Productos notables

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
Productos notables
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Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones
algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la
multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la
resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la
factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados y recíprocamente.
Contenido
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1 Factor común
2 Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio
3 Producto de dos binomios con un término común
4 Producto de dos binomios conjugados
5 Polinomio al cuadrado
6 Binomio al cubo o cubo de un binomio
7 Identidad de Argand
8 Identidades de Gauss
9 Identidades de Legendre
10 Identidades de Lagrange
11 Otras identidades
12 Véase también
13 Bibliografía
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
Factor común
Representación gráfica de la regla de factor común
El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la
propiedad distributiva:
Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del
rectángulo es
(el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como
la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).
Ejemplo
Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio
Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los
cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:
un trinomio de la forma:
, se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:
En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.
Ejemplo
simplificando:
Producto de dos binomios con un término común
Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del
término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se
añade el producto de los términos diferentes.
Ejemplo
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
agrupando términos:
luego:
Producto de dos binomios conjugados
Véase también: Conjugado (matemática)
Producto de binomios conjugados.
Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación.
Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos,
obteniendo una diferencia de cuadrados
Ejemplo
agrupando términos:
A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
Polinomio al cuadrado
Elevando un trinomio al cuadrado de forma gráfica
Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadrados de
cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada
posible par de términos.
Ejemplo
multiplicando los monomios:
agrupando términos:
luego:
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
Binomio al cubo o cubo de un binomio
Descomposición volumétrica del binomio al cubo
Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple
producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el
cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.
Identidades de Cauchy:
Ejemplo
agrupando términos:
Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término,
menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del
primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.
Identidades de Cauchy:
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
Ejemplo
agrupando términos:
Factorización
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Para otros usos de este término, véase Factorización (desambiguación).
En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número
compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños
(factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al
multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en
números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).
La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la
aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema
fundamental del álgebra.
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1 Factorizar un polinomio
o 1.1 Caso I - Factor común
 1.1.1 Factor común monomio
 1.1.2 Factor común polinomio
o 1.2 Caso II - Factor común por agrupación de términos
o 1.3 Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto
o 1.4 Caso IV - Diferencia de cuadrados
o 1.5 Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
o 1.6 Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c
o 1.7 Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n
o 1.8 Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + c
o 1.9 Caso IX - Cubo perfecto de Tetranomios
2 Véase también
3 Enlaces externos
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
Factorizar un polinomio
Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números
reales, si se consideran los números complejos . Existen métodos de factorización, para
algunos casos especiales.
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Binomios
1. Diferencia de cuadrados
2. Suma o diferencia de cubos
3. Suma o diferencia de potencias impares iguales
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Trinomios
1. Trinomio cuadrado perfecto
2. Trinomio de la forma x²+bx+c
3. Trinomio de la forma ax²+bx+c
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Polinomios
1. Factor común
Caso I - Factor común
Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con
el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla
muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo
por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son
positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente
sencillo resolver los factores comunes.
Factor común monomio
Factor común por agrupación de términos
y si solo
si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables
(la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta
con un término, sino con dos.
un ejemplo:
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor
común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
La respuesta es:
En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:
Se puede utilizar como:
Entonces la respuesta es:
Caso II - Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos
características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.
Un ejemplo numérico puede ser:
entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
Aplicamos el caso I (Factor común)
Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el
restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para
solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de
primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz
cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el
signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al
cuadrado.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
Organizando los términos tenemos
Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis
separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy
determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.
Caso IV - Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se
resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno
negativo y otro positivo.
O en una forma más general para exponentes pares:
Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente,
el resultado nos da r+1 factores.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.
La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz
cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.
Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante
hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces , el
valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están a modo de aclaración visual.
Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de
ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se
colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como
resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como
resultado el término del medio.
Ejemplo:
Ejemplo:
Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n
La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre
que n sea un número impar):
Quedando de la siguiente manera:
Ejemplo:
La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar.
Quedando de la siguiente manera:
Ejemplo:
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta
generalización.
Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + c
En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la
letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer
término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:
Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica el término independiente por el
coeficiente del primer término(4x2) :
Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el
término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :
Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado
en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :
Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2 :
:
Queda así terminada la factorización :
:
Caso IX - Cubo perfecto de Tetranomios
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:
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