TRABAJO 1 MATEM´ATICA ESTRUCTURAL, SEMESTRE I DE

TRABAJO 1
MATEMÁTICA ESTRUCTURAL, SEMESTRE I DE 2013
JOHN GOODRICK
Fecha de entrega: 1 de febrero (viernes), 11:30 a.m.
Instrucciones: Intente resolver cuantos problemas usted pueda. Es posible
recibir un porcentaje de la nota por una solución parcial, pero solamente si
está bien escrita y es apropiada.
Usted debe entregar este trabajo al inicio de la clase el 1 de febrero, y los
trabajos que reciba después de las 11:30 a.m. contarán como 1 dia tarde.
Se puede entregar los trabajos tarde, pero por cada dia de tardanza, subtraeré 1 punto de la nota para el trabajo.
Se puede entregar los trabajos en mi casillero (bloque H, primer piso) o
electrónicamente (a [email protected]).
Es permitido discutir estos problemas con compañeros o con otros estudiantes, pero usted debe argumentar cada solución con sus propias
palabras. Si usted recibió ayuda de otro estudiante o de otra fuente, usted
debe anotar esto a final del trabajo. Copiar el trabajo de otro estudiante
será considerado plagio y conllevará a sanción grave.
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JOHN GOODRICK
1. (2 puntos) Definimos el orden lexicográfico en R2 de la manera siguiente:
Para dos pares (a, b) y (c, d) en R2 , (a, b) <lex (c, d) si y sólo si:
(a) o bien a < c,
(b) o bien a = c y b ≤ d.
Pruebe que <lex es un orden total en R2 . (Véase la definición en la página
17 del texto.)
2. (2 puntos) Haga el ejercicio 2 de la sección 1.1 del libro (en la página 13).
3. (2 puntos) Las partes (a) y (b) del ejercicio 12 de la sección 1.1 el libro.
4. (1 punto) ¿ Existe o no un conjunto A tal que A tenga un elemento b ∈ A
que también es elemento de P(A) (el conjunto potencia de A)? En caso que
si, describa un ejemplo especifico; en caso que no, demuestre que es imposible.
5. (2 puntos) El ejercicio 2 de la sección 1.2 del libro (en la página 21).
6. (3 puntos) El ejercicio 9 de la sección 1.2 del libro.
7. (2 puntos) El ejercicio 11 de la sección 1.2 del libro.
8. (1 punto) The Liar’s Paradox.
Aqui describimos otra “paradoja” muy parecida a la paradoja de Russell
(véase la página 20 del texto).
Considere la frase abajo:
(P) Esta frase es falsa.
La frase (P) es una paradoja en el sentido que no puede ser ni verdadera ni
falsa: si fuera verdadera la frase (P), entonces dado que (P) quiere decir “La
frase (P) es falsa”, tendriamos que (P) seria verdadera y falsa a la vez, lo cual
es imposible; y de otro lado, si fuera falsa la frase (P), entonces dado que (P)
dice “(P) es falsa”, necesariamente estariamos ante el caso contrario, es decir,
“(P) es verdadera”, pero otra vez (P) seria falsa y verdadera, lo que es una
contradicción.
Un intento de resolver esta paradoja es decir que la frase (P) es un sinsentido.
¡Pero esto nos lleva a otra paradoja!
Supongamos que toda frase se puede calificar como “verdadera”, “falsa”, o
“un sinsentido”, y además supongamos que cada frase pertenece únicamente a
una de estas tres categorias (lo cual suena muy sensato).
Ahora considere la nueva frase:
(Q) Esta frase o es falsa o es un sinsentido.
Explique en detalle por qué (Q) es paradoja de la misma estirpe que (P).