Tarea 13 Soluciones

Tarea 13
Soluciones
1. Resuelve lo siguiente:
a) x + 2x = 5 + 10
Sol.
x + 2x = 5 + 10
3x = 15
x=5
b) 6x + (−2) + 2x = (−2) + 4x + 8
Sol.
6x + (−2) + 2x = (−2) + 4x + 8
6x − 2 + 2x = −2 + 4x + 8
8x − 2 = 4x + 6
8x − 4x = 6 + 2
4x = 8
x=2
c) −6 + 2x + 3x = 29
Sol.
−6 + 2x + 3x = 29
−6 + 5x = 29
5x = 29 + 6
5x = 35
x=7
d ) x + 3 + x + 4 = x + 7 + 2x + 7
Sol.
x + 3 + x + 4 = x + 7 + 2x + 7
2x + 7 = 3x + 14
2x − 3x = 14 − 7
−x = 7
x = −7
1
e) f · f
Sol.
f · f = f2
f ) p3 · p2
Sol.
p3 · p2 = p5
g) 140s0 · 20s0
Sol.
140s0 · 20s0 = 2800s0+0 = 2800s0 = 2800
h) 9ck · 2c2 k 2
Sol.
9ck · 2c2 k 2 = 18c3 k 3
i ) 11g 6 x · 2c2 k 2
Sol.
11g 6 x · 2c2 k 2 = 22g 6 xc2 k 2
j ) 6x · 3y · 9x2 y 4
Sol.
6x · 3y · 9x2 y 4 = 18xy · 9x2 y 4 = 154x3 y 5
k ) 12(a + b + c)
Sol.
12(a + b + c) = 12a + 12b + 12c
l ) 7xy(x + y)
Sol.
7xy(x + y) = 7x2 y + 7xy 2
m) abc(a + b + c)
Sol.
abc(a + b + c) = a2 bc + ab2 c + abc2
2. Realiza las siguientes operaciones:
√
√
a) ( 3x + y)(x + 2y) Sol.
√
√
( 3x + y)(x + 2y)
√
√ √
√
= 3x2 + 3 2xy + xy + 2y 2
√
√
√
= 3x2 + (1 + 6)xy + 2y 2
2
b) (π + 5x)(11 + πx) Sol.
(π + 5x)(11 + πx)
= 11π + π 2 x + 55x + 5πx2
= 11π + (π 2 + 55)x + 5πx2
c) (x2 − 4)(x2 + 4) Sol.
(x2 − 4)(x2 + 4)
= x4 + 4x2 − 4x2 − 16
= x4 − 16
d ) 2(a2 + a)(3a2 + 6a)
Sol.
2(a2 + a)(3a2 + 6a)
= (2a2 + 2a)(3a2 + 6a)
= 6a4 + 12a3 + 6a3 + 12a2
= 6a4 + 18a3 + 12a2
e) (ab + bc)(ab + bc)
Sol.
(ab + bc)(ab + bc)
= a2 b2 + ab2 c + ab2 c + b2 c2
= a2 b2 + 2ab2 c + b2 c2
f ) (x + y)2
Sol.
(x + y)2
= x2 + xy + xy + y 2
= x2 + 2xy + y 2
3
g) (x + y)3
Sol.
(x + y)3
= (x + y)(x + y)2
= (x + y)(x2 + 2xy + y 2 )
= x3 + 2x2 y + xy 2 + x2 y + 2xy 2 + y 3
= x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3
h) (2x2 − 3x − 6)(x2 − 5x − 4)
Sol.
(2x2 − 3x − 6)(x2 − 5x − 4)
= 2x4 − 10x3 − 8x2 − 3x3 + 15x2 + 12x − 6x2 + 30x + 24
= 2x4 − 10x3 − 3x3 − 8x2 + 15x2 − 6x2 + 12x + 30x + 24
= 2x4 − 13x3 + x2 + 42x + 24
i)
2 4
a (6a5
3
Sol.
− 12a3 − 85 )
5
2 4 5
a (6a − 12a3 − )
3
8
12 9 24 7 10 4
= a − a − a
3
3
24
5
= 4a9 − 8a7 − a4
12
j ) (3x2 + 5x + 9)(4x2 + 7x + 2)
Sol.
(3x2 + 5x + 9)(4x2 + 7x + 2)
= 12x4 + 21x3 + 6x2 + 20x3 + 35x2 + 10x + 36x2 + 63x + 18
= 12x4 + 21x3 + 20x3 + 6x2 + 35x2 + 36x2 + 63x + 10x + 18
= 12x4 + 41x3 + 77x2 + 73x + 18
3. Resuelve lo siguiente a pie y con la división sintética:
No hare procedimiento, si tienen dudas, por favor pregunten
4
a)
x4 +5x3 +6x−2
x+4
Sol.
x4 + 5x3 + 6x − 2 = (x + 4)(x3 + x2 − 4x + 22) − 90
b)
2x3 +5x2 −6x+2
x+4
Sol.
