Tarea recopilada por : Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz 1

ESCUELA DE BACHILLERES “SALVADOR ALLENDE”
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
MATEMÁTICAS III (PROGRAMA SINTÉTICO)
Tercer Semestre
Asignatura: Geometría euclidiana y trigonometría
Créditos: 8
Horas de teoría: 3
Horas de práctica: 1
Horas de Lab : 1
Objetivo:
Al finalizar el curso el alumno comprenderá los conceptos y resultados fundamentales de la Geometría
Euclidiana y de la trigonometría sobre triángulos en relación con paralelismo, congruencia, semejanza
y las funciones trigonométricas. Se espera que el alumno relacione el conocimiento teórico con la
aplicación práctica de los criterios de semejanza y trigonometría para que confirme la validez de lo
aprendido en el aula.
Contenido programático por unidad
Unidad I. Geometría Euclidiana (40 horas)

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
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
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
Puntos, rectas, segmentos y rayos
Definición de ángulo y triángulo
Copiar un segmento, un ángulo y un triángulo dado
Bisecar un ángulo dado
Construcción de una paralela a una recta dada
Dividir un segmento en n partes iguales.
Construir el punto medio de un segmento dado
Construir una perpendicular a una recta dada.
Construir la mediatriz de un segmento
Construcciones de puntos y líneas importantes en un triángulo
Construcción del teorema – meta.
Concepto de congruencia.
Congruencia de triángulos. Postulados
Demostraciones.
Razones y proporciones.
Concepto de semejanza.
Semejanza de triángulos. Postulados
Demostraciones.
Solución de problemas con aplicación de los conceptos de congruencia y semejanza.
Polígonos (clasificación y teoremas acerca de polígonos)
Circunferencia (radio, diámetro, tangente, etc.)
Tipos de ángulos dentro de la circunferencia
Teoremas en la circunferencia.
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
Unidad II. Trigonometría (40 horas)


Ángulos
 Positivos, negativos y coterminales
 Unidades y sus conversiones
Razones trigonométricas
 Razones trigonométricas




