ИЦ ЩТШ × × Т Ц ЩС ТШ Ц

Universidad Industrial de Santander
Teoría de Conjuntos
Soluión Previo de Suulento (II).
Junio 18/2016
Tema O.
Nombre
Código
Preguntas sin argumentar
Pregunta mal ontestada de falso y verdadero ba ja 1 punto. Para saar nota máxima (2.0) haga 40
puntos! .
1. [8℄ Si An = {i ∈ Z : −2n ≤ i ≤ n+2}
podemos asegurar (Falso/Verdadero):
Va) ∪4n=1 An = A4
Fb) ∩k∈N Ak = ∅
V) ∪k∈N Ak = Z
Fd) Si |n − m| ≤ 2 entones
4. [8℄ Si f : A −→ B es una funión y
f [X] = {f (x) ∈ B | x ∈ X} mientras f −1 [Y ] = {x ∈ A | f (x) ∈ Y } para
X ∈ P(A) y Y ∈ P(B) siempre se tiene
que (Falso/Verdadero):
Va)
Vb)
V)
Fd)
An ∩ Am = ∅
2. Si A = {1, 2, 3, 4, 6, 7} se tiene que
/ X}| = 2
[4℄ |{X ∈ P(A) : 3 ∈
[5℄ |{X ∈ P(A) : 3 ∈ X ∨ 4 ∈ X}| =
26 − 24 = 48
f −1 [Y1 ∪ Y2 ] ⊆ f −1 [Y1 ] ∪ f −1 [Y2 ]
f −1 [Y1 ∪ Y2 ] ⊇ f −1 [Y1 ] ∪ f −1 [Y2 ]
f [X1 ∩ X2 ] ⊆ f [X1 ] ∩ f [X2 ]
f [X1 ∩ X2 ] ⊇ f [X1 ] ∩ f [X2 ]
5
5. [8℄ (Falso/Verdadero):
Va)
Vb)
F)
Fd)
3. [6℄ Si f : A −→ C y g : B −→ D son
biyeiones la funión Γ denida por
Γ(h) = g ◦ h ◦ f −1 queda bien denida entre X e Y uando:
b) X = B A y Y = DC
) X = C y Y = D
d) Ninguna
N ≈ (N \ (N + 1))
N ≈ {n ∈ N : n < 1012 }
7. [6℄ Sea f : N −→ A una funión inyetiva. Si deno g(n) = f (n+1) la funión
g me sirve para demostrar:
[6℄Por otra parte, Γ sirve para demos-
trar:
a) A × B ≈ C × D
a)
b)
)
d)
b) AB ≈ C D
) B ≈ D
Q \ {0, ..., 7} ≈ Q
6. [6℄ Para demostrar que N ≈ N−{7, 11}
denimos por partes f así:
f (n) =
n
si n < 7.
f (n) = n + 1 si 7 ≤ n < 10.
f (n) = n + 2 si n ≥ 10.
a) X = AB y Y = C D
A
(−3, 100) ≈ [0, 23)
C
d) Ninguna.
1
A es innito.
A \ {f (0)} es innito.
A ≈ (A \ {f (0)}) .
Ninguna.
Preguntas argumentadas
Las siguientes armaiones son FALSAS, esoja DOS y demuestre plenamente que de verdad
son falsas (ada punto vale 0.5):
1. [0.5℄ Sea g : Z −→ Z la funión denida por g(n) = n2 y H : ZZ → ZZ dada por
H(f ) = f ◦ g . Entones H es inyetiva.
2. [0.5℄ Sean A, B, C y D onjuntos innitos tales que A ≈ B y C ≈ D. Entones
A \ C ≈ B \ D.
3. [0.5℄ Si A ≈ C y B ≈ D entones A ∩ B ≈ C ∩ D.
4. [0.5℄ Si f : A −→ B es una funión y X ⊆ A entones f −1 [f [X]] = X .
Demostraiones
Haga DOS de las siguientes demostraiones.
1. [1.0℄ Sea {Ai }i∈I una oleión de onjuntos tales que para todo i ∈ I se tiene Ai ⊆ B .
Demuestre que
[
Ai ⊆ B
i∈I
2. [1.0℄ Demuestre que (1, 4] ∪ (6, 8] ≈ (3, 4].
3. [1.0℄ Demostrar que si A ∩ B = ∅ entones C A∪B ≈ (C A × C B ) .
4. [1.0℄ Sea A un onjunto innito demuestre que existe f : N −→ A inyetiva.
2
Tema 0.
Nombre
Código
3
Tema O.
Nombre
Código
4
Tema O.
Nombre
Código
5
Tema O.
