si cinco de 20 de sus lavadoras requieren
reparaciones durante el primer periodo de garantía durante el primer año, ¿contribuye esto a
apoyar o refutar s afirmación?
Modelos de distribución de probabilidad Poisson.
Todo experimento que tenga las siguientes características:
1. El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o región específicos es
independiente de el número que ocurre en cualquier otro intervalo disjunto de tiempo o
región del espacio disjunto.
2. La probabilidad de que un resultado muy sencillo ocurra en un intervalo de tiempo muy
corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al
tamaño de la región.
3. La probabilidad de que más de un resultado ocurra en un intervalo de tiempo tan corto o
en esa región tan pequeña es despreciable.
Será considerad como cl modelo de la distribución Poisson. Si la variable X
expresa el número eventos por unidad de tiempo del experimento, la
llamaremos variable aleatoria poisson.
La variable poisson es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3,
4, ..., n
La distribución Poissom se suele representar por Pos() siendo  el numero medio de
eventos que ocurre en el experimento.
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X que representa el número de
resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado, con una media de 
Función de Probabilidad de la v.a. Poisson
Sea X la v.a.d (variable aleatoria discreta) una variable aleatoria poisson, en donde se tiene
un número medio de eventos . Entonces
e    x
P( X  x) 
x!
Media y Varianza:
Media
  np  
Varianza
2 
Desviación Estándar
 
tal que
x  0,1,2,3,...
e  2,718..
Recordemos que p probabilidad de éxito en las n pruebas
Función de Distribución de la v.a. Poisson
n
F ( x )  P( X  x )  
i 1
e   i
i!
tal que e  2,718
Esta función de distribución proporciona, para cada número real xi, la probabilidad de que
la variable X tome valores menores o iguales que xi.
Ejemplo
1) Cierta enfermedad tiene una probabilidad muy baja de ocurrir, p=1/100.000. Calcular la
probabilidad de que en una ciudad con 500.000 habitantes haya más de 3 personas con
dicha enfermedad si en promedio hay 5 personas con esa enfermedad. Calcular el número
esperado de habitantes que la padecen.
 5
P( X  3)  1  P( X  3)
 1  ( P( X  0)  P( X  1)  P( X  2)  P( X  3))
e 5 50 e 5 51 e 5 5 2 e 5 53
 1 (



)
0!
1!
2!
3!
 0,735
2) La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan
300 viajes ¿Cuál es la probabilidad de tener 3 accidente?.
Como la probabilidad  = (300)(0,02) = 6
e 6  6 3
P( X  3) 
 0,0892 0,09
3!
Por lo tanto la probabilidad de tener 3 accidente de trafico de 300 viajes del 9%
3) La probabilidad que un cliente solicite modificar un comercial es de 0,012. ¿Cuál es la
probabilidad que entre 800 cliente hayan 5 que soliciten modificaciones?
Como la probabilidad  = (800)(0,012) = 9,6
P( X  5) 
e 9,6  (9,6) 5
 0,046
5!
Por lo tanto la probabilidad de tener 6 modificaciones para un total de 800 clientes es del
4,6%
Ejercicios:
1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques falsos al día.
¿Cuál son la probabilidad que reciba cuatro cheques falsos en un día cualquiera?
¿Cuál son las probabilidad que reciba 10 cheques falsos en 2 día consecutivos?
¿Cuál es la probabilidad al menos 3 cheques falsos al día ?
2. Al inspeccionar la aplicaciones de estaño en un proceso electrolítico continuo, se descubre en
promedio 0,2 imperfecciones pro minuto, Calcular la probabilidad que :
Se descubra una imperfección en 3 minutos
Al menos dos imperfecciones en 5 minutos
A lo sumo una imperfección en 15 minutos
VII. Glosario
Links de interés