Guía de trabajo 3 Medio Ecuacion cuadratica

LICEO TECNOLÓGICO ENRIQUE KIRBERG
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
TERCER AÑO MEDIO 2015
PROFESORA: LILIAN HERNÁNDEZ S.
Guía de Estudio de Ecuaciones Cuadráticas
Tercero medio Común
INSTRUCCIONES:
1) Desarrolle los ejercicios siguiendo el ejemplos dado para cada método
2) Utilice el método más conveniente en la resolución de una ecuación cuadrática.
3) Resuelve la evaluación final
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales.
Ejemplo:
9x2 + 6x + 10 = 0
donde
a = 9, b = 6, c = 10
x2 - 5x = 0
donde
a = 1, b = –5, c = 0
donde
a = –6, b = 0, c = 10
–
6x 2 + 10 = 0
Hay tres formas de hallar las raíces o soluciones (x1 , x2 ) de las ecuaciones cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se
busca el valor de x de cada binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0
(x
) (x
a=1
)=0
b=2
c = –8
[x ·x = x2]
( x + ) (x - ) = 0
(x + 4 ) (x – 2) = 0
x+4=0
x–2=0
x+4=0
x=0–4
x = -4
x–2=0
x=0+2
x=2
4 y –2
4 + –2 = 2
4 · –2 = –8
Estas son las dos soluciones (raíces de la ec.).
Ejercicios : Resuelva las siguientes ecuaciones utilizando el método de Factorización
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1) x 2  6 x  8  0
2) x 2  12x  32  0
3) x 2  5 x  36  0
4) x 2  7 x  6  0
5) x 2  2 x  56  0
6) x 2  10x  24  0
7) x 2  x  42  0
8) x 2  6  4 x  2 x 2  27
9) 3x 2  9 x  6  0
(debes ordenarla)
(debes dividir todo por 3)
10) 2 x 2  30x  16  16x  8
Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2 + bx + c = 0 ; y siempre la constante “a “ tiene
que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:
4x2 + 12x – 8 = 0
4
4
4
4
x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a = 1.
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Ejemplo:
x2 + 2x – 8 = 0
[Ya está en su forma donde a = 1.]
x2 + 2x = 8
[ Pasar a c al lado opuesto.]
x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]
x2 + 2x + 1
=8+1
x2 + 2x + 1 = 9
(
) (
) =9
Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.
( x + 1) (x + 1) = 9
(x + 1)2 = 9
(x + 1) = ±
x+1= ±3
x = -1 ± 3
[Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3
x=2
x = -1 – 3
x = -4
Ejercicios
1) x 2  10x  24  0
2) x 2  4 x  21  0
3) x 2  6 x  2  0
4) 3x 2  24x  9  0
5) 2 x 2  16x  8  0
6) 4 x 2  4 x  1  0
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Fórmula Cuadrática:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente
fórmula:
x
 b  b 2  4ac
2a
.
Ejemplo:
x2 + 2x – 8 = 0
x
a = 1, b = 2, c = -8
 2  2 2  4 1  8
2 1
x
 2  4  32
2
x
 2  36
2
x
x
26
2
x=2
Ejercicios
1) x 2  6 x  8  0
2) 2 x 2  7 x  3  0
3) 6 x 2  5 x  1  0
4) 4 x 2  6 x  2  0
5) x 2 
7x 1
 0
6 3
26
2
x
26
2
x = -4
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Consideraciones Importantes
a) Cuando utilizamos el método completación de cuadrado o el de formula , lo que queda dentro de la raíz
cuadrada no resulta exacto, en este caso (generalmente) se deja expresada la raíz cuadrada
2 x 2  5x  1  0
Ejemplo
(dividimos por 2 aplicamos el método de completación de cuadrado)
5
1
x 0
2
2
5
1
x2  x 
2
2
x2 
Eliminamos -1/2 del lado izquierdo
5
25 1 25
x2  x 
 
2
16 2 16
Agregamos el producto de la mitad de
5
5 5 25
es decir * 
2
4 4 16
2
5
33

x   
4
16

Aplicamos raíz cuadrada
x
5
33

4
16
Despejamos x
x
5
33

4
16
Escribiendo de una forma más simple la raíz cuadrada
x
5
33

4
4
Por lo tanto las soluciones son
x1 
5  33
4
x2 
5  33
4
b) Cuando debajo de la raíz cuadrada nos resulta un número negativo, la ecuación no tiene solución.
Ejemplo
x 2  3x  5  0
Aplicaremos la formula
x
 b  b 2  4ac
2a
a=1
b=3
c=5
x
 3  32  4  1  5
2 1
x
 3  9  20
2
x
 3   11
2
Las soluciones son imaginarias (complejas)
Nota: Recuerde que las soluciones de una ecuación cuadrática se les denomina Raíces de la Ecuación
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Evaluación
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Fecha:
1) Una de las raíces de la ecuación 2 x 2  17x  9  0 es -9, ¿cuál es la otra raíz?
A) 9
B) -2
C) 2
D)
1
2
E)
1
2
2) Las raíces de la ecuación 3x 2  2 x  5  0 son:
A)
-5 y 3
B)
 10
y 2
3
C)  2 y
10
3
D)  1 y
5
3
E) 1 y
5
3
3) El producto de las raíces de la ecuación x 2  2 x  1  0 es:
A) 2
B) 1
C) 0
D) -1
E) -2
4) Al aplicar un método para solucionar la ecuación 2 x 2  x  3  0 obtenemos las raíces
x1  1
A)
x1  1
3
x2 
4
B)
5) Las raíces de la ecuación
A) -4 y -7
x1 
C)
3
x2 
4
25
16
D)
x1  6
1
x2 
4
x2  4
C) -7 y 4
D) 4 y 7
E) N. A.
2x  6 2

son:
28
x
B) -4 y 7
E) 2 y 11
6) Las raíces de la ecuación cuadrática 2 x 2  3x  1  0
A) 4 y
2
1
B) 1
y
-0,5
C) -1 y
0,5
D) 1
y
0,5
E) --4 y
7) La ecuación x 2  17x  25  0 tiene:
I)
II)
III)
Dos raíces reales y distintas
Dos raíces reales e iguales
Dos raíces imaginarias
De estas afirmaciones, es (son) verdaderas.
A) Sólo I
B) Sólo II
8) La ecuación cuyas raíces son, x1  1 y
A) x 2  4 x  3  0
B) x 2  4 x  3  0
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) N.A.
x2  3 es:
C) x 2  4 x  3  0
D) x 2  4 x  3  0