Valores exactos de las razones trigonométricas en 0 ,
   
, , , y sus múltiplos
6 4 3 2
Triángulo rectángulo
 Resolución de triángulos rectángulos.
 Problemas de aplicación.
Triángulo oblicuángulo
 Resolución de triángulos utilizando Ley de Senos
 Resolución de triángulos utilizando Ley de Cosenos
 Planteo y resolución de problemas de aplicación
Funciones trigonométricas
 Concepto
 Gráfica de funciones trigonométricas simples
 Gráficas de funciones trigonométricas compuestas
 Identidades trigonométricas
 Ecuaciones Trigonométricas
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
Unidad I. Geometría Euclidiana
Definiciones básicas
(Puntos, rectas, segmentos y rayos, Definición de ángulo y triángulo)
Resuelve los siguientes problemas y señala la respuesta correcta. Debes Justificar.
2) x = ?
1) x = ?
145º
a. 145º
b. 90º
c. 72.5º
d. 45º
e. 35º
3) x =
?
a. 30º
b. 45º
c. 75º
d. 90º
e. 105º
5) x =
60º
?
a. 30º
b. 60º
c. 90º
d. 120º
e. 150º
a
xº
aº
a. 180 – a - b
b. 2a
c. 180 -2 a
d. 180 - a
e. 180+ 2a
aº
xº
aº
6) x = ?
xº
bº
?
a. 45º
b. 60º
c. 90º
d. 180º
e. 360º
9) x =
45º
?
a. a
b. 90º
c. 90 - a
d. 180 - a
e. 180+ a
4) x = ?
xº
a. 90º
b. 180º - a - b
c. a + b - 180º
d. – a - b
e. a + b
7) x =
Xº
a. 18º
b. 72º
c. 90º
d. 108º
e. 128º
xº
72º
8) x = ?
xº
xº
xº
xº
2xº
xº
xº
2xº
a. 30º
b. 40º
c. 50º
d. 60º
e. 100º
10) x = ?
xº
100º
50º
35º
Xº
a. 35º
b. 45º
c. 55º
d. 65º
e. 90º
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
Resuelve lo que se te pide en cada pregunta.
1) x = ?
x
2) MQ; bisectriz del <RMP.
MO bisectriz del< NMP.
< QMO = ?
2x
P
x
Q
3x
O
2a
a
R
3) RO perpendicular con OP;
x : y = 1 : 4; <POQ = ?
M
N
4) RU: bisectriz del <VRS.
RT: bisectriz del <URS.
<URT = ?
R
Q
U
T
V
y
60º
x
O
P
W
5) a y b son ángulos
complementarios; c = ?
R
S
6) x = ?.
130º
c
a
2x
b
x+10
7) x = ?
8) L1 // L2; x = ?
L1
L2
x+20
30º 70º
L1
38º
x- 10
L2
x+27
9) L1 // L2; x = ?
10) P // Q; EF bisectriz; < x= ?
x
P
x
L1
F
20º
135º
L2
S
T
11) S // T; <x = ?
Q
E
12) P // Q; a - b = 20º; x = ?
M
P
2x
x
a
b
x
Q
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
13) F // G; G perpendicular
con M; x = ?
14) x = ?
5x
T
50º
x
F
G
x
M
15) x = ?
16 ) P // Q; x = ?
x
4x
110º
3x
2x
Q
P
Angulos: Problemas Verbales
Resuelve los siguientes problemas verbales, construyendo la figura cuando sea necesario.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Determina el complemento de 72º.
¿Cuál es el suplemento de 139º?
Si 36º es el complemento del suplemento de x. ¿Cuántos grados mide x?
¿Cuántos grados resultan si al complemento de 37º se le suma el suplemento de 93º.
Determina el ángulo que es el triple de su complemento.
Determina el ángulo que es la cuarta parte de su suplemento.
Dos ángulos son complementarios y el mayor es 5 veces el menor. ¿Cuánto mide el ángulo menor?
Si x e y son ángulos adyacentes y x tiene 27º más que y. ¿Cuánto mide x?
Un ángulo tiene 35º menos que otro ángulo cuyo complemento es 12º. ¿Cuánto resulta de sumar dichos
ángulos?
10. Determina el complemento de 42º18'.
11. Determina el suplemento de 154º27'42''.
12. Si el suplemento de un ángulo es 113º26'14'', determina dicho ángulo.
13. Si m = 92º35'14'' y n = 27º47'32'', ¿cuánto es m + n?
14. Un ángulo recto se divide en razón 1:2:3. ¿Cuál es la diferencia entre el ángulo mayor y el ángulo menor
de esta división?
15. El complemento de un ángulo de 47º es (ß - 30)º. ¿Cuánto vale ß?
16. Si la diferencia entre dos ángulos complementarios es 22º. ¿Cuál es la diferencia entre sus complementos
respectivos?
17. A la cuarta parte de un ángulo se le suma su tercera parte resultando 7º. ¿Cuánto mide el ángulo?
18. El doble de un ángulo es la cuarta parte de su complemento. ¿Cuánto mide el ángulo?
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
Encuentra el valor del ángulo según la figura, no olvides justificar tus respuestas.
1) RT = RS = PS; <x = ?
R
2) DF = BF; AC // DE; x + y = ?
E
T
x
S
4) AC = BC; a = 2b; x = ?
x
D
α
10
A
60
B
D
β
35
B
6) x=
x
α+β
D
B
36
A
1) <CAB = ?
D
A
5) <CAF = <FAD = <DAB; EF
perpendicular a BC; x = ¿ E
C
x
F
C
E
70
C
Fx
Q
FE;
<ABC = ?
F
a
A
P
C
y
3) AC // DE; BC // DF; AB //
) <QPR = ?
β
α
B
x=?
C
R
x
80º
40º
72º
A
125º
B
158º
P
136º
Q
6) x = ?
5) x = ?
81º
7) x=?
6) x = ?
87º
132º
x
x
x
70º
x
32º
7) x+y = ?
8) x = ?
9) <ABC
C
y
140º
x
x
3x
105º
x
Tarea recopilada por : Mat. Apl. Rita Ochoa xCruz
x
A
2x
B
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ESCUELA DE BACHILLERES “SALVADOR ALLENDE”
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
Triángulos: Problemas Verbales
1. Encuentra la medida del tercer ángulo interior de un triángulo, si la medida de los otros dos son:
a) 67 y 47
b) 22 y 135
c) a y 2a
2. Determina el valor de x si los ángulos interiores de un triángulo son x, 2x y 3x.
3. En un triángulo isósceles, el ángulo exterior del vértice mide 70º. Cuánto miden los ángulos interiores de la
base?
4. El ángulo CAB de un triángulo ABC cualquiera mide 52º; si el ángulo ABC es tres veces mayor que el
ángulo ACB. ¿Cuánto mide el ángulo ACB?
5. En un triángulo rectángulo los ángulos agudos están en la razón de 5:4. ¿Cuánto miden estos ángulos?
6. En un triángulo isósceles, un ángulo basal tiene 18,5º más que el ángulo del vértice. Calcula los ángulos
interiores del triángulo.
8. En un triángulo ABC cualquiera, el ángulo CAB tiene 15º más que el ángulo CBA y éste 12º más que el
ángulo ACB. Determina el valor de los ángulos exteriores de este triángulo.
9. En un triángulo isósceles, la suma de uno de los ángulos exteriores de la base con el ángulo exterior del
vértice es 243ª. Calcula la medida del ángulo interior del vértice.
10. En un triángulo un ángulo mide 47º y el segundo tiene 17º más que el tercero. Calcula la medida de los
ángulos interiores del triángulo.
11. El ángulo ABC de un triángulo ABC cualquiera mide 56º. Si los ángulos CAB y ACB están en la razón
3:2, ¿cuál es el valor del ángulo ACB?
12. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos tiene 20º más que el otro. ¿Cuánto miden los
ángulos agudos?
13. En un triángulo cualquiera, un ángulo interior tiene 20º más que otro, pero 35º menos que el tercero.
¿Cuánto miden los ángulos interiores de este triángulo?
14. En un triángulo cualquiera los ángulos exteriores están en razón de 2:3:4. ¿Cuánto miden los ángulos
interiores de este triángulo?
15. En un triángulo uno de los ángulos es el 50% de uno de los otros dos y el 33 1/3 % del tercero. Determina
la medida del ángulo menor de este triángulo.
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
Trazos
CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS
Las construcciones indicadas en los siguientes problemas deben hacerse con regla y compás
únicamente, en hojas blancas o en hojas de papel albanene. Tome el segmento anterior como su unidad.
 Trácese una recta horizontal en la parte superior de una hoja de papel. Utilizando la longitud del segmento
que aparece mas adelante, márquese una escala, con el compás, de al menos 10 unidades de largo. Utilice
la escala cuando sea necesario para resolver los problemas que siguen.
 Constrúyase triángulos cuyos lados tengan las longitudes dadas a continuación:
a) 5,6,8
b) 3,5,7
c) 4,4,5
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
 Dibújese un triángulo obtusángulo cualquiera y trácese la bisectriz de cada uno de sus ángulos.
 Dibuje un triangulo escaleno cualquiera Δ ABC. Copie el triángulo a una rayo dado.
 Construya un triángulo equilátero con un lado de longitud 5.
 Construya un triángulo isósceles con la base de la longitud 8 y dos lados congruentes de longitud 5.
 Trace un cuadrilátero cualquiera. Copie éste a un lado de un rayo dado.
 Construir un triángulo rectángulo isósceles.
 Construir un rombo, dadas las longitudes de sus diagonales.
 Construir un paralelogramo, si se dan uno de sus ángulos, la longitud del lado más corto y la longitud de
la diagonal más larga.
 Construir un ángulo de 60°
 Construir un ángulo de 30°
 Construir un ángulo de 15°
 Construir un ángulo de 75°
 Construir un triángulo isósceles, si se dan la base y la altura correspondiente.
 Trisecar un segmento dado.
 Construir un segmento de longitud √2, √3, y √6.
 Construir un triángulo rectángulo dado un ángulo agudo y la longitud de la hipotenusa.
 Construir un triángulo equilátero, dado un segmento cuya longitud es igual al perímetro del triángulo.
 Construir un triángulo equilátero dada su altura.
 Construir un rombo, dado un ángulo y un segmento cuya longitud sea igual a la longitud del rombo.
 Construir un paralelogramo, si se dan un ángulo agudo, un lado y la diagonal más larga.
Líneas y puntos importantes del triángulo
 Construir un triángulo equilátero. Después, constrúyanse sus circunferencias circunscrita e inscrita.
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
 Construya un triángulo rectángulo isósceles. Después, constrúyanse sus circunferencias circunscrita e
inscrita.
 Construya un triángulo escaleno. Después, constrúyanse sus circunferencias circunscrita e inscrita.
 Circunscribir una circunferencia a un cuadrado dado.
 Dado un rombo construya su circunferencia circunscrita
 Construir un triángulo rectángulo dado un ángulo agudo y el radio de la circunferencia circunscrita.
 Construir un triángulo isósceles si se dan la base y el radio de la circunferencia inscrita.
 Construir un triángulo rectángulo isósceles, dado el radio de la circunferencia circunscrita.
 Construir un triángulo rectángulo, si se dan un ángulo agudo y el radio de la circunferencia inscrita
Congruencia



