Ejercicio nº 4

SOLUCIONES - REPASO PROBLEMAS DE ALGEBRA – 1ª EVALUACIÓN
Departamento de
Matemáticas
Ejercicio nº 1.- En un examen tipo test, que constaba de 40 preguntas, era obligatorio
responder a todas. Cada pregunta acertada se valoró con un punto, pero cada fallo restaba
medio punto. Sabiendo que la puntuación total que obtuvo Pablo fue de 32,5 puntos, ¿cuántas
preguntas acertó?
Solución: Llamamos x al número de preguntas que acertó.
Así :
Acertó  x

Falló  40  x 

Como cada acierto vale un punto, y cada fallo resta medio punto, la puntuación total fue:
x  0, 5 40  x   32, 5
Resolvemos la ecuación:
x  20  0, 5x  32, 5
0, 5x  12, 5
x
12, 5
 25
0, 5
Por tanto, acertó 25 preguntas
.
Ejercicio nº 2.- En una empresa obtienen 6 euros de beneficio por cada envío que hacen;
pero si el envío es defectuoso, pierden por él 8 euros. En un día hicieron 2 100 envíos,
obteniendo 9 688 euros de beneficio. ¿Cuántos envíos válidos y cuántos defectuosos hicieron
ese día?
Solución: Llamamos x al número de envíos válidos e y al número de envíos defectuosos.
Así:
x  y  2 100 
6 x  8y  9 688

y  2 100  x
6 x  8 2 100  x   9 688
6x  16 800  8x  9 688; 14x  26 488;
x  1 892
y  2 100  1 892  208
Por tanto, el número de envíos válidos fue de 1 892 y el de envíos defectuosos, 208.
Ejercicio nº 3.- Se mezcla cierta cantidad de café de 6 euros/kg con otra cantidad de café de
4 euros/kg, obteniendo 8 kg de mezcla. Sabiendo que el precio del café mezclado es de 4,5
euros/kg, ¿cuántos kilogramos se han mezclado de cada clase?
Solución:
Llamamos x a la cantidad de café (en kg) del primer tipo e y a la cantidad de café (en kg)
del segundo tipo. Así:
xy 8


6 x  4y  4, 5  8
xy 8


6 x  4y  36
6x  32  4x  36;
y 8x
6 x  4 8  x   36
2x  4;
x2

y  82  6
Se han mezclado 2 kg de café de 6 euros/kg con 6 kg de café de 4 euros/kg.
Ejercicio nº 4.- Un padre ha comprado un jersey para cada uno de sus cinco hijos,
gastándose en total 108,75 euros. Tres de los jerseys tenían un 15% de descuento, y otro de
ellos tenía un 20% de descuento. Sabiendo que inicialmente costaban lo mismo, ¿cuánto ha
tenido que pagar por cada jersey?
Solución:
Llamamos x a lo que costaba cada jersey antes de los descuentos.
Los que tienen un 15% de descuento valdrán ahora 0,85x.
El que está rebajado un 20% costará 0,8x.
3 · 0,85x + 0,8x + x = 108,75
Por tanto, el total que ha pagado es:
2,55x +
x +x =108,75
x
4,35x = 108,75
108, 75
 25 euros
4, 35
Por el que no tiene descuento ha pagado 25 euros.
El que tiene un 20% de descuento cuesta ahora 20 euros.
Por cada uno de los tres que tenían rebaja de un 15% ha
tenido que pagar 21,25 euros.
Ejercicio nº 5.- Un grupo de amigos tiene que pagar una factura de 500 euros. Si fueran dos
amigos más, cada uno de ellos tendría que pagar 12,5 euros menos. ¿Cuántos amigos son?
Solución:
Llamamos x al número de amigos.Cada uno tieneque pagar
Si fueran x
500
euros.
x
amigos y
500
 12,5 euros ( 12,5 euros menos)
x
 500

Como en total son 500 euros, x  2 
 12, 5   500
x


Resolvemos la ecuación:
1 000
 25  500
x
1 000
 12, 5 x 
 25  0
x
 12, 5x 2  1 000  25x  0
500  12, 5 x 
12, 5x 2  25x  1 000  0
x
 25 
625  50000
25

 25 
50625
25
 25  225

25

x  8
Son, por tanto, 8 amigos.


x  10 (no vale)

Ejercicio nº 6.- Cristina tiene 8 años más que Carlos, y hace 2 años tenía el doble de edad
que él. ¿Cuántos años tiene actualmente cada uno?
Solución:
Llamamos x a la edad que tiene actualmente Carlos y hacemos un cuadro que resuma la
información:
La edad de Cristina hace 2 años era el doble que la de Carlos, es decir:
x  6  2x  2
Resolvemos la ecuación:
x  6  2x  4
10 = x
Por tanto, Carlos tiene 10 años y Cristina, 18.
Ejercicio nº 7.- Alberto compró 3 bolígrafos y 2 cuadernos, pagando en total 2,9 euros. Una
semana después, los bolígrafos tenían un 20% de descuento y los cuadernos, un 15%. Si los
hubiera comprado con estas rebajas, habría tenido que pagar 2,42 euros. ¿Cuánto le costó a
Alberto cada bolígrafo y cuánto cada cuaderno?
Solución:
Llamamos x al precio de cada bolígrafo e y al precio de cada cuaderno, antes de la rebaja.
Así:
3 x  2y  2, 9

