Ángulos poliedros miden 110º, 200º y 60º? Justificar la respuesta.

UNIVERSIDAD DEL CAUCA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
TALLER DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
GEOMETRIA DEL ESPACIO
Ángulos poliedros
1. ¿Se puede construir un triedro con caras que midan 80º, 35º y 40º cada una? ¿Y si
miden 110º, 200º y 60º? Justificar la respuesta.
2. Dos caras de un triedro miden 89º y 131º. ¿Entre qué valores puede oscilar la
tercera?
3. Averiguar si es posible construir un ángulo poliedro convexo con las siguientes
caras: una es un ángulo de un triángulo equilátero, dos son ángulos de un cuadrado,
y la cuarta es de un hexágono regular.
Poliedros regulares
4. La arista de un dodecaedro regular mide 10 cm. ¿Cuánto vale la suma de todas sus
aristas?
5. La diagonal de un ortoedro regular mide 3 m, calcula la longitud de su arista.
Prismas
6. Una fuente tiene una altura de 1 m y su base es un hexágono regular de 2 m de lado.
Calcular su volumen.
7. Con una lámina de latón de 2 m2 se desea construir un cubo. ¿Qué longitud tendrá
su arista?. ¿Cuál será su volumen?
8. Las dimensiones de un ortoedro son tres números consecutivos que suman 42.
Calcula su superficie.
9. Calcular las dimensiones de un ortoedro, sabiendo que sus aristas son directamente
proporcionales a 2, 3 y 7 y que su área total es de 3'28 m2 .
10. En un paralepípedo recto cuyas bases son dos rombos, el área total es de 140. La
suma de las diagonales del rombo vale 16, y la razón entre las áreas lateral y total es
4/7. Hallar las diagonales del rombo y del paralepípedo.
11. Alberto decide pintar las paredes exteriores de su casa. Para ellos, utiliza pintura de
rendimiento 10 litros por cada 4 m2.
a. ¿Cuánta pintura necesitará?
b. Si la pintura viene en latas de 10 litros ¿cuántas debe comprar?
12. Carlos ha construido una estantería de libros y ahora quiere barnizarla.
a. Calcula el área total a barnizar en m2.
b. Si una lata de barniz cubre 2 m2 ¿cuántas las serán necesarias?
13. La altura de un prisma recto mide 10 cm; su base es un rectángulo, en el que uno de
sus lados es el doble del otro. Si el área total es de 136 cm2, calcular la longitud de
una de las diagonales del prisma.
14. Hallar el volumen de un paralelepípedo recto de base cuadrada, sabiendo que la
suma de todas sus aristas es 3'6 m y que la altura tiene 30 cm más que la longitud
del lado de la base. Si está hecho de aluminio, cuya densidad es de 2'5, ¿cuánto
pesa?
15. Un ortoedro tiene un volumen de 315 cm3 , y de las tres aristas que concurren en un
vértice, una mide 7 cm, y entre las otras suman 14 cm. Hallar el área total del
ortoedro.
Pirámides
16. Determinar la altura de un tetraedro regular cuya área vale 300 m2.
17. Hallar las aristas (lateral y de la base) de una pirámide hexagonal regular, sabiendo
que la suma de sus doce aristas es de 54 m y que la altura de la pirámide vale 4 m.
18. Una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base, a la distancia indicada en la
figura. ¿Qué relación hay entre las áreas de la sección y la base de la pirámide? ¿Y
entre los volúmenes de la pirámide inicial y la que queda después del corte?
19. La base de una pirámide regular es un hexágono regular de 10 cm de lado. Calcular
su altura , sabiendo que su superficie lateral es el doble de la de la base.
20. Hallar el volumen de una pirámide regular de base cuadrada, sabiendo que el lado
de la base mide 1m y que el área lateral es el triple del área de la base.
21. En un libro de 1970 encontramos el siguiente problema: ¿Qué altura alcanzará una
pirámide cuadrangular de 12 m de lado en la base, construida con todo el oro
extraído hasta ahora, admitiendo que se eleve a 70.000 millones de pesetas? La
densidad del oro es de 19'26 y su valor de 34'44 pesetas el gramo.