Concepto de congruencia.
Congruencia de triángulos. Postulados
Demostraciones. Buscar tarea en algún libro
Semejanza
 Razones y proporciones.
 Concepto de semejanza.
 Semejanza de triángulos. Postulados
 Demostraciones.
 Solución de problemas con aplicación de los conceptos de congruencia y semejanza.
Esta tarea esta en hojas aparte, pues están hechas en PDF Hay dos tareas verificar, archivo aparte
Polígonos

Polígonos (clasificación y teoremas acerca de polígonos)
1. ¿Qué es un polígono?
2. Escribe el nombre de cada polígono según el número de lados o su número de lados según su nombre:
a) 3 lados _____________
b) 4 lados _____________
c)_______ Pentágono
d) 6 lados _____________
e)_______ Heptágono
f) 8 lados _____________
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
g)_______ Icoságono
h) 9 lados_______________
i)_______ Dodecágono
j) 10 lados_______________
k)_______Endecágono
l) 15 lados ___________
3. Completa la siguiente tabla.
POLÍGONO
CARACTERÍSTICAS
EQUILÁTERO
Polígono que tiene sus ángulos iguales.
CONVEXO
Polígono que tiene ángulos internos entrantes.
Es el que es a la vez equilátero y equiángulo.
IRREGULAR
4. Completa la siguiente tabla de acuerdo a las definiciones de los conceptos de polígonos regulares y a lae figura.
C1
Sea ABCDE un polígono inscrito en C1
y circunscrito en C2.
C2
CONCEPTO
DEFINICIÓN
EN LA FIGURA
CENTRO
Es el segmento que une el centro con un vértice del polígono.
OA y OE
AOE
APOTEMA
BD
Ángulo formado por cada dos lados consecutivos del polígono.
HAE
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
5. Relaciona las siguientes columnas (para cualquier polígono regular de n lados)
2rt = dos ángulos rectos = 180°
CONCEPTO
FÓRMULA
n(n  3)
2
2rt (n  2)
(2)
n
360
(3)
n
(
) Ángulo central (x)
(
) Ángulo interno (i)
(
) Ángulo externo (e)
(
) Suma de los ángulos internos (Si)
(4)(n  3)
(
) Número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice (d)
(5)4rt
(
) Número total de diagonales que pueden tazarse desde todos los vértices (D)
(6)
(
) Suma de los ángulos externos (Se)
(7)2rt(n  2)
(1)
360
n
6. De acuerdo a las propiedades de los polígonos contesta las siguientes preguntas.
1) Si la suma de los ángulos interiores de un polígono regular es de 1260° ¿Cuál es el polígono?
2) ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior es de 135°?
3) ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice de un icoságono?
4) Determina el número total de diagonales que pueden trazarse en un endecágono regular.
5)¿Cuál es el polígono en el que pueden trazarse 20 diagonales en total?
6) ¿Cuánto vale cada ángulo interior de un pentadecágono?
7) ¿Cuánto suman los ángulos externos de un decágono regular?
8) ¿Cuál es el polígono que tiene 12 diagonales más que lados?
9) ¿Qué polígono tiene el doble número de diagonales que de lados?
10) ¿Qué polígono tiene 25 diagonales más que lados?
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
Cuadriláteros: Problemas Verbales
1. En un trapecio rectángulo la medida de uno de sus ángulos interiores es 58º. ¿Cuánto miden los otros
ángulos interiores? 2. En un romboide la medida de uno de sus ángulos exteriores es 137º. Determina la
medida de todos los ángulos interiores de ese romboide.
3. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado cuya diagonal mide 12 cm.?
4. Determina la diagonal del rectángulo cuyos lados miden 5 cm. y 12 cm.
5. Determina la suma de las diagonales del cuadrado cuyo lado mide 8 cm.
6. Señala el tipo de triángulo que se determina al trazar las diagonales de un cuadrado.
7. Completa la siguiente tabla:
Propiedad
Cuadrilátero(s) que cumple(n) dicha
propiedad
Diagonales iguales
Todos sus lados iguales
Lados opuestos iguales
Sus diagonales se dimidian
Diagonales perpendiculares
Ángulos opuestos iguales
Sus diagonales son bisectrices
Una diagonal dimidia a la otra y viceversa
Todos sus lados desiguales
Sólo dos ángulos interiores congruentes
La suma de sus ángulos exteriores es 360º
Sin ángulos interiores congruentes
9. En un rombo, una diagonal es el doble de la otra. Determina el perímetro del rombo sabiendo que la
diagonal menor mide 6 cm.
10. Dos cuadrados de 80 cm. de perímetro se unen de manera que forman un rectángulo. Determina la medida
de la diagonal del rectángulo formado.
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA
I. Completa la siguiente tabla de acuerdo a las fórmulas de perímetro y área de cada figura.
NOMBRE
FÓRMULAS
TRIÁNGULO
P=
Elementos (a,b,c)
A=
Elementos (b y h)
A=
Elementos (a,b,c)
CUADRADO
P=
Elementos
A=
Elementos
FIGURA
PARALELOGRAMO
A=
Elementos (B,b,h)
ROMBO
P=
Elementos
A=
Elementos
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ESCUELA DE BACHILLERES “SALVADOR ALLENDE”
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
POLÍGONO IRREGULAR
P=
Elementos
A=
Elementos
P=
Elementos
A=
Elementos
CIRCUNFERENCIA
Longitud =
Elementos
CÍRCULO
A=
Elementos
2. Obtén el perímetro y área de cada una de las siguientes figuras, en el caso de las figuras con área sombreada solo
obtén el perímetro y área de la misma.
Área:________
Perímetro:_______
Área:_______
Perímetro:________
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
Área: ________
Perímetro: ______
Área:_____
Área: ________
Perímetro:__________
Perímetro: ________
Circunferencia