Nombre
Código
6
Universidad Industrial de Santander
Teoría de Conjuntos
Soluión Previo de Suulento (II).
Junio 18/2016
Tema P.
Nombre
Código
Preguntas sin argumentar
Pregunta mal ontestada de falso y verdadero ba ja 1 punto. Para saar nota máxima (2.0) haga 40
puntos! .
1. [8℄ Si An = {i ∈ Z : −2n ≤ i ≤ n+2}
podemos asegurar (Falso/Verdadero):
Fa) Si |n − m| ≤ 2 entones
An ∩ Am = ∅
Vb) ∪4n=1 An = A4
V) ∩k∈N Ak 6= ∅
Va)
Vb)
F)
Vd)
Vd) ∪k∈N Ak = Z
2. Si A = {1, 2, 3, 4, 6, 7} se tiene que
/ X}| = 25
[4℄ |{X ∈ P(A) : 3 ∈
[5℄ |{X ∈ P(A) : 3 ∈ X ∨ 4 ∈ X}| =
26 − 24 = 48
Fa)
Fb)
V)
Vd)
f [X1 ∩ X2 ] ⊆ f [X1 ] ∩ f [X2 ]
f [X1 ∩ X2 ] ⊇ f [X1 ] ∩ f [X2 ]
f −1 [Y1 ∩ Y2 ] ⊆ f −1 [Y1 ] ∩ f −1 [Y2 ]
N ≈ (N \ (N + 1))
N ≈ {n ∈ N : n < 1012 }
(−3, 100) ≈ [0, 23)
Q \ {0, ..., 7} ≈ Q
6. [6℄ Para demostrar que N ≈ N−{7, 11}
denimos por partes f así:
f (n) =
n
si n < 7.
f (n) = n + 1 si 7 ≤ n < 10.
f (n) = n + 2 si n ≥ 10.
a) X = B A y Y = DC
b) X = C y Y = D
) X = AB y Y = C D
d) Ninguna
7. [6℄ Sea f : N −→ A una funión inyetiva. Si deno g(n) = f (n+1) la funión
g me sirve para demostrar:
[6℄Por otra parte, Γ sirve para demos-
trar:
a) B A ≈ DC
a)
b)
)
d)
b) A × B ≈ C × D
) A ≈ C
f −1 [Y1 ∪ Y2 ] ⊇ f −1 [Y1 ] ∪ f −1 [Y2 ]
5. [8℄ (Falso/Verdadero):
3. [6℄ Si f : A −→ C y g : B −→ D son
biyeiones la funión Γ denida por
Γ(h) = g ◦ h ◦ f −1 queda bien denida entre X e Y uando:
B
4. [8℄ Si f : A −→ B es una funión y
f [X] = {f (x) ∈ B | x ∈ X} mientras f −1 [Y ] = {x ∈ A | f (x) ∈ Y } para
X ∈ P(A) y Y ∈ P(B) siempre se tiene
que (Falso/Verdadero):
D
d) Ninguna.
7
A \ {f (0)} es innito.
A ≈ (A \ {f (0)}) .
A es innito.
Ninguna.
Preguntas argumentadas
Las siguientes armaiones son FALSAS, esoja DOS y demuestre plenamente que de verdad
son falsas (ada punto vale 0.5):
1. [0.5℄ Sea g : Z −→ Z la funión denida por g(n) = n2 y H : ZZ → ZZ dada por
H(f ) = f ◦ g . Entones H es inyetiva.
2. [0.5℄ Sean A, B, C y D onjuntos innitos tales que A ≈ B y C ≈ D. Entones
A \ C ≈ B \ D.
3. [0.5℄ Si A ≈ C y B ≈ D entones A ∩ B ≈ C ∩ D.
4. [0.5℄ Si f : A −→ B es una funión y X ⊆ A entones f −1 [f [X]] = X .
Demostraiones
Haga DOS de las siguientes demostraiones.
1. [1.0℄ Sea {Ai }i∈I una oleión de onjuntos tales que para todo i ∈ I se tiene Ai ⊆ B .
Demuestre que
[
Ai ⊆ B
i∈I
2. [1.0℄ Demuestre que (1, 4] ∪ (6, 8] ≈ (3, 4].
3. [1.0℄ Demostrar que si A ∩ B = ∅ entones C A∪B ≈ (C A × C B ) .
4. [1.0℄ Sea A un onjunto innito demuestre que existe f : N −→ A inyetiva.
8
Tema P.
Nombre
Código
9
Tema P.
Nombre
Código
10
Tema P.
Nombre
Código
11
Tema P.