22. Una bombilla dista 5 m de una pared. Un cartón cuadrado de 15 cm de lado se
coloca entre los dos, de forma paralela a la pared y a 3 m de ésta. Hallar el área de la
sombra. ¿Y si está a x metros de la pared?
23. Calcular el volumen de una pirámide regular cuya arista lateral vale 25 cm y cuya
base es un cuadrado de 25 cm2 de área.
24. Calcular el volumen del tetraedro que resulta al cortar el cubo de 1dm de arista.
25. ¿Qué profundidad tiene una zanja, con forma de tronco de pirámide cuadrangular
regular cuya abertura mide 1'15 m de lado y el fondo 0'7 m y el volumen de tierra
extraído 4'55 m3?
26. ¿A que altura se ha de cortar por un plano paralelo a la base una pirámide regular de
base cuadrada de lado 3 m y altura 3 m para obtener dos piezas de igual volumen?
27. Un tetraedro regular de 1 m de arista tiene 3 m3 de volumen, ¿cuál es el volumen de
los tetraedros de arista 2 m y 3 m respectivamente?
28. Un tronco de pirámide regular de 4m de altura tiene las bases cuadradas con lados
de 3m y 5m.
¿Qué longitud corresponde a las aristas laterales de la pirámide total? ¿Y a la altura
de los cuatro trapecios?
Cilindros y conos
29. La circunferencia base de un cilindro mide 9 m y su altura 10 m. Calcular su
superficie.
30. Un rectángulo de 9 m de base y 5 de altura gira 360º alrededor de una recta paralela
a la altura, que está situada a 15 m de distancia. Calcula la superficie y el volumen
del cuerpo que resulta.
31. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro es un rectángulo de 10 cm de
altura y diagonal de
cm. ¿Cuál es su volumen?
32. Se introduce una piedra en un vaso cilíndrico de 5 cm de diámetro. Si al quedar por
debajo del agua el nivel de ésta sube 2 cm, ¿qué volumen ocupa la piedra?
33. Hallar el radio de un cilindro de 10 m de altura para que tenga una capacidad de
8000 Hl.
34. Con una lámina de latón de 30 cm de ancho por 50 de alto se desea construir el
lateral de un envase cilíndrico. ¿Cuál será su capacidad si se enrolla a lo ancho?, ¿y
si lo hacemos a lo alto?
35. Antiguamente se empleaba en el comercio al por menor medidas de capacidad, en
forma cilíndrica, hechas de estaño y de manera que que la altura era el doble del
diámetro. ¿Qué dimensiones debía tener la que contuviera un litro?
36. Para la leche y el aceite se utilizaban cilindros de hojalata con altura igual al
diámetro. Responde en este caso la pregunta anterior.
37. La generatriz de un cono es mide lo mismo que el perímetro de su base. Si su área
lateral es de 100 m2, hallar la altura del cono.
38. Halla la amplitud del sector circular del desarrollo de un cono cuya altura mide 3 m
y el radio de la base mide 1 m.
39. Un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 gira 360º alrededor de su hipotenusa.
Halla el área y el volumen de la superficie engendrada.
40. Los radios de las bases de un cono truncado miden 10 m y 5 m. Si su altura vale 20
m, hallar el área total y el volumen.
41. De un cuadrado de hojalata que tiene 40 cm de lado, se le quita en la esquina un
sector de 90º y 40 cm de radio. ¿Qué volumen tendrá el cono construido con el
sector?, ¿podrá sacarse el círculo base del cono con lo que queda de hojalata?
42. Para construir un recipiente se adjuntan dos cilindros a un tronco de cono. El
primero de ellos tiene altura de 10 cm y radio de 5 cm; el segundo tiene 25 de alto y
10 de radio. Si la altura del recipiente es de 40 cm, calcula su capacidad y los cm2
de hojalata necesarios para su construcción.