Fundamentos Físicos de la Ingeniería

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Segundo Examen Parcial / 8 abril 1998
1. Una varilla uniforme de longitud l y masa m cuelga verticalmente y está sujeta por una articulación en su
extremo superior. La varilla se golpea en su extremo inferior con una fuerza horizontal F que dura un
tiempo muy pequeño Δt. a) Determinar momento angular que adquiere la varilla respecto al extremo
superior. b) ¿Qué percusión habría que dar en la forma indicada para que la varilla llegará a alcanzar una
posición vertical hacia arriba? c) Siendo l = 1 m; m = 2.5 kg; F = 100 N y Δt = 1/50 s, averiguar si la varilla
alcanzará la posición vertical hacia arriba.
a) La percusión que recibe la varilla viene dada por
Π = F Δt
De las leyes de la dinámica impulsiva se sigue:
lΠ = ΔL = L → L = l Π = lF Δt
b) Expresamos la energía cinética que adquiere la varilla
inmediatamente después de la percusión en función de la magnitud de
ésta:
O
N.R.
1 2 1 L2 L2 3l 2 Π 2 3Π 2
=
=
Ek = I ω = I 2 =
2
2 I
2 I 2ml 2
2m
m,l
ya que entre el momento angular y la velocidad angular existe la
relación:
Π=FΔt
L = Iω → ω =
L
I
con
1
I = ml 2
3
La energía (cinética + potencial gravitatoria) se conserva en el movimiento de la varilla
posterior a la percusión:
− mg
l 3Π 2
l
+
= + mg
2 2m
2
→
3Π 2
= mgl → Π = m
2m
2
3
gl
c) Con los datos del problema, serán:
Π = 100 ×
1
= 2 N ⋅s
50
L = 1× 2 = 2
kg ⋅ m 2
s
El valor mínimo de la percusión, calculado en el apartado b) sería
Π min = 2.5
2 × 9.8 × 1
= 6.39 N ⋅ s
3
de modo que no alcanza la posición vertical.
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2. Una placa rectangular, de lados a = 40 cm y b = 30 cm y espesor e = 1 cm, está sometida a tracciones que
actúan perpendicularmente a los lados del rectángulo: de 28 × 104 N en los lados de 40 cm y de 15 × 104 N
en los lados de 30 cm. conocemos el módulo de elasticidad E = 2 × 1011 N/m2 y coeficiente de Poisson μ
=0.3 del material de la placa. Calcular: a) La deformación unitaria de espesor. b) La variación de área. c) La
variación unitaria de volumen.
a) Escribimos las ecuaciones elásticas:
1
⎧
⎪ε xx = E (σ xx − μσ yy − μσ zz )
⎪
1
⎪
⎨ε yy = (σ yy − μσ xx − μσ zz ) con
E
⎪
1
⎪
⎪ε zz = E (σ zz − μσ xx − μσ yy )
⎩
z
⎧
28 ×104
7
=
σ
⎪ xx 0.40 × 0.01 = +7.00 ×10
⎪
⎪⎪
28 ×104
= +5.00 ×107
⎨σ yy =
0.30 × 0.01
⎪
⎪σ = 0
⎪ zz
⎪⎩
y
x
30 cm
40 cm
Sustituyendo valores:
1
1
⎧
(
)
(7.00 − 0.3 × 5.00) ×107 = +2.75 ×10−4
=
−
=
ε
σ
μσ
xx
xx
yy
11
⎪
2 ×10
E
⎪
1
1
⎪
(5.00 − 0.3 × 7.00) ×107 = +1.45 ×10−4
⎨ε yy = (σ yy − μσ xx ) =
11
2 × 10
E
⎪
0.3
μ
⎪
7
−4
⎪ε zz = − E (σ xx + σ yy ) = − 2 × 1011 (7.00 + 3.00) × 10 = −1.80 × 10
⎩
b) Cambios en la superficie:
εS =
ΔS
= ε xx + ε yy = 4.20 ×10−4
S
→ ΔS = ε S S = 0.504 cm 2
c) Cambios en el volumen:
εV =
ΔV
= ε xx + ε yy + ε zz = 2.40 ×10−4
V
→ ΔV = εV V = 0.288 cm3
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3. Disponemos de tres muelles idénticos. a) Los unimos en serie, uno a continuación de otro, y fijamos uno de
los extremos libres al techo, en tanto que del otro extremo suspendemos un bloque de masa m. Cuando
duplicamos la masa suspendida, el extremo inferior del conjunto serie desciende una distancia adicional h.