Nombre
Código
12
Universidad Industrial de Santander
Teoría de Conjuntos
Soluión Previo de Suulento (II).
Junio 18/2016
Tema Q.
Nombre
Código
Preguntas sin argumentar
Pregunta mal ontestada de falso y verdadero ba ja 1 punto. Para saar nota máxima (2.0) haga 40
puntos! .
1. [8℄ Si An = {i ∈ Z : −2n ≤ i ≤ n+2}
podemos asegurar (Falso/Verdadero):
Va) ∪4n=1 An = A4
Fb) Si n 6= m entones An ∩ Am = ∅
F) ∩k∈N Ak = ∅
Fd) Si |n − m| ≤ 2 entones
An ∩ Am = ∅
2. Si A = {1, 2, 3, 4, 6, 7} se tiene que
/ X}| = 2
[4℄ |{X ∈ P(A) : 3 ∈
[5℄ |{X ∈ P(A) : 3 ∈ X ∨ 4 ∈ X}| =
26 − 24 = 48
4. [8℄ Si f : A −→ B es una funión y
f [X] = {f (x) ∈ B | x ∈ X} mientras f −1 [Y ] = {x ∈ A | f (x) ∈ Y } para
X ∈ P(A) y Y ∈ P(B) siempre se tiene
que (Falso/Verdadero):
Fa)
Vb)
V)
Vd)
f [X1 ∩ X2 ] ⊇ f [X1 ] ∩ f [X2 ]
f −1 [Y1 ∪ Y2 ] ⊆ f −1 [Y1 ] ∪ f −1 [Y2 ]
f −1 [Y1 ∪ Y2 ] ⊇ f −1 [Y1 ] ∪ f −1 [Y2 ]
f [X1 ∩ X2 ] ⊆ f [X1 ] ∩ f [X2 ]
5
3. [6℄ Si f : A −→ C y g : B −→ D son
biyeiones la funión Γ denida por
Γ(h) = g ◦ h ◦ f −1 queda bien denida entre X e Y uando:
5. [8℄ (Falso/Verdadero):
Fa)
Vb)
V)
Fd)
N ≈ (N \ (N + 1))
(−3, 100) ≈ [0, 23)
Q \ {0, ..., 7} ≈ Q
N ≈ {n ∈ N : n < 1012 }
6. [6℄ Para demostrar que N ≈ N−{7, 11}
denimos por partes f así:
f (n) =
n
si n < 7.
f (n) = n + 1 si 7 ≤ n < 10.
f (n) = n + 2 si n ≥ 10.
a) X = AB y Y = C D
b) X = C y Y = D
) X = B A y Y = DC
d) Ninguna
[6℄Por otra parte, Γ sirve para demos-
trar:
a) AB ≈ C D
7. [6℄ Sea f : N −→ A una funión inyetiva. Si deno g(n) = f (n+1) la funión
g me sirve para demostrar:
a)
b)
)
d)
b) B A ≈ DC
) A × B ≈ C × D
d) Ninguna.
13
A es innito.
A ≈ (A \ {f (0)}) .
A \ {f (0)} es innito.
Ninguna.
Preguntas argumentadas
Las siguientes armaiones son FALSAS, esoja DOS y demuestre plenamente que de verdad
son falsas (ada punto vale 0.5):
1. [0.5℄ Sea g : Z −→ Z la funión denida por g(n) = n2 y H : ZZ → ZZ dada por
H(f ) = f ◦ g . Entones H es inyetiva.
2. [0.5℄ Sean A, B, C y D onjuntos innitos tales que A ≈ B y C ≈ D. Entones
A \ C ≈ B \ D.
3. [0.5℄ Si A ≈ C y B ≈ D entones A ∩ B ≈ C ∩ D.
4. [0.5℄ Si f : A −→ B es una funión y X ⊆ A entones f −1 [f [X]] = X .
Demostraiones
Haga DOS de las siguientes demostraiones.
1. [1.0℄ Sea {Ai }i∈I una oleión de onjuntos tales que para todo i ∈ I se tiene Ai ⊆ B .
Demuestre que
[
Ai ⊆ B
i∈I
2. [1.0℄ Demuestre que (1, 4] ∪ (6, 8] ≈ (3, 4].
3. [1.0℄ Demostrar que si A ∩ B = ∅ entones C A∪B ≈ (C A × C B ) .
4. [1.0℄ Sea A un onjunto innito demuestre que existe f : N −→ A inyetiva.
14
Tema Q.
Nombre
Código
15
Tema Q.
Nombre
Código
16
Tema Q.
Nombre
Código
17
Tema Q.
Nombre
Código
18