Circunferencia (radio, diámetro, tangente, etc.)
Tipos de ángulos dentro de la circunferencia
Teoremas en la circunferencia.
1. Define los siguientes conceptos e ilustrarlos.
a) Circunferencia
b) circulo
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
2. Completa la siguiente tabla con respecto a las definiciones presentadas y a su representación en la gráfica.
Concepto
Definición
En la figura
Radio
Segmento determinado por dos puntos de la
circunferencia.
BC
Secante
Cualquier recta que toque a la circunferencia en un
punto y sólo uno.
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA
3. Completa la siguiente tabla.
Clase de ángulo
Figura
Fórmula
Ángulo central
B 
Semi - inscrito
1
AC
2
CBA 
1
AB
2
Interior
A 
1
BC  DE 
2
A 
1
BC  BD 
2
Formado por dos
tangentes
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
Resuelve los siguientes ejercicios, considerando siempre el punto O como centro de la circunferencia:
1) x = ?
2) x = ?
3) <ABC 60º, AB
diámetro; x = ?
C
30
40
x
O
x
x
O
4) <CAO = 20º;
<AOB = 100º;
x=?
O
A
5) <BOC = 140º
<ABC = 80º;
<OAB = ?
B
6) <OCB = 55º;
x=?
C
B
A
B
x
x
A
O
O
B
O
C
A
C
7) AB//CD; <COE = 30º;
<EOD = 70º;
<DOB = ?
8) Recta AB tangente;
<AOC = 110º;
x=?
9) <CAB = 50º;
<ABO = 30º;
x=?
C
x
O
A
B
x
C
O
C
B
x
D
E
A
A
10) Los arcos MN, NP,
y PQ son iguales;
<MOP = 100º;
<PRQ = ?
.
O
11) Los arcos MN, NP = 120º;
y PQ son iguales; <MOQ,
<MRP = ?
B
12) <PQR = 34º;
<POR = ?
R
R
Q
R
O
O
O
Q
Q
M
M
P
P
N
Tarea recopiladaP por : Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz
N
21
ESCUELA DE BACHILLERES “SALVADOR ALLENDE”
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
Tarea recopilada por : Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz
22
ESCUELA DE BACHILLERES “SALVADOR ALLENDE”
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
13) OS//QP;
<PQR = 30º ;
<SOP = ?
14) OA = AB; x = ?
15) Los arco AB, BC
y CA son iguales
x + 2z = ?
C
C
Q
O
x
z
O
O
B
A
P
B
x
R
A
S
16) z = 100º; x + y = ?
17) <SOD = 140º;
<LSD = 80º; x = ?
18) <MPQ = 20º; x = ?
A
Q
M
x
L
D
x
z O
O
C
O
x
x
B
19) ¿Qué parte del circulo
representa el sector OBA?
N
P
S
20) x = ?
A
O
O
x
20
B
B
40
4) <COB = 120º;
<AED = 85º; x = ?
5) AB tangente;
<AOB = 70º
C
D
C
x
x
O 120
A
E
B
O
B
x
O
A
A
B
9) ABC triángulo
equilátero;
rectas DA y DC
tangentes, x = ?
Tarea recopilada por : Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz
23
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
10) AB tangente; <AOB = aº;
x=?
11) AB diámetro; <OCB = 55º;
x=?
C
B
O
C
x
x
A
O
B
A
PERÍMETRO Y ÁREA (ejercicios extra)
1) ABCDEF exágono regular,
AB = 4 cm
E
puntos medios, BN = 3 cm.
D
B
las 8 semicircunferencias iguales.
N
A
B
M
4) AC = AB, <CAB recto,
BC = 10 cm.
C
C
D
A
C
Q
3) ABCD cuadrado de lado 12 m.,
D
P
D
C
F
A
2) ABCD cuadrado, M, N, P, Q,
M
A
B
5) AC y AB tangentes,
radio de la circunferencia 4 m.,
<CAB = 60º
C
B
E
6) ABCD cuadrado de 6 cm de lado,
ABE triángulo equilátero.
B
C
E
A
O
D
A
B
7) ABC triángulo equilátero,
8) AB
CD, OB = 10 cm.
D, E y F puntos medios,
D
Tarea recopilada por : Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz
24
A
O
E
B
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
AB = 4 cm.
C
D
F
A
B
E
9) ABCD cuadrado, AB = 6 cm.,
A es centro de los arcos BD y EC.
D
10) La figura representa un cuadrado de
lado 24 cm.
C
E
A
B
11) ABCD cuadrado, BC = 6 m.,
12) A, B, C y D puntos
cada lado está dividido en
tres medios de los lados del
partes iguales.
cuadrado.
BC =
D
C
D
cm.
A
C
B
A
15) Cuadrado de lado 12 cm.
B
16 Cuadrado de lado 8 cm.
CD =
D
C
A
B
17) Semicircunferencias congruentes
de 6 cm. de diámetros
18) Circunferencia de
radio 4 cm.
perpendiculares entre sí
AB y AC tangentes,
<BAC = 60º.
B
Tarea recopilada por : Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz
25
ESCUELA DE BACHILLERES “SALVADOR ALLENDE”
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
A
20) Circunferencia de radio
8 cm. y
C
19) Cuadrado de lado 12 m.
hexágono regular circunscrito.
Ángulos
1. Teoría. Los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales y radianes. Un ángulo de 1 radián es aquel cuyo
arco tiene longitud igual al radio.
- 360º = 2  radianes (una vuelta completa)
- 180º =