¿Cuánto vale la constante elástica de cada muelle? b) Con los tres muelles disponemos ahora un montaje
paralelo (cada muelle tiene un extremo unido al techo) y suspendemos una masa 3m. ¿Cuál será la
frecuencia de las oscilaciones de este sistema?
a) Asociación de muelles en serie:
1
kserie
=Σ
1
ki
k
Como tenemos tres muelles idénticos, equivalen a un muelle
único cuya constante elástica será
1
kserie
=
3
k
→ kserie =
k
k
3
k
La tensión F (carga, en este caso) que soporta un muelle es
proporcional a la deformación x mismo (ley de Hooke):
F = kx → ΔF = k Δx → k =
m
h
ΔF
Δx
Así, para el muelle “equivalente serie” tenemos:
kserie =
mg
h
→ k = 3kserie =
3mg
h
b) Asociación de muelles en paralelo: kpar = Σki
Como tenemos tres muelles idénticos, equivalen a un muelle único de constante
kpar = 3k =
9mg
h
La frecuencia de las oscilaciones de una masa sujeta a un muelle viene dada
por
ω=
k
m
que en nuestro caso nos conduce a
ω=
kpar
3m
=
9mg
3g
=
h
3mh
→ ν=
ω
1
=
2π 2π
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3g
h
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4. a) Determínese el empuje al que se encuentra sometida la pared, de
dimensiones 2a y b de la figura cuando retiene agua y aceite en el
modo que se representa en la figura. b) Determínese la posición del
centro de presiones o de empuje.
2a
a
a
En la figura, presentamos la distribución de fuerzas de presión
sobre cada una de las dos porciones de la pared.
Aceite
(ρ =900kg/m3)
Agua
b
º
a) Determinamos el empuje sobre cada porción de la pared y el empuje resultante:
F1 = ρ1 g
a
1
ab = ρ1 ga 2b
2
2
F2′ = ( ρ1 ga)ab = ρ1 ga 2b
a
1
F2′′ = ( ρ 2 g )ab = ρ 2 ga 2b
2
2
2
a
3
1
con h2′ = a
2
2
con h¨2′′ = a
3
con h1 =
3
1
1
2
2
2
F = F1 + F2 = ( ρ1 + ρ 2 ) ga 2b = (3ρ1 + ρ 2 ) ga 2b
b) Aplicamos el teorema de Varignon, tomando momentos en A:
HF =
2a
a⎞
2a ⎞
5 ⎞
⎛
⎛
⎛ 11
F1 + ⎜ a + ⎟ F2′ + ⎜ a + ⎟ F2′′ = ⎜ ρ1 + ρ 2 ⎟ ga 3b
3
2⎠
3 ⎠
3 ⎠
⎝
⎝
⎝6
Determinamos la posición H del centro de presiones:
5 ⎞ 3
⎛ 11
⎜ ρ1 + ρ 2 ⎟ ga b 11ρ + 10 ρ
6
3 ⎠
1
2
=
H=⎝
a
1
+
ρ
ρ
3
(3
)
2
1
2
(3ρ1 + ρ 2 ) ga b
A
F1
H
2
y sustituyendo valores, con ρ1 = 0.9 y ρ2 = 1.0, resulta
H=
11× 0.9 + 10
19.9
a=
a = 1.79 a
3 × (3 × 0.9 + 1)
11.1
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F
F2′′
F2′
h1
h¨2′
h¨2′′
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5. El líquido de un depósito de grandes dimensiones se vacía por medio de un tubo horizontal de 250 m de
largo y 20 mm2 de sección, que está situado a 15 m por debajo del nivel del líquido. Sabiendo que la
densidad del líquido es 1 g/cm3 y su velocidad de salida es de 0.467 m/s, calcúlese su viscosidad.
Ec. de Poiseuille: Q =
π r 4 Δp
8η l
(Q, caudal)
S = πr2 = 0.2 cm2
Datos:
v = 4.67 cm/s
15 m
l = 250 m = 25×103 cm
20 mm2
h = 15 m = 1.5×103 cm
250 m
Calculamos el caudal, el radio del tubo de desagüe y la caída de presión en el tubo:
Q = Sv
= 0.934 cm3/s
r = S / π = 0.2 / π = 0.25 cm
Δp = ρ gh = 1× 980 ×1.5 × 103 = 1.470 ×106 barias
Aplicamos la ecuación de Poiseuille:
Q=
π r 4 Δp
π r 4 Δp π × 0.254 ×1.47 ×106
→ η=
=
= 0.1 P = 10 cP
8η l
8Ql
8 × 0.934 × 25 ×103
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