0, 8  3 x  0, 85  2y  2, 42

3 x  2y  2, 9


2, 4 x  1, 7y  2, 42
 2, 9  3 x 
2, 4 x  1, 7
  2, 42
2


2, 4 x 
4, 8x  4, 93  5,1x  4, 84
y 
2, 9  3 x
2
4, 93  5,1x
 2, 42
2
0, 3x  0, 09
x  0, 3

y 1
Antes de la rebaja, cada bolígrafo costaba 0,3 euros y cada cuaderno, 1 euro.
Ejercicio nº 8.- El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de
5.000 €(sin impuestos). El valor del vino es de 600 € menos que el de los refrescos y de la
cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que por los refrescos deben pagar un IVA del 6%,
por la cerveza de un 12% y por el vino del 30%, lo que hace que la factura total con impuestos
sea de 5924 €, calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida.
Solución:
Si llamamos x ,y , z a las cantidades invertidas respectivamente en refrescos, cerveza y vino:
 x  y  z  5000

 z  x  y  600
0.06 x  0.12 y  0.3z  924

En la tercera ecuación sumamos solamente el IVA pagado
por las tres bebidas que corresponde a la diferencia entre la
factura con impuestos (5924€) y la factura sin impuestos
(5000 €)
1200€ en refrescos, 1600€ en cerveza y 2200€ en vino
Ejercicio nº 9.- La suma de los radios de dos círculos es 70 cm y la suma de las áreas de
éstos es igual al área de un tercer círculo de 50 cm de radio. ¿Cuál es el radio de los dos
primeros círculos?
Solución:
Llamamos r y R a los radios de las dos circunferencias:
r  R  70
r  R  70

 2
 2
2
2
2
 r   R   50
r  R  2500
Los radios son de 30 y 40 cm.
Ejercicio nº 10.- La suma de las edades de tres personas es, en el momento actual, 73 años.
Dentro de diez años la edad de la mayor de ellas será el doble de la edad de la persona más
joven. Hace doce años la persona con edad intermedia tenía el doble de años que la más joven.
Halla las edades de las tres personas.
Solución:
Llamamos x a la edad de la persona mayor, y a la de la mediana y z a la de la pequeña:
 x  y  z  73

 x  10  2( z  10)
 y  12  2( z  12)

 x  y  z  73

  x  2 z  10
 y  2 z  12

Las edades son 40, 18 y 15 años respectivamente.
Ejercicio nº 11.- Una autoescuela tiene abiertas tres sucursales en la ciudad. El número total
de matriculados es 352, pero los matriculados en la tercera son tan sólo una cuarta parte de los
matriculados en la primera. Además, la diferencia entre los matriculados en la primera y los
matriculados en la segunda es inferior en 2 unidades al doble de los matriculados en la tercera.
Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar el número de alumnos matriculados en cada
sucursal y resuélvelo.
Solución:
Si llamamos x , y , z al número de alumnos matriculados respectivamente en la primera,
segunda y tercera sucursal:
x 


z 


x 
y  z  352
x
4
y  2  2z
 x  y  z  352

 x  4z  0
 x  y  2 z  2

Los alumnos matriculados son 200, 102 y 50 respectivamente.
Ejercicio nº 12.-
Tenemos dos números, uno de dos cifras y otro de una. El primero
aumentado en el cuadrado del segundo da 111 y si colocamos el de una cifra delante del de
dos obtenemos un número que excede al quíntuplo del primero en 612 unidades. Calcúlalos.
Solución:
Si llamamos x al número de 2 cifras e y al de una cifra:
 x  y 2  111

100 y  x  5x  612
 x  y 2  111

 4 x  100 y  612
Sistema no lineal con dos soluciones, una válida (47 y 8) y una no válida (-978 y -33).
Ejercicio nº 13.- Se juntan 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre
los hombres y las mujeres duplican el número de niños. También se sabe que entre los
hombres y el triple de las mujeres exceden en 20 al doble de niños. Plantea un sistema de
ecuaciones que permita averiguar el número de hombres, mujeres y niños. Resuelve el sistema
planteado.
Solución:
Si llamamos x al número de hombres, y al de mujeres y z al de niños:
 x  y  z  30

x  y  2z
 x  3 y  20  2 z

 x  y  z  30

 x  y  2z  0
 x  3 y  2 z  20

Habrá 10 hombres, 10 mujeres y 10 niños.
Ejercicio nº 14.- Un estado compra 540 000 barriles de petróleo a tres suministradores
diferentes que lo venden a 27, 28 y 31 $ el barril, respectivamente. La factura total asciende a
15,858 millones de $. Si del primer suministrador recibe el 30% del total del petróleo
comprado. ¿Cuál es la cantidad comprada a cada suministrador?
Solución:
Si llamamos x, y, z
suministradores:
al número de barriles comprados respectivamente a los tres
 x  y  z  540000
 y  z  378000

27 x  28 y  31z  15858000  x  162000 barriles  
28 y  31z  11484000
 x  0.30  540000

Se han comprado 162000 barriles a 27 $, 78000 a 28 $ y 300000 a 31 $.
Ejercicio nº 15.- Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y
C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gramos y su precio es de 100 € la caja, la marca B lo
envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 € y la marca C lo hace en cajas de 1
kilogramo a un precio de 330 €.
El almacén vende a un cliente 2.5 kg de este producto por un importe de 890 €. Sabiendo que
el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada
tipo se han comprado y resuelve el problema.
Solución:
Llamamos x, y, z al número de cajas vendidas de las marcas A, B y C, respectivamente.
Ordenamos los datos en la siguiente tabla:
MARCA
Gramos/caja
€ / caja
Nº de cajas
x  y  z  5

250 x  500 y  1000 z  2500
100 x  180 y  330 z  890

A
250
100
x
B
500
180
y
x  y  z  5

 25 x  50 y  100 z  250
10 x  18 y  33z  89

Se han vendido 2 cajas de la marca A, 2 de la marca B y 1 de la marca C.
C
1000
330
z