radianes (media vuelta)
- Un ángulo de 1 radian tiene
180

- Un ángulo recto mide
- Como 180º =


2
radianes (un cuarto de vuelta)
rad, resulta que 1º =

180
rad
= 57,29578 grados = 57º 17’ 45”
Para transformar de una unidad a otra, usamos la regla de tres:
180º  rad
 ejemplo: 40º a rad

xº
y
40º  rad 4 rad 2 rad
180º  rad
 y=



180º
18
9
40º
y
2. Convierta de grados a radianes y viceversa según sea el caso.
1. 60°
2. 90°
3. 120°
5. 71.72°
6. 11.83°
7. 61°24’



9. 6
10. 4
11. 10
7
13
15. 2
13. 9
14. 20
4. 150°
8. 75°30’
3
12. 5
16. 1.3
3. Calcular el COMPLEMENTO de los siguientes ángulos, exprese el resultado en radianes.
39º
87º13’
17º16”
42º24’35”
69º7’19”
4. Calcule el SUPLEMENTO y exprese el resultado en grados o radianes:
27º37’15”
4.5 radianes
68º13’45”
1.58 radianes
45º27’
143º19’45”
Transformar los siguientes ángulos según indique en cada caso.
Tarea recopilada por : Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz
26
ESCUELA DE BACHILLERES “SALVADOR ALLENDE”
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
1) 35º59’59”=______rad.
2)
3
rad.  __º ___' ___"
5
3) 750º=______rad.
4)
14.5rad.  __º ___' ___"
5)

4
rad.  __º ___' ___"
6) 124º19’35”=____rad.
7) Determinar el suplemento de 159º17’. Expresar su resultado en radianes.
8) Calcular el complemento de

6
rad . Expresar su resultado en grados.
9) Determinar el suplemento de 1.27 rad. Expresar su resultado en grados
10) Calcular el complemento de

12
rad . Expresar su resultado en grados
6. Utilice la fórmula de longitud de arco ( s ) apropiada para encontrar la información que falta.
s
s


r
r
1.
2 pulg
25 radianes
2.
1cm
70 radianes
3.
1.5 pies
4.
2.5
cm


4 radianes
3 radianes
5.
3m
1m
6. 4 pulg
7 pulg
7.
40 cm
20°
8.
5 pies
18°
Ejemplo aplicación
Tarea recopilada por : Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz
27
ESCUELA DE BACHILLERES “SALVADOR ALLENDE”
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
1) ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las cuatro y media en punto? Y a las 10:20 hrs.?
2) Halla el radio r de una rueda que gira 300 vueltas por minuto impulsada por una correa que se mueve a 45 m/s.
3) La rueda de un vehículo tiene un diámetro de 90 cm. ¿Cuántas vueltas da aproximadamente por minuto cuando
viaja a 120 km/h?
4) Faltan algunos ejercicios.

Razones trigonométricas
 Razones trigonométricas

Valores exactos de las razones trigonométricas en 0 ,  ,  ,  ,  y sus múltiplos
6 4 3 2
1. Para un triángulo rectángulo ABC, defina las razones trigonométricas.
2. En los siguientes triángulos rectángulos, calcula las seis razones trigonométricas para sus
ángulos agudos. Suponga que los triángulos son triángulos rectángulos.
a)
b)
Tarea recopilada
por : Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz
10
2
1,5
28
ESCUELA DE BACHILLERES “SALVADOR ALLENDE”
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE
6



