Clase 4

Dinámica Relativista
Debido a que las leyes de las física deben ser invariantes frente a
transformaciones de Lorentz, se deben generalizar las leyes de Newton y las
Definiciones de energía y momentum tal que sean compatibles con el principio de la
Relatividad. Además estas definiciones generalizadas deben reducirse a las
Definiciones newtonianas en el límite de bajas velocidades. (v<<c)
Los conceptos primarios de la dinámica son la energía y el momentum
Momentum clásico
r
r
p = mv
En un proceso de colisión el
momentum total es una cantidad conservada
r
r
r
r
P1I + P2 I = P1F + P1F
Ahora si nos pasamos a un segundo sistema
de referencia s’, usando las TL. Vemos que el
Momentum en S’ no se conserva
S
En virtud del principio de la Relatividad nos vemos en la obligación de
modificar nuestra definición de momentum
El momemtum debe conservarse en todos los choque
Esta nueva definición debe aproximarse al valor clásico a velocidades pequeñas
NUEVA DEFINICIÓN
r
P=
Límite Clásico
r
mv
v2
1− 2
c
r
= mγ v v
Se conserva en todos los SRI
Demuéstrelo Tarea sólo para valientes
r
 r

  1  v2 
r
mv


lim 
=
1
+
+
...
m
v
≈
m
v

 
 c2 
2
2
v << c
2
 
 1− v / c  

Newton para los más lentos
La fuerza Relativista
r
r dP
F=
dt
Tarea: Una partícula tiene una carga q y se mueve a una velocidad v a lo largo de una línea
recta en un campo uniforme E. Si el campo electrico y el movimiento están ambos en
la dirección del eje x.
2
dv
qE
v
a) Muestre que la aceleración de la partícula en la dirección x es a =
=
(1 − ) 3 / 2
dt
m
c2
b) Discuta la importancia del hecho que la aceleración dependa de la velocidad
c) Si la partícula parte del reposo en x=0 y t=0. ¿Cómo encontraria la velocidad y posición despu
Que ha transcurrido un tiempo t?
Energía Relativista
Newton dice que el trabajo es igual a fuerza por distancia y el que el
trabajo neto realizado a un cuerpo produce un cambio en su energía cinética
Técnicamente para un cuerpo que parte del reposo
WFrN
r
r
r
r
r
dP
dP r P 2 1 2
= ∫ FN ⋅ dl = ∫
⋅ dl = ∫
⋅P =
= mv
dt
m
2m 2
Γ
Γ
Γ
Definimos la energía cinética
p2 1 2
= mv
EK =
2m 2
Así tenemos la primera versión del teorema energía-trabajo
WFrN = ∆E K
Caso relativista
EK = WFrN
Eso si con
r
r
p = γ v mv
r
r
r r
= ∫ FN ⋅ dr = ∫ v ⋅ dp
Γ
r
r
r
dp = mγdv + mv dγ
r r mγ 3 dv 2
v ⋅ dp =
2
2
1
1
dv
2
2
=
γ
−
m
c
mc
E K = m ∫ γ 3 dv 2 = m ∫
2
2
(1 − v 2 / c 2 ) 3 / 2
EK = mγc 2 − mc 2
y
dγ = γ 3
vdv
c2
Como era de esperar no se parece
en nada a Newton
Bajas velocidades v<<c
EK = mγc − mc
2
1 v2
v 2 −1/ 2
(1 − 2 )
≈ 1+
+ ...
2
2c
c
2
1v
1 2
2
E K ≈ mc (1 +
) − mc ≈ mv
2
2c
2
2
Necesita una interpretación
2
Interpretación d Einstein
Etotal = EK + mc 2
Energía total = energía cinética + energía en reposo
MASA EQUIVALE A ENERGÍA EN REPOSO
Será transformable
Electron Volts
Partícula
Protón
Neutrón
Electrón
kg.
1,6726*10-27
1,6750*10-27
9,109*10-31
u.m.a
MeV
1,007276 938.28
1,008665 939.57
5,486*10-4 0.511
E = mc 2γ
r
r
p = mγv
Para la luz- fotones m=0
E 2 = mc 4 + p 2 c 2
Relación Energía-Momentum
E = pc
Lorentz
Colisiones relativistas
r
r
r
r
m1γ 1I v1I + m2γ 2 I v2 I = m1γ 1F v1F + m2γ 2 F v2 F
m1γ 1I c 2 + m2γ 2 I c 2 = m1γ 1F c 2 + + m2γ 2 F c 2
Dependiendo el tipo de colisión podemos tener transformación de
Energía cinética
masa
Ejemplo
vi
vf
m
M
m
Antes del Choque
Después del Choque
Conservación de Momentum
Conservación de la Energía
vf =
γ i vi
1+ γ i
luego
γf =
mγ i vi = Mγ f v f
mγ i c 2 + mc 2 = Mγ f c 2
γ i +1
2
M = m 2(γ i + 1) ⇒ M > 2m
Otro Ejemplo, Energía de Enlace
Energía de Enlace , se define como la energía necesaria para separar los nucleones
(protones y neutrones) de un núcleo, o bien como la energía que se libera cuando
se unen los nucleones para formar el núcleo. El origen de la energía de ligadura o de
enlace nuclear reside en la desaparición de una parte de la masa de los nucleones
que se combinan para formar el núcleo. Esta diferencia de masa recibe el nombre
de defecto másico, y se transforma en energía cuyo cálculo se puede realizar
por la ecuación de Einstein, E=m.c2
Sistema separado
en reposo
Sistema ligado
en reposo
Mc
2
Nucleo
(masa pequeña)
Energía
de enlace
Nucleones
separados
(masa mayor)
E = ∑ mi c 2
i
Balance energético
Mc + Eb = ∑ mi c
2
i
2
Eb > 0 ⇒ M < ∑ mi
i
Ejemplos:
1.- Deuterón (núcleo de átomo de Deuterio) es un isotopo del hidrogeno de dos
unidades de masa atomica (2.u.m.a)
Una unidad de masa atómica (u.m.a) = 1.6605 x 10-27 kg
E = (1.6605 x 10-27 kg) (3 x 108 m/s)2
= 1.49 x 10-10 J
1.49 x 10-10 J / 1.6 x 10-19 J /eV = 9.31 x 108 eV
931 x 106 eV
= 931 MeV
1 u.m.a = 931 Mev
Un cálculo simple
mD c 2 = 1.875,63Mev
m p c 2 + mn c 2 = 938,28Mev + 939,57 Mev = 1.877,85Mev
E=2,22 Mev
2.- Energía de Enlace del Helio
Energía
de enlace
∆m = 4.0330 - 4.0026
= 0.0304 u
E = (931 MeV /u) 0.0304 u
= 28.3 MeV
Tarea, repita el cálculo para el tritio(¿?)