2x3 + 5x2 − 6x + 2 = (x + 4)(2x2 − 3x + 6) − 22
c)
12x4 −x3 −29x2 −4
3x−4
Sol.
12x4 − x3 − 29x2 − 4 = (3x − 4)(4x3 + 5x2 − 3x − 4) − 20
4. Demuestra que un número par por un número par es un número par.
(Por inducción)
Sol. Sean x y y dos numeros pares. Como son pares, existen m, n ∈ Z
tal que x = 2m y y = 2n.
Ahora, fijaremos x cualquier número par,
1) Probar para k = 1,
(x)(2(1)) = 2m(2) = 2(2m)
Que es un número par.
2) Suponer que funciona para k = n,
(x)(2n)
es número par
Probar para k = n + 1
x(2(n + 1)) = x(2(n + 1)) = x(2n + 2) = 2nx + 2x
ya sabemos que 2nx es par, y claramente 2x también es par, por lo
tanto, la suma también es par.
Por lo tanto, un número par por un número par es un número par.
5. Ayer en la clase el 12.5 % de los alumnos faltó. Hoy hay un alumno
ausente más, y el número de presentes es 5 veces el de ausentes. ¿Cuál
5
es el número total de alumnos en clase?
Sol. Sea x el número total de alumnos en la clase.
Tenemos que los alumnos ausentes hoy son los de ayer (0.125x) más
uno, es decir, 0.125x + 1
Entonces, planteemos la ecuación:
x − (0.125x + 1) = 5(0.125x + 1)
x − 0.125x − 1 = 0.625 + 5
x − 0.125x − 0.625x = 5 + 1
(1 − 0.75)x = 6
6
0.25
x = 24
x=
Por lo tanto hay 24 alumnos en total.
6. Exactamente una de las siguientes afirmaciones acerca del número de
mi casa es falso:
a) La suma de las cifras del número es 6
b) Dos de las cifras del número son iguales
c) El número es menor que 110
d ) El número es mayor que 40
e) El número es primo.
¿Cuál es el número de mi casa?
Sol. Notar que a) y e) no pueden ser verdaderas al mismo tiempo,
pues si a) es verdadero, entonces el número es divisible entre 3,
por lo tanto no puede ser primo, entonces e) es falso. Si e) es verdadero, entonces el número no puede ser dividido entre 3, lo cual
hace a) falso.
Notando esto, aseguramos que b), c) y d) son verdaderos. Sabemos que nuestro número esta entre 40 y 110, y tiene dos cifras
iguales. ¿Cuáles numeros cumplen estas propiedades?
44, 55, 66, 77, 88, 99, 100, 101, 111, 122, 133
Ahora notar que 44, 55, 77, 88, 100, 122, 133 no son primos y no son
6
divisibles entre 3. Por lo tanto no nos sirven.
Ver que pasa con los que si son divisibles entre 3; 66, 99, 111 ninguno cumple que la suma de sus cifras es 6.
Por lo tanto, nos queda solo el 101, que es primo y cumple con
todas menos con a).
7. Un punto P está en el interior de un triángulo equilátero ABC. Sean
Q, R y S los pies de las perpendiculares trazadas desde P a los lados
AB, BC y AC, respectivamente. Si P Q = 1cm, P R = 2cm y P S =
3cm, ¿Cuánto mide el lado del triángulo ABC?
Sol. Como ABC es un triángulo equilátero, todos sus lados miden lo
mismo, diremos x. Sea h la altura del triángulo ABC. Tenemos que,
Area ABC =
xh
2
Por otro lado, usando el punto P , notamos que se forman 3 triángulos,
cuya suma de areas es igual al area del triángulo ABC. El Área AP C =
3x
. El Área CP B = 2x
. El Área AP B = x2 .
2
2
Tenemos la siguiente ecuación,
3x 2x x
xh
=
+
+
2
2
2
2
⇒ xh = 3x + 2x + x
⇒ xh = 6x
Si x 6= 0,
⇒h=6
Ahora, que tenemos la altura del triángulo ABC, sabemos que corta
la base en dos partes iguales por ser equilatero. Podemos usar teorema
de pitagoras. Llamaremos T el pie de la altura que corta la base CA.
Entonces tenemos, T B = 6, T A = x2 y BA = x.
x
62 + ( )2 = x2
2
⇒ 36 +
7
x2
= x2
4
⇒ x2 −
x2
= 36
4
3x2
= 36
4
⇒ 3x2 = (36)(4)
⇒
(36)(4)
3
2
⇒ x = 48
√
⇒x=4 3
⇒ x2 =
8