3. Con una calculadora encuentre el valor numérico de la función y/o el ángulo, según sea el caso.
a) sen 23,57º =
b) cos 73,39º =
c) tg 7,12º =
d) sen A = 0.345
e) cos B =0.987
c) tg C = 0.65
4. Algunos valores de las funciones trigonométricas los puedes calcular directamente sin usar calculadora.
Calcula según la figura y luego comprueba con tu calculadora.
a.
b.
c.
d.
e.
sen 30º
cos 30º
sen 60º
cos 60º
¿es necesario conocer las medidas del triángulo?
a
h
a
a
5. Repita el ejercicio anterior pero ahora utilice un ángulo de 45°. Haga una figura para guiarse.
sen
6. Si se sabe que tg 
. Calcule, sin usar calculadora, los valores de la tangente para los
cos 
ángulos dados en los ejercicios anteriores.
1
1
1
7. Si se sabe que cosec  =
, sec  =
y cotg  =
. Calcule, sin usar calculadora los
sen
cos 
tg 
valores de la cosecante(cosec), la secante (sec) y la cotagente (cotg) para los ángulos
usadosantes.
8) Utiliza una calculadora y encuentra las razones trigonométricas de los ángulos: 0º, 25º,45º,70º y 85º. ¿Entre
qué valores varía el seno y el coseno?
9) Utiliza tu calculadora para encontrar los valores aproximados de las razones trigonométricas de
los siguientes ángulos:
a) 19º
b) 34º12`32``
c) 55º
d) 12,5º
10. Utilizando el plano cartesiano encuentra las funciones trigonométricas de los triángulos OPA,
donde O es el origen, P, el punto dado y A la intersección del segmento perpendicular a X y que
pasa por P. Diga los ángulos agudos de cada triángulo.
a) P( 2, 5)
f) P( 6, - 8)
b) P( - 2, 3)
g) P( 10, - 6)
c) P( 2, - 6)
h) P( - 5, - 4)
d) P( - 4, -3 )
e) P( 12, 5)
Tarea recopilada por : Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz
29
ESCUELA DE BACHILLERES “SALVADOR ALLENDE”
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
TERCER SEMESTRE
Diga los signos de la RT en cada uno de los cuadrantes. Justifique.
11. Sí él Cos B  0.25 , construye un triángulo rectángulo y determina el valor de las funciones
para el ángulo B.
12. Sí la Tan A 0.75 , construye el triángulo rectángulo y determina el valor de las funciones
del ángulo A.
5
13. Dado el Cos A   , hallar los valores de las demás funciones del ángulo A.
7
8
14.Dada la Sec B   , hallar los valores de las demás funciones del ángulo B.
3
3
15. Si el Sen A   y el ángulo A se localiza en el tercer cuadrante, calcular el valor de las demás
5
funciones trigonométricas.
3
16. Si la Cot B  
y el ángulo B pertenece al cuarto cuadrante, calcular el valor de las demás
2
funciones trigonométricas.
17.Diga de dónde “salen” y muestre los dos “triángulos mágicos”.
18. En una tabla coloque los valores de las RT de los ángulos     y sus multiplos.
0,
, , ,
6 4 3 2
19. Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones.
a) sen 2 30  sen 2 45 
b)  2 sen 2 45 cos 2 45 
3
c) cos 3 60  tan 2 30  2 sen 4 60  2 cot 45 
4
1
d) 3 tan 2 45  cot 2 30  sen 2 60 
2
20. Completa la siguiente tabla:
x
120
150
210
1
1
sin x
3
2
2
2
1
cos x
 3
2
2
tan x
240
 3
2
300
 3
2
330
1
2
cot x
sec x
csc x
Material recopilado por: Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz – Presidente de Academia
30
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
TERCER SEMESTRE

Triángulo rectángulo


Resolución de triángulos rectángulos.
Problemas de aplicación.
Los de secundaria.
En las siguientes figuras, calcula el valor de las incógnitas, aplicando el teorema de Pitágoras.
Resuelve los siguientes problemas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Calcula la altura de un triángulo isósceles, si su base mide 60cm y cada uno de los lados iguales 50cm.
Calcula la altura de un triángulo equilátero que mide 10m por lado.
¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de 5m por lado?
¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 8m?
¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo de 28m de largo 21m de ancho?
¿A que altura lega una escalera de 10m de largo en un muro vertical si su pie está a 3m del muro?
Si el lado de un hexágono regular mide 16 cm ¿Cuánto mide su apotema?
Un terreno rectangular de 4000m de largo por 3000m de ancho tiene en medio una colina que no permite una
medición directa ¿Cuál es la longitud de su diagonal?
9. Para sostener la torre de la antena de una estación de radio de 72m de altura se desea poner tirantes de 120m
para darle mayor estabilidad ¿A que distancia del pie de la torre deben fijarse los tirantes para que queden
completamente tensos y sujetados desde la parte más alta de la torre?
10. Las tres bases a que se sujetan los cables que sirven para la estabilidad de un poste están situadas a 36m
del pie del poste. Calcular la longitud de los cables, si el poste tiene una altura de 48m.
I) Resolver los triángulos rectángulos para los datos dados. Usa calculadora. Haga una figura por cada ejercicio.
a)  = 24º y c =16.
B – Presidente de Academia
Material recopilado por: Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz
31
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
TERCER SEMESTRE
b) a = 32.46 y b = 25,78
c)  = 24º y a =16
d)  = 71º , c = 44
e) a = 312,7 ; c = 809
f) b = 4.218 ; c = 6.759
g)  = 81º12’ ; a = 43,6

c
a
C

b
A
Material recopilado por: Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz – Presidente de Academia
32
ESCUELA DE BACHILLERES “SALVADOR ALLENDE”
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
TERCER SEMESTRE
3
.
4
.
5
.
6
.
7
.
Material recopilado por: Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz – Presidente de Academia
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ESCUELA DE BACHILLERES “SALVADOR ALLENDE”
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
TERCER SEMESTRE
8. Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol justo
enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a
un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestra orilla?
9. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior
con un ángulo de 30 grados y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.
10.
11.
12.
13.
14.
Material recopilado por: Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz – Presidente de Academia
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
TERCER SEMESTRE
15.
16. Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a lados
opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27 grados y 48 grados. Si la
distancia entra las cuñas es de 50 m. ¿cuánto cable se ha gastado?, ¿cuál es la altura a la cual están sujetos
los cables?
17. Desde lo alto de una torre de 300 m. de altura se observa un avión con un ángulo de elevación de 15
grados y un automóvil en la carretera, en el mismo lado que el avión, con un ángulo de depresión de 30
grados. En ese mismo instante, el conductor del automóvil ve al avión bajo un ángulo de elevación de 65
grados. Si el avión, el auto y el observador se encuentran en un mismo plano vertical: calcule la distancia
entre el avión y el automóvil, también calcule la altura a la que vuela el avión en ese instante.
1. Encuentre el ángulo de elevación del sol si un hombre de 1,75 m. de estatura, produce una sombra de 82 cm. de
longitud en el suelo.
2. Desde un punto que está a 12 m. del suelo, un observador obtiene una medición de 53 grados para el
ángulo de depresión de un objeto que se encuentra en el suelo. ¿Aproximadamente qué tan lejos está el
objeto del punto en el suelo que está directamente bajo el observador?
3. El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 48 grados con la horizontal. Encuentre
la altura del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 87 m. y el extremo de la cuerda se sostiene a 1,3
m. del suelo.
4. Un avión vuela a una altitud de 10.000 metros y pasa directamente sobre un objeto fijo en tierra. Un
minuto más tarde, el ángulo de depresión del objeto es 42 grados. Determine la velocidad aproximada del
avión.
5. Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio de 10 m, ve el otro lado de la
misma bajo un ángulo de 60 grados con respecto a la horizontal.
6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y observa el
edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte inferior con un ángulo de
depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.
Material recopilado por: Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz – Presidente de Academia
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
TERCER SEMESTRE
7. Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos P y Q de una orilla, se observa un punto R de la
orilla opuesta. Si las visuales forman con la dirección de la orilla ángulos de 40 grados y 50 grados,
respectivamente, y la distancia entre los puntos P y Q es 30 metros, determine el ancho del río.
8. Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior está a una distancia de 20 cm. sobre el
nivel del ojo de un observador situado a 2 metros de la pared. Si el ángulo que forman las visuales con los
bordes inferior y superior, respectivamente, mide 10 grados, ¿cuál es la altura del cuadro?
9. Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que el pie de la escalera
queda a 1,5 m. de la base de la pared. ¿Cuál es el ángulo que la escalera forma con la pared y hasta qué
altura de la pared llega la escalera?
10. Las longitudes de las sombras de dos postes verticales son 22 m. y 12 m. respectivamente. El primer
poste es 7,5 m. más alto que el segundo. Encuentre el ángulo de elevación del sol y la longitud de cada
poste.
11. ¿Cuál es la altura de una colina, si su ángulo de elevación, tomado desde su base, es 46 grados, y
tomado desde una distancia de 81 m. es de 31 grados?
12. Sobre un arrecife hay un faro cuya altura es de 7,5 m. Desde un punto situado en la playa se observa que
los ángulos de elevación a la parte superior y a la parte inferior del faro son 47 grados y 45 grados. Calcule
la altura del arrecife.
13. Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a lados
opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27 grados y 48 grados. Si la
distancia entra las cuñas es de 50 m. ¿cuánto cable se ha gastado?, ¿cuál es la altura a la cual están sujetos
los cables?
a) Una cabaña de 6m de altura esta localizada a la orilla de una laguna; desde la orilla opuesta, el ángulo de
elevación al techo de la cabaña es de 4º. Calcula el ancho de la laguna.
b) El cordón de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 540 20’ con la horizontal. Encontrar la
altura aproximada del cometa con respecto al suelo, si el cordón mide 86 metros y el extremo del cordón
se sostiene a 1.65 metros del suelo.
c) A medida que un globo se eleva verticalmente, su ángulo de elevación desde un punto P, en el suelo,
situado a 110 Km. del punto Q, que esta directamente bajo el globo, cambia de 190 20’ a 310 50’.
Determinar cuantos Km. se eleva el globo durante ese periodo.
d) Un estadio de fútbol se planea con un ángulo ascendente en las gradas de 18 0 20/ con la horizontal; si
cada 0.79 metros horizontalmente puede haber una fila de asientos y se desean 45 filas ¿Qué altura
deberá tener el estadio?
e) Desde un helicóptero que esta a 1,950 m sobre el centro de una ciudad, el ángulo de depresión a otra
población es de 10° 14’. Hallar la distancia entre las dos poblaciones.
f) Desde un helicóptero que está exactamente sobre el centro de una ciudad, el ángulo de depresión a otra
ciudad es de 10°45’.La distancia entre las dos poblaciones es de 6.3 km. Calcular a que altura se
encuentra el helicóptero.
Material recopilado por: Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz – Presidente de Academia
36
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
TERCER SEMESTRE
g) Desde la punta B de una torre, el ángulo de depresión D de otra torre, que dista 27 m de la primera es de
25°. Si la torre más alta mide 65 m. Calcula la altura de la torre menor.
Material recopilado por: Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz – Presidente de Academia
37
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
TERCER SEMESTRE

Triángulo oblicuángulo

Resolución de triángulos utilizando Ley de Senos y ley de cosenos
Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, calcular su área.
1. Sabiendo que b  50m, A  577' , C  7828'
2. Sabiendo que c  15cm, A  598' , B  1415'
3. Sabiendo que a  41m, c  32.5, A  10110'
4. Sabiendo que a  60m, b  50m, c  70m
5. Sabiendo que a  4m, c  5m, B  120
6. Resolver un triángulo tal que a=4.5 cm., B=30º y C= 78º.
7. Resolver un triángulo sabiendo que a=4.5 cm. B=35º y b=10 cm.
8. Resolver el triángulo con a=2.3 m., b=160 cm. y c= 4 m.
9. Resolver el triángulo a=3 m., b=5 m. y C= 80º.
10. En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un triángulo, mientras que a,
b, g son las medidas de los ángulos opuestos a esos lados, respectivamente. Resuelve el triángulo
en cada caso:
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
a)
a = 10 cm.
b= 12 cm.
 = 35º
b)
a = 7 m.
b = 6 m.
c = 4 m.
c)
c = 10 cm.
 = 40º
 = 70º
d)
a = 12 cm.
b = 16 cm
 = 43º
e)
 = 53º
 = 75º
c = 30,5 cm.
f)
 = 48º
 = 68º
c = 47,2 mm.
Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y se cortan bajo un ángulo de 50º.
Hallar el perímetro del paralelogramo.
Desde un punto seobservan unos chopos con un ánguo de 36º, si avanzamos hacia ellos en linea recta y los
volvemos a observar el ángulo es de 50º. ¿Qué altura tienen los chopos?.
Tres puntos A, B y C están unidos por carrteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., la BC es 9 Km.
y el ángulo que forman AB y BC es de 120º. ¿Cuánto distan A y C?.
Un carpintero debe hacer una mesa triángular de tal forma que un lado mida 2m., otro 1.5 m. y el a´nguo
opuesto al primer lado debe ser 40º. ¿Lo conseguirá?.
Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un ángulo de 38º y cada uno va
por su lado, uno camina a 3 km. por hora y el otro a 3.5 km. por hora, ¿a qué distancia se encuentran al cabo
de media hora?.
Desde los puntos A y B de una misma orilla de un río y separados entre si 12 m., se observan el pie P y la
copa C de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcular la altura del pino, sabiendo que los ángulos miden
PAB=42º, PBA=37º y PAC=50º
La sombra que proyecta un árbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal mide 4,3 m. ¿Cuál es la medida del ángulo
que hace la horizontal con la línea que une los dos puntos extremos, de la sombra y del árbol?
Material recopilado por: Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz – Presidente de Academia
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ESCUELA DE BACHILLERES “SALVADOR ALLENDE”
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
TERCER SEMESTRE
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29.
30.

Un avión sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ángulo constante de 10º hasta que logra una altura
de 6 km. Determina a qué distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento.
Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8 metros del suelo y observa el
edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ángulo de elevación de 35º y la parte
inferior, con un ángulo de depresión de 43º. Determina la altura del edificio de enfrente.
Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º y tienen longitudes de 3 y 8 cm.
Determina la longitud de la diagonal menor.
Determina las longitudes de las diagonales de un paralelogramo, conocidos los lados m y n, y el
ángulo a entre ellos.
Dos hombres están en un llano separados 3000 m uno del otro, observan un helicóptero. Sus
ángulos de
elevación respecto al objeto volador son de 600 y 750. Determinar la altura a
que se encuentra en ese
momento el helicóptero.
Tres circunferencias, cuyos radios miden 115, 150 y 225 cm, son tangentes exteriormente entre si.
Encontrar los ángulos que forman cuando se unen los centros de dichas circunferencias.
Se va a construir un túnel a través de una montaña desde el punto A hasta el punto B. Un punto
C que es visible desde A y B se encuentra a 384 m de A y 555 m de B. ¿Cuál será la longitud del
túnel si el ángulo ACB
mide 350 45/ ?
Un hombre mide el ángulo de elevación de una torre desde un punto situado a 100 m de una ella. Si
el ángulo medido es de 20° y la torre forma un ángulo de 68° con el suelo, determina su altura.
Después de un choque, un poste del alumbrado público no quedó perpendicular al suelo. Su sombra es de 5.5
m cuando el sol es de 68°. Calcula el ángulo de variación de su inclinación si antes del choque proyectaba una
sombra de cinco metros a la misma hora.
¿Cuál es el perímetro y el área del triángulo isósceles cuyo ángulo basal mide 30° y su base mide 25 cm?
En la circunferencia de centro en O y radio 10 cm, el arco AB mide 120°. ¿Cuánto mide la cuerda que lo
subtiende?
Un rombo tiene lados de diez cm, si el ángulo de uno de sus vértices es 65°, calcula la longitud de sus
diagonales.
Una linterna que se encuentra a seis metros de la pared de una casa genera una circunferencia de luz de
diámetro 4.2 metros con la luz que genera ¿Cuál es el ángulo de salida del rayo de luz de la linterna?
Funciones trigonométricas Revisar esto en el Laboratorio de Matemáticas
Concepto Pendiente
Gráfica de funciones trigonométricas simples Pendiente
Gráficas de funciones trigonométricas compuestas Pendiente
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Identidades Trigonométricas Demuestra las siguientes Identidades:
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TERCER SEMESTRE
Ecuaciones Trigonométricas
Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas.
sin x 
1.
3
2
2
sin x 
2
2.
3
cos x 
2
3.
cot 2 x  1
10. tan x  cot x  2
9.
11. 3 cos A 
12.
sen 2 A
sen 2 x  senx  2  0
4.
cos2 x  1
5.
4sin 2 x  3
2sen 2 A  5senA  2
14. 2senx  csc x  3
3(1  senx)
cos 2 x 
2
15.
6.
sin 2 x  2sin x  3  0
16.
7.
2cos2 x  3cos x  1  0
8.
tan 2 x  3
13.
3 tan 2 A  1  sec 2 A
Me Encanta Dios (Jaime Sabines)
Me encanta Dios es un viejo magnífico que no se toma en serio. A él le gusta jugar y juega, y a veces se le pasa la mano
y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente. Pero esto sucede porque es un poco cegatón y bastante torpe
con las manos. Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda, o Cristo, o Mahoma, o mi tía Chofi, para
que nos digan que nos portemos bien. Pero esto a él no le preocupa mucho: nos conoce. Sabe que el pez grande se
traga al chico, que la lagartija grande se traga a la pequeña, que el hombre de traga al hombre. Y por eso inventó la
muerte: para que la vida - no tú ni yo – la vida, sea para siempre.
Ahora los científicos salen con su teoría del Big Bang... Pero ¿que importa si el universo se expande
interminablemente o se contrae? Esto es asunto sólo para agencias de viajes. A mi me encanta Dios. Ha puesto orden
en las galaxias y distribuye bien el tránsito en el camino de las hormigas. Y es tan juguetón y travieso que el otro día
descubrí que ha hecho -frente al ataque de los antibióticos- ¡bacterias mutantes!
Viejo sabio o niño explorador, cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso, hace campos de
flores o pinta el cielo de manera increíble. Mueve una mano y hace el mar, y mueve la otra y hace el bosque. Y cuando
pasa por encima de nosotros, quedan las nubes, pedazos de su aliento.
Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos, y manda tormentas, caudales de fuego, vientos desatados, aguas
alevosas, castigos y desastres. Pero esto es mentira. Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja.
Dios siempre está de buen humor. Por eso es el preferido de mis padres, el escogido de mis hijos, el más cercano de
mis hermanos, la mujer mas amada, el perrito y la pulga, la piedra mas antigua, el pétalo mas tierno, el aroma más
dulce, la noche insondable, el borboteo de luz, el manantial que soy.
A mi me gusta, a mi me encanta Dios. Que Dios bendiga a Dios…
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